Ungerichtete Bäume Gewurzelte ungerichtete Bäume (1)

Ungerichtete Bäume
Gewurzelte ungerichtete Bäume (1)
Definition
Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier, ungerichteter
Graph G = (V, E).
Satz
Für einen ungerichteten Graphen G = (V, E) sind folgende
Aussagen äquivalent:
Induktive Definition
• Für jeden Knoten v ist der ungerichtete Graph G = ({v}, { })
ein ungerichteter Baum mit Wurzel v.
• Für ein k ∈ N seinen G1 = (V1, E1), ..., Gk = (Vk , Ek )
ungerichtete Bäume mit Wurzeln v1, ..., vk und paarweise
disjunkten Knotenmengen V1, ..., Vk und sei v ∈ V1 ∪ ... ∪ Vk .
Dann ist
• G ist eine Baum.
• G ist zusammenhängend und für jede Kante e ∈ E ist der
Teilgraph G = (V, E \ {e}) nicht zusammenhängend.
G = ({v} ∪ V1 ∪ ... ∪ Vk , {{v, vi}|1 ≤ i ≤ k} ∪ E1 ∪ ... ∪ Ek )
• G ist kreisfrei und für zwei Knoten v, w ∈ V mit {v, w} ∈ E ist
der
ein ungerichteter Baum mit Wurzel v.
• Nur so gebildete Graphen sind ungerichtete Bäume.
Graph G = (V, E ∪ {{v, w}}) nicht kreisfrei.
Schränkt man in der Definition die Wahl für k weiter ein, so erhält
man spezielle Bäume:
• Zwischen je zwei Knoten aus V gibt es genau einen Weg.
Korollar
Für einen ungerichteten Baum G = (V, E) mit |V | ≥ 1 gilt:
• Für k ≤ 2 erhält man die Menge der binären ungerichteten
Bäume.
• |V | = |E| + 1
• Für k ≤ 3 erhält man die Menge der ternären ungerichteten
Bäume.
• G hat mindestens einen Knoten v ∈ V mit Grad (v) < 2.
• Für festes k ∈ N erhält man die Menge der k-ären
ungerichteten Bäume.
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1 (14)
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2 (14)
Beispiele für ungerichtete Bäume
Wurzel
innere Knoten
Gewurzelte ungerichtete Bäume (2)













Beobachtung
Für einen ungerichteten Baum G = (V, E) kann man jeden Knoten
w ∈ V als Wurzel von G festlegen.












Definition
In einem ungerichteten Baum G = (V, E) mit Wurzel w heißen für
einen Knoten v ∈ V alle die Knoten v ∈ V Nachfolger von v, für
die v im kürzesten Weg von w nach v enthalten ist. Knoten ohne
Nachfolger heißen Blätter, Knoten mit Nachfolgern heißen innere
Knoten. Die Nachfolger v von v mit {v, v } ∈ E heißen unmittelbare
oder direkte Nachfolger von v.
Blätter
Mit einer anderen Wurzel
ergibt sich der folgende
Baum:
Definition
Für einen ungerichteten Baum G = (V, E) mit Wurzel w ∈ V und
einen Knoten v ∈ V heißt die Länge eines kürzesten Weges von w
nach v die Tiefe von v in G. Die Tiefe des Baumes G mit Wurzel w
ist die maximale Tiefe eines Knotens in G.
Die Tiefe eines Baumes richtet sich also danach, welcher Knoten
im Baum als Wurzel festgelegt worden ist. Die Tiefe ist die
maximale Länge eines kürzesten Weges von der Wurzel zu einem
Knoten.
Definition
Ein n-ärer ungerichteter Baum G = (V, E) mit Wurzel w ∈ V heißt
vollständiger n-ärer Baum genau dann, wenn jeder innere Knoten
genau n unmittelbare Nachfolger besitzt und alle Blätter die gleiche
Tiefe haben.
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Gerichtete Bäume
Beispiele für gerichtete Bäume
Definition
Ein gerichteter Baum mit Wurzel w ist ein gerichteter Graph
G = (V, E) mit w ∈ V , so dass |G| ein Baum ist und so dass von w
zu jedem Knoten v ∈ V genau ein Weg existiert.
Wurzel
innere Knoten
Ein gerichteter Baum ist also ebenso zusammenhängend und
zyklenfrei und besitzt genau |V | − 1 Kanten, analog zum
ungerichteten Baum.

























Blätter
Für einen ungerichteten Baum G = (V, E) gibt es also für jeden
Knoten w ∈ V genau eine Orientierung von G, die ein gerichteter
Baum mit Wurzel w ist.
Mit einer anderen Wurzel
ergibt sich der folgende
Baum:
Für einen gerichteten Baum gilt:
• Es existiert genau ein Knoten mit Eingangsgrad 0, nämlich die
Wurzel.
• Jeder Knoten außer der Wurzel hat den Eingangsgrad 1.
• Blätter sind genau die Knoten mit Ausgangsgrad 0.
Definition
Für einen gerichteten Baum G = (V, E) mit Wurzel w ∈ V und
einen Knoten v ∈ V heißt die Länge eines kürzesten Weges von w
nach v die Tiefe von v in G. Die Tiefe des Baumes G mit Wurzel w
ist die maximale Tiefe eines Knotens in G.
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Induktive Definition für binäre gerichtete Bäume (1)
Induktive Definition für binäre gerichtete Bäume (2)
Vollständige binäre gerichtete Bäume
Binäre gerichtete Bäume
Induktive Definition
Induktive Definition
• Für jeden Knoten v ist der Graph G = ({v}, { }) ein
vollständiger binärer gerichteter Baum mit Wurzel v der Tiefe 0.
• Für jeden Knoten v ist der Graph G = ({v}, { }) ein binärer
gerichteter Baum mit Wurzel v der Tiefe 0.
• Seien G1 = (V1, E1), G2 = (V2, E2) vollständige binäre gerichtete
Bäume der Tiefe n mit Wurzeln v1, v2 und disjunkten
Knotenmengen V1, V2 und sei v ∈ V1 ∪ V2. Dann ist
• Seien G1 = (V1, E1), G2 = (V2, E2) binäre gerichtete Bäume der
Tiefe n1, n2 ≤ n, sowie n1 = n oder n2 = n, mit Wurzeln v1, v2
und disjunkten Knotenmengen V1, V2 und sei v ∈ V1 ∪ V2. Dann
ist
G = ({v} ∪ V1 ∪ V2, {v, v1), (v, v2)} ∪ E1 ∪ E2)
G = ({v} ∪ V1 ∪ V2, {v, v1), (v, v2)} ∪ E1 ∪ E2)
ein vollständiger binärer gerichteter Baum mit Wurzel v der
Tiefe n + 1.
ein binärer gerichteter Baum mit Wurzel v der Tiefe n + 1.
• Nur so gebildete Graphen sind vollständige binäre gerichtete
Bäume.
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• Nur so gebildete Graphen sind binäre gerichtete Bäume.
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8 (14)
Induktive Definition für binäre gerichtete Bäume (3)
Induktive Definition für binäre gerichtete Bäume (4)
Allgemeine binäre gerichtete Bäume
Allgemeine binäre gerichtete Bäume
Induktive Definition
Induktive Definition
• Für jeden Knoten v ist der Graph G = ({v}, { }) ein allgemeiner
binärer gerichteter Baum mit Wurzel v der Tiefe 0.
• Für jeden Knoten v ist der Graph G = ({v}, { }) ein allgemeiner
binärer gerichteter Baum mit Wurzel v.
• Seien G1 = (V1, E1), G2 = (V2, E2) allgemeine binäre gerichtete
Bäume der Tiefe n1, n2 ≤ n, sowie n1 = n oder n2 = n, mit
Wurzeln v1, v2 und disjunkten Knotenmengen V1, V2 und sei
v ∈ V1 ∪ V2. Dann sind
• Sei G = (V, E) ein allgemeiner binärer gerichteter Baum mit
Wurzeln v und b ∈ V ein Blatt von G. Es seien v1, v2 ∈ V mit
v1 = v2, also zwei neue Knoten. Dann sind
G1 = ({v1} ∪ V, {b, v1)} ∪ E)
G = ({v} ∪ V1 ∪ V2, {v, v1), (v, v2)} ∪ E1 ∪ E2)
G2 = ({v1, v2} ∪ V, {b, v1), (b, v2)} ∪ E)
G = ({v} ∪ V1, {v, v1)} ∪ E1)
allgemeine binäre gerichtete Bäume mit Wurzel v.
allgemeine binäre gerichtete Baum mit Wurzel v und Tiefe n + 1
bzw. n1 + 1.
• Nur so gebildete Graphen sind allgemeine binäre gerichtete
Bäume.
• Nur so gebildete Graphen sind allgemeine binäre gerichtete
Bäume.
Für binäre gerichtete Bäume ist nur die Bildung von G1 nicht
zulässig, ansonsten kann die Definition analog formuliert werden.
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9 (14)
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Induktive Beweise mit ungerichteten k-ären Bäume
Satz
Ein vollständiger k-ärer Baum G = (V, E) mit Wurzel w ∈ V und
n−1 i
k
Tiefe n, k, n ∈ N, k > 0 hat genau k n Blätter und genau i=0
innere Knoten.
Satz
Für einen gerichteten k-ären Baum G = (V, E) mit mb(G) Blättern
und mi(G) inneren Knoten gilt mi(G) < mb (G).
Beweis
Beweise über Knotenanzahlen k-ärer Bäume werden durch
Induktion über die Tiefe n der Bäume und ihren Aufbau geführt.
n=0
Der einzige k-äre Baum der Tiefe 0 ist der Baum der nur aus
einem Wurzelknoten besteht. Dieser Baum ist auch vollständig.
i
Er hat genau k 0 = 1 Blätter und 0−1
i=0 k = 0 innere Knoten.
n≥0
Jeder vollständige k-äre Baum G = (V, E) mit Wurzel w ∈ V
n−1 i
k innere
und Tiefe n hat genau k n Blätter und genau i=0
Knoten.
n → n + 1
Sei G = (V, E) ein vollständiger k-ärer Baum mit Wurzel w ∈ V
und Tiefe n + 1. Also hat w genau k unmittelbare Nachfolger
v1 , . . . , v k ∈ V .
Der Graph (V \ {w}, E \ {{w, v1}, . . . , {w, vk }}) besteht dann
aus genau k Zusammenhangskomponenten, die jeweils
vollständige k-äre Bäume mit Wurzeln v1, . . . , vk sind. Diese
Zusammenhangskomponenten haben also jeweils genau k n
n−1 i
Blätter und i=0
k innere Knoten.
Insgesamt ergibt sich damit für G = (V, E)
• k · k n = k n+1 als Gesamtzahl der Blätter und
n−1 i
n−1 i+1
(n+1)−1 i (n+1)−1 i
• 1 + k · i=0
k 1 + i=0
k = 1 + i=1
k = i=0
k
als Gesamtzahl der inneren Knoten.
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Beweis
Beweise über Knotenanzahlen k-ärer Bäume können auch durch
Induktion über ihren Aufbau gemäß Definition (4) auf Folie 10
geführt werden.
Es gibt keine Bäume mit 0 Knoten.
n=1
Der einzige gerichtete k-äre Baum mit 1 Knoten ist der Baum
der nur aus einem Wurzelknoten besteht. Dieser Baum hat
genau 1 Blatt und 0 innere Knoten. Also gilt die Behauptung.
n≥1
Für jeden gerichteten k-ären Baum G = (V, E) mit n Knoten,
mb (G) Blättern und mi(G) inneren Knoten gilt mi (G) < mb (G).
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Induktive Beweise mit gerichteten k-ären Bäume
11 (14)
n → n + 1
Sei G = (V, E) ein gerichteter k-ärer Baum mit n Knoten und b
ein Blattknoten von G, sowie v1, ..., vk ∈ V seien k paarweise
verschiedene neue Knoten.
Dann gelten für
Gk = ({v1, ..., vk } ∪ V, {b, v1), ..., (b, vk )} ∪ E)
die folgenden Beziehungen
mb(Gk ) = mb (G) − 1 + k mi (Gk ) = mi (G) + 1
Also folgt mit mi(G) < mb (G) auch sofort mi (Gk ) < mb (Gk ).
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12 (14)
Induktive Beweise mit gerichteten k-ären Bäume
Satz
Für einen allgemeinen gerichteten k-ären Baum G = (V, E) mit
mb(G) Blättern und mi(G) inneren Knoten und mindestens 2
unmittelbaren Nachfolgern für jeden inneren Knoten gilt
mi(G) < mb (G).
Aufgabe 68:
Es sei B die Menge der binären Bäume mit der Eigenschaft, dass
jedes Blatt entweder 0 oder 2 Söhne hat. Finden und beweisen Sie
einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Blätter und der
Anzahl aller Knoten eines Baumes aus B.
Beachten Sie:
Beweis
n=1
Der einzige allgemeine gerichtete k-äre Baum mit 1 Knoten ist
der Baum der nur aus einem Wurzelknoten besteht. Dieser
Baum hat genau 1 Blatt und 0 innere Knoten. Also gilt die
Behauptung.
n≥1
Für jeden allgemeinen gerichteten k-ären Baum G = (V, E) mit
n Knoten, mb (G) Blättern und mi(G) inneren Knoten und
mindestens 2 unmittelbaren Nachfolgern für jeden inneren
Knoten gilt mi(G) < mb (G).
• Fassen Sie die binären Bäume entweder als gerichtete binäre
Bäume auf oder nehmen Sie eine festgelegte Wurzel für jeden
ungerichteten Baum an.
• Verwenden Sie eine geeignete induktive Definition für die
betrachteten Bäume und stellen Sie sicher, dass diese
Definition im Beweis erkennbar ist.
n → n + 1
Sei G = (V, E) ein allgemeinen gerichteter k-ärer Baum mit n
Knoten, und mindestens 2 unmittelbaren Nachfolgern für jeden
inneren Knoten und sei b ein Blattknoten von G, sowie
v1, ..., vi ∈ V mit 2 ≤ i ≤ k seien i paarweise verschiedene neue
Knoten.
Dann gelten für
Gi = ({v1, ..., vi} ∪ V, {b, v1), ..., (b, vi)} ∪ E)
die folgenden Beziehungen
mb(Gi) = mb(G) − 1 + i mi (Gi) = mi(G) + 1
Also folgt mit mi(G) < mb (G) und 2 ≤ i ≤ k auch sofort
mi(Gk ) < mb(Gk ).
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