Algebraische Topologie: ¨Ubungsblatt 5

Helge Glöckner
Sven-Ake Wegner
Uni Paderborn
SS 2010
Algebraische Topologie: Übungsblatt 5
Gruppenübung
Aufgabe G 1. Es sei X ein hausdorffscher topologischer Raum derart, daß jeder Punkt
x ∈ X eine kompakte Umgebung hat. Zeigen Sie, dass X dann lokal kompakt ist.
Aufgabe G 2. Zeigen Sie, dass jeder kompakte topologische
Raum K homöomorph ist
Q
zu einer abgeschlossenen Teilmenge von [0, 1]J = j∈J [0, 1] (mit der Produkttopologie)
für eine geeignete Menge J.
Hinweis: Setzen Sie J := C(K, [0, 1]) und betrachten Sie die Abbildung λ : K → [0, 1]J , λ(x) :=
(f (x))f ∈J .
Aufgabe G 3. Zeigen Sie, daß jeder metrische Raum normal ist.
Anleitung: Betrachten Sie für abgeschlossenes A ⊆ X die Funktion distA : X → R, distA (x) :=
inf y∈A d(x, y). Zeigen Sie, daß distA stetig ist und beachten Sie, daß distA (x) genau dann Null
ist, wenn x ∈ A gilt. Für gegebene abgeschlossene A, B ⊆ X betrachten Sie nun die Funktion
f : X → R, f (x) = distA (x) − distB (x).
Aufgabe G 4. Zeigen Sie, daß eine Teilmenge M eines metrischen Raumes (X, d)
genau dann relativ kompakt ist, wenn jede Folge (xn )n∈N in M eine in X konvergente
Teilfoge hat.
Hausübung
Aufgabe H 1. Es sei Γ1 ⊆ R[0,1] die Menge der Lipschitz-stetigen Funktionen mit
Lipschitz-Konstante Eins.
(a) Zeigen Sie, daß Γ1 abgeschlossen in R[0,1] ist.
(b) Zeigen Sie, daß Γ1 gleichgradig stetig ist.
(c) Zeigen Sie, daß Γ = { f ∈ Γ1 ; kf k∞ 6 1} ⊆ C([0, 1], R)c kompakt ist.
Aufgabe H 2. Es sei Ω ⊆ RN eine offene Teilmenge. Eine Folge von Teilmengen
(Kn )N ∈N von Ω heißt kompakte Ausschöpfung, falls gilt
(i) Kn ⊆ RN ist kompakt für jedes n ∈ N,
◦
(ii) Kn ⊆K n+1 für jedes n ∈ N,
(iii) ∪n∈N Kn = Ω.
(1) Zeigen Sie, daß Ω stets eine kompakte Ausschöpfung besitzt:
(a) Für beschränktes Ω bilden die Mengen Kn := Ω\Cn mit Cn := ∪x∈∂Ω B1/n (x)
eine kompakte Ausschöpfung.
(b) Sei Ω unbeschränkt. Für die beschränkten Mengen Ωk := Ω ∩ Bk (0) liefert
die Methode in (a) kompakte Ausschöpfungen (Kk,n )n∈N . Schließlich bilden
die Mengen Kn := ∪nk=1 Kk,n eine kompakte Ausschöpfung von Ω.
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(2) Zeigen Sie, daß in der Notation von 3.31 bereits durch (dKn )n∈N eine Basis der
Topologie auf C(Ω, Y )c gegeben wird, wenn Y ein metrischer Raum und (Kn )n∈N
eine kompakte Ausschöpfung von Ω ist.
Aufgabe H 3. Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, daß
d0 : X × X → R, d0 (x, y) :=
d(x,y)
1+d(x,y)
eine Metrik auf X ist, welche dieselbe Topologie wie d auf X induziert.
Hinweis: Die Funktion h : [0, ∞[→ [0, 1[, h(t) :=
t
1+t
=
1
1+1/t
ist monoton wachsend.
Bemerkung: Auf dem nächsten Übungsblatt werden wir mithilfe von H2 und H3 zeigen,
daß die Topologie von C(Ω, Y )c von einer Metrik induziert wird.
Ausgabe dieses Aufgabenblattes am 17.05.2010.
Abgabe dieses Aufgabenblattes zu Beginn der Ausweichvorlesung am 25.05.2010.
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