Programmieren in Haskell

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Programmieren
in Haskell
Giegerich
Programmieren in Haskell
WS 2011/2012
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
RobertGiegerich
Universität Bielefeld
AG Praktische Informatik
November 12, 2013
Haskell-Syntax: Ergänzungen
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Giegerich
Guards
Es gibt noch etwas bequeme Notation für Fallunterscheidungen,
die wir bisher nicht benutzt haben. Bisher kennen wir:
in Ausdrücken:
if condition then ausdruck else ausdruck
in Definitionen: Muster (pattern matching) in Gleichungen
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Neue Fallunterscheidungen rechts ...
Pattern matching in Ausdrücken:
1
2
3
4
5
Einfache Form
case expr
pat1 ->
pat2 ->
pat3 ->
...
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of
expr1
expr2
expr3
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Neue Fallunterscheidungen rechts ...
Pattern matching in Ausdrücken:
1
2
3
4
5
Einfache Form
case expr
pat1 ->
pat2 ->
pat3 ->
...
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of
expr1
expr2
expr3
Guards
Arrays
Primzahlen
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Example
1
2
3
4
5
6
> endswith :: String -> String
> endswith xs = case ( reverse xs ) of
>
[]
-> " no end at all ! "
>
a : as -> if ’A ’ <= a && a <= ’Z ’ then " capita
>
else if ’a ’ <= a && a <= ’z ’ then " small
>
else " not a letter . "
Neue Fallunterscheidungen rechts ...
1
2
3
4
5
jetzt zusätzlich mit Wächtern:
case expr of
pat1 | guard1 -> expr1
pat2 | guard2 -> expr2
pat3 | guard3 -> expr3
...
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Guards
Arrays
Primzahlen
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Neue Fallunterscheidungen rechts ...
1
2
3
4
5
jetzt zusätzlich mit Wächtern:
case expr of
pat1 | guard1 -> expr1
pat2 | guard2 -> expr2
pat3 | guard3 -> expr3
...
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Guards
Arrays
Primzahlen
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Example
1
2
3
4
5
6
> endswith ’:: String -> String
> endswith ’ xs = case ( reverse xs )
>
[]
->
>
a : as | ’A ’ <= a && a <= ’Z ’ ->
>
a : as | ’a ’ <= a && a <= ’z ’ ->
>
_
->
of
" no end at all ! "
" capital letter .
" small letter . "
" not a letter . "
... und links: Wächter in Funktionsdefinitionen
1
2
3
4
Bewachte Gleichungen
> fn pat1 pat2 ...
>
| guard1 = expr1
>
| guard2 = expr2
>
...
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Guards
Arrays
Primzahlen
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... und links: Wächter in Funktionsdefinitionen
1
2
3
4
Bewachte Gleichungen
> fn pat1 pat2 ...
>
| guard1 = expr1
>
| guard2 = expr2
>
...
syntaktische Zucker für Funktionsdefinitionen
guards (Wächter) sind Ausdrücke (vom Typ Bool)
sie ersetzen geschachtelte if-Ausdrücke auf der rechten
Seite
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Guards
Arrays
Primzahlen
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... und links: Wächter in Funktionsdefinitionen
1
2
3
4
Bewachte Gleichungen
> fn pat1 pat2 ...
>
| guard1 = expr1
>
| guard2 = expr2
>
...
syntaktische Zucker für Funktionsdefinitionen
guards (Wächter) sind Ausdrücke (vom Typ Bool)
sie ersetzen geschachtelte if-Ausdrücke auf der rechten
Seite
Example
1
2
3
4
howManyEqual n m p
| ( n == m ) && ( m == p )
= 3
| ( n == m ) || ( m == p ) || ( n == p ) = 2
| otherwise
= 0
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Guards
Arrays
Primzahlen
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Felder: Datenstrukturen mit konstantem Zugriff
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“Felder” nennt man auch Arrays, Vektoren, Matrizen, ...
“Konstanter Zugriff” heisst:
Zugriff auf Elemente mit Aufwand unabhängig von der Größe
der Datenstruktur.
Giegerich
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Gegenbeispiel Musik:
Finden der n-ten Note erfordert Durchlauf der
Datenstruktur in n oder mehr Schritten.
Allerdings: Die Noten sind nicht nummeriert.
Felder: Datenstrukturen mit konstantem Zugriff
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“Felder” nennt man auch Arrays, Vektoren, Matrizen, ...
“Konstanter Zugriff” heisst:
Zugriff auf Elemente mit Aufwand unabhängig von der Größe
der Datenstruktur.
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Gegenbeispiel Musik:
Finden der n-ten Note erfordert Durchlauf der
Datenstruktur in n oder mehr Schritten.
Allerdings: Die Noten sind nicht nummeriert.
Besseres Gegenbeispiel: Listen
– hier sind die Elemente ab 0 nummeriert ...
Zugriff auf Listenelemente
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Listen beherbergen viele Elemente gleichen Typs.
1
2
1
2
Sequentielle Abarbeitung ist einfach und effizient, z.B.
map f [] = []
map f ( x : xs ) = f x : map f xs
Random Zugriff auf einzelne Elemente durch operator !!
hängt von der Listenlänge ab:
( x : xs ) !! 0 = x
( x : xs ) !! n = xs !!( n -1)
Abhilfe schafft der Datentyp Array a b
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Datentyp Array a b
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Arrays – auf Deutsch “Felder”
Modul Array stellt Datentyp Array a b und Funktionen
darauf bereit
a ist der Datentyp des Index, b der Elementtyp
Operator ! für element-Zugriff bietet effizienten
Random-Access
Indextyp erlaubt mehrere Dimensionen
Funktion array liefert ein Array zurück
Giegerich
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Datentyp Array a b
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Arrays – auf Deutsch “Felder”
Modul Array stellt Datentyp Array a b und Funktionen
darauf bereit
a ist der Datentyp des Index, b der Elementtyp
Operator ! für element-Zugriff bietet effizienten
Random-Access
Indextyp erlaubt mehrere Dimensionen
Funktion array liefert ein Array zurück
1
array
: : ( I x a ) => ( a , a ) −> [ ( a , b ) ] −> Array a b
2
3
t = a r r a y ( low , h i g h ) l i s t _ o f _ e n t r i e s = . . .
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Datentyp Array a b
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Arrays – auf Deutsch “Felder”
Modul Array stellt Datentyp Array a b und Funktionen
darauf bereit
a ist der Datentyp des Index, b der Elementtyp
Operator ! für element-Zugriff bietet effizienten
Random-Access
Indextyp erlaubt mehrere Dimensionen
Funktion array liefert ein Array zurück
1
array
: : ( I x a ) => ( a , a ) −> [ ( a , b ) ] −> Array a b
2
3
t = a r r a y ( low , h i g h ) l i s t _ o f _ e n t r i e s = . . .
1
(!)
:: ( Ix a ) = > Array a b -> a -> b
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Beispiel: 2D Array
1
2
3
> module A r r
> where
> import Array
4
5
6
7
8
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10
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16
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Guards
> t a b l e : : Array ( Char , I n t ) I n t
> t a b l e = array ( ( ’ a ’ , 0) , ( ’ c ’ , 2) )
>
[ ( ( ’ a ’ , 0) , 0 ) ,
>
( ( ’ a ’ , 1) , 1 ) ,
>
( ( ’ a ’ , 2) , 2 ) ,
>
( ( ’b ’ , 0) , 3 ) ,
>
( ( ’b ’ , 1) , 4 ) ,
>
( ( ’ c ’ , 0) , 6 ) ,
>
( ( ’ c ’ , 1) , 7 ) ,
>
( ( ’b ’ , 2) , 5 ) ,
>
( ( ’ c ’ , 2) , 8 )
>
]
17
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> access a b = table ! (a , b)
> access2
= ( table !)
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Alternative
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Pattern Matching als Alternative für read-only Felder
Guards
vs. Feldgröße
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Alternative
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Pattern Matching als Alternative für read-only Felder
Guards
vs. Feldgröße
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Example
1
2
3
4
5
access
access
access
access
...
’a ’
’a ’
’a ’
’b ’
0
1
2
1
=
=
=
=
0
1
2
3
Beispiel: Umwandlung String in Char Array
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Guards
Arrays
Primzahlen
1
2
3
Sortieren
> s 2 a : : S t r i n g −> Array I n t Char
> s2a xs = l i s t A r r a y (0 , length xs − 1) xs
Akkumulierende Arrays
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1
2
in Haskell
Manchmal kann man die Einträge eines Feldes nicht auf einmal
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ausrechnen. Dafür gibt es die Funktion
> accumArray :: Ix a = >
Guards
( b -> c -> b ) -> b -> (a , a ) -> [( a , c )] -> Array
Arraysa b
Primzahlen
3
4
5
akkumulierende
Bereich
Fkt .
Startwert
Sortieren
Ergebnis
Elemente
Akkumulierende Arrays
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1
2
in Haskell
Manchmal kann man die Einträge eines Feldes nicht auf einmal
Giegerich
ausrechnen. Dafür gibt es die Funktion
> accumArray :: Ix a = >
Guards
( b -> c -> b ) -> b -> (a , a ) -> [( a , c )] -> Array
Arraysa b
Primzahlen
3
4
5
akkumulierende
Bereich
Fkt .
Startwert
Elemente
Der Aufruf accumArray f s (lo,up) assocslist
erlaubt fehlende wie mehrfache Auftreten des Indices in
den Associations
initialisiert alle Elemente mit dem Startwert s
akkumuliert mehrfache Auftreten
(i,x),...,(i,y),...,(i,z) in der Form
(((s ‘f‘ x) ‘f‘ y) ‘f‘ z) in Element i
Sortieren
Ergebnis
Akkumulierende Arrays
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1
2
3
Beispiel: Zählen der Buchstabenhäufigkeit in einem Text
Guards
> frq :: String -> Array Char Int
Arrays
> frq t = accumArray (+) 0 ( ’A ’ , ’z ’) ( zip t ones )
Primzahlen
>
where ones = 1: ones
Sortieren
Akkumulierende Arrays
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1
2
3
Beispiel: Zählen der Buchstabenhäufigkeit in einem Text
Guards
> frq :: String -> Array Char Int
Arrays
> frq t = accumArray (+) 0 ( ’A ’ , ’z ’) ( zip t ones )
Primzahlen
>
where ones = 1: ones
Sortieren
1
2
3
4
Damit z.B.
Arr > frq " abraham " ! ’a ’
3
Arr > frq " abraham " ! ’U ’
0
Tabellierung von Funktionen
Gegeben eine Funktion, die aufwendig zu berechnen ist:
1
2
3
> sid
: : I n t −> I n t
> s i d x = ( x +1)∗( x −1)−(x −2)∗( x+2)+(x−round 3 . 1 )
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Tabellierung von Funktionen
Gegeben eine Funktion, die aufwendig zu berechnen ist:
1
2
3
> sid
: : I n t −> I n t
> s i d x = ( x +1)∗( x −1)−(x −2)∗( x+2)+(x−round 3 . 1 )
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Wenn die Werte (aus einem bekannten Intervall) immer wieder
gebraucht werden, nimmt man eine interne Tabelle
1
2
3
4
5
6
> fid
: : I n t −> I n t
> f i d = ( f ! ) where
>
f = array (0 ,100)
>
[ ( x , ( x +1)∗( x −1)−(x −2)∗( x+2)+(x−round 3 . 1 ) )
>
| x <− [ 0 . . 1 0 0 ] ]
Das funktioniert schneller, aber nur über dem vorgesehenen
Intervall.
Tabellierung von Funktionen
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Tabellierung ist eine allgemeine Technik. Können wir eine
Funktion tabulate schreiben, die andere Funktionen in
tabellierte Funktionen verwandelt?
Was wäre ihr Typ?
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Tabellierung von Funktionen
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Tabellierung ist eine allgemeine Technik. Können wir eine
Funktion tabulate schreiben, die andere Funktionen in
tabellierte Funktionen verwandelt?
Was wäre ihr Typ?
Giegerich
Guards
Arrays
Primzahlen
1
2
> t a b u l a t e : : ( I n t , I n t ) −> ( I n t −> a ) −> ( I n t −> a )
Sortieren
Tabellierung von Funktionen
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Tabellierung ist eine allgemeine Technik. Können wir eine
Funktion tabulate schreiben, die andere Funktionen in
tabellierte Funktionen verwandelt?
Was wäre ihr Typ?
Giegerich
Guards
Arrays
Primzahlen
1
2
> t a b u l a t e : : ( I n t , I n t ) −> ( I n t −> a ) −> ( I n t −> a )
Und was muss sie tun?
Wir fordern ∀ x, f: (tabulate f) x = f x
– nur schneller!
Sortieren
Tabellierung von Funktionen
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Tabellierung ist eine allgemeine Technik. Können wir eine
Funktion tabulate schreiben, die andere Funktionen in
tabellierte Funktionen verwandelt?
Was wäre ihr Typ?
Giegerich
Guards
Arrays
Primzahlen
1
2
> t a b u l a t e : : ( I n t , I n t ) −> ( I n t −> a ) −> ( I n t −> a )
Und was muss sie tun?
Wir fordern ∀ x, f: (tabulate f) x = f x
– nur schneller!
1
2
3
> t a b u l a t e ( l o , up ) f = ( t ! ) where
>
t
= a r r a y ( l o , up ) ( z i p domain (map f domain ) )
>
domain = [ l o . . up ]
Sortieren
Tabellierung von Funktionen
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Damit nun einfach – für beliebige Funktionen über einem
Intervall, aber hier am Beispiel sid
Guards
> t i d : : I n t −> I n t
> t i d = tabulate (1 ,100) s i d
Sortieren
Arrays
Primzahlen
1
2
3
Betrachte die Anzahl der Rechenschritte bei mehrfachen
Aufrufen von sid 42, fid 42, tid 42 ...
Primzahlen
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Primzahl
Guards
natürliche Zahl > 1
Arrays
nur teilbar durch 1 und sich selbst
Primzahlen
Erster Versuch: Hier ist direkt die Definition progammiert:
1
2
3
4
5
> primesSlow
> primesSlow
>
where
>
divisors
>
divisors
: : I n t e g r a l a => [ a ]
= [ n | n <− [ 2 . . ] , d i v i s o r s n == [ 1 , n ] ]
: : I n t e g r a l a => a −> [ a ]
n = [ d | d <− [ 1 . . n ] , n ‘mod ‘ d == 0 ]
Sieb des
Eratosthenes
Sortieren
Sieb des Eratosthenes
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Aus der Liste aller Zahlen werden sukzessive die Vielfachen der
bereits gefundenen Primzahlen herausgesiebt ...
Guards
Arrays
Primzahlen
Sieb des
Eratosthenes
1
2
> primes :: Integral a = > [ a ]
> primes = sieve [2..] where
Sortieren
3
4
5
>
>
sieve :: Integral a = > [ a ] -> [ a ]
sieve ( a : xs ) = a : sieve [ n |n < - xs , n ‘ mod ‘ a /= 0]
Sortieren
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Spezifikation des Sortierproblems:
genauer: Sortieren per Vergleich
Eingabe: Liste l
Elemente vom Typ T
T ist eine Instanz der Typklasse Ord
Ausgabe: sortierte Liste r
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Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Insertion Sort
Quicksort
Sortieren
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Spezifikation des Sortierproblems:
genauer: Sortieren per Vergleich
Eingabe: Liste l
Elemente vom Typ T
T ist eine Instanz der Typklasse Ord
Ausgabe: sortierte Liste r
length l = length r
für alle x ∈ l: length [ a | a <- l, a == x]
= length [ b | b <- r, b == x]
is_ordered l
Giegerich
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Insertion Sort
Quicksort
Insertion Sort
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Giegerich
Guards
1
2
3
> isort :: Ord a = > [ a ] -> [ a ]
> isort [] = []
> isort ( x : xs ) = insert x ( isort xs ) where
Arrays
Primzahlen
Sortieren
Insertion Sort
4
Quicksort
5
6
7
8
>
>
>
>
insert x
insert x
| x <=
| x >
[] = [ x ]
( y : ys )
y = x : y : ys
y = y :( insert x ys )
Quicksort
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Giegerich
Quicksort – noch bekannt aus der ersten Vorlesung ...?
Guards
Arrays
Primzahlen
Sortieren
1
2
3
4
5
> qsort :: Ord a = > [ a ] -> [ a ]
> qsort []
= []
> qsort ( a : xs ) = qsort [ b | b <- xs , b < a ] ++
>
[ a ] ++
>
qsort [ b | b <- xs , b >= a ]
Insertion Sort
Quicksort
Zum Ende noch ein Rätsel
69
Unsere Programm enthält die Definition
> xx = round 4.5
Wie berechnen x zweimal und betrachten die Rechenschritte:
3
4
5
Arr > : s + s
Arr > xx
4
(425 reductions , 844 cells )
6
7
8
9
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Guards
Arrays
1
2
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Arr > xx
4
(20 reductions , 30 cells )
Wieso ist die zweite Berechnung schneller?
Was ist überhaupt eine “Reduktion”?
Primzahlen
Sortieren
Insertion Sort
Quicksort
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