Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 5

Prof. T. Esslinger
Dr. T. Donner
Dr. F. Brennecke
Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 5∗
(10. April 2013)
I.
KONDENSATOR MIT DIELEKTRIKUM
1. Die Kapazität des linken Plattenkondensators ist Ca = 0dA . Den mittleren Kondensator (b) betrachten wir
als zwei parallel geschaltete, den rechten (c) als zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren. In beiden Fällen
bezeichnen wir die Kapazität des mit dem Dielektrikum gefüllten Kondensators mit C1 und die des mit Luft
gefüllten Kondensators mit C2 .
Somit gilt für den mittleren Kondensator (b)
C1 =
rel 0 12 A
rel 0 A1
rel 0 A
=
=
d1
d
2d
und C2 =
0 1 A
0 A2
0 A
= 2 =
d2
d
2d
(1)
und für seine Gesamtkapazität
Cb = C1 + C2 =
0 A
rel 0 A 0 A
+
=
(rel + 1)
2d
2d
2d
(2)
Für den rechten Plattenkondensator (c) gilt
C1 =
2rel 0 A
rel 0 A1
rel 0 A
=
= 1
d1
d
d
2
und C2 =
20 A
0 A2
0 A
= 1 =
d2
d
d
2
(3)
und für seine Gesamtkapazität
Cc =
1
1
+
C1
C2
−1
=
d
d
+
2rel 0 A 20 A
−1
=
20 A
d
rel
1 + rel
(4)
2. Aus der vorigen Teilaufgabe erhält man
(1 + rel )
Cb
=
Ca
2
und
Cc
2rel
=
Ca
1 + rel
sowie
Cb
(1 + rel )2
=
Cc
4rel
(5)
und damit für rel > 1
Cb > Cc > Ca
II.
(6)
STROMKREIS
1. Zur Lösung verwenden wir die Kirchhoff’schen Regeln. Aus der Maschenregel folgt, dass der Strom I durch
Widerstand R1 gegeben ist durch I = I1 + I2 .
Mit Hilfe der Maschenregel kann ein Gleichungssystem zur Beschreibung des Problems aufgestellt werden. Wir
wählen (willkürlich, hier gemäss Skizze) einen Umlaufsinn im Stromkreis und betrachten zunächst die ”grosse
Masche”, also den Strom, der von U1 über R3 , U2 , R1 wieder zu U1 fliesst:
∗ Aufgaben
und Lösungen sind auch erhältlich unter www.quantumoptics.ethz.ch → Lectures
2
U1 − I2 R3 − U2 − (I1 + I2 )R1 = 0
(7)
Wichtig sind hierbei die Vorzeichen der einzelnen Terme. Elemente an denen das Potential abfällt erhalten ein
negatives Vorzeichen (beachten Sie die eingezeichnete Polarität von U2 ).
Eine zweite Gleichung erhält man durch die Betrachtung einer weiteren Masche, wir wählen hier die linke
Masche, in der der Strom von U1 über R2 und R1 wieder zu U1 fliesst:
U1 − I1 R2 − (I1 + I2 )R1 = 0 .
(8)
Um das Gleichungssystem zu lösen, subtrahieren wir zunächst Gleichung (8) von Gleichung (7):
−I2 R3 + I1 R2 − U2 = 0 ⇒ I2 =
I1 R2 − U2
R3
(9)
Dies lässt sich nun in Gleichung (8) einsetzen und wir erhalten nach Auflösen nach I1 :
I1 =
R1
U1 + U2 R
3
R1 + R2 +
R1 R2
R3
(10)
Setzt man die gegebenen Werte ein, so ergibt sich ein Strom I1 = 1.4A und ein Strom I2 = −1.1A.
2. Aus dem anfangs (willkürlich) gewählten Umlaufsinn und dem berechneten Vorzeichen von I2 ergibt sich, dass
der Strom durch R3 in der Zeichung von unten nach oben fliesst.
3. Die Leistung, die an R1 abfällt, ist P = R1 (I1 + I2 )2 . Innerhalb von ∆t = 10s wird dann die Energie W = P ∆t
in Wärme umgewandelt:
W = R1 (I1 + I2 )2 ∆t = 13J .
III.
(11)
ENTLADEN EINES KONDENSATORS
1. Die in einem Kondensator gespeicherte Energie beträgt E = 21 CU02 , dabei ist U0 die Spannung zwischen den
Kontakten. Auflösen nach U0 liefert
r
2E
U0 =
= 1000 V.
(12)
C
2. Mit I = U/R folgt
r
I0 = U0 /R =
2E
= 1 mA.
CR2
(13)
3. Nach der Maschenregel gilt jederzeit für die (positiven!) Spannungen über Kondensator UC = Q/C und Widerstand UR = RI, dass UC = UR (Wir betrachten den Kondensator somit als Spannungsquelle). Die Spannung
am Widerstand können wir auch durch Änderung der Ladung auf dem Kondensator ausdrücken, da I = −Q̇.
Wir erhalten damit die Differentialgleichung
Q = −RC
dQ
dt
(14)
3
Separation der Variablen führt auf
dQ
1
=−
dt.
Q
RC
(15)
Integration beider Seiten der Gleichung von t0 bis t liefert
Z
Q(t)
Q(t0 )
dQ
1
=−
Q
RC
Z
t
0
dt ⇒ ln
t0
Q(t)
Q(t0 )
=−
1
(t − t0 ).
RC
(16)
Umstellen und exponentieren führt auf
Q(t) = Q(t0 )e−(t−t0 )/RC .
(17)
Wir setzen nun t0 = 0 und da UC (t0 ) = U0 = Q0 /C erhalten wir
UC (t) = U0 e−t/τ
(18)
wobei τ = RC = 1s die Zeitkonstante der Entladung ist. Um den Strom durch den Widerstand zu berechnen
benutzen wir I = Q/RC (wieder Maschenregel, s.o.) und erhalten aus Gleichung 18
I(t) = I0 e−t/τ .
(19)
Dasselbe Ergebnis bekommt man natürlich auch durch Differentiation von Gleichung 18 und Verwendung von
I = −Q̇.
4. Da nun sowohl Spannung als auch Strom als Funktion der Zeit bekannt sind, folgt durch Produktbildung die
Rate mit der elektrische Energie in Wärme umgewandelt wird:
P (t) = I(t) · U (t) = I0 U0 e−2t/τ = P0 e−2t/τ mit P0 = I0 U0 = 1 W.
(20)