Stochastik I

Stochastik I
Sommersemester 2017
Prof. Dr. U. Rösler
S. Hallmann
Blatt 4
Aufgabe 1
Seien X, Y unabhängig und poissonverteilt mit Parametern λ bzw. µ, d.h.
n
P (X = n) = exp(−λ) λn! , n ∈ N. Zeigen Sie X + Y ist ebenfalls poissonverteilt und bestimmen Sie den Parameter.
Aufgabe 2
n
Seien X poissonverteilt mit Parametern λ, d.h. P (X = n) = exp(−λ) λn! .
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Aufgabe 3
Wir betrachten “faire“ Würfel,d.h. jede Seite tritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, die auf ihren Seiten Zahlen aus 1 bis 6 haben dürfen. Wir sagen,
der Würfel A schlägt Würfel B, wenn er beim Würfeln mit Wahrscheinlichkeit p > 1/2 eine höhere Zahl zeigt als B.
Die Studierenden Hans und Franz wollen jede Woche, die zur Abgabe bestimmten Übungsaufgaben nochmals sauber aufschreiben. Hans schlägt Franz
vor, gegeneinander zu würfeln, wer diese Aufgabe übernehmen muss. Wer die
höhere Zahl wirft hat gewonnen, bei Gleichstand wird der Wurf wiederholt.
Er hat auch gleich die passenden Würfel dabei. Es sind drei Stück, die jeweils
die Zahlen 1 bis 6 enthalten, wobei die Zahlen nicht auf allen Würfeln gleich
häufig vorkommen. Hans schlägt Franz vor, dass dieser immer einen Würfel
auswählen darf und dann erst Hans einen Würfel wählt. Franz denkt sich,
dass er schnell herausfinden wird, welcher Würfel am besten ist und dann in
den folgenden Wochen immer gewinnen wird. So stimmt er wohlgemut zu.
Ist sein Optimismus gerechtfertigt?
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass eine Folge von Zufallsgrößen über einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ot(Ω), P ) genau dann fast sicher konvergiert, wenn
sie in Wahrscheinlichkeit konvergiert.
Präsenzaufgabe 1
Sei X : Ω → R eine Zufallsgröße und g : R → R messbar. Dann ist g(X)
integrierbar bzgl. P genau dann, wenn g integrierbar bzgl. P X ist, und es gilt
dann
Z
E(g(X)) = gdP X .
Präsenzaufgabe 2
Zeigen Sie: Ist Rµ ein Maß auf (Ω, A) und f : Ω → [0, ∞) eine messbare
Abbildung mit f dµ = 1, so wird durch
Z
f dµ für A ∈ A
P (A) :=
A
ein W-Maß definiert. Dabei bezeichnen wir f als Dichte von P bzgl. µ.
Abgabe bitte bis spätestens Freitag, den 19. Mai, 10:00 Uhr im Schreinfach
(1. Stock Math. Sem.) bzw. Postfach (3. Stock Math. Sem.) Ihres Übungsgruppenleiters.