§3 Vektorbündel und das Tangentialbündel

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Donnerstag 19.6
$Id: vektor.tex,v 1.4 2014/06/21 19:43:52 hk Exp hk $
§3
Vektorbündel und das Tangentialbündel
3.2
Vektorbündel
In der letzten Sitzung haben wir eingesehen das lokale Trivialisierungen eines Vektorbündels und Basisfelder dieses Vektorbündels im wesentlichen dasselbe sind. Oftmals ist es dann bequemer von vornherein nur von Basisfeldern zu sprechen ohne die
zugehörige lokale Trivialisierung zu benennen. Wir hatten auch gezeigt das die C q Schnitte eines Vektorbündels p : E → M genau die Abbildungen s : M → E mit
p ◦ s = idM sind deren Koordinaten bezüglich der Basisfelder stets C q -Funktionen sind.
Sei weiter U ⊆ M eine offene Menge in M . Dann können wir auch das eingeschränkte
Vektorbündel p|p−1 (U ) : p−1 (U ) → U betrachten und obige Aussage gilt auch für auf
U definierte Schnitte. Insbesondere folgt das für s, t ∈ Γq (U ; E) und f ∈ C q (U, K) auch
die Abbildungen
s + t : U → E; x 7→ s(x) + t(x) und f · s : U → E; x 7→ f (x) · s(x)
wieder C q -Schnitte sind, denn sind B1 , . . . , Br : V → E Basisfelder definiert auf einer
in M offenen Menge V mit V ⊆ U , so haben wir für alle x ∈ V
s(x) =
r
X
aj (x)Bj (x)und t(x) =
r
X
bj (x)Bj (x)
j=1
j=1
mit Funktionen aj , bj ∈ C q (V ) für 1 ≤ j ≤ r und damit sind für jedes x ∈ V auch
(s + t)(x) =
r
X
(aj (x) + bj (x))Bj (x) und (f s)(x) =
j=1
r
X
f (x)aj (x)Bj (x)
j=1
mit den Koeffizientenfunktionen aj + bj ∈ C q (V ) und f aj ∈ C q (V ) für alle 1 ≤ j ≤ r.
Auf diese Weise wird Γq (U ; E) zu einem Modul über der K-Algebra C q (U, K). Insbesondere wird Γ∞ (E) ein Modul über C ∞ (M, K), und man kann zeigen das der Isomorphietyp dieses Moduls das Vektorbündel E bereits vollständig festlegt, eine etwas
schwächere Aussage werden wir in Aufgabe (40) behandeln. Wir wollen auch noch eine zweite Konsequenz der Äquivalenz von lokalen Trivialisierungen und Basisfeldern
behandeln, ob ein Morphismus zwischen Vektorbündeln über M eine Äquivalenz von
Vektorbündeln ist läßt sich bereits am Verhalten des Morphismus auf den einzelnen
Fasern ablesen.
Lemma 3.11 (Isomorphismen von Vektorbündeln)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, K ∈ {R, C}, r ∈ N und
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p : E → M , q : E 0 → M zwei K-Vektorbündel von Rang r über M . Dann ist ein
Morphismus f : E → E 0 von Vektorbündeln über M genau dann eine Äquivalenz von
Vektorbündeln über M wenn fx := f |Ex : Ex → Ex0 für jedes x ∈ M ein Vektorraumisomorphismus ist.
Beweis: Es ist nur die Implikationvon rechts nach links zu zeigen, und für diese ist
auch nur noch einzusehen das f ein Diffeomorphismus ist. Sei x ∈ M und wähle eine
offene Umgebung U von x in M und eine lokale Trivialisierung ϕ : U × K r → p−1 (U )
von E. Bezeichne B1 , . . . , Br ∈ Γ∞ (U ; E) die Basisfelder dieser Trivialisierung. Für
jedes 1 ≤ j ≤ r ist dann nach §2.Lemma 34.(e) auch Cj := f ◦ Bj ∈ C ∞ (U, E 0 ) und es
gilt q ◦ Cj = q ◦ f ◦ Bj = p ◦ Bj = idU , d.h. es ist Cj ∈ Γ∞ (U ; E 0 ). Ist y ∈ U , so sind
B1 (y), . . . , Br (y) eine Basis von Ey und Da fy : Ey → Ey0 ein Vektorraumisomorphismus
ist, sind auch C1 (y) = fy (B1 (y)), . . . , Cr (y) = fy (Br (y)) eine Basis von Ey0 . Damit sind
C1 , . . . , Cr Basisfelder von E 0 . Nach Lemma 10.(a) existiert eine lokale Trivialisierung
ψ : U × K r → q −1 (U ) von E 0 mit Basisfeldern C1 , . . . , Cr . Für alle y ∈ U , t ∈ K r ist
f (ϕ(y, t)) = f
r
X
!
tj Bj (y)
=
r
X
tj Cj (y) = ψ(y, t),
j=1
j=1
d.h. es gilt f ◦ ϕ = ψ und nach §2.Lemma 21.(a.3,c) ist auch f |p−1 (U ) : p−1 (U ) →
q −1 (U ) ein Diffeomorphismus. Nach §2.Lemma 22.(b,c.2) ist f : E → E 0 ein bijektiver
lokaler Diffeomorphismus und somit ein Diffeomorphismus.
Wir wissen das Basisfelder und lokale Trivialisierungen eines Vektorbündels im wesentlichen dasselbe sind, und dies legt es nahe den Konstruktionssatz für Faserbündel
Satz 3 in Termen von Basisfeldern auf einem Vektorbündel zu formulieren.
Satz 3.12 (Konstruktion von Vektorbündeln)
Seien m ∈ N, M eine m-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, K ∈
{R, C}, r ∈ N und setze n := m + r · dimR K. Weiter seien E eine Menge, p : E →
M eine Abbildung und für jedes x ∈ M sei Ex := p−1 (x) mit der Struktur eines rdimensionalen K-Vektorraums versehen. Sei (Ui )u∈N eine offene Überdeckung von M
und für jedes i ∈ I seien B1i , . . . , Bri : U → E Funktionen mit p◦Bji = idUi für 1 ≤ j ≤ r
so, dass B1i (x), . . . , Bri (x) für jedes x ∈ Ui eine Basis von Ex ist. Für alle i, j ∈ I gebe
∞
es Funktionen aij
kl ∈ C (Ui ∩ Uj , K) für 1 ≤ k, l ≤ r so, dass
Bki (x)
=
r
X
j
aij
kl (x)Bl (x)
l=1
für alle x ∈ Ui ∩ Uj gilt. Dann existieren eine eindeutige Topologie τ auf E und ein
eindeutiger Hn,∞ -Atlas A auf (E, τ ) so, dass (E, p) ein K-Vektorbündel von Rang r
über M wird und B1i , . . . , Bri für jedes i ∈ I Basisfelder dieses Vektorbündels sind.
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Beweis: Für jedes i ∈ I ist die Abbildung
−1
r
ϕi : Ui × K → p (Ui ); (x, t) 7→
r
X
tk Bki (x)
k=1
bijektiv mit p ◦ ϕi = pr1 . Seien i, j ∈ I. Für jedes x ∈ Ui ∩ Uj ist dann Aij (x) :=
j
i
i
(aij
lk )1≤k,l≤r die Transformationsmatrix von der Basis B1 (x), . . . , Br (x) zur Basis B1 (x),
. . . , Brj (x) von Ex und für alle t ∈ K r ist
!
r
r
r
X
X
X
tk Bki (x) =
aij
Blj (x) = ϕj (x, Aij (x)t),
ϕi (x, t) =
kl tk
k=1
l=1
k=1
also auch
ij
ψij (x)t := pr2 (ϕ−1
j (ϕi (x, t))) = A (x)t.
Als Transformationsmatrix ist Aij (x) für jedes x ∈ Ui ∩Uj invertierbar, also ist ψij (x) ∈
GLr (K) ein Diffeomorphismus von K r auf sich und weiter ist die Abbildung ψij : Ui ∩
Uj → GLr (K) nach §2.Lemma 34.(d,h) in C ∞ (Ui ∩Uj , GLr (K)). Nach Satz 3 existieren
eine eindeutige Topologie τ auf E und ein eindeutiger Hn,∞ -Atlas A auf (E, τ ) so, dass
(E, p) ein Faserbündel über M mit Faser K r ist und (Ui , ϕi )i∈I eine trivialisierende
Überdeckung dieses Faserbündels ist. Sei i ∈ I. Dann ist ϕi (x, ) : K r → Ex für jedes
x ∈ Ui ein Vektorraumisomorphismus, und damit ist (E, p) sogar ein K-Vektorbündel
von Rang r über M . Weiter ist Bki (x) = ϕi (x, ek ) für alle 1 ≤ k ≤ r, x ∈ Ui , d.h.
B1i , . . . , Bri sind die Basisfelder der lokalen Trivialisierung ϕi .
Damit ist die Existenzaussage bewiesen. Seien nun umgekehrt τ ∗ eine Topologie auf
E und A∗ ein Hn,∞ -Atlas auf (E, τ ∗ ) so, dass (E, p) ein K-Vektorbündel von Rang r
über M ist und B1i , . . . , Bri für jedes i ∈ I Basisfelder von E sind. Nach Lemma 10.(a)
ist ϕi : Ui × K r → p−1 (Ui ) dann für jedes i ∈ I eine lokale Trivialisierung von E, d.h.
(Ui , ϕi )i∈I ist eine trivialisierende Überdeckung des Faserbündels E und somit gelten
τ ∗ = τ und A∗ = A.
Wir wollen eine letzte allgemeine Konstruktion von Vektorbündeln durchführen und
zeigen das sich jede natürliche Konstruktion“ reeller oder komplexer Vektorräume auf
”
Vektorbündel überträgt. Hierzu müssen wir zunächst einmal definieren was mit einer
solchen natürlichen Konstruktion“ überhaupt gemeint ist.
”
Definition 3.9 (Natürliche Konstruktionen von Vektorräumen)
Sei K ∈ {R, C} und bezeichne V (K) die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume über K. Seien p, q ∈ N und setze
Vpq (K) := V (K) × . . . × V (K) × V (K)∗ × . . . × V (K)∗ ,
|
{z
} |
{z
}
p
q
wobei V (K)∗ die duale Kategorie bezeichnet. Ein Funktor Φ : Vpq (K) → V (K) heißt differenzierbar, wenn für alle endlichdimensionalen K-Vektorräume V1 , . . . , Vp , V10 , . . . , Vp0 ,
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W1 , . . . , Wq , W10 , . . . , Wq0 die Abbildung
Φ : Hom(V1 , V10 ) × . . . × Hom(Vp , Vp0 ) × Hom(W10 , W1 ) × . . . × Hom(Wq0 , Wq )
→ Hom(Φ(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq ), Φ(V10 , . . . , Vp0 , W10 , . . . , Wq0 ))
C ∞ ist. Analog nennen wir Φ linear beziehungsweise multilinear, wenn diese Abbildungen stets über K linear beziehungsweise multilinear sind.
Dass Φ : Vpq (K) → V (K) ein Funktor ist bedeutet das jedem Tupel V1 , . . . , Vq , W1 , . . .,
Wq endlichdimensionaler Vektorräume über K ein weiterer endlichdimensionaler KVektorraum Φ(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq ) zugeordnet wird und das weiter jedem Tupel
f1 , . . . , fp , g1 , . . .,gq linearer Abbildungen fj : Vj → Vj0 (1 ≤ j ≤ p), gj : Wj0 → Wj
(1 ≤ j ≤ q) zwischen endlichdimensionalen K-Vektorräumen eine lineare Abbildung
Φ(f1 , . . . , fp , g1 , . . . , gq ) : Φ(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq ) → Φ(V10 , . . . , Vp0 , W10 , . . . , Wq0 )
zugeordnet wird so, dass für alle endlichdimensionalen Vektorräume V1 , . . . , Vp , W1 , . . .,
Wq über K stets
Φ(idV1 , . . . , idVp , idW1 , . . . , idWq ) = idΦ(V1 ,...,Vp ,W1 ,...,Wq )
gilt und so das für alle Tupel fj : Vj → Vj0 , fj0 : Vj0 → Vj00 (1 ≤ j ≤ p), gj : Wj0 → Wj ,
gj0 : Wj00 → Wj0 (1 ≤ j ≤ q) linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen
K-Vektorräumen stets
Φ(f10 ◦f1 , . . . , fp0 ◦fp , g1 ◦g10 , . . . , gq0 ◦gq ) = Φ(f10 , . . . , fp0 , g10 , . . . , gq0 )◦Φ(f1 , . . . , fp , gq , . . . , gq )
ist. Da über K lineare und multilineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen
K-Vektorräumen stets auch C ∞ sind, ist ein linearer beziehungsweise multilinearer
Funktor stets auch differenzierbar. Eine einfache Beispiele solcher Funktoren sind wie
folgt:
1. Der Dualitätsfunktor ∗ ordnet jedem endlichdimensionalen K-Vektorraum V seinen Dualraum V ∗ zu und jeder über K linearen Abbildung ihre Transponierte
f ∗ : W ∗ → V ∗ . Dies ist ein linearer und einfach contravarianter Funktor. Explizit
bedeutet dies das für alle linearen Abbildungen f, f 0 : V → W , g : W → U
zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen V, W, U über K und jeden Skalar
λ ∈ K stets
t
idtV = idV ∗ , (g ◦ f )t = f t ◦ g t , (f + f 0 )t = f t + f 0 und (λf )t = λf t
gelten, und all diese Identitäten sind uns aus der linearen Algebra bekannt.
2. Etwas allgemeiner haben wir den n-fach kontravarianten Funktor L = Ln der
jedem Tupel V1 , . . . , Vn endlichdimensionaler K-Vektorräume den Vektorraum
L(V1 , . . ., Vn ) aller n-fach multilinearen Abbildungen V1 × · · · × Vn → K zuordnet
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und jedem Tupel linearer Abbildungen fj : Vj → Wj (1 ≤ j ≤ n) die lineare
Abbildung
L(f1 , . . . , fn ) : L(W1 , . . . , Wn ) → L(V1 , . . . , Vn ); ψ 7→ ψ ◦ (f1 × · · · × fn ).
Dieser Funktor ist n-fach multilinear.
3. Ähnlich haben wir den Funktor S = Sn , der einem endlichdimensionalen KVektorraum V den Vektorraum
Sn (V ) := {f ∈ L(V, . . . , V )|f ist symmetrisch}
aller symmetrischen n-fachen Multilinearformen auf V zuordnet. Für jede lineare
Abbildung f : V → W sei dabei
Sn (f ) : Sn (W ) → Sn (V ); ψ 7→ ψ ◦ (f × · · · × f ).
4. Zweifache Ausführung des Dualitätsfunktors gibt uns den Bidualitätsfunktor ∗∗
der jedem endlichdimensionalen K-Vektorraum V den Bidualraum V ∗∗ zuordnet
und jeder lineare Abbildung f : V → W die doppelt transponierte Abbildung
f tt . Dies ist ein einfach covarianter, linearer Funktor.
5. Weiter haben wir den einfach co- und einfach contravarianten Funktor Hom der
je zwei endlichdimensionalen K-Vektorräumen V, W den Vektorraum Hom(V, W )
aller linearen Abbildungen von V nach W zuordnet. Für lineare Abbildungen
f : V 0 → V , g : W → W 0 ist dann
Hom(f, g) : Hom(V, W ) → Hom(V 0 , W 0 ); ψ 7→ g ◦ ψ ◦ f.
Dieser Funktor ist bilinear.
6. Ein n-fach covarianter multilinearer Funktor Tn ist durch das Tensorprodukt
gegeben, für endlichdimensionale K-Vektorräume V1 , . . . , Vn sei Tn (V1 , . . . , Vn ) =
V1 ⊗ · · · ⊗ Vn und für lineare Abbildungen fj : Vj → Wj für 1 ≤ j ≤ n sei
Tn (f1 , . . . , fn ) = f1 ⊗ · · · ⊗ fn .
Wir wollen auch noch an einen zweiten Begriff in diesem Rahmen erinnern. Angenommen wir haben zwei differenzierbare Funktoren Φ, Ψ : Vpq (K) → V (K). Eine natürliche
Transformation η : Φ → Ψ ordnet jedem Tupel V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq endlichdimensionaler K-Vektorräume eine lineare Abbildung
η(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq ) : Φ(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq ) → Ψ(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq )
zu so, dass für alle linearen Abbildungen fj : Vj → Vj0 für 1 ≤ j ≤ p, gj : Wj0 → Wj für
1 ≤ j ≤ q stets
η(V10 , . . . , Vp0 , W10 , . . . , Wq0 ) ◦ Φ(f1 , . . . , fp , g1 , . . . , gq )
= Ψ(f1 , . . . , fp , g1 , . . . , gq ) ◦ η(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq )
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gilt. Weiter heißt η eine natürliche Äquivalenz wenn η(V1 , . . . , Vp , W1 , . . . , Wq ) stets ein
Isomorphismus ist. Ist beispielsweise ∗∗ der Bidualisierungsfunktor, so haben wir für
jeden endlichdimensionalen K-Vektorraum V den Isomorphismus
η(V ) : V → V ∗∗ ; v 7→ vb : V ∗ → K; φ 7→ φ(v),
und dann ist η eine natürliche Äquivalenz des identischen Funktors zum Bidualisierungsfunktor. Wir schauen uns auch noch ein etwas komplizierteres Beispiel an. Seien
V, W zwei endlichdimensionale Vektorräume über K. Dann ist die Abbildung
µ : V ∗ × W → Hom(V, W ); (φ, w) 7→ µ(φ, w) : V → W ; x 7→ φ(x)w
bilinear, definiert also eine lineare Abbildung
η(V, W ) : V ∗ ⊗ W → Hom(V, W )
mit η(φ ⊗ w) = µ(φ, w) für alle φ ∈ V ∗ , w ∈ W und dies ist eine natürliche Äquivalenz
η : V ∗ ⊗ W → Hom(V, W ). Wir zeigen jetzt, dass sich jeder differenzierbare Funktor
endlichdimensionaler, reeller oder komplexer Vektorräume auf Vektorbündel überträgt.
Satz 3.13 (Natürliche Konstruktionen von Vektorbündeln)
Seien K ∈ {R, C}, p, q ∈ N und Φ : Vpq (K) → V (K) ein differenzierbarer Funktor.
Weiter seien m ∈ N, M eine berandete m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und E1 , . . . , Ep , Ep+1 , . . . , Ep+q K-Vektorbündel über M . Für 1 ≤ i ≤ p + q sei ri
der Rang von Ei und setze
V := Φ(K r1 , . . . , K rp , K rp+1 , . . . , K rp+q ), d := dim V, r := m + d · dimR K.
(a) Sind U ⊆ M offen und sind für 1 ≤ i ≤ p + q Basisfelder Bji (1 ≤ j ≤ ri ) von Ei
über U gegeben, so sei für jedes x ∈ U , 1 ≤ i ≤ p + q der Vektorraumisomorphismus ψxi : K ri → Ei,x durch ψxi (ej ) = Bji (x) für 1 ≤ j ≤ ri definiert. Wir erhalten
für jedes x ∈ U den Isomorphismus
1
p
p+1 −1
p+q −1
ψx := Φ ψx , . . . , ψx , ψx
, . . . , ψx
: V → Φ(E1,x , . . . , E(p+q),x ).
Ist b1 , . . . , bd eine Basis von V , so definieren wir für x ∈ U , 1 ≤ i ≤ d
Bi (x) := ψx (bi ) ∈ Φ E1,x , . . . , E(p+q),x
und B1 (x), . . . , Bd (x) ist dann eine Basis von Ex = Φ(E1,x , . . . , E(p+q),x ). Dann
gibt es genau eine Topologie τ auf
[
E := Φ(E1 , . . . , Ep+q ) :=
{x} × Φ E1,x , . . . , E(p+q),x ,
x∈M
und genau einen Hr,∞ -Atlas A auf (E, τ ) so, dass p := pr1 : E → M ein KVektorbündel von Rang d über M ist, und all die eben konstruierten Bi (1 ≤ i ≤ d)
Basisfelder von E sind.
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(b) Ist Ψ : Vpq (K) → V (K) ein weiterer differenzierbarer Funktor und ist η : Φ → Ψ
eine natürliche Transformation, so ist
fη : Φ(E1 , . . . , Ep+q ) → Ψ(E1 , . . . , Ep+q ); (x, u) 7→ (x, η(E1,x , . . . , Ep+q,x )u)
ein Morphismus von Vektorbündeln über M . Ist η sogar eine natürliche Äquivalenz, so ist fη eine Äquivalenz von Vektorbündeln über M .
Beweis: (a) Da die Einschränkungen von Basisfeldern eines Vektorbündels auf eine
offene Teilmenge ihres Definitionsbereichs wieder Basisfelder sind, gibt es für jeden
Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U von x in M und für jedes 1 ≤ i ≤ p + q
Basisfelder B1i , . . . , Brii ∈ Γ∞ (U, Ei ) von Ei . Damit bilden die Definitionsbereiche der
in der Behauptung konstruierten Schnitte von E eine offene Überdeckung von M . Wir
weisen jetzt die Verträglichkeitsbedingung aus Satz 12 nach. Seien also U, U 0 ⊆ M
offen in M und seien Bji , ψxi , ψx , bj , Bi für U sowie Bj0 i , ψx0 i , ψx0 , b0j , Bi0 für U 0 wie
in der Behauptung gegeben. Für jedes 1 ≤ i ≤ p haben wir dann Funktionen aikl ∈
C ∞ (U ∩ U 0 , K) (1 ≤ k, l ≤ ri ) mit
i
Bk0 (x)
=
ri
X
aikl (x)Bli (x)
l=1
0
für alle 1 ≤ k ≤ ri , x ∈ U ∩ U . Für x ∈ U ∩ U 0 , 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ k ≤ ri ist dann
ri
ri
0i
0i X
X
i −1
i −1
i
i −1
i
ψx
ψx (ek ) = ψx
Bk (x) =
akl (x) ψx
Bl (x) =
aikl (x)el ,
l=1
l=1
d.h. setzen wir


ai11 (x) · · · airi ,1 (x)


..
..
Ai (x) := 
 ∈ GLri (K),
.
.
i
i
a1,ri (x) · · · ari ,ri (x)
so ist Ai ∈ C ∞ (U ∩ U 0 , GLri (K)) mit
i
ψx0 (u) = ψxi (Ai (x)u)
für jedes x ∈ U ∩ U 0 und alle u ∈ K ri . Für p + 1 ≤ i ≤ p + q erhalten wir analog
Funktionen Ai ∈ C ∞ (U ∩ U 0 , GLri (K)) mit ψxi (u) = ψx0 i (Ai (x)u) für p + 1 ≤ i ≤ p + q,
x ∈ U ∩ U 0 , u ∈ K ri . Es folgt weiter für x ∈ U ∩ U 0
−1
−1 −1
ψx−1 ◦ ψx0 = Φ ψx1 , . . . , ψxp , ψxp+1
, . . . , ψxp+q
−1
−1 01
0p
0 p+1
0 p+q
◦ Φ ψ x, . . . , ψ x, ψ x
,..., ψ x
−1
−1
1 −1
01
p −1
0p
0 p+1
p+1
0 p+q
p+q
= Φ ψx
◦ ψ x , . . . , (ψx ) ◦ ψ x , ψ x
◦ ψx , . . . , ψ x
◦ ψx
= Φ (A1 (x), . . . , Ap+q (x))
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da Φ in den hinteren q Variablen kontravariant ist, wobei die Matrizen Ai (x) für 1 ≤
i ≤ p + q mit den durch sie gegebenen Endomorphismen des K ri identifiziert werden.
Da Φ und alle Ai (1 ≤ i ≤ p + q) differenzierbar sind, ist auch die Abbildung
U ∩ U 0 → Hom(V, V ); x 7→ ψx−1 ◦ ψx0
in C ∞ (U ∩ U 0 , Hom(V, V )). Definieren wir also die Funktionen fij : U ∩ U 0 → K
(1 ≤ i, j ≤ d) durch
d
X
−1
0
0
ψx (ψx (bi )) =
fij (x)bj
j=1
für 1 ≤ i ≤ d, x ∈ U ∩ U 0 , so ist fij ∈ C ∞ (U ∩ U 0 , K) (1 ≤ i, j ≤ d) und es gilt für
P
1 ≤ i ≤ d, x ∈ U ∩ U 0 stets Bi0 (x) = dj=1 fij (x)Bj (x). Mit Satz 12 ergibt sich unsere
Behauptung (a).
(b) Setze E := Φ(E1 , . . . , Ep+q ) und F := Ψ(E1 , . . . , Ep+q ) und bezeichne α : E → M ,
β : F → M die Projektionen dieser beiden Vektorbündel. Es gilt β ◦ fη = α und für
jedes x ∈ M ist die Abbildung
fη,x = η(E1,x , . . . , Ep+q,x ) : Φ(E1,x , . . . , Ep+q,x ) → Ψ(E1,x , . . . , Ep+q,x )
linear. Es ist also nur noch einzusehen das fη ∈ C ∞ (E, F ) gilt. Sei x ∈ M . Dann existiert eine offene Umgebung U von x in M so, dass es für jedes 1 ≤ i ≤ p+q stets Basisfelder Bji ∈ Γ∞ (U, Ei ) (1 ≤ k ≤ ri ) von Ei über U gibt. Setze V := Φ(K r1 , . . . , K rp+q ),
W := Ψ(K r1 , . . . , K rp+q ), d := dim V , e := dim W und wähle Basen b1 , . . . , bd von V
und c1 , . . . , ce von W . Bezeichne A ∈ K e×d die Matrix von η(K r1 , . . . , K rp+q ) : V → W
bezüglich dieser Basen von V und W . Gemäß der Konstruktion aus (a) erhalten wir
weiter Basisfelder Bi ∈ Γ∞ (U, E) (1 ≤ i ≤ d) von E und Ci ∈ Γ∞ (U, F ) (1 ≤ i ≤ e)
von F . Seien y ∈ U und 1 ≤ i ≤ d. Sind dann die Vektorraumisomorphismen ψyj für
1 ≤ j ≤ p + q wie in (a) definiert, so haben wir
fη (Bi (y)) = η(E1,y , . . . , Ep+q,y ) Φ ψy1 , . . . , ψyp , (ψyp+1 )−1 , . . . , (ψyp+q )−1 bi
= Ψ ψy1 , . . . , ψyp , (ψyp+1 )−1 , . . . , (ψyp+q )−1 (η(K r1 , . . . , K rp+q )bi )
!
e
X
1
p
p+1 −1
p+q −1
= Ψ ψy , . . . , ψy , (ψy ) , . . . , (ψy )
Aji cj
j=1
=
e
X
Aji Ψ
ψy1 , . . . , ψyp , (ψyp+1 )−1 , . . . , (ψyp+q )−1
(cj ) =
e
X
j=1
j=1
Nach Lemma 10.(a) sind
ϕ : U × K d → α−1 (U ); (y, t) 7→
y,
d
X
i=1
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!
ti Bi (y)
Aji Cj (y).
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eine lokale Trivialisierung von E und
ψ : U × K e → β −1 (U ); (y, t) 7→
y,
e
X
!
ti Ci (y)
i=1
eine lokale Trivialisierung von F . Für y ∈ U , t ∈ K d ist
fη (ϕ(y, t)) =
d
X
ti fη (Bi (y)) =
i=1
e
d
X
X
j=1
!
Aji ti Cj (y) = ψ(y, At)
i=1
und mit §2.Lemma 34.(e,g,h,j) ergibt sich fη |α−1 (U ) ∈ C ∞ (α−1 (U ), β −1 (U )). Insbesondere ist fη : E → F stetig und mit §2.Lemma 34.(b,d) folgt schließlich fη ∈ C ∞ (E, F ).
Damit ist fη : E → F ein Morphismus von Vektorbündeln über M .
Schließlich sei η sogar eine natürliche Äquivalenz. Für jedes x ∈ M ist
fη,x = η(E1,x , . . . , Ep+q,x )
dann ein Vektorraumisomorphismus, also ist fη nach Lemma 11 eine Äquivalenz von
Vektorbündeln über M .
Haben wir also ein Vektorbündel E über einer berandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit M , so haben wir auch ein duales Vektorbündel E ∗ , ein Vektorbündel
Sn (E) der symmetrischen n-fachen Multilinearformen auf E und so weiter. Wir wollen
uns das duale Vektorbündel einmal näher anschauen. Seien U ⊆ M in M offen und
B1 , . . . , Br ∈ Γ∞ (U, E) Basisfelder von E über U . Für jedes x ∈ U haben wir dann den
durch ψx (ei ) = Bi (x) für 1 ≤ i ≤ r definierten Isomorphismus. Weiter ist V := (K r )∗
und als auf V verwenden wir die zu e1 , . . . , er duale Basis e∗1 , . . . , e∗r . Gemäß der Konstruktion in Teil (a) des Satzes erhalten wir auf U definierte Basisfelder B1∗ , . . . , Br∗ von
E ∗ durch Bi∗ (x) = (ψx−1 )t (e∗i ) für 1 ≤ i ≤ r, x ∈ U . Sei x ∈ U . Für alle 1 ≤ i, j ≤ r ist
dann
Bi∗ (x)(Bj (x)) = (ψx−1 )t (e∗i )(Bj (x)) = e∗i (ψx−1 (Bj (x))) = e∗i (ej ) = δij ,
d.h. B1∗ (x), . . . , Br∗ (x) ist die zu B1 (x), . . . , Br (x) duale Basis von Ex∗ .
3.3
Das Tangentialbündel
In §1 war die Ableitung einer Funktion f : M → N in einem Punkt p ∈ M eine
lineare Abbildung f 0 (p) : Mp → Nf (p) der Tangentialräume an den jeweiligen Punkten.
Genauso wird auch in der allgemeinen Situation die Ableitung einer Funktion in einem
Punkt als lineare Abbildung zwischen gewissen Vektorräumen definiert werden, und
unser erstes Ziel ist es, diese Vektorräume einzuführen.
In §1 hatten wir den Tangentialraum Mp als einen Teilraum des sowieso vorhandenen umgebenden Vektorraums Rd eingeführt, aber so etwas ist mangels eines umgebenden Vektorraums im allgemeinen Fall nicht möglich. Trotzdem können wir die
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richtige Idee sehen, wenn wir uns noch einmal an das Vorgehen des §1 erinnern. Der
Tangentialraum wurde dort ja genau als die Menge der Vektoren v des Rd konstruiert
für die die Richtungsableitung in Richtung v für Funktionen f ∈ C q (M ) Sinn machte. Aus technischen Gründen hatten wir diese Eigenschaft nicht direkt als Definition
verwendet, aber in Aufgabe (10) wurde gezeigt, dass es sich genau um diese v handelt.
Dies legt die Idee nahe, dass gar nicht die Vektoren v selbst das Wesentliche sind,
sondern dass die entscheidenden Objekte die zugehörigen Richtungsableitungen sind.
Tatsächlich werden wir für einen Punkt p einer allgemeinen differenzierbaren Mannigfaltigkeit Tangentialvektoren an p überhaupt als Richtungsableitungen definieren. Wir
müssen nur irgendwie abstrakt ausdrücken können was eigentlich das Kennzeichnende
einer Richtungsableitung ist. Wesentlich für alles Ableitungsartige ist natürlich, dass
nur das Verhalten einer Funktion in der Nähe des Punktes p von Interesse ist. Das
führt auf die Idee einen Tangentialvektor als eine auf jeder Menge C ∞ (U ) für offene
Umgebungen U von p definierte Abbildung v einzuführen, die noch zu spezifizierende
Bedingungen erfüllen muss. Die Lokalität ist dann die Forderung v(f ) = v(g) falls
f ∈ C ∞ (U ), g ∈ C ∞ (V ) auf einer offenen Umgebung W ⊆ U ∩ V von p übereinstimmen. Technisch etwas bequemer ist es lokale C ∞ -Funktionen bei p einzuführen, die wir
dann als Definitionsbereich von v verwenden; die sogenannten Keime differenzierbarer
Funktionen.
Definition 3.10 (Keime von C ∞ -Funktionen)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Sei
[
C ∞ (p) :=
{C ∞ (U )|U ⊆ M offen, p ∈ U }
die Menge der in einer offenen Umgebung von p definierten C ∞ -Funktionen. Sind
U, V ⊆ M offen mit p ∈ U, V und sind f ∈ C ∞ (U ), g ∈ C ∞ (V ), so definieren wir
Es gibt eine in M offene Menge W ⊆ M
f ∼ g ⇐⇒
mit p ∈ W ⊆ U ∩ V und f |W = g|W .
Dann ist ∼ offenbar eine Äquivalenzrelation auf C ∞ (p), und wir schreiben
Fp := C ∞ (p)/ ∼ .
Die Elemente von Fp heißen Keime differenzierbarer Funktionen in p.
Wir wollen einige einfache Tatsachen über Keime festhalten.
1. Sind U ⊆ M offen und f ∈ C ∞ (U ) mit p ∈ U , so schreiben wir [f ] := [f ]p := f ∼
für den Keim von f in p, d.h. für die Äquivalenzklasse von f ∈ C ∞ (p) in Fp .
2. Ist ξ ∈ Fp so existiert ein f ∈ C ∞ (M ) mit ξ = [f ]. In der Tat, zunächst gibt
es eine offene Menge U ⊆ M mit p ∈ U und ein g ∈ C ∞ (U ) mit ξ = [g]. Dann
wählen wir mit §2.Lemma 28.(a) und §2.Satz 14.(b) eine offene Menge V ⊆ M
mit p ∈ V ⊆ V ⊆ U , und finden mit Aufgabe (31.a) ein f ∈ C ∞ (M ) mit
f |V = g|V . Diese Funktion erfüllt jetzt [f ] = [g] = ξ.
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3. Sind f, g ∈ C ∞ (p) mit f ∼ g, so gilt insbesondere f (p) = g(p). Also können wir
[f ](p) := f (p) schreiben.
4. Wir können Fp in natürlicher Weise zu einer reellen Algebra machen. Für f, g ∈
C ∞ (p), c ∈ R definieren wir
[f ] + [g] := [f + g],
[f ] · [g] := [f g],
c · [f ] := [cf ],
wobei f + g und f g jeweils auf dom(f ) ∩ dom(g) definiert sind. Dies ist offenbar wohldefiniert, d.h. von den speziell zur Darstellung der Keime verwendeten
Funktionen unabhängig, und Fp wird so eine reelle Algebra.
5. Offenbar ist die Abbildung Fp → R; ξ 7→ ξ(p) ein Algebrenhomomorphismus.
Mittels der Keime konstanter Funktionen sehen wir, dass dieser Homomorphismus
auch surjektiv ist, d.h.
Mp := {ξ ∈ Fp : ξ(p) = 0} Fp
ist ein Ideal von Fp mit Fp /Mp ' R. Insbesondere ist Mp also sogar ein maximales
Ideal von Fp .
6. Ein Keim ξ ∈ Fp ist genau dann invertierbar, also eine Einheit von Fp , wenn
ξ(p) 6= 0 ist. Da das Auswerten ein Homomorphismus ist, ist diese Bedingung
notwendig und ist umgekehrt ξ(p) 6= 0, so gibt es eine offene Umgebung U von
p in M und eine Funktion f ∈ C ∞ (U ) mit ξ = [f ], und dann ist f (p) 6= 0,
also ist g := (f |U \f −1 (0))−1 ∈ C ∞ (U \f −1 (0)) ⊆ C ∞ (p) mit ξ · [g] = [1] in Fp .
Insbesondere besteht das maximale Ideal Mp aus den Nichteinheiten von Fp , also
ist es auch das eindeuzige maximale Ideal Fp und Fp ist ein lokaler Ring.
Wie schon gesagt wollen wir Tangentialvektoren in einem Punkt p als Richtungsablei”
tungen“ definieren. Diese sollen ein linearer und lokaler Begriff sein und diese Anforderung realisieren wir indem Tangentialvektoren als lineare Funktionen auf der Algebra
Fp der Keime definiert werden. Es stellt sich heraus das die Richtungsableitungen“
”
unter diesen Funktionen durch die Produktregel charakterisiert werden können, d.h.
wir definieren:
Definition 3.11 (Tangentialvektoren einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Ein Tangentialvektor von M in p ist eine lineare Abbildung v : Fp → R, wobei Fp die Algebra der
Keime in p bezeichnet, die die Produktregel erfüllt, d.h. für alle ξ, η ∈ Fp gilt
v(ξ · η) = ξ(p)v(η) + v(ξ)η(p).
Die Menge aller Tangentialvektoren von M in p heißt der Tangentialraum von M in p,
geschrieben als Mp oder Tp M .
Der Tangentialraum Tp M ist offenbar ein Untervektorraum des Dualraums F∗p .
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