Potenzen der Pascalmatrix und eine Identität der - E

Potenzen der Pascalmatrix und eine Identität
der Kombinatorik
Autor(en):
Brawer, R.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 45 (1990)
Heft 4
PDF erstellt am:
20.10.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-42417
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El Math Vol 45, 1990
107
Potenzen der Pascalmatrix und eine Identität
der Kombinatorik
Einleitung
In dieser Note beschäftigen wir uns mit Matrizen, deren Elemente Bmomialkoeffizienten
oder Verallgemeinerungen davon sind. Die Rekursionsformeln zwischen diesen werden
mit Hilfe des Matrixproduktes dargestellt. Umgekehrt erhalten wir aus der Matrixdar¬
stellung kombinatorische Identitäten.
Die Elemente einer (n + 1) x (n +1) Pascalmatrix P sind durch P(j, k): 1, für
k oder
k 0und; 0,...,n;P0',k):=0für k>j; P(j,k):=
1,/c) +
für
1,..., n, k 1,..., n, gegeben. Die Zahlen P(j, k) sind nichts anderes als die wohlbe¬
kannten Bmomialkoeffizienten [1], [3]. Wir wissen, dass die Summe der n-ten Zeile die
Anzahl verschiedener Teilmengen einer n-elementigen Menge angibt:
P(j-
j
ZP(n,k)
fc
j
P(j-l,k-l)9
2n.
0
Die Aufgabe, die Anzahl Hy (n, k) der fe-dimensionalen Randzellen eines Hyperwürfels in
einem n-dimensionalen Euklidischen Raum zu bestimmen, führt auf die folgende Rekur¬
sionsformel [2] und auf die Hyperwürfelmatrix Hy: Hy(k,k):= 1, Hy(k,0):=2k9 für
k 0,...,n; Hy(j,k):=0 für k>j; Hy (j,k): 2 Hy(j- l,k) + Hy(j- l,k
1), für
5
k
die
die
und
erhalten
Matrizen
wir
Für
n.
n
folgenden
entspre¬
1,..., n,
1,...,
chenden Zeilensummen:
-
j
'
p
k
1
0
0
0
1
1
0
1
2
1
0
0
1
3
3
1
1
4
6
1
4
5 10 10
10
Hy=\
2
1
0
0
4
4
1
0
0
8 12
6
1
0
0
0
°\
2°
°\
0
21
0
23
1
0
2*
5
1/
25
0
0
0
°\
3°
32
0
0
0
0
0
16 32 24 8 1
32 80 80 40 10
°\
°/
1/
22
31
33
34
35
Der Hyperwürfel im R5 besitzt 32 Ecken, 80 Kanten, ebensoviel 2-dimensionale Seiten,
40 3-dimensionale Würfel und 10 4-dimensionale Hyperwürfel. Die Hyperwürfelmatrix
und die Pascalmatrix sind durch die Gleichung Hy P2 miteinander verknüpft. Für die
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inversen Matrizen und deren Zeilensummen erhalten wir:
f
A
p-1 =i
0
0
1
-2
3
-
-4
-
5
f
1
0
-2
1
4
Hy-l
-8
\
-4
12
16
-32
-32
80
0
0
0
0
1
0
0
-3
1
0
6
-4
1
10
10
0
°\
°\
0
0
0
°/
-5 1/
0
0
0
0
1
0
-6
1
0
0
-8
-80
0
0
0
0
0
24
1
0
°\
1
1
°\
0
-1
0
-1
0
1
1
-1
1/
40 --10
in der n-ten Zeile der Pascalmatrix die Koeffizienten der Entwicklung von (1 + x)n
stehen, so stehen in den n-ten Zeilen der Hyperwürfelmatrix die Koeffizienten von
(2 + x)".[6],[7].
So wie
Wir definieren die
(n
+
1)
x (n -f
B^p)(k90):
B(n,p)(k9k):~l9
BintP)(j9k):
pBintP)(j
B{ntP)(j9k):
09
für
Offensichtlich gilt B{nX)
£(n+i,p)Ü\*)
1)
Matrizen Binp)9 peR9 wie folgt:
f9 für
k
0,
...,n,
- 1,/c) + B{ntP)(j - 1,/c - 1),
(1)
für
;
1,..
k<k<n.
P,_5(II
2>
(2)
#y und
für ;
BintP}(j,k),
0,..., n,
/c
0,..., n.
(3)
Die Zahlen Binp) (j, k) sind verallgemeinerte Pascalzahlen, die neben den Randbedingungen
(1) für festes p und n durch die Rekursionsformel B (j, k): p B (j — 1, k) + B (j — 1, k — 1)
bestimmt sind. Andere Erweiterungen finden sich in [4], [5] und [8].
Theorem 1:
n
£
k-0
B(„tP)(n9k)xk
(p + xf9
neN9 p9xeR.
Beweis. Die Behauptung ist sicher wahr für n
ten wir:
n+l
£
fc«0
Bin+Up)(n
+ l,k)xk=
0.
Mittels vollständiger Induktion erhal¬
£
{pß(.+ 1,p)(/i,fc) + ß(II+ltP)(n,fc-l)}x*
Z
pB{ntP)(n9k)xk+
* 0
k=0
I
B{ntP)(n9k)xk
fc=0
=P{p+xY+(p+xr=(p+xf+i.
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Setzen
wir x
Korollar
i
109
1, so
erhalten wir
1.
B(niP)(n,k)
(p +
\f, neN,peR.
Theorem 2:
*8u), fürpeZ\{0}.
B(*p)
Beweis. Die Aussage ist wahr für p
\,neN,
und für alle
peZ\{0}, n 0. Der Induk¬
tionsschritt von {n,p)eNxZ\{0} auf (n+l,p +1)bNxN, beziehungsweise auf
(n + l,p
l)eNxN~, erfolgt durch:
-
Lcrß(.1)+„T
ij
r </+1,
oi
Lcrß(,1)+„r
ij-
Nun zeigen wir, dass die (n + 2)-te Zeile des Produktes wie die Rekursionsformel für die
(n + 2)-te Zeile von Bin+Xp) aufgebaut ist. Wir benützen die Gleichungen (2) und (3).
(Bin + i,p)Bin+UX))(j,k)=
"Z Bin+Up)(j,f)B{n+UX)(f,k)
ioPB{n+x,p)u-ij)(fy
pBin,p+X)(j-Uk)+
£ B(n+Up)(j-l,f-l)(f~X
f=i
+|iB(B+1.P)o--i,/-i)(f:11)
pB(„,p+i)U- Uk) + ß(n.P+i,(;-1,*) + »(..,+d(/-1,* -1)
(p + l)B(.-+1)ü-U) + ß(„>P+1)0'-U-l)-
¦
Die beiden Theoreme ergeben eine Identität der Kombinatorik.
Korollar 2.
i
i...
ki 0k2
0
fürpeZ\{0}.
T
k|P|-i
*_¦*<#*¦»(;)(£')•¦
\"<l/\Kl/ ¦('l"iCr)-"+m
\K\p\-lJ\
/
0 H,p,=0
K\p\
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110
Für p
2 erhalten
fci=o
wir:
k2=o\kxJ\k2J
und für p
— 2:
\kiJ\k2J
*i=o*2=o
M. Jeger wies mich darauf hin, dass das Korollar 2 auch aus dem polynomischen Satz
¦¦(::>
«•¦-•¦^--.^xrrr"»-'--»*-*
hergeleitet werden kann [4]. Setzen wir hier k
1 und
1, so folgt
xx
X|p| + 1
=X|P|
p
-
i
(P+irn
1
und xx
xp+x
(H)(H-0\..(n-v>-----v"-\-ir+
.-„--.,,,.,/ „ W B_pi \
,-j,
»,=0«i
+
v,-|=0
0
\n ~ "l/
(n-v1-...-vlri.l\
\ " — »_ — --- — »|»| /
fc1=ofc2=o
klpl
o\kxJ\k2J
R. Brawer, Seminar
1, resp.
?•-.
\" ~ Vl ~ V2/
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\
/c,p|
/
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