Theoretische Physik: Mechanik Inhaltsverzeichnis - TUM
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Ferienkurs Gramos Qerimi, Jakob Unfried Stand: 27.09.2017 Seite 1 Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 Fakultät für Physik Technische Universität München 27.09.2017 Inhaltsverzeichnis 1 Trägheitsmoment & Satz von Steiner 2 2 Trägheitstensor einer dünnen Scheibe 2 3 Drehende Scheibe 2 4 Drehende Scheibe auf Pendel 3 5 Seilrollen 4 6 Schwingende Scheibe 4 Ferienkurs Stand: 27.09.2017 Übungen zu Theoretische PhysikUnfried I - Mechanik Gramos Qerimi, Jakob Seite 2 im Sommersemester 2013 Blatt 9 vom 24.06.13 Abgabe: 01.07. 1 Trägheitsmoment & Satz von Steiner Aufgabe 38 2 Punkte Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Zylinders um seine Symmetrieachse. Der Zylinder habe den Radius R und die Masse M . Benutzen Sie dann den Satz von Berechnen Sie das eines Zylinders seinezu Symmetrieachse. Der Zylinder Steiner um Trägheitsmoment das Trägheitsmoment um eineum Achse berechnen welche parallel habe zur den RadiusSymmetrieachse R und die Masse in M .einem Benutzen Sie dann den Satz von Steiner um das Trägheitsmoment um eine Abstand r verläuft. Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner Achse zu berechnen welche parallel zur Symmetrieachse in einem Abstand r verläuft. Lösung: Das Trägheitsmoment entlang der Symmetrieachse beträgt 2 Trägheitstensor einer Zdünnen Z Z Scheibe R IA = ⇢ x2 + y 2 dxdydz = ⇢l 2⇡ r3 dr d' = M R4 1 2⇡ = M R2 ⇡R2 4 2 0 Berechnen Sie den Trägheitstensor für0 eine dünne, homogene Scheibe mit Radius R und Masse M . Nehmen Sie dabei dass sich der Drehpunkt in der Mitte der Das Trägheitsmoment entlang der zweiten Achsean, beträgt Scheibe befindet und dass die z-Achse mit der Symmetrieachse der Scheibe überein1 2 IA + M rist =gegeben M (R2 + 2r2 ) stimmt. Die Massendichte Ider durch B =Scheibe 2 ( M δ(z) wenn x2 + y 2 ≤ R2 πR2 ρ(x, y, z) = (1) Aufgabe 39 2 Punkte 0 sonst Zwei Dabei Kugeln und der Satz von Steiner ist die Delta-Distribution δ durch folgenden Zusammenhang definiert Z Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und gleicher homogener Dichteverteilung ⇢, welche am (z)dz = f (0)Trägheitstensor relativ zum Schwerpunkt (2) Punkt T zusammengeklebt sind. Berechnenδ(z)f Sie den gesamten der beiden Kugeln am Punkt T . 3 Drehende Scheibe Eine kreisförmige Scheibe mit Radius R, Gesamtmasse M und Trägheitsmoment Θ = 21 M R2 dreht sich um ihre feste horizontale Symmetrieachse. Über die Scheibe läuft ohne zu rutschen ein masseloses Seil der Länge l. an den Seilenden sind die Massen m1 und m2 befestigt (siehe Skizze). Das System steht unter dem Einfluss der Schwerkraft. Lösung:(a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion L und wählen Sie dabei zunächst z1 ,z2 und φ als generalisierte Koordinaten. Der Trägheitstensor einer einzelnen Kugel relativ zu ihrem Schwerpunkt is aufgrund der Kugelsymmetrie ⇥ik = I0 1 ik L=T V = ⇥A ˙ 2 4R + Mg cos . 2 3⇡ Es folgen die Lagrangegleichungen und die Frequenz d @L dt @ ˙ @L 4R = 0 ) ⇥A ¨ + M g sin @ 3⇡ 4R 2 ¨ = Mg sin = 3⇡ M R2 sin ⇡ ! ¨ + !2 = 0 , = 0, 8g sin 3⇡R r != 8g 3⇡R 3Stand: Punkte Aufgabe 45 Ferienkurs Gramos Drehende Scheibe Qerimi, Jakob Unfried 27.09.2017 Seite 3 Eine kreisförmige Scheibe mit Radius R, Gesamtmasse M , und Trägheitsmoment ⇥ = 12 M R2 dreht sich um seine feste horizontale Symmetrieachse. Über die Scheibe läuft ohne Schlupf ein masseloses Seil der Länge l. An den Seilenden sind die Massen m1 und m2 befestigt (siehe Skizze). Das System steht unter dem Einfluss der Schwerkraft. 3 (b) Eliminieren Sie aufgrund der Zwangsbedingungen die Variablen z2 und φ. Achten sie dabei auf die Vorzeichen. (c) Bestimmen sie die Lagrange-Funktion L(z1 , z˙1 ) und daraus die Bewegungsgleichung. Geben sie die allgemeine Lösung an. 4 Drehende Scheibe auf Pendel Betrachten Sie ein ebenes Pendel, das aus einer masselosen Stange der Länge L und einer Scheibe mit Masse M und Radius R besteht, die am Ende der Stange in ihrem Mittelpunkt gelagert ist. Die Stange erlaubt Schwingungen in der Ebene und die Scheibe kann sich um ihre Symmetrieachse (die senkrecht zur Schwingungsebene liegt) drehen. (siehe Skizze) (a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L( , ˙ , , ˙ ) Bestimmen sie die Lagrangefunktion L(φ, φ̇, ψ, ψ̇). Bestimmen Sie die beiden Be(b) Bestimmen Sie die beiden Bewegungsgleichungen. Mit welcher Frequenz pendelt die Scheibe, wenn wegungsgleichungen. pendelt die Scheibe, wenn sie nur leicht der Winkel ' << 1Mit (d.h.welcher sin ⇡ ) Frequenz ist? ausgelenkt wird (d.h. φ << 1 ⇒ sin φ ≈ φ)? Lösung: (a) V = M Lg cos ' ✓ ◆ 1 1 1 T = M L2 '˙ 2 + M R2 ˙ 2 2 2 2 ✓ ◆ 1 1 1 L = T V = M L2 '˙ 2 + M Lg cos ' + M R2 ˙ 2 2 2 2 (b) d @L dt @ '˙ d @L @L =0 @' @L → − (e) Ein freies Teilchen ( ¨ = 0 im Inertialsystem) spürt in einem rotierenden Bezugssystem die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft . Diese sind gegeben durch → − × =− × ( × ) = −2 × ˙ ¤ ¤ Ferienkurs =− =4 × = → − ×( × ˙ ) × = −2 − → ˙ × Gramos Qerimi, Jakob Unfried Stand: 27.09.2017 Seite 4 ˙1 ˙ ) sei nicht explizit zeitabhängig und die (f ) Nehmen wir an, eine Lagrangefunktion ( 1 Kräfte seien konservativ. Kann es sein, dass die Gesamtenergie trotzdem nicht erhalten ist? × ¤ 5 ja nein Seilrollen (g) Das Hamilton’sche Variationsprinzip sagt aus, dass ¤ die Hamiltonfunktion minimal ist × diean physikalische die Wirkung minimiertSeils fester Länge, das Eine Punktmasse m3 hängt einem Trajektorie Ende eines masselosen ¤ die Lagrangefunktion für die wirkliche Trajektorie minimal ist über eine fixierte, reibungsfreie und masselose Scheibe läuft. Am anderen Ende des Aufgabe 2: Seilrollen [14 Punkte] Seils ist eine weitere derartige Scheibe befestigt, übe die ein zweites masseloses Seil Eine läuft. Punktmasse einemsind Ende zwei eines masselosen Seils fester Länge, das über fixierte, 3 hängt an fester Länge An disem Seil Punktmassen m1 und meine (siehe 2 befestigt reibungsfreie, masselose Scheibe läuft. Am anderen Ende des Seils ist eine weitere derartige Scheibe Skizze). Auf alleüber drei massen wirkt Seil diefester Schwerkraft unten. befestigt, die ein zweites masseloses Länge läuft. Ansenkrecht diesem Seil sindnach zwei Punktmassen 1 (a) und 2 befestigt (siehe Skizze). Auf alle drei Massen wirkt die Schwerkraft senkrecht nach unten. (a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion ( 1 3 ˙ 1 ˙ 3 ). Verwenden Sie hierzu die Zwangsbedingungen + 3 = konst. und 1 + 2 = konst., um die Variablen und 2 zu eliminieren. Das Ausmultiplizieren von quadratischen Termen ist für die Lösung der Aufgabe nicht nötig. [11 Punkte] Bestimmen sie die Lagrangefunktion L(x1 , x3 , x˙1 , x˙3 ). Verwenden sie hierzu die (b) Geben sie anhand derum Langrange-Funktion an, eliminieren. welche Variable für 1 = 2 zyklisch ist. BesZwangsbedingungen x und x2 zu timmen Sie die entsprechende Erhaltungsgröße. [5 Punkte] Hinweis: Das Ausmultiplizieren quadratischer Terme ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht nötig. 3 (b) Geben sie anhand der Lagrange-Funktion an, welche Variable für m1 = m2 zyklisch ist. Bestimmen sie die entsprechnde Erhaltungsgröße. 6 Schwingende Scheibe Eine duünne Scheibe mit Radius R der Masse M wird von einer masselosen Schnur gehalten, wobei ein Ende der Schnur an der Decke festgemacht, und das andere Ende mit einer harmonischen Feder mit Federkonstante k verbunden ist (das Potenzial der Feder beträgt also VFeder = (k/2) · (Auslenkung der Feder)2 ). Die Scheibe darf unter dem Einfluss der Gravitationsbeschleunigung g entlang der z-Achse über die Änderung der Federauslenkung auf der Schnur rollen, jedoch nicht rutschen. Des Weiteren ist ihre Schwerpunktsbewegung auf die Vertikale beschränkt, d.h. entlang der in der Skizze gezeichneten z-Achse. (a) Finden Sie die Lagrange Funktion L(φ, φ̇) fu?r das gegebene System (φ: siehe Skizze). Hinweis: Das Tra?gheitsmoment der Scheibe ist gegeben durch 1/2M R2 . Desweiteren führt die Einschränkung, dass die Seillänge konstant und Aufgabe 3: Schwingende Scheibe[14 Punkte] Eine dünne Scheibe mit Radius der Masse wird von einer masselosen SchnurStand: gehalten, wobei 27.09.2017 ein Ende der Schnur an der Decke festgemacht, und das andere Ende mit einer harmonischen Feder mit 2 ). Ferienkurs Gramos Qerimi, Jakob Unfried Seite 5 = ( 2)·(Auslenkung der Feder) Federkonstante verbunden ist (das Potenzial der Feder beträgt also Die Scheibe darf unter dem Einfluss der Gravitationsbeschleunigung entlang der -Achse über die Änderung der Federauslenkung auf der Schnur rollen, jedoch nicht rutschen. Des Weiteren ist ihre Schwerpunktsbewegung auf die Vertikale beschränkt, d.h. entlang der in der Skizze gezeichneten Achse. (a) Finden Sie die Lagrange Funktion ( ˙ ) für das gegebene System ( : siehe Skizze). 2 . Des Weiteren führt die Hinweis: Das Trägheitsmoment der Scheibe ist gegeben durch 12 Einschränkung, dass die Seillänge konstant und nur die Länge der Feder variabel ist, dazu, dass nur die Länge der Feder variabel ist, dazu, dassdesRollen um den Winkel φ in Schwerpunktes der Scheibe Rollen um den Winkel in einer Höhenverschiebung ∆ = resultiert. Wählen Sie den und in einer Änderung der Auslenkung um Schwerpunktes ∆ =2 einer Höhenverschiebung ∆zS = der RφFeder des der Scheibe und in =0 Winkel so, dass = 0 der entspannten Feder entspricht (siehe Skizze (a)). Ebenso soll einer Änderung der Auslenkung der Feder um ∆l = 2Rφ resultiert. Wählen F die Position des Schwerpunkts bei entspannter Feder sein. (9 Punkte) Sie den Winkel so, dass φ = her. 0 der entspannten Feder entspricht (siehe Skizze (b) Leiten Sie dieφBewegungsgleichung (3 Punkte) (a)). (c) Ebenso soll z = 0 die Position Schwerpunkts bei entspannter Feder S Gleichgewichtslage gegeben des Zeigen Sie, dass die ist durch 0 = 4 . (2 Punkte) sein. Lösung a) Wähle dass = 0 für die entspannteher. Feder. (b) Leiten sie dieso,Bewegungsgleichung Dann gilt (wenn = 0 die Position des Schwerpunkts bei entspannter Feder ist) = (c) Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtslage gegeben ist durch φ0 = und für die Dehnung der Feder =2 5 Mg 4kR
