02 - Instrumente_Geometrische_Optik

Wichtige optische Elemente und
Instrumente:
Diffraktive optische Elemente/Linsen
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
126+1
Diffraktive optische Elemente
Wirkungsweisen einiger optischer Elemente
Refraktive Optik
Brechung an
Grenzfläche
n1
n2
Diffraktive Optik
Brechung in
GRadienten INdex
Medium
Beugung an (lokal)
periodischen Strukturen
n(r)
Beugung an binärem Gitter
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126+2
Diffraktive optische Elemente
Prinzip eines Beugungsgitters (hier: Amplitudengitter)
L sinj
j
j’
L sinj’
L
Geometrische und Technische Optik
Konstruktive Interferenz, falls
optische Weglängendifferenz
(OPD) zwischen äquivalenten
Strahlen benachbarter Perioden
 ganzzahliges Vielfaches m der
Wellenlänge  ist:
 sin  ' sin   m
 sin  '  sin   m


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126+3
Diffraktive optische Elemente
Zusammenhang Phase und optische Weglänge:
Trifft ein Strahl auf eine strukturierte Oberfläche mit einem
Dielektrikum mit Brechzahl n (z.B. Quarzglas) auf der einen Seite
und Luft auf der anderen Seite, so gilt für die Phasenverzögerung 
bei einer lokalen Höhe h (bzw. z) des Dielektrikums: x,y n n
1

2

OPD 
2

2
OPD=(n1-n2)z(x,y)
n  1h
z
Selbstverständlich gilt diese Gleichung nur für den Fall, dass der
einfallende Strahl fast senkrecht auf die lokale Grenzfläche trifft, so
dass man annimmt, dass der Strahl seine Richtung nicht ändert.
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126+4
Diffraktive optische Elemente
Beziehung zwischen diffraktiven und refraktiven Strukturen
h= /(n-1)
Refraktives
Element
h= /(n-1)
Geblaztes (=kontinuierliches)
diffraktives Element
Anmerkung: Eine geblazte Linse, deren
Stufenhöhe h>>/(n-1) ist, ergibt eine
Fresnel-Linse. Im Grenzfall sind die
einzelnen „Zähne“ dann lokale Prismen.
h= /(2(n-1))
Binäres diffraktives Element
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126+5
Diffraktive optische Elemente
Verschiedene Arten von diffraktiven optischen Elementen
a)
b)
Amplitudengitter
Binäres Phasengitter h=/(2(n-1))
Dh
Maximal je 1/2=10.1% in ±1. Ordnung
(bei 25% in 0. Ordnung)
Maximal je 4/2=40.5% in ±1. Ordnung
(bei 0% in 0. Ordnung)
: Wellenlänge, n: Brechzahl des Gitters, N: Anzahl der Stufen
c)
Mehrstufiges Phasengitter
h=(N-1)/(N(n-1))
d)
Geblaztes Phasengitter
h=/(n-1)
Dh
Dh
Symmetrie zwischen +1. und -1. Ordnung
gebrochen. Je nach Stufenzahl zwischen
40.5% und 100% in 1. Ordnung
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Theoretisch bis zu 100% in 1. Ordnung
(in Praxis selbst bei Entspiegelung
weniger)
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126+6
Diffraktive optische Elemente
Unterschied Amplitudengitter Phasengitter:
Positive Interferenz der Wellen,
falls:  sin  ' sin   m
 sin  '  sin   m
sin 


Bei binären Phasengittern
interferiert auch der rote Strahl
positiv, da er wegen der Stufe
mit /2 Gangunterschied wieder
in Phase ist (für m=1;3;5;…):

m 
OPD 
  m  1
2
2
2
sin 
’

sin ’

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’

sin ’

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126+7
Diffraktive optische Elemente
Bei einem binären Phasengitter interferieren also für ungerades m
„doppelt so viele Strahlen“ wie bei einem Amplitudengitter positiv.
 Die Amplitude der Welle in den ungeraden Ordnungen wird
doppelt so groß.  Die Intensität dieser Ordnungen wird bei
einem Phasengitter 4x so groß wie bei einem Amplitudengitter!
Anmerkung: Die Energieerhaltung ist natürlich erfüllt, denn beim
Amplitudengitter werden 50% der Energie absorbiert und 25%
sind in der nullten Beugungsordnung (bei unserem Phasengitter
ist dagegen kein Licht in der 0. Ordnung, da dort negative
Interferenz auftritt).  Beim binären Phasengitter ist 4x so viel
Energie für die ungeraden Beugungsordnungen vorhanden.
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126+8
Diffraktive optische Elemente
Anschauliche Berechnung der Beugungseffizienz m der einzelnen Ordnungen m bei einem
binären Phasengitter mit Tastverhältnis 1:1 (d.h. Stegbreite = Grabenbreite) und Tiefe, die
eine optische Weglängendifferenz von /2 zwischen Steg und Graben erzeugt:
0=0: destruktive Interferenz zwischen Licht von Steg und Graben bei Tiefe
mit /2 opt. Weglängendifferenz (OPD)
2n=0 (n=1,2,3,): alle geraden Ordnungen (ungleich m=0) fallen aus, da
OPD innerhalb von Steg und Graben zwischen Anfang und Ende je
ganzzahliges Vielfaches von   schon vollständige Auslöschung
innerhalb von Steg und Graben
sin 
’

1: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende nur /2 
sin ’

Amplituden addieren sich konstruktiv  maximale Effizienz
3=1/9: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende 3/2  
Amplituden addieren sich nur in einem drittel des Bereiches konstruktiv, Rest löscht sich
aus  Effizienz nur 1/9 verglichen zu 1. Ordnung (Intensität proportional zu
Amplitudenquadrat !).
Analog: 5=1/25 bzw. allgemein (2n+1)=1/(2n+1)2 für n=1,2,3,…
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126+9
Diffraktive optische Elemente
Effizienzen eines binären Phasengitters mit Tastverhältnis 1:1
und idealer Tiefe:
Summe der Effizienzen aller Ordnungen muss 1 sein wegen Energieerhaltung 
1
4
2
21 
1
2
1





 0.405


1
1
2
2
8

n 0 2n  1



 2 / 8
1
32
1
5  2
5
...
 3 
4

2
4

2
 0.045
 0.016
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126+10
Diffraktive optische Elemente
Maximale Beugungseffizienz in
1. Ordnung für mehrstufiges
Phasengitter mit N Stufen
N
Effizienz
(berechnet in skalarer Näherung)
2
40.5%
N  1
N n  1
4
81.1%
8
95.0%
Senkrechter Lichteinfall.
16
98.7%
Fresnel Reflektionsverluste
vernachlässigt.
32
99.7%
Ideale Gesamttiefe:
d
Identische Höhe und Breite aller Stufen.
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126+11
Diffraktive optische Elemente
Diffraktive Linse: Wir betrachten im Folgenden zuerst wieder nur
die Meridionalebene und kleine Winkel.
Lokale Gitterfrequenz  sei proportional zu lateraler Koordinate x:
1
  x  :
 cx
x 
Aus Gittergleichung folgt dann für kleine Winkel:
sin  '  sin   m

kleine Winkel

 '    m    mcx

Gleichung ist analog zu paraxialer Gleichung für die
Strahlablenkung an einer Linse mit Brennweite f‘, wenn gilt:
1
1
  mc  f '  
f'
mc
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126+12
Diffraktive optische Elemente
Insbesondere ist für eine diffraktive Linse das Produkt aus
Brennweite und Wellenlänge konstant:
0
 f '   
f ' 0 

Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist deshalb:
d
1 / f 'd
587.6 nm
Vd 


 3.452
1 / f ' F 1 / f 'C F  C 486.1 nm  656.3 nm
• Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist also immer konstant,
unabhängig vom Material bzw. dem genauen Typ der Linse.
• Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist negativ, d.h. ihre
Dispersion hat umgekehrtes Vorzeichen wie die von Glas. Der
Betrag ist sehr klein, d.h. starke Dispersion!
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126+13
Diffraktive optische Elemente
Phasenfunktion eines diffraktiven optischen Elementes (DOE):
Die Phasenfunktion  eines DOEs beschreibt, an welchen Stellen
sich die lokalen Gitterlinien befinden, d.h. an welchen Stellen die
Phase relativ um jeweils 2 zu- oder abnimmt.
 r    r  r 0   r  r 0  r mit r  r  r 0
  


x   2
  r     2     

 
 y 


Zusammenhang zwischen der Phasenfunktion  und der lokalen
Gitterfrequenz , wobei x und y die Koordinaten in der (lokalen)
Ebene des DOEs sind:
1
1
  x, y  

  x, y 
 x, y  2
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126+14
Diffraktive optische Elemente
Zusammenhang Höhenprofil h und Phasenfunktion :
Geblaztes DOE:
h  x, y  

2 n  1
x, y  mod 2 
Mehrstufiges Phasen-DOE mit N Stufen:


 N  x , y  
h  x, y  
floor
 mod N 

N n  1 

 2

x mod a: Modulo-Funktion
= Rest bzgl. einer Division
von x durch a.
floor: Funktion, die die
nächst kleinere ganze
Zahl zurückgibt.

: Wellenlänge im Vakuum, n: Brechzahl des DOEs, wobei außen Luft sei.
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126+15
Diffraktive optische Elemente
Einfache Beispiele einiger wichtiger Phasenfunktionen:
Lineares Gitter:
 x, y   2 ax  by 
 Gitterfrequenz konstant:   a 2  b 2
Fresnel-Zonen-Linse in paraxialer (parabolischer) Näherung:

  x, y   2a x 2  y 2

 Gitterfrequenz:  x, y   2a x 2  y 2
 f ' 
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1
1

mc
2ma
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126+16
Diffraktive optische Elemente
Berechnung der Phasenfunktion eines DOE unter Ausnutzung
des holographischen Prinzips:
Sind die Phase in der auf das DOE einfallenden Wellenfront und
die Phase out der gewünschten Wellenfront bekannt, so ergibt sich
die Phasenfunktion  des Hologramms in der Ordnung m zu:
 out   in  m   
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 out   in
m
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126+17
Diffraktive optische Elemente
Beispiel: Linse, die einen axialen Punkt im Abstand g vor der Linse
auf einen axialen Punkt im Abstand b hinter der Linse im nichtparaxialen Bereich abbilden soll.
2
g2  r2
 in 
m 1
2

b2  r 2  g 2  r 2
 
2

b2  r 2
 out  

DOE
Paraxiale Näherung ergibt unter
Object
Image
Vernachlässigung einer konstanten
r
point
point
Phase -2(g+b)/ eine parabolische
Funktion:
g
b
 1 1  2
1 1 1 
  
     r  a  
 b g 
2  b g 

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
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126+18
Diffraktive optische Elemente
Ray tracing Gleichung für lokale Gitter: Plausibilitätsbetrachtung
analog zum Brechungsgesetz (multipliziert mit 2/
 2 n2 
 2 n1 
N  n2 a 2  n1 a1   0  N  
a2   N  
a1   N  k 2  N  k 1
 

 

Interpretation: Die Komponente des k-Vektors senkrecht zu N (i.e.
parallel zur Grenzfläche) ist invariant vor und hinter der
Grenzfläche.
Erweiterung auf diffraktive optische Elemente mit lokalem
Gittervektor K mit |K|=2/wobei K in der Grenzfläche liegt, also
K·N=0: ganzzahliges Vielfaches m von K muss zur Komponente
von k1 senkrecht zu N addiert werden:
 N  k 2  N  k1  m N  K
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126+19
Diffraktive optische Elemente
Falls k1, N und K in gemeinsamer Ebene liegen und N senkrecht zu K, ergibt der
Betrag der Gleichung die normale Gittergleichung:
2 n2

sin  2 
2 n1

sin 1  m
2

 n2 sin  2  n1 sin 1  m


Allgemeine Gleichung aufgelöst nach a2  ray tracing am DOE:


n

N  k 2  N  k 1  m N  K  N   a 2  1 a1  m
K   0
n2
2 n2 

 a2 
n1
n


a 1  m G   N  a 2  1 a1  m G   N
n2
n2
n2
n2

n
n
 1   2  2 1 a1  N  1 a1  m G
n2
n2
n2
mit G :
1
1
K ; G  N  0 und G 
2

2
2
2
2

n   
n 
n
n
n

2
 a 2  1 a1  m G  1 a1  N N  sign a1  N  1   1  a1  N    1    m G   2m 12 a1  G N
n2
n2
n2
n2
 n2   n2 
 n2 
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126+20
Diffraktive optische Elemente
Ein Spezialfall eines DOE ist ein Holographisch optisches Element (HOE), bei
dem der Gittervektor durch die Interferenz zweier Wellen mit lokalen k-Vektoren
k1,rec und k2,rec bei der Wellenlänge rec erzeugt wird.
Dann lautet die Gleichung für lokale Beugung am HOE:
N  k 2  N  k 1  m N  k 2,rec  k 1,rec 
 N  n2 a 2  n1 a1  
m
rec
N  n2,rec a 2,rec  n1,rec a1,rec 
Lens
DOE
spatial
filter
HOE
HOE
Aufnahme
Rekonstruktion
Lens
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126+21
Der aplanatische Meniskus
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126+22
Der aplanatische Meniskus
Die aplanatischen Punkte einer Kugel:
i
Behauptung: Eine Kugel mit Radius R und
Brechzahl n‘ (schattiert in Grafik) kann alle
Punkte auf der äußeren (gestrichelten) Kugel mit
Radius n‘R/n (n: Brechzahl des umgebenden
Mediums, n<n‘) aberrationsfrei, aber leider nur
virtuell, auf die innere (gepunktete) Kugel mit
Radius nR/n‘ abbilden.
Q
i’
O
i
i’
P’
n’
Betrachte Strahl einer konvergenten Kugelwelle mit
Fokuspunkt P. Laut Behauptung muss er nach der
Brechung an der Kugel mit Radius R im Punkt Q die lokale
optische Achse, gegeben durch die Verbindungslinie OP, im
Punkt P‘ auf der gepunkteten Kugel schneiden.
n
Zu zeigen ist, dass dies gerade dann der Fall ist, wenn
für die Brechung das Brechungsgesetz nsini=n‘sini‘ gilt.
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126+23
P
Der aplanatische Meniskus
n
R
OQ
R
n n'
OP'




Laut Behauptung gilt:
R
OP n' R n'
OQ
n
Da die beiden Dreiecke QOP‘ und POQ den
gemeinsamen Winkel QOP‘ bzw. QOP haben und das
Verhältnis der daran angrenzenden Seiten in beiden
Dreiecken identisch ist, müssen die Dreiecke ähnlich
sein.
i
Q
i’
O
i
i’
P’
n’
n
 Es muss, wie schon in der Grafik eingezeichnet, gelten: Winkel QP‘O ist
identisch zum Einfallswinkel i, Winkel QPO ist identisch zum Brechungswinkel i‘.
 Aus dem Sinussatz im Dreieck POQ folgt (das Verhältnis der Sinusse zweier
Winkel ist gleich dem Verhältnis der jeweils gegenüberliegenden Seitenlängen):
sin PQO  sin i OP n'



 n sin i  n' sin i ' (q.e.d.)
sin QPO  sin i ' OQ n
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126+24
P
Der aplanatische Meniskus
Der bisher betrachtete Strahl sei nun der Randstrahl eines Strahlbündels, der
somit zusammen mit der lokalen optischen Achse die numerische Apertur festlegt.
Aus unseren bisherigen Überlegungen folgt dann für das Verhältnis der Sinusse
der Aperturwinkel  bzw. ‘ des einfallenden konvergenten Strahlbündels bzw.
des gebrochenen Strahlbündels:
sin  ' sin QP' O  sin i n'



sin  sin QPO  sin i ' n
Der Sinus des Aperturwinkels ‘ des gebrochenen Strahlbündels erhöht sich also
um das Verhältnis n‘/n gegenüber dem Sinus des Aperturwinkels  des
einfallenden Strahlbündels.
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126+25
Der aplanatische Meniskus
Beim aplanatischen Meniskus wird nun die
sphärische Rückfläche konzentrisch um den
Fokuspunkt P‘ gelegt.
Es tritt also keine Richtungsänderung durch
Brechung an der Rückfläche mehr auf und
insgesamt erhöht der aplanatische Meniskus
deshalb die numerische Apertur des
einfallenden konvergenten Strahlbündels um
den Faktor n‘/n.
Umgekehrt kann also durch eine Abfolge
mehrerer aplanatischer Menisken die hohe
numerische Apertur einer von einem Objektpunkt
ausgehenden Kugelwelle erniedrigt werden ohne
Aberrationen einzuführen. Für off-axis
Objektpunkte treten zwar Aberrationen auf, diese
sind aber gering.
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O
j’
P’
j
P
n’
n
n
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126+26
Der aplanatische Meniskus
Maximal mit einem aplanatischen Meniskus erreichbare numerische Apertur:
Der zum Punkt P laufende Randstrahl des einfallenden Strahlbündels tangiert im
Grenzfall des maximalen Aperturwinkels  gerade die Kugelfläche (> Halbkugel !),
die die Vorderseite des aplanatischen Meniskus bildet, im Punkt Q.
Das Dreieck OQP ist dann rechtwinklig
am Schnittpunkt Q und es gilt:
R
n
sin  

n'
R n'
n
n'
 sin  '  sin   1
n
Q
n
n‘
R
O
j‘ P‘
j
P
n‘R/n
Im Prinzip ist also eine numerische Apertur von bis zu 1.0 in Luft erreichbar.
Der Grenzfall ist in der Praxis aber äußerst problematisch, da die Fläche
hochgradig entspiegelt sein müsste (streifender Einfall  hohe Reflexion) und
die Herstellung einer Kugelfläche mit „größer Halbkugel“ auch schwierig ist.
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126+27
Der aplanatische Meniskus
Raytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h.
‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial SF10 (n‘=1.723 bei =633 nm), R=100 mm 
nR/n‘=58.04 mm, n‘R/n=172.3 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
-200
-100
0
100
200
150
150
100
100
50
50
0
0
-50
-50
-100
-100
-150
-150
-200
-100
0
100
Seitenansicht
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200
Spotdiagramm
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126+28
Der aplanatische Meniskus
Raytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h.
‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial BK7 (n‘=1.515 bei =633 nm), R=100 mm 
nR/n‘=66.003 mm, n‘R/n=151.5 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm
Auch mit weniger stark brechendem Material ist also eine NA=1.0 erreichbar!
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
-200
-100
0
100
200
150
150
100
100
50
50
0
0
-50
-50
-100
-100
-150
-150
-200
-100
0
100
Seitenansicht
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200
Spotdiagramm
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126+29
Die achromatische Linse = Achromat
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126+30
Der Achromat
Definition: Eine achromatische Linse (kurz: Achromat) hat für zwei
verschiedene Wellenlängen die gleiche Brennweite. Sie besteht
typischerweise aus zwei miteinander verkitteten Einzellinsen. Ihre
„Nominalbrennweite“ hat sie aber bei einer dritten Wellenlänge, die
normalerweise zwischen den anderen beiden Wellenlängen liegt.
Als Wellenlängen mit gleicher Brennweite wählt man für Anwendungen im
Sichtbaren Spektrallinien am Rand des sichtbaren Bereichs: F=486.1 nm (blaue
Linie des atomaren Wasserstoffs) und C=656.3 nm (rote Linie des atomaren
Wasserstoffs). Die Wellenlänge mit Nominalbrennweite ist d=587.6 nm (gelbe
Helium-Linie).
Analog gibt es noch eine apochromatische Linse (kurz: Apochromat),
die für drei verschiedene Wellenlängen gleiche Brennweite hat. Dazu
müssen mindestens drei Einzellinsen verwendet werden.
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126+31
Der Achromat
Prinzip eines Achromats anhand zweier dünner Linsen, die
unmittelbar hintereinander stehen (Idealisierung):
Einzellinse: Brennweite f‘i, Brechzahl ni, Krümmungsradien Ri,1 und Ri,2, i=1,2.
Brennweite der Linsenkombination f‘, Linsen seien in Luft.
Paraxiale Matrix der Linsenkombination:
 1
M  M 2 M1    1

 f '2
1
1
1



f ' f '1 f '2
0  1
 1
1  
 f '1
1
0  1
0 
0


  1


1
1 

1    
 1   
1




   f '1 f '2 
  f'
Wellenlängenabhängigkeit der Brechkraft einer Einzellinse:
 1

1
 : ni    1Ci
 ni    1


f 'i  
R
R
,
1
,
2
i
i


1
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126+32
Der Achromat
Achromasie-Bedingung liefert:
1
f '1 F 

1
f '2 F 

1
f '1 C 

1
f '2 C 
 n1 F   1C1  n2 F   1C2  n1 C   1C1  n2 C   1C2
 n1 F   n1 C C1  n2 F   n2 C C2
Die nur von den Krümmungsradien abhängigen konstanten
Terme Ci können durch die Brennweiten bei der mittleren
Wellenlänge d ausgedrückt werden:
n1 F   n1 C    n2 F   n2 C 
n1 d   1 f '1 d  n2 d   1 f '2 d 
 V1,d f '1 d   V2,d f '2 d 
V1,d und V2,d sind die Abbe-Zahlen der beiden Linsenmaterialien.
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126+33
Der Achromat
Kurze Diskussion der Achromasie-Bedingung: V1,d f '1 d   V2,d f '2 d 
für einen Achromat mit positiver Gesamtbrechkraft f‘>0.
1. Fall: Rein refraktiver Achromat aus zwei refraktiven Linsen.
Abbe-Zahlen von Materialien sind immer positiv  eine der Linsen muss eine
Zerstreuungslinse sein.
Da ein stark dispersives Material (Flintglas wie z.B. SF10) eine kleine Abbe-Zahl hat,
muss die Brennweite der Linse aus diesem Material betragsmäßig größer sein bzw.
die Brechkraft (inverse Brennweite) kleiner als bei der zweiten Linse aus dem
schwach dispersiven Material (Kronglas wie z.B. BK7)
 Für positive Gesamtbrechkraft muss die Kronglaslinse eine Sammellinse und die
Flintglaslinse eine Zerstreuungslinse sein.
2. Fall: Achromat aus einer refraktiven und einer diffraktiven Linse (Hybrid-Achromat)
Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist immer negativ und betragsmäßig sehr klein:
Vd=-3.452
 Sowohl die refraktive als auch diffraktive Linse sind Sammellinsen. Die diffraktive
Linse hat aber eine sehr große Brennweite bzw. sehr kleine „Brechkraft“.
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126+34
Der Achromat
Praktische Realisierung eines refraktiven und eines hybriden
Achromats mit positiver Gesamtbrechkraft
a)
b)
crown glass
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flint
glass
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126+35
Der Achromat
Anmerkungen:
Ein refraktiver Achromat aus zwei verkitteten Linsen hat drei
Krümmungsradien, von denen nur zwei durch die AchromasieBedingung festgelegt sind. Ein Krümmungsradius kann also frei
gewählt werden, was in der Praxis normalerweise dafür benutzt
wird, um die Sinus-Bedingung zu erfüllen.
Beim hybriden Achromaten kann die Sinus-Bedingung nicht so
leicht erfüllt werden, aber dafür kann die diffraktive Linse (freie Wahl
der „nicht-parabolischen“ Terme der Phasenfunktion möglich) z.B.
die sphärische Aberration (bei einer Wellenlänge, z.B. d)
korrigieren.
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126+36
Der Achromat
Design eines Achromaten bei gegebener Brennweite f‘(d):
1
1
1


f ' f '1 f '2

1
f '2 d 

und V1,d f '1 d   V2,d f '2 d 
V2,d
V1,d f '1 d 
 V2,d
 f '1 d   f ' d 1 
 V1,d
bzw.
1
f '1 d 

V1,d
V2,d f '2 d 

 V
 bzw. f '2 d   f ' d 1  1,d

 V
2,d






Beispiele:
1. Refraktiver Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und SF10 (V2,d=28.41)
f '1 d   0.557 f ' d  und f '2 d   1.259 f ' d 
2. Hybrider Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und DOE (V2,d=-3.452)
f '1 d   1.054 f ' d  und f '2 d   19.588 f ' d 
3. Hybrider Achromat aus SF10 (V1,d=28.41) und DOE (V2,d=-3.452)
f '1 d   1.122 f ' d  und f '2 d   9.230 f ' d 
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126+37
Der Achromat
Restliche Wellenlängen-Abhängigkeit der auf f‘(d) normierten Brennweite f‘:
1
 ni    1Ci mit i  1,2 Für refraktiven Achromaten folgt dann:
Linse :
f 'i  
V2,d
1

1
1
1


und
f '2 d 
V1,d f '1 d 
f '   f '1   f '2  
V2,d n1 d   1
1
1
C1
 C2  

V1,d n2 d   1
f '1 d  f '2 d 
f '  


1
1
 V2,d 
f ' d 



n1 d   11 
f '1   f '2  
V1,d 
f '  



V2,d n1 d   1
f ' d 
n1    1  n2    1
V1,d n2 d   1
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126+38
Der Achromat
Analog folgt für hybriden Achromaten (Linse 1 sei refraktiv und Linse 2 diffraktiv):
Linse :
DOE :
1
f 'i  
1
 ni    1Ci mit i  1,2
f 'DOE  


d f ' DOE d 
:  C DOE
 Ersetze n2()-1 durch  bzw. V2,d durch VDOE,d:
 VDOE ,d 

n1 d   11 
V1,d 
f '  



V
f ' d 
n1    1   DOE ,d n1 d   1
V1,d
d
Bei einer einzelnen refraktiven Linse ist die Wellenlängen-Abhängigkeit zum
Vergleich:
f '   nd   1

f ' d  n   1
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126+39
Der Achromat
Wellenlängenabhängigkeit eines Achromats (refraktiv) bzw. einer Einzellinse
Lens (SF10)
1.01
Lens (BK7)
Achromatic
doublet
(BK7+SF10)
f’/f’d
1
0.99
0.98
500
Geometrische und Technische Optik
550
l/nm
600
650
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126+40
Der Achromat
Wellenlängenabhängigkeit verschiedener Achromat-Typen
1.001
refractive achromat
(BK7+SF10)
f’/f’d
1
0.999
hybrid achromat
(BK7+DOE)
0.998
0.997
hybrid achromat
(SF10+DOE)
0.996
500
Geometrische und Technische Optik
550
l/nm
600
650
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126+41
Kurzer Einschub zur Auflösung einer
Linse oder eines Spiegels
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126+42
Auflösungsvermögen einer Linse oder eines Spiegels
Exkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des
Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Spiegels oder
einer Linse mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, :
radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen
Welle I0):
1
2
 2 J 1 ˆ  
D
D
  

 mit ˆ 
 f'

 ˆ 
2
 ist die entsprechende Winkel-Koordinate
/f‘
f‘
Dj
0.9
[2J1(pr
^)]2
^)/(pr
 D 

I ˆ   I 0 
 4 f ' 
2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
D
0.1
r=f‘Dj
0
-3
-2
-1
0
2
^
r
Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei: ˆ  1.22    1.22
Geometrische und Technische Optik
1

D

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
D
126+43
3
Auflösungsvermögen einer Linse oder eines Spiegels
Auflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:
0.7
0.6
0.5
0.4
0
0.1
Gleiches gilt auch, wenn die Lichtquelle (inkohärent) aus
einem schmalen Spalt besteht, dessen Licht kollimiert wird!
Intensity (normalized)
D
0.3
D


0.2
   1.22

0.8
0.9
1
Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der
Intensität des zweiten Punktes zusammen.
-0.01
-0.006
-0.002 0
0.002
0.006
x-axis (mm)
=/D
Geometrische und Technische Optik
=1.22 /D
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126+44
0.01
Der Spektrograph
Geometrische und Technische Optik
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126+45
Der Spektrograph
Ein Spektrograph ist ein optisches Instrument, mit dem einfallendes
Licht in seine verschiedenen Wellenlängen-Komponenten zerlegt
werden kann.
Selektiert man am Ausgang des Spektrographen einen schmalen
Wellenlängenbereich, so spricht man von einem Monochromator.
Eng verwandt mit einem Spektrographen ist auch das Spektrometer,
das zur Vermessung des Spektrums verwendet wird und dafür
typischerweise einen Spektrographen verwendet.
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126+46
Der Spektrograph
Der Prismen-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines
Prismas
a
j
i
i‘
j‘
D‘
D
L/2
Generell besteht ein Spektrograph aus einer spalt- oder punktförmigen
Lichtquelle, einer Linse zur Kollimation, einem dispersiven Element
und einer zweiten Linse zur Abbildung der spalt-/punktförmigen
Lichtquelle auf einen Detektor.
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126+47
Der Spektrograph
a
Ableitung der spektralen Auflösung (Brechzahl n
des Prismas, außen Luft/Vakuum):
j
sin   n sin i  n sin i '  sin  '
  90  i   90  i '  180    i  i '
o
o
i
j‘
i‘
D‘
o
D
L/2
 sin  '  n sin   i   n sin  cos i  n cos  sin i  n sin  1  sin 2 i  n cos  sin i 
d '
dn
n sin 
 sin  n 2  sin 2   cos  sin 
 cos  '

d
n 2  sin 2  d
Wichtigster Fall in der Praxis: Symmetrischer Strahlengang, d.h. =‘:


 sin  1  cos    sin  n 2  sin 2   sin 2  1  2 cos   cos 2   sin 2   n 2 sin 2 
 sin  
n sin 
2n sin  / 2  cos / 2 
 

 n sin  
21  cos  
2
2 2 cos 2  / 2 
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

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126+48
Der Spektrograph
Natürlich gilt dann (wie vorausgesetzt):
sin  '  sin  n 2  sin 2   cos  sin  
 
 2 sin  / 2  cos / 2  n 2  n 2 sin 2  / 2   2 cos 2  / 2   1 n sin  / 2   n sin  
2
ACHTUNG: Zur Ableitung der Dispersionsformel muss die vorige Gleichung
verwendet werden, da der symmetrische Strahlengang streng nur für eine
Wellenlänge möglich ist und man ansonsten die Dispersion bei Brechung an der
ersten Grenzfläche des Prismas vernachlässigen würde!
 
2 sin  
n sin 
d '
dn
d '
dn
   dn
2
 cos  '

 2 sin  


d
d
d
 2  d
n 2  sin 2  d
2
2 
1  n sin  
2
 
2 sin  
dn
2

  ' 
d
2
2 
1  n sin  
2
Institut für Optik,

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
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126+49
Der Spektrograph
Spektrale Auflösung / wird durch Beugung
begrenzt, wenn Spalt genügend klein ist (≤f‘/D):
a
j
Linse mit Brennweite f‘ und Durchmesser D hat
Winkelauflösung von Beugung=/D:
i
i‘
j‘
D‘
 Beugung   Spektrograph
D
L/2
 
 
2 sin  
2 sin  

dn

dn
2
2
 
D
 
d
d
D

2
2 
2
2 
1  n sin  
1  n sin  
2
2
Alternative Gleichung für spektrale Auflösung (gültig für symmetrischen
Strahlengang), die oft verwendet wird:
Dabei ist L die Basislänge des
2 sin  / 2 dn
dn
dn Prismas unter der Annahme, dass

D
 2 D' sin  / 2 
L

cos  ' d
d
d das Prisma voll ausgeleuchtet ist.
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126+50
Der Spektrograph
Der Gitter-Spektrograph:
Zerlegung des Lichts mit
Hilfe eines Beugungsgitters
Spalt sei wieder genügend
klein (≤f‘/D), wobei f‘ die
Brennweite der beiden
Linsen ist.
j
j’
D’
L
D
Ableitung der spektralen Auflösung (Periode  des Gitters, Beugungsordnung
m, außen Luft/Vakuum):
sin  '  sin   m

 cos  '
d ' m
m

   ' 
    Beugung
 cos  '
d 
D


m
m

D
 D'  Nm

 cos  '

Geometrische und Technische Optik
Hierbei ist N die Anzahl der ausgeleuchteten
Perioden des Gitters.
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126+51
Der Spektrograph
Vergleich Prismen- und Gitter-Spektrograph für praxisnahe Werte:
60o-Prisma aus SF10 (=60o), Schwerpunktswellenlänge =550 nm: n=1.734,
dn/d=-0.000161 nm-1, ausgeleuchteter Durchmesser der Linse D=20 mm.
Beugungsgitter mit symmetrischem Strahlengang für =-45o Einfallswinkel (m=1):
sin  '  sin   m


 '   45o



1
2
2
2


2
 389 nm
 
2 sin  

dn
dn
D
2
D

 6460
Prisma :
2

d
1  n / 4 d
2
2 
1  n sin  
2
Gitter-Spektrograph hat
m

1
2D

D'
also ca. 10x höhere
Gitter :
 N

 72700



spektrale Auflösung
Geometrische und Technische Optik
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126+52
Der Spektrograph
Für noch höher auflösende Spektrometer werden spezielle auf der
Wellenoptik basierende Instrumente eingesetzt.
Fabry-Perot-Spektrometer (Vielstrahlinterferenz) oder EchelleSpektrometer erreichen bis zu /=108
Dazu muss aber praktisch immer ein normaler Gitter- oder PrismenSpektrograph vorgeschaltet werden, um nur noch einen kleinen
Spektralbereich zu haben.
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126+53
Die Kamera
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126+54
Die Kamera
Eine Kamera wird zur Aufnahme des (invertierten) Bildes eines
Objektes benutzt.
Sie besteht aus folgenden Komponenten:
• Linse (Linsensystem!) oder Spiegel mit Brennweite f‘
• Blende (= Aperturblende = kann Fassung Linse/Spiegel sein)
• Detektor (z.B. Film, CCD-Chip, …)
diaphragm lens
photosensitive
device
Meist ist die Brennweite f‘ sehr
viel kleiner als der Abstand des
Objektes |dO|.  Bildweite dI
1
1
1


d I dO f '
d O  f '

Geometrische und Technische Optik
dI  f '
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126+55
Die Kamera
Die Größe x des Bildes auf dem Kamera-Detektor wird also im
wesentlichen durch die Winkelausdehnung des Objektes bestimmt
und das Bild ist ungefähr in der Brennebene der Linse:
x  f '
Beispiel: Kleinbild-Kamera mit f‘=50 mm
1. Aufnahme eines Menschen mit 5 m Abstand (dO=-5 m) von der Kamera und
einer Größe von 1.75 m.
1.75
 0.35  x  f '  17.5 mm
5
dO f '
1
1
1
Exakt mit Abbildungsgleichung :
 50.51 mm


 dI 
d I dO f '
dO  f '

dI
 x
 17.68 mm
dO
Geometrische und Technische Optik
Näherungsformel ergibt also nur ca. 1% Fehler.
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126+56
Die Kamera
2. Bild des Mondes aufgenommen mit einer normalen Kleinbild-Kamera mit
Brennweite f‘=50 mm:
Mond: ≈0.5o
 x  f '  0.44 mm
Auf einem Dia-Film mit 24 mm x 36 mm Größe wäre der Mond also winzig und
man könnte kaum Details erkennen (Auflösung z.B. 200 Linien/mm  ca. 100
Pixel im Durchmesser)
 Zur Beobachtung von astronomischen Objekten mit kleiner
Winkelausdehnung braucht man lange Brennweiten.
 Astronomische Kamera mit langbrennweitigem Spiegel. In der Astronomie
wird diese oft auch einfach als astronomisches Teleskop bezeichnet.
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126+57
Die Kamera
Die Schärfentiefe:
Eine ideale Linse ohne Aberrationen bildet ein Objekt
„beugungsbegrenzt“ ab, d.h. die Auflösung wird nur durch die
Wellennatur des Lichts bestimmt.
Allerdings kann immer nur eine Ebene wirklich scharf abgebildet
werden.
In einer realen Kamera ist die Auflösung des Detektors oft aber
schlechter als die beugungsbegrenzte Auflösung.
 Auch Objekte in Ebenen mit verschiedener Tiefe können „scharf“
im Sinne der begrenzten Auflösung des Detektors abgebildet
werden, solange ein Bildpunkt nicht größer als ein Detektorpixel ist
(Detektorpixel = kleinstes noch unterscheidbares Bildelement).
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126+58
Die Kamera
Schärfentiefe (= Abstand zwischen den noch scharf abgebildeten Ebenen):
Durchmesser p der Detektorpixel, Brennweite f‘ der Kamera, Durchmesser D der
Blende
Objekt- bzw. Bildweite dO bzw. dI der exakt scharf abgebildeten Ebene
Objekt- bzw. Bildweite dO,N bzw. dI,N der näher an der Kamera liegenden Ebene, die
noch scharf abgebildet wird.
Objekt- bzw. Bildweite dO,F bzw. dI,F der weiter von der Kamera entfernt liegenden
Ebene, die noch scharf abgebildet wird.
ideal object
plane
detector
plane
dO,N
dI,N
D
dO
dO,F
Geometrische und Technische Optik
p
dI
dI,F
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126+59
Die Kamera
Blendenzahl/Öffnungszahl f# (f number):
f #
f'
D
Blendenzahl bestimmt die Belichtungszeit t, da die auf den Detektor fallende
Lichtenergie E proportional zur Fläche der Aperturblende ist (Konstante a).
2
 f' 
E
2
  t 


f
#
E  a  t  D  a  t  
2
f
#
af
'


2
Zusammenhang Blendenzahl - numerische Apertur im Bildraum NAI:
Gilt nur für weit entfernte Objekte, so dass das Bild ungefähr in der Brennebene der
Linse ist.
D
1
 nI
NA I  nI sin  I  nI
2f'
2f#
In der Praxis meist nI=1.0 (Luft)  NAI=1/(2f#)
Es gibt aber auch optische Systeme, bei denen nI≠1.0, wie z.B. im menschlichen
Auge!
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
126+60
Die Kamera
Ideale
Ableitung Schärfentiefe für unterObjektebene
schiedliche Brechzahlen nO bzw.
nI in Objekt- und Bildraum:
nI f ' d O
nI nO nI


 dI 
d I dO f '
nO f ' nI d O
nI f ' d O , N
nO
nI
nI
d


 I ,N 
d I , N dO, N
f'
nO f ' nI d O , N
nI f ' d O , F
n
nI
n
 O  I  d I ,F 
d I ,F dO,F
f'
nO f ' nI d O , F
Detektorebene
dO,N
dI,N
D
dO
dO,F
p
dI
dI,F
Laut Strahlensatz (siehe Abbildung) gilt:
nO f ' d O
dO
dO,N 

p
D
p
p
nO f ' nI d O  1  p 1  nI d O 
n
f
'


 d I ,N  d I  d I ,N
O
D
d I ,N d I ,N  d I
D
D  nO f ' 

nO f ' d O
p
dO
D
p

 d I  d I ,F  d I ,F
dO,F 

p
D
d I ,F d I  d I ,F
nO f ' nO f ' nI d O  1  p 1  nI d O 
D
D  nO f ' 
Geometrische und Technische Optik
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Photonik
126+61
Die Kamera
Abbildungsmaßstab  für den Fall, dass die Kamera-Linse (in Praxis = Objektiv)
die Sinus-Bedingung erfüllt ( Eintritts- und Austrittspupille sind Sphären um
Objekt- bzw. Bildpunkt):
n sin 
n D / 2d  n d
x

I
xO

O
O
nI sin  I

O
O
nI D / 2d I 

O
I
nI d O
nI nO nI
nI d O
nI d O
1
nI d O








1
1
Aus Abbildungsgleichung folgt:
d I dO f '
nO d I
nO f '

nO f '
dO
dO

p
p f#
1
1
D
f '
dO
dO


p
p f#
1
1
D
f '
dO,N 

dO,F
Geometrische und Technische Optik
Für Kamera ist f‘ positiv und  negativ (reales
invertiertes Bild, da |dO|>f‘ und dO<0). Der Nenner
der Gleichung für dO,F kann also Null werden.
1
p
p
0   
D
D
 d O ,C
nO f '  D 
nO f ' 
f' 
1 

1    

nI 
p
nI 
p f #
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Photonik
126+62
Die Kamera
Deutung der letzten Gleichung:
nO f '  D 
nO f ' 
p
f' 
1 

1    
1
 0 d.h. d O ,C  
D
nI 
p
nI 
p f #

dO, N
d O ,C
d O ,C


p
2
1
D
d O , F  
Wenn die Kamera auf die „kritische Objektweite“ dO,C scharf gestellt wird, geht
|dO,F| gegen unendlich und alle Objekte ab dem Abstand |dO,N|=|dO,C|/2 werden
scharf (im Sinn der begrenzten Auflösung des Detektors) abgebildet.
Anmerkung: Auch wenn die Kamera auf weiter entfernte Objekte mit Abstand >|dO,C|
scharf gestellt wird (d.h. || wird kleiner), werden alle weiter entfernten Objekte
scharf abgebildet, da dO,F dann sogar formal positiv wird (wegen 1+p/(D)<0). D.h.
sogar virtuelle, durch ein vorgeschaltetes Abbildungssystem erzeugte, Objekte
könnten noch scharf abgebildet werden.
Geometrische und Technische Optik
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126+63
Die Kamera
Beispiel: f‘=50 mm, nO=nI=1, p=11 µm (CCD-Kamera mit großem Dynamikbereich)
1. minimale Blendenzahl f#=2.8
 d O ,C
dO, N
nO f ' 
f' 
1 
  81.2 m  d O , N 

 40.6 m
nI 
p f #
2
2. Blendenzahl f#=16
 d O ,C
dO,N
nO f ' 
f' 
1 
  14.3 m  d O , N 

 7.1 m
nI 
p f #
2
Aber Vorsicht: Ab dieser Blendenzahl begrenzt die Beugung, die bei der
Ableitung der Schärfentiefe nicht berücksichtigt wurde, die Auflösung:
rAiry  0.61

NA
 1.22 f #  10.7 µm  p (für Wellenlänge   550 nm)
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126+64
Die Kamera
Schärfentiefe für nahe Objekte, so dass dO,F endlich ist:
p f#
2d O
f '
dO
dO


2
p f#
p f#
 p f #
1
1



1
f '
f '
 f ' 
1
nd
wobei rechts verwendet wurde :  1  I O

nO f '
d  d O , N  d O , F 
1 1
  1
 
n
2 O p f# 
2
nI
 p f #

1  
 f ' 
Für die kritische Distanz (pf#/(f‘)=1) würde der Nenner also wieder Null und d
unendlich. Für nähere Objekte (d.h. || wird größer) ist der Nenner natürlich
endlich und es gilt näherungsweise:
1 1
  1
 
1 1
n
nO
nO
1 


f '   p f #  d  2 O p f # 
p
f
p
f


2
#
1

2
#
2
2
 
nI
n
n



 p f #
I
I

1  
 f ' 
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126+65
Die Kamera
Beispiel für Schärfentiefe bei nahem Objekt:
CCD-Kamera mit f‘=50 mm, Linse in Luft, Pixelgröße p=11 µm.
Die Blendenzahl sei f#=10 und das Objekt befinde sich in 1 m Abstand, d.h. dO=-1 m
Abbildungsmaßstab  folgt aus Abbildungsgleichung:
1

Exakte Gleichung für die Schärfentiefe liefert:
1 1
  1
 
n
d  2 O p f # 
 83.746 mm
2
nI
 p f #

1  
 f ' 
Näherungsformel für die Schärfentiefe liefert:
1 1
nO
nO
1 
d  2
p f#
 83.600 mm
p f #   1  2
2

nI
nI
 
Geometrische und Technische Optik
 1
nI d O
   0.05263
nO f '
Der relative Fehler der
Näherungsformel ist also nur
ca. 0.2% und die Schärfentiefe
beträgt 8.4 cm bei einer
idealen Objektebene in 1 m
Abstand. Objekte außerhalb
der Schärfentiefe werden
unscharf abgebildet.
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126+66
Die Kamera
Detektor-Typen:
Früher wurden photographische Filme eingesetzt: analog sowohl
hinsichtlich der räumlichen Auflösung (es gibt keine Pixel) als auch
der Anzahl an Graustufen.
CCD oder CMOS-Sensoren: digitale elektronische Detektoren,
sowohl räumlich digital (es gibt klar definierte Pixel) als auch
bezüglich der Anzahl an Graustufen (Analog-Digital-Wandler
erzeugt ein digitales Signal).
CCD/CMOS-Sensoren liefern direkt ein elektronisches digitales
Signal, das verarbeitet werden kann. Filme dagegen liefern kein
elektronisch direkt auswertbares Signal, können dafür aber (nach
der Entwicklung und evtl. Umkopierung) ohne Hilfsmittel betrachtet
werden.
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126+67
Die Kamera
Vergleich Film  CCD/CMOS-Sensor
Film
CCD/CMOS
Auflösungsvermögen
in lp/mm
(=Linienpaare/mm)
> 1000 lp/mm (s/w),
gängig 40-150 lp/mm
(Farbe)
Pixelabstand 1.7 µm -20 µm
 Max. 300 lp/mm
Anzahl Pixel
Pixel nicht vorhanden.
Aber: 150 lp/mm bei 36
mm x 24 mm Format 
ca. 74 MPixel
Bis zu 16 MPixel
Digital/Analog
Räumlich analog,
Intensität analog
Räumlich digital (Pixel),
Intensität digital (DA-Wandler)
Quantenausbeute
5-10 %
Bis zu ≥ 90%
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126+68
Die Kamera
Prinzip CCD: CCD=Charge-coupled device
Nobelpreis für Physik 2009: Willard Boyle
und George E. Smith
LadungsverschiebungsVarianten von CCDs
„Eimerketten-Prinzip“
Lichtempfindlich ist nur ein Teil
jedes Pixels  höhere
Lichtausbeute möglich durch je
eine Mikrolinse pro Pixel.
Geometrische und Technische Optik
Alles Bildmaterial aus Wikipedia
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Photonik
126+69
Die Kamera
Signal-Rausch-Verhältnis SNR (signal-to-noise) eines CCD-Chips:
Jedes Pixel kann je nach Größe nur eine Maximalzahl N an durch einfallende
Photonen erzeugten Elektronen speichern. Das Rauschen in der Anzahl der
Elektronen liegt typischerweise bei N .
Das SNR ist also:
N
SNR 
 N
N
Die maximale Anzahl N an speicherbaren Elektronen pro Pixel hängt von der
Größe, d.h. Fläche, des Pixels ab. Bei einer Kantenlänge d jedes Pixels gilt also:
N  d 2  SNR  N  d
Ein CCD-Chip mit 20 µm großen Pixeln hat also beispielsweise ein mehr als 10-fach
größeres Signal-Rausch-Verhältnis als ein Chip mit nur 1.7 µm großen Pixeln!
Geometrische und Technische Optik
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126+70
Die Kamera
Anmerkungen zur Pixelgröße:
Generell sollte man sich klar machen, dass neben dem geringeren Signal-RauschVerhältnis immer kleinere Pixel auch sonst wenig sinnvoll sind, da der
Informationsgehalt des Bildes ab einer bestimmten Größe nicht mehr zunimmt.
Beugungsbedingte Größe der Airy-Disc (Radius):
rAiry  0.61

NA
in Luft
 0.61
 f'
rApertur
 1.22
 f'
DApertur
 1.22 f #
Bei einer Wellenlänge von =0.5 µm wäre der Radius eines Punktbildes also
schon durch Beugungseffekte ab einer Blendenzahl von 2.8 größer als 1.7 µm.
 Pixel mit Durchmesser <1.7 µm können nur noch für Blendenzahlen <2.8
eingesetzt werden, wenn man die volle Auflösung haben möchte.  Geringe
Schärfentiefe und relativ hohe Anforderungen an das Objektiv bezüglich
Aberrationskorrektur wegen des großen Feldwinkels und der kleinen Blendenzahl.
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126+71
Die Kamera
Farb-Kameras:
CCD-Chip basierend auf Silizium-Technologie (Standard) besteht
letztendlich aus einem Array von Silizium-Photodioden + weiterer
Elektronik.  Sensitiv für Photonen mit Energie Eph > Bandlücke
von Si (EBandlücke=1.1 eV)  Wellenlänge :
E ph  h 
hc

 E Bandlücke   
Si-Photodiode:
Strom/einfallende
Leistung als Funktion
der Wellenlänge
Quelle: Wikipedia
Geometrische und Technische Optik
hc
E Bandlücke
6.626 10 34 Js  2.998 108 ms -1

 1.127 µm
19
1.1 1.602 10 J
 CCD-Kamera mit IRdurchlässiger Optik ohne
IR-Filter ist bis ins nahe
IR sensitiv und liefert „nur
Grauwerte“.
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126+72
Die Kamera
Farb-Kameras(2):
Farb-Kamera hat in der Regel ein Array von Farbfiltern vor dem Chip 
Verschiedene Pixel für verschiedene Wellenlängenbereiche sensitiv
Bayer-Farbfilter: Array mit je
einem roten, zwei grünen
und einem blauen Pixel
(RGB)
Quelle: Wikipedia
Warum kann man mit nur drei Wellenlängen (bzw. genauer
Wellenlängenbereichen) wie beim RGB-Verfahren alle sichtbaren
Farben erzeugen bzw. detektieren?
Der Grund liegt natürlich in der Physiologie unseres Auges: Wir
haben genau drei Farbrezeptoren (S-,M- und L-Zapfen): siehe
menschliches Auge
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126+73
Das menschliche Auge
Geometrische und Technische Optik
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126+74
Das menschliche Auge
Aufbau des menschlichen Auges
(gleiches Prinzip bei allen Wirbeltieraugen):
Analogie zu einer Kamera:
• Iris = Blende (Durchmesser
2 mm - 8 mm)
• Hornhaut + Augenlinse =
Linse
• Netzhaut = Detektor
(schärfstes Sehen in der
Netzhautgrube=Sehgrube)
Quelle: Zeiss
Anmerkung:
Maßeinheit für Brechkraft (=1/Brennweite): 1 Dioptrie = 1 dpt = 1 m-1
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126+75
Das menschliche Auge
Die „Kamera-Linse“ des Auges:
Hauptanteil der Brechung findet an der Hornhaut (Cornea) statt (Übergang Luft –
Hornhaut: Brechzahldifferenz n=nHornhaut-nLuft=0.376): ca. 43 dpt
Augenlinse (Kristalllinse) besteht aus unterschiedlichen Schichten mit
Brechzahlen zwischen 1.386 und 1.406 eingebettet in Kammerwasser bzw.
Glaskörper mit je nGlaskörper=1.336  n≤0.07
Brechkraft der Linse für entspanntes Auge (Ferne): ca. 19-20 dpt
Bei Akkomodation (zusätzliche Brechkraft für nahe Objekte): max. 14 dpt zusätzlich
Gesamtbrechkraft Auge:
Ferne: 59 dpt (endlicher Abstand Hornhaut zu Linse  kleiner als Summe der
Einzelbrechkräfte von Hornhaut und Augenlinse)
n'
f'
 59 dpt 
 16.9 mm
f'
n'
Geometrische und Technische Optik
Achtung: Das Auge ist ein Immersionssystem
mit n‘=nGlaskörper=1.336. f‘/n‘ ist deshalb die
effektive Brennweite bezogen auf Luft.
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126+76
Das menschliche Auge
Akkomodation: Fähigkeit des Auges auf unterschiedliche Entfernungen
scharf zu stellen.
Scharfstellung auf nahes Objekt  Ziliarmuskel (Ringmuskel) wird angespannt 
Ziliarbänder werden entspannt und die elastische Augenlinse versucht möglichst
Tröpfchenform anzunehmen  stärkere Krümmung = höhere Brechkraft
Ziliarmuskel entspannt
Ziliarmuskel angespannt
Deutliche Sehweite: 25 cm  Augenlinse muss zusätzlich 4 dpt Brechkraft liefern
Objekt in Ferne dO-
Objekt im Abstand der
deutlichen Sehweite
dO=-25 cm
Geometrische und Technische Optik
n' n'

 n'  n' n'
n n 1 1
dI
f1 '



 4 dpt
   
n' n
n'
dO
dO
 f '  f 2 ' f1 '


d I dO f 2 '
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126+77
Das menschliche Auge
Bei einer zusätzlichen Brechkraft der Augenlinse von 14 dpt (nur in der Jugend)
können also noch Objekte im Abstand |dO|=1/14 dpt=7.1 cm scharf gesehen
werden.
Mit zunehmendem Alter „verkalkt“ die Augenlinse, d.h. ihre Elastizität nimmt ab
und deshalb auch ihre Fähigkeit zur Tröpfchenform  zusätzliche Brechkraft
nimmt ab bis zum „Endstadium“ der zusätzlichen Brechkraft Null.
Ab Akkomodationsfähigkeit kleiner als 4 dpt benötigt man eine Lesebrille (im
Volksmund „ist der Arm nicht mehr lange genug“ um das Buch weit genug entfernt
zu halten). Fachausdruck Presbyopie (Alterssichtigkeit)
Diese „natürlichen Alterungsprozesse“ dürfen nicht mit einer
angeborenen Fehlsichtigkeit (Ametropie) verwechselt werden,
bei der der Augapfel zu kurz (Weitsichtigkeit) oder zu lang
(Kurzsichtigkeit) ist. Korrektur der Weitsichtigkeit mit
Sammellinse bzw. der Kurzsichtigkeit mit Zerstreuungslinse.
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126+78
Das menschliche Auge
Auflösungsvermögen des menschlichen Auges:
Unter optimalen Bedingungen können zwei Objekte mit einem Winkelabstand von
=30‘‘ noch unterschieden werden (bei normalsichtigen Augen im Durchschnitt
bei 1‘ Winkelabstand). Abstand x der Bildpunkte auf der Netzhaut ist dann:

f'
x   ' f '    0.5 
16.9 mm  2.5 µm
n'
180  60
 Abstand der „Pixel“ des Auges (= Abstand der Rezeptoren) muss <2.5 µm sein,
damit eine Verminderung der Intensität im Punktbild zweier Objektpunkte noch
erkennbar ist. Laut Literatur beträgt der Abstand der Rezeptoren (Zapfen) im
Zentrum der Sehgrube (Ort des schärfsten Sehens) ca. 1.5-2 µm.
Bis Pupillendurchmesser (Irisblende) von ca. 3 mm ist das Auge beugungsbegrenzt:
Pupillenradius r=1.5 mm  numerische Apertur NA=n‘sin‘=n‘r/f‘=1.5 mm/16.9
mm=0.089  Radius der Airy-Disc für Wellenlänge 550 nm: rAiry=0.61 /NA=3.8 µm
Dies wäre sogar größer als der oben berechnete Bildpunktabstand bei optimaler
Auflösung, allerdings war dies nur eine Abschätzung, da sowohl  etwas kleiner als
auch r etwas größer sein können: =450 nm, r=2 mm  rAiry=2.3 µm.
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126+79
Das menschliche Auge
Diese Rechnung zeigt auf jeden Fall, dass das menschliche Auge im Lauf der
Evolution zu einem erstaunlichen optischen Instrument optimiert wurde, das an den
physikalisch möglichen Grenzen funktioniert.
Irisblende kann Durchmesser zwischen 2 mm (bei sehr hellem Licht) und 8 mm (bei
Dämmerung/Dunkelheit) haben. Mit zunehmendem Pupillendurchmesser (z.B. in der
Nacht) verringern Aberrationen (sphärische Aberration wächst mit NA4) das
Auflösungsvermögen.
Einen wesentlichen Teil unseres „Seh-Apparats“ bildet selbstverständlich die
Verarbeitung der Informationen im Gehirn, wobei schon in der Netzhaut (Retina),
dem Detektor unseres Auges, eine komplexe Vorverarbeitung durch
entsprechende Verschaltung der Nervenzellen (Neuronen) stattfindet. Da dieses
System an das Überleben im Alltag eines Primaten angepasst ist, kommt es unter
gewissen Umständen zu optischen Täuschungen.
Das Auge macht auch ständig bewusste und unbewusste Augenbewegungen um
ein Objekt „abzuscannen“, da wir nur in einem sehr schmalen Bereich (ca. 1o)
wirklich scharf sehen.
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N. Lindlein
126+80
Das menschliche Auge
Farbwahrnehmung:
Das menschliche Auge hat unterschiedliche Rezeptoren:
Stäbchen: keine Farbempfindlichkeit, d.h. nur Schwarz-Weiß-Sehen, aber extrem
empfindlich (bis zu einzelne Photonen sichtbar)  Nachtsehen (skotopisches
Sehen) erfolgt mit Stäbchen.
Häufigkeit auf der Netzhaut nimmt vom Zentrum zum Rand hin zu (ca. 120 Millionen
insgesamt)  Mensch sieht bei Dämmerung in der Peripherie besser.
Zapfen: Farbrezeptoren durch drei Zapfen-Typen: S-Zapfen (blau), M-Zapfen (grün)
und L-Zapfen (rot).
Zapfen benötigen mindestens 200 Photonen für ein zuverlässiges Signal  Zapfen
nur bei Tageslicht aktiv (photopisches Sehen), bei geringer Helligkeit wie nachts
„abgeschaltet“, d.h. keine Farbwahrnehmung.
Häufigkeit nimmt vom Zentrum der Netzhaut zum Rand hin ab. Höchste Dichte in
der fovea centralis=Sehgrube (ca. 6 Millionen insgesamt auf der menschlichen
Netzhaut, davon ca. 200 000 in der Sehgrube mit ca. 1.5 mm Durchmesser).
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Photonik
126+81
Das menschliche Auge
Verteilung der Zapfen (blau) und Stäbchen (rot) auf der Netzhaut:
In Sehgrube praktisch nur Zapfen, größte Dichte der Stäbchen auf Ring mit 17o
Winkelabstand relativ zur optischen Achse.
Da im Zentrum der Sehgrube (fast) keine Stäbchen vorhanden sind und bei
Dunkelheit die Zapfen nicht mehr funktionieren, kann man bei Dunkelheit nur
unscharf sehen und z.B. kaum einen Text lesen.
Der blinde Fleck (Austrittspunkt des Sehnervs) ist weiß gezeichnet (rechts von der
Sehgrube).
Quelle: http://www.dma.ufg.ac.at/app/link/Grundlagen:Allgemeine/module/16457?step=2
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Photonik
126+82
Das menschliche Auge
Farbwahrnehmung(2):
WellenlängenAbhängigkeit der
Empfindlichkeit der
verschiedenen
Rezeptoren im
menschlichen Auge (für
jeden Rezeptor getrennt
normiert)
S,M,L: Zapfen-Typen
R: Stäbchen (engl. rods)
Quelle: Wikipedia
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126+83
Das menschliche Auge
Farbwahrnehmung(3):
Relative Empfindlichkeit
der verschiedenen
Zapfen bzw. der
Gesamtheit der Zapfen in
der Sehgrube im
menschlichen Auge
S,M,L: Zapfen-Typen
Z: Sehgrube
Maximale Empfindlichkeit des
Auges bei 555 nm (Tagessehen)
bzw. 498 nm (Nachtsehen) ist also
gut an das Strahlungsmaximum
unserer Sonne bei ca. 500 nm
angepasst!
Geometrische und Technische Optik
Quelle: Wikipedia
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126+84
Das menschliche Auge
Rot-Grün-Sehschwäche bzw. totale Farbenblindheit:
Quelle: Wikipedia
Bei Rot-Grün-Sehschwäche (bis zu 9% der Männer und 0.8% der Frauen) kann
man Rot und Grün nicht unterscheiden, da anstelle der M- und L-Zapfen nur eine
Sorte vorliegt.
Fehlen die Zapfen vollständig (recht selten) kann man nur noch mit Hilfe der
Stäbchen Grautöne wahrnehmen und ist meist extrem behindert (Stäbchen am
Tag geblendet, in Sehgrube meist nur geringe Stäbchendichte und Sehschärfe).
Nachweis der Rot-Grün-Sehschwäche
Geometrische und Technische Optik
Simulation der Rot-Grün-Sehschwäche (Mitte) bzw.
totaler Farbenblindheit (rechts) für Normalsichtigen
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126+85
Das menschliche Auge
Der RGB-Farbraum:
Durch additive Mischung unterschiedlicher Intensitäten von nur drei Grundfarben
(rot, grün und blau), die in etwa an die Absorptionsmaxima der drei Zapfen-Typen
angepasst sind, lassen sich alle Farbtöne für das menschliche Auge erzeugen, da
das Auge eben nur über das Verhältnis der Anregung der drei Zapfen-Typen
Farben erkennen kann.
Wenn wir auf einem Computer-Bildschirm z.B. gelbes Licht sehen, so wurde dort
nicht etwa wirklich monochromatisches Licht mit einer Wellenlänge emittiert, die
wir als gelb empfinden, sondern es wurde durch die Mischung von rotem und
grünem Licht erzeugt.
Diese Eigenschaft unseres Farbwahrnehmungs-Systems mit den drei ZapfenTypen ermöglicht also erst die technische Darstellung aller Farben.
In der Drucktechnik muss man natürlich die subtraktive Farbmischung verwenden,
bei der aus weißem Licht (= Mischung aller Farben) entsprechende Farben
herausgefiltert werden.
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Institut für Optik,
Information und
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Photonik
126+86
Das menschliche Auge
Anmerkung zur Farbwahrnehmung anderer Tiere:
Manche Tiere haben bis zu 4 Farb-Rezeptoren (Vögel, Fische).
Manche Tiere wie Vögel, (manche) Fische und Schmetterlinge
sehen im Ultravioletten bei unter 400 nm.
Die meisten Säugetiere (Ausnahme Primaten wie z.B. der Mensch)
haben nur 2 Farb-Rezeptoren.
Mensch
Biene
Fisch (Plötze)
Quelle: http://www.sinnesphysiologie.de/komplex/farbe.htm
Geometrische und Technische Optik
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Photonik
126+87
Das Teleskop
Geometrische und Technische Optik
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Photonik
126+88
Das Teleskop
Definition:
Ein Teleskop ist ein System aus zwei
Linsen (oder Spiegeln), bei dem der
bildseitige Brennpunkt der ersten Linse
(Objektiv) mit dem objektseitigen
Brennpunkt der zweiten Linse (Okular)
zusammenfällt.
Es gibt zwei unterschiedliche Arten:
a) Kepler-Teleskop (astronomisches
Fernrohr) aus zwei Sammellinsen
b) Galilei-Teleskop (terrestrisches
Fernrohr, holländisches Fernrohr)
aus einer Sammel- und einer
Zerstreuungslinse
Geometrische und Technische Optik
(a)
u2 u2’
u1 u1’
-f2=f2’
F1’=F2
f1’
(b)
u1 u1’ u2 u2’
F1’=F2
f2
f1’
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126+89
Das Teleskop
Paraxiale Matrix eines Teleskops:
Bildseitige Brennweite f1‘ der ersten Linse bzw. f2‘ der zweiten Linse, je in Luft.
Laut Definition gilt für Abstand d zwischen bildseitiger Hauptebene der ersten Linse
und objektseitiger Hauptebene der zweiten Linse:
d  f1 ' f 2  f1 ' f 2 '
d
  f2 '

d  
1
0 1 d  1
0 
 1


f1 '
   f1 '
  1 1   
 M    1 1 
  1
 0 1 

d
d  
1

f
f
'
'

1
0
  
 1

 2


f2 '  
 f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 '

f1 ' f 2 ' 

f1 ' 

f 2 ' 
M: Matrix des Teleskops von objektseitiger Hauptebene U1 der ersten Linse bis zur
bildseitigen Hauptebene U2‘ der zweiten Linse.
Die Brechkraft (Koeffizient -C) ist also bei einem Teleskop Null bzw. die Brennweite
ist unendlich (daher auch der Name afokales System für ein Teleskop)!
Trotzdem kann ein Teleskop aber zur Abbildung von Objekten verwendet werden!
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126+90
Das Teleskop
Teleskop als Aufweitungssystem und Abbildungssystem für
weit entfernte Objekte
Betrachte einfallende ebene Welle unter Winkel  relativ zur optischen Achse 
paraxiales Strahlenbündel wird durch zwei Strahlen der Höhe x1 bzw. x2 vor dem
Teleskop und dem Winkel  repräsentiert.
Die Strahlvektoren unmittelbar hinter dem Teleskop sind dann:

 f2 '
xi   f1 ' f 2 'i 

 xi ' 
 xi   f1 '
 mit i  1,2
   M  
f1 '

i ' 
 i  


i


'
f
2


'
f'
f'
 '  1 '   2 '   1       1

f2 '
f2 '

x' 1
f2 '
f2 '
x': x2 ' x1 '    x2  x1   
x 

x 
f1 '
f1 '
Geometrische und Technische Optik
Die Winkelvergrößerung 
ist also betragsmäßig
gleich dem Verhältnis der
Brennweiten f1‘/f2‘.
Eine einfallende ebene
Welle mit Durchmesser x
wird um den Faktor –f2‘/f1‘=
=1/ aufgeweitet (oder
komprimiert).
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126+91
Das Teleskop
Für |f1‘|>|f2‘| wird die Winkelvergrößerung also betragsmäßig größer als eins und
das entfernte Objekt erscheint unter einem vergrößerten Winkel, d.h. auch größer.
Bei einem Kepler-Teleskop gilt f1‘>0 und f2‘>0  <0, d.h. das Bild steht auf dem
Kopf. Bei astronomischen Objekten ist dies kein Problem, bei terrestrischen
Objekten ist es aber störend, so dass man ein Bildumkehrungs-System benutzen
muss (z.B. nachgeschaltetes Kepler-Teleskop mit zwei identischen Linsen).
Bei einem vergrößernden Galilei-Teleskop gilt f1‘>0 und f2‘<0  >0, d.h. das Bild
steht aufrecht.
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126+92
Das Teleskop
Abbildung endlich weit entfernter Objekte mit einem Teleskop
u2 u2’
u1 u1 ’
Das Objekt befinde sich in der Entfernung d1
vor der objektseitigen Hauptebene der ersten
d1
-f2=f2’
Linse (d1>0, wenn Objekt links der ersten
d2
F1’=F2
Linse ist). Das Bild ist dann in der Entfernung
d2 hinter der bildseitigen Hauptebene der
f1’
Image
zweiten Linse, wobei es reell ist, wenn d2>0 Object
plane
plane
gilt. Matrix M‘ von Objekt- zu Bildebene ist:
 f2 '

d
1

f1 '
2 

M '  
 0 1  0


 f2 '

f1 ' f 2 ' 

d
1
1
 f1 '



f1 '  0 1  

0


f2 ' 

Für Abbildung muss der „B-Koeffizient“ Null sein:
f2 '
f '
 d2 1 
f1 '
f2 ' 
f1 '



f2 '

f1 ' f 2 'd1
 f '
 f '
f'
f '
f1 ' f 2 'd1 2  d 2 1  0  d 2  f 2 ' 2  d1 2 2
f1 '
f2 '
f1 '
 f1 '
2
Geometrische und Technische Optik
2
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126+93
Das Teleskop
Um also ein reelles Bild (d.h. d2≥0) eines reellen Objektes (d1≥0) zu erzeugen,
muss gelten:
2
2
2
d 2  f 2 '
 f 2 '
f1 '
 d1
 f 2 '
 f1 '2
 0  f1 '
 f1 '
f2 '
 d1  0 
1
1

0
f1 ' f 2 '
Da bei einem Galilei-Fernrohr die Sammellinse immer die betragsmäßig größere
Brennweite haben muss (siehe später), kann ein Galilei-Fernrohr kein reelles Bild
eines reellen Objektes liefern. Das Kepler-Teleskop liefert dagegen ein reelles
Bild solange 0≤d1≤f1‘+(f1‘)2/f2‘ gilt.
Im Fall der teleskopischen Abbildung gilt für den lateralen Abbildungsmaßstab :
x' Ax  B B 0
f '
 
 A 2
x
x
f1 '
Der Abbildungsmaßstab hängt also nur vom Verhältnis der Brennweiten ab und
nicht von der Lage des Objektes. Wenn sich in der gemeinsamen Brennebene des
Teleskops (nur Kepler) noch die Aperturblende befindet, ist das System
telezentrisch.
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126+94
Das Teleskop
Wichtiges teleskopisches Abbildungssystem: Das 4f-System
Ein wichtiger Spezialfall eines teleskopischen Abbildungssystems ist das
sogenannte 4f-System, bei dem beide Linsen die gleiche Brennweite f1‘=f2‘=f‘>0
besitzen.
 f '2
 f '2
d 2  f 2 '
2
f1 '
 d1
2
 f1 '
2
 2 f 'd1  d1  d 2  2 f '
f2 '
 
 1
f1 '
Bei einem 4f-System (Gesamtlänge 4f‘) ist also die Summe der Abstände des
Objektes und des Bildes von den Linsen konstant bzw. man kann das Teleskop
axial verschieben, ohne dass sich paraxial etwas an der Abbildungssituation
ändert (bei einem realen System ändern sich natürlich eventuelle Aberrationen!).
Das Bild hat die gleiche Größe wie das Objekt, steht aber auf dem Kopf.
4f-Systeme werden z.B. verwendet, um ein nicht direkt zugängliches
Zwischenbild reell abzubilden und damit zugänglich zu machen.
Geometrische und Technische Optik
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126+95
Das Teleskop
Apertur- und Feldblende eines
teleskopischen Abbildungssystems
(Kepler-Teleskop)
(a) Infinite distant objects
aperture
stop
field
stop
Bei unendlich weit entfernten Objekten ist in
der Regel die Apertur der ersten Linse die
Aperturblende. Die Feldblende bringt man
sinnvollerweise in der gemeinsamen
Brennebene des (Kepler-)Teleskops an.
Bei einem Objekt in der vorderen Brennebene
der ersten Linse ist die Apertur der ersten
Linse die Feldblende, während eine Blende in
der gemeinsamen Brennebene des
Teleskops zur Aperturblende wird. Es tritt
allerdings Vignettierung am Rand des Feldes
auf.
Geometrische und Technische Optik
(b) Finite distant objects
field
stop
vignetted
image point
aperture
stop
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126+96
Das Teleskop
Berechnung der Austrittspupille bei Kepler- und Galilei-Teleskop
für entfernte Objekte und den Fall, dass die Apertur des Objektivs mit
Durchmesser D die Aperturblende ist.
Eintrittspupille fällt dann mit der Apertur des Objektivs zusammen und die
Austrittspupille ist das Bild davon abgebildet durch das Okular mit Brennweite f2‘.
Die Objektweite dO und Bildweite dI der Abbildung lauten also:
d O   f1 ' f 2 '
f '  f ' f '
1
1
1


 dI  2 1 2
d I dO f 2 '
f1 '
 Austrittspupille
f1 '  f 2 '

f2 '
f 2 '  f1 ' f 2 '
d
f ' 1
f1 '
 I 
 2 
dO
f1 ' 
  f1 ' f 2 '
Die Bildweite der Austrittspupille ist also ungefähr gleich der Brennweite des
Okulars und der Durchmesser der Austrittspupille ist D/||.
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126+97
Das Teleskop
Anmerkungen zum Kepler-Teleskop:
Kepler-Teleskop zur vergrößerten Abbildung ferner Objekte besteht aus dem
Objektiv (erste Linse) und dem Okular (zweite Linse), die beide Sammellinsen sind.
In der hinteren Brennebene des Objektivs entsteht ein reelles Bild des Objekts und
hinter dem Okular ergibt sich wiederum ein Bild im Unendlichen, aber mit
vergrößertem Sehwinkel, da f1‘>f2‘.
Die Aperturblende des Kepler-Teleskops ist die Apertur des Objektivs mit
Durchmesser D, solange die Apertur des Okulars groß genug ist. Wegen des
deutlich geringeren Strahlquerschnitts am Okular (für ||>>1) muss die Apertur des
Okulars allerdings absolut gesehen nicht sehr groß sein.
 Eintrittspupille des Teleskops = Apertur des Objektivs
 Austrittspupille als Bild der Aperturblende liegt nahe der hinteren Brennebene
des Okulars wegen f1‘>>f2‘ und hat einen Durchmesser D/||.
 Die Pupille des Auges kann mit der Austrittspupille zur Deckung gebracht
werden, so dass alles Licht, das das Objektiv trifft, auch auf die Netzhaut fällt,
falls Durchmesser DAuge der Augenpupille DAuge>D/||.
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126+98
Das Teleskop
Anmerkungen zum Galilei-Teleskop:
Generell muss beim Galilei-Teleskop die Sammellinse die betragsmäßig größere
Brennweite als die Zerstreuungslinse haben wegen:
d  f1 ' f 2 '  0  f1 '   f 2 ' 
1. Fall : f1 '  0  f 2 '  0  f 2 '   f 2 '  f1 '  f1 '
2. Fall : f1 '  0  f 2 '  0  f1 '   f1 '  f 2 '  f 2 '
Vorteile sind:
Die kompakte Baulänge von |f1‘|-|f2‘| verglichen mit |f1‘|+|f2‘| beim Kepler-Teleskop.
Das aufrecht stehende Bild eines entfernten Objektes.
Großer Nachteil ist (nur der Fall der Sammellinse als Objektiv wird betrachtet):
Die Austrittspupille als Bild der Apertur des Objektivs abgebildet mit dem Okular liegt
vor dem Okular, da dI≈f2‘<0. Die Augenpupille kann deshalb nicht an den Ort der
Austrittspupille gebracht werden und man hat einen „Schlüsselloch-Effekt“, der das
Feld stark einschränkt. Es sind in der Praxis auch nur Winkelvergrößerungen von 2-5
sinnvoll.
Sinnvolle Anwendungen: Strahlaufweitung, Opernglas
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126+99
Teleskope in der Astronomie
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126+100
Teleskope in der Astronomie
Teleskope in der Astronomie (=„astronomisches Teleskop“):
Begriffsklärung:
Ein modernes Teleskop in der Astronomie bildet mit Hilfe einer Linse, eines
Spiegels oder auch eines ganzen optischen Systems (Objektiv) ein reelles Bild
eines unendlich weit entfernten Objekts auf einem Detektor (CCD, fotografischer
Film). Die Apertur des Objektivs ist meist auch gleichzeitig die Aperturblende.
Laut unserer Definition ist ein modernes astronomisches Teleskop also streng
genommen eine Kamera.
Ein astronomisches Hobby-Teleskop hat dagegen keinen unmittelbaren Detektor
sondern stattdessen ein Okular zur visuellen Beobachtung, so dass Objektiv und
Okular zusammen ein Kepler-Teleskop bilden.
Die astronomische Kamera bezeichnet in der Astronomie einfach ein normales
modernes astronomisches Teleskop mit großem Feldwinkel, das keine direkte
visuelle Beobachtung mit dem Auge zulässt. (Anmerkung: professionelle
astronomische Teleskope lassen allerdings praktisch nie mehr eine direkte visuelle
Beobachtung mit dem Auge zu.)
Geometrische und Technische Optik
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126+101
Teleskope in der Astronomie
Linsen-Teleskope (sogenannte Refraktoren) werden heutzutage nur noch selten in
der Astronomie eingesetzt, da Linsen mit großen Durchmessern (und deshalb
großer Dicke) sehr massiv und teuer sind. In der Praxis verwendet man deshalb
fast nur noch Spiegel-Teleskope.
Beliebte Bauweisen (heutzutage besonders in der Hobby-Astronomie) sind das
Newton-Teleskop (auch Newton Reflektor genannt) und das Cassegrain-Teleskop
bzw. das Schmidt-Cassegrain-Teleskop.
Eine verbesserte Version des Cassegrain-Teleskops ist das Ritchey-ChrétienCassegrain-Teleskop, das auch bei sehr großen Teleskopen verwendet wird:
• Hubble-Space-Teleskop (Primärspiegel mit 2.4 m Durchmesser und effektiver
Brennweite von 57.6 m)
• Very Large Telescope (VLT) der ESO in Chile (vier baugleiche zusammen
geschaltete Teleskope mit je 8.2 m Primärspiegeldurchmesser und effektiver
Brennweite von 108.8 m)
Geometrische und Technische Optik
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126+102
Teleskope in der Astronomie
Einschub: Kegelschnitte
Kegelschnitte entstehen beim Schnitt eines (unendlichen) (Doppel-)Kreiskegels mit
einer Ebene.
Kategorien:
• Ellipse mit Spezialfall Kreis
(Kreis  Flächennormale der Ebene
parallel zur Kegelachse,
Ellipse  Winkel zwischen
Flächennormale der Ebene und
Kegelachse kleiner als Kegelwinkel)
• Parabel ( Ebene parallel zum
Kegelmantel)
• Hyperbel ( Winkel zwischen
Flächennormale der Ebene und
Kegelachse größer als Kegelwinkel)
Geometrische und Technische Optik
Quelle: Wikipedia
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126+103
Teleskope in der Astronomie
Brennpunkte eines Kegelschnitts
Kegelschnitte sind durch zwei sogenannte Brennpunkte definiert.
Ellipse und Parabel: Die Summe der Abstände von den beiden Brennpunkten ist
für alle Punkte der Ellipse/Parabel identisch. Bei der Parabel ist allerdings einer der
Brennpunkte im Unendlichen.
Hyperbel: Die Differenz der Abstände von den beiden Brennpunkten ist für alle
Punkte der Hyperbel identisch.
Quelle: Wikipedia
Geometrische und Technische Optik
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126+104
Teleskope in der Astronomie
Dreht man den Kegelschnitt um seine Symmetrieachse, so entstehen:
• Rotationsellipsoid (Spezialfall Kugel),
• Rotationsparaboloid
• Rotationshyperboloid
Als Spiegel haben diese Körper die Eigenschaft, dass alle Lichtstrahlen, die vom
einen Brennpunkt ausgehen und am Spiegel reflektiert wurden, im anderen
Brennpunkt fokussieren (für Ellipsoid und Paraboloid) oder von ihm ausgehen zu
scheinen (für Hyperboloid).
ACHTUNG: Die Brennpunkte des Kegelschnitts haben im Allgemeinen nichts
mit den optischen Brennpunkten des Spiegels im Sinn der paraxialen Optik
zu tun.
Geometrische und Technische Optik
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126+105
Teleskope in der Astronomie
Zusammenhang mit der in der Optik üblichen Asphärenformel:
Konische Konstante K, Scheitelkrümmung C=1/R (R: Scheitelkrümmungsradius),
radiale Koordinate r, axiale Koordinate z
1  1  K  1C 2 r 2
z r  

2 2 K  1
K  1C
1  1  K  1C r
Cr 2
C 0
 1  K  1C 2 r 2  1  K  1Cz 
K  1Cz  12  K  1C 2 r 2  1
2
1. Fall:
2. Fall:
2
z  r
K  1  K  1  0    1   2  1
a  b
2
2
z  r
K  1  K  1  0    1   2  1
a  b
 Ellipsoid
 Hyperboloid
Scheitel sind jeweils bei z=0 (oder z=2a)
Halbachsen a und b:
Geometrische und Technische Optik
1
R
a

; b
K  1C K  1
1
K 1 C

R
K 1
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126+106
Teleskope in der Astronomie
r
Ellipsoid: Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel
a
a  e2  b 2
 a  e   a 2  b2  e  a  a2  b2

R2
R2
R


1  K
2
K  1 K  1 K  1
R
 e

K 1

F1
b
a F2
Achtung: Für K ist nur der Wertebereich -1<K0
zugelassen. Kurven mit K>0 sind keine Ellipsoide mit
aberrationsfreier Abbildung zwischen den Brennpunkten!
e
Hyperboloid: Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel
(ohne Beweis)
2
2
2
2
R
e  a a b 

K 1
2

2
R

1  K
K 1

R
R
R



2
K  1 K  1 K  1
R
R


2
K  1 K  1
D.h. gleiche Abhängigkeit wie bei Ellipsoid!
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126+107
z
Teleskope in der Astronomie
Für Ellipsoid und Hyperboloid (und im Grenzfall auch für Paraboloid)
gilt also für die Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel:

R
1  K
e
K 1

wegen K  0

R
1  K
1

K

2
R
1  K
R

1  K 1  K 1  K



Dabei sind für K nur Werte K0 zugelassen, da Kurven mit K>0 kein Ellipsoid
ergeben, dessen Symmetrieachse (=Drehachse) parallel zur Verbindungslinie
zwischen den beiden Brennpunkten ist!
K>0  große Halbachse der Ellipse in Richtung der Koordinate r, Drehung der
Ellipse erfolgt aber um die z-Achse  Keine aberrationsfreie Abbildung zwischen
den beiden Brennpunkten!
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126+108
Teleskope in der Astronomie
Grenzfall Paraboloid: K -1 bzw. -K +1
R
e
1  K
 K 1





 R / 1   K  

R / 1   K  R / 2
Der eine Brennpunkt liegt also, wie schon früher gesagt, im Unendlichen. Der
andere Brennpunkt liegt im Abstand R/2 vom Scheitel.
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
Für einen konkaven Parabolspiegel (R<0),
ist aber die bildseitige Brennweite f‘:
f‘=-R/2=|R|/2.
 Der bildseitige Brennpunkt der
paraxialen Optik und der eine „Brennpunkt“
der Parabel im Sinn der Kegelschnitte
fallen also zusammen.
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
r
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
z
-10
-10
-20
-20
f’
-30
-30
-40
-40
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
RAYTRACE Copyright © 2006 University Erlangen-Nuremberg
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126+109
Teleskope in der Astronomie
Das Newton-Teleskop (ursprünglich von Sir Isaac Newton entwickelt)
Sphärischer oder parabolischer Primär-Spiegel (Parabolspiegel  keine
sphärische Aberration)
Planer Fang-Spiegel unter 45o, um das Licht seitlich unter 90o aus dem Tubus
heraus auf das Okular zu lenken
Quelle: Wikipedia
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126+110
Teleskope in der Astronomie
Das Cassegrain-Teleskop
Konkav-parabolischer Primärspiegel und konvex-hyperbolischer
Sekundärspiegel, wobei der optische Brennpunkt des Primärspiegels mit dem
einen Kegelschnitt-Brennpunkt des hyperbolischen Sekundärspiegels
übereinstimmt, so dass das Licht zum zweiten Kegelschnitt-Brennpunkt des
Sekundärspiegels gelenkt wird  keine sphärische Aberration, aber lange
Brennweite trotz kurzer Baulänge.
Licht wird durch ein Loch im
Primärspiegel auf das Okular
geführt, falls Fokus hinter dem
Primärspiegel (für visuelle
Beobachtung), oder es befindet
sich direkt ein Detektor im Fokus,
falls dieser vor dem Primärspiegel
liegt.
Quelle: Wikipedia
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126+111
Teleskope in der Astronomie
Einschub: Kombination zweier Spiegel (Primär- und
Sekundärspiegel) als Objektiv:
Anwendung der paraxialen geometrischen Optik mit „aufgefaltetem Strahlengang“:
Brennweiten f‘1 und f‘2 der beiden Spiegel im Abstand d. Matrix M vom Scheitel
des ersten zum Scheitel des zweiten Spiegels.
d

1


0  1 d  1
0 
 1
f1'

 

M  
'
'
  1 / f 2 1  0 1   1 / f1 1    1  1  d
 f' f' f'f'
2
1 2
 1
1
1 1
f1' f 2'
d

 '  '  ' '  f ' '
f ' f1 f 2 f1 f 2
f1  f 2'  d



d 
1 ' 
f2 
d
Anmerkung: Die Brennweiten der Spiegel hängen mit den Scheitelkrümmungsradien unabhängig vom Kegelschnitt-Typ gemäß f‘1,2=-R1,2/2 zusammen! Der
konische Parameter K bestimmt dann die exakte Lage der KegelschnittBrennpunkte und damit mögliche Aberrationen.
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126+112
Teleskope in der Astronomie
Für unendlich weit entferntes Objekt liegt der Fokuspunkt im Abstand dI vom
Sekundärspiegel, wobei gilt:



1  d '  d I  1 '  1 '  d' '  d  d I  dd'I

f
f1
f
f
f
f2
 x'   1 d I   x  
2
1 2 
 1
   
M   
1 1
d 
d
 '   0 1    
 '  '  ' ' 
1


'

f
f
f
f
f
2
1 2 
2
 1



 x 
  
 


Im Fokus muss die Strahlhöhe x‘ unabhängig von der Strahlhöhe x der
einfallenden (parallelen) Strahlen sein, so dass also das Matrixelement A der
Gesamtmatrix Null ist:
 1 1
d
d 

x'  Ax  B unabhängig von x  A  1  '  d I  '  '  ' '   0
f1
 f1 f 2 f1 f 2 
f

 d f 2'
 dI  '
f1  f 2'  d
'
1
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
126+113
Teleskope in der Astronomie
Abstand d muss in der Praxis deutlich größer als 0.5*f‘1 sein, damit die
Abschattung des Primärspiegels durch den Sekundärspiegel nicht zu groß wird.
Beispiel eines Cassegrain-Designs: f‘1=2000 mm, f‘2=-700 mm, d=1500 mm
f
 d  f 2' 500 mm  - 700 mm 

 1750 mm
dI  '
'
f1  f 2  d
 200 mm
'
1
2000 mm  - 700 mm 
f1' f 2'
f ' '

 7000 mm
'
f1  f 2  d
 200 mm
d
dI
Für dieses Cassegrain-Teleskop liegt der optische Fokus also nur 250 mm hinter
dem Primärspiegel bzw. die Baulänge vom Sekundärspiegel (der am nächsten
zum Objekt ist) zum Fokus ist nur dI=1750 mm, während die effektive Brennweite
f‘=7000 mm beträgt!  Kompakter Bau
Hätte man nur einen einzigen Spiegel, so müsste die Baulänge gleich f‘ sein.
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
126+114
Teleskope in der Astronomie
• Konische Konstante des Primärspiegels (=Parabolspiegel) ist K=-1. Konische
Konstante des Sekundärspiegels (=hyperbolischer Spiegel) ergibt sich daraus,
dass der erste Brennpunkt des Hyperboloids mit dem Brennpunkt des
Primärspiegels übereinstimmen muss.  e=f‘1-d=500 mm
• Krümmungsradius R des Sekundärspiegels ergibt sich aus f‘2: R=-2f‘2=1400 mm
 e
R
R 1400 14
 1  K  

e 500
5
1  K
Da –K>1 für Hyperboloid, kann nur der Term mit
dem „+“-Zeichen eine Lösung ergeben:
1  K 
14

5
K 
R
1400 mm

 -1750 mm  d I
1 9 / 5
1  K
Geometrische und Technische Optik
e
dI
9
81
 K 
 3.24
5
25
Zur Überprüfung: Die zweite Lösung ergibt
e
d
Negatives Vorzeichen deutet an, dass
zweiter Brennpunkt auf anderer Seite
des Spiegels als erster Brennpunkt ist.
Institut für Optik,
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Photonik
126+115
Teleskope in der Astronomie
Ray tracing Simulation des Beispiels: D=0.5 m, f‘=7 m, =0.5 µm
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
-1500
-1000
-500
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
0
-1500
600
600
400
400
200
Maßstabsgerecht
200
0
-200
-400
-400
-600
-1000
-500
Zoom
µm! D.h. in Praxis
beugungsbegrenzt
250
200
200
150
150
100
100
50
0
-50
-50
-100
-100
-150
-150
-200
-200
-250
-250
-1500
0
10-8
0
0
-600
-1500
-500
50
0
-200
-1000
250
Spotdiagramme
von
Objektpunkten
-1000
-500
0
20 µm
Auf
Achse
0.1o
off-axis
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
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Photonik
126+116
Teleskope in der Astronomie
Das Schmidt-Cassegrain-Teleskop
Am Eingang wird eine asphärische Phasenplatte (Glasplatte) zur Korrektur der
sphärischen Aberration des sphärischen Primär-Spiegels angebracht. Ein
konvexer (hyperbolischer) Sekundärspiegel lenkt dann das Licht durch ein Loch
im Primärspiegel auf das Okular bzw. Detektor.
Die Schmidt-Kamera
Nur für photographische Zwecke ist die SchmidtKamera geeignet, bei der eine asphärische
Glasplatte mit Blende im Krümmungsmittelpunkt
eines sphärischen Spiegels dessen sphärische
Aberration korrigiert. Der Detektor muss sich im
Tubus befinden, wobei Bildfeldwölbung auftritt.
Durch das kugelsymmetrische Design sind Coma
und Astigmatismus weitgehend korrigiert!
Geometrische und Technische Optik
Quelle: Wikipedia
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
126+117
Teleskope in der Astronomie
Das Ritchey-Chrétien-Cassegrain-Teleskop
Kombination zweier spezieller hyperbolischer Spiegel, die eine komafreie
Abbildung ermöglichen. Bildfeld ist allerdings nach wie vor gekrümmt und muss
anderweitig korrigiert werden.
Quelle: Wikipedia
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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Photonik
126+118
Teleskope in der Astronomie
(Winkel-)Auflösungsvermögen eines (Spiegel-)Teleskops
Wie schon mehrfach erwähnt wurde, begrenzt die Beugung die Auflösung eines
Teleskops, vorausgesetzt das Teleskop hat keine Aberrationen.
Bei einem Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille) und der
Wellenlänge  beträgt der Winkel  zwischen zwei punktförmigen, (unendlich)
weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können:
  k

D
Die Konstante k kann in der Praxis gleich eins gesetzt werden. Für eine
Kreisapertur (ohne Obskuration) gilt k=1.22. Bei einer Ringapertur wie beim
Newton- oder Cassegrain-Teleskop ist k leicht verschieden davon, je nachdem
wie groß der innere Ring ist.
Um eine aberrationsfreie Abbildung zu erhalten, müssen bei erdgebundenen
Teleskopen aber Luftturbulenzen und Verbiegungen des Spiegels durch das
Eigengewicht korrigiert werden.  Adaptive und aktive Optik nötig (z.B. beim VLT)
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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N. Lindlein
Photonik
126+119
Teleskope in der Astronomie
Zusammenhang Winkel-Auflösungsvermögen,
Spiegeldurchmesser, Brennweite eines (Spiegel-)Teleskops
Große Brennweite f‘ des Spiegelsystems bedeutet auch eine große laterale
Vergrößerung: x  f '
(Objekt mit Winkelgröße , laterale Größe x des Objekts auf dem Detektor)
Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille), Wellenlänge   Winkel 
zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch
aufgelöst werden können, und entsprechende Größe x auf Detektor:
  k

D


D
 x  f '   f '

D
Maximal sinnvolle laterale Vergrößerung ergibt sich daraus, dass die Pixel des
Detektors einen Abstand xPixel von ca. 0.5*x haben (damit Intensitätsabnahme
zwischen zwei auflösbaren Objektpunkten noch messbar ist):
2xPixel  x  f '
Geometrische und Technische Optik

D
 f ' 2
D

xPixel
Institut für Optik,
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Photonik
126+120
Teleskope in der Astronomie
Für typischen CCD-Detektor mit hoher Intensitätsauflösung ( große Pixel), wie
in Astronomie üblich, ist xPixel=10 µm bis xPixel=25 µm.
Die maximal sinnvolle Blendenzahl f# ergibt sich dann in etwa zu (=0.5 µm):
f ' 2
D

xPixel  f # 
x
f'
 2 Pixel  40  100

D
In der Praxis wählt man die Blendenzahl meist etwas kleiner (ca. 13-50), da die
Auflösung des Teleskops durch andere Faktoren etwas schlechter ist bzw. die
Wellenlänge größer (IR), etc. Auch die nötige kompakte Bauweise der
Riesenteleskope begrenzt die Brennweite.
Feldwinkel Feld:
Der Durchmesser xCCD des Detektors (= Anzahl NCCD der Pixel pro Zeile * xPixel)
bestimmt mit der Brennweite f‘ den Feldwinkel:
 Feld
xCCD N CCD xPixel


f'
f'
Geometrische und Technische Optik
z.B. f‘=100 m, NCCD=8000, xPixel=20 µm  Feld=0.1o
Institut für Optik,
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Photonik
126+121
Teleskope in der Astronomie
Astronomische Kameras mit großen Feldwinkeln bis ca. 12o müssen also
deutlich kleinere Brennweiten haben, da die Detektoren nicht viel größer werden
können.  Die resultierende Winkelauflösung der Kameras ist nicht so hoch wie
sie laut der Beugungsbegrenzung sein könnte.
Beispiel: Kepler Teleskop = Schmidt-Kamera zur Beobachtung von Exo-Planeten,
Spiegel-Durchmesser ca. 1 m, Brennweite auch ca. 1 m, 42 CCD-Chips mit je
2200x1024 Pixel (Pixel-Größe ca. 25 µm)
Quelle: NASA
Geometrische und Technische Optik
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126+122
Teleskope in der Astronomie
Auflösungsbegrenzung durch Luftturbulenzen
Durch unterschiedliche Brechzahlen (wegen unterschiedlichem lokalen Luftdruck)
auf dem Weg des Lichts durch die untersten 15 km der Atmosphäre
(Troposphäre) sind die optischen Weglängen verschiedener Strahlen in der
Spiegelebene unterschiedlich  Winkelauflösung eines Teleskops am Erdboden
ist auf ca. 1 Bogensekunde begrenzt!
  k

D
 1' '  5  10
6
k
 D

 500 nm

k 1
100 mm
Dies wäre der Durchmesser eines einfachen Hobby-Teleskops und
professionelle Teleskope für die Astronomie mit Spiegeldurchmessern von mehr
als D=5 m wären von der Winkelauflösung um ca. einen Faktor 50 schlechter als
durch die Beugung vorgegeben!
 Moderne Teleskope werden auf hohen Bergen installiert wegen der dünneren
Atmosphäre.
 Weitere Korrektur durch deformierbare Spiegel nötig.
Geometrische und Technische Optik
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Photonik
126+123
Teleskope in der Astronomie
Adaptive Optik zur Korrektur von atmosphärischen Turbulenzen
Korrektur der Luftturbulenzen durch
deformierbaren Spiegel.
Regelgeschwindigkeit muss bei ca. 100 Hz
liegen, um die atmosphärischen Schwankungen
auszugleichen. Typischerweise wird der kleinere
Sekundärspiegel oder ein weiterer (ebener)
Spiegel deformiert.
Messung der Wellenaberrationen mit ShackHartmann-Sensor meist anhand eines fernen
Leitsterns (=ideale Punktlichtquelle).
Aktive Optik funktioniert nach gleichem
Prinzip, korrigiert aber nur Verformungen des
Spiegels aufgrund der Bewegung. Die Messung
erfolgt deshalb auch nur ca. jede Minute.
Geometrische und Technische Optik
Quelle: Wikipedia
Institut für Optik,
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Photonik
126+124
Teleskope in der Astronomie
Shack-Hartmann-Sensor zur Messung von WellenfrontDeformationen
Mikrolinsenarray mit Brennweite f‘ vor
einem Detektor (CCD-Kamera)
•
Laterale Spotauslenkungen 
hängen von lokaler Steigung der
Wellenfront ab
•
Interpretation als lokale Ableitungen
der Wellenfront (W: optische
Weglänge):
W  x

x
f'
W  y

y
f'
y
deformierte
Wellenfront
lokale
Koordinaten
x
lokale
Opt.
Achsen
 Integration
liefert die
Wellenfront
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
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Photonik
126+125
Das Mikroskop
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
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Photonik
126+126
Das Mikroskop
Um kleine nahe Objekte vergrößert abzubilden, gibt es mehrere
Möglichkeiten:
• Die Lupe
• Das visuelle Mikroskop zum direkten Betrachten mit dem Auge
• Das Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor
• Weitere Möglichkeiten, die hier aber nicht behandelt werden:
• Laser-Scanning-Mikroskop oder konfokales Mikroskop: in
beiden Fällen wird ein Objekt Punkt für Punkt abgerastert
• Dunkelfeld-, Polarisations- oder Phasenkontrast-Mikroskop:
spezielle wellenoptische Eigenschaften werden ausgenutzt
Je nach Beleuchtungsart unterscheidet man auch Auflicht- und
Durchlicht-Mikroskope
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
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Photonik
126+127
Das Mikroskop
Die Lupe:
Die Größe eines Objektes auf unserer
Netzhaut hängt vom Sehwinkel O ab,
unter dem das Objekt erscheint.
dO,2
xO
jO,1
Hauptebene
des Auges
xO jO,2
Auge
dO,1
 Um so näher das Objekt am Auge ist, desto größer erscheint es.
Aber das Auge hat eine minimale Entfernung, auf die es scharf stellen
kann. Zum entspannten Betrachten ist dies die sogenannte deutliche
Sehweite dS=25 cm
 Eine Sammellinse direkt vor dem Auge, die Lupe, kann ein
vergrößertes virtuelles Bild im Abstand |dI|=dS vor dem Auge erzeugen.
Anmerkung: Man kann eine Lupe auch so benutzen, dass sie nicht
direkt vor dem Auge ist. Diesen Fall betrachten wir hier aber nicht.
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
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Photonik
126+128
Das Mikroskop
Da das menschliche Auge nur in Luft scharfe
Bilder liefert, gilt im Bildraum der Lupe n‘=1.
Abbildungsgleichung für Brechzahl n zwischen
Objekt und Lupe (wenn auch meist n=1):
1
n
1


d I dO
f'
f‘: Brennweite der Lupe
Lupe
xI
dI
jI=jO
xO
dO
Auge
F Objekt
Grafik für n=n‘
Wegen Vorzeichen-Definition sind sowohl dO als auch dI = -dS negativ.
Für den lateralen Abbildungsmaßstab  gilt:
d
x
d
d
d
  I  I I  n I  1 I  1 S
xO O d O
dO
f'
f'
n ' 1
wobei n'  I  nO 
I
 n (paraxialer Fall)
O
Beispiel: Lupe mit f‘=5 cm  =1+25/5=6
Anm.: In der Praxis ist eine gute Lupe ein achromatisches mehrlinsiges System.
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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Photonik
126+129
Das Mikroskop
Einsatzgrenze der Lupe: Für starke Vergrößerung muss die Brennweite f‘ sehr
klein sein und deshalb das Objekt sehr nahe an die Lupe und damit auch ans
Auge gebracht werden.  Vergrößerung der Lupe ist begrenzt.
Ausweg: zweistufige Abbildung im Mikroskop zur visuellen Betrachtung:
• Mikro-Objektiv erzeugt reelles vergrößertes Zwischenbild des Objekts mit
Abbildungsmaßstab 1<0 und |1|>>1 (in Praxis |1| zwischen etwa 5 und 100).
• Dieses Bild wird mit einer Lupe (hier genannt: Okular) nochmals um den Faktor
2>1 (|2| zwischen etwa 5 und 20) vergrößert, so dass ein stark vergrößertes
virtuelles Bild im Abstand der deutlichen Sehweite vor dem Auge erzeugt wird.
Der resultierende laterale Abbildungsmaßstab  ist das Produkt der beiden
Abbildungsmaßstäbe 1 und 2:
Mikro-Objektiv
Okular
Reelles
Zwischenbild
Objekt
F1 F2F’1
  1 2 mit   0    1
Virtuelles Bild
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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Photonik
126+130
Das Mikroskop
Anmerkungen:
• Das Mikro-Objektiv muss achromatisch sein, eine hohe numerische Apertur und
ein großes aberrationsfreies Feld haben.  Kompliziertes System aus vielen
Linsen nötig. Sinus-Bedingung muss erfüllt sein  Coma korrigiert.
• Oftmals sind moderne Mikro-Objektive auf „unendlich korrigiert“, d.h. das Objekt
befindet sich exakt in der vorderen Brennebene und hinter dem Objektiv entsteht
für jeden Objektpunkt eine (geneigte) ebene Welle.  Das reelle Zwischenbild
wird mit einer zusätzlichen, sogenannten Tubus-Linse erzeugt, deren Brennweite
gleich der Tubuslänge (oft 160 mm) ist.
Vorteil dieser Konfiguration ist, dass der Abstand zwischen Mikro-Objektiv und
Tubuslinse weitgehend beliebig sein kann und dort nur ebene Wellen vorhanden
sind, die beim Durchgang durch Planplatten, wie z.B. in einem Strahlteiler, keine
zusätzlichen Aberrationen erzeugen.
• Bei biologischen Objekten befindet sich zwischen Objekt und Mikro-Objektiv oft
ein Deckglas. Die Aberrationen beim Durchgang der Kugelwelle vom Objekt durch
das Deckglas müssen dann im Design des Mikro-Objektivs korrigiert werden.
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
Information und
N. Lindlein
Photonik
126+131
Das Mikroskop
Auflösungsgrenze des Mikroskops (für inkohärentes Licht):
Zwei Objektpunkte mit lateralem Abstand x können, wenn sie inkohärent
zueinander strahlen, gerade dann noch aufgelöst werden, wenn gilt:
NA
k

x
n sin 
1

0.9
x  k
0.6
0.5
Intensity (normalized)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
n: Brechzahl zwischen Objekt und Mikro-Objektiv
: (halber) Aperturwinkel des Mikro-Objektivs
k: Konstante, die bei einer Kreisapertur normalerweise
0.61 ist, die aber je nach Beleuchtung und Detektor (z.B.
bei Nichtlinearität oder Schwellenempfindlichkeit) auch
etwas kleiner oder größer sein kann.
0.7
0.8
: Wellenlänge im Vakuum
-0.01
-0.006
-0.002 0
0.002
0.006
0.01
x-axis (mm)
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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Photonik
126+132
Das Mikroskop
Abbe‘sche Theorie des Mikroskops (für kohärentes Licht):
Alternative Betrachtungsweise zur Auflösungsgrenze, indem
ein periodisches Objekt (Linien-Gitter) der Periodenlänge p
betrachtet und mit einer ebenen Welle beleuchtet wird.
m=1
j’1
m=0
Damit das Gitter gerade noch abgebildet wird, müssen
mindestens die 0. Beugungsordnung und eine der ersten
Beugungsordnungen vom Objektiv übertragen werden.
p
Bei achsenparalleler Einstrahlung (oberes Bild) muss dann für
den Beugungswinkel ‘1 in erster Beugungsordnung gelten
(: Aperturwinkel des Mikro-Objektivs, n: Brechzahl vor Objektiv):
n sin  '1 

p
 n sin   p 

n sin 


NA
Bei schräger Beleuchtung (unteres Bild) kann man das
gleiche Gitter schon bei kleinerem Aperturwinkel gerade
noch abbilden.
Geometrische und Technische Optik
m=-1
m=1
j’1
m=0
j
p
m=-1
Institut für Optik,
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Photonik
126+133
Das Mikroskop
Sinnvolle maximale Vergrößerung eines visuellen Mikroskops:
Um die für ein visuelles Mikroskop sinnvolle maximale Vergrößerung || zu
berechnen, muss man zuerst die Auflösung des Auges kennen.
Bei der Besprechung des menschlichen Auges hatten wir gesehen, dass dieses
unter optimalen Bedingungen zwei Objekte mit Sehwinkel-Abstand von =30‘‘
noch unterscheiden kann. Unter normalen Bedingungen und „entspanntem“ Sehen
sollte man also zwei Objekte im Abstand der deutlichen Sehweite mit =2‘ noch
gut unterscheiden können. Der laterale Abstand xAuge der auflösbaren Punkte ist
dann:

x Auge  d S   250 mm  2
180  60
 0.15 mm
Der Abstand x zweier Punkte des Objekts unter dem Mikroskop, die bedingt durch
Beugung gerade noch aufgelöst werden können, sollte also auf die Größe xAuge
vergrößert werden, so dass für den Abbildungsmaßstab || gilt:
 
x Auge
x

x Auge NA
 500 nm
k
NA 1, k 0.61
Geometrische und Technische Optik

500 Stärkere Vergrößerungen als ca. 500-1000
machen also in der Praxis keinen Sinn!
Institut für Optik,
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Photonik
126+134
Das Mikroskop
Das Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor:
In der Praxis sieht man heutzutage oft nicht direkt durch ein Mikroskop, sondern
nimmt das Bild mit einem CCD-Chip auf und schaut es auf einem Bildschirm an.
 Auf dem CCD-Chip muss ein reelles Bild vorhanden sein. Das Okular entfällt.
Sinnvolle maximale Vergrößerung || liegt dann vor, wenn der Intensitätsabfall
zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objektpunkten auf dem CCD-Chip sichtbar
ist.  Für Pixelabstand d muss gelten:
d
x
2d NA

 k
  
2
2 NA
k
Abstand d der CCD-Pixel typischerweise 5 µm  d  20 µm (bzw. d=25 µm für lichtschwache astronomische Anwendungen). Beim Mikroskop eher 5 µm  d  10 µm.
Für sichtbares Licht (=500 nm), Objekt in Luft (d.h. n=1) und sin=1 (maximaler
Wert) folgt dann für k=0.61 und Pixelabstand d=10 µm: ||=66
 Das reelle Bild kann mit einem hochaperturigen Mikro-Objektiv erzeugt werden.
Geometrische und Technische Optik
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Photonik
126+135
Das Mikroskop
UV-Mikroskope mit Wasser-Immersion:
Höchste Auflösung mit „Licht“-Mikroskop  Reduktion der Wellenlänge  und
Erhöhung der numerischen Apertur durch Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und
Mikro-Objektiv. Systeme zur Inspektion von Masken für ICs: =248 nm und NA1.25
(Brechzahl Wasser im UV n1.38). Damit erhält man (für k=0.61): x=120 nm
Möchte man den Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objektpunkten also auf einem CCD-Pixel (d=12 µm) detektieren, muss die Vergrößerung
betragen:
d
 2
x
 200
Quelle: Leica, http://www.dgao-proceedings.de/download/106/106_a28.pdf
Es gibt mittlerweile Mikro-Objektive mit direkter 200-facher Vergrößerung. Auch
eine zweistufige reelle Abbildung ist möglich, wobei das zweite Abbildungssystem
nur eine sehr geringe numerische Apertur haben muss, da diese ja durch die erste
Abbildung mit Abbildungsmaßstab 1 stark verringert wird: NABild=NAObjekt/||
Geometrische und Technische Optik
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Photonik
126+136
Das Mikroskop
Vergleich Teleskop und Mikroskop:
Teleskop
Mikroskop
Zweck
Soll (unendlich) weit entfernte Soll nahe sehr kleine Objekte
(meist sehr große) Objekte
vergrößert abbilden.
vergrößert abbilden.
Prinzip
Winkelvergrößerung =‘/
Auflösung Winkelauflösung
  kT

D
Laterale Vergrößerung =x‘/x
Ortsauflösung
kT=1.22 für
Kreisapertur
x  k M
Zusammenhang zwischen den Größen: sin  

NA
 kM

n sin 
kM=0.61 für
Kreisapertur
D
und x  f '   kT  2k M
2f'
: Winkel, unter dem das Objekt erscheint, ‘: Winkel, unter dem das Bild erscheint,
x, x‘: laterale Objekt- bzw. Bildgröße, : Wellenlänge im Vakuum, D: Aperturdurchmesser, n: Brechzahl
zwischen Objekt und Objektiv, : (halber) Aperturwinkel, f‘: Brennweite des Objektivs
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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Photonik
126+137
Anwendung optischer Methoden in
der Astronomie: Detektion
erdähnlicher Planeten um andere
Sterne
Geometrische und Technische Optik
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126+138
Detektion erdähnlicher Planeten
Im Folgenden sollen Verfahren zum Auffinden erdähnlicher Planeten
um andere Sterne diskutiert werden.
Was hat dies mit technischer Optik zu tun?
Letztendlich stammt die gesamte Information, die wir in der
Astronomie von fernen Sternen und Sternsystemen bisher haben,
von elektromagnetischer Strahlung (Detektionsverfahren für
Gravitationswellen und Neutrinos sind erst in der Entwicklung und
würden bei der Suche nach Exoplaneten kaum helfen).
Davon wiederum hat das Spektrum vom fernen Infrarot bis zum
nahen Ultraviolett, in dem optische Methoden zum Einsatz kommen,
den wichtigsten Anteil.
 Verfahren der technischen Optik in Kombination mit anderen
physikalischen Verfahren kommen zum Einsatz.
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126+139
Detektion erdähnlicher Planeten
Methode 1: Periodische Doppler-Verschiebung der
Spektrallinien des Sterns aufgrund der Rotation um den
gemeinsamen Schwerpunkt (Radialgeschwindigkeits-Methode)
Mit dieser Methode wurden schon mehrere Riesenplaneten mit sehr
kleinen Bahnradien nachgewiesen. Momentane „Standardmethode“.
Könnte mit diesem Verfahren auch ein erdähnlicher Planet in einem
unserem Sonnensystem ähnlichen Planetensystem nachgewiesen
werden?
Als Modellsystem betrachten wir für alle Methoden unser eigenes
Sonnensystem und unsere Erde und versuchen abzuschätzen, ob
wir die Erde aus vielen Lichtjahren Entfernung nachweisen könnten.
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126+140
Detektion erdähnlicher Planeten
Verwendete Größen: Erdmasse mE=5.974.1024 kg, Sonnenmasse MS=1.989.1030 kg,
Abstand Erde-Sonne r=1 AE=149.6.106 km, Abstand Sonne vom gemeinsamen
Schwerpunkt rS, Abstand Erde vom gemeinsamen Schwerpunkt rE.
Kreisbahn wird angenommen!
r
Schwerpunktsbedingung:
mE rE  M S rS
rS
Sonne
rE
Schwerpunkt
Erde
r  rE  rS 
r  rE 
r
mE
M  mE
MS
rE  S
rE  rE 
r
MS
MS
M S  mE
MS
M  mE
mE
rS  rS  S
rS  rS 
r
mE
mE
M S  mE
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126+141
Detektion erdähnlicher Planeten
Zentrifugalkraft = Gravitationskraft
v 2E GmE M S
mE M S  mE  2 GmE M S
vE 


 vE  M S
mE
2
2
rE
r
MSr
r
G
M S  mE r
v 2S GmE M S
M S M S  mE  2 GmE M S
vS 


 v S  mE
MS
2
2
rS
r
mE r
r
G
M S  mE r
vE: Bahngeschwindigkeit des Planeten um Schwerpunkt;
vS: Bahngeschwindigkeit des Sterns um Schwerpunkt
Gravitationskonstante G=6.67.10-11 m3.kg-1.s-2
Umlaufzeit T (selbstverständlich für Stern und Planet gleich):
MS
2
2
v E   E rE 
rE 
r  MS
T
T M S  mE
G
M S  mE r
r3
 T  2
 365.3 Tage (für Erde)
G M S  m E 
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126+142
Detektion erdähnlicher Planeten
Optischer Dopplereffekt:
v2
1 2
c
 0
v
1  cos
c
0
v / c 1

1
v
cos
c
 v

  0 1  cos 
 c

v / c 1
: Frequenz des dopplerverschobenen Lichts, 0: Frequenz bei ruhendem Objekt,
v: Betrag der Relativ-Geschwindigkeit zwischen Objekt und Beobachter, c:
Lichtgeschwindigkeit, : Winkel zwischen Beobachtungsrichtung und
Bewegungsrichtung des Objekts: =0  Objekt entfernt sich (Rotverschiebung),
=  Objekt nähert sich (Blauverschiebung)
Doppler-Verschiebung ist also maximal, wenn die Bahnebene des Systems parallel
zur Beobachtungsrichtung ist. Die Stärke nimmt aber nur Kosinus-förmig ab, wenn
dies nicht der Fall ist. In ersterem Fall ist /0 während eines vollen Umlaufs:

v
2
0
c
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126+143
Detektion erdähnlicher Planeten
Abschätzung Doppler-Verschiebung in unserem Sonnensystem:
Bahngeschwindigkeit vS um Schwerpunkt bzw. maximale Doppler-Verschiebung der
Sonne (Bahnebene || Beobachtungsrichtung) aufgrund des Einflusses von Jupiter:
mJ=1.899.1027 kg, MS=1.989.1030 kg, rJ=5.204 AE, c=2.998.108 m s-1
v S  mJ
vS
G
m

 12.5

2
 8.3 10 8
M S  mJ rJ
s
c
0
Anschaulicher Vergleich: 100 m Weltklasse-Sprinter erreicht in etwa diese
Geschwindigkeit. Man müsste also die Spektralverschiebung einer Spektrallampe
messen können, die er beim Sprint mit sich trägt.
Einfluss der Erde auf die Sonne:
mE=5.974.1024 kg, rE=1 AE
v S  mE
Bisher minimal messbare Geschwindigkeit ca.
1 m/s  Zu klein für Messung!
vS
G
mE
m

 0.089

2 2
M S  mE rE
0
c
c
s
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G
 6 10 10
M S  mE rE
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126+144
Detektion erdähnlicher Planeten
Methode 2: Verdunkelung des Sterns aufgrund der Passage eines
Planeten zwischen Stern und Beobachter (Transit-Methode)
Mit dieser Methode wurden auch schon einige Riesenplaneten
nachgewiesen.
Voraussetzung: Die Bahnebene des Planeten muss fast parallel zur
Beobachtungsrichtung sein. Die Spitze des BahnebenenNormalenvektors muss also auf der Einheitskugel auf einem Ring
senkrecht zur Beobachtungsrichtung liegen, dessen Winkeldicke
durch das Verhältnis DS/r gegeben ist (DS: Durchmesser des Sterns
(=Sonne), r: Bahnradius des Planeten (=Erde)).
Wahrscheinlichkeit W, dass dies der Fall ist:
2DS / r DS
1.39  106 km
W


 0.005  0.5%
6
4
2r 2  149.6  10 km
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126+145
Detektion erdähnlicher Planeten
Relative Reduktion der Helligkeit I/I0 des Sterns beim Durchzug des Planeten
hängt vom Flächenverhältnis beider Himmelskörper ab (Durchmesser Stern DS,
Durchmesser Planet DE), ist aber unabhängig vom Abstand zum Beobachter:
2
DE2 10  2  1% (für Jupiter mit DJ  1.38 105 km)
I  DE / 2 

 2   4
2
I 0  DS / 2 
DS 10  0.01% (für Erde mit DE  1.27 10 4 km)
Dauer t des Vorbeizugs des Planeten am Stern bei zentralem Vorbeizug, d.h.
Bahnebene exakt parallel zur Beobachtungsrichtung (T: Umlaufdauer des Planeten
um den Stern, r: Bahnradius):
DS
1.39 106 km
t
T
 365  24 h  13 h (für Erde)
6
2r
2 149.6 10 km
Natürliche Schwankung der Helligkeit der Sonne 0.1%  Helligkeitsreduktion bei
Durchzug eines erdähnlichen Planeten kaum vom natürlichen „Rauschen“
unterscheidbar.
Beobachtung müsste auf jeden Fall ständig und über mehrere Umläufe/Jahre
erfolgen, damit ein periodisches Signal aus dem Rauschen gefiltert werden könnte!
Nur vom Weltall aus möglich wegen Helligkeitsschwankung durch Atmosphäre!
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126+146
Detektion erdähnlicher Planeten
Methode 3: Direkte Beobachtung des Planeten.
Winkelauflösungsvermögen eines Teleskops mit
Spiegeldurchmesser D bei der Wellenlänge :
 

D
Bei Beobachtung aus d=10 Lichtjahren Entfernung und =500 nm
müsste dann für den Spiegeldurchmesser gelten (r: Bahnradius):

d
r
10  365  24  3600  3  108 m
6
    D   

0
.
5

10
m
9
D d
r
149.6  10 m
10  9.46  1015 m
6


0
.
5

10
m  0.32 m
9
149.6  10 m
Hubble-Weltraum-Teleskop mit D=2.4 m wäre also ausreichend?
ACHTUNG!!! Gleichung für Auflösungsvermögen gilt nur für zwei
gleich helle Punkte!
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126+147
Detektion erdähnlicher Planeten
Exkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des
Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Teleskops mit
kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in
Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0):
 D   2 J 1 ˆ  
D
D
 
I ˆ   I 0 
  
 mit ˆ 
 f'

 4 f '   ˆ 
: entsprechende Winkel-Koordinate
2
2
Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei:
ˆ  1.22    1.22

D


D
Asymptotisches Verhalten für ̂   :
I ˆ  ˆ  8 cos 2  ˆ  3 / 4 


I 0 
ˆ 3
Geometrische und Technische Optik
^)]2
[2J1(pr
^)/(pr
2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
^
r
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126+148
3
Detektion erdähnlicher Planeten
Auflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:
Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten
Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen.
Hierbei werden aber zwei gleich helle Punkte angenommen!
D
1

0.9

D
0.8

Geometrische und Technische Optik
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Im Fall eines Sterns und eines Planeten
sind die Intensitäten aber extrem
unterschiedlich, so dass das IntensitätsMaximum des Planetenbildes selbst von
weit außen liegenden Nebenmaxima
höherer Ordnung des Sternbildes
überstrahlt wird.
Intensity (normalized)
0.7
   1.22
-0.01
-0.006
-0.002 0
0.002
0.006
0.01
x-axis (mm)
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126+149
Detektion erdähnlicher Planeten
Überblick über nötige Spiegeldurchmesser bzw. erreichbare Auflösung bei
Beobachtung einiger Objekte in Astronomie oder Alltag:
Erdbeobachtung mit Satellit: Entfernung ca. d=300 km, Spiegeldurchmesser
ca. D=3 m, Wellenlänge =0.5 µm  Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der
Atmosphäre geringer):
x  d  d

 5 cm
 Autonummern bzw. Gesichter nicht erkennbar!
D
Beobachtung des Mondes von der Erde aus: Entfernung d=384 000 km,
Spiegeldurchmesser zur Zeit maximal D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm 
Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer):

 Überreste von Apollo-Mondlandungen (x<5 m)
x  d  d  20 m
nicht sichtbar!
D
Sonnennächster Stern Alpha Centauri A: d=4.34 Lichtjahre=4.11.1016 m, =0.5
µm, Durchmesser des Sterns D centauri1.22.DS=1.7.109 m  nötiger Spiegel-Ø
d
  12 m  Selbst sonnennächster Stern ist heutzutage noch nicht
D
D ,centauri
auflösbar, d.h. alle Sterne sind punktförmige Lichtquellen
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126+150
Detektion erdähnlicher Planeten
Intensitätsverhältnis Planeten- zu Sternbild im VIS am Beispiel Erde:
Gesamte von der Sonne emittierte Strahlungsleistung PS:
Solarkonstante E0=1367 W/m2 * Kugeloberfläche mit Erdbahnradius rE=1 AE
PS  4 rE2 E0  3.8 10 26 W
Gesamte von der Erde direkt rückgestreute Strahlungsleistung PE (d.h. ohne
Änderung der Spektralzusammensetzung):
Solarkonstante E0=1367 W/m2 * Scheibe mit Erddurchmesser DE=12700 km *
Albedo =0.367 der Erde (Verhältnis gestreute zu einfallende Leistung im VIS)
PE   DE / 2 E0  6.4 1016 W
2
Unter der Annahme, dass die direkt gestreute Strahlung nur in einen Halbraum
emittiert wird, ist das Intensitätsverhältnis IE/IS zwischen Erde und Sonne im VIS,
wenn man sie von einem entfernten Sternsystem aus beobachtet, also:
D
I E 2 PE

 2  E
IS
PS
 4rE
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2

  3.3 10 10

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126+151
Detektion erdähnlicher Planeten
Wahre Verhältnisse bei Beobachtung der Erde aus 10 Lichtjahren Entfernung:
Durchmesser des Spiegels D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm, rE=1 AE, IE/IS=3.3.10-10,
d=10 Lichtjahre=9.46.1016 m  Winkelabstand  zwischen Erde und Sonne:
 
rE
 1.6 10 6
d
Das Hauptmaximum der Airy-Disc der Erde liegt deshalb relativ zum
Hauptmaximum der Airy-Disc der Sonne in der Bildebene des Teleskops bei der
normierten Radial-Koordinate:
ˆ 
D

  31.6
Aus asymptotischem Verhalten der Airy-Verteilung der Sonne folgt für die
Intensität des nächstgelegenen Nebenmaximums relativ zum Hauptmaximum:
cos  ˆ  0.75  1 
2
I S ˆ 
8
 4 3  2.6 10 6 Das Bild der Erde wäre
I S 0  ˆ
relativ zum „Störlicht“ der
I E 0  I E 0  / I S 0  3.3 10 10
4




10
I S ˆ  I S ˆ  / I S 0  2.6 10 6
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Sonne also immer noch um
den Faktor 10000 dunkler!
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126+152
Detektion erdähnlicher Planeten
Abschätzung der Strahlungsleistung PTele in Teleskop mit Spiegeldurchmesser
D für Beobachtung der Erde aus einer großen Entfernung d:

D/m
 D / 2 PE  D  
16





10
W


2


2 d
8  d   d / Lichtjahr 
2
PTele  PE
2
2
Machen wir weiter die stark vereinfachende Annahme, dass all diese Strahlung
in Form von Photonen der Wellenlänge =0.5 µm vorliegt, entspräche dies einer
einfallenden Photonenrate N/t (Anzahl Photonen pro Zeit) von:
2

PTele
PTele  
N
D/m
  200 / s


 
t h Photon
hc
 d / Lichtjahr 
Beispiel: D=10 m, d=10 Lichtjahre  Pro Sekunde fallen gerade ca. 200
Photonen in den Spiegel, der den derzeit maximal herstellbaren Durchmesser hat.
Selbst von Alpha Centauri aus mit d=4.34 Lichtjahre wären es nur ca. 1000
Photonen/s. In der Praxis beobachtet man nur in einem gewissen Spektralbereich
 noch deutlich weniger Photonen.
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126+153
Detektion erdähnlicher Planeten
Verbesserte Beobachtung von Planeten im IR (Beispiel Erde):
Planeten absorbieren den größten Teil der einfallenden Sonnenstrahlung und geben
die Energie wieder als IR-Strahlung ab.
Auf der Erde werden (1-)=63.3% der einfallenden Sonnenstrahlung mit Maximum
bei 500 nm Wellenlänge (Effektiv-Temperatur Sonne TS=5778 K) absorbiert und
dann als Infrarot-Strahlung abgestrahlt. Die effektive Temperatur TE der Erde lässt
sich damit aus der Energie-Bilanz und dem Stefan-Boltzmann-Gesetz berechnen:
2
2
Pabsorbiert
W
 DE 
 DE 
4
8
 E0 
 1     PAbstrahlung  4 
 TE mit   5.67 10
m2K 4
 2 
 2 
 TE 
4
E0 1   
 248 K
4
Laut Wienschem Verschiebungsgesetz liegt das Strahlungsmaximum der Erde
unter Annahme eines schwarzen Körpers deshalb bei der Wellenlänge:
2898 µm K
E 
 11.7 µm
TE
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126+154
Detektion erdähnlicher Planeten
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/
BlackbodySpectrum_loglog_150dpi_de.png
Aus dem Planckschen Strahlungsgesetz
für schwarze Strahler lässt sich dann
ermitteln, wie viel Strahlung PE,IR die
Erde bzw. PS,IR die Sonne in einem
schmalen Spektralbereich bei E=11.7 µm
emittieren bzw. wie groß das Verhältnis
dort ist:
M   , T dAd 

PE , IR
PS , IR
2hc 2
5
1
dAd
 hc 
exp
 1
 kT 
4 DE / 2  M  E , TE   DE

 
2
4 DS / 2  M  E , TS   DS
2
 exphc / E kTS   1

 1.4 10 7
 exphc / E kTE   1
2
Im IR ist das Helligkeitsverhältnis Erde/Sonne also um fast einen Faktor 500 größer
als im VIS und der Photonenfluss ist auch deutlich größer! Aber die Auflösung ist
deutlich geringer (wegen  größer), so dass der nötige Spiegeldurchmesser
entsprechend größer wäre!
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126+155
Detektion erdähnlicher Planeten
Mögliche Verbesserungen zur direkten Beobachtung
erdähnlicher Planeten:
„Koronograph“: Durch eine Blende wird das direkt vom Stern kommende Licht
absorbiert, während das schräg kommende Licht außerhalb der Achse auf den
Detektor fällt. Bei Planeten um Sterne müsste die Blende aber sehr weit weg sein.
„Nulling“-Interferometrie: Durch eine Maske soll das Sternenlicht auf der Achse
negativ interferieren, während das außeraxiale Licht des Planeten nicht beeinflusst
wird.  Komplizierte wellenoptische Berechnung.
Mehrere Spiegel werden in einer Reihe interferometrisch zu einem Teleskop der
Länge L gekoppelt, das zumindest in einer Richtung die Auflösung eines Spiegels
mit scheinbarem Durchmesser L hat.  Auswertung muss auch wellenoptisch
erfolgen.
Natürlich sollten all diese Teleskope im Weltall platziert werden oder eine
aufwändige adaptive Optik besitzen, um die Auflösungsreduktion durch
Turbulenzen der Atmosphäre zu vermeiden.
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126+156