Klausur zu Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II
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FB MATHEMATIK UND STATISTIK UNIVERSITÄT KONSTANZ J. Schropp SS 2016 16.7.2016 Klausur zu Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II • Zur Bearbeitung der Klausur sind 90 Minuten vorgesehen. Zugelassene Hilfsmittel sind die eigenhändige Mitschrift der Vorlesung sowie eine Formelsammlung (max. 120 Seiten). Sämtliche internetfähige Geräte wie z.B. Smartwatches oder Handys sind verboten. • Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben. Für jede Aufgabe gibt es 10 Punkte. Jede Antwort ist zu begründen. • Es wird nicht nur das Endergebnis, sondern auch Lösungswege und Zwischenschritte bewertet. Geben Sie daher bei jeder Aufgabe alle Zwischenschritte an. • Versehen Sie bitte jedes von Ihnen benutzte Blatt mit Ihrer Matrikelnummer. Für jede Aufgabe ist eine neue Seite anzufangen. Es empfiehlt sich selbstverständlich, mit der Aufgabe zu beginnen, die einem am einfachsten erscheint. • Füllen Sie bitte dieses Deckblatt in deutlicher Blockschrift aus, und geben Sie es am Ende der Klausur zusammen mit Ihren Lösungen ab. • Alle Mitarbeiter/innen der Vorlesung wünschen Ihnen gutes Gelingen und viel Erfolg! Matrikelnummer: Hiermit stimme ich der Veröffentlichung meines Klausurergebnisses ohne Nennung des Namens zu. (Unterschrift) 1 2 Gesamtpunktzahl: Note: 3 4 FB MATHEMATIK UND STATISTIK UNIVERSITÄT KONSTANZ J. Schropp SS 2016 16.7.2016 Klausur zu Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II Aufgabe 1 10 Punkte N,N a) Es sei A ∈ R . Definieren Sie A ist invertierbar. Geben Sie ferner mindestens zwei zu A invertierbar gleichwertige Eigenschaften an. b) Es sei 1 2 −3 A = 2 3 1 , t ∈ R. 3 1 t Bestimmen Sie den Rang und die Determinante der Matrix A. c) Geben Sie jeweils ein Beispiel eines linearen (2 × 2)-Gleichungssystems Ax = b an, welches i) eindeutig lösbar, ii) nicht lösbar, iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar ist. Benutzen Sie als Einträge in A und b nur die Zahlen 0 und 1. Aufgabe 2 10 Punkte N a) Definieren Sie f : R → R konkav. Geben Sie im Fall f zweimal differenzierbar ein hinreichendes Kriterium hierfür an. b) Zeigen Sie, dass f (x1 , x2 ) = x1 x2 − x21 − 2x22 − exp(x2 ), (x1 , x2 ) ∈ R2 konkav auf R2 ist. Welche Eigenschaften haben g(x1 , x2 ) = −f (x1 , x2 ) und h(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ) + x2 − x1 ? Aufgabe 3 Vorgelegt sei die Aufgabe 10 Punkte f (x1 , x2 ) = x2 − x1 = max. unter den Zwangsbedingungen x1 − 2x2 − exp(−2x2 ) ≥ 0, x2 ≥ 0. a) Bestimmen Sie alle möglichen relativen Maxima mit dem Karush-Kuhn-Tucker Ansatz. b) Ist dies ein konkaves Optimierungsproblem? Geben Sie ferner eine zentrale Eigenschaft konkaver Optimierungsprobleme an. Aufgabe 4 a) Lösen Sie die Anfangswertaufgabe p x0 (t) − 1 + x(t) = 0, 10 Punkte x(0) = 3, b) Berechnen Sie die Funktionalmatrix der Abbildung (x2 − x) cos(y) F (x, y, z) = (x2 − x) sin(y) , exp(x + y + z) − 1 Für welche (x, y, z) ist die Funktionalmatrix invertierbar? t ≥ 0. (x, y, z) ∈ R3 .