Gruppen, Graphen, Symmetrie

Gruppen, Graphen, Symmetrie –
Was sind negativ gekrümmte Gruppen?
MNU-Landestagung. 02/2012. Regensburg
Clara Löh
Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg
Überblick
Zwei Paradigmen der modernen (theoretischen) Mathematik
I
Abstraktion
I
Neue Kombinationen verschiedener Gebiete der Mathematik
Clara Löh
Einleitung
2
Überblick
Zwei Paradigmen der modernen (theoretischen) Mathematik
I
Abstraktion
I
Neue Kombinationen verschiedener Gebiete der Mathematik
Geometrie
Gruppen
?!
Clara Löh
Einleitung
2
Überblick
Zwei Paradigmen der modernen (theoretischen) Mathematik
I
Abstraktion
I
Neue Kombinationen verschiedener Gebiete der Mathematik
Geometrie
Gruppen
?!
(Negative) Krümmung
Symmetrien −→ Gruppen
Gruppen −→ Symmetrien
Negativ gekrümmte Gruppen
Clara Löh
Einleitung
2
Überblick
(Negative) Krümmung
Symmetrien −→ Gruppen
Gruppen −→ Symmetrien
Negativ gekrümmte Gruppen
Clara Löh
(Negative) Krümmung
3
Exakte Landkarten?
Problem
Gibt es Landkarten, die sowohl längen- als auch winkeltreu sind?
?
Clara Löh
(Negative) Krümmung
4
Exakte Landkarten?
Problem
Gibt es Landkarten, die sowohl längen- als auch winkeltreu sind?
?
Lösung
I
Dies ist nicht möglich!
I
Invariante, die dieses Phänomen erklärt: Krümmung
Clara Löh
(Negative) Krümmung
4
Krümmung
Clara Löh
(Negative) Krümmung
5
Krümmung
I
Krümmung von Kurven
große Krümmung
kleine Krümmung
Clara Löh
(Negative) Krümmung
5
Krümmung
I
Krümmung von Kurven
große Krümmung
negativ
kleine Krümmung
Clara Löh
positiv
(Negative) Krümmung
5
Krümmung
I
Krümmung von Kurven
große Krümmung
negativ
kleine Krümmung
I
Clara Löh
positiv
Krümmung von Flächen
(Negative) Krümmung
5
Krümmung
I
Krümmung von Kurven
große Krümmung
negativ
kleine Krümmung
I
Krümmung von Flächen
I
Krümmung von Mannigfaltigkeiten
Clara Löh
positiv
(Negative) Krümmung
5
Krümmung
Beispiel
Krümmung der Modellflächen:
sphärisch
positiv
Clara Löh
euklidisch
flach
(Negative) Krümmung
hyperbolisch
negativ
6
Krümmung
Beispiel
Krümmung der Modellflächen:
sphärisch
positiv
euklidisch
flach
hyperbolisch
negativ
Problem
Wie können wir Krümmungsbegriffe (insbesondere negative Krümmung)
auf allgemeinere Räume ausweiten?
Clara Löh
(Negative) Krümmung
6
Geodätische Dreiecke
I
Geodäte: (lokal) längenminimierender Weg
[http://www.gcmap.com/]
Clara Löh
(Negative) Krümmung
7
Geodätische Dreiecke
I
Geodäte: (lokal) längenminimierender Weg
[http://www.gcmap.com/]
I
geodätisches Dreieck: drei Punkte, verbunden durch Geodäten
positiv
Clara Löh
flach
(Negative) Krümmung
negativ
7
Geodätische Dreiecke
I
Geodäte: (lokal) längenminimierender Weg
[http://www.gcmap.com/]
I
geodätisches Dreieck: drei Punkte, verbunden durch Geodäten
positiv
flach
negativ
Beobachtung
Geodätische Dreiecke in negativ gekrümmten Räumen sind „dünn“.
Clara Löh
(Negative) Krümmung
7
Gromov-hyperbolische metrische Räume
Idee (Abstraktion (Gromov))
Die Eigenschaft der dünnen geodätischen Dreiecke zur Definition von
(globaler) negativer Krümmung machen!
δ
Dies führt zum Begriff Gromov-hyperbolischer metrischer Räume.
Clara Löh
(Negative) Krümmung
8
Gromov-hyperbolische metrische Räume – Beispiele
Beispiel
I
Gromov-hyperbolisch sind z.B.:
[Claudio Rocchini (CC/GPL, Wikipedia)]
Clara Löh
(Negative) Krümmung
9
Gromov-hyperbolische metrische Räume – Beispiele
Beispiel
I
Gromov-hyperbolisch sind z.B.:
[Claudio Rocchini (CC/GPL, Wikipedia)]
I
Nicht Gromov-hyperbolisch ist z.B. die euklidische Ebene:
(0, 3 · δ)
?
(0, 0)
Clara Löh
(3 · δ, 0)
(Negative) Krümmung
9
Überblick
(Negative) Krümmung
Symmetrien −→ Gruppen
Gruppen −→ Symmetrien
Negativ gekrümmte Gruppen
Clara Löh
Symmetrien −→ Gruppen
10
Symmetrien/Isometrien von metrischen Räumen
Beispiel
Clara Löh
Symmetrien −→ Gruppen
11
Symmetrien/Isometrien von metrischen Räumen
Beispiel
t
T
t0
T0
t00
T 00
I
Clara Löh
Spiegelungen: t, t0
, t00
,T
, T0
Symmetrien −→ Gruppen
, T 00
11
Symmetrien/Isometrien von metrischen Räumen
Beispiel
t
T
t0
T0
s
t00
T 00
I
I
Clara Löh
, t00
Spiegelungen: t, t0
2
3
4
Drehungen: s, s , s , s , s5 , s6
,T
, T0
, ... , s−1
Symmetrien −→ Gruppen
, T 00
, ...
11
Symmetrien/Isometrien von metrischen Räumen
Beispiel
t
T
t0
T0
s
t00
T 00
I
I
I
Clara Löh
, t00
Spiegelungen: t, t0
2
3
4
Drehungen: s, s , s , s , s5 , s6
Identität: id
,T
, T0
, ... , s−1
Symmetrien −→ Gruppen
, T 00
, ...
11
Symmetrien/Isometrien von metrischen Räumen
Beispiel
t
T
t0
T0
s
t00
T 00
I
I
I
I
Clara Löh
, t00
Spiegelungen: t, t0
2
3
4
Drehungen: s, s , s , s , s5 , s6
Identität: id
Weitere? Nein!
,T
, T0
, ... , s−1
Symmetrien −→ Gruppen
, T 00
, ...
11
Symmetrien/Isometrien von metrischen Räumen
Beispiel
t
T
t0
T0
s
t00
T 00
I
I
I
I
Clara Löh
Spiegelungen: t, t0 = s2 t, t00 = s4 t, T= st, T 0 = s3 t, T 00 = s5 t
Drehungen: s, s2 , s3 , s4 , s5 , s6 = id, ... , s−1 = s5 , ...
Identität: id
Weitere? Nein!
Symmetrien −→ Gruppen
11
Die Menge aller Symmetrien
Sym
= {id, t, s, s2 , s3 , s4 , s5 , st, s2 t, s3 t, s4 t, s5 t}
Beobachtung
I
Die Komposition zweier Isometrien ist eine Isometrie.
I
Die Komposition von Isometrien ist assoziativ.
I
Es gibt eine „langweilige“ Isometrie, die Identität.
I
Isometrien besitzen Inverse.
Clara Löh
Symmetrien −→ Gruppen
12
Abstraktion: Symmetrien −→ Gruppen
Definition (Gruppe)
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer
Verknüpfung · : G × G −→ G mit den folgenden Eigenschaften:
I
Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle g, h, k ∈ G gilt
(g · h) · k = g · (h · k).
I
Es gibt ein neutrales Element e ∈ G, d.h. für alle g ∈ G ist
g · e = g = e · g.
I
Jedes Element g ∈ G besitzt ein Inverses g−1 ∈ G, d.h.
g · g−1 = e = g−1 · g.
Clara Löh
Symmetrien −→ Gruppen
13
Beispiele für Gruppen
Beispiel
I
Clara Löh
Die Menge der Isometrien eines metrischen Raumes bildet eine
Gruppe bezüglich Komposition von Abbildungen:
Sym
= D6 = {id, t, s, s2 , s3 , s4 , s5 , st, s2 t, s3 t, s4 t, s5 t}
Symmetrien −→ Gruppen
14
Beispiele für Gruppen
Beispiel
I
Die Menge der Isometrien eines metrischen Raumes bildet eine
Gruppe bezüglich Komposition von Abbildungen:
Sym
= D6 = {id, t, s, s2 , s3 , s4 , s5 , st, s2 t, s3 t, s4 t, s5 t}
I
Symmetriegruppen von Pflasterungen:
[Claudio Rocchini (CC/GPL, Wikipedia)]
Clara Löh
Symmetrien −→ Gruppen
14
Beispiele für Gruppen
Beispiel
I
Die Menge der Isometrien eines metrischen Raumes bildet eine
Gruppe bezüglich Komposition von Abbildungen:
Sym
= D6 = {id, t, s, s2 , s3 , s4 , s5 , st, s2 t, s3 t, s4 t, s5 t}
I
Symmetriegruppen von Pflasterungen:
[Claudio Rocchini (CC/GPL, Wikipedia)]
I
Clara Löh
Abstrakte Gruppen: Z, Q, R, Z/2Z, S3 , Z2 ,
Symmetrien −→ Gruppen
14
Beispiele für Gruppen
Beispiel
I
Die Menge der Isometrien eines metrischen Raumes bildet eine
Gruppe bezüglich Komposition von Abbildungen:
Sym
= D6 = {id, t, s, s2 , s3 , s4 , s5 , st, s2 t, s3 t, s4 t, s5 t}
I
Symmetriegruppen von Pflasterungen:
[Claudio Rocchini (CC/GPL, Wikipedia)]
I
Clara Löh
Abstrakte Gruppen: Z, Q, R, Z/2Z, S3 , Z2 ,
die freie Gruppe vom Rang 2:
F2 = {ε, a, b, a−1 , b−1 , aa, ab, ab−1 , ba, bb, ba−1 , a−1 a−1 , ... }
Symmetrien −→ Gruppen
14
Überblick
(Negative) Krümmung
Symmetrien −→ Gruppen
Gruppen −→ Symmetrien
Negativ gekrümmte Gruppen
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
15
Wechsel der Perspektive
Problem
Wie kann man Gruppen als geometrische Objekte auffassen?!
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
16
Wechsel der Perspektive
Problem
Wie kann man Gruppen als geometrische Objekte auffassen?!
Strategie
1. Gruppen −→ Graphen
2. Graphen −→ Geometrie
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
16
Werkzeug aus der Kombinatorik: Graphen
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
17
Werkzeug aus der Kombinatorik: Graphen
Definition (Graph)
Ein Graph
I
besteht aus einer Menge von Knoten
Man kann Graphen geometrisch realisieren:
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
17
Werkzeug aus der Kombinatorik: Graphen
Definition (Graph)
Ein Graph
I
besteht aus einer Menge von Knoten
I
und einer Menge von Kanten zwischen diesen Knoten.
Man kann Graphen geometrisch realisieren:
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
17
Werkzeug aus der Kombinatorik: Graphen
Definition (Graph)
Ein Graph
I
besteht aus einer Menge von Knoten
I
und einer Menge von Kanten zwischen diesen Knoten.
Man kann Graphen geometrisch realisieren:
I
Modellierung von Netzwerken/kombinatorischen Abhängigkeiten
I
z.B. Kommunikationsnetzwerke, soziale Netzwerke, Fahrplangraphen,
Abhängigkeiten von Programmen, . . .
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
17
Endlich erzeugte Gruppen
Definition (endlich erzeugt)
Sei G eine Gruppe.
I
Eine Teilmenge S ⊂ G ist ein Erzeugendensystem von G, wenn jedes
Element von G als Produkt von Elementen von S bzw. S−1 geschrieben
werden kann.
Beispiel
I
Clara Löh
Z, Erzeugendensysteme: {1}
Gruppen −→ Symmetrien
18
Endlich erzeugte Gruppen
Definition (endlich erzeugt)
Sei G eine Gruppe.
I
Eine Teilmenge S ⊂ G ist ein Erzeugendensystem von G, wenn jedes
Element von G als Produkt von Elementen von S bzw. S−1 geschrieben
werden kann.
I
Die Gruppe G ist endlich erzeugt, wenn sie ein endliches
Erzeugendensystem besitzt.
Beispiel
I
Clara Löh
Z, Erzeugendensysteme: {1}, {2, 3}, . . .
Gruppen −→ Symmetrien
18
Endlich erzeugte Gruppen
Definition (endlich erzeugt)
Sei G eine Gruppe.
I
Eine Teilmenge S ⊂ G ist ein Erzeugendensystem von G, wenn jedes
Element von G als Produkt von Elementen von S bzw. S−1 geschrieben
werden kann.
I
Die Gruppe G ist endlich erzeugt, wenn sie ein endliches
Erzeugendensystem besitzt.
Beispiel
I
Z, Erzeugendensysteme: {1}, {2, 3}, . . .
I
alle endlichen Gruppen, z.B. Z/2Z, D6 , . . .
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
18
Endlich erzeugte Gruppen
Definition (endlich erzeugt)
Sei G eine Gruppe.
I
Eine Teilmenge S ⊂ G ist ein Erzeugendensystem von G, wenn jedes
Element von G als Produkt von Elementen von S bzw. S−1 geschrieben
werden kann.
I
Die Gruppe G ist endlich erzeugt, wenn sie ein endliches
Erzeugendensystem besitzt.
Beispiel
I
Z, Erzeugendensysteme: {1}, {2, 3}, . . .
I
alle endlichen Gruppen, z.B. Z/2Z, D6 , . . .
Z2 , Erzeugendensysteme: (1, 0), (0, 1) , . . .
I
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
18
Endlich erzeugte Gruppen
Definition (endlich erzeugt)
Sei G eine Gruppe.
I
Eine Teilmenge S ⊂ G ist ein Erzeugendensystem von G, wenn jedes
Element von G als Produkt von Elementen von S bzw. S−1 geschrieben
werden kann.
I
Die Gruppe G ist endlich erzeugt, wenn sie ein endliches
Erzeugendensystem besitzt.
Beispiel
I
Z, Erzeugendensysteme: {1}, {2, 3}, . . .
I
I
alle endlichen Gruppen, z.B. Z/2Z, D6 , . . .
Z2 , Erzeugendensysteme: (1, 0), (0, 1) , . . .
I
Die freie Gruppe vom Rang 2
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
18
Endlich erzeugte Gruppen
Definition (endlich erzeugt)
Sei G eine Gruppe.
I
Eine Teilmenge S ⊂ G ist ein Erzeugendensystem von G, wenn jedes
Element von G als Produkt von Elementen von S bzw. S−1 geschrieben
werden kann.
I
Die Gruppe G ist endlich erzeugt, wenn sie ein endliches
Erzeugendensystem besitzt.
Beispiel
I
Z, Erzeugendensysteme: {1}, {2, 3}, . . .
I
I
alle endlichen Gruppen, z.B. Z/2Z, D6 , . . .
Z2 , Erzeugendensysteme: (1, 0), (0, 1) , . . .
I
Die freie Gruppe vom Rang 2
I
Die Gruppe Q ist nicht endlich erzeugt.
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
18
Gruppen −→ Graphen
Definition (Cayley-Graph)
Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und sei S ⊂ G ein endliches
Erzeugendensystem.
Der Cayley-Graph von G bezüglich S ist der folgende Graph Cay(G, S):
I
I
Clara Löh
Knoten: die Elemente von G
g
g·s
Kanten:
für alle g ∈ G, s ∈ S ∪ S−1
Gruppen −→ Symmetrien
19
Gruppen −→ Graphen
Definition (Cayley-Graph)
Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und sei S ⊂ G ein endliches
Erzeugendensystem.
Der Cayley-Graph von G bezüglich S ist der folgende Graph Cay(G, S):
I
I
Knoten: die Elemente von G
g
g·s
Kanten:
für alle g ∈ G, s ∈ S ∪ S−1
Beispiel
Cay(Z, {1})
−2 −1
Clara Löh
0
1
2
Gruppen −→ Symmetrien
19
Gruppen −→ Graphen
Definition (Cayley-Graph)
Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und sei S ⊂ G ein endliches
Erzeugendensystem.
Der Cayley-Graph von G bezüglich S ist der folgende Graph Cay(G, S):
I
I
Knoten: die Elemente von G
g
g·s
Kanten:
für alle g ∈ G, s ∈ S ∪ S−1
Beispiel
Cay(Z, {1})
−2 −1
Clara Löh
0
1
2
Gruppen −→ Symmetrien
19
Beispiele für Cayley-Graphen
I
−2 −1 0
1
Cay(Z, {1})
Clara Löh
2
−2 −1 0
1
2
Cay(Z, {2, 3})
Gruppen −→ Symmetrien
20
Beispiele für Cayley-Graphen
I
−2 −1 0
1
2
−2 −1 0
Cay(Z, {1})
1
2
Cay(Z, {2, 3})
σ2 · τ
[2]
[1]
[3]
I
[4]
[5]
Cay(Z/6Z, {[1]})
Clara Löh
σ2
[0]
τ id
σ
σ·τ
Cay(S3 , {τ , σ})
Gruppen −→ Symmetrien
Cay(S3 , S3 )
∼
Cay(Z/6Z,
Z/6Z)
=
20
Beispiele für Cayley-Graphen
I
−2 −1 0
1
2
−2 −1 0
Cay(Z, {1})
1
2
Cay(Z, {2, 3})
σ2 · τ
[2]
[1]
[3]
I
[4]
[5]
Cay(Z/6Z, {[1]})
I
Clara Löh
σ2
[0]
τ id
σ
σ·τ
Cay(S3 , {τ , σ})
Cay(S3 , S3 )
∼
Cay(Z/6Z,
Z/6Z)
=
Cayley-Graphen von endlichen Gruppen spielen in der Kombinatorik
eine wichtige Rolle (zum Beispiel Expander)
Gruppen −→ Symmetrien
20
Mehr Beispiele für Cayley-Graphen
(−2, 2)
(−1, 2)
(0, 2)
(1, 2)
(2, 2)
(−2, 1)
(−1, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(2, 1)
(−2, 0)
(−1, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
(−2, −1) (−1, −1) (0, −1)
(1, −1)
(2, −1)
(−2, −2) (−1, −2) (0, −2)
(1, −2)
(2, −2)
Cay(Z2 , {(1, 0), (0, 1)})
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
21
Mehr Beispiele für Cayley-Graphen
(−2, 2)
(−1, 2)
(0, 2)
(1, 2)
(2, 2)
(−2, 1)
(−1, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(2, 1)
b
ba
ab
ε
(−2, 0)
(−1, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
(−2, −1) (−1, −1) (0, −1)
(1, −1)
(2, −1)
(−2, −2) (−1, −2) (0, −2)
(1, −2)
(2, −2)
Cay(Z2 , {(1, 0), (0, 1)})
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
a
a2
ab−1
Cay(F2 , {a, b})
21
Graphen −→ Geometrie
Idee
Jeder Graph trägt eine Metrik, indem man den Kanten die Länge 1 gibt.
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
22
Graphen −→ Geometrie
Idee
Jeder Graph trägt eine Metrik, indem man den Kanten die Länge 1 gibt.
Clara Löh
(−2, 2)
(−1, 2)
(0, 2)
(1, 2)
(2, 2)
(−2, 1)
(−1, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(2, 1)
(−2, 0)
(−1, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
(−2, −1) (−1, −1) (0, −1)
(1, −1)
(2, −1)
(−2, −2) (−1, −2) (0, −2)
(1, −2)
(2, −2)
Gruppen −→ Symmetrien
22
Gruppen als geometrische Objekte
Fazit
Wir können (endlich erzeugte) Gruppen als geometrische Objekte auffassen.
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
23
Gruppen als geometrische Objekte
Fazit
Wir können (endlich erzeugte) Gruppen als geometrische Objekte auffassen.
Problem
Die Metrik auf der Gruppe hängt vom gewählten endlichen
Erzeugendensystem ab?!
−2 −1
0
1
2
−2
Cay(Z, {1})
Clara Löh
−1
0
1
2
Cay(Z, {2, 3})
Gruppen −→ Symmetrien
23
Gruppen als geometrische Objekte
Fazit
Wir können (endlich erzeugte) Gruppen als geometrische Objekte auffassen.
Problem
Die Metrik auf der Gruppe hängt vom gewählten endlichen
Erzeugendensystem ab?!
−2 −1
0
1
2
−2
Cay(Z, {1})
−1
0
1
2
Cay(Z, {2, 3})
Lösung
„Von weitem betrachtet“ macht dies keinen Unterschied (Quasi-Isometrie).
Clara Löh
Gruppen −→ Symmetrien
23
Überblick
(Negative) Krümmung
Symmetrien −→ Gruppen
Gruppen −→ Symmetrien
Negativ gekrümmte Gruppen
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
24
Gromov-hyperbolische Gruppen
Definition (Gromov-hyperbolische Gruppe)
Eine endlich erzeugte Gruppe ist Gromov-hyperbolisch, wenn ein (und
dann jeder) Cayley-Graph ein Gromov-hyperbolischer metrischer Raum ist.
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
25
Gromov-hyperbolische Gruppen
Definition (Gromov-hyperbolische Gruppe)
Eine endlich erzeugte Gruppe ist Gromov-hyperbolisch, wenn ein (und
dann jeder) Cayley-Graph ein Gromov-hyperbolischer metrischer Raum ist.
Beispiel
I
Clara Löh
(endliche Gruppen sind Gromov-hyperbolisch)
Negativ gekrümmte Gruppen
25
Gromov-hyperbolische Gruppen
Definition (Gromov-hyperbolische Gruppe)
Eine endlich erzeugte Gruppe ist Gromov-hyperbolisch, wenn ein (und
dann jeder) Cayley-Graph ein Gromov-hyperbolischer metrischer Raum ist.
Beispiel
I
(endliche Gruppen sind Gromov-hyperbolisch)
I
Z ist Gromov-hyperbolisch
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
25
Gromov-hyperbolische Gruppen
Definition (Gromov-hyperbolische Gruppe)
Eine endlich erzeugte Gruppe ist Gromov-hyperbolisch, wenn ein (und
dann jeder) Cayley-Graph ein Gromov-hyperbolischer metrischer Raum ist.
Beispiel
I
(endliche Gruppen sind Gromov-hyperbolisch)
I
Z ist Gromov-hyperbolisch
I
F2 ist Gromov-hyperbolisch
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
25
Gromov-hyperbolische Gruppen
Definition (Gromov-hyperbolische Gruppe)
Eine endlich erzeugte Gruppe ist Gromov-hyperbolisch, wenn ein (und
dann jeder) Cayley-Graph ein Gromov-hyperbolischer metrischer Raum ist.
Beispiel
I
(endliche Gruppen sind Gromov-hyperbolisch)
I
Z ist Gromov-hyperbolisch
I
F2 ist Gromov-hyperbolisch
I
Sym
Clara Löh
ist Gromov-hyperbolisch
Negativ gekrümmte Gruppen
25
Gromov-hyperbolische Gruppen
Definition (Gromov-hyperbolische Gruppe)
Eine endlich erzeugte Gruppe ist Gromov-hyperbolisch, wenn ein (und
dann jeder) Cayley-Graph ein Gromov-hyperbolischer metrischer Raum ist.
Beispiel
I
(endliche Gruppen sind Gromov-hyperbolisch)
I
Z ist Gromov-hyperbolisch
I
F2 ist Gromov-hyperbolisch
I
Sym
I
Z2 ist nicht Gromov-hyperbolisch
Clara Löh
ist Gromov-hyperbolisch
Negativ gekrümmte Gruppen
25
Geometrie ←→ Algebra
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
26
Geometrie ←→ Algebra
Beobachtung (Geometrie)
Gromov-hyperbolische Räume können die euklidische Ebene nicht als
geodätischen Unterraum enthalten.
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
26
Geometrie ←→ Algebra
Beobachtung (Geometrie)
Gromov-hyperbolische Räume können die euklidische Ebene nicht als
geodätischen Unterraum enthalten.
Beobachtung (Gruppen)
Gromov-hyperbolische Gruppen können Z2 nicht als Untergruppe
enthalten.
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
26
Ausblick/Anwendungen
I
Clara Löh
Gruppentheorie:
„Klassifikation“ von Gruppen nach geometrischen Gesichtspunkten
Negativ gekrümmte Gruppen
27
Ausblick/Anwendungen
I
Gruppentheorie:
„Klassifikation“ von Gruppen nach geometrischen Gesichtspunkten
I
Riemannsche Geometrie:
Besseres Verständnis von negativer Krümmung
Clara Löh
Negativ gekrümmte Gruppen
27
Ausblick/Anwendungen
I
Gruppentheorie:
„Klassifikation“ von Gruppen nach geometrischen Gesichtspunkten
I
Riemannsche Geometrie:
Besseres Verständnis von negativer Krümmung
I
Riemannsche Geometrie/Topologie:
Zusammenhang zwischen Topologie und Geometrie von
Mannigfaltigkeiten
···
I
Clara Löh
...
Negativ gekrümmte Gruppen
27
Zusammenfassung
δ
I
I
I
I
Clara Löh
Abstraktion: Allgemeine Definition von negativer Krümmung
Interpretation von Gruppen als geometrische Objekte
via Cayleygraphen
Rekombination: Definition negativ gekrümmter Gruppen
(Analog lassen sich auch andere geometrische Begriffe
auf Gruppen übertragen)
Zusammenhang zwischen geometrischen und algebraischen
Eigenschaften von Gruppen
Zusammenfassung
28