Reibst e in Mehrk rpersystemen

Lehrstuhl B fr Mechanik
Reibste in Mehrkrpersystemen
Michael Beitelschmidt
Vollstndiger Abdruck der von der Fakultt fr Maschinenwesen der
Technischen Universitt Mnchen zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. U. Lindemann
Prfer der Dissertation:
1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. F. Pfeier
2. Univ.-Prof. Dr.-Ing. B.-R. H
hn
Die Dissertation wurde am 16.6.1998 bei der Technischen Universitt Mnchen
eingereicht und durch die Fakultt fr Maschinenwesen am 26.10.1998
angenommen.
III
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand whrend meiner Zeit als wissenschaftlicher Assistent
am Lehrstuhl B fr Mechanik an der Technischen Universitt Mnchen.
Mein ganz besonderer Dank gilt meinem Doktorvater Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. h.c. F.
Pfeier, der es mir erm
glichte, an seinem Institut diese Arbeit zu verfassen. Seine
wohlwollende F
rderung, die er mir schon beginnend whrend meines Studiums
in Forschung, Lehre und bei der technischen Anwendung zuteil werden lie, hat
erheblich zum Gelingen des Forschungsprojekts beigetragen.
Danken m
chte ich auch Herrn Prof. Dr. H
hn, der sich bereit erklrte, das zweite
Gutachten fr die vorliegende Arbeit zu bernehmen.
Ein wesentlicher Faktor, der zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen hat, sind
die Kollegen und Mitarbeiter des Lehrstuhls. Hier ist an erster Stelle Dr.-Ing. Ch.
Glocker zu nennen, ohne dessen Pionierarbeit auf dem Gebiet der St
e mit Reibung
diese Arbeit nicht m
glich gewesen wre. Ihm und meinem Zimmerkollegen Markus
W
sle danke ich zudem fr zahlreiche fruchtbare Diskussionen ber St
e, Reibung
und andere unstetige Phnomene.
Eine Forschungsarbeit mit erheblichem experimentellen Anteil ist ohne die hervorragende Arbeit von elektronischer und mechanischer Werkstatt nicht denkbar. Fr
den Entwurf der gesamten Prfstandselektronik nach meinen stetig steigenden Wnschen bin ich Herrn Georg Mayr sehr dankbar. Die Umsetzung der mechanischen
und elektronischen Komponenten fhrten in hervorragender Weise die Herren Juri
Kriese, Wolfgang Kruppa, Willy Miller und Walter W
durch.
Meinen Kollegen Marc Brandl, Marcus Pausch, Martin Schleich, Andreas Stiegelmeyr, Florian Wegmann und Peter Wolfsteiner sowie meiner Mutter danke ich fr
die kritische Durchsicht meines Manuskripts und viele konstruktive Anmerkungen.
Zudem bin ich allen dankbar, die mich bei Fragen und Problemen untersttzt haben,
aber auch denen, die mich durch ihre Fragen an mich dazu gebracht haben, mein
eigenes Wissen immer wieder neu zu berdenken und dabei zu festigen.
Auch zu danken habe ich den Studenten Hannes Hofmann, der im Rahmen einer
Semesterarbeit den ersten Entwurf des Prfstandes entwickelte, Gernot Steger, der
in seiner Diplomarbeit Stowellen ausfhrlich untersuchte und Florian Bernecker,
der bei der Softwareentwicklung fr den Prfstand mitwirkte und einen Groteil der
Versuche gewissenhaft durchgefhrt und ausgewertet hat.
Last but not least danke ich meiner Familie, die mich in allen Phasen meiner Arbeit
immer wohlwollend untersttzt und gef
rdert hat.
Mnchen, im Juni 1998
Michael Beitelschmidt
IV
Meiner Frau Denise
V
Inhalt
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Modellierung von Sten
8
1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Literaturberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Ziel und Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Denition eines Stoes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hilfsmittel aus der Theorie der Mehrk
rpersysteme . .
Klassikation von St
en . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschtzen von Stozeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
Impulsmodelle fr Starrk
rper . . . . . . . . . . . . . .
Zeitlich und rtlich kontinuierliche Starrk
rpermodelle
Sonderfall elastische K
rper . . . . . . . . . . . . . . .
Bercksichtigung von Festk
rperwellen . . . . . . . . .
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
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Modellvorstellung zeitdiskreter Stogesetze . . . . . . . . . .
Elementare Stogesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
bergang von der kontinuierlichen Zeitentwicklung zum Sto
Vorberlegungen zum Energieumsatz . . . . . . . . . . . . .
Kompressionsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expansionsphase mit tangentialer Reversibilitt . . . . . . .
Expansionsphase des reinen Reibstoes . . . . . . . . . . . .
Klassikation von impulsmodellierten St
en . . . . . . . . .
4 Sonderflle und Beispiele
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8
9
12
13
15
17
22
24
30
30
31
32
33
36
42
49
50
52
4.1 Der zentrale Einfachsto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
VI
Inhalt
4.2
4.3
4.4
4.5
Der exzentrische Einfachsto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterschied zwischen einem tangentialplastischem und reinem Reibsto
Anmerkung zum Energieerhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Einu groer Krfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Konstruktion der Wurfmaschine
5.1
5.2
5.3
5.4
Anforderungsprol . . . . . . . .
Realisation . . . . . . . . . . . . .
Steuerung und Regelung . . . . .
Gerte zur Messung der Versuche
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61
71
74
78
85
. 85
. 93
. 100
. 107
6 Auswertung der Stoversuche
110
7 Zusammenfassung
131
A Bildanhang
134
B Literatur
143
6.1 Auswertemethodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 Zentrale St
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3 Exzentrische St
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Formelzeichen
bersicht der verwendeten Formelzeichen
Indices
Symbol
A
C
E
N
T
Bedeutung
Beginn des Stoes
Kompressionsphase oder Ende der Kompressionsphase
Kompressionsphase oder Ende der Expansionsphase
Normalenrichtung
Tangentialrichtung
Stogesetz
Symbol
g_ NA
g_ NC
g_ NE
g_ TA
g_ TC
g_ TE
g_ TEV
g_ TE0
Bedeutung
normale Relativgeschwindigkeit vor dem Sto
dito am Ende der Kompressionsphase
dito am Ende des Stoes
tangentiale Relativgeschwindigkeit vor dem Sto
dito am Ende der Kompressionsphase
dito am Ende des Stoes
transformierte tangentiale Relativgeschwindigkeit
Abhebegeschwindigkeit bei Haften
NC Normalimpuls in der Kompressionsphase
NE Normalimpuls in der Expansionsphase
NP transformierter Normalimpuls in der Expansionsphase
TC Tangentialimpuls in der Kompressionsphase
TE Tangentialimpuls in der Expansionsphase
TEV transformierter Tangentialimpuls
TEL linker Impulsast im tangentialen Stogesetz
TER rechter Impulsast im tangentialen Stogesetz
G
projizierte Massenwirkungsmatrix
Gij
Bl
cke von G mit i j 2 fN T g
+
;
S S Selektionsmatrizen
Reibkoezient, Diagonalmatrix mit den Reibkoezienten
"N "N normale Stozahl, Diagonalmatrix mit Stozahlen
"T "T tangentiale Stozahl, Diagonalmatrix mit Stozahlen
VII
VIII
Inhalt
Mehrkrpersysteme und Kinematik
Symbol
M
q
h(q_ q t)
q_A
q_E
WN
WT
wN , wT
rD
gN , g_ N , gN
gT , g_ T , gT
w~N , wN
w~T , wT
N
T
Bedeutung
Massenmatrix
Vektor der generalisierten Koordinaten
Vektor aller Krfte
generalisierte Geschwindigkeiten zu Stobeginn
generalisierte Geschwindigkeiten zu Stoende
Jacobimatrix der Normalbindungen
Jacobimatrix der Tangentialbindungen
einzelne Zeilen aus WN und WT
minimaler Abstandsvektor
normaler Relativabstand, -geschwindigkeit, -beschleunigung
tangentialer Relativabstand, -geschwindigkeit, -beschleunigung
nichtlineare und zeitabhngige Terme im Normalabstand
nichtlineare und zeitabhngige Terme im Tangentialabstand
Vektor aller Kontaktzwangskrfte in Normalenrichtung
Vektor aller Kontaktzwangskrfte in Tangentialrichtung
Dimensionslose Stogren
Symbol
NC , TC
NE , TE
TE0
NC , TC
NE , TE
N , T
;
;NT
Bedeutung
Tangentialgeschwindigkeit vor dem Sto
Normal- und Tangentialgeschwindigkeit Ende Kompressionsphase
Normal- und Tangentialgeschwindigkeit Ende Expansionsphase
Dimensionslose Abhebegeschwindigkeit bei Haften
Dimensionslose Impulse in der Kompressionsphase
Dimensionslose Impulse in der Expansionsphase
Dimensionslose Gesamtimpulse
Verhltnis der Elemente GTT =GNN
Verhltnis der Elemente GNT =GNN
1
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Problemstellung
Ein Ausgangspunkt fr diese Arbeit war die Beschftigung mit Spielzeug und der
Wunsch dessen physikalischen Vorgnge richtig beschreiben und vorhersagen zu k
nnen. Sogenannte Flummies oder Superblle zeigen h
chst eigenartige Verhaltensweisen, insbesondere wenn sie St
e mit einer Relativgeschwindigkeit im Kontaktpunkt ausfhren. Scheinbar fast ohne Energieverlust springen sie in unvorhersehbare
Richtungen davon, wobei die Kontaktreibung eine groe Rolle spielt. Das Schlsselexperiment ist der Wurf unter den Tisch, bei dem der Ball nach drei St
en zwei
am Boden und einer an der Tischunterseite wieder zum Werfer zurckspringt. Man
kann zeigen, da dieser Bewegungsablauf nur m
glich ist, wenn bei den St
en nicht
nur in normaler, sondern auch in tangentialer Storichtung Energie beim Sto geund entspeichert wird.
Bei der Simulation technischer Mehrk
rpersysteme ist es zunehmend wichtig, Kontaktprozesse wie Stoen und Wiederabheben, sowie die zugeh
rigen Reibbergnge
Haften-Gleiten und umgekehrt zu bercksichtigen. Typische Orte, an denen derartige Phnomene auftreten, sind die Berhrstellen spielbehafteter Teile. Die Berechnungsmethode, mit der man das Zeitverhalten derartiger Systeme erfassen kann, ist
die numerische Simulation. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen werden mit
den etablierten Methoden der Mehrk
rpersystemdynamik gewonnen. Die Kontaktund Reibungsphnomene werden durch sogenannte einseitige Bindungen in das
Modell eingebracht.
Findet whrend der zeitlichen Berechnung des Systems an einem Punkt ein Bindungsbergang statt, mu man die m
glichen Konsequenzen dieses bergangs auf
alle anderen Kontakte untersuchen.
In dieser Arbeit wird ein mathematischer Formalismus auf der Ebene von Impulsen und Geschwindigkeitsnderungen vorgestellt, mit dem man den bergang von
Separation zu Kontakt mit allen Konsequenzen und Phnomenen erfassen kann.
Insbesondere soll er auch das im ersten Absatz beschriebene Phnomen der Speicherung von Energie in tangentialer Richtung m
glichst gut beschreiben k
nnen.
2
1 Einleitung
Fr St
e dieses Typs wird der Begri tangentialreversibler Sto eingefhrt. Der
Terminus reversibel wird dabei in zweifacher Hinsicht gebraucht: Einerseits fr die
Umkehrung der tangentialen Relativgeschwindigkeit im Kontakt und andererseits
im energetischen Sinne. Ist ein Sto sowohl normal als auch tangential vollstndig
reversibel, wird keine Energie dissipiert, und auch ein schiefer, rauher Sto kann
vollstndig umkehrbar sein.
Theoretische Ergebnisse bedrfen immer einer Verikation durch Experimente. Deshalb liegt ein Schwerpunkt dieser Arbeit darauf, die dargestellten theoretischen Anstze durch Versuche zu untermauern. Es wurde daher eine Stomaschine konstruiert, die in dieser Arbeit beschrieben wird. Die Darstellung der Ergebnisse der insgesamt 600 durchgefhrten Stoexperimente mit K
rpern verschiedener Geometrie
und Materialien nimmt breiten Raum in der Arbeit ein.
Reduziert man das Mehrk
rpersystem, dessen St
e mit dem in dieser Arbeit vorgestellten Stogesetz beschrieben werden sollen, auf einen Ball in der Ebene, so ist
man wieder beim Spielzeug angelangt. Im Experiment konnte gezeigt werden, da
mit Hilfe der Theorie das im ersten Absatz kursiv gesetzte Wort unvorhersehbare
durch berechenbare ersetzt werden mu.
Diese Behauptung klingt zunchst anmaend und sehr deterministisch. Wie bei allen
derartigen Dingen kommt es auch hier auf die Anfangsbedingungen an, welche insbesondere beim Wurf eines Balles, ausgefhrt von einem Menschen, in erheblichem
Mae undeterministisch sind. Somit ist der Charakter des Spielzeugs gerettet.
1.2 Literaturberblick
1.2.1 Mehrkrpersysteme und Kontaktkinematik
Grundlage fr die Stobeschreibung ist das Modell des Mehrk
rpersystems, in dem
die St
e stattnden. ber die allgemeine Modellierung solcher Systeme gibt es eine Zahl von Standardwerken. Stellvertretend sollen hier die Bcher von Shabana
73] und Bremer 12] erwhnt werden, in denen das Aufstellen der Bewegungsgleichungen dargestellt ist. Wittenburg behandelt darberhinaus auch St
e auf
Impulsebene 88]. Im Buch von Pfeiffer 59] und besonders im Werk von Bremer und Pfeiffer 13] wird die Modellierung von elastischen Mehrk
rpersystemen
geschildert. Die Anwendung der Mehrk
rpertheorie speziell auf Systeme mit einseitigen Bindungen wird von Pfeiffer und Glocker in 61] ausfhrlich mit vielen
technischen Anwendungsbeispielen dargestellt.
Ein wichtiger Aspekt bei der Beschreibung von Kontaktvorgngen ist die kinematische Beschreibung der Relativgeschwindigkeiten, -lagen und -beschleunigungen an
den Berhrungsstellen der K
rper. Fr den zweidimensionalen Fall ist dies von
Glocker 22] hervorragend dargestellt worden. Die Erweiterung auf den dreidimensionalen Fall wurde von Meitinger 45], Wolfsteiner 62] und Wsle 90]
durchgefhrt.
1.2 Literaturberblick
3
Das Lineare Komplementarittsproblem (LCP) wird ben
tigt, um die Konguration
der einseitigen Bindungen im System zu ermitteln. Die L
sbarkeit und die numerische Implementatierung ist in der Arbeit von Cottle und Dantzig 18] und im
Buch von Murty 48] beschrieben.
1.2.2 Ste
Die Literatur zum Thema St
e lt sich, abgesehen von einigen zum Teil schon lteren Standardwerken, in drei Gruppen einteilen, welche in den folgenden Abschnitten
erlutert werden. Die ersten wichtigen Arbeiten zur Stotheorie, die nach heutigen
Mastben noch von Interesse sind, prsentierten Huygens 27] und Newton 49],
die eine kinematische Beziehung der Geschwindigkeiten vor und nach dem Sto angeben. Newton fhrt dabei bereits eine Stozahl ein und schuf damit das Gesetz,
das noch heute als Newton'sches Stogesetz bekannt ist.
Als weitere Forscherpers
nlichkeit ist Poisson zu nennen, dessen Name auch mit
einem Stogesetz verbunden ist. Er beschreibt in 64] die Behandlung von St
en auf
der Ebene von Impulsen und damit den Weg vom rein kinematischen Zusammenhang
hin zu einer den Trgheitsgesetzen unterworfenen Darstellung. Dieses Vorgehen wird
von Routh in 68] mit einem graphischen Verfahren auf schiefe St
e mit Reibung
erweitert. Jngere bersichtswerke ber St
e stammen von Goldsmith 23] und
Brogliatto 14].
Ste auf Impulsebene
Eine groe Gruppe von Arbeiten behandelt St
e auf Impulsebene. Dabei kommen
verschiedene Stogesetze zum Einsatz. Keller 34] beschreibt den Einfachsto mit
Reibung. Batlle und Condomines behandeln in ihren Arbeiten 3], 4] und 5]
Einfachst
e und vergleichen speziell in 4] das Newton'sche und das Poisson'sche
Gesetz. In 5] wird der Begri balanced collision eingefhrt, der identisch mit dem
verallgemeinerten zentralen Sto aus 22] ist. In 1] stellen Adams und Tran den
Einu des exzentrischen Stoes auf den eektiven Stokoezienten fest. Prereira
und Nikravesh untersuchen in 53] dreidimensionale Reibst
e, verwenden aber das
Newton'sche Stogesetz, whrend Smith in 77] auf eine m
gliche Energiezunahme
beim Newton'schen Gesetz hinweist und in 78] verschiedene Stogesetze mit Hilfe
einer FE-Modellierung der Kontaktzone vergleicht.
Shakil, Lankarani und Pereira benutzen in 74] die graphische Methode von
Routh und klassizieren den schiefen Einfachsto hnlich wie es auch in Abschnitt
3.8 durchgefhrt wird. Wang und Mason bearbeiten in 44], 86] und 87] Reibst
e
mit dem Poisson'schen Gesetz und zeigen speziell in 86], bei welchen Bedingungen
das Newton'sche Gesetz keine gltigen Aussagen mehr liefern kann.
Eine Gruppe von Arbeiten von Brach 8], 9], 10], 11], Stronge 81], 82], 83]
und Ivanov 29] behandeln St
e mit einem Energieverlustmodell, das zwangslug
auf Einfachst
e beschrnkt bleibt.
4
1 Einleitung
In Glocker 22] werden die Eekte einer tangentialen Nachgiebigkeit auf Impulsebene eingefhrt. Die Bindungskonguration wird dabei mit einem LCP bestimmt. Wolfsteiner erweitert dieses Modell in 91] auf dreidimensionale St
e
mit einem Nichtlinearen Komplementarittsproblem (NCP) zur Kongurationsbestimmung. Mit dem Problem der rumlichen Mehrfachst
e befassen sich ebenfalls
Marghitu und Hurmuzlu in 42], wobei sie zur Feststellung der Bindungskonguration einen iterativen Algorithmus verwenden.
Eine experimentelle Arbeit, bei der Einfachst
e untersucht werden, wurde von
Chatterjee 17] durchgefhrt.
Mehrere Autoren versuchen das Kontaktproblem mit St
en durch eine direkte Diskretisierung auf Geschwindigkeitsebene zu l
sen. So zum Beispiel Moreau und
Jean in der Arbeit 32], die jedoch nur plastische St
e behandelt.
Zeitskalierte und elastomechanische Anstze
Eine groe Zahl von Arbeiten nhert sich dem Phnomen Sto durch einen zeitlich
oder rtlich kontinuierlichen Ansatz. In der Arbeit von Ostermeyer 50] werden
lokale Steigkeiten eingefhrt und der Sto mit einer gedehnten Zeitskala klassisch
integriert. Lder fhrt ein regularisiertes Stomodell ein 40], bei dem er die
normale und tangentiale Nachgiebigkeit durch Federn annhert. In der Arbeit von
Fritzer 20] werden zeitaufgel
ste St
e mit viskoelastischen Kraftelementen untersucht.
Das Hertz'sche Kontaktgesetz (Hertz 24]) ist Basis vieler aufgel
ster Stomodelle.
Villaggio stellt in 85] den Sto einer Kugel auf eine unnachgiebige Unterlage vor.
Marghitu und Hurmuzlu untersuchen in ihrer theoretischen und experimentellen
Arbeit 43] den Sto eines elastisch modellierten Balkens und verwenden das Hertz'sche Kontaktgesetz fr die Beschreibung des Bodenkontakts. Dieses Kontaktgesetz
in Verbindung mit einer tangentialen elastischen Nachgiebigkeit wird von Stronge
und Lim in 39] verwendet, um Reversibilitt in der Bohrreibung zu beschreiben. Dazu wurden auch Experimente mit Gummi- und Tennisbllen durchgefhrt. Jger
stellt in seiner Arbeit 31] ein erweitertes Kontaktgesetz mit tangentialen Eekten
vor. Klarbring und Bjrkmann l
sen das Kontaktproblem zwischen einer Kugel
und einem Balken in 35] durch eine FE-Modellierung beider K
rper und wenden
dabei einen LCP-Formalismus zur Kontaktanalyse an.
Panagiotopoulos gibt eine umfassende Beschreibung der mechanischen und mathematischen Grundlagen von Kontakterscheinungen im Bereich der Elastostatik.
Hierzu entwickelt der Autor auf der Basis der konvexen Analysis eine Formulierung
der Kontaktgesetze als variationelle Ungleichungen. Das Buch 52] und die dort angegebenen Literaturstellen bieten einen guten Einblick in seine Arbeiten.
Einige Arbeiten befassen sich mit dem Stokontakt von K
rpern mit !lschicht und
bercksichtigen die zustzlichen Eekte der Hydrodynamik, so Chang in 16] und
Larsson und Hglund in 38]. Standardwerk zur Beschreibung kontaktmechanischer Phnomene ist das Werk von Johnson 33].
1.2 Literaturberblick
5
Elastische Krper und Wellenvorgnge
Bei bestimmten Stophnomenen kann es erforderlich sein, die elastischen Eigenschaften der stoenden K
rper zu bercksichtigen oder die Ausbreitung von Festk
rperwellen in ihrem Inneren zu betrachten. Die auftretenden Biegeschwingungen in
schief stoenden Balken werden von Marghitu und Hurmuzlu in 43] mit den Balkeneigenformen als Ansatzfunktionen untersucht. "hnliche Vorgnge untersuchen
Palas, Hsu und Shabana in 51] mit einem impulsbasierten Stomodell. "hnliche
Untersuchungen wurden von Barhorst und Everett in 2] durchgefhrt, wo sie
den Sto eines elastischen Balkens auf den Boden untersuchen. Stojanovici und
Hurmuzlu untersuchen in 80] experimentell die Grenze des Starrk
rpermodells
und beschreiben auch das Phnomen des wiederholten Abhebens und Wiederaufsetzens bei St
en von elastischen K
rpern.
Die Wellenvorgnge in K
rpern bei St
en werden im Klassiker von de SaintVenant 69] am Beispiel von Zug-Druck-Stben ausgiebig behandelt. Die Grenzen und bergnge zwischen Starrk
rper und elastischem Kontinuum werden von
Schmidt in 70] angerissen und von Steger in 79] ausfhrlich untersucht.
Zukas beschreibt in seinen Bchern 92] und 93] die Phnomene, die auftreten,
wenn St
e so heftig erfolgen, da die K
rper plastisch ineinander eindringen und
dabei sogar zerst
rt werden k
nnen. Derartige Vorgnge liegen in einem Bereich der
Mechanik, die mit keinem in dieser Arbeit erwhneten Modell mehr beschrieben
werden k
nnen.
1.2.3 Dynamik von Stosystemen
Viele Arbeiten befassen sich nicht mit der Modellierung des Stoes an sich sondern
untersuchen seine Konsequenzen auf das Verhalten von mechanischen Systemen.
Dabei kann man die Gruppe der Arbeiten unterscheiden, denen es darum geht, die
komplette nichtlineare Dynamik von eher einfachen Systemen ausfhrlich zu analysieren, und der Arbeiten, die komplexere Stosysteme unter technischen Aspekten
auswerten.
Nichtlineare Dynamik
Bei Arbeiten, bei denen der Schwerpunkt auf der Untersuchung der nichtlinearen
Dynamik liegt, wird in der Regel das Newton'sche Stogesetz verwendet, da es einfach ist und die mathematische Analyse eines dynamischen Systems Vorrang vor
der praktischen Relevanz hat. Einige der untersuchten Systeme sind auch so einfach
strukturiert, da bei ihnen die verschiedenen Stogesetze nach Newton oder Poisson
die gleichen Ergebnisse erbringen wrden.
Den eindimensionalen Stoschwinger untersucht Peterka in mehreren Arbeiten
(u.a. 54]) ausfhrlich. Auch Ivanov 28], Budd und Dux 15], Kozol 36] und
6
1 Einleitung
Whiston 89] untersuchen Stoschwinger und die Bifurkationen zwischen verschiedenen Bewegungsformen einschlielich des chaotischen Verhaltens. Bapat bearbeitet in 6] ein gekoppeltes Reib-Sto-Problem, Ivanov in 30] den Sto einer Scheibe.
Ein weiteres Stoproblem, welches von mehreren Autoren untersucht wurde, ist der
hin- und herkippende Klotz auf einer bewegten Ebene. Einerseits ist dies ein Modellierungsproblem und andererseits ist es auch aus der Sicht der nichtlinearen Dynamik interessant. Die Autoren del Piero, Sinopoli und Hogan befassen sich
in 63], 26], 75] und 76] mit diesem System. Die Arbeit von Kunert 37] enthlt
eine stochastische Beschreibung von allgemeinen Stosystemen und schlgt mit der
Anwendung auf Rasselprobleme die Brcke zu Arbeiten im folgenden Abschnitt.
Anwendungsorientierte Arbeiten
Ein praxisrelevantes Stoproblem stellt das Rasseln dar, das an den Zahnanken lastfrei laufender Rder in PKW-Schaltgetrieben auftritt. Die Autoren Pfeiffer und
Kckay bearbeiten in ihren Arbeiten 58], 56] und 57] dieses Problem ausgiebig.
Systeme, in denen die St
e sogar zur Funktion erforderlich sind, sind Schlagbohrmaschinen, die von Glocker und Pfeiffer in 21] und 60] untersucht wurden,
sowie pneumatische Hmmer, die von Seyfferth in 71] untersucht werden.
Ein einfaches Beispiel fr Reibst
e ist der Spielzeugspecht, fr den Pfeiffer in
55] erstmals einen kompletten Grenzzyklus angibt und der von Glocker in 22]
noch einmal verfeinert wird. Die bisher in diesem Abschnitt genannten Beispiele sind
im Buch 61] von Pfeiffer und Glocker zusammengefat.
Komplexere Mehrk
rperysteme, in denen Stoeekte auch eine Rolle spielen, sind
Montageroboter, wie sie von Seyfferth in 72] untersucht wurden, und Kettentriebe (Fritz, 19]). Das Getriebehmmern bei dem die Kontaktkrfte das entscheidende Erkenntnisziel sind, wurde von Prestl 66] untersucht.
1.3 Ziel und Aufbau der Arbeit
In dieser Arbeit sollen die Vorgnge bei Stoprozessen von K
rpern betrachtet werden. Schwerpunkt sind dabei die Eekte, die durch die Reibung im Stokontakt
verursacht werden. Besonderes Augenmerk kommt den tangentialreversiblen St
en
zu, bei denen die Reibung zusammen mit tangentialer Nachgiebigkeit der K
rper
zur Umkehrung der Relativgeschwindigkeit fhrt.
In Kapitel 2 wird die Modellbildung fr St
e dargestellt. Eingebettet in den Formalismus zur Beschreibung von Mehrk
rpersystemen werden die verschiedenen Hierarchieebenen fr die Modellierung von St
en vorgestellt. Das reicht von den Impulsstomodellen, die es erm
glichen einen Sto auf einen Zeitpunkt zu konzentrieren,
ber zeitskalierte Modelle, die den Sto entweder in seiner tatschlichen oder einer neuen Zeit au
sen. Am Ende dieser Hierarchie stehen elastische K
rper, bei
denen auch die Ausbreitung von Festk
rperwellen eine Rolle spielen kann. Fr alle
1.3 Ziel und Aufbau der Arbeit
7
Arten der Stomodellierung werden die Grenzen ihrer Zulssigkeit beziehungsweise
die dazu n
tigen Entscheidungskriterien angegeben.
Das Kapitel 3 ist das zentrale theoretische Kapitel dieser Arbeit. Dort wird ein
verbessertes Impulsstomodell prsentiert. Zunchst werden die existierenden Elementargesetze fr den Einfachsto miteinander verglichen. Auf Basis und Poisson'schen Gesetzes wird ein Formalismus fr Mehrfachst
e starrer K
rper unter voller
Bercksichtigung tangentialreversiber Eekte entwickelt.
In Kapitel 4 werden die zuvor dargestellten Stogesetze auf Spezialflle angewandt.
Der zentrale und der exzentrische Einfachsto werden im weiteren fr die Vergleiche
mit den Stoversuchen ben
tigt. Die anderen Flle erlutern spezielle Strken und
Schwchen der vorgestellten Gesetze an anschaulichen Beispielen. Ein Fall enthlt
die Darstellung der Stomodellierung mit einem zeitskalierten Modell.
Einen wesentlichen Teil dieser Arbeit stellen die Stoversuche dar, welche zur Verikation des Impulsmodells in Kapitel 3 durchgefhrt wurden. Dazu wurde eine
Versuchsmaschine entworfen und gebaut. Diese Maschine ist in Kapitel 5 beschrieben. Es wird das Maschinenkonzept, die technische Ausfhrung sowie das Steuerungskonzept mit elektronischer Hard- und Software vorgestellt. Die Erluterung
der Auswertetechnik schliet dieses Kapitel ab.
Die Ergebnisse der Stoversuche sind in Kapitel 6 zusammengestellt. Gegliedert
nach zentralen und exzentrischen St
en werden die Versuche mit verschiedenen
Stopartnern erlutert. Hier ndet auch der Vergleich zwischen Versuchsergebnissen
und den theoretischen Vorhersagen statt.
Eine Zusammenfassung in Kapitel 7 schliet diese Arbeit ab. Um die fortlaufende Lesbarkeit des Textes in Kapitel 6 zu gewhrleisten, sind einige der Bilder mit
Versuchsergebnissen im Anhang A zusammengestellt.
8
2 Modellierung von Sten
Kapitel 2
Modellierung von Sten
In diesem Kapitel werden die Grundlagen vorgestellt, die man zur Modellierung
von St
en in Mehrk
rpersystemen ben
tigt. Zunchst wird die Denition dafr
gegeben, welche mechanischen Vorgnge als Sto bezeichnet werden. Fr die mathematische Behandlung derartiger Phnomene mu in Abhngigkeit von verschiedenen Rahmenbedingungen ein jeweils angepates Stomodell verwendet werden. Im
folgenden werden verschiedene Modellierungsvarianten vorgestellt, sowie Kriterien
angegeben, mit denen man eine Entscheidung zwischen den verschiedenen Methoden
bezogen auf ein konkretes Problem treen kann.
2.1 De
nition eines Stoes
Ein Sto liegt vor, wenn sich in einem mechanischen System Geschwindigkeiten
unstetig ndern. In der Natur gibt es keine St
e. Sie sind immer Folge einer Abbildung der Natur in ein Modell, das den kontinuierlichen Charakter jedes K
rpers
zugunsten diskreter oder modaler Massen aufgibt. Ursache unstetiger Geschwindigkeitsnderungen massebehafteter Punkte k
nnen nur unendliche Krfte sein, die in
der physikalischen Realitt nicht auftreten. In tatschlich kontinuierlich modellierten
Systemen ohne Massendiskretisierung k
nnen theoretisch Stofronten auftreten, die
zu einer unstetigen Geschwindigkeitsnderung von innitesimalen Massenelementen
fhren k
nnen, ohne auf unendlich groe Krfte angewiesen zu sein. Voraussetzung
dafr ist jedoch eine sprunghafte Krafteinleitung, die in der Natur so nicht stattnden kann, da jede stetige Annherung zu einem stetigen Kraftzuwachs fhrt.
Ungeachtet der Tatsache, da es in der Natur keine St
e gibt, sind sie dennoch ein
geeignetes Hilfsmittel, um gewisse Vorgnge, die mit schnellen Geschwindigkeitsnderungen verbunden sind, in einer einfachen Weise zu behandeln. Hat man bei
einer Modellierung von K
rpern die Massen diskretisiert, kommt man nicht ohne
Grenzbergnge zu unstetigen Geschwindigkeitsnderungen aus.
Es gibt zwei Ursachen fr Stoereignisse in mechanischen Systemen:
Zwei Punkte auf einem oder mehreren K
rpern kommen in Kontakt und sie
2.2 Hilfsmittel aus der Theorie der Mehrkrpersysteme
9
haben dabei eine nicht verschwindende normale Relativgeschwindigkeit.
Durch Klemm- oder Selbsthemmungsprozesse entsteht in einem Kontakt eine im Grenzfall unendliche Kontaktkraft, die zum unstetigen Abheben der
Kontaktpartner fhrt.
In Folge dieser St
e k
nnen an anderen Stellen des Systems ebenfalls Stoereignisse eintreten. Ein derartiges Ereignis bezeichnet man als Mehrfachsto. Diese k
nnen im Grenzfall auch ohne Geschwindigkeitsnderung einhergehen, es werden aber
trotzdem impulsartige Krfte ben
tigt werden, um Kontaktbedingungen nicht zu
verletzen. Diese Sonderform bezeichnet man als Kontaktkompatibilittssto.
2.2 Hilfsmittel aus der Theorie der Mehrkrpersysteme
Zur Beschreibung von St
en ben
tigt man unabhngig von ihrer Modellierungsart
immer zwei Gleichungsstze, die sich aus der Modellierung des Systems ergeben,
in dem die St
e auftreten: Das ist einerseits die Bewegungsgleichung, die den Zusammenhang zwischen Bewegung und den verursachenden Krften darstellt und
andererseits die Kontaktkinematik, die die Relativbewegungen der K
rper an ihren
Kontaktpunkten beschreibt.
2.2.1 Bewegungsgleichungen ungebundener Mehrkrpersysteme
Die Formulierung der Bewegungsgleichungen fr ungebundene oder zweiseitig gebundene Mehrk
rpersysteme ist in einer groen Zahl von Standardwerken beschrieben.
Erwhnt seien die Werke 61], 12], 88] und 73]. Aus diesem Grund sollen hier nur
die wesentlichen Begrie, die im weiteren zur Beschreibung von St
en ben
tigt
werden, erwhnt werden.
Ein technisch modelliertes Mehrk
rpersystem besteht aus n K
rpern, die durch die
Bewegungsgleichungen der 6 Starrk
rperfreiheitsgrade und die der jeweils neli elastischen Ansatzfunktionen pro elastischem K
rper beschrieben werden. In Systemen,
die in technischen Anwendungen blich sind, sind die Beweglichkeiten der K
rper
durch zweiseitige, das heit immer geschlossene Bindungen eingeschrnkt. Die Bewegungen in diesem Raum lassen sich durch einen Satz von generalisierten Koordinaten
beschreiben 1.
Bei Systemen mit geschlossenen kinematischen Schleifen kann es zweckmig sein, mehr Koordinaten als die minimal erforderlichen zu verwenden und stndig aktive Zwangsbindungen im
System zu belassen.
1
10
2 Modellierung von Sten
Die generalisierten Koordinaten werden blicherweise im Vektor q(t) zusammengefat. Die Bewegungsgleichung fr ein starr-elastisches MKS lt sich immer in der
Form
M (q t) q ; h(q_ q t) = 0
(2.1)
schreiben, wobei M die symmetrische und positiv denite Massenmatrix darstellt
und im Vektor h alle aktiven und gyroskopischen Krfte und Momente enthalten
sind. Im Fall eines Systems ohne aufgeschnittene kinematische Schleifen und einseitige Bindungen ist die Dimension von q gleich der Zahl der Freiheitsgrade f des
Systems und man bezeichnet q als Minimalkoordinaten.
2.2.2 Bindungen und Kontaktkinematik
Wenn man die Bewegungsgleichung eines MKS in generalisierten Koordinaten formuliert hat, k
nnen noch zustzliche Bindungen im System vorhanden sein, die die
Zahl der Freiheitsgrade verringern. Zweiseitige Bindungen sind permanent vorhanden und k
nnen durch Nebenbedingungen in den Satz der beschreibenden Gleichungen eingefhrt werden. Von besonderem Interesse, speziell bei Systemen mit
St
en, sind die einseitigen Bindungen, die whrend der zeitlichen Evolution aktiv
oder passiv werden k
nnen. Typische Bindungen dieser Art sind das Aufsetzen und
Wiederabheben von K
rpern aufeinander und der bergang von Haften zu Gleiten
und umgekehrt bei untereinander im Kontakt bendlichen K
rpern. Diesen einseitigen Bindungen ist die Eigenschaft gemeinsam, da ihr Aktivwerden durch einen
kinematischen Indikator (verschwindender Abstand oder Relativgeschwindigkeit der
K
rper) und das Passivwerden durch einen dynamischen Indikator (Kontaktkraft
verschwindet, Reibkraftreserve aufgebraucht) angezeigt wird.
Derartige Systeme mit zeitvarianter Topologie ndern die Zahl ihrer Freiheitsgrade
in Abhngigkeit von ihrem Zustand. Durch Einfhrung eines Bindungsformalismus
auf der Basis von Nebenbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren ist es m
glich,
alle m
glichen Bindungskongurationen auf der Basis des gleichen Satzes von generalisierten Koordinaten darzustellen.
Voraussetzung ist die geometrische Beschreibung aller m
glichen Kontaktpunkte
im System. Das Vorgehen ist in 22] ausfhrlich erlutert, hier soll nur ein kurzer
Abri gegeben werden. In Bild 2.1 sind zwei K
rper dargestellt, die in Kontakt treten
k
nnen. Auf beiden K
rpern sind an den Punkten, die durch den minimalen Abstand
gekennzeichnet sind, konturbegleitende Koordinatensysteme angebracht. Die Lage
und Orientierung der K
rper zueinander ist von den generalisierten Koordinaten q
und der Zeit t abhngig. Die Lage der normalen und tangentialen Einheitsvektoren
n1, n2, t1 und t2, sowie die Orte auf den Konturen s1 und s2 und somit auch der
Abstand rD lassen sich damit als Funktionen der Koordinaten q und der Zeit t
angeben.
2.2 Hilfsmittel aus der Theorie der Mehrkrpersysteme
11
t1
s2
n1
s1
n2
rD
t2
Körper 1
Körper 2
Bild 2.1: Kontaktkinematik zweier K
rper
Fr die Beschreibung des Kontaktzustandes werden ein normaler und ein tangentialer Lageindikator gN und gT ben
tigt
gN (q t) = rDT (q t)n2(q t)
gT (q t) = ;(s1 (q t) + s2(q t))
(2.2)
(2.3)
die sich mit den Geometriegr
en darstellen lassen. gN ist der skalare Abstand, der
beim Eindringen der K
rper ineinander negativ wird und sich somit als Bindungsindikator gut eignet. Der tangentiale Abstand gT hat keine anschauliche Bedeutung.
Wichtig fr die Beschreibung der Kontaktkinematik sind die Relativgeschwindigkeiten und -beschleunigungen, die sich fr jede Bindung durch ein- beziehungsweise
zweimalige Dierentiation aus (2.2) und (2.3) gewinnen lassen:
wNT q_ + w~N
(2.4)
T
wT q_ + w~T
(2.5)
T
wN q + wN
(2.6)
T
wT q + wT
(2.7)
Die Vektoren wN und wT dienen dazu, die Bewegungen der K
rper in die Kontakg_ N
g_ T
gN
gT
=
=
=
=
trichtungen zu projizieren. Die w~- und w-Terme enthalten nichtlineare Anteile und
explizite Zeitabhngigkeiten der Bindungen, die zum Beispiel dann entstehen, wenn
einer der K
rper Kontakt zur zeitvariabel bewegten Umgebung bekommt.
Ist ein ganzer Satz von Bindungen zu betrachten, fat man diese Gleichungen zu
Vektoren und Matrizen zusammen und erhlt zum Beispiel fr eine Menge geschlossener Normalbindungen die Gleichung
g_ N = WNT q_ + w~ N (2.8)
12
2 Modellierung von Sten
wobei die Vektoren wN zur Matrix WN zusammengefat werden.
Sind Bindungen im System aktiv, mssen die Einschrnkungen in der Beweglichkeit
mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren in die Bewegungsgleichung des ungebundenen Systems eingefgt werden. Unter der Annahme, da alle Bindungen momentan
haften, das heit, da die Bindungen in normaler und tangentialer Richtung aktiv
sind, lautet die Bewegungsgleichung mit den zugeh
rigen Bindungsgleichungen fr
ein derartiges System:
M q
gN
gT
h + WN N + WT T
(2.9)
T
WN q + w N = 0
(2.10)
T
WT q + w T = 0
(2.11)
Die Vektoren N und T sind die Lagrange-Multiplikatoren, mit denen die Einhaltung der Zwangsbedingungen erreicht werden kann. Verwendet man zur Formulierung der W -Matrizen, wie in Abschnitt 2.2.2 erlutert, Einheitsvektoren, sind die
=
=
=
Werte der die tatschlich im System wirkenden Zwangskrfte in den Bindungen.
Die Bewegungsgleichung (2.9) und die Nebenbedingungen (2.10) und (2.11) sind
in dieser Konguration nur gltig, solange keine Bindungsbergnge auftreten, die
durch das berschreiten kinematischer oder dynamischer Indikatoren angezeigt werden. Danach mu das Gleichungssystem mit dem vernderten Bindungszustand angepaten W und w neu aufgebaut werden.
Ein wichtiger Zustandsbergang, der whrend der zeitlichen Systementwicklung auftreten kann, ist der Sto. Er tritt dann auf, wenn gem der Denition in 2.1 fr
den Abstandsindikator der Bindung i gNi = 0 eintritt und gleichzeitig g_ Ni < 0 gilt.
Das bedeutet, da zwei K
rper an der Bindung i ineinander eindringen wollen, was
durch das Ereignis eines Stoes verhindert wird. Zur Berechnung des Stoes sind alle
zu diesem Zeitpunkt geschlossenen Kontakte sowie der neu hinzugekommene in der
Berechnung des Stoprozesses zu bercksichtigen. Die mathematische Behandlung
dieses Ereignisses kann auf verschiedene Arten erfolgen, von denen einige in den
folgenden Abschnitten vorgestellt werden.
2.3 Klassi
kation von Sten
In Lehrbchern werden St
e in verschiedene Klassen eingeteilt. Die blichen Kriterien sind durch die Kombination der Stopartner sowie deren Oberchenbeschaffenheit gegeben und lauten rauhglatt, schiefgerade, zentrischexzentrisch sowie
die Reihe plastischteilelastischelastisch.
Das erste Kriterium macht eine Aussage ber die Reibverhltnisse im Stokontakt
und ist von der Art der Modellierung v
llig unabhngig.
Ein Sto ist gerade, wenn zu Beginn des Stoes zwischen den K
rpern keine tangentiale Relativgeschwindigkeit vorhanden ist, ansonsten ist er schief. Dieses Kriterium
setzt jedoch bereits ein Starrk
rpermodell mit Reduktion der Kontaktzone auf einen
2.4 Abschtzen von Stozeiten
13
Punkt voraus. Ein elastischer K
rper kann durchaus verschiedene Geschwindigkeiten
an unterschiedlichen Stellen der Kontaktzone haben.
Die verbleibenden Kriterien lassen sich nur sinnvoll bei St
en angeben, die mit einem Starrk
rper-Impulsmodell beschrieben werden. Bewegen sich die K
rper whrend des Stoes weiter, ist die kinematische Beschreibung zentrischexzentrisch zumeist nur zu einem Zeitpunkt whrend des Kontaktverlaufes erfllt. Ob ein Sto
plastisch oder elastisch ist, kann bei elastischen K
rpern von vielen Parametern, die
nicht nur an der Stokontaktstelle begrndet sind, abhngen.
Daraus folgt, da eine richtige Stoklassikation nur bei impulsmodellierten St
en
m
glich ist. Dabei sind ber die bisher genannten Unterscheidungen hinaus noch
weitere Unterteilungen der Stoklassen m
glich. Aus diesem Grund wird im Abschnitt 3.8 eine ausfhrliche Klassizierung von St
en vorgestellt.
2.4 Abschtzen von Stozeiten
Fr die Entscheidung, welches Stomodell fr ein spezielles Stoproblem geeignet ist,
spielen die Stozeit und die maximal auftretende Kraftspitze eine wesentliche Rolle.
Diese lassen sich bei komplexen Stokongurationen exakt nur aus einer Zeitsimulation mit stetiger Kontaktmodellierung ermitteln# fr die Stogesetzentscheidung
reicht jedoch eine grobe Einordnung aus. Die Eekte von Kopplungen der St
e
sowie die Reibung und Dmpfung werden dabei vernachlssigt.
Voraussetzung fr diese Berechnung ist ein Gesetz, das die Kontaktkraft F in Abhngigkeit vom Eindringen gN der K
rper an der Kontaktstelle angibt. Hier ist
entweder ein lineares Gesetz, die Kontaktgesetze nach Hertz oder eine aufwendigere
Kontaktmodellierung denkbar. Stellt man die Eindringgeschwindigkeit mit
g_ N = wT q + w~
(2.12)
F = C (;gN )3=2
(2.13)
dar, lt sich die wirkende Masse in Stonormalenrichtung mit m = (wT M ;1 w);1
berechnen. Ausfhrliche Erluterungen zu dieser Annahme nden sich in Abschnitt
3.5.1. Im folgenden werden jeweils die allgemeinen Formeln und die Spezialisierung
auf das Hertz'sche Gesetz
angegeben. Die Konstante C ergibt sich aus der tatschlichen Kontaktgeometrie und
den Elastizittseigenschaften der beteiligten K
rper. Die Stodauer ist von der Auftregeschwindigkeit g_ NA abhngig. Bei einer Abschtzung mu eine mittlere typische
Geschwindigkeit gewhlt werden.
Der Verlauf der Eindringgeschwindigkeit bis zum Stillstand lt allgemein mit
v
u
ZgN
u
2
u
2
g_ N (gN ) = tg_ NA ; m F (gN ) dgN
0
(2.14)
14
2 Modellierung von Sten
darstellen und lautet im Fall der Hertz'schen Pressung
s
5
2 ; 4C (;g ) 2 :
g_ N (gN ) = g_ NA
5m N
(2.15)
Das maximale Eindringen wird bei g_ N (gNmax) = 0 erreicht, was sich im Fall des
Hertz'schen Kontaktgesetzes analytisch zu
5m 25
2
gNmax = ; 4C g_ NA
(2.16)
au
sen lt. Die maximale Kontaktkraft kann mit anderen Krften im System
verglichen werden und bei der Entscheidung wichtig sein, ob im Kontaktpunkt plastische Verformungen oder Schdigungen auftreten. Man kann sie mit
5m 35
2
Fmax = F (gNmax) Fmax = C 4C g_ NA
(2.17)
abschtzen. Die Kontaktzeit kann man als die doppelte Eindringzeit mit dem Integral
T =2
gNmax
Z
0
dgN
g_ N (gN )
(2.18)
nherungsweise berechnen, welches jedoch beim Einsetzen des Hertz'schen Geschwindigkeisgesetzes (2.15) nicht analytisch l
sbar ist. Eine Approximation fr dieses Integral, bei der mit einem linearen Federgesetz gerechnet wird, das die gleiche
Eindringtiefe wie die Hertz'sche Formel bei gleichen Stobedingungen liefert, lautet:
T = gNmax
(2.19)
g_ NA
Man kann nun die auftretenden Kontaktkrfte mit den sonst im System wirkenden
Krften vergleichen und ebenso berechnen, ob sich in dem Intervall der Stozeit
Verschiebungen ergeben, die eine Annahme konstanter Lagen whrend des Stoes
sttzen oder zu Fall bringen. Ebenso kann die Kontaktzeit mit Wellenlaufzeiten
verglichen werden. Diese Vergleiche bilden die wesentlichen Anhaltspunkte fr die
Auswahl des fr eine Modellierungsaufgabe angemessenen Stogesetzes.
Ein weiteres Ergebnis der Hertz'schen Formeln sind die Gr
e der Abplattungsellipse
sowie festigkeitsrelevante Spannungen.
In der Tabelle 2.1 sind die Berechnungen der elementaren Stogr
en fr zwei Wurfk
rper, welche bei Wurfversuchen verwendet wurden, aufgelistet. Die normale und
die tangentiale Relativgeschwindigkeit vor dem Sto wurde in Anlehnung an die
bei den Versuchen verwendeten Geschwindigkeiten mit 4 m/s gewhlt.
2.5 Impulsmodelle fr Starrkrper
15
Tabelle 2.1: Vergleich der Kontaktparameter gem der Hertz'-
schen Kontaktgesetze fr einen Gummi- und einen Stahlwurfk
rper
Parameter
Einheit Stahl-Wurfk. Gummi-Wurfk.
Masse
g
142
60
Ersatzdurchmesser DI , DII mm
60
60
2:8 102 b
E-Modul
N/mm2 2 2:1 105 a
C , gem (2.13)
Nm 3
2:66 1010
3:33 107
Kontaktabplattung
mm
0.10
1.05
28000
1140
Maximale Kontaktkraft
N
Maximale Beschleunigung
m/s2
195000
19000
Kontaktzeit
ms
0.15
1.5
Kontaktchendurchmesser mm
3.4
10.9
Schwerpunktbewegung
mm
0.6
6
a Kontakt Stahl-Stahl
b E-Modul des Kontaktpartners ist vernachlssigbar. Eeff
= 2EGummi
Besonderes Augenmerk im Hinblick auf die Auswahl des geeigneten Stogesetzes
mu auf die Kontaktkrfte und die Kontaktzeit gerichtet werden. Die Kontaktkrfte
sind sehr gro im Vergleich zu den sonst im System auftretenden Krften. Besonders deutlich wird dieser Unterschied bei einem frei iegenden K
rper, wenn man
die Kontaktkraft in eine Beschleunigung umrechnet und diese mit der Erdbeschleunigung als einzige uere Wirkung vergleicht.
Die Kontaktzeit ist fr sich genommen eine aussagelose Gr
e. Eine verwertbare
Bedeutung gewinnt sie dadurch, da man sie mit einer typischen Geschwindigkeit
in Beziehung setzt, um die Verschiebung des K
rpers whrend des Kontaktes zu
ermitteln. Der Stahl-Wurfk
rper bewegt sich bei einer Tangentialgeschwindigkeit von
4 m/s whrend der Kontaktzeit um 0.6 mm weiter, der Gummik
rper um 6 mm. In
wieweit hier eine Modellierung auf Impulsebene noch zulssig ist, soll im Abschnitt
6.2 geklrt werden.
Die Gr
e des abgeplatteten Bereichs ist von Interesse, wenn man dreidimensionale
St
e betrachtet und die Gr
e der bertragbaren Momente, die aus Bohrreibung
resultieren, abschtzen m
chte (siehe dazu 39]).
2.5 Impulsmodelle fr Starrkrper
Tritt whrend der Bewegung eines Mehrk
rpersystems ein Sto auf, k
nnen sich
die Geschwindigkeiten der betroenen K
rper sprunghaft ndern. Dieser Begri
ist nicht exakt und deshalb interpretationsbedrftig. Selbstverstndlich geschehen
alle Bewegungsvorgnge in einer fr technische Mehrk
rpersysteme blichen Gr
enordnung stetig. Stoartige Bewegungsvorgnge stellen dabei keine prinzipielle
16
2 Modellierung von Sten
Ausnahme dar.
Bei vielen technisch relevanten Systemen treten jedoch hug groe Unterschiede in
den Zeit- und Kraftskalen auf: die whrend eines Stoes in den kollidierenden K
rpern auftretenden Krfte und Beschleunigungen sind um mehrere Gr
enordnungen
gr
er als die, die sonst im System auftreten. Die Stodauer ist so kurz, da die regulren Bewegungen der K
rper whrend der Dauer des Stoes vernachlssigbar
klein sein k
nnen. Eine Methode zur Abschtzung dieser Gr
en wird in Abschnitt
2.4 dargestellt.
Ist der Gr
enordnungsunterschied gro genug, was eine Ermessensentscheidung
fr den Modellierer ist, kann man in einem Grenzbergang die Stodauer verschwinden und die Stokontaktkrfte gegen unendlich gehen lassen. Die Integrale der Stokrfte ber die Stozeit werden Stoimpulse genannt und bleiben endlich. Die aus
den unendlichen Stokrften resultierenden Beschleunigungen fhren zu einer endlichen aber unstetigen "nderung der Geschwindigkeiten. Die Lagen der K
rper bleiben whrend des Stoes konstant. Die Bewegungsgleichung fr das stoende System
lautet
M q ; h ; WN N ; WT T = 0
(2.20)
wobei in WN und WT alle zum Stozeitpunkt geschlossenen Bindungen haftend
oder gleitend enthalten sind. Man integriert diese Gleichung ber ein oder mehrere
Zeitintervalle whrend des Stoes und lt den Abstand dieser Zeitpunkte in einem
Grenzproze verschwinden. Die Bewegungsgleichung wird dadurch zu einer diskreten
Impuls- und Drallbilanz:
Zt2
M q ; h ; WN N ; WT T dt =
t
M (q_2 ; q_1) ; WN N12 ; WT T12 = 0
(2.21)
Der Vektor h verschwindet bei diesem Grenzbergang, da er keine Elemente enthlt,
die unendlich gro werden k
nnen. q_1 und q_2 sind die generalisierten Geschwindigkeiten zu Beginn und am Ende des Intervalls und 12 die Stoimpulse, die in den
Bindungen whrend des Intervalls wirken. Da die Lagen unverndert bleiben, sind
auch die Matrizen M und W konstant.
lim
t1 !t2
1
Die Zeitpunkte t1 und t2 in der Gleichung (2.21) sind beliebig. Bei der Verwendung
des Newton-Stogesetzes fhrt man die Integration ber den gesamten Sto aus. Das
Poisson-Gesetz teilt den Sto in eine Kompressionsphase und eine Expansionsphase
auf. Aus diesem Grund ist es erforderlich, die Integration zweimal auszufhren: Vom
Beginn des Stoes t1 = tA bis zum Ende der Kompressionsphase t2 = tC und vom
Ende der Kompressionsphase t1 = tC zum Ende des Stoes t2 = tE .
Die Kinematikgleichungen (2.4) und (2.5) k
nnen zu jedem dieser Zeitpunkte auf
Geschwindigkeitsebene ausgewertet werden und ergeben die Relativgeschwindigkeiten in den Kontakten whrend den jeweiligen Phasen. Die Wahl der Werte fr ergibt sich aus der Anwendung eines speziellen Stogesetzes.
2.6 Zeitlich und rtlich kontinuierliche Starrkrpermodelle
17
Im folgenden wird noch einmal zusammengestellt, welche Voraussetzungen erfllt
sein mssen, damit die Formulierung der Stogleichungen auf Impulsebene zulssig
ist:
Die Stodauer ist so kurz, da die sonstigen Bewegungen im System in dieser
Zeit so klein sind, da sie vernachlssigt werden k
nnen. Daraus folgt:
Die K
rper sind entweder starr oder so steif, da ihre Verformungen vernachlssigt werden k
nnen.
Alle Lagen bleiben konstant.
Die Normal- und Tangentialrichtungen bleiben in jedem Stokontakt konstant.
Alle anderen Krfte im System sind so klein, da sie gegenber den Stokrften vernachlssigt werden k
nnen. Treten Krfte der Gr
enordnung der
Kraftspitzen in den Kontakten auch an vom Sto unabhngigen Stellen auf,
kann diese Annahme zu Fehlern fhren. (Beispiel dazu siehe in Abschnitt 4.5)
Sind bei einem Stoereignis mehrere einseiteige Kontakte betroen, mssen
die Stophasen in allen Kontakten gleichzeitig beginnen und enden.
Der Sto mu so lange dauern, da die Schockwelle, die in jedem physikalischen
K
rper bei einem Sto entsteht, Zeit hat, sich in den gesamten K
rper auszubreiten und so zu dispergieren, da wieder eine Starrk
rperbewegung entsteht
(siehe Abschnitt 2.8).
Ist die Bedingung der Krze des Stoes oder der Gleichzeitigkeit der Phasen nicht
erfllt, kann eine Stomodellierung mit Zeitskalierung weiterhelfen. Spielen Welleneekte eine Rolle, mu eine Modellierung gewhlt werden, bei der in einzelnen
K
rpern auch die Wellenausbreitung bercksichtigt wird.
Wesentlicher Gegenstand dieser Arbeit ist die Ausformulierung eines detaillierten
Stogesetzes auf Impulsebene, welches in Kapitel 3 dargestellt wird.
2.6 Zeitlich und rtlich kontinuierliche Starrkrpermodelle
Zeitskalierte Modelle k
nnen immer zur Modellierung von St
en eingesetzt werden,
haben aber eine Reihe von Nachteilen: Die entstehenden Gleichungen mssen, bis
auf triviale Ausnahmen, immer numerisch gel
st, das heit numerisch integriert werden. Dies fhrt zu erheblich h
heren Rechenzeiten als bei einem direkten bergang
vom Anfangs- zum Endzustand mit wenigen Gleichungen. Es gibt aber Stokongurationen, bei denen eine L
sung auf Impulsbilanzebene zu Fehlern fhrt, so da
eine zeitskalierte Berechnung erforderlich ist:
18
2 Modellierung von Sten
1. Die Stodauer ist zwar so kurz, da die Annahme der konstanten Lagen noch
zulssig ist, die Gleichzeitigkeit der Phasen ist aber durch komplizierte HaftGleitbergnge oder stark unterschiedliche Steigkeiten in den Kontakten
nicht mehr gewhrleistet.
2. Der Sto dauert so lange, da die Verschiebungen der K
rper whrend des
Stoes nicht mehr vernachlssigt werden k
nnen.
Werden nicht nur die Bewegungsnderungen der beteiligten K
rper durch den Sto,
sondern zum Beispiel fr eine Festigkeitsaussage auch die Werte der auftretenden Kraftspitzen ben
tigt, ist immer eine zeitskalierte Simulation mit korrekten
Kontaktpunktsteigkeiten erforderlich.
Liegt eine Situation nach 2. vor, ist kein besonderer Formalismus zur Bindungserkennung und Umschaltung erforderlich: Man lt die K
rper ineinander eindringen
und berechnet die Kontaktkraft mittels eines Kraftgesetzes. Ein so modelliertes System verliert durch Normalkontakte keine Freiheitsgrade mehr, die Kontaktgesetze
werden als geknickte Kraftkennlinien formuliert. Derartige Formalismen sind zum
Beispiel beim Hmmern in Zahnradgetrieben zum Einsatz gekommen 66]. Ein Problem bei diesen Kontaktgesetzen besteht darin, die Dmpfung ohne kinematische
Unvertrglichkeiten einzubauen. In 20] sind die auftretenden Eekte verschiedenerer Dmpfungsmodelle erlutert.
Ist in einem stoenden System davon auszugehen, da die Lagen der K
rper whrend
des Stoes unverndert bleiben, sollen aber andererseits die Zustandsbergnge in
den Kontakten genauer untersucht werden, kann man eine hybride Stoformulierung
verwenden, welche die Vorteile konstanter Systemlagen mit einer feinen zeitlichen
Au
sung verknpft. Dazu wird ein Mehrk
rpersystem betrachtet, bei dem n Bindungen an einem stoenden Kontaktereignis teilnehmen. Die Relativverschiebungen,
-geschwindigkeiten und -beschleunigungen lassen sich mit den Beziehungen (2.2) bis
(2.7) berechnen. Auf Bild 2.2 ist ein Beispielsystem mit zwei aktiven Kontakten
dargestellt.
Die Kontakte sollen durch diskrete Kraftelemente modelliert werden. Abweichend
zu vielen vorgestellten Beispielen solcher Modelle (z.B. 40]) soll hier nicht nur ein
rein viskoelastisches Kraftelement verwendet, sondern auch eine kleine Zusatzmasse
eingefhrt werden. Bei der Modellierung eines kontinuierlichen elastischen K
rpers
durch diskrete Massen und Federn ist es eine willkrliche Manahme, ob man diese
Diskretisierung beim uersten Element mit einer Feder oder einer Masse beginnt.
Diese Zusatzmasse berhrt beim Kontakt den zweiten K
rper und fhrt dort einen
plastischen Sto aus.
Die Zusatzmasse soll klein gewhlt werden, die untere Schranke fr die Wahl stellt die
numerische Behandelbarkeit des Problems dar. Zu groe Massen k
nnen Eekte in
das System einbringen, die nicht korrekt sind. In jedem Fall ist es sinnvoll, die Gr
en
der Zusatzmassen in einem geeigneten Verhltnis zu den in den Kontaktrichtungen
wirkenden Massen zu whlen. Die normale und tangentiale Zusatzmasse fr den
Kontakt i kann durchaus unterschiedlich sein. Eine Faustformel zur Berechnung der
2.6 Zeitlich und rtlich kontinuierliche Starrkrpermodelle
19
=
Bindung 2
MKS
xN
xT
mz
FT
Bindung 1
gT
FN g
N
Bild 2.2: Hybrid modellierter Sto eines MKS
Zusatzmassen lautet
;1
mzNi = f WNT M ;1WN
;1
mzTi = f WTT M ;1WT (2.22)
(2.23)
wobei sich der Faktor f 1=100 als gnstig erwiesen hat. Die Verschiebungen der
Zusatzmassen werden durch die zwei Koordinaten xNi und xTi in Normal- und
Tangentialrichtung beschrieben.
Zwischen der Zusatzmasse und der Ankoppelungsstelle an das MKS wirkt ein Kraftelement, das eine Normalkomponente FNi und eine Tangentialkomponente FTi besitzt, die sich als Funktionen der Dierenzen von gNi ; xNi, gTi ; xTi, g_ Ni ; x_ Ni
und g_ Ti ; x_ Ti ausdrcken lassen. Zur Normalkomponente kann noch eine konstante Vorspannung FN 0i addiert werden. In der Regel wird man bei der Wahl der
Kraftgesetze die Normal- und Tangentialeekte entkoppeln. Es k
nnen hier lineare
Feder-Dmpferpaare, Hertz'sche Kontaktgesetze oder andere geeignete Kraftgesetze
gewhlt werden.
Die Bewegungsgleichungen fr die neuen Freiheitsgrade der Zusatzmassen lauten
mzNi xNi = ;FNi + Ni
mzTi xTi = ;FTi + Ti
(2.24)
(2.25)
wobei in den Krften Ni und Ti die normalen und tangentialen Zwangskrfte
an den Kontakten der Zusatzmassen bercksichtigt sind. Zur Berechnung dieser
Gr
en mssen die Kontaktgesetze klassischer Reibbindungen verwendet werden.
20
2 Modellierung von Sten
Tabelle 2.2: Wahl der Anfangsbedingungen fr die hybride Sto-
simulation
Typ
neue Bindung
alte Bindung
Zustand
undeniert
haftet
gleitet
gNA = 0
gNA = 0
gNA = 0
bekannte
g_ NA < 0
g_ NA = 0
g_ NA = 0
Gr
en
g_ TA = vrel
g_ TA = 0
g_ TA = vrel
N = 0
N > 0
N > 0
T = 0
T 6= 0
T 6= 0
xN 0 = 0
xN 0 = 0
xN 0 = 0
Anfangsx_ N 0 = g_ NA
x_ N 0 = 0
x_ N 0 = 0
bedingungen
xT 0 = 0
FT (xT 0 : : :) = T FT (xT 0 : : :) = T
x_ T 0 = vrel
x_ T 0 = 0
x_ T 0 = vrel
FN 0 = 0
FN 0 = N
FN 0 = N
Jede Zusatzmasse kann sich in den Zustnden Haften und Gleiten benden oder
aber auch abheben.
Die Bewegungsgleichung des MKS unter der Annahme konstanter Lagen lautet
M q = WN FN + WT FT + h0
(2.26)
wobei h0 der Vektor aller Krfte zum Zeitpunkt des Ereigniseintritts ist, der im
Lauf der hybriden Stobehandlung als konstant angenommen werden soll. Diese
Gleichung wird in den Raum der Bindungsrichtungen projiziert und lautet dann:
g = W
T
M ;1 W
FN ! + W T M ;1h0
FT
(2.27)
Bei den betrachteten Bindungen mu zwischen zwei Gruppen unterschieden werden:
1. die Bindungen, die bereits zu Stobeginn geschlossen waren
2. die Bindungen, die durch den Sto geschlossen wurden
Ziel der hybriden Stosimulation ist es, auch die Eekte zu bercksichtigen, die
in den Bindungen unabhngig vom Sto auftreten, den Ablauf des Stoes aber
beeinussen k
nnen. Dementsprechend mssen die Anfangsbedingungen der xKoordinaten so gesetzt werden, da der vor dem Sto herrschende Bindungszustand
richtig erfat wird. In Tabelle 2.2 ist dabei die Wahl der Anfangsbedingungen fr
die einzelnen Stokontakte aufgelistet.
Man fat nun den Vektor g und die Freiheitsgrade der Zusatzmassen zum Vektor y
zusammen und erhlt damit
E
!
0
y =
0 diag(mzi)
W
T
M ;1W
;E
!
0
! B W T M ;1h0
FN + B N
FT @
T
1
CC
A (2.28)
2.6 Zeitlich und rtlich kontinuierliche Starrkrpermodelle
21
als Bewegungsgleichung fr die hybride Stoberechnung. Als Nebenbedingungen zur
Auswertung der stehen die Kontaktbedingungen der Zusatzmassen zur Verfgung.
Das Gleichungssystem kann mit einem Standardintegrationsverfahren fr Systeme
mit einseitigen Reibbindungen behandelt werden, wie es zum Beispiel in 90] beschrieben ist. Zustzlich mssen die Krfte FNi und FTi und h0 ber den Verlauf
integriert werden.
Gilt fr eine Bindung whrend der Simulation FNi < 0, das heit die Zusatzmasse
der Bindung i hebt ab, scheidet sie aus der Simulation aus. Die hybride Stoberechnung endet dann, wenn sich alle neu hinzugekommenen Bindungen wieder ge
net
sind. Tritt dieser Fall nicht ein, ist eine hybride Modellierung in der vorgestellten
Form nicht m
glich.
Will man keine tangentialreversiblen Eekte bercksichtigen und reine Reibst
e
berechnen, kann man auf die tangentialen Massen verzichten. Man streicht in Gleichung (2.28) die unteren Zeilen und ersetzt den Vektor FT durch den Vektor T .
Das ist auch fr einzelne Bindungen m
glich.
Kommt die Simulation zu einem erfolgreichen Abschlu, stehen die generalisierten
Geschwindigkeiten q_E noch nicht zur Verfgung. Ziel der hybriden Stoberechnung
war nur, die Kraftverlufe in allen Bindungen zeitskaliert abzubilden. Dies ist im
Rahmen der Simulation geschehen und die Wirkungen dieser Krfte stehen durch
ihre simultan gebildeten Integrale zur Verfgung. Damit kann dann mit einem Impulssto der Zustand nach dem Sto berechnet werden:
q_E
= M ;1
R
! Z
!
F
dt
N
W R F dt + h0 dt + q_A
T
(2.29)
Danach kann mit der normalen Zeitsimulation des Systems fortgefahren werden. Hier
seien noch einmal die Eigenschaften des hybriden Stomodells zusammengefat:
Der Sto wird zeitlich aufgel
st.
Es wird ein System integriert, das die Dimension 4Anzahl der Stokontakte
besitzt.
Komplexe Zustandsbergnge k
nnen abgebildet werden.
Die gleiche Zeitdauer der Stophasen in allen Kontakten ist keine Voraussetzung fr diese Modellierungsform.
Unterschiedliche Kontaktsteigkeiten k
nnen problemlos modelliert werden.
Die Stosimulation kann mit dem gleichen MKS-Algorithmus wie das gesamte
einseitig gebundene System berechnet werden, wobei lediglich die Massenmatrix und die Bindungsmatrizen andere Gestalt haben. Es treten keine inneren
Variablen auf.
Der Stobergang im gesamten MKS ndet nur in einer Impulsgleichung statt.
22
2 Modellierung von Sten
Die Wirkung groer Normalkrfte, die nicht aus Stokrften resultieren, bleibt
whrend des Stoes erhalten.
In Abschnitt 4.5 wird ein ausfhrliches Beispiel zu einer Stomodellierung mit dieser
Methode gezeigt.
2.7 Sonderfall elastische Krper
Kollidieren zwei K
rper, von denen mindestens einer elastisch modelliert ist, ist das
in der Natur ein sowohl rtlich wie zeitlich stetiger Vorgang ohne das Auftreten von
impulsartigen Krften und damit eigentlich kein Sto. Es ist lediglich eine endliche
Kontaktkraft oder chenhaft verteilte Pressung erforderlich, um die Materiepunkte
der K
rper am gegenseitigen Eindringen zu hindern.
Bei einer Modellierung von elastischen K
rpern mit einer endlichen Zahl von lokalen oder globalen Ansatzfunktionen entstehen immer endliche lokale oder modale
Massen. Deshalb wird ein Stoimpuls ben
tigt, um eine Abbremsung eines Kontaktpunktes auf die Geschwindigkeit des Kontaktpartners vorzunehmen. Dieser Impuls
wird mit einer steigenden Zahl von Ansatzfunktionen immer geringer, bis er im
Grenzfall ganz verschwindet.
Nach Aufbringen dieses Impulses bleibt der Kontakt an einer Stelle der Kontaktzone geschlossen. Die weitere Kontaktentwicklung kann nun im Rahmen der normalen
Zeitsimulation des Verhaltens des elastischen K
rpers erfolgen. Da der Stoimpuls
nicht ausreicht, um den gesamten K
rper abzubremsen, wird er sich in der Summe aller seiner Elemente zunchst weiter in Kontaktrichtung bewegen und durch
die Kontaktzwangsbedingung komprimiert. Dabei kommen gegebenenfalls weitere
Punkte in Kontakt oder die Kontaktzone vergr
ert sich stetig. Reichen die inneren
elastischen Krfte aus, um die Bewegungsumkehrung einzuleiten, werden sich die
Massenelmente zunehmend vom Kontaktpunkt wegbewegen, bis auch die Kontaktpunkte impulsfrei in Separation bergehen. Damit ist der Sto beendet.
Dies sei an einem Beispiel erlutert. Ein elastischer K
rper K , wie in Bild 2.3 dargestellt, wird mit Hilfe eines Zeit-Ort-Separationsansatzes behandelt. Die Auslenkung
u(x t) = wT (x) q(t)
(2.30)
an jedem Ort x zur Zeit t wird durch die Ortsansatzfunktionen (Verschiebungsfelder) w(x) und durch die Zeitverlufe q(t) dieser Auslenkungen beschrieben. Die
Massenmatrix des elastischen K
rpers ist M und die Bewegungsgleichung lautet:
M q = h.
Zum Zeitpunkt tA berhrt der Punkt P die inertiale Umgebung mit der nicht verschwindenden Relativgeschwindigkeit
g_ NA = wNT (P ) q_A
(2.31)
2.7 Sonderfall elastische Krper
23
K
T
u(x) = w(x) ·q(t)
n
T
P
gN= wN(P) ·q(t)
Bild 2.3: Sto eines elastischen K
rpers
wobei wN (P ) die in Stonormalenrichtung projizierten Ansatzfunktionen im Punkt
P enthlt. Im Kontakt gilt
gNA = wNT (P ) qA = 0.
(2.32)
Der skalare Impuls , der ben
tigt wird, um an der Kontaktstelle die Bindungserfordernisse zu erfllen, lt sich mit der Gleichung
g_ NA
(2.33)
= ; wT (P )M
;1 wN (P )
N
berechnen. Der Nenner dieser Gleichung wird fr eine steigende Anzahl von Ansatzfunktionen immer gr
er und damit immer kleiner.
Der Kontaktkompatibilittssto
q_C = M ;1wN (P ) + q_A
(2.34)
fhrt die generalisierten Geschwindigkeiten q_C auf eine Kombination, die mit dem
neuen Bindungszustand kompatibel ist. Strenggenommen ndet hier ein plastischer
Sto statt, der mit Energiedissipation verbunden ist, die jedoch umso geringer ausfllt, je mehr Ansatzfunktionen verwendet werden. Das Verwenden eines elastischen
Stoes an dieser Stelle ist sehr unzweckmig: Zwar bleibt die Energie des Gesamtk
rpers erhalten, andererseits ndet am Stokontakt ein sofortiges Wiederabheben
statt: Da der bertragene Impuls nicht ausreicht, um die Bewegung des K
rpers umzukehren, wird der K
rper kurze Zeit spter wieder zu einem neuen Sto in Kontakt
kommen und erneut abheben. Der gesamte Kontakt besteht aus einer Folge von immer schneller abfolgenden St
en, was einerseits physikalisch keinen Sinn ergibt und
andererseits jeglichen Versuch einer numerischen Integration scheitern lt. Dieser
bouncing ball-Eekt ist in 20] ausfhrlich beschrieben und wird dort dadurch unterbunden, da ab der Unterschreitung einer minimalen Stokontaktgeschwindigkeit
ein plastischer Sto postuliert wird.
24
2 Modellierung von Sten
Fr die weitere Systemsimulation mu nun der geschlossene Kontakt als Bindung im
System bercksichtigt werden. Die Bewegungsgleichung wird mit einer Zwangskraft
(Kontaktkraft) erweitert und die Nebenbedingung mu, aus Grnden der einfacheren numerischen Integrierbarkeit, auf Beschleunigungsebene hinzugenommen
werden:
M q
gN
=
=
h + wN (P )
wNT (P )q
(2.35)
(2.36)
Sobald die Kontaktkraft kleiner als null wird, ndet am Kontaktpunkt Abheben
statt, und die Bindung wird aufgel
st.
Erfolgt die Modellierung des elastischen K
rpers mit Hilfe lokaler Ansatzfunktionen
(FEM), kann es sein, da whrend eines Kontaktvorganges in der Abbremsphase des
K
rpers stndig neue Knoten des FE-Gitters mit dem Stopartner in Kontakt kommen. Dann mu der Kontaktstoformalismus bei jedem Knotenkontakt wiederholt
werden und danach in die Liste der Nebenbedingungen aufgenommen werden. Statt
P liegt nun eine Liste von Pi vor und ist durch einen Vektor der Kontaktkrfte
an allen Kontaktknoten zu ersetzen (siehe 35]).
Auf der Basis dieses Normalkontaktmodells lt sich auch die Reibung als Summe von Einzelreibkrften an den Kontaktpunkten formulieren. Selbstverstndlich
mu man dann fr jeden neu hinzukommenden Kontakt einen Kontaktkompatibilittsreibsto ausfhren und whrend der weiteren Zeitintegration die Haft-Gleitbergnge an allen Kontakten bercksichtigen.
Eine Methode, den Kontaktkompatibilittssto ganz zu vermeiden, ist, zustzlich
zu der dem elastischen K
rper innewohnenden Elastizitt, an den Kontaktpunkten lokale Nachgiebigkeiten einzufhren. Die Gr
e dieser Kontaktfedersteigkeiten
kann das Stoverhalten grundstzlich beeinussen, wie im folgenden Abschnitt (2.8)
gezeigt wird.
2.8 Bercksichtigung von Festkrperwellen
Stoen K
rper mit hoher Kontaktsteigkeit zusammen, kann es erforderlich sein,
die Wellenausbreitung in den stoenden K
rpern zu bercksichtigen. Jeder Kontakt
von Festk
rpern lt sich mit letzter Konsequenz physikalisch nur mit Hilfe von
Festk
rperwellen erklren. Die Information, da sich ein wie auch immer geartetes
Kraftereignis an einer Stelle des K
rpers stattgefunden hat, kann sich maximal mit
der K
rperschallgeschwindigkeit zu anderen Stellen des K
rpers hin fortpanzen.
Das physikalische Modell Starrk
rper geht von Informationsgleichzeitigkeit aus
und ist demnach nicht in der Lage irgendwelche Phnomene, die sich in der Zeit
eines Wellendurchlaufes durch den K
rper abspielen, zu beschreiben.
Der bergang zu den technisch blichen Starrk
rpern gelingt dadurch, da die Wellenlaufzeiten in K
rpern sehr gering sind, und die Wellen im Medium so gestreut
2.8 Bercksichtigung von Festkrperwellen
25
und dispergiert werden, da letztendlich jedes K
rperelement einen Teil des bertragenen Impulses erhlt und sich der K
rper nach einer gewissen Zeit wieder wie
ein Starrk
rper bewegt.
Beispiel dafr ist eine Glocke, die im schwerefreien Raum durch einen innitesimal
kurzen Impuls angeschlagen wird. Der Anschlag erfolge so, da der wirkende Impuls
keinen Drall bezglich des Glockenschwerpunktes erzeugt. Die Glocke wird einerseits
zu schwingen beginnen, andererseits mu die mittlere Bewegung aller Massenelemente dem Impulssatz gehorchen. Sind die Schwingungen der Glocke abgeklungen, das
heit es nden keine Relativbewegungen innerhalb der Glocke mehr statt, verhlt
sie sich gem der Denition wie ein Starrk
rper. Es mssen sich demnach alle Elemente der Glocke mit gleicher Geschwindigkeit, die sich aus dem Quotienten des
Stoimpulses und der Gesamtmasse ergibt, fortbewegen.
Sind aufgrund einer hohen Kontaktsteigkeit die Stokontaktzeiten so gering, da
die Welle keine M
glichkeit hat, im K
rper zu dispergieren oder kann die Welle nicht
in einer Weise reektiert werden, da sie die ihr innewohnende Energie wieder an
den Stopunkt zurckbringen kann, wird eine Starrk
rpernherung falsche Resultate
erbringen. Dieser Fall ist zum Beispiel beim zentralen Sto dnner Stbe und beim
Mehrkugelspiel erfllt.
Um zu entscheiden, ob die Ausbreitung von Festk
rperwellen bercksichtigt werden
mu, sind zwei Kriterien zu beachten:
1. Wesentlich ist die Form der beteiligten K
rper: K
nnen die Wellen den K
rper
ungest
rt durch Querschnittsnderungen, Bohrungen und andere Hindernisse
durchlaufen und auch wieder gut reektiert werden, ist mit Einssen durch
Wellen zu rechnen. Stbe die in Stabachsenrichtung gestoen werden und Kugeln erfllen diese Bedingung gut. In unregelmig geformten K
rpern wird
die den Wellen innewohnende Energie durch teilweise Reektion und Streuung
schnell gleichmig im K
rper verteilt und ein starrk
rperhnliches Verhalten
stellt sich ein.
2. Ist die Kontaktzeit, die man durch eine Abschtzung mit einem lokalen elastischen Modell gewinnen kann, so kurz, da in dieser Zeit die Stowelle nur
wenige Male im K
rper hin- und herlaufen kann, ist mit Welleneinfssen zu
rechnen. Voraussetzung ist jedoch, da gem Punkt 1. die Wellen auch nach
einem oder mehreren Durchlufen durch den K
rper noch als lokale Ereignisse
erhalten geblieben sind.
In der Arbeit 79] werden die wesentlichen Eekte wellendominierter St
e untersucht und auch ihre bergangsbereiche zur klassischen Starrk
rper-Stotheorie erfat. Besonders geeignet ist das Beispiel, bei dem zwei Rundstbe unterschiedlicher
Lnge mit uchtenden Achsen aufeinanderstoen. Der erste Stab mit der Masse
m prallt mit der Geschwindigkeit v0 auf den zweiten ruhenden Stab mit doppelter
Lnge und Masse. Zwischen den Stben ist ein Feder-Dmpferpaar angebracht, das
durch Variation der Parameter alle Kontakteigenschaften darstellen kann. In den im
folgenden dargestellten Berechnungen ist diese Steigkeit in einem Bereich variiert,
26
2 Modellierung von Sten
der von einer weichen Zwischenlage ber die Steigkeiten, die bei einem Hertz'schen
Kontakt balliger Stabenden auftreten bis zum perfekten Starrk
rperkontakt reicht.
Berechnet man diesen Sto mit einem klassischen Impulsstogesetz (Newton und
Poisson liefern in diesem Fall die gleichen Ergebnisse) erhlt man
v1 = 13 (1 ; 2")v0
v2 = 13 (1 + ")v0
(2.37)
(2.38)
mit v1 als Geschwindigkeit des zunchst ruhenden K
rpers nach dem Sto und v2
fr den stoenden K
rper. Die Stozahl sei ".
Bei Verwendung des idealen Wellenmodells, wie es in 69] dargestellt wird, spielen
sich in den K
rpern folgende Vorgnge ab (siehe hierzu auch Bild 2.4):
1. Ausgehend von dem Kontaktpunkt laufen zwei Kompressionsfronten durch
die Stbe. Die Punkte im stoenden K
rper die die Welle passiert hat, sind
auf die halbe Geschwindigkeit abgebremst. Die Welle im gestoenen K
rper
beschleunigt jeden Massenpunkt, an dem sie vorbeigelaufen ist, auf die halbe
Stogeschwindigkeit.
2. Die Welle im stoenden K
rper erreicht das freie Ende und wird dort als
Expansionsfront reektiert und luft zurck. Die passierten Bereiche haben die
Geschwindigkeit 0. Im gestoenen K
rper luft weiter eine Kompressionswelle
nach vorne.
3. Die Expansionsfront erreicht den Kontaktpunkt und kann, da dort ein Kompressionsdruck herrscht, in den gestoenen Stab bertreten2 . Der stoende
Stab ist jetzt in Ruhe und die Kontaktstelle spannungsfrei.
4. Die Kompressionsfront im vorderen Stab hatte dessen Ende erreicht und wurde dort reektiert. Nun laufen zwei gegenluge Expansionswellen durch den
gestoenen Stab. Sobald die erste dieser Wellen den Kontaktpunkt erreicht,
tritt endgltig die Separation der K
rper ein, da die Expansionsfront in der
spannungsfreien Kontaktstelle nicht bertragen werden kann.
5. Wird keine Energie im gestoenen Stab dissipiert, laufen in diesem zwei gegenluge Fronten stndig hin und her. Die mittlere Geschwindigkeit aller Massenelemente ist gleich der halben Stogeschwindigkeit. Damit ist die globale
Impulsbilanz erfllt.
Es scheint zunchst ungewhnlich, da eine Zugwelle ber einen rein auf Druck belastbaren
Kontakt hinweglaufen kann. Das ist aber trotzdem sinnvoll. Wenn man annimmt, da eine Zugwelle
nicht bertragen werden kann und sofort Separation der Krper eintritt, luft eine Entlastungswelle von der zuvor unter Spannung stehenden Kontaktstelle in den gestoenen Stab, was mit der
bertragenen Zugwelle identisch ist.
2
2.8 Bercksichtigung von Festkrperwellen
27
Die vom stoenden K
rper eingebrachte kinetische Energie ist vollstndig in den
gestoenen K
rper bergegangen, dort aber zum Teil als potentielle Energie gespeichert. An den Stofronten wird stndig potentielle Energie in kinetische umgewandelt und umgekehrt. Im Grenzzustand, wenn sich die beiden Fronten gerade in der
Mitte treen, ist zwar die potentielle Energie vollstndig in kinetische umgewandelt,
jedoch steht dann die eine Stabhlfte whrend sich die andere bewegt, was sofort zu
einer Art innerem Sto fhrt, der neue Fronten mit der Folge potentieller Energie
ausl
st (bergang Phase 4 Phase 5).
Wenn die Stofronten durch Dispersion und Dissipation verschmiert werden und
schlielich verschwinden, bewegt sich der Gesamtk
rper mit gleichf
rmiger Geschwindigkeit wie ein Starrk
rper. Die Hlfte der ursprnglichen Energie ist dann
dissipiert worden.
Die geschilderten Vorgnge sind in Bild 2.4 dargestellt. Die Phasen entsprechen den
oben verwendeten Aufzhlungsnummern.
Zug
Druck
Kompressionsfront
Expansionsfront
0
Phase 1
0
Phase 2
Phase 3
v0
v0
Phase 4
Phase 5
½ v0
0
½ v0
½ v0
½ v0
0
½ v0
½ v0
½ v0
v0
0
0
0
0
v0
0
Bild 2.4: Ausschlielich durch Stowellen beeinuter Sto zweier Zug-Druckstbe
In den Bildern 2.5 und 2.6 sind die gemittelten Geschwindigkeiten der Stbe nach
dem Sto in Abhngigkeit der Variation der Federsteigkeit im Kontaktpunkt dargestellt. Bild 2.5 stellt dabei die Ergebnisse des gestoenen, Bild 2.6 die Ergebnisse
fr den stoenden Stabes dar. Bei den Kurven 1 hat das Kontaktelement keine
Dmpfung, bei den Kurven 2 wird ein viskoelastisches Kraftelement verwendet. Die
Bereiche der Geschwindigkeiten mit niedrigen Steigkeiten entsprechen genau den
Ergebnissen, die mit dem Impulsmodell gem den Gleichungen (2.37) und (2.38)
28
2 Modellierung von Sten
gewonnen werden k
nnen (v0 = ;4 m/s). Die Kontaktzeit dauert so lange, da sich
in den K
rpern der Starrk
rperbewegungszustand voll ausbilden kann. Bei starker
Dmpfung verhlt sich das System wie bei einem plastischen Sto. Erh
ht man die
Steigkeit, fallen der plastische und der elastische Fall zusammen und konvergieren
gegen das Ergebnis der Wellenberechnung, die vorhersagt, da der stoende Stab
stehen bleibt und der gestoene Stab sich mit v2 = 1=2v0 wegbewegt.
-1.4
Endgeschwindigkeit v1 in [m/s]
-1.6
-1.8
2
-2
-2.2
-2.4
1
-2.6
-2.8
100000
1e+06
1e+07
1e+08
1e+09
Federsteifigkeit in [N/m]
1e+10
1e+11
Bild 2.5: Gemittelte Abhebegeschwindigkeit des gestoenen Stabes, Kurve 1 ohne, Kurve 2 mit Dmpfung, entnommen aus 79]
1.5
Endgeschwindigkeit v2 in [m/s]
1
1
0.5
0
-0.5
-1
100000
2
1e+06
1e+07
1e+08
1e+09
Federsteifigkeit in [N/m]
1e+10
1e+11
Bild 2.6: Gemittelte Abhebegeschwindigkeit des stoenden Stabes, Kurve 1 ohne, Kurve 2 mit Dmpfung, entnommen aus 79]
Der Bereich der Steigkeit, der bei der Annahme von Hertz'schem Kontakt von zwei
2.8 Bercksichtigung von Festkrperwellen
29
balligen Stabenden, erreicht wrde, liegt bei diesem Beispiel in Abhngigkeit vom
Balligkeitsradius zwischen 4 108 N/m und 1 1010 N/m. Das heit, St
e mit dieser
technischen Realisierung liegen immer im bergangsbereich, der weder durch ein
reines Wellenmodell, noch durch das Starrk
rpermodell befriedigend gut beschrieben
werden kann. Ist der Kontakt durch schlechte Oberchen oder Zwischenschichten
(!l) noch weicher, hnelt das Ergebnis immer mehr dem klassischen Starrk
rpersto.
Die Grenze jeglicher Stomodellierung ist erreicht, wenn die Annherungsgeschwindigkeit der K
rper gr
er als ihre K
rperschallgeschwindigkeit ist und ein starkes
Eindringen mit kontinuierlichem Abbremsen nicht m
glich ist. Das hat zur Folge,
da die Partikel des stoenden K
rpers sich schneller an die Stostelle annhern als
die Information des Kraftereignisses sich zu ihnen ausbreiten kann. Diese Kollision
hat eine Zerst
rung des stoenden K
rpers zur Folge. Derartige Phnomene treten
beim Einschlag von ballistischen Projektilen auf. Ein anderer Typ derartiger St
e
sind die Einschlge von Meteoriten auf der Erde, die typischerweise mit Geschwindigkeiten von 1050 km/s auf der Erdoberche eintreen, was deutlich ber der
Schallgeschwindigkeit in Gesteinsk
rpern liegt.
Zusammenfassend lt sich sagen: Wellenvorgnge k
nnen grundstzlich andere Stoeekte hervorrufen, als es Starrk
rpermodelle vorhersagen. Ob in einem System
derartige Eekte eine Rolle spielen, kann durch den Vergleich des Wellenlaufzeit
in einem stoenden K
rper mit der Stozeit, gewonnen mit einer geeigneten Kontaktsteigkeit, ermittelt werden. Wesentlich fr die Gltigkeit des Wellenmodells ist
aber eine einwandfreie Reektion innerhalb des K
rpers. Findet diese nicht statt,
wird die Welle schnell im Inneren des K
rpers gestreut, und eine starrk
rperartige
Geschwindigkeitsverteilung stellt sich ein.
Prinzipiell sind alle derartigen Eekte auch fr St
e mit Reibung denkbar, bei
denen sich dann Schubwellen in den K
rpern ausbreiten. Der Autor ist jedoch der
Ansicht, da in technisch relevanten Systemen diese Eekte nicht auftreten.
30
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
Kapitel 3
Das Stogesetz auf Impulsebene
In diesem Kapitel soll die Formulierung des Stogesetzes auf Impulsebene dargestellt
werden. Dieses Gesetz kommt zum Einsatz, wenn bei der Berechnung des Zeitverhaltens eines oder mehrerer K
rper ein Kontaktereignis mit negativer Relativgeschwindigkeit festgestellt wird, und nach den im Kapitel 2 dargestellten Kriterien
eine Impulsmodellierung zulssig ist.
Zunchst werden die vorhandenen Basisstogesetze diskutiert. Im Abschnitt 3.3
wird der bergang von der zeitkontinuierlichen Mehrk
rpersystemsimulation auf
das Stoereignis dargestellt. In den folgenden Abschnitten wird die Formulierung
der Kompressionsphase und zwei Varianten der Expansionsphase vorgestellt.
3.1 Modellvorstellung zeitdiskreter Stogesetze
Ein Sto ist in der Natur immer ein zeitlich und rtlich kontinuierlicher Vorgang,
der bei einem Impulsmodell gedanklich in eine zeitlich unstetige Stobergangsgleichung komprimiert wird. Ein weiteres Vereinfachungsziel ist immer auch, den Sto,
der durch lokale Abplattung immer auf eine ganze Kontaktzone einwirkt, auf einen
Kontaktpunkt zu reduzieren.
Whrend der kurz erscheinenden Kontaktzeit k
nnen in einem Stokontakt mehrere
sich zeitlich berlappende und beeinussende Prozesse gleichzeitig ablaufen und zu
verschiedenen Zeiten beginnen und enden. Beispiel dafr sind Haft-Gleit-bergnge,
die whrend eines Stoes mehrfach auftreten k
nnen.
Um ein Stogesetz zu entwickeln, ist es deshalb sinnvoll, den eigentlich gewnschten Starrk
rpercharakter der K
rper zunchst aufzugeben und lokale Kraftelemente
im Kontaktpunkt einzufhren. Dadurch kann man den stetigen Kontaktvorgang in
seinen Phasen und Ablaufvarianten verfolgen und die m
glichen Endzustnde untersuchen.
Ist es m
glich, die denkbaren Endzustnde mit guter Nherung nur in Abhngigkeit
des Anfangszustandes des Stoes darzustellen, kann man den kurzen kontinuierlichen auf einen innitesimalen unstetigen Proze reduzieren. Im Abschnitt 3.4 wird
3.2 Elementare Stogesetze
31
diese Modellvorstellung verwendet um die Vorgnge beim tangentialreversiblen Sto
darzustellen.
3.2 Elementare Stogesetze
Im Lauf der Geschichte der Mechanik sind mittlerweile zahlreiche Stogesetze vorgeschlagen worden, die einen unmittelbaren bergang von vorher zu nachher
erm
glichen, ohne eine explizite Zeitau
sung des Stoes vornehmen zu mssen.
Letztlich basieren alle diese Gesetze auf drei Stohypothesen, die hier kurz vorgestellt werden sollen.
Das sogenannte Newton'sche Stogesetz:
Es fordert, da die Abhebegeschwindigkeit zweier stoender K
rper in einem
festen Verhltnis zu der Kollisionsgeschwindigkeit steht. Dieses einfache Gesetz
hat die Schwche, da die Eekte nicht-zentraler, reibungsbehafteter St
e
nicht dargestellt werden k
nnen und auch Mehrfachst
e nicht sinnvoll modellierbar sind. Der Vorteil dieses Gesetzes besteht darin, da es zu keinen
kinematischen Unvertrglichkeiten kommen kann und die Dissipativitt des
Gesetzes immer eindeutig ist. Dieses Stogesetz kommt ohne die Verwendung
von Kraftgr
en aus und hat den Charakter einer kinematischen Zwangsbedingung auf Geschwindigkeitsebene. Es ist somit ein rein kinematisches Gesetz.
Das sogenannte Poisson'sche Stogesetz:
Dieses Gesetz setzt zunchst die Aufteilung des Stoes in eine Kompressionsund Expansionsphase voraus. Die zentrale Aussage des Gesetzes ist, da ein
bestimmter Anteil des Impulses, der an einer Kontaktstelle zur Abbremsung
der K
rper in der Kompressionsphase wirken mu, in der Expansionsphase
dort erneut wirkt und so die Separation der K
rper einleitet. Die Berechnung
der Geschwindigkeitsnderungen geschieht auf der Basis von Impulsbilanzen,
das heit, verschiedene Bindungen k
nnen sich gegenseitig beeinussen und
die Reibung in einem Stokontakt kann auch das Abheben in Normalenrichtung beeinussen. Fr eine Klasse von Stokongurationen liefert das PoissonGesetz die gleichen Resultate wie das Newton'sche Gesetz, ist aber in der Lage,
auch eine groe Klasse von weiteren Kongurationen zu beschreiben. Der wesentliche Nachteil dieses Gesetzes in seiner Urform besteht darin, da es bei
Mehrfachst
en das Abheben der K
rper voneinander nicht immer gewhrleistet. Das Poisson'sche Gesetz ist ein rein dynamisches Stogesetz.
Stogesetze auf Energiebasis:
Es existieren mehrere Anstze, die Stogleichungen auf der Basis der Energie,
die whrend des Stoes umgewandelt oder dissipiert wird, zu formulieren. Diese
Gesetze haben den Nachteil, da sie letztlich nur eine Gleichung (Energiebilanz) zur Verfgung haben, mit denen in einem Stokontakt sowohl Aussagen
zur Normal- als auch zur Reibrichtung getroen werden sollen. Besonders problematisch werden diese Gesetze bei Mehrfachst
en.
32
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
Sowohl das Newton'sche als auch das Poisson'sche Stogesetz sind ursprnglich fr
den zentralen Sto von zwei K
rpern entwickelt worden und liefern dort, wie auch
der Energieansatz, identische Resultate. Bei der Anwendung dieser Gesetze auf St
e
mit Reibungseekten und auf Mehrfachst
e scheint das Poissongesetz die gr
ten
Reserven zu enthalten.
Ein eher anschaulicher Vorteil des Poisson-Gesetzes lt sich wie folgt darstellen:
die Basis der Formulierung des Stogesetzes ist identisch mit der der Bewegungsgleichungen vor und nach dem Sto:
1. Krfte (Kraftst
e) sind die Ursache von Bewegungen.
2. Krfte (Kraftst
e) ergeben sich aus Gesetzen, die vom Bewegungszustand
und der Zeit abhngen.
Diese Prinzipien der Mechanik gelten auch whrend des Stoes, und man ist deshalb
nicht auf die integrierte Gr
e Energie angewiesen.
Wgt man die beschriebenen Vor- und Nachteile der Gesetze gegeneinander ab,
scheint das Poisson'sche Gesetz am besten geeignet zu sein, eine groe Klasse verschiedener Stotypen zu beschreiben. Der Nachteil, da nach Stoende ein Eindringen der K
rper auftreten kann, lt sich, wie im folgenden gezeigt wird, durch die
Einfhrung einer einseitigen Bindung verhindern.
3.3 bergang von der kontinuierlichen Zeitentwicklung zum Sto
Ein allgemeines Mehrk
rpersystem mit einseitigen Bindungen kann sich in vielen
verschiedenen Bindungskongurationen benden. Ein Sto ndet zunchst an einem
oder mehreren Kontaktpunkten statt, den aktuellen Stokontakten. Whrend des
Stoes wirken Impulse, die sich ber die, nach wie vor im Gesamtsystem gltigen Impulsbilanzen, an allen anderen geschlossenen Kontakten bemerkbar machen k
nnen
und dort zu "nderungen in der Bindungskonguration fhren k
nnen. So ist es ohne
weiteres denkbar, da ein Sto an einer Stelle im System zu Haft-Gleit-bergngen
oder zum Abheben von Normalbindungen an anderen einseitigen Bindungen fhrt.
Aus diesem Grund mssen bei der Formulierung der Stogleichungen nicht nur die
aktuellen Stokontakte, sondern auch alle anderen geschlossenen Bindungen im System bercksichtigt werden.
Zu diesem Zeitpunkt t0 des Stoes sind folgende Gr
en des gebundenen Mehrk
rpersystems bekannt:
3.4 Vorberlegungen zum Energieumsatz
33
q(t0) = qA : Lagen aller generalisierten Koordinaten
q_ (t0) = q_A : Geschwindigkeiten aller generalisierten Koordinaten
M (qA t0) = M : Massenmatrix des Systems
WN
: Jacobi-Matrix der aktiven Normalbindungen
WT
: Jacobi-Matrix der aktiven Tangentialbindungen
w~ N , w~ T : nichtlineare Terme der Bindungen
Der Sto wird in zwei Phasen aufgeteilt: die Kompressions- und die Expansionsphase. In der Kompressionsphase wird die normale Annherungsbewegung der Stopartner in den aktuellen Stokontakten gestoppt. Zustzlich k
nnen in anderen geschlossenen Bindungen Zwangsimpulse wirken. Am Ende der Kompressionsphase ist
ein Teil der vor dem Sto im System vorhandenen kinetischen Energie in Form von
potentieller Energie im System gespeichert.
In der Expansionsphase wird die zuvor gespeicherte Energie wieder ber die wirkenden Expansionsimpulse in kinetische Energie zurckverwandelt. Dabei ist zu bercksichtigen, da Teile der Energie dissipiert werden, am Ende kein Eindringen
der Kontaktpartner stattnden darf und das Reibgesetz im Kontakt nicht verletzt
werden darf.
Hier kann noch zwischen zwei Stotypen unterschieden werden:
Beim tangentialreversiblen Sto wird ein Teil der Energie auch in die tangentiale Richtung zurckgespeichert. Im Grenzfall eines tangentialplastischen
Stoes wirkt whrend der Expansionsphase kein Tangentialimpuls.
Beim reinen Reibsto wird in tangentialer Richtung keine Energie ge- und
entspeichert. Am Reibkontakt herrscht whrend der gesamten Stozeit das
Coulomb'sche Reibgesetz.
Fr beide Varianten ist die Beschreibung der Kompressionsphase identisch, die Expansionsphase unterscheidet sich. Im Fall des zentralen Stoes sind der vollstndig
tangentialplastische und der reine Reibsto identisch. Ein einfaches Beispiel fr ein
System, bei dem sich diese Stotypen unterscheiden wird in 4.3 vorgestellt und diskutiert.
3.4 Vorberlegungen zum Energieumsatz
In diesem Abschnitt soll der prinzipielle Ablauf eines Stoes mit einem anschaulichen
Modell fr die verschiedenen Phasen dargestellt werden. Auch wenn im Abschnitt 3.2
die Energie zunchst aus dem Stogesetz verbannt wurde, so soll sie hier verwendet
werden, um die physikalischen Vorgnge besser erlutern zu k
nnen.
Der Sto soll gem der Modellvorstellung in Abschnitt 3.1 betrachtet werden: Whrend des Stoes bendet sich zwischen den K
rpern ein Kraftelement, das aus zwei
viskoelastischen Subelementen in Normal- und Tangentialrichtung zusammengesetzt
34
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
ist. In diesem Element seien die gedachten Nachgiebigkeiten beider Stopartner vereint. Ein tatschlicher Kontakt herrscht nur an einem Reibelement mit Coulomb'scher Reibcharakteristik. Damit untersucht man den Proze gedanklich als stetigen
Vorgang mit allen Haft-Gleit-bergngen sowie Speicherungs- und Entspeicherungsprozessen von Energie. Die am Ende dieser berlegungen verbleibenden Geschwindigkeitsdierenzen dienen zur Reduktion des Stogesetzes auf einen diskreten Geschwindigkeitssprung. In Bild 3.1 sind prinzipielle m
gliche Ablufe im Stokontakt
dargestellt.
Die K
rper berhren sich im Moment des Stoes am Kontaktpunkt. Vernachlssigt
man spter die Weiterbewegung der K
rper whrend dem Sto, ist dies der Kontaktpunkt des Starrk
rpermodells. Fr die stetige Betrachtung ist es der Punkt der
ersten Berhrung. Im Verlauf des Stoes kommen zwei fr die Beschreibung wichtige Teilpunkte hinzu: Der Krperpunkt und der Reibpunkt. Der K
rperpunkt ist
der Punkt, an dem das gedachte Kraftelement angeheftet ist. Die Krfte (Impulse)
wirken weiterhin auf den Kontaktpunkt, whrend sich der Reibpunkt relativ zum
K
rperpunkt verschiebt und damit die Auslenkung des Kraftelements darstellt.
Im Coulomb'schen Reibelement herrscht zu Beginn des Stoes, abgesehen von der
Ausnahme des v
llig reibungsfreien Falles, immer Haften, da es nicht massebehaftet
ist und das Tangentialelement zunchst entspannt ist. Im Verlauf der Kompressionsphase steigt die Tangentialkraft wie auch die Normalkraft an. Der Reibkontakt kann
entweder losreien oder weiterhin haften bleiben. Die Entscheidung darber hngt
von dem Reibkoezienten, der Kontaktgeometrie, dem Verhltnis der Anfangsgeschwindigkeiten und von der projizierten Massenverteilung des stoenden Systems
ab. Am Ende der Kompressionsphase ist das Normalkraftelement maximal komprimiert und die Annherungsgeschwindigkeit der K
rper zum Stillstand gekommen.
Ein Teil der kinetischen Anfangsenergie des Systems ist nun in Form elastischer
potentieller Energie gespeichert. (Erste Zeile von Bild 3.1)
In tangentialer Richtung sind mehrere Zustnde denkbar:
Der Reibkontaktpunkt haftet und der K
rperpunkt ist auch in tangentialer
Richtung zum Stillstand gekommen.
Der Reibkontaktpunkt haftet, der K
rperpunkt bewegt sich noch.
Der Reibkontaktpunkt gleitet, und der K
rperpunkt bewegt sich.
In allen Fllen ist in dem tangentialen Kraftelement ein Teil der kinetischen Energie
in Form von Verformungsenergie gespeichert. Da die Beschreibung des Stoes aber
nur einen Punkt bercksichtigen kann, bezieht sich die Aussage Haften am Ende
der Kompressionsphase eigentlich auf den Reibpunkt, obwohl nur der K
rperpunkt
betrachtet wird.
In der Expansionsphase k
nnen sich hnliche Zustnde einstellen. Ein besonders
gutartiger Fall tritt ein, wenn die Kompressionsphase mit Haften im Reibpunkt
und Stillstand des K
rperpunktes endet: In der Expansionsphase kann nun ein Teil
der gespeicherten Energie durch Entspannung sowohl des normalen als auch des
3.4 Vorberlegungen zum Energieumsatz
35
Kompressionsphase
v0
H
H
G
Expansionsphase mit Umkehrung
H
H
H
Expansionsphase mit Geschwindigkeitsdifferenz
G
H
Körperpunkt
Reibpunkt
Kontaktpunkt
Haften im Kont. H
Gleiten im Kont. G
Bild 3.1: Prinzipielle Stoablufe
H
36
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
tangentialen Kraftelements entspeichert und wieder in kinetische Energie zurckverwandelt werden (Zweite Zeile von Bild 3.1). Im gnstigsten Fall kommen sogar
im Moment des Abhebens die drei Punkte wieder zur Deckung.
Ein anderer gutartiger Fall ist das kontinuierliche Gleiten whrend der Expansionsphase: Nach kurzer Vorspannung des tangentialen Kraftelements in der Kompressionsphase gleitet es mit maximaler Reibkraft im Reibpunkt. Reibpunkt und K
rperpunkt haben keine Relativgeschwindigkeit. Da man sowieso nur Geschwindigkeiten
betrachtet, spielt dies jedoch keine Rolle. Der Lagefehler, der durch die kontinuierliche Weiterbewegung des K
rpers whrend des Stoes entsteht, wird aufgrund
der Annahme vernachlssigbare Bewegungen der K
rper whrend des Stoes (Abschnitt 2.5) billigend in Kauf genommen.
Ein widersprchlicher Fall stellt sich ein, wenn whrend der Expansionsphase der
zu Beginn gleitende Reibpunkt zum Stillstand kommt. Die im Tangentialelement
gespeicherte Energie kann trotzdem dazu fhren, da sich der K
rperpunkt am Stoende bewegt, obwohl die Kraftbilanz fr den Reibpunkt Haften verlangt. Dieser
Fall ist durchaus nicht unwahrscheinlich. Um auch hier sinnvolle Resultate zu erzielen, mu mit einem Trick das Coulomb'sche Reibgesetz modiziert werden. Diese
Modikation wird in Abschnitt 3.6.3 erlutert und durch Gleichung (3.26) realisiert
(Dritte Zeile von Bild 3.1). Danach ist es dem K
rper m
glich, am Stoende eine Relativgeschwindigkeit gegenber dem Stopartner zu haben, obwohl das Reibelement
im Reibpunkt haftet.
3.5 Kompressionsphase
Zur Berechnung der Kompressionsphase sind zwei Klassen von Gleichungen erforderlich: einerseits die Impulsbilanz ber alle K
rper sowie die Projektionsgleichungen, die die Eekte im Stopunkt in die Richtung der generalisierten Koordinaten
projizieren und umgekehrt, andererseits die sogenannten Stogesetze, welche einen
Zusammenhang zwischen kinematischen Zustnden und wirkenden Stoimpulsen
herstellen.
3.5.1 Kinematik- und Impulsgleichungen
Die Kompressionsphase beginnt mit dem Kontakt der K
rper an dem oder den aktuellen Stokontakten. Damit ist fr eine Reihe von Kontaktpunkten i die Bedingung
gNAi(qA t0) = 0 erfllt. Der Index A kennzeichnet dabei den Zustand zu Beginn
des Stoes. Mit der Kinematikgleichung
g_ NA ! = WNT !q_A + w~ N !
g_ TA
WTT
w~ T
(3.1)
k
nnen die Vektoren der Relativgeschwindigkeiten g_ NA in normaler und g_ TA in tangentialer Richtung bestimmt werden. Whrend der Kompressionsphase gilt die Im-
3.5 Kompressionsphase
37
pulsbilanz fr alle K
rper in folgender Form:
M (q_C ; q_A) = WN NC + WT TC
(3.2)
Dabei bedeuten NC und TC die normalen und tangentialen Impulse, die whrend der Kompressionsphase in den geschlossenen Kontakten wirken und durch die
Jacobimatrizen WN und WT aus den Eingrisrichtungen in die Richtungen der generalisierten Koordinaten projiziert werden. Am Ende der Kompressionsphase lauten
die generalisierten Koordinaten des Systems q_C .
Fr die Formulierung des Stogesetzes sind die Relativgeschwindigkeiten g_ NC und
g_ TC am Ende der Kompressionsphase wichtig. Man berechnet sie ber eine zu Gleichung (3.1) quivalente Projektionsgleichung:
g_ NC ! = WNT !q_C + w~ N !
g_ TC
WTT
w~ T
(3.3)
Durch Verknpfung der Gleichungen (3.1) und (3.3) erhlt man eine Form, die direkt
die "nderung der Relativgeschwindigkeiten zueinander in Beziehung setzt:
g_ NC ! = WNT !(q_C ; q_A) + g_ NA !
(3.4)
g_ TC
WTT
g_ TA
Die Terme w~ N und w~ T sind in dieser Dierenz verschwunden. Dies ist auch physikalisch erklrbar: Die w~ hngen nur von q, t und anderen konstanten Gr
en ab.
Diese bleiben jedoch whrend des Stoes unverndert.
Die Impulsgleichung (3.2) l
st man nach q_C ; q_A auf, setzt sie in die Kinematikgleichung (3.4) ein und erhlt die in die Normal- und Tangentialrichtung projizierte
Impulsbilanz:
g_ NC ! = WNT !M ;1 WN !T NC ! + g_ NA !
g_ TA
g_ TC | WTT {z WT } TC
G
(3.5)
Dabei fat man die quadratische Form aus Jacobi- und inverser Massenmatrix zu der
projizierten Massenwirkungsmatrix G zusammen. Sie ist eine quadratische, symmetrische Matrix, die im Fall abhngiger Bindungen positiv semidenit sonst positiv
denit ist. Im folgenden wird von der Aufteilung dieser Matrix in vier Blockuntermatrizen
!
G
NN GNT
G = GTN GTT mit Gij = WiT M ;1Wj i j 2 fN T g
(3.6)
Gebrauch gemacht. GNN und GTT haben die gleichen Eigenschaften wie G, die
Nebendiagonalblockmatritzen sind ebenfalls quadratisch und es gilt GNT = GTTN .
38
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
Die projizierte Massenwirkungsmatrix gibt, anschaulich betrachtet, Aufschlu darber, welche Bewegungsnderungen das System infolge der Impulswirkung in eine
der projizierten Storichtungen erfahren wird.
Gleichung (3.5) erlaubt es nun, aus den bekannten Anfangsgeschwindigkeiten und
den in der Kompressionsphase wirkenden Impulsen den Zustand am Ende dieser
Phase zu berechnen. Um dies durchfhren zu k
nnen, ist es auerdem erforderlich,
die Beziehungen zwischen Impulsen und Geschwindigkeiten im sogenannten Stogesetz zu erfassen. Dabei ist eine Unterscheidung zwischen einem Gesetz fr die
normalen und die tangentiale Richtung sinnvoll.
3.5.2 Normales Stogesetz
Die Kompressionsphase ist dadurch deniert, da an ihrem Ende die normale Relativgeschwindigkeit aller einseitigen Bindungskontakte gr
er oder gleich null ist
(g_ Ni 0). Dabei k
nnen in allen Kontakten, in denen die Relativgeschwindigkeit
g_ Ni = 0 ist, auch Impulse Ni 0 gewirkt haben. In Kontakten, die bereits am
Ende der Kompressionsphase eine Separationsgeschwindigkeit haben, sollen aber
keine Impulse wirken. Dieses Phnomen tritt jedoch nur bei Mehrfachst
en auf.
Die normalen Kompressionsimpulse und die Relativgeschwindigkeiten bilden somit
ein komplementres Paar von Vektoren, fr die gilt:
g_ NC 0
NC 0
g_ NC NC = 0
(komponentenweise)
(3.7)
Stellt man diesen Zusammenhang graphisch dar, erhlt man eine Ecke, wie er im
linken Teil von Bild 3.2 dargestellt ist.
gNC
gTC
μΛNC
ΛNC
-μΛNC
Bild 3.2: Graphische Darstellung des normalen und tangentialen Stogesetzes fr die Kompressionsphase mit komplementren
Kennlinien
ΛTC
3.5 Kompressionsphase
39
3.5.3 Tangentiales Stogesetz
Das Verhalten der beiden Stopartner in tangentialer Richtung wird durch die Reibung im Kontakt der K
rper bestimmt. Mit welchen Einschrnkungen das Coulomb'sche Reibgesetz auch auf Impulsebene gltig ist, kann in 22] Seite 111. nachgelesen werden. Am Ende der Kompressionsphase sind in jedem Stokontakt drei
Zustnde denkbar:
Gleiten in positive Richtung (g_ TC > 0): der Tangentialimpuls wirkt whrend
der gesamten Phase in die entgegengesetzte Richtung und wird durch den
Normalimpuls und den Reibkoezienten bestimmt: TC = ;NC .
Haften am Ende der Phase (g_ TC = 0): der whrend der Kompression wirkende
Tangentialimpuls ist gro genug, um im Kontakt Haften zu erreichen. Die Gr
e des Impulses liegt in einem Bereich, der durch die maximal bertragbaren
Impulse an der Haftgrenze bestimmt wird: ;NC < TC < NC .
Gleiten in negative Richtung (g_ TC < 0): der Tangentialimpuls wirkt whrend
der gesamten Phase in positive Richtung und wird durch den Normalimpuls
und den Reibkoezienten bestimmt: TC = NC .
Die m
glichen Kombinationen von g_ TC und TC lassen sich als abschnittsweise deniertes Stogesetz fr jeden Stokontakt
8
>
< < 0 fr TC = NC
g_ TC 2 > = 0 fr ;NC < TC < NC
: > 0 fr TC = ;NC
(3.8)
beschreiben und in einem Diagramm wie im rechten Teil von Bild 3.2 darstellen.
Das Reibgesetz auf Impulsebene hat mit dem klassischen Coulomb'schen Reibgesetz
auf Kraftebene die wesentliche Eigenschaft gemeinsam, abschnittsweise entweder
als Kraftgesetz oder als kinematische Zwangsbedingung zu wirken: Im Fall Haften
handelt es sich um eine kinematische Zwangsbedingung, deren Aufhebung ber eine
Kraftbedingung (Haftkraftreserve) gesteuert wird. Im Fall Gleiten ist es ein Kraftgesetz, das sich bei Erreichen eines kinematischen Indikators in eine Zwangsbedingung
verwandeln kann.
Die Komplementaritt von Relativgeschwindigkeit und Impuls lt sich nicht unmittelbar angeben, wie es beim Normalgesetz der Fall ist.
3.5.4 Lsung fr die Kompressionsphase
Ziel ist es nun, die Zustnde am Ende der Kompressionsphase (g_ NC und g_ TC ) in Abhngigkeit von den Gr
en zu Beginn (g_ NA und g_ TA) und den Systemparametern
(G und i) zu berechnen. Eigentliche Zielgr
en sind die wirkenden Impulse (NC
und TC ), die ben
tigt werden, um die "nderung der generalisierten Geschwindigkeiten q_ durch die Kompressionsphase berechnen zu k
nnen. Als Gleichungen
40
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
stehen die in die Storichtung projizierte Impulsbilanz (3.5) und das normale (3.7)
und tangentiale (3.8) Stogesetz zur Verfgung.
Wenn nS Kontakte whrend des Stoes geschlossen sind, sucht man die L
sung
eines Gleichungssystems im 4nS -dimensionalen Raum der Unbekannten. Mathematisch betrachtet stellt die Impulsgleichung eine Sammlung von 2nS Hyperebenen
in diesem Raum dar. Das normale und tangentiale Stogesetz werden durch je nS
Flchen reprsentiert. In der Summe stehen damit 4nS Flchen zur Verfgung, die
miteinander geschnitten werden mssen, um die L
sung fr die unbekannten Relativgeschwindigkeiten und Impulse zu nden. In den Abschnitten 4.1 und 4.2, in
denen der Einfachsto detailliert untersucht wird, sind diese Flchen und Ebenen
fr Spezialflle auch graphisch dargestellt.
Die Stogesetze sind abschnittsweise deniert, deshalb ist keine klassische Gleichungsl
sung ohne Fallunterscheidungen m
glich. Fallen die geknickten Flchen abschnittsweise mit den Koordinatenachsen zusammen oder lassen sie sich in diese
Form transformieren, existiert mit dem linearen Komplementarittsproblem (LCP)
ein formalisierter L
sungsalgorithmus fr derartige Probleme.
Ein LCP lt sich wie folgt beschreiben: Gesucht sind 2n Unbekannte in einem
Koordinatenraum dieser Dimension, die in den zwei n-dimensionalen Vektoren x
und y zusammengefat sind. n lineare Gleichungen y = Ax + b beschreiben eine
n-dimensionale Mannigfaltigkeit, auf der die L
sung liegen mu. Weitere Einschrnkungen stellen n abschnittsweise denierte, aus je zwei Halbebenen bestehende Flchen dar, die durch die Gleichungen xi = 0 fr yi > 0 und yi = 0 fr xi > 0
beschrieben werden. Die Gr
en xi und yi sind komplementr.
Will man dieses Schema auf die L
sung der Kompressionsphase bertragen, sieht
man, da beim normalen Stogesetz die Impulse und Relativgeschwindigkeiten bereits komplementre Form aufweisen. Das tangentiale Reibgesetz besteht zwar ebenfalls aus abschnittsweise denierten Ebenen, die jedoch noch nicht die Standardform
eines LCP haben. Es ist allerdings m
glich, den zweifach geknickten Haken in zwei
komplementre Bedingungen aufzuspalten.
Das Vorgehen lehnt sich an 22] an. Die Aufspaltung greift dabei auf das Verfahren
zurck, wie es in 67] beschrieben ist. Im ersten Schritt fhrt man dazu eine Koordinatentransformation durch, die alle tangentialen Stoimpulse so verschiebt, da der
negative Ast des Reibgesetzes mit der g_ TCi-Achse zusammenfllt. Die verschobenen
Impulse werden TCVi genannt:
TCVi = TCi + iNCi
(3.9)
Diese Transformation wird in die Impulsbilanz (3.5) eingesetzt, die sich dann als
g_ NC ! = GNN ; GNT GNT ! NC ! + g_ NA !
(3.10)
g_ TC
g_ TA
GTN ; GTT GTT TCV
anschreiben lt. Die Matrizen sind Diagonalmatrizen, deren Elemente die Reib-
koezienten i der Stokontakte sind. Die Werte von k
nnen von g_ TAi abhngig
3.5 Kompressionsphase
41
gemacht werden, wenn bei der vorliegenden Materialpaarung eine deutliche Relativgeschwindigkeitsabhngigkeit des Reibkoezienten vorliegt.
Ein wesentlicher Schritt ist es nun, die Reibkennlinie in den oberen rechten und den
unteren linken Ast aufzuteilen, wie es in Bild 3.3 dargestellt ist.
gTC
g+TC
+
ΛTCD=2μΛNC
ΛTCV
(-)
ΛTCV
-
(+)
ΛTCV
g-TC
Bild 3.3: Aufspaltung der Reibkennlinie in zwei einseitige Bindungen
+
Die Geschwindigkeiten werden in ihren positiven Teil g_ TCi
> 0 und den negativen
;
Teil g_ TCi < 0 aufgespaltet, wobei
+
;
g_ TCi = g_ TCi
; g_ TCi
(3.11)
gilt. Die zugeh
rigen Tangentialimpulse werden wie folgt deniert:
(+)
TCVi = TCVi
;)
(TCVi
= ;TCVi + 2iNCi
(3.12)
(3.13)
Nach dieser Aufspaltung hat man nun 3 Paare von komplementren Gr
en: g_ NC
+
und NC wurden bereits oben erwhnt, hinzugekommen sind g_ TC
und (+)
TCV , sowie
(;)
;
g_ TC und TCV . Setzt man nun (3.11) und (3.13) in (3.10) ein, und fgt (3.13) als
eigene Gleichung hinzu, erhlt man
10
1 0
G
;
G
G
0
NC
NN
NT
NT
CC BB (+)
CC BB
A = @ GTN ; GTT GTT E A @ TCV
(;)
;
2
{z ;E 0 } | g_{zTC
{z } |
| TCV
0
g_ NC
B
+
B
@ g_ TC
y
A
x
1 0
CC BB g__NA
A + @ gTA
1
CC
A (3.14)
0
} | {z }
b
als LCP in Standardform, da die Vektoren x und y jeweils die Paare der komplementren Gr
en enthalten. Nach der L
sung des LCP mssen die ursprnglich
42
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
gesuchten Gr
en durch Rcktransformation gewonnen werden:
g_ NC direkt enthalten
+
;
g_ TC = g_ TC
; g_ TC
(3.15)
NC direkt enthalten
TC = (+)
(3.16)
TCV ; NC
Alle diese Gr
en werden auch fr die Berechnung der Expansionsphase ben
tigt.
Mit Hilfe der Impulse ist es m
glich, die generalisierten Geschwindigkeiten
q_C = q_A + M ;1(WN NC + WT TC )
(3.17)
des Systems am Ende der Kompressionsphase zu berechnen.
3.6 Expansionsphase mit tangentialer Reversibilitt
Die Struktur der Berechnung der Expansionsphase ist der der Kompressionsphase
sehr hnlich: Es werden die in die Storichtungen projizierten Impulsbilanzen ber
alle K
rper sowie die Stogesetze ben
tigt.
Diese Gesetze sind jedoch fr die Expansionsphase deutlich komplizierter als fr
die Kompressionsphase, da die Eekte der Verschiebung K
rperpunkt-Reibpunkt
allesamt in der Expansionsphase konzentriert auftreten.
3.6.1 Kinematik- und Impulsgleichungen
Whrend der Expansionsphase ndet der bergang der generalisierten Koordinaten
von q_C am Ende der Kompressionsphase nach q_E am Ende des Stoes statt, was
durch die Impulsbilanz
M (q_E ; q_C ) = WN NE + WT TE
(3.18)
dargestellt wird. Die in die Storichtung projizierte Kinematikgleichung ist ebenfalls
quivalent zur Kompressionsphase und lt sich als
g_ NE ! = WNT !(q_E ; q_C ) + g_ NC !
(3.19)
g_ TE
WTT
g_ TC
anschreiben. Setzt man noch Gleichung (3.18) in (3.19) ein, erhlt man die projizierte
Impulsgleichung
g_ NE ! = G NE ! + g_ NC !
(3.20)
g_ TE
TE
g_ TC
fr die Expansionsphase. Dieses Vorgehen ist bis auf Indexvertauschungen identisch
zur Kompressionsphase.
3.6 Expansionsphase mit tangentialer Reversibilitt
43
3.6.2 Normales Stogesetz
Am Ende der Kompressionsphase ist die normale Relativgeschwindigkeit in allen
Kontakten entweder gleich null, oder es hat bereits in der Kompressionsphase eine Separation eingesetzt. Ein Kompressionsimpuls konnte nur wirken, wenn keine
Separation einsetzte.
Dabei wurde whrend der Kompressionsphase Arbeit geleistet: kinetische Energie
wurde durch die wirkenden Impulse umgewandelt. Aufgabe der Expansionsphase ist
es nun, je nach Art der Energieumwandlung, einen Impuls fr das Wiederabheben
der K
rper zur Verfgung zu stellen, oder ihn als dissipiert zu betrachten. In jedem
Fall mu die Expansionsphase so gestaltet sein, da ein weiteres Eindringen der
K
rper nach ihrem Ende verhindert wird.
Das Poisson'sche Stogesetz, das hier verwendet werden soll, stellt eine Beziehung
zwischen den Impulsen whrend der Kompressionsphase und der Expansionsphase
her, die im Fall eines Einfachstoes
NE = "N NC
(3.21)
lautet. Fr die Stozahl "N gilt immer 0 "N 1 und sie kann fr jeden Stokontakt unterschiedlich sein. Eine Stozahl "N = 0 entspricht einem plastischen Sto
und "N = 1 einem sogenannten vollelastischen Sto ohne lokalen Energieverlust.
Wei man, da bei einer Materialpaarung eine Abhngigkeit der Stozahl von den
Stobedingungen gegeben ist, kann "N = f (g_ NA NC ) gewhlt werden, wenn dabei
die Grenzen fr "N eingehalten werden.
In der Natur treten immer Stozahlen kleiner als 1 auf, da bei jedem Sto ein
Teil der Energie dissipiert wird. Ein sicheres Kennzeichen dafr, da St
e immer
einen dissipativen Charakter haben ist die Tatsache, da ein Sto zumeist mit einer
Geruschentwicklung verbunden ist. Die diesem Schall innewohnende Energie mu
den Stopartnern entzogen werden.
Dieses Stogesetz in Normalenrichtung hat, wie schon in Abschnitt 3.2 erwhnt, den
Nachteil, da es Eindringen der K
rper ineinander am Ende des Stoes nicht ausschliet. Ein Beispiel dafr wird in Abschnitt 4.4 erlutert. Aus diesem Grund wird
das Gesetz um eine einseitige Bindungskomponente erweitert: Der Normalimpuls betrgt mindestens "N NC , kann aber beliebig gro werden, um die Impenetrabilitt
der im Kontakt bendlichen K
rper zu gewhrleisten. Da die zentrale Gleichung der
Expansionsphase die Impulsbilanz ist, besteht durch diese Manahme keine Gefahr,
dadurch physikalisch unzulssige Bewegungszustnde zu erreichen.
Bild 3.4 stellt die Expansionskennlinie dar, die diese Eigenschaften zusammenfat:
kommt es zum Abheben, wirkte der berechnete Expansionsimpuls, andernfalls kann
er beliebig gro werden, um ein Eindringen der K
rper zu verhindern. Um diese
Bedingung als klassisches LCP formulieren zu k
nnen, mu die Expansionskennlinie
in den Ursprung verschoben werden. Dazu wird eine Koordinatentransformation
durchgefhrt, bei der die neue Koordinate
NPi = NEi ; "NiNCi
(3.22)
44
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
gNE
εNΛNC
ΛNE
Bild 3.4: Graphische Darstellung des normalen Stogesetzes fr
die Expansionsphase mit komplementrer Kennlinie
eingefhrt wird. Diese Transformation ist immer eindeutig durchfhrbar, da sowohl
die Stozahl "N , als auch der whrend der Kompressionsphase aufgetretene Impuls
NCi zu Beginn der Expansionsphase bekannt sind. Der transformierte Impuls und
die Abhebegeschwindigkeit ergeben das Paar
g_ NE 0
NP 0
T =0
g_ NE
NP
(komponentenweise)
(3.23)
von komplementren Vektoren.
3.6.3 Tangentiales Stogesetz
Das tangentiale Stogesetz mu zwei wesentliche physikalische Eekte m
glichst korrekt wiedergeben: Einerseits ist das Verhalten im Kontakt von der dort wirkenden
Reibung geprgt, andererseits wird auch hier die m
gliche tangentiale Rckspeicherung der Energie ber den wirkenden Expansionsimpuls vorgenommen.
Hierbei handelt es sich um eine Hintereinanderschaltung von zwei Elementen: Der
K
rper berhrt im Reibungspunkt den Kontaktpartner, fr diesen gilt das Coulomb'sche Reibgesetz auf Impulsebene. Die potentielle Energie ist in tangentialen
Verschiebungen in der Umgebung der Kontaktzone gespeichert und wirkt wie ein
dahintergeschaltetes zweites elastisches Kraftelement.
Das Stogesetz soll eine kompakte Formulierung fr den Sto von K
rpern in den
jeweiligen Kontaktpunkten darstellen. Das Auseinanderfallen dieser Punkte in den
Reibpunkt im Kontakt und den K
rperpunkt, auf den die Impulse wirken, tritt in der
Realitt auf und kann in einem Stogesetz auf Impuls-Geschwindigkeitsebene nicht
direkt nachgebildet werden. An dieser Stelle sei noch einmal auf die Vorberlegungen
in Abschnitt 3.4 verwiesen. Es ist jedoch m
glich die Folgen dieses Phnomens auf
einfache Weise im Stogesetz zu realisieren.
Prinzipiell mu im Kontaktpunkt das Coulomb-Reibgesetz gelten. Das heit, der in
der Expansionsphase bertragene Tangentialimpuls darf den mit dem Reibkoezienten multiplizierten Normalimpuls nicht berschreiten.
3.6 Expansionsphase mit tangentialer Reversibilitt
45
Das Rckspeichern des Tangentialimpulses soll folgendem Gesetz gehorchen:
TEi = "Ni "Ti TCi
(3.24)
Analog zum Gesetz (3.21) soll ein um einen Dissipationsfaktor verminderter Anteil des Kompressionsimpulses in der Expansionsphase wirken. Dieser tangentiale
Faktor heit "T , kann in jeder Bindung im System unterschiedlich sein und es gilt
analog zum normalen Koezienten der Wertebereich 0 "T 1. In diesem
Zusammenhang mu jedoch noch eine wichtige Annahme gemacht werden: Der Expansionsimpuls in Normalenrichtung NE ist in der Regel um den Faktor "N geringer
als der Kompressionsimpuls NC (Gleichung (3.21)). Aus diesem Grund wird auch
der tangentiale Expansionsimpuls TE zustzlich um den Faktor "N verringert. Das
ist notwendig, da der Tangentialimpuls bei seiner Entfaltung ber die Reibung im
Kontakt auf den Normalimpuls angewiesen ist. Diese Formulierung verhindert zugleich, da der reversible Impuls gr
er als der maximal durch Reibung bertragbare
Impuls wird, was sich durch die Ungleichungskette
"N "T jTC j "N jTC j "N NC NE
(3.25)
zeigen lt. Mit den jetzt zusammengetragenen Gleichungen lt sich das Expansionsgesetz wie folgt formulieren (unter der Annahme TC > 0): der Expansionsimpuls
betrgt in jeder Bindung mindestens "N "T TC (anteilige Rckgabe der gespeicherten Energie) und h
chstens NE (Erreichen der Haftgrenze). Diese beiden Grenzen
werden durch die senkrechten "ste der Kennlinie in Bild 3.5 dargestellt.
gTE
Fall ΛTC>0
εNεTΛTC
gTE0
ΛTED
ΛTEL
μΛNE=ΛTER
ΛTE
Bild 3.5: Graphische Darstellung des tangentialen Stogesetzes
fr die Expansionsphase mit komplementrer Kennlinie
In der Arbeit von Glocker 22] wird fr den Bereich zwischen diesen Impulsgrenzen
gefordert, da die tangentiale Expansionsgeschwindigkeit g_ TE in diesem Fall verschwinden soll, was klassischer Coulomb-Reibung entspricht. Physikalisch erreicht
man diesen Zustand, wenn whrend der Kompressionsphase im Kontakt Gleiten
und zum Ende der Expansionsphase Haften herrscht.
46
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
In Abschnitt 3.4 wurde gezeigt, da dadurch wichtige Eekte, die bei einem tangentialreversiblen Sto auftreten k
nnen, nicht erfat werden. Wurde whrend einer gleitenden Kompressionsphase das tangentiale reversible Element vorgespannt,
kann es whrend der Expansionsphase bei haftendem Kontaktpunkt die reversible
Rckspeicherung vornehmen. Da fr die Berechnung des Gesamtstoes die K
rperpunktdynamik von Bedeutung ist und nicht das Verhalten des Reibpunktes, mu
man hier eine Modikation durchfhren, um diesen Eekt im Stogesetz bercksichtigen zu k
nnen. Es wird die Geschwindigkeit g_ TE0 eingefhrt, die der K
rperpunkt
in diesem Fall erhalten soll.
Man berechnet die Geschwindigkeit g_ TE0, indem man zunchst die Berechnung des
Tangentialanteils einer Expansionsphase durchfhrt, bei der man die Impulse NC
und TC aus der Kompressionsphase verwendet, jedoch von Haften am Ende der
Kompressionsphase in den Kontakten ausgeht:
g_ TE0 = GTN "N NC + GTT "N "T TC
(3.26)
Die Matrizen "N und "T sind Diagonalmatrizen, die die Stozahlen jedes Kontaktes
als Diagonalelemente enthalten. Alle Gr
en sind zu Beginn der Expansionsphase
bekannt, die Berechnung kann unmittelbar erfolgen.
Diese Berechnung basiert auf folgender Annahme: Wenn whrend der Expansionsphase im Reibpunkt Haften auftritt, hat dies eine hnliche Geschwindigkeitsnderung am K
rper zur Folge, wie wenn schon am Ende der Kompressionsphase Haften
geherrscht htte, da auch whrend Gleitphasen bereits eine Rckspeicherung aus
dem vorgespannten Tangentialelement stattnden kann. Wie im Kapitel 6 gezeigt
wird, lt sich diese Annahme gut mit Experimenten in Einklang bringen.
Nun sind die drei "ste des tangentialen Stogesetzes in Bild 3.5 erklrt. Als Beispiel ist ein Fall gewhlt, bei dem der tangentiale Kompressionsimpuls positiv
war. Der linke Ast der Kennlinie ist bis in den positiven Quadranten zum Wert
TELi (Index L wegen links) verschoben. Der rechte Ast liegt an der Reibgrenze beim Wert TERi (Index R wegen rechts). Der Abstand beider "ste betrgt
TEDi = iNEi ; "Ni "Ti jTCij, unabhngig vom Vorzeichen des Kompressionsimpulses. Erreicht der Expansionsimpuls keinen der beiden Extremwerte, mu die
Expansionsgeschwindigkeit g_ TE0 betragen.
3.6.4 Lsung fr die Expansionsphase
Ziel ist es, die Zustnde am Ende des Stoes zu berechnen. Als Eingangsgr
en
stehen die Ergebnisse am Ende der Kompressionsphase (g_ NC , g_ TC , NC und TC )
sowie die Systemparameter (G und i) zur Verfgung. Neu hinzu kommen die Stozahlen "Ni und "Ti in normaler und tangentialer Richtung. Gesucht sind die Impulse NE und TE , die letztlich ben
tigt werden, um mit Hilfe der Impulsgleichung
(3.18) den Zustand der generalisierten Koordinaten am Stoende zu berechnen. Als
Ergebnis stehen auch die Relativgeschwindigkeiten in den Kontakten am Ende des
Stoes (g_ NE und g_ TE ) zur Verfgung, die einerseits fr das physikalische Verstndnis
3.6 Expansionsphase mit tangentialer Reversibilitt
47
des Stoes wichtig sind und andererseits als Indikatoren fr den Bindungszustand
fr die weitere Simulation des Mehrk
rpersystems nach dem Sto ben
tigt werden.
Im folgenden wird erlutert, wie die Gleichungen, die die Expansionsphase beschreiben, zu einem l
sbaren LCP zusammengefat werden k
nnen. Wie in Abschnitt
3.4 erlutert wurde, spielt die Fallunterscheidung, ob in einem Kontakt whrend
der Kompressionsphase ein positiver oder negativer Tangentialimpuls wirkte, eine
wesentliche Rolle. Um fr die gesamte Phase eine geschlossene Darstellung in Matrizenform angeben zu k
nnen, wird die Fallunterscheidung in den Selektionsmatrizen
S+ und S; vorgenommen, die wie folgt deniert sind:
S
S;
+
1
= diag 2 (1 + sign(TCi))
1
= diag 2 (1 ; sign(TCi))
(3.27)
(3.28)
Diese Matrizen sind abgewandelte Einheitsmatrizen, deren Diagonalelemente in Abhngigkeit vom Vorzeichen von TCi entweder eins oder null betragen.
Wie bereits in der Kompressionsphase gezeigt, mu durch geeignete Koordinatentransformationen
TEVi = TEi ; TELi
g_ TEVi = g_ TEi ; g_ TE0i
(3.29)
(3.30)
die Kennlinie mit ihrem linken unteren Knick in den Ursprung verschoben werden.
Die entsprechende Verschiebung der Normalkennlinie ist bereits in Gleichung (3.22)
angegeben. Man setzt nun die Transformationen (3.22), (3.29) und (3.30) in die
Impulsgleichung (3.20) ein und erhlt zwei Gleichungen
g_ NE
g_ TEV
=
=
GNN (NP + "N NC ) + GNT (TEV + TEL) + g_ NC
GTN (NP + "N NC ) + GTT (TEV + TEL) + g_ TC ; g_ TE0
(3.31)
(3.32)
in normaler und tangentialer Richtung. Setzt man noch die Bestimmungsgleichung
fr g_ TE0 (3.26) in (3.32) ein, erhlt man fr die Tangentialgleichung:
g_ TEV = GTN NP + GTT (TEV + TEL ; "N "T TC ) + g_ TC
(3.33)
Um endgltig zur LCP-Formulierung zu gelangen, mu die Reibbindung noch in
zwei Einfachbindungen mit Hilfe der Gleichungen
+
;
g_ TEVi = g_ TEVi
; g_ TEVi
(+)
TEVi = TEVi
;)
(TEVi
= ;TEVi + TEDi
aufgespaltet werden.
(3.34)
(3.35)
(3.36)
48
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
+
Die komplementren Paare des Systems sind (g_ NE NP ), (g_ TEV
(+)
TEV ) sowie
(;)
;
(TEV g_ TEV ). Die Vektoren TEL und TED mssen mit Hilfe der Selektionsmatrizen in Abhngigkeit von den Basisgr
en dargestellt werden:
TEL
TED
=
=
S+"N "T TC ; S;(NP ; "N NC )
(NP + "N NC ) ; "N "T jTC j
(3.37)
(3.38)
Man setzt nun die Gleichungen (3.34), (3.35), (3.37) und (3.38) in (3.33) und
(3.32) ein, nimmt die Gleichungen (3.36) hinzu und fat diese in Matrix-VektorSchreibweise zu
0
g_ NE
B
+
B
@ g_ TEV
TEV
(;)
1 0
NP
CC BB (+)
A = A@ TEV
g_ ;
TEV
1
CC
A+b
(3.39)
zusammen, wobei die Matrix A und der Vektor b lauten:
0
; GNT 0 1
G
;
G
S
NN
NT
A = BB@ GTN ; GTT S; GTT E CCA
;E 0
0
+
;
BB GNN "N NC++ GNT S "N "T TC ; G;NT S "N NC_ + g_ NC
b = @ GTT (S ; E)"N "T TC ; GTT S "N NC + gTC
"N NC ; "N "T jTC j
(3.40)
1
CC
A (3.41)
Dieses LCP in Standardform kann gel
st werden. Die eigentlich gesuchten Gr
en
mssen durch eine Serie von Rcktransformationen gewonnen werden:
g_ NE
g_ TE
NE
TE
direkt enthalten
+
; + g_
= g_ TEV
; g_ TEV
TE 0
= NP + "N NC
(+)
+
;
= (+)
TEV + TEL = TEV + S "N "T TC ; S NE
(3.42)
(3.43)
(3.44)
Die Relativgeschwindigkeiten am Stoende sind fr die weitere Berechnung des Gesamtsystems nicht erforderlich. Mit Hilfe der whrend der Kompressions- und Expansionsphase wirkenden Impulse k
nnen die generalisierten Geschwindigkeiten
q_E = q_A + M ;1(WN (NC + NE ) + WT (TC + TE ))
am Ende des Stoes aus denen zu Beginn des Stoes berechnet werden.
(3.45)
3.7 Expansionsphase des reinen Reibstoes
49
3.7 Expansionsphase des reinen Reibstoes
In diesem Abschnitt wird die Expansionsphase des reinen Reibstoes vorgestellt.
Dieser ist bei einem zentralen Sto identisch mit einem tangentialreversiblen Sto
mit "T = 0, was man als tangentialplastischen Sto bezeichnet. Im Fall eines exzentrischen Stoes k
nnen Unterschiede zwischen dem tangentialplastischen und dem
reinen Reibsto auftreten, deren Voraussetzungen und Konsequenzen im Abschnitt
4.3 diskutiert werden.
Die Kompressionsphase ist fr beide Stotypen identisch. Auch die Expansionsphasen haben groe "hnlichkeiten: Die Kinematik- und Impulsgleichungen und das
normale Stogesetz k
nnen aus den Abschnitten 3.6.1 und 3.6.2 bernommen werden.
Das tangentiale Gesetz ist in diesem Fall das unmodizierte Coulomb-Gesetz, wie
es in Gleichung (3.8) fr die Kompressionsphase verwendet wird. Die Koordinatentransformationen und die Aufspaltung der Kennlinie sind identisch zur Expansionsphase in Abschnitt 3.6.4. Aus diesen Grnden wird hier sofort das LCP angegeben,
das die gesamte Expansionsphase beschreibt:
0
g_ NE
B
+
B
@ g_ TE
1 0
NP
CC BB (+)
A = A@ TEV
TE
TEV
Die Matrix A und der Vektor b lauten:
0
1
G
;
G
G
0
NN
NT
NT
A = BB@ GTN ; GTT GTT E CCA
2
;E 0
(;)
g_ ;
1
CC
A+b
0
BB GNN "N NC + g_ NC
g_ TC
b=@
0
1
CC
A
(3.46)
(3.47)
(3.48)
Dieses LCP in Standardform kann gel
st werden. Die eigentlich gesuchten Gr
en
mssen wiederum durch Rcktransformationen gewonnen werden:
g_ NE
g_ TE
NE
TE
direkt enthalten
+
;
= g_ TE
; g_ TE
= NP + "N NC
= (+)
TEV ; NC
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Mit Gleichung (3.45) k
nnen die generalisierten Geschwindigkeiten q_E am Ende des
Stoes berechnet werden.
50
3 Das Stogesetz auf Impulsebene
3.8 Klassi
kation von impulsmodellierten Sten
In Abschnitt 2.3 wurde bereits die Klassizierung von St
en angedeutet. Modelliert
man St
e mit einem Impulsstogesetz, kann man aus der Struktur der verwendeten
Gleichungen weitere Unterscheidungskriterien ableiten.
Existiert in einem System nur eine einseitige Bindung, oder sind beim Sto einer
Bindung alle anderen ge
net, spricht man von einem Einfachsto, sonst von einem
Mehrfachsto. Fr die weiteren Unterscheidungen betrachtet man die Struktur der
Massenwirkungsmatrix G.
Gilt fr eine Gruppe von Stokontakten i, da GNNij = 0, GTNij = 0 und
GTNij = 0 fr alle Stokontakte j 6= i, das heit, die Nebendiagonalelemente von
G, die den Kontakt i mit dem Kontakt j wechselwirken lassen k
nnen, sind null,
nennt man diese eine entkoppelte Gruppe. Die entkoppelten Gruppen von Stokontakten beeinussen sich untereinander nicht. Die weiteren Klassikationskriterien
lassen sich jeweils unabhngig voneinander auf die entkoppelten Gruppen anwenden. Jede Gruppe kann dabei andere Eigenschaften im Rahmen des folgenden Klassikationsschemas haben. Ist ein Sto oder das Teilsystem innerhalb einer Gruppe
gekoppelt, kann man abhngig davon, welche Elemente von G besetzt sind, von
normal-, tangential- oder mischgekoppelten St
en sprechen.
Gilt fr eine Gruppe von Kontakten GNT = 0 nennt man diesen Sto verallgemeinert zentral. Diese Denition wurde von Glocker in 22] angegeben. In der Arbeit
5] von Batlle wird dafr der Begri balanced collision eingefhrt. Bei diesen
St
en kann das Normalproblem unabhngig vom Tangentialproblem gel
st werden. Ein mischgekoppelter Sto ist immer exzentrisch. Das Beispiel in Abschnitt 4.5
zeigt, da die klassische Denition des zentralen Stoes, die einen Sto als zentral
bezeichnet, wenn die Stonormalenrichtung durch den Schwerpunkt der stoenden
K
rper verluft, bei Mehrfachst
en mit Reibung nicht mehr trgt.
Hat die Matrix G des Stoes vollen Rang, spricht man von unabhngigen Bindungen, bei einem Rangabfall von abhngigen Bindungen. Sind in einem System mehr
Bindungen (ein Kontakt enthlt zwei Bindungen) als Freiheitsgrade, kann G niemals vollen Rang haben. Somit kann auch der Einfachsto eines K
rpers mit einem
Freiheitsgrad bereits abhngige Bindungen enthalten.
Ein Sto kann plastisch, teilelastisch oder elastisch sein. Bei der Betrachtung von
tangentialreversiblen St
en kann dieses Kriterium sowohl auf die Normal- als auch
auf die Tangentialrichtung angewendet werden. Dabei gilt ein Sto als plastisch,
wenn " = 0, teilelastisch, wenn 0 < " < 1 und elastisch, wenn " = 1 ist. Bei einem
zentralen Einfachsto garantiert " = 1 vollstndige Energieerhaltung. Dies ist bei
komplizierten St
en nicht uneingeschrnkt der Fall. Insbesondere in Tangentialrichtung gilt hier eine wichtige Einschrnkung: Voraussetzung dafr, da der Sto
elastisch und damit energieerhaltend ist, ist eine fr Haften whrend des gesamten
Stoes ausreichende Reibung im Kontakt. Ist dies nicht der Fall, kann trotz "T = 1
eine erhebliche Energiemenge beim Sto dissipiert werden (siehe Bild 4.6).
Auch bei Mehrfach-Normalst
en bildet ein "N = 1 keine Garantie fr ein Abheben
3.8 Klassikation von impulsmodellierten Sten
51
der K
rper am Ende des Stoes. Betrachtet man den linken Teil von Bild 3.4, sieht
man, da die K
rper trotz eines vorhandenen "N > 0 am Stoende in Kontakt
bleiben, was der Anschauung eines elastischen Stoes widerspricht.
Bei einem Einfachsto beschreiben die Begrie plastisch, teilelastisch und elastisch
Stophnomene, die sich dann mit einem geeigneten Koezienten erfassen lassen.
Bei komplizierten Stophnomemen gilt diese Anschauung nicht mehr und, die Begrie sind nur noch an die Wertebereiche der Koezienten gebunden.
Als letztes Klassizierungskriterium kann der reine Reibsto und der tangentialelastische Sto unterschieden werden. Beim zentralen Sto ist der reine Reibsto
identisch zum tangentialelastischen Sto mit "T = 0 und stellt somit nur einen Sonderfall dar. Beim exzentrischen Sto kann unter besonderen Bedingungen hier ein
Unterschied auftreten, der in Abschnitt 4.3 ausfhrlich diskutiert wird.
52
4 Sonderflle und Beispiele
Kapitel 4
Sonderflle und Beispiele
4.1 Der zentrale Einfachsto
In diesem Abschnitt soll die Berechnung des zentralen Einfachstoes auf Impulsebene
dargestellt werden. Dabei wird der Berechnungsgang, wie er in den Abschnitten 3.5
bis 3.7 erlutert ist, auf diesen Spezialfall angewendet. Bei diesem einfachen System
k
nnen die LCPs (Gleichungen (3.14) und (3.39)) durch Fallunterscheidungen gel
st
werden und eine geschlossene L
sung des Gesamtsystems, abhngig von nur einem
Parameter, angegeben werden.
Diese Stokonguration erhlt dadurch eine besondere Bedeutung, da ein groer
Teil der Stoversuche mit einem rotationssymmetrischen Wurfk
rper durchgefhrt
wurde, was eine technische Realisation des zentralen Einfachstoes darstellt. Die
Meergebnisse dieser Versuche werden in Abschnitt 6.2 mit den theoretischen Ergebnissen in diesem Abschnitt verglichen.
Bei diesem Sto gelte immer g_ NA < 0 und g_ TA < 0. Ersteres ist Voraussetzung
fr das Auftreten eines Stoes und die zweite Bedingung vereinfacht die Fallunterscheidungen. Am Ende wird gezeigt, da bei g_ TA > 0 symmetrische Ergebnisse
herauskommen.
Die Berechnung lt sich bersichtlicher gestalten, wenn man mit dimensionslosen
Gr
en rechnet. Alle Geschwindigkeiten werden mit der negativen normalen Relativgeschwindigkeit normiert. Die neu entstehenden Gr
en werden mit und entsprechenden Indizes bezeichnet. Eine Ausnahme stellt TA, dar bei dem der Index
weggelassen wurde, da es als wichtigster freier Parameter sehr hug in weiteren
Rechnungen und Bildern gebraucht wird.
g_ TC = ;g_g_TA NC = ;g_gNC
TC =
_ NA
;g_ NA
NA
g
_
g
_
g_ TE0
TE
NE = ;gNE
(4.1)
TE =
TE 0 =
_ NA
;g_ NA
;g_ NA
Aufgrund der Annahme g_ TA < 0 gilt auch < 0. Auch die Impulse werden in
dimensionslose Gr
en umgewandelt. Dazu werden sie mit dem Element GNN der
4.1 Der zentrale Einfachsto
53
Massenwirkungsmatrix G multipliziert und ebenfalls durch die negative normale Relativgeschwindigkeit dividiert. Da die Impulse bereits mit griechischen Buchstaben
bezeichnet sind, werden die dimensionslosen Gr
en mit einem Stern gekennzeichnet.
NC = ;Gg_NN NC TC = ;Gg_NN TC
NA
NA
G
G
(4.2)
NE = NN NE TE = NN TE
;g_ NA
;g_ NA
Als weitere Gr
e fr die dimensionslose Darstellung wird noch das Verhltnis der
Elemente von G mit ; = GTT =GNN eingefhrt. Es gilt immer ; > 0, da G in diesem
Fall positiv denit ist.
Kompressionsphase Im Fall des zentralen Stoes lassen sich das Normal- und
das Tangentialproblem unabhngig voneinander l
sen. Aus Gleichung (3.5) werden
zwei unabhngige Gleichungen
NC = NC ; 1
TC = ;TC ; (4.3)
(4.4)
die zusammen mit dem normalen Kontaktgesetz aus Gleichung (3.7)
NC 0
NC 0
NC NC = 0
(4.5)
und dem Reibgesetz
8
>
< < 0 fr TC = NC
TC = > 0 fr ;NC < TC < NC
: > 0 fr TC = ;NC
(4.6)
die Kompressionsphase beschreiben.
Die Gleichungen (4.3) und (4.5) lassen sich als zwei Kurven in der NC -NC Ebene
interpretieren, die im linken Teil von Bild 4.1 dargestellt sind. Im rechten Teil sind die
Gleichungen (4.4) und (4.6) in der TC -TC Ebene eingetragen. Die Impulsbilanzen
stellen jeweils Geraden mit positiver Steigung dar, deren -Achsenabschnitt durch
die tangentialen Relativgeschwindigkeiten vor dem Sto bestimmt wird. Die L
sung
fr das Normalproblem lt sich sofort mit
NC = 1 und NC = 0
(4.7)
ablesen, was auch der Denition des Endes der Kompressionsphase entspricht.
Beim Tangentialproblem sind in Abhngigkeit von drei L
sungsbereiche denkbar,
die den Fllen Gleiten links, Gleiten rechts und Haften entsprechen. Mit der
Einschrnkung < 0 bleiben zwei Flle brig:
54
4 Sonderflle und Beispiele
γTC
γNC
∗
μΛ
-1
1
Λ
∗
NC
∗
NC
−μΛ
1
Λ
γ
∗
TC
Γ
1
A
Fall
Normalproblem
NC
B
Tangentialproblem
Bild 4.1: Kompressionsphase des zentralen Einfachstoes
Fall A: > ;; TC = 0
TC = ; Haften
Fall B: < ;; TC = + ; TC = Gleiten
Die Fallunterscheidung hngt nur von der normierten tangentialen Relativgeschwindigkeit ab. Festzustellen ist, da fr den Impuls immer TC 0 gilt.
Expansionsphase Das Normalproblem der Expansionsphase kann graphisch in
der NE -NE -Ebene dargestellt (Bild 4.2) und gel
st werden. Die erste Komponente
der Impulsgleichung (3.20) vereinfacht sich in der dimensionslosen Darstellung zu
NE = NE + NC
(4.8)
und das Stogesetz lautet:
NE 0
(NE ; "N NC ) 0
NE (NE ; "N NC ) = 0
(4.9)
Die Impulsbilanz stellt eine Gerade dar und das Stogesetz einen in den ersten Quadranten verschobenen Haken. Die Gerade geht immer vom Ursprung aus, da am
Ende der Kompressionsphase NC = 0 gilt. Die Steigung der Geraden ist positiv,
daher mu der Schnittpunkt immer im senkrechten Ast des Hakens liegen. Demzufolge gilt am Ende der Expansionsphase
NE = "N und NE = "N :
(4.10)
Das Tangentialproblem der Expansionsphase ist entscheidend dafr, da tangentialreversible Eekte nachgebildet werden k
nnen. Die Impulsbilanz
TE = ;TE + TC
(4.11)
4.1 Der zentrale Einfachsto
55
γNE
εN Λ
∗
NC
1
1
Λ
∗
NE
Bild 4.2: Expansionsphase des zentralen Einfachstoes, Normalproblem
stellt eine Gerade mit positiver Steigung in der TE -TE Ebene dar (Bild 4.3). Das
Stogesetz setzt sich aus drei "sten zusammen, die sich wie folgt bestimmen: Da
der tangentiale Kompressionsimpuls bei den getroenen Annahmen immer gr
er
als null ist, gilt auch TE = "N "T TC 0. Dies stellt den linken Ast des Hakens
dar. Der rechte Ast wird durch das Coulomb'sche Reibgesetz bestimmt und liegt bei
TE = NE = "N . Die H
he des horizontalen Verbindungsastes TE0 wird mit
Gleichung (3.26) zu
TE0 = "N "T ;TC
(4.12)
berechnet. Damit liegen die drei Abschnitte der Stokennlinie fest. Die Impulsbilanz
ist eine Gerade mit der positiven Steigung ; und dem -Achsenabschnitt TC , der
negativ ist. Abhngig von diesem Abschnitt, der die tangentiale Relativgeschwindigkeit am Ende der Kompressionsphase reprsentiert, kann die Gerade in einem der
drei Abschnitte die Kennlinie des Stogesetzes schneiden. Bei dieser Fallunterscheidung mssen auch die Zustnde am Ende der Kompressionsphase mit einbezogen
werden.
Fall A: Am Ende der Kompressionsphase herrschte Haften TC = 0 und der Tan-
gentialimpuls betrug TC = ;=;. Damit ergibt sich TE0 = ;"N "T . Die Gerade
der Impulsgleichung, die im Fall A immer durch den Ursprung des TE -TE Koordinatensystems geht, schneidet die Kennlinie damit genau in ihrem linken Knickpunkt.
Physikalisch kann man diesen Fall so interpretieren, da whrend der Kompressionsphase ein tangentialer Impuls gespeichert wird, der, da whrend des Stoes Haften
herrscht, auch weitgehend wieder zurckgegeben werden kann.
Fall B: Am Ende der Kompressionsphase herrschte Gleiten, der Tangentialimpuls
betrug TC = . Die H
he des horizontalen Abschnitts der Stokennlinie liegt damit
56
4 Sonderflle und Beispiele
γTE
εNεTΛ
∗
TC
Kennlinie für Fall A
mit kleinerem ΛTC
Fall A
γTE0
γTC
Γ
∗
μΛ
NE
Λ
∗
TE
1
B1
Fall B2
Bild 4.3: Expansionsphase des zentralen Einfachstoes, Tangentialproblem
bei
TE0 = "N "T ;
(4.13)
fest und ist nicht mehr von den Anfangsbedingungen abhngig. Man kann die Impulsgerade nun nach unten verschieben, bis sie den rechten Knickpunkt der Stokennlinie erreicht. Das ist genau dann der Fall, wenn TC = ;"N ("T ; 1) gilt. Bleibt
TC oberhalb dieser Grenze, liegt Fall B1 vor, und es gilt fr den Expansionsimpuls
und die tangentiale Relativgeschwindigkeit:
TE = "N "T TE = ("N "T ; 1) ; ;
(4.14)
Diesen Fall kann man sich so vorstellen, da whrend der gleitend absolvierten Kompressionsphase ein tangentialer Impuls gespeichert werden konnte, der, da in der
Expansionsphase Haften auftritt, trotzdem entspeichert werden kann.
Gilt TC < ;"N ("T ; 1) liegt Fall B2 vor und die Impulsgerade schneidet den reinen
Reibast der Expansionskennline. Es gilt
TE = "N TE = ;(1 + "N ) + (4.15)
Bei dieser Stokonguration herrscht whrend des gesamten Stoes Gleiten. Die
Gleitgeschwindigkeit ist die ursprngliche Relativgeschwindigkeit, vermindert um
einen konstanten Term. Die Ergebnisse der Expansionsphase fr die drei Flle sind
in Tabelle 4.1 zusammengefat.
4.1 Der zentrale Einfachsto
57
Tabelle 4.1: Das Tangentialproblem des zentralen Einfachstoes
Kompressionsphase
Wert
Fall A
Grenze
0 > > ;; = ;;
TC
0
0
TC
;;
Expansionsphase, grenz = ;;(1 + "N ; "N "T )
Fall B1
> grenz
TE
;"N "T "N "T ;
"N "T ;
TE
"N "T ;"N "T ;
("N "T ; 1) ; ;
Gesamtsto
T ;(1 + "N "T ) ; (1 + "N "T )
"N "T ; ;
Fall B
< ;;
+ ;
Grenze
Fall B2
= grenz
< grenz
"N "T ; ;(1 + "N ) + "N
"N
("N + 1)
("N + 1)
Der Gesamtimpuls in Normalrichtung betrgt gem den Gleichungen (4.7) und
(4.10) N = 1 + "N . Das gesamte Verhalten dieses Stoes ist ausschlielich von
der dimensionslosen Geschwindigkeit und den Kontaktkoezienten , "N und "T
abhngig. Fr positive Werte von ergibt sich ein entsprechendes punktsymmetrisches Verhalten. In den Bildern 4.4, 4.5 und 4.6 sind Ergebniskurven fr jeweils 4
Parameterstze, die in Tabelle 4.2 aufgelistet sind, aufgetragen. ; = 2:5 tritt bei
einer Kreisscheibe mit auenliegender Masse auf.
Satz
1
2
3
4
;
2.5
2.5
2.5
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Tabelle 4.2: Untersuchte Beispielstze
"N
0.8
0.8
0.8
1
"T
0.0
0.4
0.8
1
Typ
ohne tang. Reversibilitt
mit geringer tang. Reversibilitt (hnl. Stahl)
"N = "T (hnl. Gummi)
Grenzfall Energieerhaltung
In Bild 4.4 ist die tangentiale Relativgeschwindigkeit nach dem Sto TE ber der
vor dem Sto dargestellt. Die Knicke in den Kurven stellen jeweils die Grenzen
der Bereiche (A, B1, und B2) dar. Sobald "T > 0 ist, entsteht in der Nhe von
= 0, was einem Sto mit kleiner tangentialer Relativgeschwindigkeit entspricht,
eine Umkehrung der Relativgeschwindigkeit. Ist die Relativgeschwindigkeit zu gro,
berwiegen die Gleitphasen whrend des Stoes und es kann keine Reversion mehr
auftreten. Mit der Steigung der Kennlinien in der Nhe des Ursprungs lt sich "T
gut identizieren (Stze 24). Bei Satz 4 verschwindet der Bereich des Falls B1, bei
Satz 1 sind die Flle A und B1 identisch und gehen knickfrei ineinander ber.
4 Sonderflle und Beispiele
Relativgeschwindigkeit tangential Ende γ TE
58
2
Fall B2
1.5
Fall A
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
1
0.5
0
Fall B1
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
Relativgeschwindigkeit tangential γ
2
3
4
Bild 4.4: Relativgeschwindigkeiten des zentralen Einfachstoes
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
1
Impuls tangential ΛT
0.5
0
-0.5
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
Bild 4.5: Tangentialimpulse des zentralen Einfachstoes
3
4
4.1 Der zentrale Einfachsto
59
In Bild 4.5 sind die whrend des Stoes wirkenden Tangentialimpulse aufgetragen.
Mit steigender Reversibilitt (Satz 13) wird in der bergangszone zunehmend mehr
Impuls bertragen. Beim vollelastischen Sto (Satz 4) ist der bertragene Impuls
immer gr
er, da in der Expansionsphase ein gr
erer Normalimpuls wirkt, der
mittels Reibung auch einen gr
eren Tangentialimpuls zult.
Energiebilanz Die Dierenz aus kinetischer Energie nach dem Sto TE und vor
dem Sto TA wird mit T bezeichnet und lt sich mit Stoimpulsen und Relativgeschwindigkeiten ausdrcken:
T = TE ; TA = 21 2N GNN + 21 2T GTT + N g_ NA + T g_ TA
(4.16)
Es wird die dimensionslose Energie T eingefhrt, die zu folgendem Ausdruck
fhrt:
T = T 2 GNN = 1 (N )2 + 1 ;(T )2 ; N + T (4.17)
g_ NA
2
2
Zu zeigen ist, da bei dem Sto immer Energie dissipiert wird. Da die Normierung
von T das Vorzeichen nicht ndert, soll T < 0 abschnittsweise bewiesen werden.
Zunchst sollen die beiden Komponenten von T betrachtet werden, die N enthalten. Es gilt
1 ( )2 ; = 1 (1 ; " )2 ; (1 ; " ) = 1 ("2 ; 1) 0 fr " 1 (4.18)
N
N
N
N 2
2 N
2 N
Diese Teile der Energiedierenz erfllen die Dissipationsbedingung. Grenzfall ist mit
"N = 1 ein energieerhaltender Sto.
In tangentialer Richtung mu noch der Term TT = 12 ;(T )2 + T fallweise untersucht werden:
Fall A
TT = ; 12 1 + ;"N "T |{z}
2 (1
| ; {z"N "T )}
|
{z
>0
}
0
0
(4.19)
Die Teilterme sind alle gr
er oder gleich null. Aufgrund des negativen Vorzeichens
entsteht dadurch ein Energieverlust. Im Fall von = 0 ist keine tangentiale Relativbewegung vorhanden. Entsprechend wird auch keine Energie dadurch dissipiert.
Fall B1
TT = 1 ("N "T ;)2 ; 2
(4.20)
2;
In diesem Fall gilt immer, da < ;; und somit auch 2 > 2;2 . Dadurch ist der
Klammerausdruck in Gleichung (4.20) immer 0.
60
4 Sonderflle und Beispiele
Fall B2
1
T = (1 + "N ) 2 ;(1 + "N ) + (4.21)
Hier ist nicht auf den ersten Blick zu erkennen, da dieser Ausdruck 0 ist. L
st
man Gleichung (4.21) nach auf und setzt grenz aus Tabelle 4.1 ein, erhlt man
die Ungleichung
T
TT ; 1 ;(" + 1) < ;;(" + 1) + ;" " N
N
N T
("N + 1) 2
(4.22)
die sich zu
TT < ; " " ; 1 (" + 1)
N T
("N + 1)
2 N
(4.23)
umformen lt. Der Klammerausdruck auf der rechten Seite ist fr "N 1 und
"T 1 immer 0.
Energiedifferenz ΔT*
0
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.6: Energiebilanz des zentralen Einfachstoes
Damit ist fr alle Bereiche von gezeigt, da durch den Sto keine Energie hinzugewonnen werden kann. In Bild 4.6 ist die Energiedierenz durch den Sto fr die
verschiedenen Beispieldatenstze dargestellt.
In der Nhe von = 0 wird die Energiebilanz nur durch den normalen Stokoezienten "N bestimmt. Bei zunehmender Relativgeschwindigkeit nimmt die Dissipation
durch Reibung zu, etwas vermindert bei groem "T (Satz 3). Fr Datensatz 4 ist der
4.2 Der exzentrische Einfachsto
61
Sto im Bereich des Haftens vollstndig energieerhaltend. Bei Verlassen des Haftbereichs nimmt die Dissipation durch Reibung rasch zu. Bei reinem Gleiten whrend
des gesamten Stoes unterscheiden sich die Energieverluste der verschiedenen Parameterstze nur noch gering.
Eine wichtige Erkenntnis dieser Energiebetrachtung soll im folgenden erklrt werden: Ein Sto hat immer dissipativen Charakter, wenn am Ende der Expansionsphase Haften vorliegt, das heit die Rollbedingung gegenber dem Stopartner beim
Abheben erfllt ist. Ausgenommen ist der triviale Fall, bei dem die Bedingung auch
zu Stobeginn erfllt war. Als Erluterung soll das Beispiel in Bild 4.7 dienen.
vvor
ΛN ΛT
Bild 4.7: Gedankenmodell fr den Sto mit Nase
Der Tangentialimpuls entsteht in diesem Gedankenmodell nicht durch Reibung, sondern durch einen Normalsto an der Nase des K
rpers. Man hat es also mit zwei
unabhngigen Normalst
en zu tun. Fordert man die Erfllung der Rollbedingung
nach dem Sto, mu an der Nase in Tangentialrichtung ein plastischer Sto stattnden, der immer mit Dissipation verbunden ist.
Die Gr
enordnung dieser Verluste kann man fr ein typisches Beispiel aus dem
Bereich des Sportes abschtzen: Ein Tennisball (Hohlkugel) iegt zunchst drallfrei
und st
t mit einem Anugwinkel von 20 auf den Boden. Wenn der Sto so abluft,
da fr die normale Stozahl "N =0:8 gilt und in tangentialer Richtung nach dem Sto
die Rollbedingung gilt, verliert der Ball insgesamt ca. 37% seiner kinetischen Energie.
Davon entfallen 4% auf den Verlust in Normalrichtung durch die Stozahl "N < 1
und 33% auf den Eekt der Reibung im Kontakt.
4.2 Der exzentrische Einfachsto
In diesem Abschnitt wird der exzentrische Einfachsto detailliert dargestellt. In diesem Fall sind die Gleichungen in Normal- und Tangentialrichtung nicht entkoppelt.
Einfache Fallunterscheidungen wie im Abschnitt 4.1 sind hier nicht mehr m
glich.
Es kommt ein weiterer Parameter, der das Ma der Exzentrizitt kennzeichnet, ins
Spiel.
Zunchst wird die Kompressionsphase fr einen derartigen Sto allgemein dargestellt. Danach wird fr einen speziellen exzentrischen K
rper der gesamte Sto be-
62
4 Sonderflle und Beispiele
rechnet.
4.2.1 Die allgemeine Kompressionsphase
Auch hier soll eine dimensionslose Darstellung gewhlt werden. Zustzlich zu den in
den Gleichungen (4.1) und (4.2) eingefhrten Gr
en wird noch ;NT = GNT =GNN ,
eingefhrt. Diese Gr
e charakterisiert das Ma der Exzentrizitt des Stoes. Wenn
;NT = 0 gilt, ist der Sto zentral. Sie kann aber positives und negatives Vorzeichen
annehmen, was Fallunterscheidungen erheblich erschwert.
Die Kompressionsphase wird durch vier Gleichungen beschrieben. Zunchst wird die
Impulsbilanz 3.5 dimensionslos gemacht und in Form zweier skalarer Gleichungen
NC = NC + ;NC TC ; 1
TC = ;NC NC + ;TC + :
(4.24)
(4.25)
fr die normale und tangentiale Richtung dergestellt. Hinzu kommen die Kontaktgesetze in normaler und tangentialer Richtung gem den Gleichungen (4.5, 4.6).
Die vier Unbekannten sind NC , TC , NC und TC .
Das normale Teilproblem kann man einfach l
sen: Angenommen, man bendet sich
im senkrechten Ast der Kennline (siehe Bild 3.2, linker Teil), gilt NC = 0. Da
der Tangentialimpuls TC nur durch Reibung erzeugt werden kann, gilt somit auch
TC = 0. Damit verbleibt NC = ;1, was gleichbedeutend mit Eindringen wre
und einen Widerspruch zum Kontaktgesetz (4.5) darstellt. Demnach mu NC = 0
gelten.
Somit verbleiben noch drei Unbekannte, fr die die Impulsbilanzen und das tangentiale Stogesetz zur L
sung zur Verfgung stehen. Eine weitere Einschrnkung stellt
die Beziehung NC > 0 aus dem normalen Stogesetz dar. In Bild 4.8 ist der dreidimensionale Raum, der durch die verbliebenen Unbekannten TC , NC und TC
aufgespannt wird, dargestellt. Die normale und die tangentiale Impulsbilanz stellen
jeweils Ebenen in diesem Raum dar:
Die normale Impulsbilanzebene steht senkrecht im Bild, das heit, sie ist parallel zur TC -Achse. Im Punkt P2 schneidet sie bei TC = 1 die NC -Achse.
Die Steigung in NC -Richtung betrgt ;NT . Diese Ebene kann sich in Abhngigkeit von ;NT um den Punkt P2 in senkrechter Richtung drehen.
Die tangentiale Impulsbilanzebene schneidet im Punkt P1 die TC -Achse beim
Wert . Ihre Steigung in NC -Richtung betrgt ;NT und in TC -Richtung ;.
In Abhngigkeit von der Anfangsbedingung wird diese Ebene entlang der
TC -Achse nach oben oder unten verschoben.
Die Ebenen sind nicht begrenzt und nur in der Zeichnung zur besseren Sichtbarkeit
jeweils auf ein endliches Flchenstck beschrnkt.
4.2 Der exzentrische Einfachsto
63
normale
Impulsbilanz
γTC
Λ
P2
1
μ
∗
NC
ΓNT
1
P
Λ
Γ
1
γ
1
P1
TC
Schnittgerade S
ΓNT
tangentiale
Impulsbilanz
Coulomb Gesetz
∩
normale
Impulsbilanz
∗
∩
tangentiale
Impulsbilanz
Reibfläche
Bild 4.8: Raum der Unbekannten NC , TC und TC mit den
l
sungsbestimmenden Ebenen und Flchen
64
4 Sonderflle und Beispiele
Das Stogesetz wird durch eine zweifach geknickte Flche reprsentiert. Die beiden
ueren Flanken sind jeweils parallel zur TC -Achse. Die verbindende horizontale
Dreiecksche liegt in der Ebene, die durch die NC - und TC -Achsen aufgespannt
wird. Diese Flche erweitert sich mit der Steigung (Reibkoezient) in positive
NC -Achsenrichtung. Die Flchen sind jeweils halbunendlich: sie erstrecken sich von
den Knicken, an denen sie tatschlich begrenzt sind, unendlich weit. In der Zeichnung
sind die Flchen begrenzt dargestellt.
Der Schnittpunkt der beiden Ebenen mit der Stogesetzche ist der L
sungspunkt
im (TC , NC , TC )-Raum. Zu untersuchen ist, ob in Anbetracht der Form der Reibche eine eindeutige L
sung existiert. Dazu wird die Schnittgerade S der beiden
Ebenen betrachtet:
0
TC
B
B
@ NC
TC
1 0
2
CC BB ; ; ;NT
A = @ ;;NT
S
1
1
0
CC BB ;NT + ATC + @ 1
0
1
CC
A
(4.26)
Fr diese Gerade gilt grundstzlich, da mit einer Zunahme von TC auch TC
ansteigt, da
@TC = ; ; ;2 > 0
NT
@ TC
(4.27)
die immer positive Determinante der positiv deniten G-Matrix ist. Aus diesem
Grund schneidet die Gerade S die Stogesetzche genau einmal, deshalb gibt es
eine eindeutige L
sung.
Die Lage des Schnittpunktes wird letztlich durch vier Parameter bestimmt: Die Reibung steht unabhngig von der Stokonguration fest. ; und ;NT ndern sich
durch die Lage des Schwerpunktes zum Stopunkt im Stomoment und spiegeln
damit den Grad der Exzentrizitt wieder. Der Parameter stellt die Tangentialgeschwindigkeit vor dem Sto dar.
Prinzipiell sind drei Lagen des Schnittpunktes denkbar: Er bendet sich in einer der
beiden senkrechten Flanken, was Gleiten am Ende der Kompressionsphase in die
eine oder andere Richtung bedeutet, oder der Schnittpunkt liegt im horizontalen
Bereich, was Haften anzeigt. Tendenziell verschiebt ein groes den Schnittpunkt
in Richtung TC > 0 und TC < 0. Dennoch ist auch eine Reibrichtungsumkehr
bereits in der Kompressionsphase denkbar.
Es wre auch hier m
glich, analog zum Vorgehen in Abschnitt 4.1, eine Kaskade von
Fallunterscheidungen durchzufhren. Dies fhrt jedoch zu unanschaulichen Ergebnissen. Es ist sinnvoller, dieses Problem numerisch mit einem LCP zu l
sen, welches
ein strukturiertes Fallunterscheidungsschema enthlt.
Die Expansionsphase ist noch komplizierter, da die Komplementarittsbedingung
des Normalgesetzes nicht sofort zu l
sen ist, und somit die L
sung im vierdimensionalen Raum zu suchen ist. Dabei geht die Anschauung v
llig verloren, weshalb hier
auf eine allgemeine Darstellung verzichtet wird.
4.2 Der exzentrische Einfachsto
65
4.2.2 Kontaktkinematik des speziellen Wurfkrpers
Es wird ein K
rper gem Bild 4.9 betrachtet. Der K
rper sei beliebig geformt
(graue Linie). Ein Teil der K
rperkontur ist ein Kreisbogen mit dem Radius R
(schwarze Linie), an dem auch der Sto stattndet. Stopartner sei eine inertiale
Flche. Bezugspunkt ist der Schwerpunkt S . Fr ihn gelten die Koordinaten x, y
und ' im Inertialsystem. Der Ortsvektor vom Schwerpunkt zum Mittelpunkt M
des Konturkreisbogens sei rSM . Dieser K
rper kann im Grenzfall eine Kreisscheibe
(rSM = 0) oder einen K
rper mit einer Ecke (R = 0) darstellen. Auch ein Stab
ist ein Spezialfall dieser K
rpergeometrie. Der Winkel ' beschreibt die Verdrehung
zwischen dem k
rperfesten und dem inertialen Koordinatensystem.
S = P1
rSM
M
R
t1
s2
0 = P2
s1
ϕ
yK
xK
n1
rD
y
t2
x
n2
Bild 4.9: Exzentrischer Wurfk
rper mit kreisbogenf
rmiger Kontaktzone
Ohne auf die Herleitung einzugehen, die im Abschnitt 2.3 von 22] ausfhrlich beschrieben ist, sollen gleich die normalen und tangentialen Abstnde und Relativgeschwindigkeiten
gN
gT
g_ N
g_ T
= rSMx sin ' + rSMy cos ' + y ; R
= ;rSMx cos ' + rSMy sin ' ; x ; R '
= ( rSMx cos ' ; rSMy sin ') '_ + y_
= (;rSMx cos ' + rSMy sin ') '_ ; x_ ; R '_
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
angegeben werden. Aus den Relativgeschwindigkeiten (Gleichung (4.30) und (4.31))
66
4 Sonderflle und Beispiele
wird die Bindungsprojektionsmatrix
W
T
cos ' ; rSMy sin '
= ;01 10 r rSMx
sin
' + rSMy cos ' ; R
SMx
!
(4.32)
gewonnen.
Ohne Einschrnkung der Allgemeinheit kann man das k
rperfeste Koordinatensystem so whlen, da rSMy = 0 und rSMy = rSM gilt. Zustzlich wird eine neuer
Winkel = ' + =2 eingefhrt, fr den genau dann = 0 gilt, wenn der Schwerpunkt ber dem Stokontaktpunkt liegt. In diesem Fall handelt es sich um einen
zentralen Sto. Die Bindungsprojektionsmatrix vereinfacht sich zu
WT
!
= ;01 10 ;r rSMcossin; R SM
(4.33)
und mit der Massenmatrix M = diag(m m J ) ergibt sich die projizierte Massenwirkungsmatrix
!
2
J + rSM
m(1 ; cos2 ) mrSM sin (R + rSM cos )
1
G = Jm
mrSM sin (R + rSM cos ) J + m(R + rSM cos )2 : (4.34)
Man sieht, da alle Elemente von G vom Auftrewinkel abhngen, die Hauptdiagonalelemente GNN und GTT nur in zweiter Ordnung, die Nebendiagonalelemente
GNT in erster Ordnung. Fr = 0 verschwinden diese Elemente erwartungsgem.
4.2.3 Stoverhalten des speziellen Wurfkrpers
Fr die Flle, die in Tabelle 4.2 dargestellt sind, soll nun das Verhalten des exzentrischen Stoes untersucht werden. Der Auftrewinkel betrage zunchst = ;20.
Dabei ergeben sich fr den untersuchten Wurfk
rper abweichend zu Tabelle 4.2
; = 3 und ;NT = 0:65.
In Bild 4.10 ist analog zu Bild 4.4 die tangentiale Relativgeschwindigkeit nach dem
Sto aufgetragen. Die Stze 13 zeigen zunehmendes tangentialreversibles Verhalten.
Im Schnittpunkt dieser Kurven verhalten sich die St
e gleich: Der Sto verluft so,
da kein tangentialer Impuls wirkt (Nulldurchgang aller Kurven in Bild 4.11). Das ist
genau dann der Fall wenn = ;;NT gilt, das heit, das Verhltnis der tangentialen
und normalen Relativgeschwindigkeit entspricht dem Verhltnis der Elemente der
Massenwirkungsmatrix.
Das in dieser Arbeit vorgestellte Stogesetz zeichnet sich dadurch aus, da die Effekte in tangentialer Richtung auch das Verhalten des Stoes in normaler Richtung
beeinussen k
nnen. Voraussetzung dafr ist, da der Sto exzentrisch ist, weil sonst
die Hauptrichtungen entkoppelt sind. In Bild 4.12 ist die Abhebegeschwindigkeit
am Ende des Stoes ber der tangentialen Relativgeschwindigkeit aufgetragen. Bei
4.2 Der exzentrische Einfachsto
Relativgeschwindigkeit tangential Ende γTE
2
67
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.10: Tangentiale Relativgeschwindigkeit des exzentrischen
Einfachstoes
1
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
Impuls tangential ΛT
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.11: Tangentialimpuls des exzentrischen Einfachstoes
groen Relativgeschwindigkeiten, die einem v
lligen Durchrutschen whrend des gesamten Stoes entsprechen, ndet keine Beeinussung statt. Kommt es aber zum
Haften whrend des Stoes, kann entweder eine Verringerung der Abhebegeschwin-
4 Sonderflle und Beispiele
Relativgeschwindigkeit normal Ende γNE
68
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.12: Normale Relativgeschwindigkeit des exzentrischen
Einfachstoes
4
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
3.5
Impuls normal ΛN
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.13: Normalimpuls des exzentrischen Einfachstoes
digkeit stattnden und im Gegenzug die Tangentialgeschwindigkeit erh
ht werden
(Bereich ca. ;2:5 < < ;0:65) oder umgekehrt aus der Tangentialbewegung Energie in die Normalbewegung umgelagert werden (Bereich ca. ;0:65 < < 2:5). Der
4.2 Der exzentrische Einfachsto
69
Grenzfall ist der oben beschriebene Fall = ;;NT . Bei entsprechenden Stokongurationen ist es durchaus m
glich, da die normale Abhebegeschwindigkeit gr
er als
die Kollisionsgeschwindgkeit ist, so da scheinbar ein kinematisch deniertes "N > 1
auftreten kann. Dies ist ein Hinweis darauf, da derartige Stovorgnge keinesfalls
mit dem Newton'schen Stogesetz beschrieben werden k
nnen.
Ein interessanter Sonderfall ist in diesem Zusammenhang der sowohl in normale als
auch in tangentiale Richtung vollelastische Sto ("N = 1, "T = 1). Dieser durch Satz
4 dargestellte Fall zeichnet sich dadurch aus, da keine Umlagerung von Energie
zwischen den Storichtungen stattndet. Zur Umlagerung ist oensichtlich immer
Dissipation erforderlich.
Beim Blick auf Bild 4.13 fllt auf, da die Normalimpulse fr die Stze 13 identisch
sind. Der Normalimpuls wrde im zentralen Fall N = 1 + "N betragen. Abhngig
von der tangentialen Relativgeschwindigkeit vor dem Sto liegt der wirkende Impuls
entweder darunter oder darber.
Bei allen diesen Eekten stellt sich sofort die Frage, ob bei der Verwendung dieses
Stogesetzes der dissipative Charakter gewahrt bleibt. Aufschlu darber gibt Bild
4.14, in dem der whrend des Stoes auftretende Energieverlust T dargestellt ist.
Die Stze 13 sind schon alleine aufgrund "N < 1 immer dissipativ. Satz 4 zeigt,
analog zum zentralen Sto, einen Bereich, in dem er vollstndig ohne Energieverlust abluft. Dieser ist im Gegensatz zum zentralen Sto (vergleiche Bild 4.6) nicht
mehr symmetrisch bezglich = 0. Bei gr
eren Relativgeschwindigkeiten kommt
es immer zum Gleiten und damit zu reibungsbedingtem Energieverlust.
Energiediffernz ΔT*
0
Satz 1
Satz 2
Satz 3
Satz 4
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.14: Energiebilanz des exzentrischen Einfachstoes
Am Beispiel der tangentialen Relativgeschwindigkeiten soll der Einu der Exzentri-
70
4 Sonderflle und Beispiele
zitt dargestellt werden. In Bild 4.15 ist fr einen Sto, welcher Satz 3 entspricht, der
Winkel variiert worden. Um den Fall des zentralen Stoes = 0 gruppieren sich
punktsymmetrisch die exzentrischen St
e mit = 15 und = 30 . Interessanterweise geht die Reversibilitt bei zunehmender Exzentrizitt zurck. Dies liegt
daran, da in dem Mae, wie der Sto exzentrischer wird, weniger Normalimpuls aufgebracht werden kann, und dementsprechend auch eher Gleiten auftritt. Dies ist bei
Betrachtung des linken oberen Elements der Matrix G (Gleichung 4.34) erkennbar:
mit zunehmendem Betrag von wird dieses Element kleiner, was bedeutet, da die
zur Bewegungsumkehrung im Stopunkt ben
tigten Impulse in Normalenrichtung
bei gleicher Stogeschwindigkeit immer geringer werden.
Relativgeschwindigkeit tangential Ende γTE
3
α = -30
α = -15
α=0
α = 15
α = 30
2
1
0
-1
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
3
4
Bild 4.15: Tangentiale Relativgeschwindigkeit des exzentrischen
Einfachstoes bei verschiedenen Exzentrizitten
An dieser Stelle soll noch geklrt werden, in wieweit die Ergebnisse des Impulsmodells mit denen des hybriden Stomodells bereinstimmen. Dazu wurde als Testbeispiel der Sto des Wurfk
rpers, der fr die exzentrischen Stoversuche verwendet
wurde, mit beiden Stomodellen berechnet.
Die Ergebnisse dieses Vergleichs sind in Bild 4.16 dargestellt. Als Vergleichsgr
e
wurde die tangentiale Relativgeschwindigkeit am Ende des Stoes TE herausgegriffen, weil sie das gesamte Verhalten des Stoes in tangentialer Richtung gut zusammenfat und die Beschreibung dieser Phnomene letztlich Ziel dieser Arbeit ist.
Die Matrix G ist fr beide Flle identisch. Die Kontaktparameter lauten =
0:8, "N = 0:85 und "T = 0:8, was den Eigenschaften des Gummiwurfk
rpers
entspricht. Die Steigkeits- und Dmpfungswerte fr das Hybridmodell betragen cN = 200000 N/mm, cT = 60000 N/mm, dN = 10 Ns/mm und dT = 20 Ns/mm.
4.3 Unterschied zwischen einem tangentialplastischem und reinem Reibsto
71
Das Dmpfungsgesetz ist so modiziert, da der Dmpfungskoezient bis zu einem
Mindesteindringen linear ansteigt und erst dann den vorgegebenen Wert erreicht. Die
Steigkeiten wurden aus den Stomessungen der Gummiwurfk
rper identiziert.
Relativgeschwindigkeit tangential Ende γTE
6
Impulsmodell
Hybridmodell
4
2
0
-2
-4
-6
-10
-5
0
5
Relativgeschwindigkeit tangential γ
10
Bild 4.16: Vergleich des Hybridmodells mit dem Impulsmodell
Man erkennt eine weitgehende bereinstimmung der Ergebnisse des hybriden Modells mit dem Impulsmodell. Die tangentiale Reversibilitt wird von beiden Modellen
quasi identisch vorhergesagt. Auch das Einmnden in die Geraden, die kontinuierliches Durchrutschen whrend des Stoes vorhersagen, ist richtig getroen. Die kleinen
Unterschiede resultieren aus der Tatsache, da durch das Abspalten einer Teilmasse
immer ein kleiner Modellfehler gemacht wird.
4.3 Unterschied zwischen einem tangentialplastischem und reinem Reibsto
Wie schon in Abschnitt 3.7 angedeutet, kann bei exzentrischen St
en ein Unterschied zwischen dem tangentialplastischen Sto mit "T = 0 und dem reinen Reibsto
ohne jegliche Bercksichtigung tangentialreversibler Eekte auftreten. In diesem Abschnitt soll anhand eines einfachen Beispiels beide Flle dargestellt werden. Am Ende
steht dann eine Bewertung, ob und wann dieser Unterschied wichtig sein kann.
Betrachtet werden soll eine senkrecht nach unten fallende homogene massenbehaftete Scheibe (Masse M , Radius R), an der am ueren Rand eine punktf
rmige
Zusatzmasse m angebracht ist. Die Scheibe fllt ohne Rotation senkrecht nach unten und hat im Moment des Stoes die Geschwindigkeit v0 in negative y-Richtung.
72
4 Sonderflle und Beispiele
Die Zusatzmasse steht dabei in der uersten rechten Position. Um bersichtlichere
Ergebnisse zu erhalten, gelte m = M=2. Im Stopunkt soll ausreichend Reibung
herrschen, um Haften zu gewhrleisten. Der Stokoezient in Normalenrichtung sei
"N . Die Gesamtkonguration ist in Bild 4.17 dargestellt.
m
M
y
ϕ
x
R
v0
O
Bild 4.17: Konguration des Stoes
Die generalisierten Koordinaten sind die Bewegung des Scheibenschwerpunktes in
x und y- Richtung, sowie die Verdrehung der Scheibe um diesen Punkt mit dem
Winkel ', die im Vektor q = (x y ')T zusammengefat sind. Zu Beginn des Stoes
(Index A) gelte qA = (0 R 0)T und q_A = (0 ;v0 0)T .
Die Massenmatrix M hngt von ' ab und lautet fr die angegebene Stokonguration
03
1
0
0
2
M = M BB@ 0 32 12 R CCA:
0 21 R 12 R2
(4.35)
Mit der Jacobimatrix W kann die Massenwirkungsmatrix G berechnet werden:
0
1
0 1
W = B@ 1 0 CA 0 R
G=W
T
M ;1W
1 ;1
= M1
;1 113
!
(4.36)
Die Relativgeschwindigkeiten beim Stobeginn lassen sich mit
g_A = W T q_A =
berechnen.
;v0
0
!
(4.37)
4.3 Unterschied zwischen einem tangentialplastischem und reinem Reibsto
73
Kompressionsphase: Am Ende der Kompressionsphase soll Haften herrschen.
Die dazu notwendigen Impulse C lassen sich mit
C
= ;G;1 g_
A
= v0 M
11
8
3
8
!
(4.38)
berechnen. Damit dieser Zustand erreichbar ist, mu ein Reibkoezient > 3=8 im
Kontakt herrschen, was auch gegeben sein soll. Die Relativgeschwindigkeit am Ende
der Kompressionsphase lautet dann g_ C = (0 0)T .
Expansionsphase, tangentialplastisch: In diesem Fall gilt "T = 0. Die Ge-
schwindigkeit g_ TE0 ergibt sich mit Gleichung (3.26) zu ;11=8"N v0 . Der tangentiale
Expansionsimpuls verschwindet und der Normalimpuls ergibt sich aus dem Poisson'schen Gesetz zu:
E = "N Mv0
11
8
!
0
Die daraus resultierende Relativgeschwindigkeit am Ende des Stoes
g_ E = GE = "N v0
11
8
11
8
(4.39)
!
(4.40)
;
ist mit den Komplementarittsbedingungen kompatibel und damit korrekt. Die generalisierten Geschwindigkeiten am Ende des Stoes lauten dann
0
q_E = M ;1W (C + E ) + q_A = v0BB@
1
4
;
"
11
8 N
2+11"N
8R
1
CC
A
(4.41)
Expansionsphase, reiner Reibsto: In diesem Fall gilt gem dem Poisson'schen Stogesetz fr den normalen tangentialen Expansionsimpuls NE = "NC .
Der Tangentialimpuls ergibt sich aus der Forderung, da auch in der Expansionsphase Haften herrschen soll. Der Expansionsimpuls lautet damit
E = "N Mv0
11
8
11
8
!
(4.42)
wobei auch hier > 3=8 gelten mu, was bereits in der Kompressionsphase Voraussetzung war. Fr die Relativgeschwindigkeit am Stoende gilt:
!
g_ E = GE = "N v0 10
(4.43)
Die generalisierten Geschwindigkeiten am Ende des Stoes lauten dann
01
1
(1
+
"
)
N
4
q_E = M ;1W (C + E ) + q_A = v0BB@ "N CCA
(4.44)
1+"N
; 4R
74
4 Sonderflle und Beispiele
Vergleich: Bei diesem Beispiel zeigt sich tatschlich beim Vergleich der Endge-
schwindigkeiten q_E ein Unterschied zwischen dem tangentialplastischen und dem
reinen Reibsto. Beim tangentialplastischen Sto herrscht am Stoende eine tangentiale Relativgeschwindigkeit im Kontaktpunkt, was auch der Vorstellung eines
nachgiebigen aber dissipativen Elements entspricht. Beim reinen Reibsto herrscht
Haften und somit auch keine Relativgeschwindigkeit. Diese Unterschiede erscheinen
bei diesem idealisierten Beispiel gr
er, als sie in Realitt ausgeprgt sind. Folgende
Bedingungen mssen m
glichst gut erfllt sein, um den Unterschied deutlich hervortreten zu lassen:
Die Reibung mu ausreichend gro sein. Die Dierenz wird umso deutlicher,
je gr
er der Tangentialimpuls werden kann.
Die Exzentrizitt des Stoes mu m
glichst gro sein. Bei einem zentralen Sto
tritt dieser Unterschied berhaupt nicht auf.
Die Dierenz zwischen "N und "T mu gro sein. Wird der Sto sowohl in
Normal- als auch in Tangentialrichtung plastisch, verschwinden die Unterschiede beider Modelle.
Treten in einem System bei St
en tangentialreversible Eekte auf, was bei den
Experimenten (dargestellt in Abschnitt 6.2.4) sogar bei Stahl-Stahl Kontakt der Fall
war, mu immer die tangentialreversible Formulierung gewhlt werden. Wei man
nicht, ob solche Eekte auftreten, ist es zunchst sinnvoller, die tangentialreversible
Formulierung zu verwenden und den tangentialen Stokoezienten "T = 0 zu setzen
und damit einen tangentialplastischen Sto zu berechnen. Nur in Ausnahmefllen,
in denen die obengenannten Bedingungen in besonderen Kombinationen auftreten
(ob es derartige Materialpaarungen berhaupt gibt sei dahingestellt), sollte man mit
einem reinen Reibsto rechnen.
4.4 Anmerkung zum Energieerhalt
In den Arbeiten 22] und 61] wird ein Beweis vorgestellt, in dem gezeigt wird, da
ein Sto, der nach den auch hier in dieser Arbeit vorgestellten Gesetzen abluft,
immer dissipativ oder maximal konservativ ist. Dies ist eine unbedingte Voraussetzung fr die Sinnhaftigkeit des Stogesetzes. In 17] wird erstmals ein wesentlicher
Fehler im Beweis aufgedeckt. Hier soll an einem einfachen System gezeigt werden,
da der Fehler im Beweis nicht zwangslug bedeutet, da ein Sto tatschlich mit
Energierh
hung verbunden ist.
Als Beispielsystem werden zwei senkrecht bereinander stoende Blle gewhlt, die
in 61] im Abschnitt 8.12, wenn auch nicht unter Energieaspekten, bereits diskutiert
werden. Das System hat zwei Freiheitsgrade q = (y1 y2)T , die die vertikale Bewegung der beiden Blle mit der identischen Masse m beschreiben. Zwischen den zwei
K
rpern sei die Stobindung 2, zwischen Masse 1 und Boden die Bindung 1 (siehe
4.4 Anmerkung zum Energieerhalt
75
Ball 2
v0
y2
Bindung 2
Ball 1
y1
Bindung 1
Bild 4.18: Normaler Mehrfachsto von zwei Bllen
Bild 4.18). Massenmatrix M , Bindungsmatrix WN und die projizierte Massenwirkungsmatrix G haben damit folgende Gestalt:
!
m
0
M= 0 m !
WN = 10 ;11 G = m1 ;11 ;21
!
(4.45)
Betrachtet wird nun der Fall, bei dem der obere Ball mit der Geschwindigkeit q_2 =
;v0 auf den am Boden liegenden unteren auftrit. Die kinetische Energie vor dem
Sto betrgt TA = 12 mv02.
Die Kompressionsphase ist ohne Fallunterscheidungen zu berechnen. Es gilt:
!
0
C = mv
mv0
g_ C = 00 !
(4.46)
In der Expansionsphase sind in Abhngigkeit von den Stozahlen "1 und "2 in den
beiden Kontakten drei Flle zu unterscheiden:
1. Fall "2 < "1 und 2"2 > "1:
Beide Blle separieren voneinander und vom Boden
Expansionsimpuls:
E = mv0
"1
"2
!
(4.47)
Relativgeschwindigkeiten nach dem Sto (zugleich Bedingung fr die Grenzen):
g_ E = v0
"1 ; "2
2"2 ; "1
!
(4.48)
76
4 Sonderflle und Beispiele
Generalisierte Geschwindigkeiten nach dem Sto:
q_E = v0
"1 + "2
"2
!
(4.49)
Kinetische Energie nach dem Sto:
TE = mv02 21 "21 ; "1"2 + "22
Die normierte Energiedierenz
(4.50)
TA ; TE = 1 ; "2 + 2" " ; 2"2 = (1 ; " " ) + (" ; " )(2" ; " )(4.51)
1 2
1 2
1
2
2
1
1
2
TA
kann nicht kleiner null werden, da der erste Klammerausdruck immer positiv
ist und beide Klammern des zweiten Summanden genau die Grenzbedingungen
darstellen und auch immer gr
er oder gleich null sind.
2. Fall "2 > "1: Der untere Ball bleibt am Boden liegen
Expansionsimpuls:
E = mv0
"2
"2
!
(4.52)
Relativgeschwindigkeiten nach dem Sto:
g_ E = v0
0
"2
!
(4.53)
Generalisierte Geschwindigkeiten nach dem Sto:
q_E = v0
0
"2
!
(4.54)
Kinetische Energie nach dem Sto:
TE = 21 mv02"22
(4.55)
Die normierte Energiedierenz
TA ; TE = 1 ; "2
2
TA
ist oensichtlich immer gr
er als null.
(4.56)
4.4 Anmerkung zum Energieerhalt
3. Fall 2"2 < "1: Beide Blle heben gemeinsam ab:
Expansionsimpuls:
!
1
E = 2 mv0 2""11
Relativgeschwindigkeiten nach dem Sto:
!
1
g_ E = 2 v0 "01
Generalisierte Geschwindigkeiten nach dem Sto:
!
1
q_E = 2 v0 ""11
Kinetische Energie nach dem Sto:
TE = 14 mv02"12
Die normierte Energiedierenz
TA ; TE = 1 ; 1 "2
TA
2 1
ist auch hier oensichtlich immer gr
er als null.
77
(4.57)
(4.58)
(4.59)
(4.60)
(4.61)
Zusammenfassend kann festgestellt werden, da bei keiner denkbaren Stozahlkombination eine Energieerh
hung erreicht wird. In Bild 4.19 ist die normierte Energiedierenz ber "1 und "2 fr alle m
glichen Kombinationen der Stokoezienten
aufgetragen.
Der kritische Punkt im oben angesprochenen Beweis ist die Matrix G ; "G", fr
die gezeigt werden mu, da sie positiv denit ist. Fr das vorliegende Beispiel lautet
diese Matrix:
!
1 ; "21 "1"2 ; 1
1
(4.62)
G ; "G" = m "1"2 ; 1 2 ; 2"2
2
Die Hauptdiagonalelemente dieser Matrix sind immer positiv, die Determinante lautet (1 ; 2("21 + "22) + "21"22 + "1"2) =m und kann zum Beispiel fr "1 = 1 und "2 = 0
negativ werden. Damit ist die geforderte Eigenschaft Matrix positiv denit nicht
mehr erfllt. Die Determinante ist in Bild 4.20 ber "1 und "2 aufgetragen und zeigt
in zwei Ecken ausgeprgte Bereiche mit negativen Werten.
Zusammenfassend lt sich sagen: Ein Sto, fr den der Dissipationsbeweis aufgrund
seiner Lcke nicht gilt, verletzt deshalb nicht zwangslug die Bedingung, da ein
Sto dissipativ sein mu. Zwischen dem Ende des Beweises und tatschlicher Energiezunahme gibt es oensichtlich noch einen Bereich, in dem sich St
e ereignen
k
nnen, die zwar dissipativ sind, dies mit dem Beweis allerdings nicht zu zeigen ist.
78
4 Sonderflle und Beispiele
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
ε2
0.6
0.8
1 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
ε1
Bild 4.19: Energiebilanz des Stoes. Aufgetragen ist das Verhltnis der dissipierten Gesamtenergie ber den Stokoezienten "1
und "2
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
ε2
0.6
0.8
1 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
ε1
Bild 4.20: Determinante der Matrix G, aufgetragen ber den
Stokoezienten "1 und "2
4.5 Der Einu groer Krfte
In diesem Abschnitt soll ein Sonderfall vorgestellt werden, der eine Grenze des Impulsstogesetzes aufzeigt und unterstreicht, da bei der Auswahl des Stomodells die
in Kapitel 2 jeweils dargestellten Grenzen immer zu beachten sind. Konkret ist die
Bedingung 2 auf Seite 17 gemeint, die besagt, da die sonstigen Krfte im System
4.5 Der Einu groer Krfte
79
gegenber den Stokrften vernachlssigbar sind.
Das Testbeispiel besteht aus zwei Massen, die sich auf einer horizontalen Unterlage
bewegen k
nnen (Bild 4.21). Die rechte Masse m bewege sich, wie es durch die
Rollen angedeutet ist, reibungsfrei und stoe mit v0 gegen die linke Masse M die
mit dem Reibkoezienten auf der Unterlage rutschen kann. Diese Masse werde
durch eine hinreichend groe Kraft F auf die Unterlage gedrckt. Im System sind
zwei einseitige Bindungen vorhanden: Die Bindung 1 sei der Stokontakt zwischen
beiden K
rpern und die Bindung 2 der Normalkontakt zwischen Masse M und der
Unterlage. Die Tangentialeekte in Bindung 1 k
nnen vernachlssigt werden. Das
System hat drei Freiheitsgrade: die Verschiebungen der Massen auf der Unterlage x1
und x2 , sowie das Abheben der Masse M (Koordinate y). Der dritte Freiheitsgrad
wird ben
tigt, um die Kontaktnormalkraft in der Bindung 2 zur aktiven Kraft zu
machen.
F
x2
μ
y
Kontakt 1
M
x1
m
Kontakt 2
Bild 4.21: Stoproblem mit groen nicht-Stokrften
4.5.1 Behandlung mit dem Impulsstogesetz
Zunchst soll versucht werden, den Sto mit Hilfe des Impulsstogesetzes zu beschreiben. Dazu werden zunchst die kinematischen Gr
en ben
tigt. Die Bindungsmatrizen WN , WT und W lauten:
0
1
;
1
1
0
WNT = ;01 10 01 WTT = 0 1 0 W T = B@ 0 0 1 CA (4.63)
0 1 0
!
Mit M = diag(m M M ) ergibt sich
0 1 1
1
1
+
0
m
M
M
G = BB@ 0 M1 0 CCA
1
1
M
0
(4.64)
M
Wendet man die Stoklassikation aus Abschnitt 3.8 auf diese Matrix an, ist das
Stoproblem mehrfach, unabhngig, mischgekoppelt und exzentrisch.
80
4 Sonderflle und Beispiele
Die Anfangsgeschwindigkeit sei q_A = (v0 0 0)T , die Relativgeschwindigkeiten betragen dann g_ NA = (;v0 0)T und g_ TA = 0. Die Impulsbilanz fr die Kompressionsphase
lautet:
0
1 0 1 1
10
1 0
1
1
+
0
g
_
;
v
NC
1
NC
1
0
m
M
M
B
C B
CCBB
CC BB
CC
1
B
0
0
+
(4.65)
NC
2
@ g_ NC2 CA = B@ 01
A
@
A
@
A
M
1
g_ TC2
TC2
0
0 M
M
Unter Bercksichtigung der normalen und tangentialen Stogesetze ergibt sich folgende L
sung fr die Relativgeschwindigkeiten und Kompressionsimpulse:
T
0 0 M m
v
(4.66)
+m 0 T
C = MmM
v
0
0
:
(4.67)
+m 0
Zu beachten ist hierbei, da in der Bindung 2 kein Normalimpuls wirkt, und die
Reibung durch die Normalkraft F somit ohne Einu ist. Der Bewegungszustand
am Ende der Kompressionsphase besteht darin, da die beiden Massen sich mit einer
gemeinsamen Geschwindigkeit im Kontakt bewegen.
Fr die Expansionsphase gilt die gleiche Impulsgleichung wie fr die Kompressionsphase. Auch hier soll die L
sung sofort angegeben werden:
g_ C
g_ E
E
q_E
=
T
m
= "N1v0 0 (1 + "N1) M + m v0 T
mM
= "N1 M + m v0 0 0
0
1
m
;
"
N
1M
v0 B
B@ (1 + "N1)m CCA:
= m+
M
0
(4.68)
(4.69)
(4.70)
Das Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden: Die beiden K
rper bewegen sich
so voneinander weg, wie wenn ein zentraler Sto ohne Reibung stattgefunden htte.
Die Normalkraft F taucht in keinem Term des Ergebnisses auf! Wenn diese Kraft
aber so gro wre, da der K
rper M infolge der Reibungskrfte auch whrend des
Stoes nicht wegrutschen kann, wrde ein v
llig anderes Ergebnis entstehen.
Dieses Problem kann ohne eine Abschtzung der Krfte, die im Stokontakt auftreten, nicht przisiert werden. Dazu eignet sich zum Beispiel Gleichung (2.17). Dabei
sind drei Flle denkbar:
1. Ist die maximale Kontaktkraft deutlich gr
er, als die maximal m
gliche Reibkraft F , luft der Sto zunchst wie durch das Impulsstogesetz beschrieben
ab und die Geschwindigkeit x_ 2 verschwindet bei der weiteren Systemberechnung infolge der groen Reibkraft. Der stoende K
rper bewegt sich so, wie
oben berechnet.
4.5 Der Einu groer Krfte
81
2. Ist die maximal auftretende Stokraft geringer als die Haftkraft des gestoenen
K
rpers, bleibt dieser liegen und der Sto luft ab, wie wenn der stoende
K
rper gegen die starre Umgebung stoen wrde.
3. Die Stokraft ist ungefhr so gro wie die Reibkraft, kommt es zu mehreren
Haft-Gleit-bergngen.
Dieser unter Umstnden eklatante Unterschied soll mit folgendem Parametersatz
verdeutlicht werden: Beide K
rper sollen die Masse m haben und fr die Stozahl
gelte "N1 = 1. Bei der Berechnung mit dem Impulsstomodell gilt, da unmittelbar
nach dem Sto der stoende K
rper ruht und sich der gestoene mit v0 bewegt.
Infolge der Reibung kommt er nach einem Weg x = mv02=2F ebenfalls zur Ruhe.
Die kinetische Energie ist vollstndig dissipiert. Makroskopisch betrachtet ist ein
Vorgang abgelaufen, der einem plastischen Sto sehr hnlich ist.
Reicht die Haftkraft dazu aus, den gestoenen K
rper am Losrutschen whrend des
Stoes zu hindern, luft der Sto ab, wie wenn der stoende K
rper mit einer inertialen Wand kollidieren wrde. Er wird sich nach dem Sto mit der Geschwindigkeit
;v0 wieder wegbewegen. Es ndet ein komplett elastischer Sto statt.
Da die Kontaktkraft whrend des Stoes zwischen null und der Maximalkraft variiert, wird die Haftkraft m
glicherweise nur whrend Teilphasen des Stoes ausreichen um Losrutschen zu verhindern. Dadurch wird es zu einer Mischform der
beiden oben beschriebenen Extreme kommen, die durch Haft-Gleit-bergnge gekennzeichnet ist. Derartige Vorgnge k
nnen mit dem hybriden Stomodell erfat
werden.
4.5.2 Behandlung mit dem hybriden Stogesetz
Es wird das im vorigen Abschnitt vorgestellte System mit dem in Abschnitt 2.6
vorgestellten hybriden Stomodell behandelt. Dabei soll die prinzipielle Eignung
dieses Verfahrens dargestellt werden, ohne auf eine spezielle L
sung einzugehen. Das
System ist in Bild 4.22 dargestellt. An den Kontakten ist jeweils eine Zusatzmasse mz
angebracht, die auf einer Seite mit je einer normal und tangential wirkenden Feder
mit einem K
rper verbunden ist und an ihrer anderen Seite einen Reibkontakt mit
dem anderen K
rper beziehungsweise der Umgebung hat. Beide K
rper sollen die
Masse m haben.
Das System hat zunchst die gleichen Freiheitsgrade und Anfangsbedingungen, wie
in Abschnitt 4.5.1: q = (x1 x2 y)T , qA = (0 0 0)T und q_A = (v0 0 0)T . Beide Bindungen haben eine Normal- und eine Tangentialkomponente. Die Bindungsmatrizen
lauten:
0 ;1 1 0 1
B
C
WNT = ;01 10 01 WTT = 00 01 10 W T = BB@ 00 00 11 CCA : (4.71)
!
!
0 1 0
82
4 Sonderflle und Beispiele
F
y m
x2
Kontakt 1
mz
x1
cT1
cN2
m
cN1
cT2
mz
Kontakt 2
Bild 4.22: Stoproblem, behandelt mit dem Hybridmodell
Die Massenmatrix ist mE . Damit lassen sich die Massenwirkungsmatrix G und der
Relativbewegungszustand g_ A zu Stobeginn angeben:
0 2 0 0 ;1 1
B
C
G = m1 BB@ 00 11 11 00 CCA ;1 0 0 1
0 ;v
BB 0 0
g_ A = B@ 0
0
1
CC
CA
(4.72)
Gem Gleichung (2.26) wird der Vektor der ueren Krfte zum Zeitpunkt des
Stoeintritts ben
tigt, der h0 = (0 0 ;F )T lautet. Der Vektor
y = (gN 1 gN 2 gT 1 gT 2 xN 1 xN 2 xT 1 xT 2)T
(4.73)
ist der Zustandsvektor der hybriden Bewegungsgleichung, der die Relativverschiebungen in den Kontakten und die Bewegungen der Zusatzmassen enthlt. Bei diesem Beispiel mag es seltsam erscheinen ein System mit drei Freiheitsgraden fr die
Stoberechnung auf acht Freiheitsgrade zu erweitern. Das ist aber nur in diesem
Spezialfall so: Htte das System beliebig viele Freiheitsgrade aber nur zwei Stokontakte wie in Bild 4.22, wre die Stomodellierung immer noch genau die gleiche und
es ergben sich sogar deutlich weniger Freiheitsgrade als es das Gesamtsystem hat.
Mit den Bewegungsgleichungen der Zusatzmassen (2.22) und (2.23) kann man die
Gesamtbewegungsgleichung des Hybridmodells gem Gleichung (2.28) anschreiben:
0
! B FN 1
y = ; G1 E BB@ FFNT 12
mz
FT 2
1
CC F F N 1 N 2 T 1 T 2 !T
CA + 0 ; m ; m 0 m m m m
z
z
z
z
(4.74)
Die Kraftgesetze sollen in diesem Fall rein linear-elastisch sein. Die Hinzunahme
von nichtlinearen Anteilen oder Dmpfungstermen lt die folgenden Gleichungen
komplizierter werden, ohne an der prinzipiellen Aussage etwas zu ndern:
FN 1 = cN 1(xN 1 ; gN 1) + FN 01
(4.75)
4.5 Der Einu groer Krfte
83
FN 2 = cN 2(xN 2 ; gN 2) + FN 02
FT 1 = cT 1(xT 1 ; gT 1)
FT 2 = cT 2(xT 2 ; gT 2)
(4.76)
(4.77)
(4.78)
Man kann die Kraftgesetze in die Gleichung (4.74) einsetzen und erhlt eine Gleichung vom Typ y = Ay + b, wobei A eine 8 8-Matrix ist. Auf die Darstellung
wird hier aus Platzgrnden verzichtet.
Nun mssen die Anfangsbedingungen gem Tabelle 2.2 gefunden werden. Die Bindung 1 zwischen den K
rpern ist vom Typ neue Bindung, somit gilt: xN 10 = 0,
x_ N 10 = ;v0 , xT 10 = 0, x_ N 10 = 0 und FN 10 = 0. Die Bindung 2 zwischen dem K
rper
und der Unterlage ist eine alte Bindung, die zuvor haftete. Da die Bindung vor
Stobeginn auch in Normalrichtung geschlossen war, gilt N = F . Die Anfangsbedingungen lauten: xN 20 = 0, x_ N 20 = 0, xT 20 = 0, x_ T 20 = 0 und FN 20 = F . Unter
Bercksichtigung dieser Anfangsbedingungen stellt man fest, da die Komponenten
gN 2, gT 1, xN 2 und gT 1 von y whrend des gesamten Stoes gleich null sind und die
anderen Gr
en nicht beeinussen. Sie k
nnen folglich aus dem Gleichungssystem
(4.74) gestrichen werden. Es verbleibt ein System mit vier Gleichungen:
0 g
N1
B
g
B
T2
B
@ xN 1
xT 2
1 0 ;2 cN 1 ; cT 2 2 cN 1 ; cT 2
CC BB ; cmNm1 ;2 mcmT 2 ; cmmN 1 cmTm2
CA = BB cN 1
0 ; cmNz1 0
@ mz
0
cT 2
mz
0
; cmTz2
10
CC B ggN 1
CC BB T 2
A @ xN 1
xT 2
1 0 0 1
CC BB 0 CC
CA + BB N 1 CC
@ mz A
(4.79)
T2
mz
Dieses System kann nun analytisch gel
st oder integriert werden, wobei die HaftGleit-bergnge an der Bindung der Zusatzmasse 2 zum Untergrund mittels eines
Standardalgorithmus fr Systeme mit einseitigen Bindungen gel
st werden k
nnen.
Die Gr
e T 2 ist dann, je nach Bindungszustand, entweder Zwangskraft oder aktive
Reibkraft. Die Normalkraft betrgt konstant N 2 = F . Der Sto endet nach der Zeit
T , wenn N 1 = 0 gilt.
Whrend der Simulation oder bei der analytischen Berechnung mssen die Krfte
in den Kraftelementen zwischen den K
rpern und den Zusatzmassen aufsummiert
werden und es mssen daraus die Stoimpulse gewonnen werden:
ZT
ZT
0
0
N 1 = FN 1 dt N 2 = FN 2 dt = F T
ZT
ZT
0
0
T 1 = FT 1 dt = 0 T 2 = FT 2 dt
(4.80)
(4.81)
Will man nun Gleichung (2.29) auswerten, ben
tigt man noch das Integral ber h0,
das sich, da h0 whrend des Stoes konstant sein soll, mit T h0 angeben lt. Setzt
84
4 Sonderflle und Beispiele
man nun alle Gr
en in die Gleichung (2.29) ein, erhlt man
0
N 1
BB ;v0N+1 +mT 2
q_E = @ m
0
1
CC
A
(4.82)
Diese L
sung enthlt nun alle Teill
sungen, die am Ende von Abschnitt 4.5.1 diskutiert wurden und kann beliebige Haft-Gleit-bergnge whrend des Stoes abbilden.
85
Kapitel 5
Konstruktion der Wurfmaschine
Dieses Kapitel befat sich mit der Beschreibung des Versuchsgertes, mit dem die
Stoexperimente durchgefhrt wurden. Zunchst wird die Art der durchzufhrenden
Versuche deniert und ein Maschinenkonzept entwickelt, das in der Lage ist, diese
auszufhren. Im zweiten Abschnitt wird auf die technische Realisierung der Maschine
eingegangen. Eine groe Bedeutung fr die Durchfhrung hat die Steuerung und
Regelung der Maschine, die genauso wie die Me- und Auswertetechnik in jeweils
eigenen Abschnitten beschrieben wird.
5.1 Anforderungspro
l
Ziel ist es, das theoretisch entwickelte Stogesetz anhand von Versuchen zu verizieren. Dazu soll ein Sto durchgefhrt werden und mittels geeigneter Metechnik der
Bewegungszustand der Stopartner unmittelbar vor und nach dem Sto bestimmt
werden.
5.1.1 Grundstzliche Vorberlegungen
Wie im Kapitel 3 dargestellt, bestimmen sich die im Stokontakt whrend des Stoes
wirkenden Impulse letztlich aus den Relativgeschwindigkeiten der beteiligten K
rper
vor dem Sto. Fr eine aussagekrftige Messung sind deshalb folgende Gr
en zu
ermitteln:
die Relativgeschwindigkeiten der beteiligten K
rper vor dem Sto
die Relativgeschwindigkeiten der beteiligten K
rper nach dem Sto
die whrend des Stoes wirkenden Impulse
Die Impulse sind physikalische Gr
en, die nur indirekt gewonnen werden k
nnen,
insbesondere da sie nur die Idealisierung eines whrend einer endlichen Zeit wirkenden Kraftverlaufes darstellen. Sind die Trgheitseigenschaften der Stopartner
86
5 Konstruktion der Wurfmaschine
bekannt, k
nnen die Impulse aus der absoluten Bewegungsnderung der K
rper
whrend des Stoes rekonstruiert werden.
Aus diesen Grnden erscheint es sinnvoll, als einen der beiden K
rper die inertialfeste
Umgebung zu verwenden. Unter dieser Bedingung kann man die Messungen von
Relativ- und Absolutbewegungen beider K
rper auf die Absolutbewegungsmessung
des bewegten K
rpers reduzieren.
Somit lassen sich die wesentlichen Anforderungen an das Versuchsgert wie folgt
formulieren:
1. Das Gert mu in der Lage sein, einen Versuchsk
rper in einen geeigneten
Bewegungszustand zu versetzen, der zu einem kontrollierten Sto mit der Umgebung fhrt.
2. Der Bewegungszustand dieses K
rpers unmittelbar vor und nach dem Sto soll
mebar sein.
Die konstruktive L
sung ist eine Wurfmaschine, die einen Probek
rper mit denierten Anfangsbedingungen auf eine denierte Stelle der Umgebung wirft. Der dort
stattndende Sto wird mit geeigneter Metechnik, die im Abschnitt 5.4 beschrieben
ist, ausgewertet.
5.1.2 Wurfkrper
Ein besonderes Augenmerk dieser Arbeit liegt auf tangentialreversiblen Reibst
en. Diese sollen auch experimentell nachvollzogen werden k
nnen. Besonders deutlich treten derartige St
e auf, wenn einer der Stopartner aus einem gummiartigelastischen Material besteht, in dem auch ein erhebliches Ma an Energie in der
durch die Kontaktreibung induzierten Schubverformung gespeichert werden kann.
Da Gummiblle einen typischen K
rper dieser Art darstellen, wurde die gesamte
Wurfmaschine so konzipiert, da sie K
rper von einem Durchmesser von ca. 5 cm
werfen kann.
Grundstzlich sind alle in dieser Arbeit behandelten Stovorgnge eben. Aus diesem
Grund ist es zweckmig, einen scheibenf
rmigen Wurfk
rper zu verwenden. Dies
bietet folgende Vorteile:
Ein ebener K
rper mit zwei parallelen Flchen ist in der Wurfmaschine leicht
und deniert aufzunehmen.
Auf einer ebenen, zur Wurfebene parallelen Flche lassen sich gut geeignete
Markierungen anbringen, um den Bewegungszustand des K
rpers zu detektieren.
Ein scheibenf
rmiger Wurfk
rper lt eine Taumel- oder Kippbewegung, was
immer zu einem Fehlversuch fhrt, wesentlich leichter erkennen als eine Kugel.
5.1 Anforderungsprol
87
Bild 5.1: Der rotationssysmmetrische Wurfk
rper
Aufgrund dieser berlegungen wurde die Geometrie des Wurfk
rpers wie auf Bild
5.1 dargestellt, festgelegt.
Es handelt sich um einen scheibenf
rmigen K
rper, der zwei planparallele Seitenchen besitzt. Diese Flchen haben jeweils einen Absatz, von denen einer in der
Wurfmaschine formschlssig gefhrt wird. Der Absatz auf der anderen Seite ist nur
aus Symmetriegrnden gefertigt. Zwischen diesen Seitenchen kann der Wurfk
rper
eine weitgehend frei whlbare Form haben, sofern ein von der Maschine vorgegebener Maximaldurchmesser nicht berschritten wird. Bei harten Materialien (PVC,
Teon) kann der gesamte K
rper einschlielich der Fhrungschen aus einem Stck
gefertigt werden. Bei weichen Materialien ist es erforderlich, einen spulentrgerf
rmigen Grundk
rper zu fertigen, auf dem dann der Probek
rper aufgeklebt wird.
Allen Bauformen ist gemeinsam, da die stoende Auenche ballig ausgefhrt ist,
um ein Verkanten beim Sto zu verhindern.
Bild 5.2: Aussehen des Wurfk
rpers fr exzentrische Stoversuche
Fr die Stoversuche, bei denen ein exzentrischer Sto durchgefhrt werden soll,
wurde ein Wurfk
rper mit Dreiecksform entworfen (siehe Bild 5.2). Er besteht ebenfalls aus zwei planparallelen Scheiben und einem dazwischen angebrachten Stok
r-
88
5 Konstruktion der Wurfmaschine
per. Die Scheiben sind so ausgefhrt, da sie an 3 um jeweils 120 versetzten Punkten
Formschlu in der Haltevorrichtung der Wurfmaschine erreichen. Dieser Wurfk
rper
ist ohne "nderungen an der Wurfmaschine vornehmen zu mssen, einsetzbar.
Insgesamt wurden fnf verschiedene Wurfk
rper verwendet. In Bild 5.3 sind in der
oberen Reihe von links nach rechts die K
rper aus Teon und PVC zu sehen, die aus
einem Stck gefertigt sind. Rechts liegt der rotationssymmetrische Gummiwurfk
rper, bei dem ein Gummiring auf einem Spulenf
rmigen Aluminiumtrger aufgeklebt
ist. Dieser K
rper entspricht in seiner Bauform exakt Bild 5.1. In der zweiten Reihe
ist links der Stahlwurfk
rper zu sehen, der aus einem Stahlring besteht, der auf einen
PVC-Kern aufgeklebt ist. Rechts unten ist der exzentrische Gummiwurfk
rper zu
sehen, der aus einem Gummiteil und einem Aluminiumtrger besteht und in seinem
Aufbau genau Bild 5.2 entspricht.
Bild 5.3: Foto aller verwendeten Wurfk
rper
5.1.3 Wirkprinzip, Gre und Leistung der Maschine
In diesem Abschnitt soll mit Hilfe der bisher beschriebenen berlegungen das Anforderungsprol fr die Wurfmaschine zusammengestellt und das Wirkprinzip erlutert
werden.
Die Flugbahn des Wurfk
rpers soll durch Fotograeren ausgewertet werden. Pro
Flugbahnabschnitt sollen mehrere Aufnahmen gemacht werden k
nnen. Um dabei
die einzelnen Phasen der Bewegung eindeutig trennen zu k
nnen, ist bei einem Wurfk
rper mit ca. 5 cm Durchmesser eine Flugbahnlnge von ca. 50 cm notwendig. Auf
einer Strecke dieser Lnge erreicht ein frei fallender K
rper aufgrund der Schwerkraft
eine Geschwindigkeit von mehr als 3 m/s. Dies ist somit die Mindestgeschwindigkeit
fr die Stoversuche und gibt zugleich auch einen guten Anhaltswert fr den Geschwindigkeitsbereich, in dem Versuche berhaupt durchgefhrt werden k
nnen. Um
5.1 Anforderungsprol
89
eine groe Variationsbreite fr die Experimente zu haben, wurde deshalb der Bereich
von 3 m/s 10 m/s als Auftregeschwindigkeit mit beliebiger Richtung festgelegt.
Da insbesondere Reibst
e untersucht werden sollen, ist die tangentiale Relativgeschwindigkeit im Moment des Stoes von entscheidender Bedeutung und soll beliebig
eingestellt werden k
nnen. Dies lt sich durch einen denierten Drall, den der Wurfk
rper vor dem Sto erhlt, erreichen. Um zu gewhrleisten, da im Stomoment
sogar eine der Flugrichtung entgegengesetzte Relativgeschwindigkeit im Stoort erreicht werden kann, ist es erforderlich, den Wurfk
rper auf eine m
glichst groe Umfangsgeschwindigkeit beschleunigen zu k
nnen. Bei einem Wurfk
rperdurchmesser
von ca. 5 cm wird eine Umfangsgeschwindigkeit von 5 m/s bei ca. 30 U/s erreicht.
Dies entspricht zwar nicht der Forderung, die maximale Fluggeschwindigkeit ausgleichen zu k
nnen, eine Geschwindigkeit von mehr als ca. 40 U/s erwies sich jedoch
als technisch nicht realisierbar. In der Tabelle 5.1 sind die wichtigen Anforderungen
an die Wurfmaschine zusammengefat.
Tabelle 5.1: Anforderungen an die Wurfmaschine
Anforderung
Zahlenwert
Beschleunigen eines rotationssysmmetrischen K
rpers
Translationsgeschwindigkeit
max. 10 m/s
Rotationsgeschwindigkeit
max. 40 U/s
Wurfgeschwindigkeit stufenlos einstellbar
Wurfrichtung beliebig einstellbar
0 90
Translations- und Rotationsgeschwindigkeit entkoppelbar
Abmessungen des Wurfk
rpers
= 50 20 mm
Gewicht des Wurfk
rpers
max. 300 g
St
rungsfreies Halten und Loslassen des Wurfk
rpers
Statischer und dynamischer Massenausgleich
Elektrischer Antrieb
Bedienung ohne Werkzeug
Versuchsablauf fernsteuerbar
Mit diesen Anforderungen wurde in 25] eine Konzeptstudie durchgefhrt und die
Maschine entworfen. Grundstzliches arbeitet die Maschine mit dem Wirkprinzip
einer Schleuder, wie es in Bild 5.4 dargestellt ist: Ein Arm hlt an einem Ende
in einer geeigneten Haltevorrichtung den Wurfk
rper fest. Dieser Arm wird durch
einen Motor auf eine Drehzahl beschleunigt, bei der die Umfangsgeschwindigkeit der
gewnschten Abuggeschwindigkeit entspricht. Bei einem geeigneten Abwurfwinkel
wird der Wurfk
rper ausgeklinkt und iegt tangential weiter. Die Haltevorrichtung
mu zugleich so beschaen sein, da der Wurfk
rper mit Hilfe eines zweiten unabhngigen Antriebs auf die gewnschte Drallgeschwindigkeit gebracht werden kann.
90
5 Konstruktion der Wurfmaschine
1
1
2
3
4
2
ω
ϕ
Beschleunigung
Abwurf
Flugphase
Stoß
3
4
g
vN
vvor
vT
Bild 5.4: Funktionsprinzip der Wurfmaschine
Dieses Prinzip hat zahlreiche Vorteile:
Es werden nur rotatorische Bewegungen ben
tigt.
Die Beschleunigung des K
rpers kann whrend einer lngeren Phase erfolgen,
die Folge ist ein geringerer Leistungsbedarf.
Ein Massenausgleich ist m
glich.
Die gewnschte Auftregeschwindigkeit kann ohne Verstellung mechanischer
Elemente rein durch die Steuerung erreicht werden.
Es sind mit geringem Aufwand hohe Geschwindigkeiten erreichbar.
Ein wesentlicher Nachteil ist die Tatsache, da die Sensorik und Aktorik des Antriebs fr die Drallbewegung des Wurfk
rpers und des Ausl
semechanismus sich auf
einem frei drehbaren Teil benden und eine Signal- und Energiebertragung mittels
eines Schleifringes erfolgen mu. Diese mitgefhrte Systemeinheit hat darberhinaus den Nachteil eines hohen Gewichtes, das zusammen mit dem entsprechenden
Gegengewicht zu einem erheblichen Trgheitsmoment des Wurfarmes fhrt. Dies
verursacht erhebliche Energiestr
me beim Beschleunigen und Bremsen, da im Interesse der Betriebssicherheit und einer raschen Versuchsausfhrung der Wurfarm nach
dem Abwurf aktiv gebremst werden mu.
5.1.4 Drallantrieb und Ausklinkmechanismus
Die Beschleunigung des Wurfk
rperschwerpunktes auf die gewnschte Geschwindigkeit ist durch den drehenden Hebelarm gewhrleistet. Die Haltevorrichtung hat zwei
5.1 Anforderungsprol
91
wesentliche Aufgaben zu erfllen: Erstens mu der Wurfk
rper sicher festgehalten
und im exakt richtigen Moment freigegeben werden, und zweitens mu er im Ausl
semoment die gewnschte Winkelgeschwindigkeit und -lage haben.
Eine grundstzliche Anforderung an den Ausl
semechanismus besteht darin, da
der Wurfk
rper quasi schlagartig ohne weitere Krafteinwirkung losgelassen werden
kann. Jede Kraft kann dazu fhren, da die Flugbahn von der gewnschten abweicht
oder eine Taumelbewegung entsteht, die den Sto und damit den gesamten Versuch
bis zur Unbrauchbarkeit verflscht.
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
2
7
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
3
4
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
1
festgehalten
5
6
ausgelöst
1
2
3
4
5
6
7
Wurfarm
Wurfkörper
Antriebswelle
Welle
Druckplatte
Gegenplatte
Spule
Bild 5.5: Schnitt durch die Drall- und Ausl
seeinheit
Durch das rotatorische Bewegungsprinzip wirken auf den Wurfk
rper erhebliche
Fliehkrfte whrend der Beschleunigung ein. Aus diesem Grund ist ein kraftschlssiges Festhalten ausgeschlossen. Es mu ein Formschlu herrschen, der im Moment
des Ausl
sens sehr schnell aufgehoben werden kann. Die konstruktive L
sung ist in
Bild 5.5 dargestellt. Der K
rper wird zwischen zwei drehbaren Platten (Ziern 3
und 4 in Bild 5.5) festgehalten, von denen die eine (Zier 4) eine kreisscheibenf
rmige Aussparung hat, in die eine der im Abschnitt 5.1.2 beschriebenen Seitenchen
formschlssig hineinpat. Im Moment des Ausl
sens wird diese Platte schnell zurckgezogen. Um das Ausschieben des Wurfk
rpers aus der Vertiefung zu verbessern und
92
5 Konstruktion der Wurfmaschine
ein Kippen infolge von Reibung an der Kante zu vermeiden, ist in der Vertiefung
noch eine Druckplatte (Zier 5) angebracht, die den Wurfk
rper mit Federkraft aus
der Vertiefung herausschiebt.
Fr das Zurckziehen der Platte stehen mehrere Wirkprinzipien zur Verfgung. Hydraulisch und pneumatisch sollen auch angesichts der Tatsache, da diese Energieformen auf ein drehendes System bertragen werden mten von vornherein
ausgeschlossen werden. Ein rein mechanisches Ausl
sen ist ebenfalls nicht m
glich,
da es die Forderung eines frei fernsteuerbaren Versuchsablaufs nicht erfllt. Insofern
verbleibt nur ein elektrisches Ausl
sen. Hierbei ist sicherlich eine direkte magnetische
Einwirkung den indirekten Verfahren wie zum Beispiel dem Ausl
sen durch Motoren
vorzuziehen. Bei den magnetischen Methoden stehen prinzipiell zwei Verfahren zur
Auswahl:
Der Wurfk
rper wird durch Magnetkraft festgehalten und durch Abschalten
des Stromes und Zurckziehen durch vorgespannte Federn ausgel
st.
Der Wurfk
rper wird durch Federkraft festgehalten und durch Magnetkraft
ausgel
st
Beide Konzepte haben ihre spezischen Vor- und Nachteile. Der wesentliche Vorteil
der erstgenannten Methode besteht darin, da die zur Durchfhrung der Ausl
sebewegung ben
tigte Energie bereits im System in Form von vorgespannten Federn
vorhanden ist und nicht erst durch Aufbau eines Magnetfeldes eingebracht werden
mu. Dem steht der Nachteil mangelnder Sicherheit gegenber: fllt der Magnetstrom whrend der Beschleunigungsphase aus, l
st auch der Haltemechanismus aus,
und der Wurfk
rper verlt die Wurfmaschine mit unkontrollierbarer Flugrichtung.
Das wesentliches Entscheidungskriterium ergibt sich aus der Art der Aufbringung
der ben
tigten Magnetkraft: Die Kraft einer Spule auf eine Gegenplatte nimmt bei
zunehmender Luftspaltgr
e stark ab. Das bedeutet, da ein Ausl
sesystem, bei dem
zum Ausl
sen die Magnetkraft aufgebaut werden mu, ein so starkes Magnetfeld ben
tigt, da es ber den gesamten Luftspalt hinweg wirkt. Im anderen Fall gengt es,
die Gegenplatte mit dem wesentlich geringeren Magnetfeld bei einem Luftspalt mit
nahezu vernachlssigbarer Breite festzuhalten, und dieses Feld einfach abzuschalten.
Insofern wurde trotz der angedeuteten Sicherheitsprobleme die Variante Festhalten mit Magnet- und Ausl
sen mit Federkraft gewhlt. Dazu ist in den Wurfarm
(Zier 1 in Bild 5.5) eine Ringspule (Zier 7) eingebaut, die die Gegenplatte (Zier
6) gegen die Kraft der eingezeichneten Federn festhalten kann.
Der gewnschte Drall wird dadurch erzeugt, da sowohl die oben beschriebene Haltescheibe als auch die gegenberliegende Scheibe drehbar gelagert sind und letztere
darberhinaus durch einen Elektromotor angetrieben wird. Der Motor ist in Bild 5.5
nicht eingezeichnet, er treibt die Welle (Zier 3) an. Die Drehbewegung wird reibschlssig auf den Wurfk
rper bertragen, da ein Formschlu an dieser Stelle beim
Ausl
sen zum Verhaken fhren wrde.
Die Funktion des Drall- und Auswurfmechanismus lt sich wie folgt zusammenfassen: Der Wurfk
rper wird whrend der Beschleunigungsphase in radialer Richtung
5.2 Realisation
93
formschlssig festgehalten, um ein Wegiegen infolge der hohen Fliehkrfte zu verhindern. Das Halten geschieht magnetisch. Gleichzeitig wird er durch den drehbar
ausgefhrten Haltemechanismus mit Hilfe eines Motors auf die gewnschte Drallgeschwindigkeit beschleunigt. Die Momentenbertragung auf den Wurfk
rper erfolgt
hierbei reibschlssig. Im Moment des Ausl
sens wird der Magnet ausgeschaltet und
eine Halteplatte durch vorgespannte Federn zurckgezogen. Der Wurfk
rper kann
ungehindert zwischen zwei parallelen Platten tangential wegiegen.
5.2 Realisation
Dieser Abschnitt beinhaltet in knapper Form die Konstruktion der Wurfmaschine
sowie die Beschreibung der Sensoren und Aktoren, die Erluterung der verwendeten
Elektronik-Hardware und die Steuerungsprogrammierung.
5.2.1 Gestell und Wurfarm
Der Radius von Wurfarmdrehachse zu Wurfk
rpermittelpunkt wurde zu 200 mm gewhlt. Damit sind die generellen Abmessungen der Maschine festgelegt. Der gesamte
Wurfarm hat eine Lnge von ca. 600 mm, trgt am einen Ende die Abwurfeinheit
und am anderen Ende ein Gegengewicht. Die Abwurfeinheit mu aufgrund des magnetischen Ausl
seprinzips zumindest teilweise aus Stahl ausgefhrt sein. Dies verursacht eine groe exzentrische Masse, die durch ein entsprechendes Gegengewicht
ausgeglichen werden mu, um einen ruhigen und gleichmigen Lauf der Maschine
zu gewhrleisten.
Das Gegengewicht besteht aus zwei Teilgewichten, die in zueinander senkrechten
Achsen unabhngig voneinander verstellbar sind. Beide Teile k
nnen zusammen in
radialer Richtung verschoben werden, um den Wurfarm statisch auszuwuchten. Die
zweite Teilmasse kann relativ dazu in axialer Richtung verstellt werden, um einen
dynamischen Massenausgleich herzustellen.
Der Arm kann nur fr den Betriebszustand vor oder nach dem Abwurf ausgewuchtet
werden. Die zustzliche Masse des Wurfk
rpers, die beim Abwurf verloren geht, kann
nicht kompensiert werden. Da der Hochlauf der Maschine bis zum Abwurf der Teil
des Bewegungsablaufs ist, bei dem es auf h
here Przision und Ruhe ankommt, wird
die Maschine immer fr den Zustand mit eingelegtem Wurfk
rper ausgewuchtet. Das
Bremsen nach dem Abwurf erfolgt notgedrungen etwas unwuchtig.
Um unkontrollierte Bewegungen infolge der Unwucht der Wurfmaschine zu verhindern, steht die Maschine auf einer schweren Grundplatte. Auf dieser Platte sind
zwei seitliche Sttzwnde befestigt, die die Lager fr die Hauptachse des Wurfarmes
tragen. Der Antrieb erfolgt mittels eines Gleichstrommotors mit einer Nennleistung
von 90 W. Um den gewnschten Drehzahlbereich zu erreichen, ist der Motor mit einem fest angeanschten Planetengetriebe mit der Untersetzung i=4.3 versehen. Die
Getriebewelle treibt direkt die Hauptachse an. Um die Drehgeschwindigkeit- und
94
5 Konstruktion der Wurfmaschine
Auslöseeinheit
Drallantrieb
Wurfkörper
Schleifring
Hauptantrieb
Wurfarm
Gegengewicht
Grundplatte
Bild 5.6: bersichtszeichnung der gesamten Wurfmaschine
Lage des Hauptantriebs messen zu k
nnen, ist am Ende der Welle ein inkrementaler
Drehgeber angebracht. In Bild 5.6 ist die Gesamtmaschine dargestellt.
5.2.2 Drallantrieb
Die Funktionsweise des Drallantriebs ist in Abschnitt 5.1.4 bereits erlutert worden.
Die konstruktive Umsetzung wird durch einige Randbedingungen beeinut und
eingeschrnkt:
Das Gewicht der Drall/Ausl
seeinheit soll beschrnkt bleiben, um die Anforderungen an den Hauptantrieb begrenzen zu k
nnen.
Der Bauraum soll m
glichst klein sein, um den Wurfarm kurz und den Abstand
der Sttzen der Wurfarmachse gering halten zu k
nnen.
Die elektrische Leistung mu mit einem Schleifring auf den Wurfarm bertragen werden. Dieser begrenzt den maximal zur Verfgung stehenden Strom und
kann die Signalqualitt von Sensorsignalen negativ beeinussen.
5.2 Realisation
95
Die Auswahl des Motors fr den Drallantrieb ist fr die gesamte Gestaltung der
Abwurfeinheit von wesentlicher Bedeutung. Er mu die Anforderungen hoher Leistung, geringen Gewichtes und geringen Bauraums in sich vereinigen. In Anbetracht
dieser Wnsche wurde einen Gleichstrommotor ohne Getriebe zum direkten Antrieb
des Wurfk
rpers gewhlt. Diese Manahme erm
glicht, den fr ein Getriebe nicht
mehr notwendigen Bauraum dem Motor zuzuschlagen und einen etwas gr
eren,
leistungsstrkeren und in seinem Drehzahlbereich der Aufgabe besser angepaten
Motor zu verwenden. Um Bauraum zu sparen, ist die Antriebsplatte, die am Wurfk
rper anliegt, dem Motor bergestlpt. Die Baulnge der Antriebsseite entspricht
somit genau der Lnge des Antriebsmotors.
Der Ausl
semechanismus mu unter den genannten Randbedingungen m
glichst
schnell ausl
sen k
nnen. Diesem Ziel mu man sich mit zwei, sich einander zum Teil
widersprechenden Manahmen annhern: Einerseits mu die Vorspannung der Federn m
glichst hoch und andererseits das Magnetfeld in der Spule m
glichst schnell
abbaubar sein. In der Spule, die eine erhebliche Induktivitt darstellt, wird whrend der Haltephase magnetische Feldenergie gespeichert. Diese mu schnellstm
glich abgefhrt werden, um ein langes Nachhalten der Magnetspule zu verhindern.
Ein einfaches !nen des Stromkreises mit sofortiger Unterbrechung des Stromusses kommt nicht in Frage, da an den oenen Enden aufgrund der Selbstinduktion
der Spule Spannungen entstehen wrden, die die Zerst
rung der Halbleiterschaltelemente zur Folge htten. Daraus ergibt sich, da eine gewisse Mindestnachhaltezeit
unvermeidlich ist, die in jedem Fall mit der Gr
e der Spuleninduktivitt ansteigt.
Andererseits hat eine Spule, die eine starke Haltekraft zwecks hoher Vorspannung
der Federn haben soll, immer auch eine gr
ere Induktivitt. Weitere Grenzen dieser
Auslegung sind der Bauraum fr die Spule, die Versorgungsspannung, der ber den
Schleifring bertragbare Strom und die zulssige Stromdichte im Spulendraht.
Der magnetische Kreis der Spule mu mit ferromagnetischen Stahlteilen geschlossen
werden. Diese mssen einen Mindestquerschnitt haben, um den magnetischen Flu
der Spule in entsprechende Haltekraft umsetzen zu k
nnen, was jedoch das Gewicht
der Abwurfeinheit erh
ht und den Spulenbauraum verringert.
Nachdem mittels einer Abschtzung die groben Baumae der Magneteinheit festgelegt wurden, wurde eine zweistuge Optimierung durchgefhrt:
1. Unter der Randbedingung eines vorgegebenen Bauraumes wurde das Verhltnis von Spulenquerschnittsche zu durchutetem Stahl mit dem Gtefunktional der maximalen Haltekraft optimiert.
2. Drahtstrke, Windungszahl und verwendeter Vorwiderstand wurden mit dem
Ziel des schnellstm
glichen Ausl
sens optimiert.
Die Einfhrung eines kleinen Luftspaltes im geschlossenen Zustand konnte ebenfalls
dazu beitragen, die Ausl
sezeit weiter zu vermindern. Der erste Optimierungsschritt
wurde in der Entwurfsphase der Maschine durchgefhrt. Der zweite Schritt und
die Einfhrung des Luftspaltes wurden erst nach der Fertigstellung der Maschine
durchgefhrt und brachten Verbesserungen, die in Tabelle 5.2 aufgelistet sind.
96
5 Konstruktion der Wurfmaschine
Tabelle 5.2: Verbesserung der Ausl
sezeit
Zustand
Auslsezeit
vor Optimierung
mit Luftspalt
nach Spulenoptimierung
156 ms
58 ms
10 ms
Die in Tabelle 5.2 dargestellten Ausl
severz
gerungen stellen nur Mittelwerte dar.
Die Streuung dieser Werte, die die Ursache fr falsche Wurfbahnen darstellt, lie
sich durch die Reduktion der absoluten Verz
gerung ebenfalls drastisch reduzieren.
Sie liegt nach Abschlu aller Optimierungen bei ca. 1 ms und damit in der Gr
enordnung des Reglertaktes des Steurrechners des Versuchs (siehe Abschnitt 5.2.4).
Die Messung von Drehgeschwindigkeit und Lage wird beim Drallantrieb durch einen
inkrementalen Drehgeber realisiert, der direkt an den Antriebsmotor angeanscht
ist.
Zur Signal- und Leistungsbertragung vom Gestell auf den Wurfarm steht ein 16poliger Schleifring zur Verfgung, an dem die folgenden Signale anliegen:
Motorstrom (2 Leiterbahnen)
Magnetstrom (2
2 Bahnen, Gefahr der berlastung einer Schleifbahn)
Drehgebersignale (4
2 Bahnen, zur sicheren Signalbertragung)
5.2.3 Elektronische Komponenten
Um einen frei programmierbaren Versuchsablauf zu gewhrleisten, wurde die Steuerung des gesamten Versuchs auf Basis eines Standard-PC realisiert. Dieser ist jedoch
weder in der Lage, die Signale der inkrementalen Drehgeber unmittelbar zu verwerten, noch Leistungssignale, wie sie zur Ansteuerung der Motoren und des Magnets
erforderlich sind, zu liefern. Deshalb war es erforderlich, elektronische Komponenten zu entwerfen, die zwischen Maschine und PC angeordnet werden. Die Aufgaben
dieses Interface sind in der Tabelle 5.3 zusammengefat.
Die Sensoren sind handelsbliche inkrementale Drehgeber. Die Elektronik hat die
Aufgabe, die rohen Sensorsignale einzulesen und sowohl die Drehlage als auch die
Geschwindigkeit in computerlesbare Daten umzuwandeln. Die Vierfachauswertung
der Drehgeber fhrt zu einer Winkelinformation mit 400 Schritten der Drallachse
und mit 1600 Schritten der Hauptachse. Um diese Information zum Rechner zu bertragen, werden diese Werte in die unteren 12 Bit eines 16-Bit Registers gespeichert.
In den verbleibenden 4 Bit wird die Drehrichtungsinformation abgelegt.
Die Geschwindigkeitsmessung geschieht dergestalt, da die Impulse eines hochfrequenten Oszillators gezhlt werden, die in der Zeit zwischen der Passage zweier
5.2 Realisation
97
Tabelle 5.3: Anforderungen an die elektronischen Komponenten
Anforderung
Zahlenwert
Sensorik
Einlesen Encoder Hauptantrieb
Einlesen Encoder Drallantrieb
Aktoren
Strom Hauptantrieb
Strom Drallantrieb
Strom Magnet
Kameraverschlu
Stroboskopausl
sung
Versorgung des Blitzsensors
400 Striche
100 Striche
24 V, 3 A, PWM mit 250 Schritten
12 V, 1 A, PWM mit 250 Schritten
12 V, 0.5 A, an-aus mit schneller Entregung
!nen/Schlieen mit Relais
Encoderstriche stattnden. Der Kehrwert dieses Zhlergebnisses ist das Ma fr die
Drehgeschwindigkeit. Da der Zhler durch ein 16-Bit Register realisiert ist, tritt bei
sehr langsamen Drehgeschwindigkeiten ein berlauf des Zhlers ein, und eine Messung ist nicht mehr m
glich. Bei hohen Drehgeschwindigkeiten ist die Anzahl der
Pulse zwischen zwei Strichpassagen nur noch gering, was die Ergebnisgenauigkeit
zunehmend schmlert. Diese beiden Grenzen k
nnen jedoch mit der Wahl der Zhlfrequenz so eingestellt werden, da im relevanten Drehzahlbereich immer sinnvolle
Messungen m
glich sind. Das Zhlergebnis im Register kann der Steuerrechner in ein
16-Bit Register einlesen. Die Umrechnung von Zhlstrichen in die tatschliche Winkelstellung und die Berechnung der Geschwindigkeit aus dem Zhlerstand geschieht
durch die Steuerungssoftware.
Die Leistungssteuerung der Motoren wird mittels der Pulsweitenmodulation (PWM)
durchgefhrt. Diese hat neben der vollen Linearitt und der verlustfreien Leistungsdosierung den Vorteil, da Logiksignale bis an die Gates der Leistungstransistoren
gefhrt werden k
nnen. Jeder Puls kann dabei in der Breite von 0 (Stillstand) bis 250
(Vollast) vom Steuerrechner eingestellt werden. Die Umsetzung dieses 8-Bit Signals
in den entsprechenden Spannungspuls geschieht ebenfalls in der Leistungselektronik.
Die sonstigen Steuerungssignale sind reine ja/nein-Informationen, die als einzelne
Bits in einem 8-Bit Register vom Steuerrechner an die Elektronik gesendet werden. Dort geschieht fr den Magneten die Umsetzung in ein Leistungssignal. Zur
Ausl
sung des Stroboskobblitzes wird ein mit dem Triggereingang des Gertes kompatibles Logiksignal erzeugt, und der Kameraverschlu wird mittels eines Relais,
das den Ausl
seschalter eines modizierten Fernausl
sers berbrckt, ge
net und
geschlossen.
Eine Sonderstellung nimmt der Blitzsensor ein, mit dem berwacht werden soll,
ob die ausgel
sten Stroboskopblitze tatschlich stattgefunden haben. Ziel ist es,
Wurfversuche, deren sptere Auswertung durch fehlende Blitze unm
glich ist, sofort
98
5 Konstruktion der Wurfmaschine
wiederholen zu k
nnen. Der Sensor wird von der Elektronik mit Strom versorgt und
erhlt die Blitzausl
sesignale. Mit der Blitzsensor mit seinem Fototransistor einen
darauolgenden Blitz, wird eine LED eingeschaltet. Leuchten nach Wurfende alle
LEDs, haben alle ausgel
sten Blitze ohne Zeitverz
gerung tatschlich stattgefunden.
Blitz
Blitzsensor
Kamera
PC 486
Sensor-/
Leistungselektronik
Wurfmaschine
AT-BUS Steckkarte
Bild 5.7: Signal- und Leistungsu der Wurfmaschine
Die Gesamtkonguration ist in Bild 5.7 dargestellt. Der Steuerrechner (PC-486) enthlt eine speziell angefertigte Einsteckkarte, ber die die Kommunikation mit der
Elektronik erfolgt. Der Signalu lt sich in den Sendezweig fr die Aktoren und
den Empfangszweig fr das Auslesen der Drehgeber aufteilen. Von der Elektronik
ieen Leistungsstr
me und Logiksignale zur Wurfmaschine, und die rohen Sensorsignale werden eingelesen.
In Bild 5.8 ist eine bersicht aller Komponenten der Versuchseinrichtung gezeigt.
Zentrales Element ist die Wurfmaschine (Zier 4). Auf dem Tisch vor der Maschine
steht vor einem schwarzen Vorhang der Datenbildschirm mit schwarzem Gehuse,
der bei jedem Versuch mitfotograert wird (Zier 5). Auf dem Tisch vor der Maschine liegen einige Wurfk
rper. Der Steuerrechner ist bei Zier 2 zu sehen. Die in
diesem Abschnitt erklrten Elektronik-Komponenten stehen in der Mitte zwischen
Steuerrechner und Wurfmaschine bei Zier 3. Ganz links im Bild ist die Stroboskoplampe zu sehen, dahinter ihre elektronische Versorgungseinheit (Zier 1). Die
Kamera, mit der die Versuche aufgenommen wurden, stand noch weiter links hinter dem Stroboskop und ist auf diesem Foto nicht zu sehen. Whrend der Versuche
war der Raum v
llig abgedunkelt, der Standardbildschirm des Steuerrechners war
ebenfalls abgeschaltet. Einzige Lichtquelle war der ebenfalls stark abgedunkelte Datenbildschirm.
5.2 Realisation
1
99
2
3
4
5
Bild 5.8: Foto der Versuchseinrichtung
5.2.4 Software
Als Steuerrechner wird ein Standard-PC eingesetzt. Dieser hat den Vorteil, da
er mit verschiedenen Sprachen frei und vor allem komfortabel programmierbar ist,
jedoch den Nachteil, da die Echtzeitfhigkeit, die zur Realisation einer Regleranwendung erforderlich ist, nicht ohne weiteres vorhanden ist.
Das Rechenprogramm hat die Aufgabe die Versuche zu verwalten, das heit Versuchsparameter zu speichern und fr eine Auswertung vorzubereiten, die Bahn zu
planen und dann in einem Reglermodus den Ablauf eines Versuches in Echtzeit zu
steuern.
Der Ablauf des Programms ist in Bild 5.9 dargestellt. Der Rechner bendet sich
zunchst im PC-Modus. Die gewnschten Wurfparameter werden eingegeben, die
komplette Wurfbahn sowie der Hochlauf vorausberechnet. Danach wird der Rechner in einen Prozerechenmodus umgeschaltet: Es wird nur noch ein Steuer- und
Regelunterprogramm mit einem festen Takt von 2500 Hz abgearbeitet. Dazu wird
der Timer-Interrupt des Rechners auf den Regeltakt umprogrammiert und der
Interrupt-Vektor, der sonst auf eine Betriebssystemroutine zeigt, auf das Reglerunterprogramm verlegt. In diesem Zustand fhrt der Rechner nur noch die gewnschte
Steuerung durch. Die Antriebe werden geregelt, der Abwurf und die Blitze ausgel
st
und der Kameraverschlu gesteuert. Nach Ablauf des Versuchs wird der Rechner
wieder in den PC-Modus zurckgesetzt, und abschlieende Berechnungen und die
Archivierung von Daten werden durchgefhrt.
PC-Mode
5 Konstruktion der Wurfmaschine
Einlesen,
Wurfplanung,
Initialisieren der Hardware
Aktuelle Bahnplanung
Auslesen der Sensoren
Regelung Antrieb
Abwurf
Auslösen Blitz/Kamera
fester Takt (2500 Hz)
Prozeßrechner
Initialisieren des Prozessrechenmodes
Deinitialisieren des Prozessrechenmodes
PC-Mode
Versuchsablauf
100
Archivieren von
Ergebnissen,
Postprocessing
Bild 5.9: Programmablauf eines Wurfversuchs
Das gesamte Programm wurde in der Programmiersprache C++ realisiert. Da das
Programm immer einen nicht zeitkritischen Prolog und Epilog durchluft, treten die
Probleme, die C++ in Echtzeitanwendungen verursachen kann, bei dieser Maschinensteuerung nicht auf.
5.3 Steuerung und Regelung
In diesem Abschnitt wird die Bewegungssteuerung der Wurfmaschine erlutert. Ausgangspunkt ist eine Wunschlage und -geschwindigkeit, die der Wurfk
rper im Moment des Stoes an einem denierten Ort haben soll. Daraus resultiert eine Wurftrajektorie, fr welche die Wurfmaschine die geeigneten Anfangsbedingungen einstellen
mu. Aus diesen Anfangsbedingungen kann eine Hochlaufabfolge der einzelnen Antriebe berechnet werden, die dann durch eine geeignete Steuerung und Regelung
auch gewhrleistet werden mu.
5.3.1 Wurfbahnplanung
Das Versuchsziel besteht jeweils darin, einen Sto des Wurfk
rpers mit gewnschten
Stogeschwindigkeiten durchzufhren. Zustzlich soll sich der K
rper dabei in einer
gewnschten Winkellage benden. Die vier Zielgr
en sind in Bild 5.10 dargestellt:
Die Schwerpunktsgeschwindigkeit in x- und y-Richtung unmittelbar vor dem Sto
(vxS und vyS ) sowie Winkellage 'S und -geschwindigkeit !S . Die Winkellage ist nur
5.3 Steuerung und Regelung
101
bei einem nicht rotationssysmmetrischen K
rper von Bedeutung und wird bezglich
eines geeigneten K
rpermerkmals gemessen.
Diese Zielgr
en sind bei der Wurfmaschine nur indirekt einstellbar. Es ist m
glich,
die Abwurfgeschwindigkeit und -winkel des Wurfarms (im folgenden immer Hauptantrieb genannt) !Hab und 'Hab vorzugeben. Ebenso k
nnen fr den zustzlichen
Antrieb des Wurfk
rpers (Drallantrieb) die Lage und Geschwindigkeit !Dab und
'Dab vorgegeben werden. Als zustzliche Gr
en gehen in die Wurfbahnplanung
der Radius des Wurfarmes R, der des Wurfk
rpers r und die H
he h des Wurfarmdrehpunktes ber der Stoche ein. Grundstzlich werden alle St
e auf einer
horizontalen Ebene durchgefhrt. Die letzte fr die Bahnberechnung wichtige Gr
e
ist die Erdbeschleunigung g.
ϕH,ab
R
2r
h
ϕS
ωS
vvor
vy
vx
Bild 5.10: Geometrie der Wurfbahn
Der Zusammenhang zwischen Abwurfparametern und Auftregeschwindigkeiten
lt sich als
vxS = !Hab
q cos 'Hab
vyS = ; (!Hab sin 'Hab )2 + 2g(h ; r + R cos 'Hab)
(5.1)
(5.2)
darstellen. Die Geschwindigkeit in y-Richtung ist im verwendeten Koordinatensystem unmittelbar vor dem Sto negativ. Diese Gleichungen mssen nun nach !Hab
und 'Hab aufgel
st werden, da diese Parameter in die Steuerung der Wurfmaschine
eingehen. Das ist jedoch nicht analytisch m
glich. Aus diesem Grund werden in der
Steuerungssoftware der Wurfmaschine diese Parameter mit Hilfe eines numerischen
Gleichungsl
sers vor Beginn des Versuches berechnet. Ist die Wurfbahn vollstndig
ermittelt, lassen sich nun auch der Auftrepunkt und die Flugzeit angeben. Der
Auftrepunkt ist nicht whlbar. Er ergibt sich zwangslug aus den vorgegebenen
102
5 Konstruktion der Wurfmaschine
Geschwindigkeiten. Dieses Problem ist aber dadurch zu l
sen, da man sowohl die
Auswertetechnik als auch spezielle Stopartner am bekannten Stopunkt plazieren
kann.
Die Flugzeit tF wird unter Verwendung der Beziehung fr den freien Fall berechnet, die einen Zusammenhang zwischen der Fallh
he einerseits und der Fallzeit mit
Erdbeschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit andererseits herstellt:
(h ; r) + R cos 'Hab = 12 g t2F + j!Hab sin 'Hab j tF .
(5.3)
Diese Gleichung kann nach tF aufgel
st werden. Der Ort des Stopunktes xS lt
sich ebenfalls ber die Flugzeit mit
xS = !Hab cos 'Hab tF + R sin 'Hab
(5.4)
berechnen.
Die Berechnung der Abwurfgr
en fr den Drallantrieb ist einfacher. Fr die Stogeschwindigkeit und den Winkel gelten:
!S = !Dab + !Hab
'S = 'Dab + (!Dab + !Hab) tF + 'Hab
(5.5)
(5.6)
Da es sich bei den Gr
en, die den Drall beschreiben, um Relativgr
en bezglich
des Wurfarmes handelt, gehen in die Berechnung der absoluten Stowerte die Abwurfparameter des Hauptarmes mit ein. Die Gleichungen k
nnen direkt nach den
fr die Maschinensteuerung wesentlichen Gr
en !Dab und 'Dab aufgel
st werden.
In Gleichung 5.6 ist darauf zu achten da sich bei Berechnungen von Winkeln unter
Umstnden Werte ergeben k
nnen, die auf einen sinnvollen Bereich (zum Beispiel
0 - 360) normiert werden mssen.
5.3.2 Ablaufplanung
Im vorangegangenen Abschnitt wurde berechnet, in welchem Zustand der Wurfk
rper freigegeben werden mu, um den gewnschten Sto durchfhren zu k
nnen. Die
Beschleunigung des Hauptarmes auf die gewnschte Drehzahl und das Ausklinken
des Wurfk
rpers ist weder theoretisch noch praktisch ein Problem. Auch eine zustzliche Winkelgeschwindigkeit ist ohne Schwierigkeiten realisierbar. Kommt noch
die Forderung dazu, da sich der Wurfk
rper im Moment des Loslassens in einer
bestimmten Winkelposition benden soll, sind diese Forderungen nicht mehr ohne
weiteres zu erfllen. Ein Steuerungskonzept, das zunchst beide Antriebe auf die gewnschte Geschwindigkeit beschleunigt und dann im richtigen Moment ausklinkt,
ist nicht ausreichend, da dann die korrekte Winkelstellung des Wurfk
rpers nicht
gewhrleistet ist.
Um das Ziel des lage- und geschwindigkeitsgenauen Abwurfes zu erreichen, wird folgendes Konzept verwirklicht: Die Hochlaufbahn (Bahn als abstrakte Trajektorie im
5.3 Steuerung und Regelung
103
Phasenraum) mu exakt vorausgeplant und die Startwinkel vor Beginn des Hochlaufes so eingestellt werden, da im Moment des Ausl
sens auch der Wurfk
rper in
der richtigen Position ist. Der Ablauf des Versuchs ist in Bild 5.11 dargestellt.
Abwurf
Auslösen
ωH
ϕH
Zielwinkel
jew ±360º
ωD
ϕD
Winkeldiff.
t
Δtvor
Korr.
Hochlauf
Flug
Bremsen
Bild 5.11: Planung des Bewegungsablaufes vor dem Wurf
Der Versuchsablauf lt sich in vier Phasen untergliedern. Zunchst werden die
Stellungen beider Antriebe in der Korrekturphase in die gewnschte Startposition
gedreht. Der Wurfarm wird dabei aus einer beliebigen Stellung in die senkrechte
Position gefahren. Der Drallantrieb wird ebenfalls in die ben
tigte Startposition
gebracht, die im folgenden erklrt wird.
In der darauolgenden Hochlaufphase werden beide Antriebe mit einem rampenf
rmigen Geschwindigkeitsverlauf beschleunigt, bis die jeweilige Wunschdrehzahl erreicht ist. Nach einer Beruhigungszeit, bei der beide Antriebe sich mit konstanter
Drehzahl drehen, wird der Abwurfmechanismus ausgel
st. Dies geschieht um das
Intervall tvor vor dem eigentlichen Abwurfzeitpunkt, da der Ausl
semechanismus
eine kurze aber reproduzierbare Ausl
severz
gerung hat. Der Zeitpunkt der Ausl
sung ist so berechnet, da der Wurfarm im Moment der Freigabe des Wurfk
rpers
104
5 Konstruktion der Wurfmaschine
in der gewnschten Position ist. Der Drallantrieb hat zu diesem Zeitpunkt auch die
erforderliche Drehgeschwindigkeit. Die richtige Winkellage des Drallantriebs wird
durch die Winkelkorrektur am Anfang erreicht. Die gestrichelte Linie in Bild 5.11
stellt den Hochlauf ohne vorherige Winkelkorrektur dar. Nach der Verdrehung wird
auf der durchgezogenen Linie einer der gewnschten Abwurfwinkel erreicht. Da sich
die Winkelstellung nach jeweils 360 wiederholt, ist eine Korrektur um maximal
180 erforderlich.
Nach dem Abwurf werden die Stroboskopblitze ausgel
st, die zur Versuchsbeobachtung und -auswertung dienen. Dieser Sachverhalt wird in Abschnitt 5.4 erlutert.
In der Bremsphase werden Haupt- und Drallantrieb wieder zum Stillstand gebracht.
Der Versuch ist damit abgeschlossen.
Diese Bahnplanung ist nur sinnvoll, wenn die Wurfmaschine auch tatschlich die
Bewegungen ausfhrt, die vorgesehen sind. Insbesondere ist hier eine hohe Przision
erforderlich. Bereits ein Fehler im Abwurfwinkel von 1 kann den Versuch v
llig verflschen. Deswegen mu die Steuerung der Maschine so przise gestaltet sein, da
die Abweichung von Soll- zu Istbewegung zumindest in der Nhe des Abwurfmomentes geringer als 1 ist. Diese Forderung ist nur mit Hilfe eines geeigneten Reglers
zu realisieren.
5.3.3 Antriebsregelung
Der Regler hat die Aufgabe, die Wurfmaschine dazu zu zwingen, den Bewegungsvorgaben der Versuchssteuerung m
glichst genau zu folgen. Bei der Auswahl des
Reglerkonzeptes spielen folgende Punkte eine wesentliche Rolle:
Die beiden Antriebe sind vollstndig entkoppelt.
Das mechanische Modell beider Antriebe ist sehr einfach.
Die Bahn ist im Phasenraum vorher genau bekannt.
Die beiden letztgenannten Punkte erm
glichen es, einen Regler mit ausgefeilter Vorsteuerung zu verwenden, welche die gesamte inverse Dynamik aufschaltet. Der Regler
mu dann nur noch kleine Abweichungen um die sich verndernde Sollvorgabe korrigieren. Da beide Achsen entkoppelt sind, kann jeweils ein einfacher linearer Regler
verwendet werden. Gewichtet werden mssen auf jeden Fall die Winkel- und die
Geschwindigkeitsabweichung. Da es auf besondere Przision in der Nachfhrung des
Winkels ankommt, ist auch der I-Anteil der Winkelabweichung erforderlich, der eine
bleibende Regeldierenz beseitigt.
Die Bewegungsgleichung fr die beiden Antriebe lautet jeweils:
J !_ + C ! + MReib (!) = K u,
(5.7)
wobei ! die Winkelgeschwindigkeit, J das Trgheitsmoment, C und K Motorkonstanten und u der Stelleingri sind. In die Konstanten C und K geht neben den
5.3 Steuerung und Regelung
105
technischen Motordaten auch die im Antriebsstrang enthaltene Getriebebersetzung
ein. K wird darberhinaus durch die Dimension des Stelleingris beeinut. Hier
sind entweder die Motorspannung oder eine prozentuale oder absolute Pulsbreite
denkbar. Das Gesamttrgheitsmoment enthlt alle rotierenden Teile der jeweiligen
Antriebe. Beim Hauptantrieb ist der dominierende Trgheitsanteil der Wurfarm,
obwohl der Motor mit einer bersetzung den Arm antreibt. Der Drallantrieb verfgt ber einen Direktantrieb, bei dem die Motortrgheit klein im Verhltnis zur
Drehmasse der Halteplatten und des Wurfk
rpers ist.
Das Reibmoment ist eine Funktion der Drehgeschwindigkeit und entzieht sich einer genauen Berechnung. Der Hauptantrieb wird durch Reibung nur geringfgig
beeinut. Beim Drallantrieb stellt die Reibung jedoch einen wesentlichen Systemparameter dar.
Die inverse Dynamik besteht aus zwei Anteilen: Einerseits aus der statischen Vorsteuerung, die dem Motor ein Stellsignal aufschaltet, das ben
tigt wird, um die
zu erreichende Geschwindigkeit im Gleichgewichtszustand zu halten, andererseits
dem dynamischen Anteil, der den zustzlichen Energiebedarf der Beschleunigung
kompensiert. Der statische Anteil soll auch den nicht berechenbaren Reibanteil kompensieren, weshalb hier zum Mittel der Messung gegrien wurde. Der Stelleingri u
wird schrittweise erh
ht und die erreichte Drehgeschwindigkeit ! ermittelt. Hierbei
mu jeweils gewartet werden, bis die Drehgeschwindigkeit gegen die Grenzdrehzahl
hinreichend konvergiert ist. Der Zusammenhang wird durch die Funktion
! = f(u)
=)
u = f;1(!)
(5.8)
mit der Umkehrfunktion f;1 beschrieben. Um diese Umkehrung durchfhren zu k
nnen, ist es erforderlich, die gemessenen Datenpunkte durch eine globale oder mehrere
abschnittsweise umkehrbare Funktionen zu approximieren.
Die dynamische Vorsteuerung wird aufgrund der einfachen Systemdynamik als Konstante angesetzt, die sich zu K=J berechnet. Das gesamte Vorsteuersignal uV ergibt
sich damit zu:
uV = f;1 (!) + KJ !_
(5.9)
Die sinnvolle Anwendung dieser Vorsteuerung setzt voraus, da die Sollbeschleunigung bekannt ist. Da der gesamte Versuchsablauf von einem Rechner gesteuert
wird, in dem Sollbahnen, Vorsteuerung und Regler digital vorausberechnet werden,
ist dies problemlos m
glich. Die gesamte Struktur eines Antriebes mit Regler ist in
Bild 5.12 dargestellt.
Der Sollbahngenerator stellt die Sollage, die -geschwindigkeit sowie die -beschleunigung zur Verfgung. Diese Gr
en werden zeitdiskret berechnet. Die Sollbeschleunigung !_ S wird nur der Vorsteuerung zur Verfgung gestellt. Die Sollgeschwindigkeit !S wird einerseits von der Vorsteuerung ben
tigt und andererseits zum SollIstvergleich an den Reglereingang weitergegeben. Die Sollage 'S wird nur mit dem
entsprechenden Ist-Signal verglichen.
106
5 Konstruktion der Wurfmaschine
Vorsteuerung
ωS
Sollbahn- ωS
generator ϕS
ωd
- ϕd
PID-Regler
uR
uV
u
Strecke
ω
ωmess
ϕmess
Messung
Messung
Bild 5.12: Signaluplan eines Antriebs
Der lineare Regler gewichtet die Abweichungen auf Geschwindigkeits-, Lage- und integrierter Lageebene mit den Reglerkoezienten und bildet den Reglerausgang uR,
der mit dem Ausgang uV der Vorsteuerung zum Stellsignal u verknpft wird. Dieses
Signal wird in 250 Stufen diskretisiert und limitiert und ber die Leistungselektronik auf die Antriebsmotoren aufgeschaltet.
Der Rckfhrzweig spaltet sich in eine Lage- und eine Geschwindigkeitsmessung auf,
da beide Gr
en unabhngig voneinander ausgewertet und dem Steuerrechner als
zwei digitale Werte zur Verfgung gestellt werden. Aus der Perspektive der Reglerauslegung ist das wichtig, da die verwendeten Meverfahren fr beide Gr
en mit
unterschiedlichen Fehlern und Merauschen behaftet sind.
Die Reglerauslegung erfolgt nach dem Kriterium des minimalen Abstandsquadrats
zwischen Soll- und Istlage in der Nhe des Abwurfmomentes. Dieses Verfahren bietet die M
glichkeit, die optimalen Reglerkoezienten im Frequenzbereich direkt zu
bestimmen. Beim vorliegenden System fhrt das jedoch zu unbefriedigenden Resultaten: Der D-Anteil des Reglers wird bei dieser analytischen Optimierung zu hoch
bewertet. Die Messung der Geschwindigkeit ist jedoch mit einem verhltnismig
hohen Merauschen belastet, das dadurch erheblich verstrkt wird und zu einem
sehr unruhigen Lauf des Antriebs fhrt. Aus diesem Grund wurde zur Auslegung
des Reglers eine Hardware-in-the-Loop Optimierung durchgefhrt.
Bei diesem Verfahren wird ein numerischer Optimierungsalgorithmus im Steuerrechner gestartet. Zur Ermittlung des Gtefunktionals fr eine Parameterkombination
wird eine Sollbahn mit bestimmten Reglerkoezienten tatschlich nachgefahren und
die Abweichung Soll-Ist aus automatischen Messungen des Versuchs bestimmt (Bild
5.13). Dieses Verfahren ist zwar einerseits zeitaufwendig, da die Bahnfahrten tatschlich in Echtzeit durchgefhrt werden mssen, hat aber andererseits den Vorteil,
da alle nichtlinearen Eekte, die in einer Modellierung nur aufwendig nachzubilden
5.4 Gerte zur Messung der Versuche
107
Ziel: V(xi) → min
Reglerkoeff.
Schnittstelle Hard- Software
Aufbereitung
V(xi)
Optimierungsprogramm
optimales xopt
Motorspannung
Messung
Unterprog.
Gütefunktional
WurfmaschinenSteuerung
(feste Testbahn)
Optimierungsalgorithmus
xi
Wurfmaschine
Abw. Soll-Ist
Steuerrechner
Bild 5.13: Signalu und Ablaufstrategie der Hardware-in-theLoop Optimierung
wren, immer richtig enthalten sind.
5.4 Gerte zur Messung der Versuche
Bei der Beobachtung eines Stovorganges sind die Geschwindigkeiten der Stok
rper unmittelbar vor und nach dem Sto von Interesse. Dies sind jedoch Gr
en,
die einer direkten Beobachtung nicht zugnglich sind. Man kann allenfalls die Geschwindigkeiten eine gewisse Zeit vor und nach dem Sto messen und daraus auf
die unmittelbaren Stogeschwindigkeiten zurckschlieen. Ein wichtiger Aspekt bei
der Auswahl des Mekonzeptes besteht darin, da die Bewegung des K
rpers nach
dem Sto unbekannt ist. Die Messung dieser Bewegung ist das eigentliche Erkenntnisziel des Versuchs. Die verwendete Meeinrichtung mu deshalb in der Lage sein,
einen groen Bereich messend abzudecken. Zudem sollen nicht nur die translatorische
Geschwindigkeit nach Gr
e und Richtung bestimmt, sondern auch die Rotationsgeschwindigkeit und die Winkellage gemessen werden.
Um alle diese Forderungen zu erfllen, wurde folgendes Mekonzept entwickelt: Der
Versuch ndet in einem v
llig abgedunkelten Raum vor dunklem Hintergrund statt.
Whrend der Flugphase des K
rpers werden zu denierten periodischen Zeitpunkten Stroboskopblitze ausgel
st, die den iegenden Wurfk
rper momentan beleuchten.
Eine Fotokamera, deren Verschlu whrend des gesamten Versuchsablaufes ge
net
ist, nimmt den Versuch auf. Als Ergebnis zeigt sich auf dem belichteten Film pro
Blitz eine Aufnahme des Wurfk
rpers. Zudem wird ein Mastab und der Computerbildschirm des Steuerrechners, auf dem alle wichtigen Versuchsdaten eingeblendet
108
5 Konstruktion der Wurfmaschine
werden, mitfotograert. ber die so in das Foto eingeblendete Blitzfrequenz lt
sich durch Vermessung der Aufnahmen die Flugbahn des Wurfk
rpers genau rekonstruieren. Der K
rper ist mit einer Winkelmarkierung versehen, die es erm
glicht,
die Drehlage der Aufnahmen und damit auch die Drehgeschwindigkeit genau zu
bestimmen. Dem Nachteil, da die Versuchsergebnisse erst nach Entwicklung und
Auswertung der Fotos vorhanden sind, stehen folgende Vorteile gegenber:
Das Bild beinhaltet die volle Versuchsinformation. Im Versuchsmoment treten
nur systematische Fehler auf, die nach deren Erkennen sogar noch korrigiert
werden k
nnen (Verzerrungen o..).
Statistische Auswertefehler, die zu unplausiblen Versuchsergebnissen fhren,
sind durch erneute Betrachtung der Bilder meist korrigierbar.
Die Ergebnisse sind handlich dokumentiert und archiviert.
Durch Einblendung von Mastab und Versuchsparametern ist jedes Foto fr
sich ohne weitere Information aussagekrftig.
Nimmt man auch die Flugphase vor dem Wurf auf, werden Fehler beim Abwurf
unwichtig, da die tatschliche Anuggeschwindigkeit gemessen wird.
Bild 5.14: Beispiel eines Dias eines Wurfversuchs (Negativ)
Um die Auswertung zu vereinfachen, werden Dias verwendet, die danach in einer
gnstigen Auswertegr
e auf ein gerastertes Papier projiziert werden. Dort werden
dann die Schwerpunktslage und der Winkel der Markierung jeder Momentaufnahme
gemessen. Fr die Rekonstruktion der kompletten Flugbahn reichen zwei Belichtungen pro Flugbahnabschnitt (vor und nach dem Sto) aus. Um die Sicherheit der
5.4 Gerte zur Messung der Versuche
109
Auswertung zu verbessern und eine Eingangsgr
e fr die Fehlerrechnung zu erhalten, werden drei Belichtungen pro Flugbahnabschnitt vorgenommen. Das negativ
eines reprsentativen Dias ist in Bild 5.14 gezeigt.
Insgesamt sind sechs Belichtungen des Wurfk
rpers zu sehen: Die Flugrichtung ist
von links nach rechts. Die linken drei Bilder sind vor dem Sto, die rechten nach dem
Sto aufgenommen. Deutlich ist auf dem Wurfk
rper die dreieckige Winkelmarkierung zu erkennen, die zur Bestimmung der Drehlage dient. Im unteren Bildbereich
ist die Stoche und im linken Bereich des Dias ist ein mitfotograerter Computerbildschirm zu sehen. Auf diesen blendet der Steuerrechner whrend des Fluges
alle wichtigen Versuchsdaten, wie Datum, Uhrzeit, Blitzfrequenz, Abwurfgeschwindigkeiten und -winkellagen, Flugzeit, Auftrepunkt und eine laufende Nummer ein.
Unter dieser Nummer werden alle Versuchsdaten in einer Datei gespeichert.
110
6 Auswertung der Stoversuche
Kapitel 6
Auswertung der Stoversuche
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Stoversuche dargestellt. Dazu werden
zunchst die Rechenschritte erlutert, die ben
tigt werden, um aus den Fotoauswertungen die physikalischen Gr
en zu gewinnen und die statistischen Methoden,
um diese Ergebnisse zu verbessern und zu bewerten. In einem weiteren Abschnitt
werden dann die Darstellungsarten der Ergebnisse erlutert.
Den Kern dieses Kapitels stellt die Vorstellung der Versuchsergebnisse der durchgefhrten zentralen und exzentrischen Stoexperimente und der Vergleich mit den
theoretischen Berechnungen dar.
6.1 Auswertemethodik
In diesem Abschnitt soll die Aufbereitung der Informationen, die bei der Auswertung eines Dias gewonnen werden, dargestellt werden. Ziel ist es, im ersten Schritt
die Geschwindigkeiten des Wurfk
rpers unmittelbar vor und nach dem Sto zu berechnen. Daraus k
nnen dann im weiteren die Impulse und mehrere dimensionslose
Stomae abgeleitet werden.
6.1.1 Rekonstruktion der Flugbahn
Pro Flugbahnabschnitt werden durch drei Stroboskopblitze drei Aufnahmen gemacht, wobei theoretisch zwei Aufnahmen gengen wrden, um die Flugbahn exakt
rekonstruieren zu k
nnen. Die Redundanz in den Aufnahmen dient einerseits dazu,
die Aussagekraft des Ergebnisses durch Mittelwertbildung zu verbessern, und andererseits mit Hilfe von statistischen Methoden die Messungsqualitt abschtzen zu
k
nnen. Dieses Vorgehen wird in Abschnitt 6.1.2 beschrieben.
Zur Beschreibung der Flugbahn wird, wie in Bild 6.1 dargestellt, ein x-y-Koordinatensystem verwendet, in welchem die y-Achse senkrecht nach oben und die x-Achse
in horizontale Richtung zeigt. Der Wurf erfolgt immer so, da in der Anugphase
eine Geschwindigkeit in positiver x- und negativer y-Richtung vorhanden ist. Bei
6.1 Auswertemethodik
111
x1
ϕ1
y1
y
x
xv(t)
yv(t)
ϕv(t)
xn(t)
yn(t)
ϕn(t)
Bild 6.1: Auswertungsschema
der Berechnung der Flugbahn wird von einer idealen widerstandsfreien Wurfparabel ausgegangen, was sich bei der Auswertung der Wurfversuche besttigt hat. Im
Moment des Stoes ndet eine unstetige Umlenkung statt. Deshalb werden zwei
Interpolationsfunktionen verwendet, die eine vor dem Sto (Index v) und eine nach
dem Sto (Index n). Beschrieben werden die Bewegungen in x- und y-Richtung
sowie der Drehwinkel '. Die Modellfunktionen sind bei Gleichungsnummer (6.1)
zusammengefat:
xn(t) = xn0 + vxnt
xv (t) = xv0 + vxv t
yn(t) = yn0 + vyn t ; 12 gt2
yv (t) = yv0 + vyv t ; 12 gt2
(6.1)
'v (t) = 'v0 + !v t
'n(t) = 'n0 + !nt
Diese Modellfunktionen k
nnen nun nach einem Minimierungskriterium an die Mepunkte angepat werden. Die zw
lf hierbei zu bestimmenden Gr
en sind xv0 , yv0,
'v0 , xn0, yn0, 'n0, vxv , vyv , !v , vxn, vyn und !n (siehe Abschnitt 6.1.2).
Sind diese Gr
en bestimmt, kann nun ber den Schnitt der beiden Wurfbahnanteile der Stozeitpunkt tS bestimmt werden:
; yv0
(6.2)
yv0 + vyv tS = yn0 + vyn tS
=)
tS = vyn0 ;
yv vyn
Der Stozeitpunkt k
nnte auch ber den Schnitt der beiden Anteile der x- oder
'-Bewegung bestimmt werden. Nachteilig ist hierbei, da sich bei gewissen Stokongurationen die Geschwindigkeit in x- bzw. '-Richtung nicht ndert und somit
die Berechnung von tS nicht gelingt. Aufgrund des Stoes ist eine deutliche "nderung
der Geschwindigkeiten in y-Richtung immer gewhrleistet.
Auf dem Auswertefoto ist der exakte Auftrepunkt des Wurfk
rpers nicht zu erkennen. Die Wahl des Koordinatenursprungs ist deshalb auch willkrlich. Mit der
Kenntnis des Stozeitpunktes kann die Auftreh
he
(6.3)
h = yv0 + vyv tS ; 12 gt2S
112
6 Auswertung der Stoversuche
berechnet werden.
Wesentlich fr die Auswertung der St
e sind die Geschwindigkeiten unmittelbar
vor (Index A) und nach (Index E) dem Sto. Zustzlich ist bei exzentrischen St
en
noch die Kenntnis des Verdrehwinkels des Wurfk
rpers im Stomoment wichtig. Fr
die Bewegung in x-Richtung und die Drehgeschwindigkeit ist dies einfach, da sich
die Geschwindigkeiten annahmegem whrend der Flugphasen nicht ndern. Somit
gilt:
vxA = vxv
vxE = vxn
!A = !v
!E = !n
(6.4)
Fr die Geschwindigkeit in y-Richtung und den K
rperbezugswinkel unmittelbar vor
dem Sto mu die Stozeit in die Gleichungen (6.1) eingesetzt werden. Die Winkel
'A und 'E mssen nach der Stoannahme identisch sein. Dies bietet eine zustzliche
Kontrolle fr die Richtigkeit der Messungsauswertung:
vyA = vyv ; gtS
vyE = vyn ; gtS
'A = 'v0 + !v tS
'E = 'n0 + !ntS
(6.5)
Diese Geschwindigkeiten und Lagen beinhalten die gesamte Information, die bei
einem Stoversuch gemessen werden kann. Daraus k
nnen in weiteren Schritten die
Relativgeschwindigkeitsnderungen, die Stokoezienten und mit Kenntnis der
Trgheitsparameter des Wurfk
rpers auch die bertragenen Impulse berechnet
werden.
6.1.2 Statistische Bearbeitung und Fehlerrechnung
Generell soll zur statistischen Auswertung der Messungen ein Interpolationsverfahren auf Minimierungsbasis verwendet werden. Ziel ist einerseits eine Verbesserung
des Ergebnisses durch Mittelwertbildung und andererseits die Abschtzung der Ergebnisqualitt durch einen geeigneten Vergleich der Mepunkte mit der interpolierten Funktion.
Zur Auswertung stehen 6 Messungsquadrupel (ti xi yi 'i) zur Verfgung, an die die
Modellfunktionen (Gleichungen 6.1) angepat werden sollen. Besonders zu beachten
ist hierbei:
Die beiden Abschnitte der Funktionen mssen fr alle Koordinaten aneinander
passen.
Auch die Zeitpunkte ti k
nnen fehlerbehaftet sein.
Die Bercksichtigung dieser beiden Punkte wrde die statistische Auswertung erheblich erschweren, da beide Bedingungen die lineare Ausgleichsrechnung in ein
nichtlineares Ausgleichsproblem verwandeln wrden.
6.1 Auswertemethodik
113
Die Verknpfungsbedingung wurde fallengelassen, da die Berechnung des Schnittpunktes der beiden Achsen (wie in Abschnitt 6.1.1) fr die Koordinate y gut, fr x
und ' jedoch sehr schlecht konditioniert sein kann. Eine Verbesserung des Ergebnisses ist deshalb mit Hilfe dieser Zusatzbedingung nicht zu erwarten.
Bei der statistischen Behandlung von Mewerten sind in der Regel die Funktionswerte ber bestimmten Sttzwerten aufgetragen. Im vorliegenden Fall sind es Lagen
und Winkel ber der Zeit. Hierbei ist grundstzlich zu klren, ob nur die Funktionswerte oder auch die Lage der Sttzstellen fehlerbehaftet sind. Das Meprinzip,
das fr die Wurfmessungen verwendet wird, kann grundstzlich auch Fehler in den
Sttzstellen enthalten. Dieses Phnomen tritt ein, wenn die Blitze nicht zum exakt gewnschten Zeitpunkt stattnden. Die Formulierung der Ausgleichsrechnung
ist auch fr Mereihen mit gestreuten Sttzwerten durchfhrbar, jedoch entstehen
keine linearen Gleichungen mehr, und die Berechnung von Fehlerschranken ist wesentlich aufwendiger.
Ein fehlerhafter Blitz in einem Wurfbahnabschnitt wrde zu statistischen Fehlern in
allen drei Interpolationskurven fr x, y und ' fhren. Bei den durchgefhrten 600
Experimenten wurden insgesamt 2 Versuche identiziert, bei denen oensichtlich ein
Blitz zum falschen Zeitpunkt auftrat. Diese Versuche wurden ausgesondert. Auf eine
statistische Bercksichtigung von Blitzfehlern wurde angesichts der scheinbar hohen
Zuverlssigkeit der Blitzzeitpunkte verzichtet.
Somit sind fr jeden Sto sechs unabhngige Interpolationsaufgaben zu l
sen: Die
Ausgleichsgeraden fr x, y und ', jeweils vor und nach dem Sto. Jede Ausgleichsgerade wird durch den Achsenabschnitt und die Steigung charakterisiert. Da die
Zeitpunkte als genau angenommen werden k
nnen, wird die Bahnkrmmung infolge
der Erdbeschleunigung durch die Transformation
yi = yi + 12 g((i ; 1)TB )2
(6.6)
mit der Erdbeschleunigung g und der Blitzfolgezeit TB herausgerechnet.
Die Interpolationsaufgabe ist am Beispiel der y-Werte in Bild 6.2 dargestellt, gilt
aber genauso fr x und '.
Die Werte y1 bis y3 wurden vor dem Sto aufgenommen, die Werte y4 bis y6 danach.
Die Achsenabschnitte der beiden Interpolationsgeraden werden mit av (vorher) und
an (nachher) bezeichnet, die Steigungen mit bv und bn . Diese Gr
en entsprechen,
im Fall der y-Werte den Parametern yv0 etc. in Gleichung (6.1). Die Interpolationsgleichungen lauten:
av = 16 (5y1 + 2y2 ; y3)
bv = 2T1B (y3 ; y1)
an = 13 (7y4 + y5 ; 5y6)
bn = 2T1B (y6 ; y4)
(6.7)
In Bild 6.2 ist angedeutet, da die Werte vor dem Sto in diesem ktiven Beispiel
wesentlich strker streuen als nach dem Sto. Es mssen folglich Me- oder Auswer-
6 Auswertung der Stoversuche
gemessene Größe
114
an
1
y*2
1
av
Stoß
bn
bv
y*4
y*3
y*5
y*6
y*1
0
T
2T
Zeit
3T
4T
5T
Bild 6.2: Interpolation und Ausgleich der Messungen
tefehler passiert sein. Diese Tatsache kann man bei redundanten Messungen dadurch
erfassen, da man die Streuung der Interpolationswerte berechnet 65].
5 (y1 ; 2y2 + y3)2
a2v = 36
b2v = 121T 2 (y1 ; 2y2 + y3)2
B
(y4 ; 2y5 + y6)2
a2n = 25
18
b2n = 121T 2 (y4 ; 2y5 + y6)2
B
(6.8)
Diese Gr
en bedrfen einer gewissen Interpretation. Es wird davon ausgegangen,
da die Mefehler normalverteilt sind. Das heit, die Wahrscheinlichkeit, da ein
Mewert um einen gewissen Betrag von der physikalischen Realitt abweicht, wird
durch die Normalverteilung beschrieben. Dies ist eine wenn auch weit verbreitete Annahme, die auf einfache Gleichungen fhrt. Wichtige Gr
e in diesem Zusammenhang ist die Streuung . Sind Messungen schlecht zeigen sie eine groe Streuung.
Es ist davon auszugehen, da auch aus ihnen abgeleitete Gr
en keine hohe Qualitt
haben, was sich seinerseits in einer groen Streuung dieser Gr
en ausdrckt.
Die Streuung der Messung einer Belichtung bei den in dieser Arbeit durchgefhrten
Versuchen ist unbekannt. Da aber in der Regel drei Bilder pro Wurfbahnabschnitt
gemacht wurden, kann nach der Interpolation ber die Abweichung der Mepunkte
von der Interpolationsgeraden eine Qualittsaussage gemacht werden. Die Mewerte
y1 bis y3 in Bild 6.2 zeigen eine deutliche Abweichung von der Geraden. Das Vertrauen in die ermittelten Werte von av und bv ist demnach viel geringer, als in an und
bn , die in diesem Beispiel oensichtlich mit besseren Messungen bestimmt wurden.
Die mathematische Formulierung dieser Erfahrungsaussage steckt in den Gleichungen (6.8). Liegen die Mewerte auf einer Geraden, verschwindet im Grenzfall der
Klammerausdruck in jedem Term, und die Ergebnisse haben keine Streuung. Weichen sie strker davon ab, wird auch die Streuung gr
er.
Mit der Streuung kann man folgende Aussage machen: Die Wahrscheinlichkeit, da
der physikalisch echte Wert im Bereich um den gemessenen oder abgeleiteten
Wert liegt, betrgt 67%, im Bereich 2 95%.
6.1 Auswertemethodik
115
Die Fortpanzung der Streuung auf einen abgeleiteten Wert geschieht wie folgt: Ist
c = f (a1 : : : an) eine von n ai mit bekannten ai abhngige Gr
e, gilt
v
u
n @f !2
u
X
t
c =
a2i :
@a
i
i=1
(6.9)
Auch dieser Beziehung liegt die Annahme normalverteilter Fehler zugrunde. Fhrt
man diese Streuungsfortpanzung mehrfach hintereinander aus, liegen aber nur wenige Basisgr
en zugrunde, so kann es passieren, da die Streuung zu hoch geschtzt
wird, da sich die Fehler ein und derselben Gr
e in fortgesetzter Verknpfung eliminieren k
nnen, die Streuungsberechnung diese Ausl
schungseekte jedoch nicht
bercksichtigt und das Ergebnis schlechter bewertet wird, als es tatschlich ist. Dies
wird hier in Kauf genommen. Dementsprechend sind die weiter abgeleiteten Gr
en
wie Impulse und Reibwerte auch mit gr
eren Streuungen behaftet.
In allen Ergebnisdiagrammen in den Abschnitten 6.2 und 6.3 sind zu allen Meergebnissen Streuungsbalken mit dem Bereich eingetragen.
Zustzlich zu den im Abschnitt 6.1.1 bereits dargestellten Gr
en wurden die folgenden weiteren Auswerteschritte durchgefhrt (Die Streuungsfortpanzung gem
Gleichung (6.9) ist hier aus Platzgrnden nicht dargestellt):
Dimensionslose Geschwindigkeiten:
(6.10)
= ; vvxA TE = ; vvxE
yA
yA
Normaler Stokoezient:
"N = ; vvyE
yA
(6.11)
Tangentialimpuls (Mittelwertbildung):
J
1
T = m(vxE ; vxA) + (!E ; !A)
2
r
Dimensionslose Impulse:
T
N = 1 + "N
T = ; mv
yA
Mittlere Tangentialgeschwindigkeit:
vmitt = 21 (vxE + vxA)
Mittlerer Reibwert:
= T
N
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
116
6 Auswertung der Stoversuche
6.2 Zentrale Ste
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der zentralen Stoversuche dargestellt. Es
wurden insgesamt vier verschiedene Wurfk
rper verwendet, die mit unterschiedlichen
Kontaktpartnern in Kollision gebracht wurden. In Tabelle 6.1 sind die Wurfk
rper
mit ihren wichtigsten Eigenschaften zusammengestellt.
Tabelle 6.1: Eigenschaften der verwendeten rotationssymmetrischen Wurfk
rper
Material Radius mm] Masse g] Trgheit kgmm2] Partner
PVC
Teon
Gummi a
Stahl b
27
27
30
30
58
90
66
142
20
30
25
85.7
Melamin
Melamin
Melamin
Stahl, Alu
a Scheibe, aus einem Gummiball herausgeschnitten
b Stahlring auf einem PVC-Grundkrper
Die Ergebnisse werden fr alle Kontaktpartner getrennt, aber in gleicher Form dargestellt. Abgesehen von Sonderdarstellungen, die an der Stelle ihres Auftretens erlutert werden, werden folgende Darstellungsweisen gewhlt:
1. Die ermittelte Stozahl "N als Betrag des Verhltnis von g_ NE zu g_ NA wird dargestellt ber der Normalgeschwindigkeit g_ NA vor dem Sto. Ziel dieser Darstellung ist es, eine gegebenenfalls vorhandene Abhngigkeit der Stozahl von der
Stogeschwindigkeit zu erkennen. Es ist jeweils eine Trendlinie eingezeichnet,
die mit einer Fehlerbetrags-Minimierung gebildet wurde (Bilder A.1, A.6, A.7
und A.9).
2. Die dimensionslose tangentiale Relativgeschwindigkeit TE nach dem Sto wird
ber der tangentialen Relativgeschwindigkeit vor dem Sto aufgetragen. Prototyp dieser Diagramme ist Bild 4.4. Es ist ein Schlsseldiagramm, mit dem
die Vorhersagbarkeit der Stoexperimente durch das Impulsstomodell gezeigt
werden kann (Bilder 6.3, A.3, 6.5, A.8, 6.9, A.10 und 6.12). Mit der Kenntnis
der Stozahl "N kann man aus diesem Diagramm auch und "T identizieren.
Die daraus resultierenden Vergleichskennlinen sind ebenfalls eingezeichnet.
3. Der dimensionslose tangentiale Gesamtimpuls N wird aufgetragen ber der
tangentiale Relativgeschwindigkeit . Auch dieses Diagramm eignet sich gut,
die Gltigkeit des Stogesetzes zu verizieren. Prototyp ist das Diagramm in
Bild 4.5 (Bilder A.2, A.4, 6.6, 6.10 und A.11).
4. Das Verhltnis von Tangentialimpuls zu Normalimpuls ist ein Ma fr die
Reibungsverhltnisse whrend des Stoes. Es wird ber der mittleren Tangentialgeschwindigkeit (vmitt ) aufgetragen (Bilder 6.4, A.5, 6.7, 6.11 und A.12).
6.2 Zentrale Ste
117
Da die Darstellung aller Bilder im Text zuviel Platz ben
tigen wrde und dabei die
ssige Lesbarkeit des Textes verloren ginge, sind nur die wichtigsten Diagramme
im Text dargestellt. Die weiteren benden sich im Anhang A.
Im Anschlu an die Darstellung der Ergebnisse wird noch das Phnomen von Reibwerten gr
er als eins diskutiert.
6.2.1 Stoversuche mit dem PVC-Wurfkrper
Die Abhngigkeit der Stozahl "N von der Stogeschwindigkeit ist beim Stopaar
PVC-Melamin nur gering ausgeprgt (Bild A.1).
1
0.5
γTE
0
-0.5
-1
PVC
Theorie
-1.5
-1
-0.5
γ
0
0.5
1
Bild 6.3: Tangentiale Relativgeschwindigkeit PVC
Die Tangentialgeschwindigkeiten im Bild 6.3 zeigen in ausgeprgter Weise das Verhalten eines tangentialplastischen Stoes mit "T = 0. Der zweite und der vierte
Quadrant sind leer, es ndet keine Umkehrung der tangentialen Relativgeschwindigkeit statt. Im Bereich um = 0 bendet sich der Haftbereich. Bei St
en in
diesem Anfangsgeschwindigkeitsbereich reicht die Reibkraft aus, um den K
rper im
Stokontakt so abzubremsen, da am Stoende im Kontaktpunkt die Rollbedingung
gilt. Ist die Relativgeschwindigkeit vor dem Sto gro genug, wird diese nur verringert und der K
rper verlt den Kontakt gleitend. Die Ergebnisse der Versuche, bei
denen dieses Phnomen auftrat, liegen auf den Geraden, die mit der Steigung eins
durch den ersten und dritten Quadranten verlaufen. Die Vergleichskurve wurde mit
den Stoparametern "N = 0:68, "T = 0:0 und = 0:05 berechnet. Diesen Vergleichsgeraden liegt die Annahme zugrunde, da fr alle St
e die gleichen Stoparameter
gelten.
118
6 Auswertung der Stoversuche
Den normalen Stokoezienten kann man aus Bild A.1 gewinnen. Da "T = 0 gilt,
erkennt man daran, da die Punkte im Haftbereich auf der -Achse in Bild 6.3
liegen.
Man wei nun, da die St
e mit stndigem Gleiten immer auf Geraden mit der
Steigung eins liegen mssen. Legt man durch diese Punkte eine Ausgleichsgerade,
kann man deren Schnittpunkt mit der -Achse bestimmen und dort grenz ablesen,
das fr den positiven und den negativen Ast den gleichen Betrag haben sollte. Aus
Tabelle 4.1 entnimmt man grenz = ;;(1 + "N ). "N ist bereits bekannt, ; eine
reine Massen- und Geometriegr
e, die fr den Wurfk
rper feststeht. Somit lt sich
aus der Bedingung fr grenz der Reibwert bestimmen. Fr den PVC-Wurfk
rper
gilt ; = 3:11. Mit den Ausgleichsgeraden wurde grenz 0:26 bestimmt, daraus
folgt = 0:05. Inwieweit ein nicht fr alle Versuche gleiches diese Identikation
verflschen kann wird im Abschnitt 6.2.4 gezeigt.
In Bild A.2 sind die tangentialen Stoimpulse T ber der Relativgeschwindigkeit
aufgetragen. Da der dimensionslose Normalimpuls immer N = 1 + "N betrgt,
stellen der linke und der rechte horizontale Ast den Tangentialimpuls an der Haftgrenze dar. Im bergangsbereich wird nur der Teil des bertragbaren Impulses ausgesch
pft, der tatschlich ben
tigt wird um Haften zu erreichen.
0.1
PVC
0.08
0.06
Reibwert μ*
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-4
-2
0
2
4
6
Mittlere Tangentialgeschwindigkeit
8
10
Bild 6.4: Reibverhltnisse PVC
Der Grund fr die zunehmende Abweichung der gemessenen Impulse von den theoretisch berechneten fr gr
ere Geschwindigkeiten wird beim Blick auf Bild 6.4
erklrbar: Dort ist das Verhltnis des Tangential- zum Normalimpuls aufgetragen.
Dieses Verhltnis ist ein Ma fr die Reibverhltnisse, die whrend des Stoes herrschen und wird mit bezeichnet. Aufgetragen ist ber der mittleren tangentia-
6.2 Zentrale Ste
119
len Relativgeschwindigkeit. Bei geringen Geschwindigkeiten, die zu Haften fhren,
schwankt zwischen einem Minimal- und einem Maximalwert, der dem Haftreibwert entspricht. Im Bereich des Gleitens ist zu beobachten, da bei zunehmender mittlerer Relativgeschwindigkeit kleiner wird. Hier spiegelt sich eine klassische
Reibkennlinie wider, die bei zunehmender Reibgeschwindigkeit einen zunchst abfallenden Reibkoezienten zeigt.
Zusammenfassend kann man folgendes feststellen:
Der Kontakt PVC-Melamin zeigt nur eine geringe Abhngigkeit der normalen
Stozahl "N von der Kollisionsgeschwindigkeit.
Es treten keine tangentialreversiblen Eekte auf.
Der Haftreibkoezient liegt bei ca. 0.05, bei h
heren Geschwindigkeiten sinkt
er bis auf 0.04 ab.
Die St
e lassen sich mit dem Impulsstogesetz gut vorhersagen.
6.2.2 Stoversuche mit dem Teon-Wurfkrper
Mit dem Teon-Wurfk
rper wurden alle St
e mit der gleichen normalen Kollisionsgeschwindigkeit durchgefhrt. Deshalb ist das Stozahl-Diagramm nicht aussagekrftig und es wird auf die Darstellung verzichtet. Der Stokoezient ergibt sich zu
"N = 0:68. Aus dem Relativgeschwindigkeits-Diagramm (Bild A.3) lt sich, analog
zum Verhalten von PVC ein komplett tangentialirreversibler Sto mit = 0:06 ablesen, wobei aufgrund der geringen Zahl von Messungen hier eine groe Unsicherheit
verbleibt. Die Tangentialimpulse verhalten sich ebenfalls so, wie es bei den identizierten Stokoezienten zu erwarten ist (Bild A.4). Wie man in Bild A.5 erkennen
kann, hat auch die Paarung Teon-Melamin eine fallende Reibkennlinie.
Zusammenfassend kann man feststellen, da sich die Wurfk
rper aus PVC und Teflon bis auf kleine Schwankungen in den Stokoezienten identisch verhalten Es
ndet bei diesen Paarungen ein tangentialplastischer Sto statt. Dieser ist hier auch
identisch zum reinen Reibsto.
6.2.3 Stoversuche mit dem Gummi-Wurfkrper
Wie auch schon im Kapitel 5 beschrieben, war eines der Hauptziele dieser Arbeit,
tangentialreversible St
e zu untersuchen. Von vornherein war bekannt, da diese
Art von St
en bei Gummik
rpern auftreten kann.
Zunchst ist in Bild A.6 die Abhngigkeit des Stokoezienten "N von der normalen Stogeschwindigkeit dargestellt. Hier ist ein deutlicher Trend zu erkennen: Die
Stozahl verringert sich von 0.8 bei geringen bis zu 0.6 bei groen Stogeschwindigkeiten. Die Ursache dafr ist, da der Gummi des Wurfk
rpers bei schnellen
120
6 Auswertung der Stoversuche
3
Gummi
Theorie alt
Theorie neu
2.5
2
γTE
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
γ
-2
0
2
Bild 6.5: Tangentiale Relativgeschwindigkeit Gummi
Kollisionen strker zusammengedrckt wird und dadurch eine gr
ere Abplattungsche entsteht. Dadurch kann mehr Energie in innerer Reibung dissipiert werden.
Als Wert zur Berechnung der Vergleichskurven in den weiteren Diagrammen wird
"N = 0:75 gewhlt.
In Bild 6.5 ist die tangentiale Reversibilitt deutlich erkennbar. Von wenigen Ausnahmen abgesehen, wurden nur St
e mit negativer Relativgeschwindigkeit vor dem
Sto durchgefhrt. Die tangentiale Expansionsgeschwindigkeit zeigt immer einen
Vorzeichenwechsel. Den Stokoezienten "T kann man in der Umgebung des Ursprungs bestimmen, dort bendet sich der Bereich A gem Tabelle 4.1. Man legt
eine Ausgleichsgerade durch die Mepunkte und bestimmt deren Steigung, die gem Stomodell ;"N "T betragen mu. Da "N bereits bekannt ist, kann "T = 0:9
bestimmt werden. Zur Identikation von eignet sich der Schnittpunkt Schnitt einer Ausgleichsgeraden fr die weiter links liegenden Punkte mit der -Achse. Dieser
liegt immer im Bereich des Falls B2. Aus der Gleichung fr TE in diesem Bereich
ergibt sich = Schnitt=(;(1 + "N )). Fr Schnitt = 6:5 kann man mit ; = 3:376 fr
den Gummiwurfk
rper 1:1 berechnen.
Der aullige Unterschied in der Gr
e der Fehlerbalken fr verschiedene Werte
von lt sich wie folgt erklren: Die Wrfe mit besonders groer Relativgeschwindigkeit (weit links in Bild 6.5) wurden mit sehr geringer Anuggeschwindigkeit auf
kurzem Anugweg mit hoher Blitzfrequenz aufgenommen. Dadurch erh
hen sich die
statistischen Fehler.
Im Bild 6.5, wie auch im Bild 6.6 sind jeweils zwei Vergleichskurven zu theoretischen
Modellen eingetragen. Die mit Theorie alt bezeichneten Kurven entstehen, wenn
man das Stomodell aus 22] verwendet. Die Kurven Theorie neu entstehen, wenn
6.2 Zentrale Ste
121
man das Stogesetz aus Abschnitt 3.6 verwendet, das in Gleichung (3.26) die Gr
e
g_ TE0 einfhrt. Dadurch verschwindet der kurze horizontale Abschnitt in der Vergleichskurve bei TE = 0. Bei einem "T von ungefhr eins fllt dieser Unterschied
kaum auf, in den Abschnitten, in denen die Ergebnisse fr den Stahlwurfk
rper
vorgestellt werden (6.2.4 und 6.2.5), ist er deutlicher.
2.5
Gummi
Theorie alt
Theorie neu
Impuls tangential ΛT
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Relativgeschwindigkeit tangential γ
-1
0
1
Bild 6.6: Tangentialimpuls Gummi
Die Tangentialimpulse (Bild 6.6) zeigen ebenfalls eine gute bereinstimmung zwischen Rechnung und Messung. Auch hier scheint die Theorie neu die Versuchsergebnisse besser erklren zu k
nnen.
Ein besonders beachtenswertes Ergebnis ist in Bild 6.7 dargestellt: Der Reibkoezient erreicht Werte, die gr
er als eins, bis hin zu 1.2 sein k
nnen. Die Oberche
des Stok
rpers ist so rauh, da derartige Werte auch plausibel erscheinen. Der
Beweis in Abschnitt 6.2.6 zeigt, da damit auch whrend des Stoes ein aktueller
Reibwert dieser Gr
e geherrscht haben mu.
Zusammenfassend kann zu den Stoversuchen mit dem Gummiwurfk
rper folgendes
gesagt werden:
Die Stozahl in Normalenrichtung hngt in strkerem Ma von der Kollisionsgeschwindigkeit ab, als es bei starren Wurfk
rpern der Fall ist.
Es zeigt sich ein ausgeprgtes tangentialreversibles Verhalten mit "T = 0:9.
Es treten bei dem verwendeten Stomaterial Reibkoezienten von > 1 auf.
Das Impulsstogesetz kann den Sto gut nachbilden. Die bessere bereinstimmung durch die Modikation mit g_ TE0 ist hier erkennbar.
122
6 Auswertung der Stoversuche
1.4
Gummi
1.2
Reibwert μ*
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Mittlere Tangentialgeschwindigkeit
0
0.5
Bild 6.7: Reibverhltnisse Gummi
Zum Abschlu dieses Abschnitts soll noch ein Beispiel dafr gezeigt werden, welche
eigenartigen Flugbahnen auftreten k
nnen, wenn Gummik
rper St
e mit starken
tangentialreversiblen Eekten durchfhren. Ein spektakulres Beispiel ist in Bild
6.8 (Negativ) dargestellt.
Anflug
2. Stoß
1. Stoß
Bild 6.8: Flugbahn des Gummiwurfk
rpers bei extremer negativer Relativgschwindigkeit vor dem Sto.
Der Wurfk
rper iegt von links heran und hat im Stomoment eine Schwerpunktsgeschwindigkeit von 5 m/s horizontal und 4 m/s senkrecht nach unten. Die Winkel-
6.2 Zentrale Ste
123
geschwindigkeit des K
rpers betrgt 40 U/s im Gegenuhrzeigersinn. Damit ergibt
sich eine tangentiale Relativgeschwindigkeit im Kontakt von ca. 12.5 m/s.
Diese Ausgangskonguration fhrt im ersten Sto zu zwei Konsequenzen: Erstens
kehrt sich die Richtung der Schwerpunktsbewegung um, der K
rper iegt in Wurfrichtung zurck und zweitens rotiert der K
rper bedingt durch den tangentialreversiblen Sto danach in entgegengesetzte Richtung.
Im zweiten Sto kehren sich die Verhltnisse erneut um: Bedingt durch den groen
Drall iegt der K
rper wieder in die ursprngliche horizontale Flugrichtung und
auch die Rotation ndet wieder im Uhrzeigersinn statt. Nach einer langgestreckten
Parabelugbahn k
nnte erneut ein derartiges Stopaar auftreten.
6.2.4 Stoversuche Stahlwurfkrper auf Stahl
Nach den etwas exotischen Materialpaarungen in den Abschnitten 6.2.1, 6.2.2 und
6.2.3 sollen zwei technisch relevante Stopartner untersucht werden: Im folgenden
der Sto eines Stahlwurfk
rpers auf eine Stahlplatte und im Abschnitt 6.2.5 der Sto
desselben K
rpers auf eine Aluminiumplatte.
Auch beim Kontakt Stahl-Stahl zeigt sich eine Abhngigkeit der Stozahl "N von
der Kollisionsgeschwindigkeit# sie schwankt zwischen 0.7 und 0.8 (Bild A.7). Fr die
Vergleichsrechnungen wird "N = 0:75 verwendet.
Die tangentiale Relativgeschwindigkeit ist in zwei Diagrammen dargestellt: In Bild
A.8 ist der gesamte Verlauf zu sehen und in Bild 6.9 eine Ausschnittvergr
erung.
Aus der Steigung in der Nhe des Ursprungs kann man "T = 0:25 identizieren. Der
Schnittpunkt der Geraden fr kleine Gleitgeschwindigkeiten erm
glicht mit ; = 2:49
fr den Stahlwurfk
rper die Bestimmung von = 0:14.
In Bild 6.9 ist im Bereich ;0:6 < < ;0:4 erkennbar, da sich das modizierte
Modell mit g_ TE0 dem Modell ohne diese Verschiebung der Kennlinie als berlegen
zeigt. Ein Bereich der tangentialen Relativgeschwindigkeit vor dem Sto, bei dem
reines Haften herrscht, eingeschlossen von einem tangentialreversiblen und einem
reinen Reibbereich, ist auch physikalisch unanschaulich.
Die Darstellung der Tangentialimpulse, dargestellt in Bild 6.10, zeigt im Bereich A
(vgl. Tabelle 4.1) eine gute bereinstimmung zwischen Rechnung und Messung.
Im Bereich des reinen Gleitens wird die bereinstimmung bei zunehmender Relativgeschwindigkeit schlechter. Die Ursache wird bei der Betrachtung von Bild 6.11
deutlich: Hier wird eine Reibkurve (vrel ) sichtbar. Der Reibwert schwankt im Gleitbereich zwischen 0.14 fr kleine und 0.08 fr groe Relativgeschwindigkeiten. Da die
Vergleichskurven immer mit einem konstanten = 0:14 berechnet wurden, ist die
hiermit Diskrepanz leicht zu erklren.
Zusammenfassend kann zu den St
en Stahl-Stahl gesagt werden:
Es ist eine geringe Abhngigkeit der Stozahl "N von der Kollisionsgeschwindigkeit gegeben.
124
6 Auswertung der Stoversuche
0.2
0.1
0
γTE
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
StahlStahl
Theorie alt
Theorie neu
-0.5
-0.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
γ
-0.2
0
0.2
0.4
Bild 6.9: Tangentiale Relativgeschwindigkeit Stahl-Stahl, Teilansicht
0.3
StahlStahl
Theorie alt
Theorie neu
0.25
Impuls tangential ΛT
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Relativgeschwindigkeit tangential γ
0
0.5
Bild 6.10: Tangentialimpuls Stahl-Stahl
Auch beim Kontakt Stahl-Stahl treten tangentialreversible Eekte auf !
Bei diesem Sto mu die starke Abhngigkeit des Reibwertes von der tangentialen Relativgeschwindigkeit bercksichtigt werden.
6.2 Zentrale Ste
125
0.2
StahlStahl
0.15
Reibwert μ*
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-1
0
1
2
3
4
5
6
Mittlere Tangentialgeschwindigkeit
7
8
9
Bild 6.11: Reibverhltnisse Stahl-Stahl
6.2.5 Stoversuche Stahlwurfkrper auf Aluminium
Der Sto Stahl-Aluminium stellt ebenfalls eine technisch relevante Materialpaarung
dar. Zur Durchfhrung dieser St
e wurde der Stahlwurfk
rper auf eine Aluminiumplatte geworfen.
Die Abhngigkeit von "N von der Kollisionsgeschwindigkeit ist nur gering ausgeprgt
(Bild A.9). Als Mittelwert zur Erzeugung der Vergleichskurven wurde "N = 0:75
gewhlt.
Die tangentiale Relativgeschwindigkeit TE ist in zwei Bildern dargestellt: in einer
Ausschnittvergr
erung (Bild 6.12) und einer Gesamtansicht (Bild A.10). Aus der
Steigung der TE -Kurve identiziert man "T = 0:25 und = 0:18. In Bild 6.12 ist
deutlich zu erkennen, da das in dieser Arbeit vorgestellte Impulsstogesetz auch
den bergangsbereich vom reversiblen Sto zu reinem Gleiten ;0:8 < < ;0:4 gut
beschreiben kann.
Die zunehmende Diskrepanz zwischen Rechnung und Messung fr gr
ere Relativgeschwindigkeiten in den Bildern A.10 und A.11 liegt auch bei dieser Materialpaarung in der fallenden Reibkennlinie begrndet. In Bild A.12 zeigt sich, da zwischen 0.2 an der Haftgrenze und 0.1 bei groen Gleitgeschwindigkeiten schwanken
kann.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, da sich die St
e des Stahlwurfk
rpers
auf eine Aluminiumplatte hnlich verhalten wie die auf eine Stahlplatte. Die normalen und tangentialen Stokoezienten sind gleich, der Reibwert um ca. 30% h
her.
Die bereinstimmung Rechnung-Messung ist gut und kann durch Einfhrung eines
geschwindigkeitsabhngigen noch verbessert werden.
126
6 Auswertung der Stoversuche
0.15
0.1
0.05
γTE
0
-0.05
-0.1
-0.15
Stahl-Alu
Theorie alt
Theorie neu
-0.2
-0.25
-1
-0.8
-0.6
-0.4
γ
-0.2
0
0.2
0.4
Bild 6.12: Tangentiale Relativgeschwindigkeit Stahl-Aluminium,
Teilansicht
6.2.6 Der Reibwert
Bei den Versuchen mit dem Gummiwurfk
rper wurden Impulsverhltnisse
T = jj > 1
(6.16)
N gemessen. An dieser Stelle soll geklrt werden, welche Rckschlsse damit auf den
Reibkoezienten whrend des Stoes gezogen werden k
nnen. Dazu wird die Reibfunktion T (t) = T (t)=N (t) deniert, die den aktuellen Reibbeiwert whrend des
Stoes beschreibt. Herrscht zu einem Zeitpunkt t Gleiten, ist T (t) = (vrel) Whrend Haftphasen wird ;0 < t (t) < 0 gelten, je nach der Gr
e der Zwangskraft
T (t).
Die Stoimpulse stellen die Integrale der Krfte (t) ber der Stozeit t dar.
Somit gilt:
Z
T
Z
T (t)N (t) dt = T (t) dt = T
T
= N
= Z
T
N (t) dt
(6.17)
Wichtig sind das erste und das letzte Glied dieser Gleichungskette. Da bei einem
sinnvollen Sto immer N (t) > 0 gilt, kann man mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgende Aussage treen (siehe 46], S. 165): Die Reibfunktion T (t)
erreicht zu mindestens einem Zeitpunkt whrend des Stoes den Wert . Ist dieser
Wert gr
er als 1, heit das, da whrend des Stoes tatschlich auch ein Reibwert
gr
er als 1 aufgetreten ist.
6.3 Exzentrische Ste
127
6.3 Exzentrische Ste
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Stoversuche mit dem exzentrischen
Wurfk
rper dargestellt. Es wurden nur Versuche mit dem in Bild 5.2 dargestellten
Gummiwurfk
rper durchgefhrt. Grnde dafr waren:
Die Untersuchung tangentialreversibler Eekte ist Schwerpunkt dieser Arbeit,
sie treten bevorzugt bei Gummiwurfk
rpern auf.
Gummi hat einen besonders groen Reibkoezienten. Dieser ist Voraussetzung
dafr, da die Reibeekte bei dieser Stoart gut hervortreten.
Rutscht ein exzentrischer Wurfk
rper beim Sto weg, wird in der Regel kein
richtiges Abheben mehr stattnden k
nnen. Er bleibt gegebenenfalls liegen
oder wird erneute St
e an anderen Stellen des K
rpers ausfhren. Diese Flle
sind mit dem verwendeten Meverfahren nicht auswertbar.
Exzentrische St
e lassen sich, im Gegensatz zu zentralen St
en, nicht durch eine
Variation einer einzigen Gr
e wie beschreiben. Deshalb wird bei der Versuchsplanung wie auch bei der Auswertung ein anderer Weg beschritten: Es wird eine
Serie von Wrfen mit folgenden Anfangswerten durchgefhrt: Die Schwerpunktsgeschwindigkeit des Wurfk
rpers betrgt in Tangentialrichtung x_ A = 3 m/s und
in Normalrichtung y_A = ;3:5 m/s. Die Winkelgeschwindigkeit wird so eingestellt,
da bei senkrechtem Auftreen mit = 0 g_ TA = 0 gilt (keine tangentiale Relativgeschwindigkeit im Stokontakt). Dies wird mit !A = ;x_ A (R + rSM ) erreicht
(Rollbedingung).
yE
ωA
y
xA
α
xE
ωE
x
yA<0
Bild 6.13: Geometrie- und Kinematikgr
en zur Auswertung des
exzentrischen Stoes
Bei der durchgefhrten Versuchsreihe wird der Auftrewinkel (siehe auch Bild
6.13) von ca. -20 bis 35 variiert. Gr
ere Winkel fhren dazu, da nach diesem
ersten Sto ein weiterer Sto an der benachbarten Ecke des Wurfk
rpers auftrat.
Mit dem verwendeten Meverfahren sind derartige Versuche nicht auswertbar.
Der verwendete Wurfk
rper hat folgende Massen- und Geometrieeigenschaften (zur Bedeutung siehe Abschnitt 4.2.2): Masse m = 40 g, Trgheitsmoment
128
6 Auswertung der Stoversuche
J = 9600 gmm2, Rundungsradius R = 5 mm und Abstand des Rundungsmittelpunktes zum Schwerpunkt rSM = 25 mm. Die Kennzahlen des Stoes wurden in
guter bereinstimmung mit den Ergebnissen fr den zentralen Sto mit = 1:1,
"N = 0:8 und "T = 0:8 identiziert. Die Wahl des Reibwertes erweist sich hier als
nebenschlich, da bei allen hier vorgestellten exzentrischen St
en Haften vorliegt
und nur gro genug sein mu, um dies zu gewhrleisten.
Messung
Rechnung
ohne Wurfstreuung
Abhebegeschwindigkeit in m/s
5
4
3
2
1
-20
-10
0
10
Auftreffwinkel α in grad
20
30
Bild 6.14: Normale Schwerpunktsgeschwindigkeit nach dem Sto
In Bild 6.14 sind die normalen Abhebegeschwindigkeiten y_E dargestellt. ber dem
Auftrewinkel sind die Ergebnisse der Wurfversuche dargestellt. Die Markierungen in Form eines + mit den Fehlerbalken stellen die Meergebnisse der einzelnen
Versuche dar wobei als Bandbreite die 1-Streuung eingetragen ist. Die Kreuze in
Form eines stellen die Vorhersage mit dem Impulsstogesetz dar. Eingangsgr
e fr die Berechnung waren die Gr
en x_ A , y_A, !A und aus der Messung der
Flugbahn vor dem Sto. Bei jedem Winkel sind demnach je ein Mewert und ein
berechneter Wert eingetragen.
Mit einer gestrichelten Linie ist in den Bildern die Kurve eingetragen, die entstehen
wrde, wenn die Anfangsbedingungen der St
e genau den Vorgaben entsprochen
htten. Da die Wurfmaschine jedoch eine gewisse Streuung bei der Verwirklichung
der geforderten Anfangsbedingungen aufweist, liegen die Mewerte und die jeweils
zugeh
rigen berechneten Werte etwas abseits dieser Kurve. Wichtig zur Bewertung
der bereinstimmung zwischen Rechnung und Messung ist nur der Vergleich der
jeweiligen + mit dem zugeh
rigen , die Abweichung von der Kurve macht letztlich
eine Aussage ber die Funktionsqualitt der Wurfmaschine.
6.3 Exzentrische Ste
129
4
Messung
Rechnung
ohne Wurfstreuung
Tangentialgeschwindigkeit in m/s
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-20
-10
0
10
Auftreffwinkel α in grad
20
30
Bild 6.15: Tangentiale Schwerpunktsgeschwindigkeit nach dem
Sto
Beim Winkel = 0, was einem zentralen Sto entspricht, ist die Abhebegeschwindigkeit 2.8 m/s, was bei der Anuggeschwindigkeit von -3.5 m/s die normale Stozahl "N = 0:8 besttigt. Bei Anugwinkeln < 0 springt der K
rper deutlich
acher ab. Dieser Eekt spiegelt sich auch in den Bildern wieder, die die Geschwindigkeit in x-Richtung und die Winkelgeschwindigkeit zeigen (Bilder 6.15 und 6.16).
Bei = 0 ndern sich die Bewegungszustnde nicht: Der K
rper iegt mit erfllter Rollbedingung an, st
t ohne die Einwirkung eines Tangentialimpulses (Bild
A.13) und iegt mit erfllter Rollbedingung (y_E = 3 m/s und !E = ;100 rad/s)
weiter. Springt bei negativen Werten von der K
rper acher ab, geht dies mit
einer deutlichen Beschleunigung der Tangentialgeschwindigkeit und auch der Winkelgeschwindigkeit einher. Bei Winkeln < 20 kommt es zu gar keinem Abheben
des K
rpers mehr. Insgesamt zeigt sich fr den Bereich < 0 eine gute bereinstimmung zwischen Rechnung und Messung.
Im Bereich > 0 spielen sich im wesentlichen die gegenteiligen Eekte ab wie im
zuvor beschriebenen Bereich. Die Normalgeschwindigkeit nimmt zu und die Tangentialgeschwindigkeit ab. Im Grenzfall bei 35 verschwindet die tangentiale
Schwerpunktsgeschwindigkeit und der Wurfk
rper iegt, bereits mit einem Gegendrall versehen, senkrecht nach oben weg.
In Bild 6.16 kann man den Einu der tangentialen Reversibilitt erkennen: Hier
sind zustzlich noch Vergleichsrechnungen mit einem eingezeichnet, bei denen mit
"T = 0 ohne tangentiale Reversibilitt gerechnet wurde. Man kann erkennen, da
sich die Messungen damit nicht richtig nachbilden lassen. Die tangentialreversiblen
Eekte spielen somit auch bei diesem Stotyp eine wichtige Rolle.
130
6 Auswertung der Stoversuche
200
Winkelgeschwindigkeit in rad/s
150
Messung
Rechnung
Rechnung ohne rev
ohne Wurfstreuung
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-20
-10
0
10
Auftreffwinkel α in grad
20
30
Bild 6.16: Winkelgeschwindigkeit nach dem Sto
Die Bilder A.14 und A.13 zeigen die Impulse in normaler und tangentialer Richtung whrend des Stoes. Der Verlauf des Normalimpulses ist genau korreliert zur
Abhebegeschwindigkeit y_E . Der Tangentialimpuls verschwindet, wenn = 0 gilt.
Aullig bei allen Ergebnisbildern ist die zunehmend schlechte bereinstimmung
der Meergebnisse mit den Rechnungen fr groe Winkel , insbesondere bei der
Abhebegeschwindigkeit y_E , was sich auch in der Energiedierenz in Bild A.15 widerspiegelt. Bei diesen St
en ist der Normalimpuls besonders gro. Das hat folgende
Konsequenzen:
Der Sto dauert lnger. Es sind deutliche "nderungen des Winkels whrend
des Stoes denkbar, die das Ergebnis nicht mehr mit dem Impulsstomodell
nachvollziehen lassen.
Der Wurfk
rper wird so stark elastisch verformt, da man nicht mehr von dem
gleichen "N ausgehen kann, wie bei anderen Stokongurationen.
Zusammenfassend lt sich feststellen: Bei den hier durchgefhrten St
en steht
die Impulsstohypothese bereits auf wackeligen Beinen. Bei den zentralen St
en
ist das nicht aufgefallen, da eine translatorische Verlagerung whrend des Stoes
zu keiner Geometrienderung gefhrt hat. Zudem ist bei den Ballscheiben, die fr
die zentralen Stoversuche verwendet wurden, die Kontaktsteigkeit h
her, als bei
dem mit kleinerem Radius an den Ecken abgerundeten exzentrischen Wurfk
rper.
Die Versuche untermauern die Stotheorie, insbesondere die tangentialreversiblen
Eekte, zeigen aber zugleich die Grenzen des Impulsstomodells auf.
131
Kapitel 7
Zusammenfassung
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Beitrag zum Verstndnis und zur Modellierung von
Stoprozessen in Mehrk
rpersystemen zu liefern. St
e treten immer auf, wenn Teile
eines Mehrk
rpersystems untereinander oder mit einer inertialfesten Umgebung in
Kontakt kommen und dabei eine Relativgeschwindigkeit zwischen den Kontaktpartnern vorhanden ist. In der Mechanik ist der Begri des Stoes eng mit der Vorstellung
einer unstetigen Geschwindigkeitsnderung verknpft. Da in der Natur alle makroskopischen mechanischen Vorgnge stetig verlaufen, treten derartige bergnge nur
bei einer massendiskreten Modellierung der beteiligten K
rper auf. Insbesondere ist
dies der Fall, wenn man die Modellvorstellung Starrk
rper zugrunde legt.
Es gibt kein allgemeingltiges Stomodell, das fr alle Berhrungsvorgnge in Mehrk
rpersystemen gleichermaen geeignet ist. Nach dem Modellierungsgrundsatz so
einfach wie m
glich, so kompliziert wie n
tig mu je nach spezischem Phnomen
ein geeignetes Modell ausgewhlt werden.
Bei sehr kurzen Stozeiten kann die Weiterbewegung der stoenden Teile whrend
der Berhrzeit vernachlssigbar sein und die im Kontaktpunkt auftretenden Kraftspitzen k
nnen die Betrge aller anderen eingeprgten Krfte im System bersteigen.
Unter diesen Bedingungen ist es m
glich, ein sogenanntes Impulsstogesetz zu verwenden. Dabei lt man in einem Grenzproze die Stozeit verschwinden und geht
von unstetigen Geschwindigkeitsnderungen aus, die durch Kraftimpulse verursacht
werden. Diese Impulse entsprechen dem Integral der Kontaktkraftspitzen ber die
Stozeit.
Findet ein Sto an mehreren Stellen im System gleichzeitig statt, was immer der
Fall ist, wenn in einem System mehrere geschlossene Bindungen vorhanden sind,
kann die auf einen Zeitpunkt reduzierte Impulsstobeschreibung nicht mehr zulssig
sein. Auch komplizierte Haft-Gleit-bergnge in einem Kontakt k
nnen bereits ein
Modell, bei dem der Sto zeitlich aufgel
st wird, notwendig machen. In dieser Arbeit
wird dazu ein Hybrides Stomodell vorgestellt, das die Annahme konstanter Lagen
der am Sto beteiligten K
rper mit der M
glichkeit beliebiger zeitlich aufgel
ster
Kontaktabfolgen verknpft. Mit diesem Modell ist es auch m
glich, den Einu eingeprgter Krfte zu bercksichtigen, die die Gr
enordnung der Stokontaktkrfte
132
7 Zusammenfassung
erreichen.
Die Stomodellierung von elastischen K
rpern mu immer zeitkontinuierlich erfolgen, da die Speicherung und Entspeicherung von Energie nicht auf einen Punkt
konzentriert werden kann, sondern der gesamte K
rper zu diesem Proze beitrgt.
Besonders aufwendig wird die Beschreibung, wenn man die Wellenausbreitung in
den K
rpern bercksichtigen mu, die zu v
llig anderen Resultaten des Stovorgangs fhren kann, als es mit den anderen Modellen vorhersagbar ist.
Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Darstellung eines Impulsstomodells, das einen
m
glichst groen Bereich von denkbaren Starrk
rperst
en abdecken soll. Insbesondere werden die Vorgnge in Richtung der Stotangente ausfhrlich modelliert.
Dabei spielt nicht nur die Reibung eine Rolle, ohne die in Tangentialrichtung keine Krfte auftreten k
nnen, sondern auch sogenannte tangentialreversible Eekte.
Diese beschreiben, da whrend eines Stoes nicht nur in Normalenrichtung, sondern auch in tangentialer Richtung eine Umwandlung von kinetischer in potentielle
Energie stattndet, die bei ihrer Rckumwandlung die Separation der K
rper beziehungsweise eine tangentiale Relativgeschwindigkeit herbeifhrt.
Der Sto teilt sich dabei angelehnt an das Poisson'sche Stogesetz in eine
Kompressions- und eine Expansionsphase auf. In der Kompressionsphase werden die
Kontaktpunkte so abgebremst, da keine weitere Annherungsgeschwindigkeit mehr
vorhanden ist. Dabei k
nnen auch in der Tangentialrichtung Geschwindigkeitsbergnge mit entsprechenden Reibphnomenen stattnden. Ein durch den Stokoezienten "N berechneter Anteil des Kompressionsimpulses wird in der Expansionsphase
wieder verwendet, um die Separation der K
rper zu erreichen oder zumindest ein
weiteres Eindringen zu verhindern. Zustzlich entspeichert sich ein Teil des Tangentialimpulses, der durch die im Kontakt bertragbare Reibung begrenzt wird. Dafr
wird der tangentiale Stokoezient "T eingefhrt. Somit ist auch in Tangentialrichtung eine Umkehrung der Relativbewegung m
glich. Dieser Vorgang wird als
tangentialreversibler Sto bezeichnet.
Das Gesetz ist auch auf Mehrfachkontakte anwendbar, da die Bewegungsnderungen
ber Impulsbilanzen fr das Gesamtsystem berechnet werden und eine Formulierung
mit einseitigen Bindungen die Impenetrabilitt der beteiligten K
rper immer garantiert.
Mit einer Versuchseinrichtung wurde das vorgestellte Stogesetz mit Experimenten
verglichen. Diese Anlage besteht einerseits aus einer Wurfmaschine, die scheibenf
rmige Probek
rper aus nahezu beliebigen Materialien auf eine Unterlage iegen und
dort stoen lt und andererseits aus der zugeh
rigen Auswertetechnik. Die Bahn
des Wurfk
rpers wird whrend der gesamten Flugphase mittels einer Stroboskopbeleuchtung fotograert. Anhand der Auswertung dieser Fotos kann die translatorische
und rotatorische Geschwindigkeit des K
rpers vor und nach dem Sto bestimmt werden. Damit lassen sich die Stoimpulse und die Reibkoezienten der Kontaktpartner
bestimmen.
Zentrale Stoversuche wurden mit verschiedenen Materialpaarungen durchgefhrt.
Die St
e von PVC- und Teon-Wurfk
rpern auf eine Melamintischplatte zeigen das
133
Verhalten eines reinen Reibstoes. Die Tangentialgeschwindigkeit im Kontakt wird
entweder bis hin zur Rollbedingung abgebremst oder der K
rper rutscht whrend
des Stoes komplett durch.
Der Wurfk
rper mit dem Stobelag aus einem Gummiball zeigt ein ausgeprgtes
tangentialreversibles Verhalten. Reicht die Reibung aus, um Haften whrend des
Stoes zu gewhrleisten, wird die Tangentialbewegung nahezu vollstndig umgekehrt. Hier zeigen sich Eekte, die von sogenannten Superbllen bekannt sind. Fr
den tangentialen Stokoezienten konnten aus den Messungen Werte von "T 0:8
ermittelt werden# sie liegen damit in der gleichen Gr
enordnung wie der normale
Stokoezient "N fr diese Materialien.
Ein besonders interessantes Ergebnis dieser Arbeit ist, da tangentialreversible Effekte auch bei den technisch relevanten Materialpaarungen Stahl-Stahl und StahlAluminium auftreten. Diese Eekte sind nicht so ausgeprgt wie bei einem Gummik
rper, treten aber dennoch deutlich auf. Der tangentiale Stokoezient liegt
fr beide Materialpaarungen bei "T 0:25# zudem zeigt sich bei groen Relativgeschwindigkeiten deutlich der Eekt der fallenden Reibkennlinie.
Mit einem dreieckf
rmigen Gummiwurfk
rper wurden exzentrische Stoversuche
durchgefhrt. Die Ergebnisse stimmen ebenfalls gut mit dem theoretischen Stomodell berein. Die Stokoezienten sind mit den Koezienten des zentralen Stoes
nahezu identisch. Somit scheint auch der tangentiale Stokoezient ein Materialparameter zu sein. Bei den exzentrischen St
en, bei denen ein besonders tiefes
Eindringen mit relativ langer Kontaktzeit auftritt, stimmen die Versuchsergebnisse
schlechter mit den theoretischen Berechnungen berein. Hier ist die Annahme der
konstanten Lagen whrend einer vernachlssigbaren Stozeit nicht mehr erfllt. Damit ist die Modellierung dieser St
e mit dem Impulsstogesetz oensichtlich nicht
mehr zulssig.
Das in dieser Arbeit vorgestellte Stomodell ist in der Lage einen weiten Bereich
von St
en, wie sie in Mehrk
rpersystemen auftreten, richtig zu beschreiben. Von
besonderer Wichtigkeit ist das Konzept des tangentialreversiblen Stoes, der auch
bei technisch relevanten Stopaarungen auftreten kann. Damit ist es m
glich, St
e
in Mehrk
rpersystemen realistischer zu beschreiben, als es bisher der Fall war.
134
A Bildanhang
Anhang A
Bildanhang
Auf den folgenden Seiten sind die Versuchsergebnisse in Bildern dargestellt, die im
Kapitel 6 erklrt sind, dort aber keinen Platz fanden.
Zentrale Stoversuche
1
PVC
Trend
Stosszahl εN
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
normale Stossgeschwindigkeit vorher vn
Bild A.1: Normale Stozahl PVC
-3
-2.5
135
0.15
PVC
Theorie
Impuls tangential ΛT
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-1
-0.5
0
0.5
Relativgeschwindigkeit tangential γ
1
Bild A.2: Tangentialimpuls PVC
0.6
0.4
0.2
γTE
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Teflon
Theorie
-1
-0.5
0
γ
0.5
Bild A.3: Tangentiale Relativgeschwindigkeit Teon
1
136
A Bildanhang
0.15
Teflon
Theorie
Impuls tangential ΛT
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-1
-0.5
0
0.5
Relativgeschwindigkeit tangential γ
1
Bild A.4: Tangentialimpuls Teon
0.08
Teflon
0.06
0.04
Reibwert μ*
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-3
-2
-1
0
1
2
Mittlere Tangentialgeschwindigkeit
Bild A.5: Reibverhltnisse Teon
3
4
137
1
Gummi
Trend
Stosszahl εN
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
normale Stossgeschwindigkeit vorher vn
-2
-1.5
Bild A.6: Normale Stozahl Gummi
1
Stahl-Stahl
Trend
Stosszahl εN
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
normale Stossgeschwindigkeit vorher vn
Bild A.7: Normale Stozahl Stahl-Stahl
-2
-1.5
138
A Bildanhang
0.5
0
γTE
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
StahlStahl
Theorie alt
Theorie neu
-3
-2.5
-2
-1.5
γ
-1
-0.5
0
0.5
Bild A.8: Tangentiale Relativgeschwindigkeit Stahl-Stahl
1
Stahl-Alu
Trend
Stosszahl εN
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
normale Stossgeschwindigkeit vorher vn
Bild A.9: Normale Stozahl Stahl-Aluminium
-2
-1.5
139
0.5
0
γTE
-0.5
-1
-1.5
-2
Stahl-Alu
Theorie alt
Theorie neu
-3
-2.5
-2
-1.5
γ
-1
-0.5
0
0.5
Bild A.10: Tangentiale Relativgeschwindigkeit Stahl-Aluminium
0.4
Stahl-Alu
Theorie alt
Theorie neu
Impuls tangential ΛT
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Relativgeschwindigkeit tangential γ
Bild A.11: Tangentialimpuls Stahl-Aluminium
0
0.5
140
A Bildanhang
0.25
Stahl-Alu
0.2
Reibwert μ*
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-1
0
1
2
3
4
5
6
Mittlere Tangentialgeschwindigkeit
Bild A.12: Reibverhltnisse Stahl-Aluminium
7
8
9
141
Exzentrische Stoversuche
Tangentialimpuls in kgm/s
0.15
Messung
Rechnung
ohne Wurfstreuung
0.1
0.05
0
-0.05
-20
-10
0
10
Auftreffwinkel α in grad
20
30
Bild A.13: Tangentialimpuls des Stoes
Messung
Rechnung
ohne Wurfstreuung
Normalimpuls in kgm/s
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
-20
-10
0
10
Auftreffwinkel α in grad
Bild A.14: Normalimpuls des Stoes
20
30
142
A Bildanhang
0
Messung
Rechnung
ohne Wurfstreuung
Energiedifferenz
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-20
-10
0
10
Auftreffwinkel α in grad
20
Bild A.15: Energieverlust durch den Sto
30
143
Anhang B
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