¨Ubungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.¨Ubung
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Prof. Dr. Mergel C. Notthoff H.Gollisch Fachbereich Physik Übungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.Übung, 18.06.08 Bitte bis zum 25.06.08 bearbeiten. Abgabe in der Vorlesung! Jede Aufgabe auf ein Blatt! Name, MatrikelNr und Gruppe nicht vergessen! Aufgabe 1: Die Abbildung zeigt eine Reihenschaltung a) und eine Parallelschaltung b) der Widerstände R1 = 10 M Ω , R2 = 10 kΩ und R3 = 1 M Ω an einer konstant Spannungsquelle mit Ug = 5 V (Batterie). (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Rg der Reihenschaltung, den Strom Ig , sowie die einzelnen Spannungsabfälle U1 , U2 und U3 . (b) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Rg der Parallelschaltung, den Strom Ig , sowie die einzelnen Ströme I1 , I2 und I3 . Lösung: a) In einer Reihenschaltung gilt: Rg = R1 + R2 + R3 = 11, 01 M Ω Der Gesamtstrom ist dann nach dem Ohm’schen Gesetz (Ug = Rg · Ig ): Ug 5 V = 11,01 = 45, 41 µA. Ig = R MΩ g Die Spannungsabfälle an den einzelnen Widerständen sind gegeben durch: Ug Ui = Ri · Ig , jedoch ist es genauer Ig = R einzusetzen und man erhält: g U1 = U2 = U3 = R1 Rg · Ug = 10 M Ω · 5 V ≈ 4, 5413 V 11, 01 M Ω 0, 01 M Ω · 5 V ≈ 0, 0045 V 11, 01 M Ω 1, 0 M Ω · 5 V ≈ 0, 45413 V 11, 01 M Ω Kontrollrechnung Ug = U1 + U2 + U3 = 5 V . (5) Prof. Dr. Mergel C. Notthoff H.Gollisch Fachbereich Physik Übungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.Übung, 18.06.08 Bitte bis zum 25.06.08 bearbeiten. Abgabe in der Vorlesung! Jede Aufgabe auf ein Blatt! Name, MatrikelNr und Gruppe nicht vergessen! b) Bei der Parallelschaltung gilt: Ig = I1 + I2 + I3 und Ug = Rg · Ig = R1 · I1 = R2 · I2 = R3 · I3 und damit gilt: 10·0,01·1 1 1 ·R2 ·R3 = R11 + R12 + R13 ⇒ Rg = R1 R3R+R = 10+0,01+0,1 MΩ = Rg 2 R3 +R1 R2 Rg ≈ 9, 9 kΩ Ug R1 I1 = = I2 = I3 = P Ig = Ig = Ug Rg = i Ii 5 V ·10,11 0,1×106 Ω 5V ≈ 0, 5 µA 10 M Ω 5V ≈ 0, 5 mA 0, 01 M Ω 5V ≈ 5 µA 1 MΩ = 0, 5055 mA = 0, 5055 mA 0,1 10,11 MΩ Prof. Dr. Mergel C. Notthoff H.Gollisch Fachbereich Physik Übungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.Übung, 18.06.08 Bitte bis zum 25.06.08 bearbeiten. Abgabe in der Vorlesung! Jede Aufgabe auf ein Blatt! Name, MatrikelNr und Gruppe nicht vergessen! Aufgabe 2: Die Abbildung zeigt einen belasteten Spannungsteiler mit den Widerständen R1 = 10 M Ω , R2 = 1 M Ω und R3 = 1 kΩ und einer konstant Spannungsquelle mit Ug = 5 V . Berechnen Sie die Spannungsabfälle U1,2,3 und die Ströme Ig = I1 , I2 und I3 . Lösung: Da R3 parallel zu R2 geschaltet ist erhält man für den Gesamtwiderstand ·R3 M Ω ≈ 10, 001 M Ω Rg = R1 + RR22+R = 10 M Ω + 0,001 1,001 3 Für den Gesamtstrom ergibt sich daraus Ug 5 V Ig = R = 10,001 ≈ 0, 4995 µA MΩ g Aus U2 = U3 , Ug = U1 + U2 , U2 = I2 · R2 = I3 · R3 und Ig = I2 + I3 folgt U3 1 2 I3 = R ≈ 0, 49945 µA, = Ig R2R+R = Ig 1,001 3 3 mit U2 = Ug − U1 = (Rg − R1 )Ig . Analog gilt für I2 0,001 3 I2 = Ig R2R+R = Ig 1,001 ≈ 0, 49945 nA 3 Damit lassen sich nun die Spannungsabfälle berechnen: 0,001 ·R3 5 U2 = U3 = RR22+R Ig = 1,001 V ≈ 0, 5 mV 10,001 3 U1 = Ug − U2 ≈ 4, 995 V bzw. U1 = R1 · Ig . (5) Prof. Dr. Mergel C. Notthoff H.Gollisch Fachbereich Physik Übungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.Übung, 18.06.08 Bitte bis zum 25.06.08 bearbeiten. Abgabe in der Vorlesung! Jede Aufgabe auf ein Blatt! Name, MatrikelNr und Gruppe nicht vergessen! Aufgabe 3: Die Abbildung zeigt eine Wheatstonesche Brücke, welche zur genauen Bestimmung von Widerständen verwendet werden kann (R5 ist dann gegen ein Amperemeter oder Voltmeter zu ersetzen). (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung Rg , den Gesamtstrom Ig und den Strom I5 der durch den Widerstand R5 fließt, wenn R1 = 8 Ω , R2 = 8 Ω , R3 = 12 Ω , R4 = 12 Ω , und R5 = 10k Ω gilt. (b) Wie groß muss R4 gewählt werden damit durch R5 kein Strom fließt, wenn R1 = 10 Ω , R2 = 12 Ω , R3 = 9, 6 Ω gilt? Lösung: a) Elegante Lösung: Aufgrund der Symmetrie der Wheatstone’schen Brückenschaltung kann man die Bedingung U5 = 0 ⇔ I5 = 0 annehmen (Raten) und die Richtigkeit der Annahme zeigen. Dann gilt I1 = I4 und I2 = I3 (Knotenregel links und rechts von R5 ) und man erhält für die Spannungsabfälle: U1 U4 U2 U3 = R1 · I1 = R4 · I1 = R2 · I2 = R3 · I2 Da U5 = 0 angenommen wurde gilt U1 = U2 und U4 = U3 . Setzt man nun diese beiden ins Verhältnis so ergibt sich; R1 R 1 I1 2 I2 2 =R ⇒R =R R 4 I1 R 3 I2 R3 4 Was gerade die Abgleichbedingung für die Wheatstonsche Brücke ist. Zur Berechnung des Gesamtwiderstandes kann die Schaltung in zwei parallel geschaltete Reihenschaltungen (R1 + R4 und R2 + R3 ) zerlegt werden. 2 Somit ist Rg−1 = (R1 + R4 )−1 + (R2 + R3 )−1 = R1 +R 3 Ug ⇒ Rg = 0, 5 (R1 + R3 ) = 10 Ω und Ig = R = 0, 5 A g b) 1 2 Aus a) wissen wir, daß für I5 = 0 die Bedingung R =R gelten muß. R4 R3 Damit gilt: R3 R4 = R R1 = 9,6·10 Ω=8Ω 12 2 (5) Prof. Dr. Mergel C. Notthoff H.Gollisch Fachbereich Physik Übungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.Übung, 18.06.08 Bitte bis zum 25.06.08 bearbeiten. Abgabe in der Vorlesung! Jede Aufgabe auf ein Blatt! Name, MatrikelNr und Gruppe nicht vergessen! Allg. Lösung der Wheatstoneschen Brücke:Aus den Maschen- und Knotenregeln ergibt sich: U1 = R4 I4 U − U1 = R1 I1 U2 = R3 I3 U − U2 = R2 I2 I1 = I4 + I5 I3 = I2 + I5 U1 − U2 = R5 I5 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Aus den Gleichungen (1), (3) und (7) folgt: R5 I5 = R4 I4 − R3 I3 R5 I5 + R3 I3 I4 = R4 (8) Aus den Gleichungen (1), (2) und (5)folgt: U = I4 (R1 + R4 ) + R1 I5 (9) Aus den Gleichungen (3), (4) und (6)folgt: U = I3 (R2 + R3 ) − R2 I5 (10) Endlich erhält man aus den Gleichungen (9) und (10) die folgende Beziehung: R5 R3 (R1 + R4 ) + I5 (R1 + R4 ) + R1 (11) U = I3 R4 R4 Löst man nun noch (10) nach I3 auf ,setze in (11) ein und Stellt (11) nach I5 um erhält man die allg. Gleichung für den Strom durch R5 : I5 = U R2 R4 − R1 R3 R1 R4 (R2 + R3 ) + R2 R3 (R1 + R4 ) + R5 (R1 + R4 ) (R2 + R3 ) (12) Auch hier sieht man sofort, das I5 = 0 gilt wenn für die Widerstände folgende bedingung erfüllt ist: R2 R4 = R1 R3 ⇔ R1 R2 = R4 R3 Prof. Dr. Mergel C. Notthoff H.Gollisch Fachbereich Physik Übungen Naturwissenschaftliche Grundlagen – Physik – 9.Übung, 18.06.08 Bitte bis zum 25.06.08 bearbeiten. Abgabe in der Vorlesung! Jede Aufgabe auf ein Blatt! Name, MatrikelNr und Gruppe nicht vergessen! Aufgabe 4: Doppler-Effekt: Die Frequenz einer Autohupe betrage ν = 400 Hz. (a) Wie groß ist die beobachtete Frequenz, wenn sich der hupende Wagen mit einer Geschwindigkeit von v = 34 m/s bei Windstille auf einen ruhenden Empfänger zu bewegt? (c = 340 m/s) (b) Wie groß ist die beobachtete Frequenz, wenn sich der hupende Wagen in ruhe befindet und der Empfänger mit einer Geschwindigkeit von v = 34 m/s bei Windstille auf den ruhenden Sender zubewegt? (c = 340 m/s) Lösung: a) Bewegte Quelle: ν 0 = ν0 1−1 v c ν 0 = 400 1−134 Hz = 400 1−1 1 Hz ≈ 444 Hz 340 10 b) Ruhende Quelle: ν 0 = ν0 1 + vc = 400 · (1, 1)Hz = 440 Hz (5)