Interferenz und Beugung

Interferenz und Beugung - Optische Instrumente
Martina Stadlmeier
25.03.2010
1
Inhaltsverzeichnis
1 Kohärenz
3
2 Interferenz
3
2.1
Interferenz an einer planparallelen Platte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Interferenz am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Beugung
5
3.1
Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Optische Instrumente
4.1
4.2
4.3
4.4
7
Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1.1
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1.2
Räumliche Auflösung und Empfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Vergrößernde optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2.1
Schärfentiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2.2
Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.3
Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.4
Das Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Rolle der Beugung bei optischen Instrumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.3.1
Auflösungsvermögen des Fernrohrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.3.2
Auflösungsvermögen des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3.3
Auflösungsvermögend des Mikroskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Lichtstärke optischer Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
1
Kohärenz
Damit eine stationäre Interferenzstruktur (=Überlagerung von Wellen) beobachtet werden kann, darf sich die
Phasendifferenz ∆ϕ zweier interferierender Strahlen nur um weniger als 2π ändern. Solche Wellen nennt man
zeitlich kohärent.
Die maximale Zeitspanne ∆tc in der ∆ϕ < 2π heißt Kohärenzzeit.
Die Strecke, die das Licht in der Kohärenzzeit zurücklegt, wird als Kohärenzlänge ∆sc bezeichnet.
Inkohärenz kann enstehen durch:
• eine Änderung/Schwankung der Frequenz ν
• endliche Länge der von der Lichtquelle ausgehenden Wellenzüge
• fluktuierenden Brechungsindex im Medium
Bsp.: Besitzt eine Lichtquelle eine ”spektrale Breite” ∆ν, so variiert die Frequenz des emittierten Lichtes im
Intervall ν0 ± ∆ν
2 . Sei nun
ν1 = ν0 −
∆ν
2
ν2 = ν0 +
∆ν
2
∆ϕ(t0 ) = 0
Zur Bestimmung der Kohärenzzeit ∆tc setzt man die Phasendifferenz ∆ϕ = 2π:
∆ϕ = 2π = 2π ∆ν ∆tc
⇒ ∆tc =
2
2.1
1
∆ν
Interferenz
Interferenz an einer planparallelen Platte
Abb. 1: Interferenz an planparalleler Platte
Die optische Weglängendifferenz zwischen dem direkt reflektierten und dem einmal transmittierten Strahl beträgt:
3
∆s = ∆s1 + ∆s2 =
∆s =
2nd
cos β
2nd
cos β
−
− 2 d sin α tan β
2 n d sin2 β
cos β
∆s = 2 n d cos β
√
∆s = 2 d n2 − sin2 α
Achtung: Diese Rechnung beinhaltet nur die optische Weglängendifferenz! Eventuelle Phasensprünge müssen
noch berücksichtigt werden!!
Bsp.: Falls n1 < n2 tritt an der oberen Grenzfläche ein Phasensprung auf. Daraus ergibt sich dann:
∆s = (m + 21 )λ
konstrukive Interferenz
∆s = mλ
destruktive Interferenz
Analoge Überlegungen sind anzustellen bei Aufgaben mit Interferenz an dünnen Schichten. Die optische Weglängendifferenz ist dabei immer die oben hergeleitete, allerdings ist auf die Brechzahlen zu achten, die für
Phasensprünge verantwortlich sind!
2.2
Interferenz am Gitter
Will man die Interferenz an einem Gitter betrachten, so geht man davon aus, dass an jedem Spalt eine Elementarwelle entsteht. Diese Elemtentarwellen interferieren dann. Hier soll nzunächst ein ideales Gitter betrachtet
werden, das heißt man nimmt unendlich dünne Spalte an, sodass keine Beugungserscheinungen auftreten.
Abb. 2: Interferenz am Gitter
Im Interferenzbild eines Gitters sind Hauptmaxima und Nebenmaxima zu erkennen. (s.Abb. 3)
Abb. 3: Interferenzbild eines Gitters mit 5 bzw. 20 Spalten
4
Die Hauptmaxima entstehen, wenn die Wegdifferenz je zweier benachbarter Spalte gerade ein Vielfaches der
Wellenlänge λ beträgt:
∆s = d sin α = m λ
⇒ sin α =
m
d
λ
Hauptmaxima
Zwischen zwei Hauptmaxima befinden sich immer N − 1 Minima und N − 2 Nebenmaxima. Es gelten folgende
Beziehungen:
sin α =
2 m+1 λ
2N d
Nebenmaxima (m = 0, 1, . . . N − 2)
Die Minima ergeben sich für:
sin α =
m
Nd
λ
Minima
Die höchstmögliche Interfernzordnung mmax ist begrenzt durch sin α ≤ 1
⇒ mmax =
3
d
λ
Beugung
Beim Vorbeigehen an ”Kanten” wird das Licht in Richtungen abgelenkt, die man mit der geometrischen Optik
nicht erklären kann. Dieses Phänomen wird Beugung genannt.
Beugung tritt immer dann in den Vordergrund, wenn sich die Ausdehnung zu beobachtender Objekte (z.B.
Spalte) in der Größenordnung der Wellenlänge λ befindet.
3.1
Beugung am Einzelspalt
Geometrische Überlegungen liefern für die Intensitätsverteilung I(α):
I(α) ∝
b
sin2 (π λ
sin α)
b
(π λ
sin α)2
Hierbei ist b die Breite des Spalts und α der Winkel unter den man den Spalt betrachtet.
Bei der Beugung an einem Spalt tritt das Hauptmaximum bei α = 0 auf. Es besitzt die Breite:
∆α =
2λ
b
Breite des Hauptmaximums
Intensitätsminima ergeben sich am (Einzel-)Spalt für die Werte von α, für die der Zähler der Intensität verschwindet, also:
5
π
b
λ
sin α = m π
⇒ sin α =
m
b
λ
Intensitätsminima
Die weiteren Maxima liegen jeweils in der Mitte zwischen zwei Minima, also:
sin α = (m + 12 ) λb
Intensitätsmaxima
Abb. 4: Beugungsbild eines Einfachspaltes
Bemerkungen:
• Die Beugungsmaxima nehmen mit zunehmender Ordnung sehr schnell an Höhe ab!
• Die Beugung bewirkt eine Aufweitung von Lichtbündeln
• je größer die Spaltbreite b, desto geringer ist die Beugung (b λ ⇒ geringe/keine Beugung)4
• falls b < λ gibt es keine Intensitätsminima mehr. Stattdessen dehnt sich das zentrale Hauptmaximum über
den ganzen Halbraum aus (wird nach außen hin schwächer)
3.2
Beugungsgitter
Bei einem Beugungsgitter (=Anordnung von N Einzelspalten der Breite b mit Spaltabstand d) treten zwei
Phänomene auf:
• Interferenz der Lichtbündel der N Spalte
• Beugung an jedem einzelnen Spalt
Die Intensitätsverteilung I(α) hängt nun dementsprechend von zwei Faktoren ab:
I(α) ∝
b
d
sin2 (π λ
sin α) sin2 (N π λ
sin α)
b
d
(π λ
sin α)2
sin2 (π λ
sin α)
Dabei beschreibt der erste Bruch die Beugung, die an jedem der Spalte auftritt und der zweite Term beschreibt
die Interferenz der N Spalte. Abb. 5 zeigt die am Beugungsgitter zu beobachtende Intensitätsverteilung. Die
Einhüllende ist dabei durch das Phänomen der Beugung gegeben, die tatsächlich sichtbaren Maxima und Minima
sind durch Interferenz der N Spalte zu erklären.
6
Abb. 5: Intensitätsverteilung am Beugungsgitter
Von Interesse ist dabei meist, bei welcher Ordnung m ein Interferenzhauptmaximum auf das erste Beugungsminimum (das ja bei sin α = λb ist) trifft:
Für die Interferenz der Spalte ist die Bedingung für ein Hauptmaximum
sinα = m λd
⇒m=
d
b
Diese Ordnung ergibt sich also gerade aus dem Quotienten von Spaltabstand und Spaltbreite.
4
Optische Instrumente
4.1
4.1.1
Das Auge
Allgemeines
• Für das Auge sind die Brennweiten f1 und f2 unterschiedlich, da die Medien auf beiden Seiten der Linse
(Luft bzw. Glaskörper) nicht dieselben sind.
• Kurzsichtigkeit: Die bildseitige Brennweite ist zu klein, also ist die Linse zu stark gekrümmt. Da das Bild
aufgrunddessen vor der Netzhaut ist, muss ene Zerstreuungslinse verwendet werden.
• Weitsichtigkeit: Augenlinse ist zu gering gekrümmt. Das Bild bzw. die Bildebene befindet sich hinter der
Netzhaut. Deshalb muss in diesem Fall eine Sammellinse als Brille verwendet werden.
4.1.2
Räumliche Auflösung und Empfindlichkeit
7
Abb. 6: Abbildungen mit dem Auge
Je näher ein Gegenstand am Auge ist, desto größer erscheint er uns.
tan 2 =
⇒≈
G
2g
G
g
Auch hier gilt die Abbildungsgleichung für Linsen:
f1
g
+
f2
b
=1
b ist konstant, da der Abstand von der Linse zur Netzhaut sich nicht ändert. Somit muss sich die Linsenkrkümmung verändern, damit für unterschiedliche g ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht.
• Dies ist nur möglich bis zu einem Mindestabstand g = smin ≈ 10cm
• Der Mindestabstand s0 mit dem ohne Ermüdung des Auges gesehen werden kann heißt deutliche Sehweite: s0 = 25cm.
• Der zu s0 gehörige Sehwinkel wird mit 0 bezeichnet.
Der minimale Sehwinkel min der noch aufgelöst werden kann ist limitiert durch:
• Rezeptorabstand auf der Netzhaut
• Beugung an der Pupille
∆xmin = s0 min = 70µm
Auflösbarer Abstand zweier Punkte für s = s0
4.2
Vergrößernde optische Instrumente
Vergrößernde optische Instrumente dienen dazu, den Sehwinkel zu vergrößern, ohne dass dabei s0 unterschritten
wird. Hierzu wird die Winkelvergrößerung V eingeführt:
V =
0
wobei den Sehwinkel mit Instrument darstellt und 0 den Sehwinkel ohne Instrument.
4.2.1
Schärfentiefe
Abb. 7: Herleitung zur Schärfentiefe
8
u
D
⇒
u
D
=
∆b
b0 +∆b
=
∆b
b0
für ∆b b0
u b0
d
⇒ ∆b =
h(g, b) =
1
g
1
b
+
⇒ dh =
∂h
∂g
dg +
⇔
∆g
g2
+
1
f
∂h
∂b
db ≡ 0
∆b
b2
u
D
≡0
≡0
∆b
b2
g2
b0
g2
b20
⇒ −∆g =
−∆g =
−
Unter der Annahme, dass g f folgt also dass b0 = f und somit für die Schärfentiefe:
−∆g =
g2 f
f2 D
u
Dabei bezeichnet u den Durchmesser des Scheibchens in der Bildebene, das das Auflösungsvermögen beschränkt.
4.2.2
Die Lupe
Eine Lupe ist eine Sammellinse mit einer kurzen Brennweite.
Für die Vergrößerung (Winkelvergrößerung) der Lupe gilt:
VLu =
0
=
G s0
f G
VLu =
=
s0
f
s0
f
Will man ein noch größeres V erreichen, so bringt man das Objekt näher an die Lupe ⇒ g < f . Somit erhält
man dann: VLu = sg0 . Allerdings ist dann kein entspanntes Sehen mehr möglich.
4.2.3
Das Mikroskop
Ein Mikroskop besteht aus zwei Linsen: die erste ist das Objektiv, die zweite wird als Okular bezeichnet. Das
Objektiv erzeugt ein reelles Zwischenbild.
Abb. 8: Mikroskop
9
B
G
=
b
g
d = b + f2
tan =
B
f2
=
Gb
g f2
Der Sehwinkel 0 ohne Vergrößerung bei Abstand s0 ist:
tan =
G
s0
Daraus folgt dann für die Winkelvergrößerung VM ik :
VM ik =
G b s0
g f2 G
=
b s0
g f2
Nimmt man nun an, dass g ≈ f1 so erhält man schließlich:
VM ik =
4.2.4
(d−f2 ) s0
f1 f2
Das Fernrohr
Abb. 9: Fernrohr
B
f1
0 =
=
B
f2
VF =
f1
f2
Die Vergrößerung eines Fernrohrs ist also durch das Verhältnis der Brennweiten gegeben!
4.3
Rolle der Beugung bei optischen Instrumenten
Das maximale Auflösungsvermögen optischer Instrumente ist begrenzt durch Beugungserscheinungen!
4.3.1
Auflösungsvermögen des Fernrohrs
Abb. 10: Auflösungsvermögen Fernrohr
10
Es gilt:
λ
δmin = 1, 22 D
Das Winkelauflösungsvermögen RW wird definiert als das Reziproke von δmin : RW =
erhält man damit:
Für das Fernrohr
D
1,22 λ
RW =
4.3.2
1
δmin .
Auflösungsvermögen des Auges
Die Linse des Auges erzeugt (aufgrund von Beugung) ein Beugungsscheibchen auf der Netzhaut mit einem
Durchmesser:
dbeug = 2, 44 λDf ≈ 10µm
Die dazugehörige beugungsbedingte Winkelauflösung (für λ = 550nm):
λ
δmin = 1, 22 D
≈ 3, 3 10−4
Damit ergibt sich der Mindestabstand ∆xmin den zwei Punkte mindestens haben müssen, damit sie noch unterscheidbar sind (für die deutliche Sehweite s0 = 25cm):
∆xmin = δmin s0 ≈ 70µm
4.3.3
Auflösungsvermögend des Mikroskops
Auch bei dem vom Objektiv erzeugten reellen Zwischenbild entsteht ein Beugungsscheibchen mit
dbeug = 2, 44 λDb
Mit dem Strahlensatz und unter der Annahme, dass g ≈ f gilt dann:
∆xmin =
1
2
dbeug
g
b
= 1, 22 λDg
∆xmin = 1, 22 λDf
4.4
Lichtstärke optischer Instrumente
Die von einem optischen Instrument durchgelassene Lichtleistung ist abhängig von den Blenden.
• Eintrittspupille := maximaler Durchmesser auf Objektseite
• Austrittspupille := maximaler Durchmesser auf Bildseite
• Der Gegenstand G strahlt in den gesamten Raumwinkel 4π
• Die vom Instrument durchgelassene Strahlungsleistung I ist proportional zum Raumwinkel Ω:
2
Ω=
π D4
4 π f2
I∼
=
1
16
1
16
2
(D
f )
2
(D
f )
Dabei ist zu beachten, dass f nicht unbedingt die Brennweite sein muss, im Allgemeinen ist es die Gegenstandsweite g!!
11