U.19 PM-Ungleichung. Mit der Definition (U.27) gilt für alle −∞ ≤ r

U.19 PM-Ungleichung. Mit der Definition (U.27) gilt für alle −∞ ≤ r ≤ s ≤ ∞
Mrn (a1 , a2 , . . . , an ) ≤ Msn (a1 , a2 , . . . , an ),
(U.33)
oder für einige Grade r ausführlich hingeschrieben:
s
n
min(a1 , a2 , . . . , an ) ≤
1
1
+ a2 + · · · + a12
a2
1
≤
1
a1
≤
Ã
≤
√
n
+
√1
a1
2
1
a2
n
+···+
+
√1
a2
(r = −∞, −2)
n
(r = −1)
1
an
n
+···+
√1
an
!2
a1 a2 · · · a n
µ√
√
√ ¶
a1 + a2 + · · · + an 2
≤
n
a1 + a 2 + · · · + a n
≤
n
r
a21 + a22 + · · · + a2n
≤
n
≤ max(a1 , a2 , . . . , an )
¡
r = − 12
¢
(r = 0)
¡
r=
1
2
¢
(r = 1)
(r = 2)
(r = +∞)
bzw.
min(ai ) ≤ Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn ≤ max(ai ).
Gleichheit liegt genau dann vor, wenn alle ai untereinander gleich sind.
Bemerkung: M2n ≡ Qn heißt auch quadratisches Mittel (QM) oder im Englischen
root-mean-square (RMS).
U.19 Beweis: Wir unterteilen den Beweis in a) r < 0 < s, b) 0 < r < s und c) r < s < 0.
a) Ausgehend von den AM-GM-Ungleichungen
Gn (as1 , as2 , . . . , asn ) ≤ An (as1 , as2 , . . . , asn ),
Gn (ar1 , ar2 , . . . , arn ) ≤ An (ar1 , ar2 , . . . , arn ),
brauchen wir die erste nur zur (positiven) Potenz
1
s
zu erheben:
1
1
1
1
Gn (a1 , a2 , . . . , an ) = [Gn (as1 , as2 , . . . , asn )] s ≤ [An (as1 , as2 , . . . , asn )] s = Msn (a1 , a2 , . . . , an )
sowie die zweite zur (negativen) Potenz 1r :
Gn (a1 , a2 , . . . , an ) = [Gn (ar1 , ar2 , . . . , arn )] r ≥ [An (ar1 , ar2 , . . . , arn )] r = Mrn (a1 , a2 , . . . , an ),
um wegen der Transitivität Mrn ≤ Gn ≤ Msn zu erkennen. Der Fall von Gleichheit bei a 1 = a2 =
· · · = an folgt unmittelbar aus den obigen Ausgangsungleichungen.
b) Im Fall 0 < r < s setzen wir p = s/r > 1 und a si = bip mit bi ≡ ari (1 ≤ i ≤ n). Die
Behauptung Mrn ≤ Msn nimmt dann nach Potenzieren mit r folgende Form an:
b1 + · · · + bn
ar1 + ar2 + · · · + arn
=
≤
n
n
µ
b1p + · · · + bnp
n
¶1
p
=
µ
as1 + as2 + · · · + asn
n
¶r
s
.
Wir müssen demnach nur An (b1 , b2 , . . . , bn ) ≤ Mpn (b1 , b2 , . . . , bn ) mit p > 1 für beliebige nichtnegative Zahlen b1 , b2 , . . . , bn zeigen (mit Gleichheit bei b1 = b2 = · · · = bn ). Da wir es hierbei
mit einer homogenen Ungleichung zu tun haben, können wir o. B. d. A.
b1 + b2 + · · · + bn = n
annehmen (s. Abschnitt U.3.2). Dies bedeutet für die Zahlen xi ≡ bi − 1, daß deren Summe
x1 + x2 + · · · + xn = (b1 + b2 + · · · + bn ) − n = 0
verschwindet. Wegen xi ≥ −1 und p > 1 folgt nun aus den verallgemeinerten Bernoullischen
Ungleichungen (s. Aufgabe U.12):
bip = (1 + xi )p ≥ 1 + pxi
(1 ≤ i ≤ n).
Eine Addition aller dieser Ungleichungen ergibt
b1p + b2p + · · · + bnp ≥ n + p(x1 + x2 + · · · + xn ) = n = b1 + b2 + · · · + bn ,
b1p + b2p + · · · + bnp
≥ 1,
n
¶1
µ p
b1 + b2 + · · · + bn
b1 + b2p + · · · + bnp p
≥1=
.
=⇒
n
n
=⇒
Gleichheit tritt hier genau dann auf, wenn nach (U.6) in allen Bernoullischen Ungleichungen
xi = 0 (1 ≤ i ≤ n), gleichbedeutend mit b 1 = b2 = · · · = bn = 1 gilt.
c) Im Fall r < s < 0 oder 0 < −s < −r schreibt sich die Behauptung als
µ
¶
¶
µ
1 1
1
1
1 1
−s
−r
Mn
, ,...,
, ,...,
≤ Mn
,
a1 a2
an
a1 a2
an
welche aufgrund der Relation (U.30)
µ
¶
1
1 1
1
M−t
=
,
,
.
.
.
,
n
a1 a2
an
Mtn (a1 , a2 , . . . , an )
soeben unter b) bewiesen wurde. ¤