Aspekte Mehrkriterieller Optimierung C(T)

Aspekte Mehrkriterieller Optimierung
C(T )-wertiger Abbildungen
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
vorgelegt der
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät
(mathematisch-naturwissenschaftlicher Bereich) der
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
von Frau Dipl.-Math. Kristin Winkler
geb. am 23. April 1975 in Zittau
Gutachter:
1. Prof. Dr. Christiane Tammer, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
2. Prof. Dr. Johannes Jahn, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
3. Prof. Dr. Petra Weidner, Fachhochschule Hildesheim/Holzminden/Göttingen
Halle (Saale), 26.09.2003
urn:nbn:de:gbv:3-000005558
[http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=nbn%3Ade%3Agbv%3A3-000005558]
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Theorie halbgeordneter topologischer Räume am Beispiel C(T ) . . . . . . .
5
2.1
Kegelhalbordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Ordnungsvollständigkeit und Daniell-Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Dualkegel und Kegelbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3. Mehrkriterielle Optimierungsprobleme in C(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1
Die Aufgabenstellung in der mehrkriteriellen Optimierung, Effizienzbegriffe . .
15
3.2
Eigentliche Effizienz im Sinne von Geoffrion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
Dichtheitsaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4
Existenz minimaler Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4. Skalarisierung gemäß Tammer und Weidner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1
Konstruktion trennender Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Eigenschaften der Funktionale bei spezieller Wahl der erzeugenden Kegel . . . .
33
4.2.1
Der natürliche Ordnungskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.2
Der Kegel der linearen Skalarisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2.3
Der Kegel der Geoffrion-eigentlichen Effizienz . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2.4
Oberkegel des natürlichen Ordnungskegels . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Skalarisierungsaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5. Effizienzkriterien mittels verallgemeinerter Ableitungen . . . . . . . . . . .
43
4.3
5.1
Zwei Wege – Unterschiede und Gemeinsamkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.2
Notwendige Effizienzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2.1
Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2.2
Lipschitz-stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2.3
Konvexe Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.3
Hinreichende Effizienzbedingungen im Falle konvexer Abbildungen . . . . . . .
52
5.4
Verbleibende Probleme und mögliche Auswege . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
ii
Inhaltsverzeichnis
6. Verwendung allgemeiner skalarer Ersatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.1
Die Ersatzaufgabe, Existenz von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.2
Minimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.3
Stabilität der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
6.4
Spezielle skalare Ersatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.4.1
Die gewichtete Tschebyscheff-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.4.2
Wichtungsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.4.3
Eine Ersatzaufgabe nach Helbig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.4.4
Eine Verallgemeinerung der Hurwitz-Regel
. . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.4.5
Einige Bemerkungen zu Effizienzbedingungen von Zubiri . . . . . . . . .
78
7. Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
7.1
Standortoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
7.2
Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8. Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
A. Technische Hilfsresultate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
A.1 Parametrisierung von Mengen; konvexe Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
A.2 Konstruktion trennender Funktionale nach Tammer und Weidner . . . . . . . .
89
A.3 Optimalitätsbedingungen nach Luu und Oettli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Verwendete Notationen
C(T )
M(T )
X, Y
X0
Raum der auf T stetigen reellwertigen Funktionen
Raum der Radon-Maße auf T
natürliche Zahlen
reelle Zahlen
= {r ∈ R : r ≥ 0} ... nichtnegative reelle Zahlen
n-dimensionaler Euklidischer Raum
topologische Vektorräume
topologischer Dualraum zu X
A+B
λA
core A
int A
cl A
bd A
A⊆B
A ⊂ B, A ( B
= {a + b : a ∈ A, b ∈ B} ... Summe von Teilmengen A, B eines Vektoraumes
= {λa : a ∈ A}
algebraisch Inneres von A
topologisch Inneres von A
topologischer Abschluß von A
= cl A\int A ... topologischer Rand von A
A ist Teilmenge von B
A ist echte Teilmenge von B
6∃
es existiert kein (Negation von ∃)
Y
Yz
Teilmenge von Y(= C(T )) ... i.a. Menge der zulässigen Alternativen
= Y ∩ (z − K) ... Ausschnitt von Y im Punkt z bzgl. des Kegels K
f, g
f ≡g
f 6≡ g
dom f
f
Funktionen X → R oder T → R
... f (t) = g(t) für alle t ∈ T
... f (t) 6= g(t) für wenigstens ein t ∈ T
f (t) = 1 für alle t ∈ T
= {x ∈ X : f (x) < ∞} ... effektiver Definitionsbereich von f
Abbildung X → Y
C(T )+
C(T )+
m
M(T )+
qint M(T )+
= {y ∈ C(T ) : y(t) ≥ 0 ∀ t ∈ T } ... natürlicher Ordnungskegel in C(T )
= {y ∈ C(T ) : y(t)
R ≥ 0, y monoton wachsend}
= {µ ∈ M(T ) : RT y dµ ≥ 0 ∀ y ∈ C(T )+ } ... Dualkegel zu C(T )+
= {µ ∈ M(T ) : T y dµ > 0 ∀ y ∈ C(T )+ } ... Quasi-Inneres von M(T )+
Dµ
Ds,δ
Dδ
Cµ,m
R
= {y ∈ C(T ) : T y dµ ≥ 0}
=S
{y ∈ C(T ) : y(s) > 0, y(s) + δ y(t) > 0 ∀ t ∈ T \{s}}
= s∈T Ds,δ
R
= {y ∈ C(T ) : y(t) + m−1 T y dµ ≥ 0 ∀ t ∈ T }
N
R
R+
Rn
1
iv
E(Y, K)
Ew (Y, K)
EBo (Y, K)
EBe (Y, K)
El (Y )
EG (Y )
minimale Elemente der Menge Y ⊂ Y bzgl. des Kegels K ⊂ Y
schwach minimale Elemente der Menge Y ⊂ Y bzgl. des Kegels K ⊂ Y
eigentlich minimale Elemente der Menge Y bzgl. K im Sinne von Borwein
eigentlich minimale Elemente der Menge Y bzgl. K im Sinne von Benson
eigentlich minimale Elemente der Menge Y
im Sinne der linearen Skalarisierung
eigentlich minimale Elemente der Menge Y im Sinne von Geoffrion
Eff G (f(X))
= f−1 (E(f(X), K)) ... effiziente Elemente
= f−1 (Ew (f(X), K)) ... schwach effiziente Elemente
= f−1 (El (f(X))) ... eigentlich effiziente Elemente
im Sinne der linearen Skalarisierung
−1
= f (EG (f(X))) ... eigentlich effiziente Elemente im Sinne von Geoffrion
z C,k (y)
= inf {τ ∈ R : y ∈ τ k − cl C}
cone X
TB (X; x̄)
T (X; x̄)
B(X; x̄)
N (X; x̄)
durch X aufgespannter Kegel
Borweinscher Tangentialkegel an X in x̄
Clarkescher Tangentialkegel an X in x̄
Berührungskegel an X in x̄
Normalenkegel an X in x̄
∂ϕ(x̄)
f0 (x̄)|t
f◦ (x̄; d)(t)
Subdifferential einer Funktion ϕ : X → R
Ableitung von x 7→ f(x)(t) in x̄
verallgemeinerte (rechtsseitige) Richtungsableitung von x 7→ f(x)(t)
in x̄ und Richtung d
T (a, k)
m(a, k)
= {τ ∈ R : a + τ k ∈ Y + cl C}
= inf T (a, k)
Eff (f(X), K)
Eff w (f(X), K)
Eff l (f(X))