Mathematik ist die Königin der Wissenschaften

Carl Friedrich Gauß:
Mathematik ist
die Königin der
Wissenschaften
mathematik-und-beruf.de
Dr. René M. Schröder, Michael Böttcher
M AT H E M AT I K
F O R M E L S A M M LU N G
Kennen Sie etwa noch nicht?
Diese Website wurde als Info-Portal eingerichtet,
um Sie über die weitere Bedeutung der Mathematik
in Studium und Berufsausbildung zu informieren.
SEKUNDARSTUFE II
ISBN 978-3-9813374-0-2
EUR 9,50
Inhaltsverzeichnis
3
Inhaltsverzeichnis
1 Vektorrechnung und analytische
1.1 Vektorräume . . . . . . . . . .
1.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . .
1.3 Operationen mit Vektoren . . .
1.4 Geraden . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ebenen . . . . . . . . . . . . .
1.6 Kugeln . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Lagebeziehungen . . . . . . . .
1.8 Schnittwinkel . . . . . . . . . .
1.9 Abstände . . . . . . . . . . . .
Geometrie
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7
9
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12
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17
18
2 Analysis
2.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . .
2.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . .
2.4 Kurvenuntersuchung . . . . . . . . . . . .
2.5 Tangente, Normale und Krümmungskreis
2.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . .
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21
24
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30
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34
41
3 Lineare Algebra
3.1 Matrizen . . . . . . . . . . .
3.2 Rechnen mit Matrizen . . .
3.3 Determinanten . . . . . . .
3.4 Lineare Gleichungssysteme .
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4 Stochastik
4.1 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . .
4.3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . .
4.4 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Spezielle Verteilungsmodelle und Zentraler Grenzwertsatz
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Troy
Verlag, 2009
Der TROY-Verlag möchte Sie bis zum Abitur
im Fach Mathematik unterstützen!
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4
Inhaltsverzeichnis
4.7
4.8
4.9
Näherungsformeln für die Binomialverteilung . . . . . . . 69
Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Aussagenlogik
74
6 Komplexe Zahlen
75
6.1 Darstellungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 76
Wahrscheinlichkeitstabellen
Summierte Binomialverteilung (n = 1, 2, ..., 7) . . . . . .
Summierte Binomialverteilung (n = 8, 9, 10) . . . . . . .
Summierte Binomialverteilung (n = 15, 20) . . . . . . .
Summierte Binomialverteilung (n = 25, 50) . . . . . . .
Summierte Binomialverteilung (n = 50) . . . . . . . . .
Verteilungsfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung
Quantile zp der Standardnormalverteilung . . . . . . . .
Stichwortverzeichnis
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Hinweis: Eine für alle Schulen einheitliche Symbolisierung ist leider
nicht realisierbar. Insofern bitten wir um Verständnis, falls die Symbole
dieser Formelsammlung nicht immer mit den Ihrigen übereinstimmen.
Sollten Sie Fehler finden oder Ergänzungsvorschläge haben, teilen Sie
uns dieses bitte umgehend mit. Wir werden Ihre Hinweise schnellstmöglich einbinden. Eine aktuell überarbeitete Fassung dieser Formelsammlung finden Sie ständig unter www.mathematik-und-beruf.de. Dort
steht sie Ihnen als PDF zum kostenlosen Download zur Verfügung. Wir
wünschen Ihnen weiterhin viel Erfolg auf Ihrem Weg zum Abitur.
c
Troy
Verlag, 2009
www.mathematik-und-beruf.de
© 2009 SAP AG. SAP and the SAP logo are trademarks and registered trademarks of SAP AG in Germany and several other countries.
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2009
−−→
AB:
|a|:
a · b:
a × b:
n:
n0 :
Abitur mit 2,0 in Erfurt
Start ins duale Studium bei SAP
3 Monate Auslandspraxis in Singapur
Neu entwickelte Funktionalität wird sofort
in 60 Ländern genutzt
1.1
1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
Vektorrechnung und analytische
Geometrie
Vektor zwischen den Punkten A und B
Länge (Betrag) von Vektor a
Skalarprodukt der Vektoren a und b
Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren a und b
Normalenvektor einer Geraden/Ebene
Normaleneinheitsvektor einer Geraden/Ebene
Vektorräume
Definition eines Vektorraumes:
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t Duale Studiengänge zum Bachelor of Science (w/m) oder Bachelor of Arts (w/m) in
Kooperation mit der Dualen Hochschule Baden-Württemberg (ehem. Berufsakademie),
Voraussetzung: Abitur
t Duales Fachhochschulstudium zum Bachelor of Science (w/m) International Business
Administration and Information Technology, Voraussetzung: Fachhochschulreife
t Ausbildung zum/zur Kaufmann/Kauffrau für Bürokommunikation mit Zusatzqualifikation
Fremdsprachenkorrespondenz Englisch, Voraussetzung: Fachhochschulreife
Eine Menge V heißt Vektorraum über den reellen Zahlen R, wenn
(a) für deren Elemente (den Vektoren) a, b, c, ... eine Addition und eine
Multiplikation mit den reellen Zahlen definiert ist und
(b) für beliebige a, b, c ∈ V und r, s ∈ R gilt:
(1) a + b = b + a
(Kommutativgesetz der Addition)
(2) (a + b) + c = a + (b + c)
(Assoziativgesetz der Addition)
(3) Es gibt ein Element o ∈ V , so dass für jedes a ∈ V gilt:
a + o = a
(Nullelement der Addition)
(4) Zu jedem a ∈ V existiert ein −a ∈ V , so dass gilt:
a + (−a) = o
(Inverses Element der Addition)
(5) 1 · a = a
(Einselement)
(6) r(sa) = rs(a)
(Assoziativgesetz der Multiplikation)
(7) (r + s)a = ra + sa
(Distributivgesetz)
(8) r(a + b) = ra + rb
(Distributivgesetz)
t Ausbildung zum Fachinformatiker (w/m), Fachrichtung Anwendungsentwicklung,
Voraussetzung: Mittlere Reife
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
7
Linearkombination:
Ein Vektor b heißt Linearkombination der Vektoren a1 , a2 , ..., an mit
den Koeffizienten r1 , r2 , ..., rn (ri ∈ R), wenn gilt:
b = r1a1 + r2a2 + ... + rnan
Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung
r1a1 + r2a2 + ... + rnan = o mit ri ∈ R nur für r1 = r2 = ... = rn = 0
lösbar ist. Ist dies nicht der Fall, sind die Vektoren linear abhängig.
Sind zwei/drei Vektoren linear abhängig, so bezeichnet man diese als
kollinear/komplanar.
Basis eines Vektorraumes:
Die Vektoren a1 , a2 , ..., an nennt man Basis des Vektorraumes V ,
wenn sie linear unabhängig sind und jeder Vektor x ∈ V als
Linearkombination der Vektoren a1 , a2 , ..., an darstellbar ist.
Dimension eines Vektorraumes:
Die Dimension n eines Vektorraumes V ist gleich der Anzahl der
Basisvektoren von V .
Vektoren
Gegenvektor:
Der Gegenvektor b des Vektors a ist parallel zu a und hat die gleiche
Länge, jedoch die entgegengesetzte Richtung wie a.
Es gilt dann: a = −b
⎛ ⎞
ax
a = ⎝ay ⎠
az
ax , ay , az : Koordinaten von a
Komponentendarstellung eines Vektors:
Sind e1 , e2 und e3 die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen, dann lautet die Komponentendarstellung folgendermaßen:
a = axe1 + ay e2 + az e3
axe1 , ay e2 , az e3 : Komponenten von a
Ortsvektor:
Der Ortsvektor p des Punktes P (px ; py ; pz ) ist der Vektor zwischen
dem Koordinatenursprung 0 und Punkt P :
⎛ ⎞
px
−→
p = 0P = ⎝py ⎠ = pxe1 + py e2 + pz e3
pz
Vektor zwischen zwei Punkten:
Definitionen:
Vektor:
Eine Menge von Pfeilen, die parallel sind, die gleiche Länge (Betrag)
und denselben Richtungssinn haben, stellen den gleichen Vektor dar.
Jeder Pfeil dieser Menge ist ein Repräsentant des Vektors.
Nullvektor:
Der Nullvektor o hat den Betrag 0 und eine unbestimmte Richtung.
Einheitsvektor:
Der Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1.
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
Koordinatendarstellung eines Vektors:
Lineare Unabhängigkeit:
1.2
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Vektor von Punkt A(ax ; ay ; az ) zu Punkt B(bx ; by ; bz ):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
bx
ax
−−→ −→ −
→ b⃗ a⃗
AB = 0B − 0A = b −a = ⎝by ⎠ − ⎝ay ⎠
A
bz
az
⎛
⎞
bx − ax
a⃗
= ⎝ by − a y ⎠
bz − a z
0
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B
b⃗
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
9
Länge (Betrag) eines Vektors:
Länge des Vektors a:
−−→
Länge des Vektors AB:
1.3
⎛ ⎞
ax |a| = ⎝ay ⎠ = a2x + a2y + a2z
az −−→
|AB| = (bx − ax )2 + (by − ay )2 + (bz − az )2
Operationen mit Vektoren
Addition und Subtraktion:
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
ax
bx
ax ± bx
⎝
⎝
⎝
⎠
⎠
a ± b = ay ± by = ay ± by ⎠
az
bz
a z ± bz
⎛
a⃗ b⃗
a⃗ + b⃗
a⃗
b⃗
Multiplikation mit einer reellen Zahl:
⎞ ⎛ ⎞
rax
ax
ra = r ⎝ay ⎠ = ⎝ray ⎠
az
raz
⎛
Eigenschaften:
a × b = −(b × a)
r(a × b) = (ra) × b = a × (rb)
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
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c⃗
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b⃗
a⃗
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
nx x + ny y = b
mit b = px nx + py ny
Hessesche Normalenform einer Geraden:
g : (x − p) · n0 = 0
Gerade g durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor u:
−→
g : x = p + tu = 0P + tu
(t ∈ R)
n
mit n0 =
|n|
p: Stützvektor (Ortsvektor zu P )
⇒ Gilt nur für die xy-Ebene!
Es gilt: |n0 | = 1
Die Hessesche Normalenform ist ein Spezialfall der Normalenform. Es
wird der Normaleneinheitsvektor n0 der Geraden g verwendet.
z
▲
X
p⃗
1.5
x⃗
x
b⃗
φ
b⃗ x a⃗ = (a⃗ x b⃗ )
Der Betrag des Spatprodukts ist
gleich dem Volumen V des von a, b
und c aufgespannten Spates:
V = |(a × b) · c|
Punktrichtungsgleichung einer Geraden:
u⃗
a⃗
Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl.
Koordinatengleichung:
P
a⃗ x b⃗
(a × b) · c = cx (ay bz − az by ) + cy (az bx − ax bz ) + cz (ax by − ay bx )
⎞ ⎛ ⎞
⎛
ay b z − a z b y
cx
⎝
= a z bx − a x bz ⎠ · ⎝ c y ⎠
a x by − a y bx
cz
Geraden
Schreibweise mit Koordinaten für die
g
xyz-Ebene bzw. xy-Ebene:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
px
x
ux
⎝y ⎠ = ⎝py ⎠ + t ⎝uy ⎠ bzw.
z
pz
uz
px
x
ux
=
+t
y
py
uy
(Alternativgesetz)
mit r ∈ R
(Distributivgesetz)
Spatprodukt:
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
0
Ebenen
Punktrichtungsgleichung einer Ebene:
►
y
Zweipunktegleichung einer Geraden:
Gerade g durch die Punkte P und Q:
−→
−−→
g : x = p + t(q − p) = 0P + tP Q
(t ∈ R)
p, q: Ortsvektoren zu P und Q
Schreibweise mit Koordinaten für die xyz-Ebene bzw. xy-Ebene:
⎛
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎞
px
q x − px
x
⎝y ⎠ = ⎝py ⎠ + t ⎝qy − py ⎠ bzw. x = px + t qx − px
y
py
q y − py
z
pz
q z − pz
Ebene E durch den Punkt P und den Richtungsvektoren u und v :
u, v : werden auch Spannvektoren genannt und sind linear unabhängig
p: Stützvektor (Ortsvektor zu P )
E : x = p + ru + sv
(r, s ∈ R)
P
Schreibweise mit Koordinaten:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
px
ux
vx
x
⎝ y ⎠ = ⎝ py ⎠ + r ⎝ u y ⎠ + s ⎝ v y ⎠
z
pz
uz
vz
⇒ Gilt nur für die xy-Ebene!
p: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt P auf der Geraden g
n: Normalenvektor von g (n ist orthogonal zu g bzw. zum
Richtungsvektor von g.)
p
x
nx
− x
·
=0
Schreibweise mit Koordinaten:
y
py
ny
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E
u⃗
v⃗
X
p⃗
x⃗
0
Dreipunktegleichung einer Ebene:
Ebene E durch die Punkte P, Q und R:
−→
−−→
−→
E : x = p + r(q − p) + s(r − p) = 0P + rP Q + sP R
Normalenform einer Geraden:
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⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
bx
ay b z − a z b y
ax
a × b = ⎝ay ⎠ × ⎝by ⎠ = ⎝az bx − ax bz ⎠
az
bz
a x by − a y bx
Das Vektorprodukt a × b ergibt ein Vektor. Es gilt:
(1) a, b und a × b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
(2) a × b ist jeweils orthogonal zu a und b.
(3) |a × b| = |a| · |b| · sin(a; b)
mit (a; b) = ϕ
⎛
aufgespannten Dreiecks:
A = 12 |a × b| = 12 |a| · |b| · sin(ϕ)
Das Skalarprodukt a · b ist eine reelle Zahl:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
bx
ax
a · b = |a| · |b| · (a; b) = ⎝ay ⎠ · ⎝by ⎠ = ax bx + ay by + az bz
az
bz
Eigenschaften: a · b = 0 ⇔ a ⊥ b
a · b = b · a
(Kommutativgesetz)
(a + b) · c = a · c + b · c
(Distributivgesetz)
ra · b = r(a · b)
mit r ∈ R
√
a · a = |a|
g : (x − p) · n = 0
Vektorprodukt (Kreuzprodukt):
Flächeninhalt A des von a und b
aufgespannten Parallelogramms:
A = |a × b| = |a| · |b| · sin(ϕ)
Flächeninhalt A des von a und b
2a⃗
2a⃗
Skalarprodukt:
1.4
1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
Flächeninhalte:
a⃗
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10
(r, s ∈ R)
Schreibweise mit Koordinaten:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
px
x
qx − px
r x − px
⎝ y ⎠ = ⎝ py ⎠ + r ⎝ q y − p y ⎠ + s ⎝ r y − p y ⎠
z
pz
q z − pz
rz − pz
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
13
Normalenvektor einer Ebene:
Ein Normalenvektor n der Ebene E steht senkrecht auf der Ebene E.
Folglich steht der Normalenvektor senkrecht auf den beiden linear
unabhängigen Richtungsvektoren u und v der Ebene E.
Berechnung des Normalenvektors:
(a) mit den Gleichungen u · n und v · n
(b) mit dem Vektorprodukt
(Kreuzprodukt) n = u × v
n⃗
u⃗
Kugeln
Allgemeine (vektorielle) Gleichung einer Kugel:
v⃗
Kugel K mit dem Mittelpunkt M (mx ; my ; mz ) und dem Radius r:
K : (x − m)
2 = r2
m
: Ortsvektor zum Mittelpunkt M der Kugel
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤2
x
mx
Schreibweise mit Koordinaten: ⎣⎝y ⎠ − ⎝my ⎠⎦ = r2
z
mz
p: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt P auf der Ebene E
n: Normalenvektor von E
n⃗
E
x⃗ p⃗
P
Schreibweise mit Koordinaten:
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞
px
nx
x
⎣⎝y ⎠ − ⎝py ⎠⎦ · ⎝ny ⎠ = 0
z
pz
nz
1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
Wandelt man die Normalenform E : (x − p) · n = 0 in die
Koordinatengleichung einer Ebene um, so erhält man:
E : nx x + ny y + nz z − nx px − ny py − nz pz = 0
1.6
E
Normalenform einer Ebene:
E : (x − p) · n = 0
14
p⃗
X
Koordinatengleichung einer Kugel:
x⃗
Kugel K mit dem Mittelpunkt M (mx ; my ; mz ) und dem Radius r:
0
K : (x − mx )2 + (y − my )2 + (z − mz )2 = r2
Hessesche Normalenform einer Ebene:
n
Es gilt: |n0 | = 1
|n|
Die Hessesche Normalenform ist ein Spezialfall der Normalenform. Es
wird der Normaleneinheitsvektor n0 der Ebene E verwendet.
Tangentialebene einer Kugel:
Allgemeine Form (Koordinatengleichung):
Koordinatengleichungen:
E : Ax + By + Cz = D
(A, B, C, D ∈ R und A2 + B 2 + C 2 > 0)
⎛ ⎞
A
n = ⎝B ⎠ ist ein Normalenvektor der Ebene E.
C
T : (x − mx )(px − mx ) + (y − my )(py − my ) + (z − mz )(pz − mz ) = r2
T : (x − px )(px − mx ) + (y − py )(py − my ) + (z − pz )(pz − mz ) = 0
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c
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E : (x − p) · n0 = 0
mit n0 =
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
1.7
15
Lagebeziehungen
Tangentialebene T an dem Berührpunkt P (px ; py ; pz ) der Kugel K mit
dem Mittelpunkt M (mx ; my ; mz ):
T : (x − m)(
p − m)
= r2
16
oder
T : (x − p)(
p − m)
=0
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
Gerade-Ebene:
Es gibt drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage einer Geraden
g : x = p + tu und einer Ebene E : nx x + ny y + nz z = b:
Punkt-Gerade:
Ein Punkt Q mit dem Ortsvektor q liegt auf der Geraden
g : x = p + tu, wenn es ein t ∈ R gibt, so dass die Gleichung
q = p + tu erfüllt ist (Punktprobe).
Punkt-Ebene:
Ein Punkt Q mit dem Ortsvektor q liegt in der Ebene
E : x = p + ru + sv , wenn es ein r ∈ R und ein s ∈ R gibt, so dass die
Gleichung q = p + ru + sv erfüllt ist (Punktprobe).
Ist die (Hessesche) Normalenform oder die Koordinatengleichung einer
Ebene E gegeben, dann setzt man zur Überprüfung, ob Punkt Q in E
→
liegt, q bzw. q1 , q2 , q3 für −
x bzw. x1 , x2 , x3 ein.
Gerade-Gerade:
Es gibt im Raum vier Möglichkeiten der gegenseitigen Lage von zwei
Geraden g : x = p + tu und h : x = q + rv :
(1) u und v sind linear abhängig. Gilt dazu:
(a) Punkt P von g liegt auf h
⇒ g und h sind identisch
⇒ g und h sind parallel
(b) Punkt P von g liegt nicht auf h
(2) u und v sind linear unabhängig. Gilt dazu:
(a) Es existiert eine Lösung mit t, r ∈ R für die Gleichung
p + tu = q + rv ⇒ g und h schneiden sich in Punkt S mit dem
Ortsvektor s = p + tu = q + rv
(b) Fall a trifft nicht zu ⇒ g und h sind zueinander windschief
Hat die Gleichung nx (px + tux ) + ny (py + tuy ) + nz (pz + tuz ) = b
(1) genau eine Lösung für t ⇒ g und E haben den Schnittpunkt S
mit dem Ortsvektor s = p + tu
(2) unendlich viele Lösungen für t ⇒ g liegt in der Ebene E
(3) keine Lösung für t
⇒ g ist parallel zu E
Gerade-Kugel:
Es gibt drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage einer Geraden
g : x = p + tu und einer Kugel K : (x − m)
2 = r2 :
Hat die Gleichung (
p + tu − m)
2 = r2
(1) zwei Lösungen (t1 und t2 ) für t ⇒ g durchstößt K in zwei
Punkten S1 und S2 mit den Ortsvektoren s1 = p + t1 u und
s2 = p + t2 u
(2) eine Lösung für t
⇒ g berührt K in dem Punkt S mit dem
Ortsvektor s = p + tu
(3) keine Lösung für t
⇒ K wird von g weder durchstoßen noch
berührt
Ebene-Ebene:
Es gibt drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage der Ebenen
= 0 (beide in Normalenform):
E1 : (x − p)n = 0 und E2 : (x − q)m
(1) Die Normalenvektoren n und m
sind linear abhängig. Gilt dazu:
(a) Punkt P mit dem Ortsvektor p liegt auf E2 (Punktprobe).
⇒ E1 und E2 sind identisch
(b) Punkt P mit dem Ortsvektor p liegt nicht auf E2 (Punktprobe).
⇒ E1 und E2 sind parallel
(2) Die Normalenvektoren n und m
sind linear unabhängig.
⇒ E1 und E2 schneiden sich in einer Geraden
c
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1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
17
18
1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
Ebene-Kugel:
Schnittwinkel von zwei Geraden:
Es gibt drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage einer Ebene
2 = r2 :
E : (x − p) · n0 = 0 und einer Kugel K : (x − m)
Zwei Geraden mit den Richtungsvektoren u und v schneiden sich. Für
den Schnittwinkel α gilt:
|ux vx + uy vy + uz vz |
|u · v |
(0◦ ≤ α ≤ 90◦ )
=
cos(α) =
|u| · |v |
u2 + u2 + u2 · v 2 + v 2 + v 2
Ist d(M, E) = |(m
− p) · n0 | (Abstand des Kreismittelpunkts M
von der Ebene E)
(1) kleiner als r
⇒ E und K schneiden sich in einem Schnittkreis
(2) gleich r
⇒ E berührt K in dem Punkt S
(S ist der Schnittpunkt der Ebene E
mit der Hilfsgeraden g : x = m
+ tn0 )
(3) größer als r
⇒ E und K schneiden und berühren sich nicht
Kugel-Kugel:
x
y
z
x
y
z
Winkel zwischen Gerade und Ebene:
Für den Winkel α zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor u
und einer Ebene mit dem Normalenvektor n gilt:
|ux nx + uy ny + uz nz |
|u · n|
(0◦ ≤ α ≤ 90◦ )
=
sin(α) =
|u| · |n|
u 2 + u 2 + u 2 · n2 + n2 + n2
x
y
z
x
y
z
Es gibt drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage der Kugeln K1 und
K2 mit den Mittelpunkten M1 und M2 und den Radien r1 und r2 :
−−−−→
−−−−→
(1) |M1 M2 | > r1 + r2 oder |M1 M2 | < |r2 − r1 |
⇒ kein Schnittpunkt
−−−−→
−−−−→
(2) |M1 M2 | = r1 + r2 oder |M1 M2 | = |r2 − r1 |
⇒ genau ein Schnittpunkt
−−−−→
(3) |r2 − r1 | < |M1 M2 | < r1 + r2 ⇒ es ergibt sich ein Schnittkreis
Für den Winkel α zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n
und m
gilt:
|nx mx + ny my + nz mz |
|n · m|
=
(0◦ ≤ α ≤ 90◦ )
cos(α) =
|n| · |m|
n2 + n2 + n2 · m2 + m2 + m2
1.8
Abstand von zwei Punkten:
Schnittwinkel
x
1.9
y
z
x
y
z
Abstände
Abstand d zwischen zwei Punkten P und Q (
p, q: Ortsvektoren):
−−→
d(P, Q) = |P Q| = |q − p| = (qx − px )2 + (qy − py )2 + (qz − pz )2
Winkel zwischen zwei Vektoren:
Zwei Vektoren a und b schließen den Winkel α ein. Es gilt:
a x b x + a y by + a z b z
a · b
(0◦ ≤ α ≤ 180◦ )
=
cos(α) =
|a| · |b|
a2x + a2y + a2z · b2x + b2y + b2z
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Winkel zwischen zwei Ebenen:
Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Abstand d eines Punktes Q mit dem Ortsvektor q von einer Ebene E:
mit E : (x − p) · n0 = 0
d(Q, E) = |(q − p) · n0 |
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Mitgliedsfirmen, die KPMG International, einer Genossenschaft schweizerischen Rechts, angeschlossen sind. Alle Rechte vorbehalten.
1. Vektorrechnung und analytische Geometrie
19
Abstand eines Punktes von einer Geraden:
Der Abstand d des Punktes Q mit dem Ortsvektor q und der Geraden
g lässt sich in drei Schritten ermitteln:
(1) Aufstellen einer Gleichung für die
Ebene E, die durch Q geht und
E
F
orthogonal zu g ist.
(2) Berechnung des Schnittpunktes F
Q d
von g und E (F nennt man
q⃗
Fußpunkt des Lotes von Q auf g).
g
−−→
(3) Berechnung des Betrages von F Q.
0
−−→
Es gilt: d(F, Q) = |F Q|
Abi in der Tasche.
Und jetzt ?
Abstand von zwei Geraden:
parallele Geraden:
Der Abstand von zwei parallelen Geraden ist gleich dem Abstand eines
beliebigen Punktes der einen Geraden zu der anderen Geraden.
⇒ Siehe Abstand eines Punktes von einer Geraden“
”
windschiefe Geraden:
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g : x = p + tu und
h : x = q + rv . Sind p0 bzw. q0 die Ortsvektoren eines beliebigen
Punktes auf g bzw. h und ist n0 der Normaleneinheitsvektor von g und
h (n0 ⊥ u und n0 ⊥ v ), dann gilt für den Abstand d:
d = |(q0 − p0 ) · n0 |
Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene:
Der Abstand einer Geraden zu einer ihr parallelen Ebene ist gleich
dem Abstand eines beliebigen Punktes auf der Geraden zu der Ebene.
⇒ Siehe Abstand eines Punktes von einer Ebene“
”
Abstand von zwei parallelen Ebenen:
Der Abstand von zwei parallelen Ebenen ist gleich dem Abstand eines
beliebigen Punktes der einen Ebene zu der anderen Ebene.
⇒ Siehe Abstand eines Punktes von einer Ebene“
”
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2. Analysis
2
21
Die Folge (an ) ist monoton wachsend (fallend), wenn gilt:
an+1 ≥ an (an+1 ≤ an ) für alle N∗ = {1; 2; 3; ...}
D:
Defintionsbereich der Funktion f (x)
f (x): 1. Ableitung der Funktion f (x)
f (x): 2. Ableitung der Funktion f (x)
Grenzwert von f für x gegen x0
lim f (x):
Die Folge (an ) ist streng monoton wachsend (fallend), wenn gilt:
an+1 > an (an+1 < an ) für alle N∗ = {1; 2; 3; ...}
x→x0
Arithmetische Zahlenfolge:
lim f (x): linksseitiger Grenzwert an der Stelle x0
x→x0 −0
Definition:
(an ) = a1 ; a1 + d; a1 + 2d; ...; a1 + (n − 1)d; ...
explizite Bildungsvorschrift:
an = a1 + (n − 1)d
rekursive Bildungsvorschrift:
an+1 = an + d
n
n
(n − 1) · n
Partialsumme:
sn =
·d
ai = (a1 + an ) = n · a1 +
2
2
i=1
lim f (x): rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x0
x→x0 +0
Folgen und Reihen
reelle Zahlenfolge:
mit n ∈ N∗ = {1; 2; 3; ...} und a1 , a2 , ... ∈ R
(an ) = a1 , a2 , ..., an , ...
a1 : Anfangsglied der Folge
an : Bild von n; n-tes Glied der Folge
Partialsummenfolge/n-te Partialsumme:
sn = a1 + a2 + ... + an =
2. Analysis
Monotonie:
Analysis
2.1
22
n
ai
i=1
Geometrische Zahlenfolge:
Definition:
(an ) = a1 ; a1 q; a1 q 2 ; ...; a1 q n−1 ; ...
explizite Bildungsvorschrift:
an = a1 · q n−1
rekursive Bildungsvorschrift:
an+1 = an · q
n
qn − 1
1 − qn
Partialsumme:
sn =
= a1
a i = a1
q
−
1
1−q
i=1
Reihe:
Unendliche geometrische Reihe:
Man bezeichnet die Partialsummenfolge einer bestimmten Folge als die
zu dieser Folge gehörende Reihe.
Partialsumme:
unendliche Reihe: sn = a1 + a2 + ... + an + ... =
Beschränktheit:
∞
sn =
∞
k=1
a1 · q k−1 =
a1
1−q
(a1 = 0, q = 0)
(für q = 1)
(a1 = 0, q = 1, |q| ≤ 1)
Spezielle Partialsummen:
ai
i=1
sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =
n
i=
i=1
n
Die Folge (an ) ist beschränkt, wenn gilt:
|an | ≤ S für alle an
S ∈ R (Schranke)
sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n =
n
(n + 1)
2
2i = n(n + 1)
i=1
sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) =
n
(2i − 1) = n2
i=1
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2. Analysis
n
23
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1) 2
3
3
3
3
3
sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =
i =
2
i=1
sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
i2 =
i=1
n
Grenzwert einer Folge:
Die Zahlenfolge (an ) besitzt den Grenzwert g, wenn es für jedes > 0
eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle n ≥ n0 gilt: |an − g| < Schreibweise: lim an = g
n→∞
Konvergenz und Divergenz:
Eine Folge (an ) ist konvergent, wenn sie den Grenzwert g besitzt.
Eine Folge (an ) ist divergent, wenn sie nicht konvergent ist.
Grenzwertsätze für Zahlenfolgen:
Falls lim an = a und lim bn = b, dann gilt:
n→∞
n→∞
(1) lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b
n→∞
n→∞
n→∞
(2) lim (an · bn ) = lim an · lim bn = a · b
n→∞
n→∞
lim an
an
a
(3) lim
= n→∞
=
n→∞ bn
lim bn
b
n→∞
(b = 0)
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24
2.2
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2. Analysis
Funktionen
Definition:
Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge
D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu. Die Wertemenge der
Funktion f ist die Menge W , die aus den Werten (auch Bildern) von f
besteht. Es gilt: W = {f (x)|x ∈ D} und W ⊆ Z
Schreibweise und Bezeichnungen:
y = f (x) mit x ∈ D
f :x→
f (x) mit x ∈ D oder
f :x→
y mit x ∈ D
→ Funktionsgleichung
→ x wird abgebildet auf f (x)“
”
Surjektivität, Injektivität, Bijektivität:
Die Funktion f heißt surjektiv , wenn jedes Element der Zielmenge Z
mindestens einmal als Funktionswert f (x) von einem Element aus der
Definitionsmenge D angenommen wird.
Die Funktion f heißt injektiv , wenn jedes Element der Zielmenge Z
höchstens einmal als Funktionswert f (x) von einem Element aus der
Definitionsmenge D angenommen wird.
Die Funktion f heißt bijektiv , wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Verketten von Funktionen:
n→∞
Spezielle Grenzwerte:
1
an
=0
b) lim
=0
c) lim an = 0 für |a| < 1
n→∞ n!
n
n→∞
n
√
1
e) lim 1 +
= e (eulersche Zahl)
(d) lim n a = 1 für a > 0
n→∞
n→∞
n
√
(a,b und c sind Nullfolgen)
(f) lim n( n a − 1) = ln(a) für a > 0
(a) lim
Die Verkettung u ◦ v : x → u(v(x)) der zwei Funktionen u(x) und v(x)
erhält man, indem man den Term v(x) für die Variable x der Funktion
u einsetzt.
n→∞
n→∞
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Umkehrfunktion:
Eine Funktion f : x → y mit y = f (x) besitzt eine Umkehrfunktion
f : y → x mit x = f (y), wenn sie bijektiv ist. Es existiert also zu jedem
Element y in der Zielmenge genau ein Element x in der
Definitionsmenge. Die Schaubilder von y = f (x) und x = f (y) sind
identisch. y = f (x) erhält man, indem man x und y in der Gleichung
f (x) = y vertauscht und die Gleichung nach y auflöst. Das Schaubild
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2. Analysis
25
26
2. Analysis
von y = f (x) ist das Spiegelbild von y = f (x) an der
1. Winkelhalbierenden.
Grenzwertsätze für Funktionen:
Ist lim f (x) = a und lim g(x) = b, dann gilt:
Grenzwerte von Funktionen:
(1) lim [f (x) ± g(x)] = a + b
Grenzwert für x → x0 :
g heißt Grenzwert von f für x gegen x0 , wenn zu jedem > 0 ein δ > 0
existiert, so dass gilt:
|f (x) − g| < für alle x mit |x − x0 | < δ und x = x0
(2) lim [f (x) · g(x)] = a · b
x→x0
Schreibweise:
lim f (x) = g
x→x0
Halbseitige Grenzwerte für x → x0 :
g heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle
x0 , wenn zu jedem > 0 ein δ > 0 existiert, so dass gilt:
|f (x) − g| < für alle x mit x0 − δ < x < x0 bzw. x0 < x < x0 + δ
Schreibweise:
lim f (x) = g
bzw.
x→x0 −0
lim f (x) = g
x→x0 +0
Grenzwert für x → ∞:
g heißt Grenzwert von f für x gegen plus unendlich, wenn zu jedem
> 0 eine Stelle x1 existiert, so dass gilt:
Schreibweise: lim f (x) = g
|f (x) − g| < für alle x > x1
x→x0
x→x0
x→x0
(3) lim
x→x0
f (x)
a
=
g(x)
b
(mit g(x) = 0)
Stetigkeit einer Funktion:
Definition:
Eine Funktion f ist an der Stelle x0 stetig, wenn der Grenzwert von f
an der Stelle x0 existiert und gleich dem Funktionswert f (x0 ) ist. Es
gilt also: lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Hinweis: Das Schaubild einer stetigen Funktion kann man in einem
Zug zeichnen.
Zwischenwertsatz:
Ist die Funktion f im Intervall [a, b] stetig und f (a) = f (b), dann
nimmt f in diesem Intervall alle Werte zwischen f (a) und f (b)
mindestens einmal an.
x→∞
Nullstellensatz:
Ist die Funktion f im Intervall [a, b] stetig und haben f (a) und f (b)
verschiedene Vorzeichen, dann gibt es mindestens eine Stelle x0 in
diesem Intervall mit f (x0 ) = 0.
Regel von de l’Hospital:
Wenn (1) lim f (x) = lim g(x) = 0, (2) f und g differenzierbar mit
x→a
x→a
f (x)
g (x) = 0 ist und (3) lim existiert, dann gilt:
x→a g (x)
f (x)
f (x)
lim
= lim x→a g(x)
x→a g (x)
Die Regel ist ebenfalls anwendbar, wenn
(a) lim f (x) = lim g(x) = 0 oder
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→∞
x→∞
x→−∞
(b) lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→a
oder
x→a
x→−∞
lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→∞
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x→∞
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2. Analysis
2.3
27
Differenzialrechnung
y▲
Q
f (x 0 + h)
f (x 0)
f
P
►
x0 + h x
x0
Differenzialquotient (1. Ableitung):
Der Differenzialquotient von f
an der Stelle x0 ist der Grenzwert
f (x0 + h) − f (x0 )
= f (x0 )
lim
h→0
h
→ f (x0 ) ist gleich der Steigung
der Tangente t an den Graphen
von f im Punkt P (x0 ; f (x0 )).
2. Ableitung:
f (x) = [f (x)] = y =
f (x) = c · u (x)
Summenregel:
f (x) = u(x) + v(x)
f (x) = u (x) + v (x)
Produktregel:
f (x) = u(x) · v(x)
f (x) = u (x) · v(x) + u(x) · v (x)
f (x 0)
P
x0
d2 y
dx2
(c ∈ R)
u(x)
Quotientenregel: f (x) =
mit v(x) = 0
v(x)
(x) · v(x) − u(x) · v (x)
u
f (x) =
(v(x))2
f (x) = v(u(x))
f (x) = v (u(x)) · u (x)
⇒
f
n-te Ableitung: f (n) (x) = [f (n−1) (x)] = y (n) =
c
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f (x) = c · u(x)
x = g(y) Umkehrfunktion von y = f (x)
g (y) =
1
f (x)
Ableitungen spezieller Funktionen:
►
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
c (konstant)
0
cos(x)
−sin(x)
xn
nxn−1
tan(x)
1
cos2 (x)
ax
ax · ln(a)
cot(x)
− sin21(x)
ex
ex
arcsin(x)
√ 1
1−x2
loga (x)
1
x·ln(a)
arccos(x)
1
− √1−x
2
ln(x)
1
x
arctan(x)
1
1+x2
sin(x)
cos(x)
arccot(x)
1
− 1+x
2
x
Höhere Ableitungen und ihre Schreibweisen:
dy
dx
Faktorregel:
Ableitung der Umkehrfunktion:
t
Eine Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0 , wenn f (x0 )
existiert.
f (x) = y =
2. Analysis
Kettenregel:
y▲
Differenzierbarkeit:
1. Ableitung:
28
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Ableitungsregeln:
Differenzenquotient:
δy
f (x0 + h) − f (x0 )
=
δx
h
→ Der Differenzenquotient
gibt die Steigung der Sekante
durch die Punkte P (x0 ; f (x0 ))
und Q(x0 + h; f (x0 + h)) an.
c
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dn y
dxn
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c
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= 1 + tan2 (x)
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2. Analysis
Mittelwertsatz
der Differenzialrechnung:
Wenn f in [a; b] stetig und in ]a; b[
differenzierbar ist, dann gibt es
mindestens eine Stelle z mit
a < z < b, so dass gilt:
29
30
f (x) =
y▲
n f (k) (x )
0
k!
k=0
f (x0 )
+
f (b)
2!
Es gilt: Rn (x) =
a
z
(x − x0 )k + Rn (x) = f (x0 ) +
(x − x0 )2 + ... +
f
f (a)
f (b) − f (a)
= f (z)
b−a
2. Analysis
f (x0 )
(x − x0 )
1!
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + Rn (x)
n!
f (n+1) (h)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
(h zwischen x und x0 )
►
x
b
2.4
Kurvenuntersuchung
Näherungslösungen von Nullstellen:
Symmetrie von f :
Regula falsi (Sekantenverfahren):
Gegeben sind zwei Näherungswerte x1 und x2 für x0 mit
f (x1 ) < 0 und f (x2 ) > 0.
x2 − x 1
x3 = x1 − f (x1 ) ·
f (x2 ) − f (x1 )
Das Verfahren wird mit x3
und x1 bzw. x2 fortgesetzt.
Newton’sches Näherungsverfahren:
x1 sei eine Näherungslösung für x0 .
f (x1 )
f (x1 ) = 0
x2 = x1 − f (x1 )
→ Fortsetzung mit x2
Bedingungen: f (x0 ) = 0
(x)
und f (x)·f
< 1 für alle x
[f (x)]2
im betrachteten Intervall
y▲
f (x 2)
f
x1
x3
x0
x2
f (−x) = f (x)
f (−x) = −f (x)
zur Geraden g : x = x0 :
f (x0 − u) = f (x0 + u)
gilt für alle u mit (x0 ± u) ∈ D
zum Punkt P (x0 |y0 ):
1
2 [f (x0 − u) + f (x0 + u)] = f (x0 )
gilt für alle u mit (x0 ± u) ∈ D
►
x
f (x 1)
gilt für alle x ∈ D
zur y-Achse:
zum Ursprung (0; 0):
gilt für alle x ∈ D
Definitionslücken und Polstellen:
y▲
f
x1
x0
x2
►
x
f (x 1)
Gegeben ist eine gebrochenrationale Funktion:
am xm + am−1 xm−1 + ... + a1 x + a0
g(x)
=
f (x) =
h(x)
bn xn + bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0
Definitionslücke x0 : h(x0 ) = 0
Polstelle x0 :
h(x0 ) = 0 und g(x0 ) = 0
Polstelle mit Vorzeichenwechsel:
lim f (x) =
x→x0 −0
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel:
lim f (x) =
x→x0 −0
lim f (x)
x→x0 +0
lim f (x)
x→x0 +0
→ Die Gerade g : x = x0 nennt man dann eine vertikale Asymptote.
Satz von Taylor:
f sei auf dem Intervall ]x0 − r; x0 + r[ mindestens (n + 1)-mal
differenzierbar. Dann gilt für alle x ∈]x0 − r; x0 + r[ mit r > 0:
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stetig behebbare Definitionslücke x0 :
(1) h(x0 ) = g(x0 ) = 0
(2) Nach dem Kürzen von f durch (x − x0 ) gilt für den neuen Nenner
v ∗ (x0 ) = 0.
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2. Analysis
Verhalten im Unendlichen:
Bestimmung von lim f (x) und lim f (x)
x→+∞
x→−∞
Lust auf
Luftfahrt?
Bei einer gebrochenrationalen Funktion f (x) mit Zählergrad m
und Nennergrad n gilt für die Asymptote a(x):
(a) m < n
⇒ a(x) = 0
(x-Achse)
(b) m = n
⇒ a(x) = c mit c ∈ R\{0}
(Parallele zur x-Achse)
(c) m = n + 1 ⇒ a(x) ist eine lineare (schiefe) Asymptote
(d) m > n + 1 ⇒ a(x) ist eine nichtlineare Asymptote
→ Bei (c) und (d) muss die Polynomdivision angewendet werden.
Fluglotse werden!
Monotonieverhalten:
www.dfs.de
Wenn f (x)
f (x) > 0
f (x) < 0
f (x) ≥ 0
f (x) ≤ 0
in J = [a; b] differenzierbar ist und für alle x ∈ J gilt:
⇒ f (x) heißt im Intervall J streng monoton steigend
⇒ f (x) heißt im Intervall J streng monoton fallend
⇒ f (x) heißt im Intervall J monoton steigend
⇒ f (x) heißt im Intervall J monoton fallend
Nullstellen (Schnittpunkt mit der x-Achse):
x0 ∈ D ist eine Nullstelle, wenn f (x0 ) = 0 ist. Zur Berechnung setzt
man f (x) = 0 und löst die Gleichung nach x auf.
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Weil der Himmel Sie braucht!
Globale Extrema:
Wenn für ein x0 ∈ D und für alle x ∈ D gilt: f (x0 ) ≥ f (x)
⇒ f hat an der Stelle x0 ein globales (absolutes) Maximum
Wenn für ein x0 ∈ D und für alle x ∈ D gilt: f (x0 ) ≤ f (x)
⇒ f hat an der Stelle x0 ein globales (absolutes) Minimum
Lokale Extrema:
Wenn gilt: f (x0 ) = 0 und f (x0 ) < 0 ⇒ P (x0 |f (x0 )) ist ein
Hochpunkt und f (x0 ) ein lokales (relatives) Maximum.
Wenn gilt: f (x0 ) = 0 und f (x0 ) > 0 ⇒ P (x0 |f (x0 )) ist ein Tiefpunkt
und f (x0 ) ein lokales (relatives) Minimum.
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2. Analysis
33
34
2. Analysis
Krümmungsverhalten:
Schnitt von zwei Kurven:
Wenn f (x) in J = [a; b] zweimal differenzierbar ist und für alle x ∈ J
gilt:
f (x) > 0 ⇒ f (x) ist in J eine Linkskurve bzw. konvex
f (x) < 0 ⇒ f (x) ist in J eine Rechtskurve bzw. konkav
Schnittpunkt:
Schnittwinkel:
Wenn f (x0 ) = g(x0 ) = s gilt
⇒ f (x) und g(x) schneiden sich in Punkt P (x0 |s)
f (x0 ) − g (x0 ) tan(α) = 1 + f (x0 ) · g (x0 ) Wendepunkte und Sattelpunkte:
Spezialfälle:
Wenn gilt: f (x0 ) = 0 und f (x0 ) = 0
⇒ P (x0 |f (x0 )) ist ein Wendepunkt und x0 die Wendestelle.
Wenn gilt: f (x0 ), f (x0 ) = 0 und f (x0 ) = 0
⇒ P (x0 |f (x0 )) ist ein Sattelpunkt (Spezialfall des Wendepunktes).
Berührung:
Wenn f (x0 ) = g(x0 ) = s und f (x0 ) = g (x0 ) gilt
⇒ f (x) und g(x) berühren sich in Punkt P (x0 |s)
Orthogonalität:
Wenn f (x0 ) = g(x0 ) = s und f (x0 ) · g (x0 ) = −1 gilt
⇒ f (x) und g(x) sind in Punkt P (x0 |s) orthogonal
2.5
2.6
Tangente, Normale und
Krümmungskreis
Integralrechnung
Stammfunktion:
F heißt Stammfunktion von f auf einem Intervall I, wenn für alle
x ∈ I gilt: F (x) = f (x)
Tangente und Normale:
Tangente t(x) von f (x) in Punkt P (x0 |f (x0 )):
t(x) = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
Unbestimmtes Integral:
Normale n(x) von f (x) in Punkt P (x0 |f (x0 )):
−1
(x − x0 ) + f (x0 )
(senkrecht zur Tangente)
n(x) = f (x0 )
Das unbestimmte Integral von f ist die Menge aller Stammfunktionen
von f .
Schreibweise:
f (x)dx = F (x) + c (c ist die Integrationskonstante)
Krümmungskreis:
Wenn f (x) = 0 gilt, dann hat die Funktion f (x) im Punkt
P (x0 |f (x0 )) einen Krümmungskreis mit Radius r und Mittelpunkt
M (Kx |Ky ).
Bestimmtes Integral:
Integralfunktion:
Es gilt: (a, x, u ∈ [a; x] und f ist stetig auf [a; x])
x
f (u)du heißt Integralfunktion von f (u).
r=
Ky = f (x0 ) +
c
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[f (x
(1 +
0
f (x0 )
)]2 )
a
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2. Analysis
35
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:
Wenn f auf dem Intervall [a; b] stetig ist und F eine Stammfunktion
b
zu f ist, dann gilt:
f (x)dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba = F (x)|ba
a
Eigenschaften des bestimmten Integrals:
(1)
(3)
(4)
(5)
a
a
c
a
b
a
b
f (x)dx = 0
(2)
a
f (x)dx = −
f (x)dx ±
b
a
b
f (x)dx +
c
f (x)dx
a
b
f (x)dx =
b
f (x)dx
(Intervalladditivität)
b
b
g(x)dx = [f (x) ± g(x)]dx
a
(Summenregel)
a
k · f (x)dx = k ·
a
b
f (x)dx
(Faktorregel)
a
(6) f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a; b] ⇒
b
f (x)dx ≤
a
(7) m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a; b]
b
⇒ m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a)
b
g(x)dx
(Monotonie)
a
(Abschätzbarkeit)
a
Integrationsregeln:
Partielle Integration:
Substitutionsregel:
b
a
b
a
Lineare Substitution:
u (x)v(x)dx = [u(x) · v(x)]ba −
f (g(x)) · g (x)dx =
g(b)
b
u(x)v (x)dx
a
f (t)dt
g(a)
= g (x)dx
mit t = g(x) und dt
1
b
b
f (mx + b)dx = m
· F (mx + b) + c a
a
(m und b sind konstant)
b f (x)
dx = [ln(|f (x)|)]ba
Logarithmische Integration:
a f (x)
c
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f (x)dx
a
3
(1 + f (x0 )) 2
f (x0 )
f (x0 )(1 + [f (x0 )]2 )
K x = x0 −
f (x0 )
Es gelten:
b
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c
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2. Analysis
37
Spezielle Integrale:
=
a dx = ax + c
1
x
+c
(x = 0)
dx = ln(|x|) + c
loga (x)dx
ax
ln(a)
+c
=
ex dx = ex + c
1
(x−a)(x−b)
1
a−b
dx
x−a · ln x−b + c
1
x2 +a2
dx =
1
a
· arctan( xa ) + c
√
=ln(x+ x2 + a2 )+c
1
dx = 2a
· ln x−a
x+a + c
√ 1
dx
x2 +a2
1
x2 −a2
tan(x)dx = −ln(|cos(x)|) + c
f (m)
− sin(x) · cos(x)) + c
Untersumme: (dunkelgraue Fläche)
Un = h · m1 + h · m2 + ... + h · mn
Dabei ist mi für alle i = 1, ..., n
das Minimum im i-ten Teilintervall.
cos2 (x)dx
Obersumme: (dunkel- + hellgraue Fläche)
On = h · M1 + h · M2 + ... + h · Mn
Dabei ist Mi für alle i = 1, ..., n
das Maximum im i-ten Teilintervall.
dx = ln tan( x ) + c
2
= ln tan x2 + π4 +c
dx = −cot(x) + c
Trapezverfahren (Sekantenformel):
1
cos2 (x)
dx = tan(x) + c
0
Mit h = xn −x
= b−a
n
n erhält man für
b
A = f (x)dx folgende Näherung:
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39
c
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f (x)dx wird durch n Teilflächen mit jeweils
a
der Breite h = b−a
n unter Verwendung von Parabelbögen angenähert.
Dabei gilt: x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xn = b (n ist gerade)
h
A ≈ · [f (x0 ) + f (xn ) + 2 · (f (x2 ) + f (x4 ) + ... + f (xn−2 ))
3
+4 · (f (x1 ) + f (x3 ) + ... + f (xn−1 ))]
Keplersche Fassregel:
Ist n = 2 ergibt sich aus der Simpsonschen Regel die Keplersche
0
Fassregel als Spezialfall. Mit der Teilintervallbreite h = x2 −x
gilt:
2
h
A ≈ (f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ))
3
40
a
⇒A=
b
b
f (x)dx
a
►
x
h
h
x2
x1
►
xn= b x
2. Analysis
⇒ A = A1 + A2 + A3
x2
b
x1
⇒ f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx
x2
a
x1
(2) f (x) ≤ 0 für alle x ∈ [a; b]
y▲
a
b
►
x
f
b
b
⇒ A = f (x)dx = − f (x)dx
a
a
f
A1
a
x1
A3
►
b x
A2
x2
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen:
(1) f (x) ≥ g(x) für alle x ∈ [a; b]
y▲
g
(2) f und g schneiden sich in x1
y▲
f
A1
f
A2
A
a
b
g
►
x
a
A
f
f
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b
Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse:
A
Beispiel mit n = 3
h
Flächenberechnung mit Integralen:
(1) f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a; b]
y▲
►
x
b
h
(3) f hat die Nullstellen x1 und x2 in [a; b] y▲
Simpsonsche Regel (Parabelformel):
Der Flächeninhalt A =
a
x0= a
A ≈ h · ( 12 f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 )
+... + f (xn−1 ) + 12 f (xn ))
b
x
f
y▲
Näherungsverfahren zur
Berechnung bestimmter Integrale:
1
sin2 (x)
2. Analysis
►
b
y▲
a
c
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m
a
Die Funktion f (x) sei auf dem Intervall [a; b] stetig. Dieses Intervall
wird in n Teilintervalle mit der gleichen Breite h = b−a
n zerlegt.
Hinweis: Die Teilintervalle können auch unterschiedliche Breiten haben.
sin2 (x)dx=
1
cos(x) dx
f
Unter- und Obersumme:
cot(x)dx = ln(|sin(x)|) + c
1
sin(x)
y▲
a
= 12 (x + sin(x) · cos(x)) + c
tan2 (x)dx = tan(x) − x + c
(a > 0, a = 1)
cos(x)dx = sin(x) + c
1
2 (x
· ln(x) − x) + c
ax dx =
ln(x)dx = x · ln(x) − x + c
1
ln(a) (x
Wenn f (x) im Intervall [a; b] stetig
ist, dann gilt für mindestens eine
Stelle m mit a ≤ m ≤ b:
b
f (x)dx
a
= f (m) bzw.
b−a
b
f (x)dx = f (m) · (b − a)
√ 1
dx
x2 −a2
√
= ln x + x2 − a2 + c
sin(x)dx = −cos(x) + c
1
n+1
n+1 x
2. Analysis
Mittelwertsatz der Integralrechnung:
0 dx = c
xn dx =
38
⇒ A = [f (x) − g(x)]dx
a
x1
b
⇒ A = A1 + A2 =
x
►
x1
[f (x) − g(x)]dx
a
b
+ [g(x) − f (x)]dx
x1
Rotationskörper:
Rotation um die x-Achse:
Volumen Vx und Mantelfläche Mx
bei Rotation von f (x) um die
x-Achse im Intervall [a, b]:
b
Vx = π [f (x)]2 dx
y▲
f (x ) = y
a
b
►
x
a
Mx = 2π
b
f (x)
1 + [f (x)]2 dx
a
c
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c
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2. Analysis
41
y▲
Rotation um die y-Achse:
Volumen Vy und Mantelfläche My
bei Rotation von g(y) um die
a
y-Achse im Intervall [a, b]. g(y)
ist die Umkehrfunktion von f (x).
d
d
b
Vy = π x2 dy = π [g(y)]2 dy = π x2 f (x)dx
c
c
a
y + a · y = s
Gleichung:
g (y ) = x
b
⇒
y =s·x+c
Fall 2: a = 0 und s = 0
⇒
y = c · e−ax
Fall 3: a = 0 und s = 0
⇒
Gleichung
Lösung
y = g(x) · h(y)
Die Bogenlänge des Graphen von f zwischen den Punkten P (a|f (a))
b und Q(b|f (b)) wird folgendermaßen berechnet: s =
1 + [f (x)]2 dx
a
Differenzialgleichungen
y = f (ax + by + c)
y = f
y
x
y + a1 · y + a2 · y = s
Gleichung:
Lösungsansatz:
charakteristische Gleichung:
Fall 1:
Lineare Differenzialgleichungen:
Fall 2:
2. Ordnung
− a2 > 0
⇒
y = C1 · eλ1 x + C2 · eλ2 x
a21
mit λ1,2 = − a21 ±
4 − a2
a21
4
a21
4
− a2 = 0
⇒
y = C1 · eλx + C2 · x · eλx
− a2 < 0
Fall 3:
c
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c
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43
y(t) = k · t + y0
(k ∈ R)
y (t) = k
y(t) = k · t + c (c ∈ R)
Exponentielles Wachstum:
y(t) = y0 · (1 + c)t
Differenzialgleichung:
allgemeine Lösung:
y (t) = k · y(t)
y(t) = y0 · ekt mit k = ln(1 + c)
Beschränktes Wachstum:
Differenzialgleichung:
allgemeine Lösung:
y (t) = k · (S − y(t)) (k > 0)
y(t) = S − (S − y0 ) · e−kt
(c ∈ R\{0})
Logistisches Wachstum:
3
A(m;n) :
AT :
A−1 :
det A:
Uik :
Aik :
y (t) = k · y(t) · (S − y(t)) (k > 0)
y0 · S
y0 + (S − y0 ) · e−kSt
y(t) =
a1
x
2
mit λ = − a21
y = C1 · e
· cos(bx) + C2 · e−
a2
mit b = a2 − 41
a1
x
2
· sin(bx)
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3. Lineare Algebra
Matrizen
Eine (m, n)-Matrix ist ein rechteckiges System von m · n Elementen
(Komponenten) aik mit m Zeilen und n Spalten.
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n
⎜ a21 a22 . . . a2n ⎟
⎟
A = A(m;n) = (aik )(m;n) = ⎜
⎝ ... ... ... ... ⎠
am1 am2 . . . amn
Zeilenvektor:
Der i−te Zeilenvektor einer (m, n)-Matrix ist
eine Matrix mit einer Zeile und n Spalten:
Spaltenvektor:
ai = (ai1 , ai2 , ..., ain )
⎞
a1k
⎜ a2k ⎟
⎟
⎜
ak = ⎜ . ⎟
⎝ .. ⎠
amk
⎛
Der k−te Spaltenvektor einer (m, n)-Matrix ist
eine Matrix mit einer Spalte und m Zeilen:
Elementare Matrizenumformungen:
(1) Vertauschen zweier Zeilen
(2) Multiplizieren der Elemente einer Zeile mit einer reellen Zahl r = 0
(3) Zu einer Zeile wird eine andere Zeile addiert
Lineare Algebra
Matrix A mit m Zeilen und n Spalten (kurz: A)
transponierte Matrix von A
inverse Matrix zu A
Determinante der Matrix A
Unterdeterminante
Adjunkte des Elements aik
c
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−
Matrix:
Bestand zum Zeitpunkt t
Anfangswert in t = 0
Sättingungsgrenze \ Wachstumsgrenze
Wachstumsrate
Differenzialgleichung:
⇒
44
3.1
Anwendungen der Differenzialgleichungen:
allgemeine Lösung:
(C1 , C2 ∈ R)
y = eλx
λ 2 + a1 · λ + a 2 = 0
a21
4
y + a · y = s bzw.
y + a1 · y + a2 · y = s bzw.
f (x) + a1 · f (x) + a2 · f (x) = s
f (x) + a · f (x) = s
a1 , a2 und s können auch Funktionen von x sein (hier nur Betrachtung
von Konstanten). Ist s = 0 dann wird die DGL als homogen
bezeichnet, sonst als inhomogen.
3. Lineare Algebra
(a1 , a2 , s ∈ R)
allgemeine Lösungen für homogene Gleichungen:
Eine gewöhnliche Differenzialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in
der mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion y = f (x)
auftritt.
F x, y, y , ..., y (n) = 0
(gewöhnliche DGL n-ter Ordnung)
Lineares Wachstum:
Differenzialgleichung:
allgemeine Lösung:
1
dy = g(x)dx + C mit h(x) = 0
h(y)
1
dt + C mit t = ax + by + c
x=
a + b · f (t)
1
dt
y
f (t)−t
x=C ·e
mit t =
x
Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Definition:
y(t):
y0 :
S:
k:
(c = 0)
(c = 0)
s
(c = 0)
y = c · e−ax +
a
Spezielle Typen von DGL 1. Ordnung:
c
1. Ordnung:
(a, s ∈ R)
Lösung: Fall 1: a = 0 und s = 0
P2 (b |d )
►
x
Bogenlänge:
2.7
2. Analysis
Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
P1 (a |c )
d d
My = 2π x 1 + (x )2 dy = 2π g(y) 1 + [g (y)]2 dy
c
42
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Rang r einer Matrix: r ist gleich
– der maximalen Anzahl von unabhängigen Zeilen- bzw.
Spaltenvektoren.
– der Minimalzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen- bzw.
Spaltenvektoren, die durch elementare Matrizenumformungen
erzeugt werden können.
c
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3. Lineare Algebra
Quadratische Matrizen: (n, n)-Matrizen
→ Eine quadratische Matrix hat genauso viele Spalten wie Zeilen.
Hauptdiagonale:
Die Hauptdiagonale besteht aus den Elementen a11 , a22 , a33 , ..., ann .
Nebendiagonale:
Die Nebendiagonale besteht aus den Elementen
a1n , a2n−1 , a3n−2 , ..., an1 .
obere/untere Dreiecksmatrix:
Alle Elemente unterhalb/oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
Wir brauchen Verstärkung:
Diagonalmatrix:
Duales Studium
Bachelor of Arts Accounting & Controlling
Bachelor of Arts Dienstleistungsmarketing
Bachelor of Science Wirtschaftsinformatik
Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
Einheitsmatrix E:
Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf
der Hauptdiagonalen gleich 1 sind.
Ausbildung
Bürokaufleute
Kaufleute für Bürokommunikation
Kaufleute für Dialogmarketing
Fachinformatiker/-innen,
Fachrichtung Systemintegration
Rechenregel:
A·E =E·A=A
Spezielle Matrizen:
transponierte Matrix AT :
Übernimmt man die Zeilen einer (m, n)-Matrix A als Spalten in eine
(n, m)-Matrix AT , dann nennt man AT die transponierte Matrix zu A.
Rechenregeln: (AT )T = A
Infos unter www.vr-leasing.de
(rA)T = rAT
(A + B)T = AT + B T
symmetrische Matrix:
Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, wenn A = AT gilt.
schiefsymmetrische Matrix:
Eine quadratische Matrix ist schiefsymmetrisch, wenn −A = AT gilt.
c
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3. Lineare Algebra
47
Nullmatrix 0:
Bei der Nullmatrix 0 sind alle Elemente gleich 0 (m, n beliebig).
erweiterte Matrix:
Die erweiterte Matrix A|B erhält man, indem man die (m, n)-Matrix
A und die (m, s)-Matrix B folgendermaßen zusammenfügt:
⎞
⎛
a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n
⎜ a21 a22 . . . a2n b21 b22 . . . b2n ⎟
⎟
A|B = ⎜
⎝ ... ... ... ... ... ... ... ...⎠
am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bms
Untermatrix zu einem Element:
Streicht man aus einer (m, n)-Matrix A die i-te Zeile und die j-te
Spalte, dann erhält man die zu dem Element aij zugehörige
Untermatrix vom Typ (m − 1, n − 1).
inverse Matrix A−1 :
Die inverse Matrix A−1 zur quadratischen Matrix A existiert genau
dann, wenn der Rang von A gleich n (⇔ det A = 0) und
A · A−1 = A−1 · A = E ist.
Berechnung der inversen Matrix in zwei Schritten:
Schritt 1: Bilden der erweiterten Matrix A|E.
Schritt 2: Überführung der Matrix A|E durch elementare
Zeilenumformungen in die Form E|A−1 .
Es gilt:
(A−1 )−1 = A
(rA)−1 = 1r · A−1
(A−1 )T = (AT )−1
(A · B)−1 = B −1 · A−1
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48
3. Lineare Algebra
3.2
Rechnen mit Matrizen
Addition/Subtraktion:
Die Addition und Subtraktion ist nur für Matrizen mit derselben
Zeilen- und Spaltenanzahl m und n (A(m;n) und B(m;n) ) definiert:
⎛
⎞
a11 ± b11
a12 ± b12 . . . a1n ±1n
⎜ a21 ± b21
a22 ± b22 . . . a2n ±2n ⎟
⎟
A±B =⎜
⎝
...
...
...
... ⎠
am1 ± bm1 am2 ± bm2 . . . amn ±mn
Rechenregeln:
A+B =B+A
A−A=0
(A + B) + C = A + (B + C)
(A + B)T = AT + B T
A+0=A
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl r:
⎛
a11 a12
⎜ a21 a22
rA = r ⎜
⎝ ... ...
am1 am2
⎞ ⎛
ra11 ra12
. . . a1n
⎜
. . . a2n ⎟
⎟ = ⎜ ra21 ra22
... ... ⎠ ⎝ ...
...
. . . amn
ram1 ram2
Rechenregeln:
(r + s)A = rA + sA
r(A + B) = rA + rB
1·A=A
0·A
⎞
. . . ra1n
. . . ra2n ⎟
⎟
... ... ⎠
. . . ramn
r(sA) = (rs)A
Multiplikation von Matrizen:
Bedingung: Die Spaltenanzahl von A ist gleich der Zeilenanzahl von B.
(A und B sind verkettbar.)
n
A(m;n) · B(n;p) = C(m,p) mit cik = ai1 b1k + ... + ain bnk =
aij bjk
j=1
→ C hat so viele Zeilen wie A und Spalten wie B.
Rechenregeln:
(A + B) · C = A · C + B · C
(rA) · (sB) = rs(A · B)
(A · B) · C = A · (B · C)
(A · B)T = B T · AT
Wichtig: A · B = B · A → Die Multilplikation ist nicht kommutativ!
c
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c
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3. Lineare Algebra
49
Falk’sches Schema: Hilfsmittel zur Berechnung von A · B
A(m;n) · B(n;p)
a11
...
ai1
...
am1
...
...
...
...
...
a1n
...
ain
...
amn
b11
...
bn1
...
...
...
b1k
...
bnk
...
...
...
b1p
....
bnp
c11
...
ci1
...
cm1
...
...
...
...
...
c1k
...
cik
...
cmk
...
...
...
...
...
c1p
...
cip
...
cmp
Unterdeterminante und Adjunkte:
Streicht man in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte, dann
ist dieser reduzierten Matrix die Unterdeterminante Uik zugeordnet.
Die Adjunkte Aik des Elements aik erhält man, indem man die
Unterdeterminante mit dem Faktor (−1)i+k multipliziert:
Aik = (−1)i+k Uik
zweireihige Determinanten:
Determinanten
a
a det A = 11 12 = a11 a22 − a12 a21
a21 a22
Definition:
Jeder quadratischen Matrix A(n;n) kann eine eindeutige reelle Zahl
zugeordnet werden. Diese nennt man n-reihige Determinante oder
Determinante n-ter Ordnung.
a11 a12 . . . a1n a
a22 . . . a2n det A = 21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann dreireihige Determinanten:
a11 a12 a13 a
a
a
a a a det A = a21 a22 a23 = a11 22 23 − a12 21 23 + a13 21 22 a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33 Regel von Sarrus bei dreireihigen Determinanten:
+
Für Determinanten gilt:
(1) det A = det AT
(2) Die Determinante bleibt gleich, wenn man zu einer Zeile (Spalte)
das k-fache einer anderen Zeile (Spalte) addiert.
(3) Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) von A, dann ändert sich das
Vorzeichen der Determinante.
c
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3. Lineare Algebra
51
n-reihige Determinanten:
k=1
Entwicklung nach der k-ten Spalte:
n
n
aik Aik =
aik (−1)i+k Uik
det A =
i=1
3.4
für alle k = 1, ..., n
i=1
Lineare Gleichungssysteme
Darstellung:
Lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen und n Variablen:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
...
...
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
Ein LGS heißt homogen, wenn alle Konstanten bi gleich 0 sind.
Ist dies nicht der Fall, wird ein LGS als inhomogen bezeichnet.
Matrixschreibweise:
⎛
A · x = b
⇔
a11 a12
⎜ a21 a22
⎜
⎝ ... ...
am1 an2
...
...
...
...
⎞ ⎛x ⎞ ⎛ b ⎞
1
1
a1n
⎜ x 2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
a2n ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟·⎜
⎜ ⎟=⎜ ⎟
. . . ⎠ ⎝ ... ⎠ ⎝ ... ⎠
amn
xn
bm
b: Konstantenvektor
A: Koeffizientenmatrix
x: Lösungsvektor
S = A|b: Systemmatrix oder erweiterte Koeffizientenmatrix (Seite 47)
c
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+
+
a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
c
Troy
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52
det A =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
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3. Lineare Algebra
Lösung mit dem Determinantenverfahren:
Die n-reihige Determinante einer Matrix A(n,n) kann nach jeder Zeile
oder Spalte mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes
entwickelt werden.
Entwicklung nach der i-ten Zeile:
n
n
det A =
aik Aik =
aik (−1)i+k Uik für alle i = 1, ..., n
k=1
3. Lineare Algebra
(4) Multipliziert man eine Zeile (Spalte) von A mit k ∈ R, dann muss
die Determinante ebenfalls mit k multipliziert werden.
(5) Wenn eine Zeile (Spalte) das Vielfache einer anderen ist, dann gilt:
det A = 0
(6) Wenn eine Zeile (Spalte) nur aus Nullen besteht, dann gilt:
det A = 0
(7) det A · det B = det A · B und det A · det A−1 = 1
Man erhält das Element cik von C, indem man den Zeilenvektor
i der Matrix A und Spaltenvektor k der Matrix B folgendermaßen
miteinander multipliziert:
cik = ai · bk = ai1 b1k + ... + ain bnk (i = 1, ..., m; k = 1, ..., p)
3.3
50
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det Ai
(Cramersche Regel) mit
det A
det A: Koeffizientendeterminante
det Ai : Zählerdeterminante
det Ai bildet man, indem man in det A die i-te Spalte durch b ersetzt.
xi =
Lösbarkeitskriterien:
Homogenes System: (siehe Seite 51)
det A = 0 ⇒ eindeutige Lösung (Nullvektor)
det A = 0 ⇒ unendlich viele Lösungen
Inhomogenes System: (siehe Seite 51)
det A = 0 ⇒ eindeutige Lösung (Cramersche Regel)
⇒ unendlich viele Lösungen
det A = 0 und det Ai = 0 für alle i
⇒ keine Lösung
det A = 0 und nicht alle det Ai = 0
Lösung mit dem Gauß-Verfahren:
Man bringt das Gleichungssystem durch elementare
Matrizenumformungen → Seite 44 in eine Dreicks- bzw. Staffelform:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
+ a22 x2 + ... + a2n xn = b2
..
b
.
⇒ xn = n
ann
ann xn = bn
Nachdem man xn berechnet hat, kann man xn−1 bis x1 durch
schrittweises Einsetzen von unten nach oben errechnen.
Lösbarkeitskriterien:
Homogenes System: (siehe Seite 51)
rang A = n ⇒ eindeutige Lösung (Nullvektor)
rang A < n ⇒ unendlich viele Lösungen
c
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4. Stochastik
53
4.1
Inhomogenes System: (siehe Seite 51)
Rang A = Rang S = n ⇒ eindeutige Lösung
Rang A = Rang S < n ⇒ unendlich viele Lösungen
Rang A < Rang S
⇒ keine Lösung
4
54
4. Stochastik
Beschreibende Statistik
Grundgesamtheit und Stichprobe:
Die Grundgesamtheit bei statistischen Erhebungen ist die Gesamtheit
aller Objekte, die auf ein bestimmtes Merkmal untersucht werden.
Dieses Merkmal besitzt unterschiedliche Merkmalsausprägungen.
Bei einer Stichprobe vom Umfang n beobachtet man n
Stichprobenwerte aus der Grundgesamtheit.
Stochastik
n: Länge (Umfang) einer Stichprobe
xi : Ergebnisse einer Stichprobe (Urliste) (i = 1, ..., n)
xj : mögliche Merkmalsausprägungen (j = 1, ..., k)
nj : absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägung xj (j = 1, ..., k)
hj : relative Häufigkeiten der Merkmalsausprägung xj (j = 1, ..., k)
x: arithmetisches Mittel
s2 : Varianz
Ω: Ereignismenge bei einem Zufallsexperiment
∅: unmögliches Ereignis eines Zufallsexperiments
P (A|B): Bedingte Wahrscheinlichkeit (A wenn B)
f (x):
Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion
F (x): Verteilungsfunktion
X ∼:
Kurzschreibweise für die Verteilung der Zufallsvariablen X
E(X): Erwartungswert μ der Zufallsvariablen X
V (X): Varianz σ 2 der Zufallsvariablen X
ϕ(z):
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
Φ(z):
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
B(n; p): binomialverteilt mit den Parametern n und p
N (μ; σ): normalverteilt mit den Parametern μ und σ
zα :
α-Quantil der Standardnormalverteilung (siehe Tabelle)
Urliste, Häufigkeitstabelle, absolute und relative
Häufigkeiten:
Sind die Stichprobenwerte xi (i = 1, ..., n) in ungeordneter Reihenfolge,
so spricht man von einer Urliste .
Die Häufigkeitstabelle gibt an, wie häufig jede der k möglichen
Merkmalsausprägungen xj (j = 1, ..., k) beobachtet wurden (absolute
Häufigkeit) und wie hoch der Anteil der beobachteten
Merkmalsausprägungen ist (relative Häufigkeit).
absoluten Häufigkeiten:
nj
mit j = 1, ..., k
nj
relativen Häufigkeiten:
hj =
mit j = 1, ..., k.
n
Lagemaße von Stichproben:
Arithmetisches Mittel:
bei Urliste:
x=
n
x1 + x2 + ... + xn
1 xi
=
n
n i=1
bei Häufigkeitstabelle (gewogenes arithmetisches Mittel):
k
1 x1 · n1 + x2 · n2 + ... + xk · nk
=
x=
x j · nj
(mit rel. Häuf.)
n
n j=1
k
x = x1 · h1 + x2 · h2 + ... + xk · hk =
x j · hj
(mit abs. Häuf.)
j=1
Harmonisches Mittel:
c
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4. Stochastik
Geometrisches Mittel: xgeom =
√
n
55
x1 · x2 · ... · xn =
n
n
xi
(xi > 0)
i=1
Modalwert (Modus) m:
m ist der am häufigsten vorkommende Wert in der Stichprobe. Es
sind bis zu n Modalwerte möglich.
xharm =
n
n
= n
1
1
1
1
+
+ ... +
x1 x2
xn
i=1 xi
c
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56
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4. Stochastik
Mittlere absolute Abweichung:
n
1 |x1 − x| + |x2 − x| + ... + |xn − x|
=
d=
|xi − x|
n
n i=1
Spannweite:
Spannweite = xmax − xmin
Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer
Stichprobe.
Zentralwert (Median):
Ordnet man die n Werte der Urliste der Größe nach an und ist n
ungerade, dann ist der Zentralwert der in der Mitte stehende Wert der
Urliste. Ist n gerade, dann bildet man das arithmetische Mittel von
den beiden Werten, die in der Mitte stehen.
Es liegen n Stichprobenpaare (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), ..., (xn ; yn ) vor.
Empirische Varianz:
bei Urliste:
n
1 (x1 − x)2 + (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2
=
(xi − x)2
s2 =
n
n i=1
n
1
1 2
s2 = (x21 + x22 + ... + x2n ) − x2 =
x − x2
n
n i=1 i
bei Häufigkeitstabelle (mit relativen Häufigkeiten):
s2 = (x1 − x)2 · h1 + (x2 − x)2 · h2 + ... + (xk − x)2 · hk
k
k
s2 =
(xj − x)2 · hj =
hj x j 2 − x 2
bzw.
Kovarianz:
(x1 − x)(y1 − y) + (x2 − x)(y2 − y) + ... + (yn − y)(xn − x)
sxy =
n
n
1 (xi − x)(yt − y)
oder einfacher zu berechnen mit:
=
n i=1
n
1
1 sxy = (x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ) − x · y =
x i yi − x · y
n
n i=1
bzw.
Korrelationskoeffizient:
sxy
rxy =
sx , sy : Varianzen von xi und yi
sx · sy
(x1 − x)(y1 − y) + ... + (yn − y)(xn − x)
=
(x1 − x)2 + ... + (xn − x)2 · (y1 − y)2 + ... + (yn − y)2
oder
j=1
bei Häufigkeitstabelle (mit absoluten Häufigkeiten):
(x1 − x)2 · n1 + (x2 − x)2 · n2 + ... + (xk − x)2 · nk
s2 =
n
k
k
1 1 s2 =
(xj − x)2 nj =
nj x j 2 − x 2
n j=1
n j=1
√
Standardabweichung:
s = s2
c
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Q = x0,75 − x0,25
Ordnet man die n Werte der Urliste der Größe nach an, dann gibt Q
die Differenz zwischen den beiden Stichprobenwerten an, die die
mittleren 50 Prozent der Stichprobenwerte einschließen.
Korrelation und Regressionsgerade:
Streuungsmaße von Stichproben:
j=1
Interquartilsabstand (Halbweite):
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c
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4. Stochastik
58
4. Stochastik
Schreibweise von bestimmten Ereignissen:
Regressionsgerade:
sxy
y = 2 (x − x) + y
sx
rxy · sy
=
(x − x) + y
sx
Die Regressionsgerade wird so
bestimmt, dass die Streuung der
Stichprobenpaare um die
Regressionsgerade minimal ist.
4.2
57
A ⊆ B (Teilereignis A von B):
Wenn A eintrifft, dann trifft sicher B ein.
y▲
A (Gegenereignis von A):
Dieses Ereignis tritt genau dann ein, wenn A nicht eintrifft.
A\B (Differenz von A und B):
Dieses Ereignis tritt genau dann ein, wenn A aber nicht B eintrifft.
►
x
A ∪ B (Vereinigung von A und B, A oder B“):
”
Dieses Ereignis tritt genau dann ein, wenn entweder nur A, nur B oder
A und B gemeinsam eintreten.
Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsexperiment und Ergebnis:
Bei einem Zufallsexperiment tritt eines von mehreren möglichen, sich
gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ein.
Ergebnismenge, Ereignis, Ereignismenge
Die Ergebnismenge Ω (oder auch S) besteht aus allen möglichen
Ergebnissen.
Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω wird als Ereignis bezeichnet.
Die Menge aller Teilmengen von Ω heißt Ereignismenge.
Elementarereignis:
Es besteht aus nur einem Ergebnis.
sicheres Ereignis:
Es tritt bei jeder Versuchsdurchführung ein.
unmögliches Ereignis ∅: Es tritt bei keiner Versuchsdurchführung ein.
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4. Stochastik
Absolute Häufigkeit Hn (A):
Anzahl des Auftretens von Ereignis A bei n Durchführungen eines
Zufallsexperiments.
Relative Häufigkeit hn (A): hn (A) =
Hn (A)
n
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Funktion P , die jedem
Ereignis A eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet. Dabei müssen
folgende Bedingungen erfüllt sein (Axiome von Kolomogorov):
Spezielle Ereignisse:
c
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A ∩ B (Durchschnitt von A und B, A und B“):
”
Dieses Ereignis tritt genau dann ein, wenn A und B gemeinsam
eintreten.
59
1. P (A) ≥ 0 für alle A ⊆ Ω
2. P (Ω) = 1
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
wenn A ∩ B = ∅ (disjunkt)
(Nicht-Negativität)
(Normierung)
c
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60
(Additivität)
4. Stochastik
Laplace-Experiment:
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen:
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse gleich
wahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten eines Ereignisses A ist:
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
P (A) =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
A und B heißen genau dann voneinander unabhänig, wenn gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) ⇔ P (A|B) = P (A) und P (B|A) = P (B)
4.3
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Totale Wahrscheinlichkeit:
Wenn (a) B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω und
(b) Bi ∩ Bj = ∅ für alle i = j erfüllt ist, dann gilt:
P (A) = (A|B1 ) · P (B1 ) + (A|B2 ) · P (B2 ) + ... + (A|Bn ) · P (Bn )
Grundlegende Rechenregeln:
Formel von Bayes:
(1) Das Ereignis A enthalte die Elementarereignisse e1 , ..., ek . Dann
gilt: P (A) = P ({e1 }) + P ({e2 }) + ... + P ({ek })
(2) P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B)
Wenn (a) B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω und
(b) Bi ∩ Bj = ∅ für alle i = j erfüllt ist,
dann gilt für alle k = 1, ..., n:
P (A|Bk )P (Bk )
P (Bk |A) =
P (A|B1 ) · P (B1 ) + ... + P (A|Bn ) · P (Bn )
(3) P (A) = 1 − P (A) (Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses)
(4) P (∅) = 0
(Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses)
(5) A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
Additionssatz:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Wahrscheinlichkeit für A, wenn B bereits eingetreten ist:
P (A ∩ B)
P (A|B) =
(für P (A|B) auch häufig PB (A))
P (B)
Multiplikationssatz:
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B)
P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A)
mit P (B) > 0
mit P (A) > 0
Für die Ereignisse A1 , A2 , ..., An mit P (A1 ∩ ... ∩ An−1 ) > 0 gilt:
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 )
· ... · P (An |A1 ∩ ... ∩ An−1 )
c
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n-stufiges (mehrstufiges) Zufallsexperiment:
Die Zusammenfassung von n nacheinander ablaufenden
Zufallsexperimenten zu einem einzigen Zufallsexperiment nennt man
n-stufiges (mehrstufiges) Zufallsexperiment, was man als
Baumdiagramm darstellen kann.
1. Pfadregel (Produktregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
in einem mehrstufigen Zufallsexperiment
ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten entlang des
dazugehörigen Pfade im Baumdiagramm.
Hier gilt: P ({B; E; ...}) = p2 · q3 · ...
p1
p2
A
B
q1
q2
C
D E
q3
q4
F
2. Pfadregel (Summenregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen
Zufallsexperiment ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten
aller Pfade, bei denen das Ereignis eintritt/erfüllt ist.
c
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Kombinatorik
Fakultät: n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n
Es gilt:
0! = 1
(n ≥ 2)
1! = 1
Binomialkoeffizient: ( n über k“)
”
n(n − 1) · ... · [n − (k − 1)]
n!
=
=
(0 < k ≤ n)
k!
k!(n − k)!
n+1
n
n
n
n
n
=
+
;
=
= 1;
Es gilt:
k+1
k+1
k
n−k
k
0
n
k
n n
n n−1
n n−2 2
n
a +
a
a
abn−1
(a + b)n =
b+
b + ... +
0
1
2
n−1
n
n n−k k
n n
b =
a
+
b
n
k=0 k
=1
=a±b
= a2 ± 2ab + b2
= a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
= a4 ± 4a3 b + 6a2 b2 ± 4ab3 + b4
= a5 ± 5a4 b + 10a3 b2 ± 10a2 b3 + 5ab4 ± b5
Pascalsches Dreieck:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
4
6
4
1
5
10
10
!
t
r
e
i
e
f
e
g
d
r
i
w
t
z
Jet
BIS ZU 20% FRÜHBUCHERRABATT IN DIE
TOP-ZIELE FÜR EURE ABIPARTY NON-STOP
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und vieles mehr wartet auf euch
→ die Reise-Rücktrittskosten-Versicherung
ist für euch IMMER inklusive
→ All-inclusive Abiparty-Clubs und die
abireisen.de Club-Card schonen eure Kasse
→ abireisen.de ist geprüft und zertifiziert:
wir sind die Profis für eure Reise!
Gruppen ab 10 Personen fahren
direkt von der Schule ab!
Binomischer Satz (Potenzen von Binomen):
(a ± b)0
(a ± b)1
(a ± b)2
(a ± b)3
(a ± b)4
(a ± b)5
Ihr habt es
euch verdient –
endlich Abi!
>K :
4.4
61
6A
JH
4. Stochastik
A"> C 8 A
1
1
5
1
S chn
l r e i nk l i
en :
ck
el
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für eure Abireise
gewinnen!
c
Troy
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4. Stochastik
63
INDIVIDUELLE ANGEBOTE, KATALOGBESTELLUNG UND BUCHUNG
UNTER 0521/ 96 27 41 ODER ABIREISEN.DE/PARTYURLAUB
64
4. Stochastik
Permutationen:
4.5
Als Permutationen bezeichnet man die möglichen Anordnungen von n
Elementen (bei Verwendung aller n Elemente).
Defintion Zufallsvariable:
Die Anzahl der Permutationen beträgt bei
- n verschiedenen Elementen:
n!
- k verschiedenen Elementen (Gruppen) mit jeweils n1 , n2 , ..., nk
n!
gleichen Elementen:
mit n1 + ... + nk = n
n1 ! · n2 ! · ... · nk !
Variationen:
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X ordnet jedem Ereignis eines
Zufallsexperiments eine reelle Zahl xi zu.
Eine diskrete Zufallsvariable kann in einem Intervall nur endlich viele
Werte annehmen.
Eine stetige Zufallsvariable kann in einem Intervall beliebig viele
Werte annehmen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Als Variationen bezeichnet man die möglichen Anordnungen von k
aus n verschiedenen Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge.
Die Anzahl der Variationen beträgt bei
- ohne Zurücklegen der Elemente:
n!
(n − k)!
- mit Zurücklegen der Elemente:
nk
Diese ist eine Funktion, die jedem xi einer Zufallsvariablen eine
Wahrscheinlichkeit P (X = xi ) zuordnet.
Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreter Zufallsvariable X:
f (xi ) = P (X = xi ) = pi für i = 1, ..., n
n
pi = 1 und (2) pi ≥ 0
mit (1)
i=1
Kombinationen:
Als Kombinationen bezeichnet man die möglichen Anordnungen von k
aus n verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Die Anzahl der Kombinationen beträgt bei
n!
n
=
- ohne Zurücklegen der Elemente:
k
k!(n − k)!
n+k−1
- mit Zurücklegen der Elemente:
k
Dichtefunktion bei stetiger Zufallsvariable X:
Die Dichtefunktion ist gleich der
f (x )
▲
Ableitung ihrer Verteilungsfunktion.
0,15
∂F (x)
mit:
f (x) =
∂x
0,1
+∞
0,05
(1)
f (x)dx = 1 und
P(a ≤ X ≤ b )
−∞
(2) f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
Verteilungsfunktion:
bei diskreter Zufallsvariable: F (x) = P (X ≤ x) =
c
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c
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►
a b
xi ≤x
x
f (xi )
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4. Stochastik
65
4.6
F (x )
bei stetiger Zufallsvariable:
x0
F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) =
f (x)dx
▲
1
F (b )
−∞
mit Eigenschaften:
x→−∞
Spezielle Verteilungsmodelle und
Zentraler Grenzwertsatz
P(X = xi)
▲
x→+∞
(2) F (b) − F (a) = P (a ≤ X ≤ b)
4. Stochastik
Diskrete Gleichverteilung:
lim F (x) = 1 F (a )
(1) lim F (x) = 0
66
►
a b
x
X ∼ G(x1 , ..., xm ) xi ∈ R
1/5
P (X = xi ) = 1/m (für alle i = 1, ..., m)
Falls xi = i
Im stetigen Fall gilt: P (X = x) = 0 für jedes x ∈ R
(i = 1, ..., m): (s. Grafik)
m2 − 1
12
Maßzahlen von Verteilungen:
m+1
E(X) =
2
Erwartungswert einer Zufallsvariablen:
Hypergeometrische Verteilung:
im stetigen Fall:
E(X) = μ = x1 · p1 + x2 · p2 + ... + xn · pn
n
n
n
=
x i · pi =
xi · P (X = xi ) =
xi · f (xi )
i=1
im diskreten Fall:
E(X) = μ =
i=1
+∞
−∞
i=1
x · f (x)dx
Varianz einer Zufallsvariablen:
allgemein: V (X) = σ 2 = E[(X − μ)2 ] = E(X 2 ) − μ2
1
3
4
►
5
x
X ∼ H(N ; M ; n)
N, M, n ∈ N; n ≤ N ; M ≤ N
N −M
M
n−k
k
mit 0 ≤ k ≤ min(n, M )
P (X = k) =
N
n
M
M
M
N −n
E(X) = n ·
V (X) = n ·
· 1−
·
N
N
N
N −1
i=1
im stetigen Fall:
+∞
+∞
2
(x − μ)2 · f (x)dx =
x · f (x)dx − μ2
V (X) = σ 2 =
−∞
−∞
Standardabweichung einer Zufallsvariablen: σ =
√
σ2 =
Bimomialverteilung:
P(X = k)
X ∼ B(n; p)
0.3
0.2
0.1
n ∈ N, p ∈ R ]0; 1[
n k
p (1 − p)n−k
P (X = k) =
k
E(X) = n · p
V (X) = n · p · (1 − p)
V (X)
V (X)
c2
P (|X − E(X)| ≥ c) ≤
0 1 2 3 4 5 6
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4. Stochastik
67
Interpretation mit dem Urnenmodell:
Der Anteil der Kugeln in einer Urne mit einem bestimmten Merkmal
beträgt p. Die Anzahl der gezogenen Kugeln mit diesem Merkmal bei
einer Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang n ist gleich k.
Bernoulli-Verteilung: Spezialfall der Binomialverteilung (n = 1)
1−p
p
E(X) = p
►
x
mit c ∈ R und c ≥ 0
c
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n=6
p = 0.4
▲
Tschebyschewsche Ungleichung:
P (X = k) =
2
Interpretation mit dem Urnenmodell:
Es exsitieren insgesamt N Kugeln, von denen M Kugeln ein
bestimmtes Merkmal besitzen. k ist die Anzahl der Kugeln, die bei
einer Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang n dieses
bestimmte Merkmal besitzen.
im diskreten Fall:
V (X) = σ 2 = (x1 − μ)2 · p1 + (x2 − μ)2 · p2 + ... + (xn − μ)2 · pn
n
n
=
(xi − μ)2 · pi =
x2i · pi − μ2
i=1
V (X) =
für k = 0
für k = 1
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68
4. Stochastik
Standardnormalverteilung (Spezialfall der Normalverteilung):
Z ∼ N (0; 1)
f (z )
1 2
1
f (z) = ϕ(z) = √
e− 2 z
2π
1 z0 − 1 z 2
F (z0 ) = Φ(z0 ) = √
e 2 dz
2π −∞
E(Z) = 0
V (Z) = 1
▲
©(z0)
0.2
-3 -1.5 z 0
1.5
3
►
x
Φ(−z) = 1 − Φ(z) ∀z ∈ R
zα = −z1−α für alle α ∈ ]0; 1[
symmetrisches Intervall: P (−k ≤ Z ≤ k) = P (|Z| < k) = 2 · Φ(k) − 1
mit k ∈ R
Symmetrie:
V (X) = p(1 − p)
Bernoulli-Experiment:
Ein Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis entweder eintritt (k = 1
mit der Wahrscheinlichkeit p) oder nicht (k = 0 mit der
Wahrscheinlichkeit 1 − p), wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet.
Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariablen:
X −μ
∼ N (0; 1)
σ
Durch die Standardisierung kann jede beliebig normalverteilte
Zufallsvariable X in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z
mit den Parametern μ = 0 und σ = 1 umgewandelt werden.
x−μ
Verteilungsfunktion:
F (z) = F (x) = Φ(z) = Φ
σ
= P (Z ≤ z) = P (X ≤ x)
b−μ
Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≤ b) = Φ
σ
a−μ
P (X > a) = 1 − Φ
σ
a−μ
b−μ
P (a < X ≤ b) = Φ
−Φ
σ
σ
Standardisierung:
Bernoulli-Kette:
Die n-fache unabhängige Durchführung eines Bernoulli-Experiments
bezeichnet man als eine Bernoulli-Kette der Länge n.
n k
p (1 − p)n−k
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer: P (X = k) =
k
Normalverteilung:
X ∼ N (μ; σ 2 )
μ ∈ R, σ 2 ∈ R+
2
1
− 12 ( x−μ
σ )
f (x) = √
e
σ 2π
x0
1 x−μ 2
1
√
F (x0 ) =
e− 2 ( σ ) dx
−∞ σ 2π
E(X) = μ
V (X) = σ 2
c
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µ = -1
σ= 2
f (x )
▲
0.25
-4-3-2-1
µ= 2
σ = 1.25
µ= 1
σ = 1.5
123456
►
x
X ∼ N (μ; σ 2 )
⇒
Z=
kσ-Regeln:
Wenn X ∼ (μ; σ 2 ), dann gilt:
c
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c
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P (μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) = 0, 683
P (μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = 0, 954
P (μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 0, 997
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4. Stochastik
69
70
4. Stochastik
Zentraler Grenzwertsatz:
4.8
Bedingungen:
Ein Konfidenzintervall mit dem Konfidenzniveau 1 − α enthält mit
der Wahrscheinlichkeit 1 − α (Konfidenzniveau) den unbekannten
Parameter.
Die Zufallsvariablen X1 , ..., Xn sind unabhängig und identisch verteilt
(nicht notwendigerweise normalverteilt) mit Erwartungswert μ und
Varianz σ 2 .
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt Folgendes:
n
Xi − n · μ
X1 + ... + Xn − n · μ
i=1
√
√
Z=
=
σ n
σ n
Es gilt also:
n→∞
−→
Z ∼ N (0; 1)
lim P (Z ≤ z) = Φ(z)
app.
X1 + X2 + ... + Xn
∼
N (nμ; nσ 2 )
(n ist hinreichend groß)
Das bedeutet, dass die Summe der Zufallsvariablen X1 , X2 , ..., Xn für
hinreichend große n (die Angaben für n sind nicht einheitlich; n
zwischen 30 und 100) approximativ normalverteilt ist.
Näherungsformel von Poisson:
Wenn p sehr klein und n sehr groß ist, dann gilt für X ∼ B(n; p):
n k
μk · e−μ
p · (1 − p)n−k ≈
P (X = k) =
mit μ = np
k
k!
Bedingungen: X ist nicht normalverteilt, σ ist bekannt, n ≥ 30:
σ
σ
X − z1−α/2 √
; X + z1−α/2 √
(Konfidenzniveau ≈ 1 − α)
n
n
2 2 · z1−α/2 · σ
nmin =max 30,
l
Näherungsformel von De Moivre-Laplace:
Wenn np(1 − p) ≥ 9 ist, dann gilt für X ∼ B(n; p):
k−μ
1
√
mit μ = np und σ = npq
P (X = k) ≈ · ϕ
σ
σ
k + 0, 5 − μ
√
mit μ = np und σ = npq
P (X ≤ k) ≈ Φ
σ
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4. Stochastik
71
Konfidenzintervall für den Anteilswert p:
Bedingung: n · p∗ (1 − p∗ ) ≥ 9
n
1 Xi wobei Xi ∼ B(1; p)
mit p∗ =
n i=1
Bedingungen: X ist normalverteilt, σ ist bekannt, n beliebig:
σ
σ
X − z1−α/2 √
; X + z1−α/2 √
(Konfidenzniveau 1 − α)
n
n
2
2 · z1−α/2 · σ
nmin =
l
Bedingungen: X ist normalverteilt, σ ist unbekannt n ≥ 100:
S
S
X − z1−α/2 √
; X + z1−α/2 √
(Konfidenzniveau ≈ 1 − α)
n
n
n
1 (xi − x)2
(Schätzwert für σ)
mit S =
n i=1
Näherungsformeln für die
Binomialverteilung
c
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nmin ist der Mindesstichprobenumfang für ein Konfidenzintervall mit
Niveau 1 − α, das höchstens die Breite l hat.
n
1 X=
xi
(Schätzwert für μ aus der Stichprobe)
n i=1
z1−α/2 : (1 − α/2)-Quantil der Standardnormalverteilung → s. Tabelle
Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ:
n→∞
Approximation durch die Normalverteilung:
4.7
Konfidenzintervalle
c
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72
4. Stochastik
Fehler beim Testen von Hypothesen:
H0 ist wirklich wahr
(p∗ ist Schätzwert für p)
Konfidenzintervall mit Konfidenzniveau ≈ 1 − α:
!
p∗ (1 − p∗ )
p∗ (1 − p∗ )
; p∗ + z1−α/2
p∗ − z1−α/2
n
n
2
∗ (1 − p∗ )
4
·
z
·
p
9
1−α/2
,
nmin =max ∗
p (1 − p∗ )
l2
H0 wird
angenommen
H0 wird abgelehnt
(Annahme von H1 )
richtige Entscheidung
Fehler 1. Art
Wahrscheinlichkeit: α
Zweiseitige und einseitige Tests:
zweiseitiger Test:
Die Vorgehensweise ist identisch wie beim Anteilswert p. Das
Konfidenzintervall für die Anzahl N · p wird bestimmt, indem zusätzlich
die Grenzen mit N multipliziert werden.
Nullhypothese:
H0 : θ = θ0
Alternativhypothese: H1 : θ = θ0
4.9
Hypothesentests
Vorgehen beim Hypothesentest:
(1) Formulierung der Nullhypothese H0 und der logisch
entgegengesetzten Alternativhypothese (Gegenhypothese) H1
(2) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit (des Signifikanzniveaus) α
(3) Bestimmung des Ablehungsbereichs A (Verwerfungsbereich,
kritischer Bereich)
(4) H0 wird abgelehnt, wenn der aus der Stichprobe ermittelte Wert in
den Ablehungsbereich fällt. Ansonsten wird H0 angenommen.
c
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richtige Entscheidung
P (H0 wird abgelehnt|H0 ist wahr)=α
P (H0 wird angenommen|H1 ist wahr)=β
Konfidenzintervall für eine Anzahl:
Konfidenzintervall für die Anzahl mit Konfidenzniveau ≈ 1 − α:
#
"
#!
"
p∗ (1 − p∗ )
p∗ (1 − p∗ )
; N · p∗ + z1−α/2
N · p∗ − z1−α/2
n
n
2
4N 2 · z1−α/2
· p∗ (1 − p∗ )
9
,
nmin =max ∗
p (1 − p∗ )
l2
H1 ist wirklich wahr
Fehler 2. Art
Wahrscheinlichkeit: β
Ablehnungsbereich bei
Verwendung der
Standardnormalverteilung:
%
$
A = t ∈ R| |t| > z1−α/2
▲
α/2
α/2
Ablehnungsbereich bei
Verwendung der
Standardnormalverteilung:
A = {t ∈ R| t < −z1−α }
c
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z 1-α/2
-z 1-α/2
Ablehnungs- Annahmebereich
bereich A
linksseitiger Test:
Nullhypothese:
H0 : θ ≥ θ0
Alternativhypothese: H1 : θ < θ0
f (z )
▲
►
z
Ablehnungsbereich A
f (z )
α
►
-z 1-α
Ablehnungsbereich A
z
Annahmebereich
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4. Stochastik
73
rechtsseitiger Test:
▲
Nullhypothese:
H0 : θ ≤ θ0
Alternativhypothese: H1 : θ > θ0
74
5. Aussagenlogik
rechtsseitiger Test:
f (z )
Hypothesen:
α
Ablehnungsbereich bei
Verwendung der
Standardnormalverteilung:
A = {t ∈ R| t > z1−α }
►
z 1-α
z
Ablehnungsbereich A
Annahmebereich
H 0 : p ≤ p0
H1 : p > p0
Ablehungsbereich: A = {c; c + 1; ...; n}
Dabei ist c die möglichst kleinste Zahl, für die gilt:
n
n i
p0 (1 − p0 )n−i ≤ α
Pn;p0 (X ≥ c) =
i=c i
Entscheidung: siehe zweiseitiger Test
Binomialtest (Test auf den Anteilswert p):
Test auf den Erwartungswert μ:
zweiseitiger Test:
Hypothesen:
Hypothesen:
H1 : p = p0
H 0 : p = p0
Ablehungsbereich: A = {0; 1; ...; cl } ∪ {cr ; cr+1 ; ...; n}
Dabei ist cl die möglichst größte
und cr die möglichst kleinste Zahl, für
cl
n i
α
p0 (1 − p0 )n−i ≤
die gilt: Pn;p0 (X ≤ cl ) =
2
i=0 i n
n i
α
p0 (1 − p0 )n−i ≤
Pn;p0 (X ≥ cr ) =
2
i=cr i
Entscheidung: Ablehnung von H0 , wenn in der Stichprobe die Anzahl
der Objekte, die das zu untersuchende Merkmal (mit der unbekannten
Eintrittswahrscheinlichkeit p) besitzen, Element des
Ablehnungsbereichs ist. Ansonsten wird H0 angenommen.
b) H0 : μ ≤ μ0
H1 : μ > μ 0
a) H0 : μ = μ0
H1 : μ = μ0
c) H0 : μ ≥ μ0
H1 : μ < μ0
Annahmen:
X ist normalverteilt, σ ist bekannt, n ist beliebig
(Gauß-Test)
Ablehnungsbereich:
$
%
A = t ∈ R | |t| > z1−α/2
Entscheidung: Ablehnung von H0 , wenn
a) |T | > z1−α/2
mit:
T =
c) T < −z1−α
b) T > z1−α
x1 +x2 +...+xn
n
σ
− μ0 √
· n
linksseitiger Test:
H 0 : p ≥ p0
Hypothesen:
H 1 : p < p0
5
Ablehungsbereich: A = {0; 1; ...; c}
Dabei ist c die möglichst größte Zahl, für die gilt:
c
n i
p0 (1 − p0 )n−i ≤ α
Pn;p0 (X ≤ c) =
i=0 i
Die Aussagevariablen p und q können entweder wahr (w) oder falsch
(f ) sein.
Verknüpfung von Aussagen:
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Entscheidung: siehe zweiseitiger Test
c
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6. Komplexe Zahlen
p⊕q
p⇒q
p⇔q
Alternative
Implikation
Äquivalenz
75
entweder p oder q (ausschließendes oder)
wenn p, dann q
p äquivalent zu q
w
w
f
f
w
f
w
f
76
nicht p
p und q; sowohl p als auch q
p oder q (nicht ausschließendes oder)
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6. Komplexe Zahlen
Zusammenhänge zwischen den
Darstellungsformen:
√
a 2 + b2
6.2
sin(ϕ) =
b
r
cos(ϕ) =
a
r
¬p
¬q
p∧q
p∨q
p⊕q
p⇒q
p⇔q
f
f
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
w
w
w
f
f
w
w
f
w
f
w
w
w
f
f
w
Gegeben:
z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i
z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 ) · i
z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + (a1 · b2 + a2 · b1 ) · i
a1 a2 + b1 b2 + (b1 a2 − a1 b2 ) · i
z1
=
(z2 = 0 + 0i)
z2
a22 + b22
2
2
2
|z1 | = a1 + b1 bzw. |z2 | = a2 + b22
Komplexe Zahlen
Rechnen mit der Polarform:
6.1
Darstellungsweisen
Gegeben: z1 = r1 (cos(ϕ1 ) + sin(ϕ1 ) · i) und
z2 = r2 (cos(ϕ2 ) + sin(ϕ2 ) · i)
Normalform:
▲
z = a + bi
mit a, b ∈ R und i2 = −1
a : Realteil von z (Re z)
b : Imaginärteil von z (Im z)
bi
(Im z) i
0
z = a + bi
r
i
Die zu z konjugierte komplexe Zahl lautet:
z = a − bi
φ
1
a
Re z
►
z1 ± z2 = (r1 cos(ϕ1 ) ± r2 cos(ϕ2 )) + (r1 sin(ϕ1 ) ± r2 sin(ϕ2 )) · i
z1 · z2 = r1 r2 · [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + sin(ϕ1 + ϕ2 ) · i]
r1
z1
=
· [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + sin(ϕ1 − ϕ2 ) · i]
(z2 = 0 + 0i)
z2
r2
|z1 | = r1 bzw. |z2 | = r2
Rechnen mit der Exponentialform:
z1 = r1 · eiϕ1 und z2 = r2 · eiϕ2
Polarform:
Gegeben:
z = r · (cos(ϕ) + sin(ϕ) · i)
mit r ≥ 0 und i2 = −1
z1 · z2 = r1 · r2 · ei(ϕ1 +ϕ2 )
z1
r1 i(ϕ1 −ϕ2 )
=
·e
(z2 = 0 + 0i)
z2
r2
z n = rn · ei·nϕ = rn · (cos(nϕ) + sin(nϕ) · i)
z = a bi
Exponentialform:
(ϕ im Bogenmaß)
c
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b
a
Rechnen mit komplexen Zahlen
6
z = r · eiϕ
tan(ϕ) =
Rechnen mit der Normalform:
Wahrheitswertetafel:
q
¬p
p∧q
p∨q
c
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r=
Es gelten folgende Zusammenhänge:
p ⊕ q = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
p ⇒ q = ¬p ∨ q
p ⇔ q = (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
p
Aussagenlogik
(Moivre’sche Formel)
mit eiϕ = cosϕ + i · sinϕ
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c
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Wahrscheinlichkeitstabellen
Summierte Binomialverteilung: P (X ≤ k) =
77
n i
p (1 − p)n−i
i=0 i
k
p
78
Wahrscheinlichkeitstabellen
Summierte Binomialverteilung: P (X ≤ k) =
n i
p (1 − p)n−i
i=0 i
k
p
n
k
0,02
0,05
0,1
1/6
0,2
0,25
0,3
1/3
0,4
0,5
n
k
0,02
0,05
0,1
1/6
0,2
0,25
0,3
1/3
0,4
0,5
1
2
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
0, 9800
0, 9604
9996
0, 9412
9988
9500
9025
9975
8574
9928
9999
8145
9860
9995
9000
8100
9900
7290
9720
9990
6561
9477
9963
9999
5905
9185
9914
9995
8333
6944
9722
5787
9259
9954
4823
8681
9838
9992
4019
8038
9645
9967
9999
3349
7368
9377
9913
9993
8000
6400
9600
5120
8960
9920
4096
8192
9728
9984
3277
7373
9421
9933
9997
2621
6554
9011
9830
9984
9999
2097
5767
8520
9667
9953
9996
7500
5625
9375
4219
8438
9844
3164
7383
9492
9961
2373
6328
8965
9844
9990
1780
5339
8306
9624
9954
9998
1335
4449
7564
9294
9871
9987
9999
7000
4900
9100
3430
7840
9730
2401
6517
9163
9919
1681
5282
8369
9692
9976
1176
4202
7443
9295
9891
9993
0824
3294
6471
8740
9712
9962
9998
6667
4444
8889
2963
7407
9630
1975
5926
8889
9877
1317
4609
7901
9547
9959
0878
3512
6804
8999
9822
9986
0585
2634
5706
8267
9547
9931
9995
6000
3600
8400
2160
6480
9360
1296
4752
8208
9744
0778
3370
6826
9130
9898
0467
2333
5443
8208
9590
9959
0280
1586
4199
7102
9037
9812
9984
5000
2500
7500
1250
5000
8750
0625
3125
6875
9375
0313
1875
5000
8125
9688
0156
1094
3438
6563
8906
9844
0078
0625
2266
5000
7734
9375
9922
8
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0, 8508
9897
9996
6634
9428
9942
9996
4305
8131
9619
9950
9996
2326
6047
8652
9693
9954
9996
1678
5033
7969
9437
9896
9988
9999
1001
3671
6785
8862
9727
9958
9996
0, 8337
9869
9994
6302
9288
9916
9994
3874
7748
9470
9917
9991
9999
1938
5427
8217
9520
9910
9989
9999
1342
4362
7382
9144
9804
9969
9997
0751
3003
6007
8343
9511
9900
9987
9999
0576
2553
5518
8059
9420
9887
9987
9999
0404
1960
4628
7297
9012
9747
9957
9996
0, 8171
9838
9991
5987
9139
9885
9990
9999
3487
7361
9298
9872
9984
9999
1615
4845
7752
9303
9845
9976
9997
1074
3758
6778
8791
9672
9936
9991
9999
0563
2440
5256
7759
9219
9803
9965
9996
0390
1951
4682
7414
9121
9803
9974
9998
0260
1431
3772
6503
8552
9576
9917
9990
9999
0173
1040
2991
5593
7869
9234
9803
9966
9996
0168
1064
3154
5941
8263
9502
9915
9993
0101
0705
2318
4826
7334
9006
9750
9962
9997
0060
0464
1673
3823
6331
8338
9452
9877
9983
9999
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7
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9999
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9999
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9998
2791
6698
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9980
9999
9
10
nicht aufgeführte Werte sind gleich 1,0000 (bei Rundung auf vier Dezimalstellen)
nicht aufgeführte Werte sind gleich 1,0000 (bei Rundung auf vier Dezimalstellen)
Es gilt:
Pn;p (X = k) = Pn;p (X ≤ k) − Pn;p (X ≤ k − 1)
Für p ≥ 0, 5 gilt:
Pn;p (X ≤ k) = 1 − Pn;1−p (X ≤ n − k − 1)
c
Troy
Verlag, 2009
www.mathematik-und-beruf.de
Wahrscheinlichkeitstabellen
Summierte Binomialverteilung: P (X ≤ k) =
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n i
p (1 − p)n−i
i=0 i
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p
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8497
9527
9894
9984
9999
Es gilt:
Pn;p (X = k) = Pn;p (X ≤ k) − Pn;p (X ≤ k − 1)
Für p ≥ 0, 5 gilt:
Pn;p (X ≤ k) = 1 − Pn;1−p (X ≤ n − k − 1)
c
Troy
Verlag, 2009
80
www.mathematik-und-beruf.de
Wahrscheinlichkeitstabellen
Summierte Binomialverteilung: P (X ≤ k) =
n i
p (1 − p)n−i
i=0 i
k
p
n
k
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0,05
0,1
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n
k
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0,05
0,1
1/6
0,2
0,25
0,3
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17
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9999
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9999
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9993
9999
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9998
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9999
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9997
9999
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8909
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9827
9944
9985
9996
9999
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0000
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nicht aufgeführte Werte sind gleich 1,0000 (bei Rundung auf vier Dezimalstellen)
Es gilt:
Pn;p (X = k) = Pn;p (X ≤ k) − Pn;p (X ≤ k − 1)
Es gilt:
Pn;p (X = k) = Pn;p (X ≤ k) − Pn;p (X ≤ k − 1)
Für p ≥ 0, 5 gilt:
Pn;p (X ≤ k) = 1 − Pn;1−p (X ≤ n − k − 1)
Für p ≥ 0, 5 gilt:
Pn;p (X ≤ k) = 1 − Pn;1−p (X ≤ n − k − 1)
c
Troy
Verlag, 2009
www.mathematik-und-beruf.de
c
Troy
Verlag, 2009
www.mathematik-und-beruf.de
Wahrscheinlichkeitstabellen
81
Summierte Binomialverteilung: P (X ≤ k) =
n
k
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9
10
11
12
13
14
15
16
17
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32
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34
35
36
37
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9692
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9991
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3816
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9974
9990
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9999
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0000
0000
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9836
9923
9967
9987
9995
9998
nicht aufgeführte Werte sind gleich 1,0000 (bei Rundung auf vier Dezimalstellen)
Es gilt:
Pn;p (X = k) = Pn;p (X ≤ k) − Pn;p (X ≤ k − 1)
Für p ≥ 0, 5 gilt:
Pn;p (X ≤ k) = 1 − Pn;1−p (X ≤ n − k − 1)
82
Wahrscheinlichkeitstabellen
Standardnormalverteilung - Verteilungsfunktion Φ(z)
z
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1,9
2,0
2,1
2,2
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2,5
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.,.0
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9463
9564
9649
9719
9778
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9573
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9830
9868
9898
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9941
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9982
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9994
9995
9997
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5910
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9929
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9960
9970
9978
9984
9989
9992
9994
9996
9997
5239
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6406
6772
7123
7454
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8554
8770
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9131
9279
9406
9515
9608
9686
9750
9803
9846
9881
9909
9931
9948
9961
9971
9979
9985
9989
9992
9994
9996
9997
5279
5675
6064
6443
6808
7157
7486
7794
8078
8340
8577
8790
8980
9147
9292
9418
9525
9616
9693
9756
9808
9850
9884
9911
9932
9949
9962
9972
9979
9985
9989
9992
9995
9996
9997
5319
5714
6103
6480
6844
7190
7517
7823
8106
8365
8599
8810
8997
9162
9306
9429
9535
9625
9699
9761
9812
9854
9887
9913
9934
9951
9963
9973
9980
9986
9990
9993
9995
9996
9997
5359
5753
6141
6517
6879
7224
7549
7852
8133
8389
8621
8830
9015
9177
9319
9441
9545
9633
9706
9767
9817
9857
9890
9916
9936
9952
9964
9974
9981
9986
9990
9993
9995
9997
9998
Für z ≥ 3, 90 gilt: Φ(z) = 1, 0000 (bei Rundung auf vier Dezimalstellen)
Es gilt: Φ(−z) = 1 − Φ(z)
c
Troy
Verlag, 2009
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Wahrscheinlichkeitstabellen
c
Troy
Verlag, 2009
www.mathematik-und-beruf.de
83
Standardnormalverteilung - Quantile zp
p
zp
p
zp
p
zp
0,0001
0,0005
0,0010
0,0050
0,0100
0,0200
0,0250
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0750
0,1000
0,1250
0,1500
0,1750
0,2000
0,2250
0,2500
-3,7190
-3,2905
-3,0902
-2,5758
-2,3263
-2,0537
-1,9600
-1,8808
-1,7507
-1,6449
-1,5548
-1,4395
-1,2816
-1,1503
-1,0364
-0,9346
-0,8416
-0,7554
-0,6745
0,2750
0,3000
0,3250
0,3500
0,3750
0,4000
0,4250
0,4500
0,4750
0,5000
0,5250
0,5500
0,5750
0,6000
0,6250
0,6500
0,6750
0,7000
0,7250
-0,5978
-0,5244
-0,4538
-0,3853
-0,3186
-0,2533
-0,1891
-0,1257
-0,0627
0,0000
0,0627
0,1257
0,1891
0,2533
0,3186
0,3853
0,4538
0,5244
0,5978
0,7500
0,7750
0,8000
0,8250
0,8500
0,8750
0,9000
0,9250
0,9400
0,9500
0,9600
0,9700
0,9750
0,9800
0,9900
0,9950
0,9990
0,9995
0,9999
0,6745
0,7554
0,8416
0,9346
1,0364
1,1503
1,2816
1,4395
1,5548
1,6449
1,7507
1,8808
1,9600
2,0537
2,3263
2,5758
3,0902
3,2905
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Laura Gienapp
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c
Troy
Verlag, 2009
DI D W E ASK H E LM ?
www.mathematik-und-beruf.de
Nordkanalstraße 28, 20097 Hamburg, Tel. 040/23 75-0
Stichwortverzeichnis
85
Stichwortverzeichnis
Abhängigkeit, lineare, 7
Ablehnungsbereich, 71
Ableitung(en)
Regeln, 28
Schreibweisen, 27
spezielle, 28
Abschätzbarkeit, 35
absolute Häufigkeit, 54, 58
Abstand
Gerade-parallele Ebene, 19
parallele Ebenen, 19
parallele Geraden, 19
Punkt-Ebene, 18
Punkt-Gerade, 19
von zwei Punkten, 18
windschiefe Geraden, 19
Addition von Matrizen, 48
Additionssatz, 59
Additivität, 58
Adjunkte, 50
Alternativgesetz, 10
Alternativhypothese, 71
Analysis, 21
Anfangsglied einer Folge, 21
arithmetische Folge, 22
arithmetisches Mittel, 54
Assoziativgesetz, 6
Asymptote
lineare, 32
nichtlineare, 32
vertikale, 30
Aussagenlogik, 74
c
Troy
Verlag, 2009
Basis eines Vektorraumes, 7
Bayes, Formel von, 60
bedingte Wahrscheinlichkeit, 59
Bernoulli
Experiment, 67
Kette, 67
Verteilung, 67
beschränktes Wachstum, 43
Beschränktheit, 21
Betrag eines Vektors, 9
bijektiv, 24
Bild einer Folge, 21
Binomialkoeffizient, 61
Binomialtest, 73
Binomialverteilung
Definition, 66
Tabellen, 77
binomischer Satz, 61
Bogenlänge, 41
charakteristische Gleichung, 42
Cramersche Regel, 52
Gauß-Test, 74
Gauß-Verfahren, 52
gebrochenrationale Funktion, 30
Gegenereignis, 58
Gegenhypothese, 71
Gegenvektor, 8
geometrische
Folge, 22
unendliche Reihe, 22
geometrisches Mittel, 55
Gerade
Hessesche Normalenform, 12
Normalenform, 11
Punktrichtungsgleichung, 11
Zweipunktegleichung, 11
Gleichverteilung, diskrete, 66
Glied einer Folge, 21
Grenzwert(e)
c
Troy
Verlag, 2009
Ebene
allgemeine Form, 13
Dreipunktegleichung, 12
Hessesche Normalenform, 13
Koordinatengleichung, 13
Normalenform, 13
Punktrichtungsgleichung, 12
Einheitsmatrix, 46
Einheitsvektor, 7
Einselement, 6
De Moivre-Laplace, 69
Definitionslücke
allgemein, 30
stetig behebbare, 30
Definitionsmenge, 24
Determinante
n-reihige, 51
Definition, 49
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arithmetische, 22
Definition, 21
geometrische, 22
Formel
Moivre’sche, 76
von Bayes, 60
Fußpunkt, 19
Funktion(en)
Definition, 24
Differenzierbarkeit, 27
gebrochenrationale, 30
monotone, 32
Stetigkeit, 26
symmetrische, 30
Umkehr-, 24
Verkettung, 24
Stichwortverzeichnis
dreireihige, 50
zweireihige, 50
Determinantenverfahren, 52
Diagonalmatrix, 46
Dichtefunktion, 64
Differenzenquotient, 27
Differenzialgleichung(en)
allgemein, 41
Anwendungen, 43
lineare, 41, 42
spezielle, 42
Differenzialquotient, 27
Differenzierbarkeit, 27
Differenzmenge, 58
Dimension eines Vektorraumes, 7
Disjunktion, 74
diskrete Zufallsvariable, 64
Distributivgesetz, 6, 9, 10
Divergenz einer Folge, 23
Dreieck (Flächeninhalt), 10
Dreiecksform, 52
Dreiecksmatrix, 46
Dreipunktegleichung, 12
Durchschnittsmenge, 58
Axiome von Kolmogorov, 58
Stichwortverzeichnis
86
87
einer Folge, 23
einer Funktion, 25
gegen unendlich, 25
linksseitiger, 25
rechtsseitiger, 25
spezielle, 23
Grenzwertsätze
für Funktionen, 26
für Zahlenfolgen, 23
Grenzwertsatz, Zentraler, 69
Grundgesamtheit, 54
Häufigkeit
absolute, 54, 58
relative, 54, 58
Häufigkeitstabelle, 54
Halbweite, 56
Harmonisches Mittel, 54
Hauptdiagonale, 46
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, 35
Hessesche Normalenform
einer Ebene, 13
einer Geraden, 12
Hochpunkt, 32
homogen
Differenzialgleichung, 41
Gleichungssystem, 51
Hypergeometrische Verteilung, 66
Hypothesentest
auf den Anteilswert, 73
auf den Erwartungswert, 74
Fehlerarten, 72
linksseitiger, 72, 73
rechtsseitiger, 73, 74
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c
Troy
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88
Elementarereignis, 57
Elemente einer Matrix, 44
Ereignis
-menge, 57
Definition, 57
elementares, 57
Gegen-, 58
sicheres, 57
Teil-, 58
unmögliches, 57
Ergebnis/Ergebnismenge, 57
Erwartungswert
einer Zufallsvariablen, 65
Konfidenzintervall, 70
Test, 74
erweiterte
Koeffizientenmatrix, 51
Matrix, 47
eulersche Zahl, 23
explizite Bildungsvorschrift, 22
Exponentialform, 75
Exponentielles Wachstum, 43
Extrema
globales, 32
lokales, 32
Faktorregel, 28, 35
Fakultät, 61
Falk’sches Schema, 49
Fehler 1. Art, 72
Fehler 2. Art, 72
Flächenberechnung, 39
Flächeninhalt (Parallelogramm),
10
Folge
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Stichwortverzeichnis
Vorgehen, 71
zweiseitiger, 72, 73
Kombinationen, 63
Kombinatorik, 61
Kommutativgesetz, 6, 9
Imaginärteil, 75
komplanar, 7
Implikation, 75
komplexe Zahlen, 75
inhomogen
Komponente einer Matrix, 44
Differenzialgleichung, 41
Komponentendarstellung, 8
Gleichungssystem, 51
Konfidenzintervall
injektiv, 24
Definition, 70
Integral(e)
für den Erwartungswert, 70
bestimmtes (Definition), 34
für eine Anzahl, 71
bestimmtes (Eigenschaften), konjugierte komplexe Zahl, 75
35
Konjunktion, 74
spezielle, 37
konkav, 33
unbestimmtes, 34
Konstantenvektor, 51
Integralfunktion, 34
Konvergenz einer Folge, 23
Integralrechnung, 34
konvex, 33
Integration
Koordinatendarstellung, 8
durch Substitution, 35
Koordinatengleichung
logarithmische, 35
einer Ebene, 13
partielle, 35
einer Geraden, 12
Integrationskonstante, 34
einer Kugel, 14
Interquartilsabstand, 56
Korrelationskoeffizient, 56
Intervalladditivität, 35
Kovarianz, 56
inverse Matrix, 47
Krümmungskreis, 33
inverses Element, 6
Krümmungsverhalten, 33
Irrtumswahrscheinlichkeit, 71
Kreuzprodukt, 10
kritischer Bereich, 71
kσ-Regeln, 68
Kugeln, 14
Keplersche Fassregel, 39
Kurvenuntersuchung, 30
Kettenregel, 28
Koeffizientendeterminante, 52
l’Hospital, 25
Koeffizientenmatrix, 51
Länge eines Vektors, 9
kollinear, 7
Lagebeziehung
Kolmogorov, 58
Ebene-Ebene, 16
c
Troy
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Stichwortverzeichnis
Ebene-Kugel, 17
Gerade-Ebene, 16
Gerade-Gerade, 15
Gerade-Kugel, 16
Kugel-Kugel, 17
Punkt-Ebene, 15
Punkt-Gerade, 15
Laplace
-Experiment, 59
Näherungsformel, 69
Laplacescher Entwicklungssatz, 51
lineare
Differenzialgleichungen, 41
Substitution, 35
Unabhängigkeit, 7
Lineare Algebra, 43
lineares
Gleichungssystem, 51
Wachstum, 43
Linearkombination, 7
Linkskurve, 33
linksseitiger Test, 72, 73
logarithmische Integration, 35
logistisches Wachstum, 43
Matrix
Definition, 44
erweiterte, 47
inverse, 47
Multiplikation mit Zahl, 48
quadratische, 46
Rang, 44
schiefsymmetrische, 46
symmetrische, 46
transponierte, 46
c
Troy
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Matrizen
Multiplikation, 48
Subtraktion/Addition, 48
Maximum
globales, 32
lokales, 32
Median, 55
mehrstufiges Zufallsexperiment, 60
Menge
Differenz-, 58
Durschnitts-, 58
Vereinigungs-, 58
Minimum
globales, 32
lokales, 32
Mittel
arithmetisches, 54
der absoluten Abweichungen,
56
geometrisches, 55
harmonisches, 54
Mittelwertsatz
der Differenzialrechnung, 29
der Integralrechnung, 38
mittlere absolute Abweichung, 56
Modalwert, 55
Modus, 55
Moivre’sche Formel, 76
Moivre-Laplace, 69
Monotonie
bei einer Folge, 22
bei einer Funktion, 32
beim bestimmten Integral, 35
Multiplikation
Matrix mit reller Zahl, 48
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Stichwortverzeichnis
von Sarrus, 50
Regressionsgerade, 57
Regula falsi, 29
Reihe
Definition, 21
unendliche, 21
unendliche geometrische, 22
rekursive Bildungsvorschrift, 22
relative Häufigkeit, 54, 58
Repräsentant eines Vektors, 7
Richtungsvektor, 11, 12
Rotationskörper, 40
Sarrus, 50
Sattelpunkt, 33
Satz
binomischer, 61
von Taylor, 29
schiefsymmetrische Matrix, 46
Schnitt zweier Kurven, 34
Schnittkreis, 17
Schnittpunkt
von Gerade und Ebene, 16
von Gerade und Kugel, 16
von zwei Geraden, 15
von zwei Kugeln, 17
Schnittwinkel
zweier Funktionen, 34
zwischen Gerade/Ebene, 18
zwischen Vektoren, 17
zwischen zwei Ebenen, 18
zwischen zwei Geraden, 18
Schranke, 21
Sekantenformel, 38
Sekantenverfahren, 29
c
Troy
Verlag, 2009
89
91
sicheres Ereignis, 57
Signifikanzniveau, 71
Simpsonsche Regel, 39
Skalarprodukt, 9
Spaltenvektor, 44
Spannvektoren, 12
Spannweite, 56
Spatprodukt, 10
Stützvektor, 11, 12
Staffelform, 52
Stammfunktion(en)
Definition, 34
spezielle, 37
Standardabweichung
einer Zufallsvariablen, 65
empirische, 55
Standardisierung, 68
Standardnormalverteilung
Definition, 68
Tabelle, 82
stetige Zufallsvariable, 64
Stetigkeit, 26
Stichprobe, 54
Stochastik, 53
Substitution, lineare, 35
Substitutionsregel, 35
Subtraktion von Matrizen, 48
Summenregel, 28, 35, 60
surjektiv, 24
Symmetrie
bei Funktionen, 30
Standardnormalverteilung, 68
symmetrische Matrix, 46
Systemmatrix, 51
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90
Stichwortverzeichnis
zwei Matrizen, 48
Multiplikationssatz, 59
Ortsvektor, 8
Näherungsformel
von Moivre-Laplace, 69
von Poisson, 69
Näherungslösungen, 29
Nebendiagonale, 46
Negation, 74
Newton’sches Näherungsverfahren,
29
Nicht-Negativität, 58
Normale, 33
Normaleneinheitsvektor, 12, 13
Normalenform
einer Ebene, 13
einer Geraden, 11
Normalenvektor
einer Ebene, 13
einer Geraden, 11
Normalform, 75
Normalverteilung, 67
Normierung, 58
Nullelement, 6
Nullfolge, 23
Nullhypothese, 71
Nullmatrix, 47
Nullstellen
Definition, 32
Näherungslösungen, 29
Nullstellensatz, 26
Nullvektor, 7
Obersumme, 38
orthogonal, 34
c
Troy
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92
Quadratische Matrix, 46
Quantile der Standardnormalverteilung, 83
Quotientenregel, 28
Rang einer Matrix, 44
Realteil, 75
Rechtskurve, 33
rechtsseitiger Test, 73, 74
Rechtssystem, 10
Regel
von l’Hospital, 25
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Stichwortverzeichnis
Tabellen
Binomialverteilung, 77
Standardnormalverteilung, 82
Tangente, 33
Tangentialebene, 14
Taylor, Satz von, 29
Teilereignis, 58
Test (siehe Hypothesentest), 71
Tiefpunkt, 32
Totale Wahrscheinlichkeit, 60
transponierte Matrix, 46
Trapezverfahren, 38
Tschebyschewsche Ungleichung, 65
Umkehrfunktion
Ableitung, 28
Definition, 24
Unabhängigkeit
lineare, 7
von zwei Ereignissen, 60
unendliche
geometrische Reihe, 22
Reihe, 21
unmögliches Ereignis, 57
Unterdeterminante, 50
Untermatrix, 47
Untersumme, 38
Urliste, 54
Urnenmodell, 66, 67
Varianz
einer Zufallsvariablen, 65
empirische, 55
Variationen, 63
Vektor
c
Troy
Verlag, 2009
Parabelformel, 39
parallel
Ebene-Ebene, 16
Gerade-Ebene, 16
Parallelogramm, 10
parellel, 15
Partialsumme(n)
Definition, 21
spezielle, 22
partielle Integration, 35
Pascalsches Dreieck, 61
Permutationen, 63
Pfadregel, 60
Poisson, Näherungsformel, 69
Polarform, 75
Polstelle, 30
Produktregel, 28, 60
Punktprobe, 15, 16
Punktrichtungsgleichung
einer Ebene, 12
einer Geraden, 11
Addition/Subtraktion, 9
Definition, 7
Komponentendarstellung, 8
Koordinatendarstellung, 8
Länge (Betrag), 9
Multiplika. mit reeller Zahl, 9
zwischen zwei Punkten, 8
Vektorprodukt, 10
Vektorraum, 6
Vereinigunsgmenge, 58
verkettbar, 48
Verkettung, 24
Verteilung
Bernoulli-, 67
Binomial-, 66
diskrete Gleichverteilung, 66
hypergeometrische, 66
Normal-, 67
Standardnormal-, 68
Verteilungsfunktion, 64
Verwerfungsbereich, 71
Volumen eines Spates, 10
Vorzeichenwechsel, 30
Wachstum
beschränktes, 43
exponentielles, 43
lineares, 43
logistisches, 43
Wahrheitswertetafel, 75
Wahrscheinlichkeit
bedingte, 59
totale, 60
Wahrscheinlichkeitsfunktion,
64
58,
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Stichwortverzeichnis
Wahrscheinlichkeitstabellen, 77
Wahrscheinlichkeitsverteilung, 64
Wendepunkt, 33
Wertemenge, 24
windschief, 15
Winkel (siehe Schnittwinkel), 17
Zählerdeterminante, 52
Zahlenfolge, 21
Zeilenvektor, 44
Zentraler Grenzwertsatz, 69
Zentralwert, 55
Zielmenge, 24
Zufallsexperiment
c
Troy
Verlag, 2009
93
Definition, 57
mehrstufiges, 60
Zufallsgröße, 64
Zufallsvariable
Definition, 64
diskrete, 64
Erwartungswert, 65
Standardabweichung, 65
stetige, 64
Varianz, 65
Zweipunktegleichung, 11
zweiseitiger Test, 72, 73
Zwischenwertsatz, 26
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