Monte-Carlo-Simulation mit Copula

Monte-Carlo-Simulation mit Copula
Quantitatives Risikomanagement
vorgelegt von
Kevin Schellkes und Christian Hendricks
Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich C - Stochastik
Dozent: M.Sc. Brice Hakwa
29. August 2010
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
2
Korrelationsansatz
2
3
4
5
2.1
Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Portfoliowert in K Tagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Monte-Carlo-Simulation mit Korrelationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Copulaansatz
5
3.1
Gauÿ-Copula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
t-Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.3
Tailabhängkeit Gauÿ- und t-Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.4
Simulation der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4.1
Bestimmung der Randverteilungen
3.4.2
Copula-Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.4.3
Praktische Umsetzung mit einer Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . .
14
Numerische Tests
10
15
4.1
Berechnung des Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
Backtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Fazit
17
1
1 Einleitung
Ziel dieser Arbeit ist es, basierend auf dem Working Paper von Patrick Deuÿ zum Thema
Measuring the Value at Risk of a Stock Portfolio - The Copula Approach zwei Verfahren
vorzustellen, mit denen an Hand von Monte-Carlo-Simulationen der Value at Risk eines Aktienportfolios ermittelt werden kann. Das erste Verfahren baut auf dem herkömmlichen Ansatz
auf, eine lineare Abhängigkeitsstruktur der Aktienrenditen anzunehmen, während der zweite
Ansatz die Abhängigkeit mittels einer Copula erklärt.
2 Korrelationsansatz
2.1 Herleitung
Der Standardansatz geht von einer Aktienkursbewegung aus, die sich gemäÿ der folgenden
stochastischen Dierentialgleichung entwickelt:
dSti = µi (St , t)dt + σi (St , t)idWti
für
0≤t≤T
und
i = 1, ...I
Die Bewegung der Aktie i wird also durch einen deterministischen Updrift und eine Zufalls-
Wti ermittelt, wobei Wti ∼ N (0, t)
σi (St , t) fest, ergibt sich die Darstellung
komponente in Form eines Wiener Prozesses
Wählt man die Funktionen
µi (St , t)
und
Sti = S0i µi dt + σi S0i dWti
verteilt ist.
0≤t≤T
für
mit der analytischen Lösung




Sti = S0i exp (µi − 12 σi2 ) t + σi Wti )
| {z }
(1)
=:αi
⇔
Si
ln( Sti )
0
= αi t + σi Wti
(2)
In Matrixschreibweise, mit
St := (St1 , ..., StI )
α := (α1 , ..., αI )
Wt := (Wt1 , ..., WtI )


σ1
0


..
D := 

.
0
σI
lässt sich die Lösung umschreiben

S01

 
St =  ... 
S0I

α1
 .
exp  ..


σ1
..


t + 
αI
0
2
0
.

Wt1

  .. 
  . 
σI
WtI
Man erkennt leicht, dass die einzelnen Aktienkurse zum Zeitpunkt t unabhängig voneinander
sind. In der Realität trit dieses Verhalten allerdings nicht zu. Daher wollen wir im Folgenden
annehmen, dass eine Korrelation innerhalb der Aktienkursdynamik besteht. Sie kann durch
die Kovarianzmatrix
Σ
der beobachteten logarithmischen Renditen beschrieben werden und
ermöglicht die Modellierung einer linearen Abhängigkeitsstruktur.

ρ1,1 σ1 σ1 . . . ρ1,I σ1 σI



.
.
..
.
.
Σ = 

.
.
.
ρI,1 σI σ1 . . . ρI,I σI σI



σ1
0
1
ρi,j
σ1



..
..
= 


.
.
0
σI
ρj,i
1
0
Ziel ist es nun, einen Zufallsvektor
1
genügt .
Y := αt + ΣWt
Cholesky-Zerlegung von
Y ∈ RI


.
σI
Y ∼ N (αt, Σt)
αt + ΣWt ∼ N (αt, ΣΣT t). Erst die
führt auf das gewünschte Ergebnis:
at + LWt ∼ N (αt, LLT t)
∼ N (αt, Σt)
1
..

zu erzeugen, der der Verteilung
erfüllt diese Bedingung nicht, da
Σ = LLT
0
gem. (2) , um logarithmische Renditen zu simulieren
3
2.2 Portfoliowert in K Tagen
Nun möchten wir mittels Monte-Carlo-Simulation den Wert unseres Portfolios in K Tagen
vorhersagen. Um verlässliche Daten zu erhalten, sollte die Anzahl N der ins Modell einieÿenden
logarithmischen Tagesrenditen deutlich gröÿer sein als der vorherzusagende Zeitraum K. An
dieser Stelle werden die täglichen log-Renditen auf den Zeitraum K transformiert, so dass später
t = 1 gesetzt
γi (l) für i = 1, ..., I
in der Simulation
werden kann, um den Assetkurs zum Zeitpunkt K zu erhalten.
Wird mit
und
l = 1, ..., N die logarithmische
δK := NK−1 durch
Tagesrendite der Aktie i
bezeichnet, lässt sich die K-Tagesrendite mit
γi,k =
K
X
γi (kK + n)
für
k = 0, ..., δK
n=1
berechnen. Gilt hierbei
N
mod
K=c
mit
c 6= 0,
so werden die letzten c Datensätze vernach-
lässigt und nicht weiter berücksichtigt. Der Erwartungswertschätzer der K-Tagesrenditen von
Aktie i ist gegeben durch
δ
γiK
=
K
1 X
γi,k
δK + 1
k=0
Als Parameter für unsere spätere Simulation erhalten wir damit
anzmatrix wird aus der transformierten Beobachtungsmatrix
XK
 K
γ1
 .. 
K
α :=  . .
γIK
:= (γi,k )i=1,...,I
Die Kovari-
gewonnen.
k=0,...,δK
In Matlab z.B. mit dem Befehl cov(X
Portfoliowert
K ). Nachdem die Parameter geschätzt wurden, kann der
2 in K-Tagen mit einer Monte-Carlo-Simulation berechnet werden.
2.3 Monte-Carlo-Simulation mit Korrelationsansatz
Algorithmus 1: Monte-Carlo mit Korrelationsansatz
transformiere Beobachtungsmatrix auf logarithmische K-Tagesrenditen
Schätze die Verteilungsparameter
for j = 1 → R do
ermittle Y =
αK
und
ΣK
aus der neuen Beobachtungsmatrix
(y1 , ..., yI ) ∼ N (αK , ΣK )
for i = 1 → I do
Ŝji = S0i exp(yi )
end forP
Ŝj =
1
I
end forP
Ŝ =
2
1
R
I
l
l=1 Ŝj (Portfoliowert in der j-ten Simulation)
R
l=1 Ŝl (Portfoliowert gem. Monte-Carlo)
für ein gleichgewichtetes Portfolio
4
3 Copulaansatz
Im vorherigen Modell wurde eine lineare Abhängigkeit der einzelnen Renditen in Form der
Korrelation unterstellt. Es ist allerdings fragwürdig, ob damit alle Formen der Abhängigkeit
erklärt werden können. Im folgenden Beispiel sind Realisationen von 2 Zufallsvariablen angegeben. In beiden Plots weisen die Zufallsvariablen neben den gleichen Randverteilungen auch
die gleiche Korrelation auf. Dennoch sind die Abhängigkeitsstrukturen unterschiedlich, was
besonders deutlich im unteren und oberen Randbereich zu erkennen ist. Bei Nutzung des Korrelationsansatzes würde nur die lineare Abhängigkeit in Form der Korrelation berücksichtigt.
Daher wird in diesem Abschnitt die Abhängigkeitsstruktur mittels einer Copula modelliert, die
in der Lage ist auch komplexere Abhängigkeitsstrukturen zu erfassen. Wir verwenden dabei die
Gauÿ- und t-Copula.
Abbildung 1: Embrechts' Fallacies (siehe [1])
3.1 Gauÿ-Copula
Die Gauÿ-Copula ist deniert durch eine multivariate Normalverteilung
φI (0, P ) := φIP
der
Dimension I mit Korrelationsmatrix P, sowie der univariaten Standardnormalverteilung als
Randverteilungen
φ.
CPGa (v1 , ..., vI ) = φIP (φ−1 (v1 ), ..., φ−1 (vI ))
Z φ−1 (v1 )
Z φ−1 (vI )
=
...
−∞
mit
|P |
als Determinante von P und
1
(2π)1/2 |P |1/2
−∞
zi = φ−1 (vi )
für
exp
− 21 z T P −1 z dz1 . . . dzI
i = 1, ..., I
Die Dichte der Gauÿ-Copula ist
−1/2
cGa
P (v1 , ..., vI ) = |P |
5
exp
− 12 z T (P −1 − IdI )z
3.2 t-Copula
Weitgehend analog zur Gauÿ-Copula ist die t-Copula deniert. Sie hat neben der Korrelatiosmatrix P die Anzahl der Freiheitsgrade
ν
als weiteren Parameter.
t
−1
Cν,P
(v1 , ..., vI ) = tIν,P (t−1
ν (v1 ), ..., tν (vI ))
Z t−1
Z t−1
ν+I
ν (vI )
ν (v1 )
Γ( 2 )
√
...
=
ν
I
−∞
−∞
mit
Γ
als Gammafunktion und
Γ( 2 )
(νπ) |P |
1+
z T P −1 z
ν
ν+I
2
dz1 . . . dzI
zi = t−1
ν (vi ).
Die Dichte der t-Copula ist
ctν,P (v1 , ..., vI ) = |P |−1/2
− ν+I
T −1
2
ν+I ν I 1+ z P z
ν
Γ( 2 )
Γ( 2 )
ν
ν+1
!− ν+1
Γ( 2 )
Γ( 2 )
2
QI
zi2
i=1 1+ ν
Verteilungsfunktion Gauß−Copula mit ρ=0.5
Dichtefunktion Gauß−Copula mit ρ=0.5
1
3
2
0.5
1
0
1
0.5
Y
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
1
0.5
Y
X
Verteilungsfunktion t−Copula mit ρ=0.5 und ν=5
4
0.5
2
0.5
Y
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Dichtefunktion t−Copula mit ρ=0.5 und ν=5
1
0
1
0
0
1
1
0.5
Y
X
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Abbildung 2: Verteilungs- und Dichtefunktion der bivariaten Gauÿ- und t-Copula
6
3.3 Tailabhängkeit Gauÿ- und t-Copula
Bei der Simulation eines Portfolios sind für uns vor allem die Wahrscheinlichkeiten von extremen Verlusten von Bedeutung. Eine Maÿzahl für diese Extrema ist der untere bzw. obere
Tail-Abhängigkeitskoezient.
Denition 1. allgemeine Tailabhängigkeit Für zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit
Randverteilungen FX und FY ist, sofern der Limes existiert, der untere Abhängigkeitskoezient
deniert durch
λL (X, Y ) := lim P (X ≤ FX−1 (q)|Y ≤ FY−1 (q))
q→0+
und der obere Koezient durch
λU (X, Y ) := lim P (X > FX−1 (q)|Y > FY−1 (q))
q→1−
Denition 2. Tailabhängigkeit mit Copula Für zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit
Randverteilungen FX ,FY und Copula C ist für q = FX (a) = FY (b) der untere Abhängigkeitskoezient deniert durch
λL := lim
q→0+
C(q, q)
q
und der obere Koezient durch
λU := lim
q→1−
1 − 2q + C(q, q)
1−q
Ist die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen 6= ±1, so folgt für die Gauÿ-Copula λL =
λU = 0. Daraus folgt, dass selbst bei einer extrem starken positiven oder negativen Korrelation 6= ±1 zweier Zufallsvariablen, extreme Ausprägungen bei der Gauÿ-Copula unabhängig
voneinader auftreten. Auf Grund dieser asymptotischen Unabhängigkeit eignet sie sich nicht
zur Modellierung von Risiken mit Tail-Abhängigkeiten. Bei der t-Copula gilt für
ρ > −1
stets
λ > 0. Extreme Ausprägungen treten also tendenziell gleichzeitig auf, was die t-Copula geeignet
3
erscheinen lässt, um Risiken mit Tail-Abhängigkeit zu simulieren .
3
gem. [5]
7
3.4 Simulation der Renditen
Die Simulation der Gauÿ- und t-Copula erfolgt weitgehend analog und wird an dieser Stelle
mit Hilfe des Satzes von Sklar dargestellt.
Satz 1. Satz von Sklar Sei F eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Randverteilungen
F1 , ..., FI , dann gibt es eine Copula derart, dass
F (z1 , ..., zI ) = C(F1 (z1 ), ..., FI (zI ))
für alle z1 , ..., zI ∈ R. Falls die Randverteilungen stetig sind, ist C eindeutig. Andernfals ist C
nur auf dem kartesischen Produkt der Wertebereiche von Fi für i = 1, ..., I eindeutig bestimmt.
Mit Hilde des Satzes von Sklar kann die Simulation der Renditen grob in 2 Schritte aufgeteilt
werden.
Schritt 1: Modellierung der Einzelrenditen bzw. der Randverteilungen
F1 , ..., FI
Schritt 2: Wahl einer geeigneten Copula, sowie Anpassung ihrer Parameter - Modellierung der
Abhängigkeit der Einzelrisiken
Abbildung 3: Aufspaltung nach Sklar
Denieren wir
V1 := F1 (Z1 ), ..., VI := FI (ZI ),
ergibt sich aus dem Satz von Sklar eine Berech-
nungsmethode der Copula durch die Inversen der Randverteilungen
C(v1 , ..., vI ) = F (F1−1 (v1 ), ..., FI−1 (vI ))
Algorithmus 2: Simulation Copula
1. Generiere
Z∼F
und erhalte Realisation
2. Wende Randverteilung
Fi
z = (z1 , ..., zI )T
auf jeden Eintrag
zi
des Vektors z an und erhalte
v =
(F1 (z1 ), ..., FI (zI ))T
Der Vektor v erfüllt
v ∼ C,
Z ∼F
Zi ∼ Fi
verteilt und
denn:
verteilt, wobei
teilung ist. Daraus folgt, dass
Vi ∼ U (0, 1)
Fi
eine stetige und monoton wachsende Randver-
verteilt, also gilt für die gemeinsame Verteilungs-
8
funktion
FV
FV (v1 , ..., vI ) = P (V1 ≤ v1 , ..., VI ≤ vI )
= P (F1 (Z1 ) ≤ v1 , ..., FI (ZI ) ≤ vI )
= P (Z1 ≤ F1−1 (v1 ), ..., ZI ≤ FI−1 (vI ))
= F (F1−1 (v1 ), ..., FI−1 (vI ))
Für
F = φIP
und
Fi−1 = φ−1
bzw.
F = tρ,ν
und
Fi−1 = t−1
ν
ergeben sich damit die Gauÿ- bzw.
t-Copula.
Um damit unsere logarithmischen Renditen
X = (X1 , ..., XI ) ∼ FX
mit der entsprechenden
Verteilung zu ermitteln, führen wir die Schritte 1 und 2 in umgekehrter Reihenfolge aus und
es ergibt sich der folgende Algorithmus:
Algorithmus 3: Simulation abhängiger Renditen
1. Generiere
V ∼C
mit Algorithmus 2 und erhalte Realisation
2. Wende Inverse der empirischen Randverteilung
an und erhalte
x=
(F1−1 (v1 ), ..., FI−1 (vI ))T
Fi
v = (v1 , ..., vI )T
auf jeden Eintrag
vi
des Vektors v
Der erhaltene Vektor x erfüllt die gewünschte Verteilung und simuliert damit die logarithmischen Renditen mit der entsprechenden Abhängigkeit, denn:
FX (x1 , ..., xI ) = P (X1 ≤ x1 , ..., XI ≤ xI )
= P (F1−1 (V1 ) ≤ x1 , ..., FI−1 (VI ) ≤ xI )
= P (v1 ≤ F1 (x1 ), ..., vI ≤ FI (xI ))
= C(F1 (x1 ), ..., FI (xI ))
da
V ∼C
9
3.4.1 Bestimmung der Randverteilungen
Zur Simulation der Randverteilungen bieten es sich an, entweder eine Verteilungsannahme zu
machen und daraufhin die Parameter zu schätzen oder alternativ die empirischen Randverteilungen zu nutzen. Wir wollen uns innerhalb dieser Arbeit auf die zweite Variante beschränken.
Die empirischen Randverteilungen werden aus den historischen Daten ermittelt. Bezeichnen
wir mit
X := (xi,j )i=1,...,I
die Beobachtungsmatrix, die an Eintrag
i, j
die logarithmische Ta-
j=1,...,N
gesrendite der Aktie i in der j-ten Beobachtung enthält, so ist die empirische Randverteilung
deniert durch:
Denition 3. empirische Randverteilung
N
Fi,N (x) :=
1 X
1{xi,n ≤x} (x) für i = 1, ..., I
N +1
n=1
1{xi,n ≤x} (x) bezeichnet dabei die Indikatorfunktion. Es wird durch den Faktor N + 1 dividiert,
um Fi,N ∈ [0, 1) zu gewährleisten.
Sie kann ezient und einfach für die einzelnen Beobachtungen
1, ..., N
xi,j
für
i = 1, ..., I
und
j =
berechnet werden, wenn man ausnutzt, dass
N
X
1{xi,n ≤x} (xi,j )
= rank(xi,j )
n=1
⇔ Fi,N (xi,j ) =
rank(xi,j )
N +1
In Matlab kann die Berechnung mit folgender Funktion implementiert werden:
function U = Randverteilung(data)
[I,N] = size(data);
U = zeros(I,N);
for i=1 : I
temp1 =
temp1 =
temp1 =
temp1 =
U(i,:)=
end
[data(i,:)', (1:N)'];
sortrows(temp1,1);
[temp1, (1:N)'./(N+1)];
sortrows(temp1,2);
temp1(:,3)';
Damit erhalten wir die Randverteilungsmatrix
U = (ui,j )i=1,...,I
j=1,...,N
Beobachtungen.
10
mit
ui,j = Fi,N (xi,j )
der
FDt. Telekom, 1000(x)
0.6
0.4
0.2
0
−0.03
FRWE,40(x)
1
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0.03
1
1
0.8
0.8
FRWE,1000(x)
FDt. Telekom,40(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.03
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.6
0.4
0.2
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
−0.2
0.05
logarithmische Rendite
Abbildung 4: empirische Randverteilgungen
11
3.4.2 Copula-Parameterschätzung
Um die Copula gemäÿ Algorithmus 2 simulieren zu können, müssen die Parameter der Copula
erst entsprechend geschätzt werden. Bei der Gauÿ-Copula gilt es die Korrelationskoezienten
und bei der t-Copula neben den Korrelationskoezienten noch die Anzahl der Freiheitsgrade
zu schätzen.
Maximum-Likelihood-Methode
Wir bedienen uns an dieser Stelle des Maximum-Likelihood-Schätzers. Idee dieses Schätzers ist
es, diejenigen Parameter zu wählen, die auf Grund der gemachten Beobachtungen bzw. Realisationen am plausibelsten erscheinen. Wird mit
θi
für
i = 1, ..., I
θ
der Parameter der Copula und werden mit
die Parameter der Randverteilungen bezeichnet, so lässt sich unter der An-
nahme, dass von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Beobachtungen ausgegangen
wird, der Maximum-Likelihood-Schätzer als Maximum der folgenden Funktion aufschreiben
L(x, θ, θ1 , ..., θI ) =
N
Y
c(F1 (x1,i , θ1 ), ..., FI (xI,i , θI ), θ)
i=1
I
Y
fi (xj,i , θj )
j=1
wobei c die Dichte der Copula ist, mit
c(v1 , ..., vI , θ) =
∂ I C(v1 , ..., vI , θ)
∂v1 ...∂vI
Nutzt man aus, dass der Logarithmus monoton ist und das Maximum der logarithmischen
Dichte an der gleichen Stelle angenommen wird wie von der nicht logarithmierten Rendite und
vernachlässigen wir die Dichten der Randverteilungen, da ihre Parameter schon implizit durch
die empirischen Randverteilungen geschätzt wurden, so folgt der Log-Maximum-LikelihoodSchätzer
l(x, θ) =
N
X
ln(c(F1 (x1,i ), ..., FI (xI,i ), θ))
i=1
Da die genauen Randverteilungen nicht bekannt sind, sondern nur ihre empirischen Randverteilungen, die in der Matrix U berechnet wurden, wird mit den Pseudorealisationen der Randverteilungen in den beobachteten Realisationen gearbeitet. Es wird die sogenannte Pseude-LogMaximum-Likelihoodfunktion bezüglich
l(x, θ) =
N
X
θ
maximiert
ln(c(u1,i , ..., uI,i , θ))
mit
uk,j = Fk (xk,j )
i=1
Gauÿ-Copula-Parameterschätzung
4 für den Parameter P
Das Maximum des Log-Likelihood-Schätzers kann bei der Gauÿcopula
mittels


φ−1 (U ) := 
φ−1 (u1,1 ) . . . φ−1 (u1,N )
.
.
.
..
.
.
.



−1
−1
φ (uI,1 ) . . . φ (uI,N )
4
gem. [4] Beispiel 5.53
12
.
und der Korrelation der Einträge von
φ−1 (U )
gefunden werden
P̂ = ρ(φ−1 (U ))
Algorithmus 4: Parameterschätzung Gauÿ-Copula
1. Bestimme die empirischen Verteilungsfunktionen
Fi,N
für
i = 1, ..., I
2. Wende die erhaltenen Verteilunsfunktionen auf die Beobachtungsmatrix X an und
speichere Ergebnisse in
3. Transformiere U auf
U ∈ RI×N
φ−1 (U )
4. Berechne die Korrelationsmatrix
P̂ ∈ [−1, 1]I×I
von
φ−1 (U )
t-Copula-Parameterschätzung
Der Parameter P der t-Copula kann über die Beziehung zum Kendall'schen Rangkorrelationskoezienten
τ
gewonnen werden
P̂ =
sin(
π
2 τ (U )). Die Freiheitsgrade
ν
werden mittels
Maximum-Likelihood-Methode geschätzt
max
ν
l(x, ν, P̂ )
Algorithmus 5: Parameterschätzung t-Copula
1. Bestimme die empirischen Verteilungsfunktionen
Fi,N
für
i = 1, ..., I
2. Wende die erhaltenen Verteilunsfunktionen auf die Beobachtungsmatrix X an und
speichere Ergebnisse in
U ∈ RI×N
3. Berechne die Kendall'schen Rangkorrelationskoezienten mit
erhalte
I×I
P̂ =
sin(
π
2 τ (U )) und
P̂ ∈ [−1, 1]
4. Maximiere den Log-Maximum-Likelidhoodschätzer max
ν
merischen Methoden
13
l(x, ν, P̂ ) mit geeigneten nu-
3.4.3 Praktische Umsetzung mit einer Monte-Carlo-Simulation
Nachdem jetzt alle Einzelschritte beschrieben wurden, müssen diese noch praktisch umgesetzt
werden. Da wir, ähnlich wie im 2. Kapitel zur Simulation an Hand des Korrelationsansatzes,
auch diesmal den Portfoliowert in K Tagen simulieren möchten, gilt es zunächst die täglichen
log-Renditen in logarithmische K-Tagesrenditen zu transformieren. Dies erfolgt analog zu dem
bereits bekannten Ansatz aus dem vorherigen Kapitel. Ausgehend von der nun erhaltenen Beobachtunsmatrix
XK
werden die empirischen Randverteilungen berechnet, so dass wir die zur
Beobachtungmatrix gehörenden Randverteilungsrealisationen in Matrix
Nachdem die Copulaparameter geschätzt wurden, kann im Anschluss
U K ∈ RI×δK erhalten.
der Vektor v ∼ C mit
Algorithmus 2 simuliert werden. Dieser wird, gemäÿ Algorithmus 3, in die inversen Randverteilungen eingesetzt. Hierbei ergibt sich das Problem, dass wir nur eine diskrete Darstellung
Fi−1 für die Beobachtungen kennen, so
j ∈ {1, ..., N }. Ist N groÿ genug, so sind die
Fi−1 (vi ) 6= xi,j
der einzelnen
dass im Allgemeinen gilt
für alle
Randverteilungen fast kontinuierlich, so
dass
Fi−1 (vi ) ≈ xi,ji∗
ji∗
=
für
min
(3)
j∈{1,...,δK }
|ui,j − vi |
für
i = 1, ..., I
(4)
also
Fi−1 (vi ) ≈ Fi−1 (ui,ji∗ ) = xi,ji∗
(5)
gilt. Somit erhalten wir eine Annäherung an die inversen Randverteilungen. Alternativ könnte
man die Zwischenräume auch interpolieren.
Führt man die Einzelschritte R-mal hintereinander aus und ermittelt aus den erhaltenen Rendi-
5
ten den Portfoliowert , erhält man zusammengefasst den folgenden Monte-Carlo-Algorithmus:
Algorithmus 6: Monte-Carlo-Simulation mit Copula
transformiere Beobachtungsmatrix auf logarithmische K-Tagesrenditen
berechne empirische Randverteilungsmatrix
UK
schätze Copula-Parameter
for j = 1 → R do
erhalte Vektor
x = (x1 , ..., xI )
for i = 1 → I do
aus Algorithmus 3 unter Verwendung von (4) und (5)
Ŝji = S0i exp(xi )
end forP
Ŝj =
1
I
end forP
Ŝ =
5
1
R
I
l
l=1 Ŝj (Portfoliowert in der j-ten Simulation)
R
l=1 Ŝl (Portfoliowert gem. Monte-Carlo)
für ein gleichgewichtetes Portfolio
14
4 Numerische Tests
4.1 Berechnung des Value at Risk
Innerhalb des Risikomanagements ist allerdings nicht der Portfoliowert von primären Interesse,
sondern vielmehr das Risikokapital, das auf Grund gesetzlicher Bestimmungen ermittelt werden muss (z.B. zur Errechnung des Mindestkapitals/Solvenzkapitals). Der Value at Risk (VaR)
dient diesbezüglich als Maÿzahl des Risikos.
Denition 4. Value at Risk
V aR(X, α) := FX−1 (α)
FX−1
=
min{x|FX (x) ≥ α}
wobei FX−1 die Quantilfunktion der Verteilungsfunktion FX bezeichnet.
Interpretieren lässt sich der VaR als Verlust, der mit der Mindestwahrscheinlichkeit
α
nicht
überschritten wird. Vice versa beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Verluste, die gröÿer als der
VaR sind, höchstens
1 − α.
Um den VaR praktisch berechnen zu können, benötigen wir nicht den Portfoliowert, sondern
die einzelnen Ausgänge
Ŝj
für
j = 1, ..., R aus den Portfoliosimulationen, um daraus die Dichte
approximieren zu können. Die folgenden numerischen Experimente geben immer den prozentualen Wert des Portfolios gegenüber dem Anfangswert von 1 bzw. 100%
6 an. Das Portfolio
besteht aus den Aktien der 4 Gesellschaften Dt. Telekom AG, RWE AG, BMW AG und Inneon AG mit jeweils identischer Gewichtung und
N = 1158
in der Zeit vom 02.01.2007 bis
29.07.2011.
K=10
K=20
12
6
Verlust
Gewinn
Verlust
10
5
8
4
6
3
4
2
2
1
0
0.7
VaR
1
1.2
1.4
1.6
0
0.7
1.8
VaR
Gewinn
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Abbildung 5: Dichte und VaR bei 100.000 Simulationen mit t-Copula für
1.4
1.5
α = 0.99
Da die Verluste auf der linken Seite der Dichtefunktion liegen, wird der Value at Risk mittels
Matlab mit
6
V aRα =
quantile(Ŝr , 1
indem Aktienstartwerte
S0i = 1
− α)
berechnet.
gesetzt wurden
15
Tage
K=5
K = 10
K = 20
Kondenzniveau
COP Gauÿ-Copula
COP t-Copula
COR
α = 0.99
α = 0.99
α = 0.99
0.9076
0.9044
0.9245
0.8703
0.8655
0.8899
0.8158
0.8105
0.8394
Tabelle 1: VaR - Berechnung
Der VaR unter Verwendung der Copula-Ansätze ist gegenüber dem Korrelationsansatz in beiden Zeitperioden niedriger. Im Vergleich der beiden Copulaansätze ist der VaR der t-Copula
geringer. Für den Praktiker bedeutet dies, dass bei der Verwendung der Copulas mehr Risikokapital vorgehalten werden muss.
4.2 Backtest
Im vorherigen Abschnitt konnte experimentell festgestellt werden, dass bei Verwendung der
Copulaansätze in der Praxis mehr Risikokapital bereitgestellt werden musste. Es stellt sich
die Frage, ob dieses wirklich gemacht werden muss. Dies wollen wir innerhalb eines Backtests
beantworten.
K = 10
K = 20
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
−0.15
−0.15
−0.2
0
−0.2
20
40
60
80
100
−0.25
0
120
10
20
30
40
50
60
Abbildung 6: Backtest mit historischen logarithmierten K-Tages-Renditen
Betrachtet man die historischen logarithmischen Renditen im Vergleich zum VaR mit beiden
Ansätzen, so ist zu erkennen, dass der Korrelationsansatz (rote Linie) schlechter abschneidet
als die Copulaansätze (grüne Linie). Obwohl auch der VaR mittels Copula nicht alle Renditen
abdecken kann, deckt er sie dennoch besser ab als der Korrelationsansatz. Das Risiko wird beim
Korrelationsansatz deutlich unterschätzt, was dafür spricht, dass nicht alle Abhängigkeiten
durch die Korrelation erfasst wurden.
Es bleibt noch zu klären, welche der beiden Copulaansätze bessere Ergebnisse erzielt. Gemäÿ
der Arbeit von Patrick Deuÿ erzielt die t-Copula bessere Ergebnisse, was er auf die starke untere
Tailabhängigkeit der Aktienrenditen zurückführt, die durch die t-Copula besser abgebildet
werden kann. Ob wirklich eine Tailabhängigkeit besteht, soll an dieser Stelle an einem Beispiel
mit dem unteren Tailabhängigkeitsschätzer getestet werden.
16
Denition 5. Tailabhängigkeitsschätzer7
bL (q) :=
λ
#{(x, y) ∈ Beob. : x < FX−1 (q) ∧ y < FY−1 (q)}
#{(x, y) ∈ Beob. : y < FY−1 (q)}
bU (q) :=
λ
#{(x, y) ∈ Beob. : x > FX−1 (q) ∧ y > FY−1 (q)}
#{(x, y) ∈ Beob. : y > FY−1 (q)}
1
0.9
Bedingte Wahrscheinlichkeit
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
q
Abbildung 7: unterer Tailabhängigkeitsschätzer für tägliche logarithmische Renditen der Telekom AG und RWE AG
Es zeigt sich, dass im Testdatensatz eine starke untere Tailabhängigkeit herrscht und für diesen Datensatz die These der unteren Tailabhängigkeit von Aktienrenditen als wahr angesehen
werden kann.
5 Fazit
Innerhalb dieser Arbeit wurde sowohl der Korrelationsansatz und auch der Copulaansatz zur
Ermittlung des Value at Risk eines Portfolios praxisnah vorgestellt.
In dem anschlieÿenden numerischen Experiment konnte die Überlegenheit des Copulaansatzes, auch komplexere Abhängigkeitsstrukturen zu erfassen, an realen Daten getestet werden.
Der Backtest zeigte, dass der herkömmliche Korrelationsansatz das Risiko systematisch unterschätzt. Diese Unterschätzung führt im Praxiseinsatz zu zu niedrigen Risikokapitalreserven
und hat bei Börsencrashs unter Umständen dramatische Auswirkungen auf die Unternehmen.
Daher sollte der Copulaansatz, trotz eventuell höherer Kapitalkosten, dem Korrelationansatz
vorgezogen werden.
7
gem. [2]
17
Literatur
[1] Abhängigkeitsmessung:
Neuere
Entwicklungen
und
Anwen-
www.statistik.wiso.uni
erlangen.de/lehre/diplom/versicherungsoekonomie/cops.pdf , Matthias Fischer
dungen,
(03.
Dezember
2007)
−
anhand von Copulas, (28. Januar 2010) www.opt.math.tu −
graz.ac.at/ cela/V orlesungen/Risk09 − 10/praesentationSchitteretal.pdf , Lisa Stadl-
[2] Abhängigkeitsmodell
müller, Christian Schitter, Peter Scheibelhofer, Wolfgang Draxler
[3] Measuring the Value at Risk of a Stock Portfolio - The Copula Approach, (Januar 2009)
www.imacm.uni − wuppertal.de/f ileadmin/imacm/preprints/amna0 90 2.pdf ,
Patrick
Deuÿ
[4] Quantitative Risk Management, (26. September 2005), A. McNeil, R. Frey, P.Embrechts
[5] Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen, Auage: 1 (15. September 2009), Claudia Cottin, Sebastian Döhler
18