Repetitorium zur Vorlesung ” Grundlagen der Mathematik II“
Werbung
MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
SS 2017
Repetitorium
25.07.2017
Repetitorium zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik II“
”
1. a) Man erläutere, unter welchen Bedingungen eine Relation R zwischen zwei
nichtleeren Mengen M und N Graph einer Abbildung f : M → N ist.
b) Für eine Relation R ⊆ M × M auf einer nichtleeren Menge M definiere man
die Begriffe Symmetrie“ und Antisymmetrie“. Ferner untersuche man die
”
”
beiden Relationen
R1 = {(x, y) ∈ R × R | x − y ∈ N0 }
und
R2 = {(x, y) ∈ R × R | x − y ∈ Z}
jeweils auf Symmetrie und Antisymmetrie.
c) Für eine Relation R ⊆ M × M auf einer nichtleeren Menge M definiere man
den Begriff Transitivität“ mit Hilfe einer geeigneten Implikation und bilde
”
auch deren Negation. Ferner untersuche man die beiden Relationen
R1 = {(x, y) ∈ Z × Z | |x − y| ≥ max (|x|, |y|)}
R2 = (x, y) ∈ R × R | |x| = |y| ∨ (x2 − 16) · (y 2 − 16) > 0
auf Transitivität.
2. a) Man zeige, daß
R1 = {(x, y) ∈ N × N | ∃a ∈ Z : x − y = 2 a}
eine Äquivalenzrelation auf N ist, und bestimme die Äquivalenzklassen.
b) Man zeige, daß
R2 = {(x, y) ∈ N × N | ∃n ∈ N : xn = y}
eine Ordnung auf N ist, und entscheide, ob eine totale Ordnung vorliegt.
3. a) Für einen angeordneten Körper (K, +, ·, <) und eine nichtleere Teilmenge
M ⊆ K von K definiere man die Begriffe Supremum“ und Infimum“ sowie
”
”
Maximum“ und Minimum“ von M .
”
”
b) Man zeige, daß die Menge
(−1)n
n+1
|n∈N
M = (−1)
+
3n
eine beschränkte Teilmenge von R ist, und bestimme das Infimum und das
Supremum von M . Handelt es sich hierbei sogar um ein Minimum bzw. ein
Maximum von M ?
4. In einer Urne befinden sich zehn Kugeln, wovon sieben Kugeln schwarz und drei
Kugeln weiß sind.
a) Man gebe für die drei Ereignisse
• A = Beim Ziehen von fünf Kugeln ohne Zurücklegen werden minde”
stens zwei schwarze und mindestens zwei weiße Kugeln gezogen.“
• B = Beim Ziehen von fünf Kugeln mit Zurücklegen werden mindestens
”
drei schwarze Kugeln gezogen.“
• C = Beim Ziehen von fünf Kugeln mit Zurücklegen wird beim vierten
”
Zug zum ersten Mal eine schwarze Kugel gezogen.“
jeweils die Wahrscheinlichkeit (mit Binomialkoeffizienten und Potenzen) an.
b) Man betrachte für die gegebene Urne das folgende zweistufige Experiment.
Es wird zufällig eine Kugel gezogen und ihre Farbe notiert; es bezeichne
S1 = Die erste gezogene Kugel ist schwarz.“
”
In die Urne werden nun zu den verbliebenen neun Kugeln weitere drei weiße
Kugeln gelegt, wenn die erste Kugel schwarz ist, sowie weitere k weiße Kugeln gelegt, wenn die erste Kugel weiß ist. Anschließend wird zufällig eine
zweite Kugel gezogen und ihre Farbe notiert; es bezeichne
S2 = Die zweite gezogene Kugel ist schwarz.“
”
• Man erstelle für das zweistufige Experiment ein Baumdiagramm,
• berechne (in Abhängigkeit von k) die Wahrscheinlichkeit für S2 ,
• und bestimme dasjenige k ∈ N, für das die Ereignisse S1 und S2 stochastisch unabhängig sind.
5. a) Eine Meinungsumfrage zur Akzeptanz eines neuen Produktes ergibt, daß
3
der Befragten dieses Produkt kaufen würden; dabei sprechen
insgesamt 10
1
sich 3 der befragten Frauen und 14 der befragten Männer für den Kauf aus.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß eine befragte Person, die das
Produkt nicht kaufen würde, eine Frau ist.
b) Die drei Freunde R, S und T haben bei einem Schießstand auf der Wiesn
eine Trefferwahrscheinlichkeit von 34 , 12 und 15 . Sie schießen nun gleichzeitig
und unabhängig auf ihre Scheibe, wobei sie insgesamt zwei Treffer erzielen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt einer dieser Treffer von T?
c) Beim zufälligen Drehen eines Glücksrads erscheinen die Ziffern 0 bis 9 jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit; es wird nun sechsmal unabhängig
voneinander gedreht. Man gebe für die drei Ereignisse
• A = “Die ersten vier Ziffern sind gerade.“
• B = Die Ziffer 6 tritt mindestens fünfmal auf.“
”
• C = Es erscheinen drei, nicht aber vier gerade Ziffern hintereinander.“
”
jeweils die Wahrscheinlichkeit als Brüche an.
6. In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, von denen n Kugeln schwarz und die übrigen Kugeln weiß sind; es werden ohne Zurücklegen zwei Kugeln gezogen. Es werde
das Ereignis A: Die beiden gezogenen Kugeln sind gleichfarbig.“ betrachtet.
”
a) Man stelle die obige Situation in einem Baumdiagramm dar.
b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A.
c) Für welches n ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A gleich 50 %?
d) Für welches n ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A minimal?
7. a) Man definiere für zwei Punktmengen M und M0 der Anschauungsebene den
Begriff M und M0 sind kongruent“.
”
b) Man betrachte die Menge D aller Dreiecke ∆ der Anschauungsebene. Man
zeige, daß die Relation
R = {(∆1 , ∆2 ) ∈ D × D | ∆1 ist kongruent zu ∆2 }
eine Äquivalenzrelation auf der Menge D ist.
c) Man gebe drei verschiedene Kriterien für die Kongruenz zweier Dreiecke an.
8. Man betrachte ein rechtwinkliges Dreieck ∆ABC mit dem rechten Winkel bei C;
ferner bezeichne H den Höhenfußpunkt von C auf der Hypotenuse [AB].
a) Man zeige, daß das Dreieck ∆ABC zu den beiden Teildreiecken ∆BCH
und ∆CAH ähnlich ist, leite daraus den Kathetensatz und den Höhensatz
ab und folgere schließlich den Satz des Pythagoras.
b) Das Dreieck ∆ABC besitze nun einen Umfang von 60 LE und einen Flächeninhalt von 150 FE. Man zeige, daß dann
• die Hypotenuse 25 LE und die Höhe 12 LE messen,
• die Länge der beiden Hypotenusenabschnitte 9 LE und 16 LE beträgt,
• die beiden Katheten von der Länge 15 LE und 20 LE sind.
9. Man betrachte ein beliebiges Dreieck ∆ABC mit den üblichen Bezeichnungen
a, b, c für die Seitenlängen sowie α, β, γ für die Innenwinkel; ferner bezeichne
zum einen F den Flächeninhalt und u den Umfang des Dreiecks ∆ABC und zum
anderen M den Mittelpunkt sowie r den Radius seines Inkreises.
a) Man zeige über die Zerlegung des Dreiecks ∆ABC in die drei Teildreiecke
∆ABM , ∆BCM und ∆CAM die Beziehung F = 21 · u · r.
√
√
b) Es seien nun a = 6, b = 2 und c = 1 + 3 gegeben.
• Man berechne zunächst α, dann β und schließlich γ.
• Man berechne zunächst F und u, dann daraus r.
10. a) Man bestimme die Elemente der Menge
M = (1 + i)k | k ∈ {0, 1, 2, . . . , 8}
und skizziere sie in der Gaußschen Zahlenebene.
b) Man skizziere die Mengen
1
M1 = z ∈ C \ {0} | z +
ist reell
z
und
1
M2 = z ∈ C \ {0} | z +
ist rein imaginär
z
in der Gaußschen Zahlenebene.
11. Sei f : C \ {−i} → C \ {1}, f (z) =
z−i
.
z+i
a) Man zeige, daß f bijektiv ist, und gebe die Umkehrabbildung f −1 explizit
an.
b) Man zeige f (R) = {z ∈ C | |z| = 1} \ {1}.
12. Man gebe über dem Körper C jeweils alle Lösungen der Gleichungen
z 2 · (1 + i) = z · (1 − i)
sowie
und
z 2 = 5 − 12 i.
√ z4 + 8 · 1 + 3 i = 0
in der Real– und Imaginärteildarstellung an.
Bitte beachten: Die Aufgaben dieses Repetitoriums sollen der eigenständigen Wiederholung und Vertiefung des Stoffes vom Sommersemester 2017
dienen. Die Lösungsvorschläge werden zu gegebener Zeit veröffentlicht.
