1 ¨Ubungen zu Topologie SS2014

1
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 1.1 (Stone,Weierstrass) Sei X kompakt und A eine Unteralgebra des reellen
Raumes C(X). Falls A die konstante Funktion 1 enthält und die Punkte von X trennt,
dann ist A dicht in C(X).
Analog zum metrischen Fall!
Beispiel 1.2 Beweisen Sie, daß [0, 1]N ein stetiges Bild der Cantormenge ∆ = {0, 2}N
ist.
P
Zunächst ist [0, 1] das stetige Bild von ∆: ist x ∈ ∆, und z.B. ϕ(x): =
xj 2−j , so ist
ϕ stetig und ϕ({0, 1}N ) = [0, 1]. Schließlich ist ∆ homöomorph zu ∆N , denn {0, 2}N ∼
{0, 2}N×N ∼ ({0, 2}N )N .
Beispiel 1.3 Sei ∆ die Cantormenge und A eine abgeschlossene Teilmenge von ∆. Zeigen
Sie, daß es zu jedem x ∈ ∆ genau ein bestapproximierendes Element fA (x) ∈ A gibt.
Folgern Sie, daß jede abgeschlossene Teilmenge von ∆ ein Retrakt ist.
Nach dem voranstehenden Beispiel ist ∆ isometrisch homöomorph zu {0, 2}N mit der
P
P
Metrik d((xj ), (yj )) = | (xj − yj )3−j |. Ist A ⊆ ∆ kompakt und x =
xj /3j mit xj ∈
{0, 2}, so definieren wir: εj : = xj , falls xj ∈ Prj (A) und {εj } = Prj (A), falls Prj (A) aus
genau einem Punkt besteht. Da A kompakt ist, gibt es erstens genau einen Punkt y ∈ A
mit yj = εj und damit ist zweitens die Abbildung fA stetig (cf. Beispiele zu Kor. 5.4.3);
offensichtlich gilt fA ◦ fA = fA , i.e. A ist ein Retrakt von ∆.
Beispiel 1.4 Sei X ein gleichmäßig konvexer Banachraum und C eine abgeschlossene,
konvexe Teilmenge von X. Dann gibt es zu jedem x ∈ X genau ein PC (x) ∈ C mit
der Eigenschaft: kx − PC (x)k = d(x, C). Ferner ist die Retraktion PC : X → C stetig.
Hinweis: Beweis des Approximationssatzes in Hilberträumen!
Sei D: = B(0, R) ∩ C 6= ∅, B(0, r) ∩ C = ∅ und 1 − r/R = δ(ε). Dann folgt: d(D) ≤ Rε!
Beispiel 1.5 Sei X ein metrischer Raum und xn eine Folge in X ohne Häufungspunkte.
Sei Y : = {0} ∪ {1/n : n ∈ N} ⊆ R. Dann ist die Menge D: = {(xn , 1/n) : n ∈ N} eine
abgeschlossene Teilmenge von X × Y und PrY (D) ist nicht abgeschlossen.
Beispiel 1.6 Sei p
E ein Hilbertraum. Zeigen Sie, daß der Konvexitätsmodul δ gegeben ist
durch: δ(t) = 1 − 1 − t2 /4 ∼ t2 /8. Hinweis: Parallelogrammgleichung!
Beispiel 1.7 Sei X ein Banachraum, so daß X ∗ reflexiv ist. Dann ist auch X reflexiv.
Beispiel 1.8 Jede orthonormale Folge in einem Hilbertraum konvergiert schwach gegen
0.
Beispiel 1.9 Seien fn (x) = sin2 (nx) und gn (x) = cos2 (nx). Dann konvergieren sowohl
fn als auch gn in L∞ (R) = L1 (R)∗ schwach ∗ gegen die konstante Funktion 1/2.
1
R
Dies Rfolgt aus dem Riemann-Lebesgue Lemma: für alle g ∈ L1 (R) gilt: limn g(x) sin(nx) dx =
limn g(x) cos(nx) dx = 0, d.h. en (x): = einx ist eine schwache ∗ Nullfolge in L∞ (R).
Beispiel 1.10 Sei (Ω, F, µ) ein σ-endlicher Maßraum, Y ∈ L1 (µ) nicht negativ und H: =
{X ∈ L0 (µ) : |X| ≤ Y }. Dann stimmen auf H die L1 -Topologie und die L0 -Topologie
überein.
Dies ist eine Reformulierung des Satzes von der dominierten Konvergenz.
Beispiel 1.11 Sei (Ω, F, µ) ein endlicher Maßraum und S der abgeschlossene Teilraum
{IA : A ∈ F} von L1 (µ). Dann ist die Abbildung L1 (µ) × S → [0, ∞),
Z
(X, A) 7→
|X| dµ
A
stetig. Ist also H ⊆ L1 (µ) relativ kompakt, so gilt
lim
sup
µ(A)→0 X∈H
Z
|X| dµ = 0
A
man sagt: H ist gleichmäßig integrierbar.
2. Die Abbildung L1 (µ) × [0, ∞] → S, (X, t) 7→ I|X|>t ist stetig. Ist also H ⊆ L1 (µ) relativ
kompakt, so gilt
Z
lim sup
t→∞ X∈H |X|>t
|X| dµ = 0 .
Häufig ist die gleichmäßige Integrierbarkeit von H durch diese Beziehung definiert. Zeigen
Sie, daß beide Definitionen äquivalent sind.
2
2
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 2.1 Jeder kompakte metrische Raum X ist ein stetiges Bild der Cantormenge.
X ist homöomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge von [0, 1]N ; ist F : ∆ → [0, 1]N
eine stetige Surjektion, so ist A: = F −1 (X) abgeschlossen in ∆ und F ◦ fA (cf. Beispiel
1.3) bildet ∆ auf X ab.
Beispiel 2.2 Jeder separable Banachraum X ist isometrisch isomorph zu einem Unterraum von C(∆). Hinweis: Betrachten Sie auf der abgeschlossene Einheitskugel B X ∗
von X ∗ die schwache ∗ Topologie; dann ist B X ∗ kompakt und metrisierbar; ferner ist
j : x 7→ (f 7→ f (x)) eine Isometrie von X in den Banachraum C(BX ∗ ).
B X ∗ ist nach Beispiel 1.2 homöomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge K von ∆; ist
F : K → B X ∗ ein Homöomorphismus, so ist F ∗ : C(B X ∗ ) → C(K), F ∗ (f ): = f ◦ F eine
Isometrie und somit ist F ∗ ◦ j eine isometrische Einbettung von X in C(K).
∗ : C(K) → C(∆), eine isometrische
Sei fK : ∆ → K wie in Beispiel 1.3, dann ist fK
∗ ◦ F ∗ ◦ j eine isometrische Einbettung von X in C(∆).
Einbettung, also ist fK
Beispiel 2.3 Sei xn eine gegen x schwach konvergente Folge in einem gleichmäßig konvexen Banachraum X. Falls kxn k → kxk, dann folgt: kxn − xk → 0.
Beispiel 2.4 Sei X ein n-dimensionaler Banachraum. Dann ist X genau dann gleihmäßig
konvex, wenn die Einheitskugel BX strikt konvex ist, d.h. die Einheitssphäre enthält keine
nicht trivialen Strecken.
Beispiel 2.5 Sei p ≥ 2. 1. Für alle x, y ∈ R gilt:
|x + y|p + |x − y|p ≤ 2p−1 (|x|p + |y|p )
2. Für alle X, Y ∈ Lp (µ) gilt die schwache Clarkson Ungleichung
kX + Y kpp + kX − Y kpp ≤ 2p−1 (kXkpp + kY kpp )
Anders ausgedrückt: die lineare Abbildung (X, Y ) 7→ (X + Y, X − Y ) von Lp (µ) ⊕p Lp (µ)
in sich besitzt die Norm 21/q .
3. Für den Konvexitätsmodul von Lp (µ) gilt: δ(t) ≥ (1 − (1 − (t/2)p )1/p ) ∼ (t/2)p /p.
1. Da p ≥ 2 ist die ℓ2p -Norm kleiner gleich der ℓ22 -Norm und diese ist wiederum nach der
Mittelungleichung kleiner gleich der ℓ2p -Norm multipliziert mit 21/2−1/p :
(|x + y|p + |x − y|p)1/p ≤ (|x + y|2 + |x − y|2 )1/2 = 21/2 (|x|2 + |y|2 )1/2 ≤ 21−1/p (|x|p + |y|p )1/p
Beispiel 2.6 Sei (Ω, F, µ) ein σ-endlicher Maßraum und An ↑ Ω eine Folge in F mit
µ(An ) < ∞. Ist dann H eine beschränkte Teilmenge von L1 (µ), so daß
lim sup
n X∈H
Z
Acn
|X| dµ = 0,
lim sup
n X∈H
Dann ist H schwach relativ kompakt.
3
Z
An ∩[|X|>n]
|X| dµ = 0
Beispiel 2.7 Sei H ⊆
C ∞ (Rn ) und D eine offene, beschränkte Teilmenge von Rn . Falls
R
für ein r > 0 supf ∈H Dr |f |p + k∇f kp < ∞, dann ist H eine relativ kompakte Teilmenge
von Lp (D).
Beispiel 2.8 Sei µ das Wahrscheinlichkeitsmaß mit der Dichte
ρ(x) = (2π)−n/2 exp(− kxk22 /2)
auf Rn . Dann ist
eine beschränkte Teilmenge M von L2 (µ) ∩ Cc∞ (Rn ) präkompakt, falls
R
für alle f ∈ M : k∇f k2 dµ < ∞.
Beispiel 2.9 Sei µ das Wahrscheinlichkeitsmaß mit der Dichte
ρ(x) = 2−n exp(− kxk1 )
auf Rn . Dann ist eine beschränkte Teilmenge M von L1 (µ) ∩ C ∞ (Rn ) präkompakt, falls:
sup
f ∈M
Z
k∇f k1 dµ < ∞
und
lim sup
n f ∈M
Z
|f | dµ = 0 .
k.k1 >n
Beispiel 2.10 Sei Tn der n-dimensionale Torus mit dem normalisierten Haarmaß σ und
H eine beschränkte Teilmenge von Lp (Tn ). H ist genau dann eine relativ kompakt Teilmenge von Lp (Tn ), wenn
lim sup
w→0 f ∈H
Z
|f (z + w) − f (z)|p σ(dz) = 0 .
Falls H ⊆ C 1 (Tn ), dann ist diese Bedingung erfüllt, falls
sup
f ∈H
Z
k∇f (z)kp σ(dz) < ∞ .
4
3
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 3.1 Seien X, Y Hausdorffräume und f : X → Y eine Abbildung, so daß Γ(f ) ⊆
X × Y abgeschlossen ist. Dann ist das Urbild jeder kompakten Teilmenge von Y abgeschlossen.
Es gilt: f −1 (K) = PrX (Γ(f ) ∩ (X × K)).
Beispiel 3.2 Sei f : S 3 (⊆ C2 ) → C × R die Abbildung (z, w) 7→ (2z w̄, |z|2 − |w|2 ). Dann
ist f : S 3 → S 2 stetig, abgeschlossen und surjektiv. Folgern Sie, daß P 1 (C) homöomorph
zu S 2 ist.
Beispiel 3.3 Sei f : S 7 (⊆ H2 ) → H × R die durch
f (x, y) = (z0 + z1 i + z2 j + z3 k, z4 ) = (2xȳ, |x|2 − |y|2 )
definierte Abbildung. Dann ist f : S 7 → S 4 surjektiv und es existiert ein Homöomorphismus
F : P 1 (H) → S 4 mit F ◦ π = f .
1. f (x, y) ∈ S 4 ⇔ (x, y) ∈ S 7 :
|2xȳ|2 + (|x|2 − |y|2 )2 = 4|x|2 |y|2 + |x|4 − 2|x|2 |y|2 + |y|4 = (|x|2 + |y|2 )2 = 1 .
2. Für alle h ∈ S 3 ⊆ H gilt: f (xh, yh) = f (x, y).
3. f ist surjektiv.
4. Aus f (x, y) = f (a, b) folgt xȳ = ab̄ und damit: x = ah und y = bh/|h|2 . Da |x|2 + |y|2 =
|a|2 + |b|2 = 1 und |x|2 − |y|2 = |a|2 − |b|2 :
1 = |a|2 |h|2 + |b|2 /|h|2
und 0 = (|a|2 (|h|2 − 1) + |b|2 /|h|2 )(|h|2 − 1)
Also |h|2 = 1, i.e. h ∈ S 3 . Somit ist die durch F ◦ π = f eindeutig bestimmte Abbildung
F : P 1 (H) → S 4 injektiv.
Beispiel 3.4 Sei X regulär und A bzw. K eine abgeschlossene bzw. kompakte Teilmenge
von X. Falls A ∩ K = ∅, dann existieren offene Teilmengen U bzw. V , so daß A ⊆ U ,
K ⊆ V und U ∩ V = ∅.
Beispiel 3.5 Sei X lokalkompakt. Eine Teilmenge A von X ist genau dann abgeschlossen,
wenn für jede kompakte Teilmenge K von X gilt: A ∩ K ist kompakt.
Beispiel 3.6 Sei X lokalkompakt, dann ist jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge
Y von X lokalkompakt.
Beispiel 3.7 Geben Sie ein Beispiel zweier lokalkompakter Teilräume von R, deren Vereinigung nicht lokalkompakt ist.
Beispiel 3.8 Geben Sie ein Beispiel eines lokalkompakten Teilraumes von R, dessen
Komplement nicht lokalkompakt ist.
5
Beispiel 3.9 Seien Xα , α ∈ I, topologische Räume und Z die disjunkte Summe der Xα .
Dann gilt:
1. Sind alle Xα hausdorffsch bzw. regulär bzw. vollständig regulär bzw. normal, so ist Z
hausdorffsch bzw. regulär bzw. vollständig regulär bzw. normal.
2. Sind alle Xα metrisierbar bzw. lokalkompakt, so ist Z metrisierbar bzw. lokalkompakt.
3. Ist I höchstens abzählbar und alle Xα separabel, so ist Z separabel.
Beispiel 3.10 Sei X ein lokalkompakter, metrischer und zusammenhängender Raum.
Dann existiert eine aufsteigende Folge kompakter Teilmengen Cn , so daß zu jeder kompakten Teilmenge K ein Index n existiert mit K ⊆ Cn .
6
4
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 4.1 Sei X eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit und A ⊆ X abgeschlossen. Dann existiert eine glatte Funktion f : X → [0, 1] mit A = [f = 0].
Sei (Uk , ϕk ) ein endlicher Atlas mit ϕk (Uk ) = Rn . Ferner seien fk : Rn → [0, 1] glatt, so
daß fk |ϕk (Uk ∩ A) = 0 und fk |ϕk (Uk ∩ Ac ) > 0. Nach dem Beweis zu Proposition ?? gibt
S
es offene Teilmengen Vk von Uk , so daß V k ⊆ Uk und Vk = X. Seien ψk : Rn → [0, 1] mit
ψk |ϕk (Vk ) > 0 und ψk |ϕk (Vkc ) = 0. Durch gk |Ukc = 0 und gk |Uk = ψk ◦ ϕk sind dann glatte
P
Funktionen gk : X → [0, 1] definiert und f : = fk ◦ ϕk gk ist eine geeignete Funktion: aus
f (x) = 0 folgt für x ∈ Vk : fk (ϕk (x)) = 0 und damit x ∈ A.
Beispiel 4.2 Sei X eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit und A, B abgeschlossen, disjunkte Teilmengen. Dann existiert eine glatte Funktion f : X → [0, 1] mit f |A = 0
und f |B = 1.
Beispiel 4.3 Sei X lokalkompakt und f : X → [0, 1] eine stetige Abbildung mit limx→∞ f (x) =
0. Dann ist durch F |βX \ X = 0 die stetige Fortsetzung von f auf βX definiert.
Beispiel 4.4 I.a. gilt nicht β(X × Y ) = βX × βY : Sei f : N × N → [0, 1] die Abbildung
(n, m) 7→ n/(n + m), dann besitzt f keine stetige Erweiterung auf βN × βN.
Beispiel 4.5 Sei f : R → R die Funktion f (x) = sin(1/x) für x 6= 0 und f (0) = 0. Geben
Sie eine kompakte Teilmenge K von R an, so daß f (K) nicht kompakt ist. 2. Das Bild
einer zusammenhängenden Menge ist zusammenhängend.
Beispiel 4.6 Sei f : R → R eine Funktion, so daß das Bild jeder kompakten bzw. zusammenhängenden Teilmenge kompakt bzw. zusammenhängend ist. Dann ist f stetig.
Beispiel 4.7 Seien ji : X → Ki , i ∈ {1, 2} zwei Kompaktifizierungen von X. K1 und K2
sind genau dann homöomorph, wenn für jedes Paar A, B abgeschlossener Teilmengen von
X gilt:
j1 (A) ∩ j1 (B) = ∅ ⇔ j2 (A) ∩ j2 (B) = ∅ .
Beispiel 4.8 1. Ist X normal und A, B abgeschlossene disjunkte Teilmengen von X, dann
sind A und B (Abschluß von A bzw. B in βX) disjunkte Teilmengen von βX.
2. Ist X vollständig regulär und j : X → K eine Kompaktifizierung mit der Eigenschaft,
daß für je zwei abgeschlossene disjunkte Teilmengen A, B von X die Mengen j(A) und
j(B) disjunkte Teilmengen von K sind, so ist X normal und K homöomorph zu βX.
Beispiel 4.9 Sei Y eine abgeschlossene Teilmenge des normalen Raumes X. Dann ist
der Abschluß von Y in βX homöomorph zu βY .
Beispiel 4.10 Ein lineares Funktional T : RN → R ist genau dann stetig, wenn ein
N ∈ N und y1 , . . . , yN ∈ R existieren, so daß für alle x = (xn )n∈N :
T (x) =
N
X
j=1
7
xj y j .
5
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 5.1 Seien E, F lokalkonvex und u : E → F stetig und linear. Zeigen Sie, daß
u(B) beschränkt ist, falls B beschränkt ist
Beispiel 5.2 Sei E ein Fréchetraum und K eine kompakte Teilmenge von E. Dann ist
die konvexe Hülle co(K) relativ kompakt.
Beispiel 5.3 Sei (E, (pα ), α ∈ I) lokalkonvex. Eine Teilmenge A von E ist genau dann
dicht in E, wenn für alle α ∈ I die Menge A in dem halbnormierten Raum (E, pα ) dicht
ist.
Beispiel 5.4 Sei R(N) : = {x ∈ RN : {n : xn 6= 0} ist endlich}. Sei rn eine Folge strikt
positiver Zahlen und
B((rn )): = {x ∈ R(N) : |xn | < rn }
Zeigen Sie, daß die Mengen B((rn )) die Nullumgebungsbasis einer lokalkonvexen Topologie
auf R(N) bilden und daß dieser Raum nicht metrisierbar ist.
Beispiel 5.5 Eine Menge B ⊆ R(N) ist genau dann beschränkt, wenn ein N ∈ N existiert, so daß B ⊆ RN beschränkt ist.
2. Beschreiben Sie die Nullfolgen in R(N) .
Beispiel 5.6 Der Dualraum von R(N) stimmt mit dem algebraisch Dualraum überein und
dieser ist isomorph zu RN .
Die Vektoren en : = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), wobei die 1 an der n-ten Stelle steht, bilden eine
Basis von R(N) . Damit ist der algebraische Dualraum isomorph zu RN . Für alle y ∈ RN
P
ist aber x 7→
x y stetig, denn mit rn : = 2−n min(1, 1/|yn |) gilt für alle x ∈ B((rn )):
P
P −nn n
| xn yn | ≤ 2 ≤ 1.
Beispiel 5.7 Seien E, En Frécheträume un : E → En lineare Abbildungen. Trägt E die
initiale Topologie bezüglich der Abbildungen un , so ist eine abgeschlossene Teilmenge K
von E genau dann kompakt, wenn für alle n ∈ N die Menge un (K) kompakt ist.
Q
Da E ein Fréchetraum ist, ist die Abbildung u : E →
En , Prn ◦u = un , eine abgeschlossene Einbettung; K ist also genau dann kompakt, wenn u(K) kompakt ist; da
u(K) abgeschlossen ist, ist dies genau dann der Fall, wenn für alle n ∈ N die Menge
Prn (u(K)) = un (K) kompakt ist.
Beispiel 5.8 Sei X ein Fréchetraum und A : dom (A) → X ein linearer Operator, so
daß für alle n ∈ N: An : dom (An ) → X ein abgeschlosser Operator ist (d.h. Γ(An ) ist
T
eine abgeschlossene Teilmenge von X × X). Zeigen Sie, daß D(A): = n dom (An ) mit der
initialen Topologie bezüglich der Abbildungen An , n ∈ N0 , ein Fréchetraum ist.
Beispiel 5.9 Sei E ein lokalkonvexer Raum und f : E → R ein lineares Funktional. Dann
sind folgende Ausssagen äquivalent: 1. f ist stetig; 2. ker f ist abgeschlossen; 3. [f > 0]
enthält einen inneren Punkt.
8
2.⇒3.: Sei f (x) > 0 und U eine konvexe Nullumgebung, so daß die Menge x + U ∩ [f < 0]
nicht leer ist, also f (x + u) < 0. Da f |(x + Ru) stetig und U konvex ist g : [0, 1] → R,
g(t): = f (x + tu), stetig und es gibt ein t0 ∈ (0, 1) mit f (x + t0 u) = 0.
3.⇒1.: Sei x ein innerer Punkt von [f > 0], dann gibt es eine Nullumgebung U , so daß für
alle u ∈ U : f (x+u) > 0, also f (U ) ⊆ [−f (x), ∞) und damit: f (U ∩(−U )) ⊆ [−f (x), f (x)].
Beispiel 5.10 Sei E ein Vektorraum und f, g1 , . . . , gn lineare Funktionale auf E. Falls
T
P
ker gj ⊆ ker f , dann gibt es Zahlen λ1 , . . . , λn , so daß f = λj gj .
9
6
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 6.1 Sei X lokalkompakt und C(X) trage die initiale Topologie bezüglich der Restriktionsabbildungen uK : C(X) → C(K), für alle kompakten Teilmengen K von X.
Folgern Sie, daß eine abgeschlossene Teilmenge H von C(X) genau dann kompakt ist,
wenn für alle kompakten Teilmengen K von X uK (H) in C(K) kompakt ist.
2. Beschränkte, gleichgradig stetige Teilmengen von C(X) sind relativ kompakt.
Beispiel 6.2 Sei E der projektive Limes der lokalkonvexen Räume En mit jn un+1 = un .
Falls jn beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet, dann ist eine Teilmenge
A von E genau dann relativ kompakt, wenn sie beschränkt ist.
Beispiel 6.3 Sei X lokalkompakt, dann ist L : C0 (X) → R genau dann ein stetiges
lineares RFunktional, wenn ein beschränktes, signiertes Borelmaß µ auf X existiert, so daß
L(f ) = f dµ.
Beispiel 6.4 Sei X vollständig regulär, dann ist L : Cb (X) → R genau dann ein stetiges
lineares Funktional,
wenn ein beschränktes, signiertes Borelmaß µ auf βX existiert, so
R
daß L(f ) = F dµ und F die eindeutig bestimmte Fortsetzung von f auf βX ist.
2. Existiert zu jedem ε > 0 eine kompakte Teilmenge
K von
X, so daß |µ|(K) > |µ|(βX)−
R
R
ε, so ist βX \ X eine µ-Nullmenge und es gilt: F dµ = X f dµ.
Beispiel 6.5 Seien rn (x): = sign(sin(2n πx)), n ∈ N, x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie, daß die Folge
rn in allen Räumen Lp [0, 1], 1 ≤ p < ∞, schwach gegen 0 konvergiert. Die Funktionen
rn heißen die Rademacher Funktionen auf [0, 1]. Hinweis: die Folge ist eine orthonormale
Folge in L2 [0, 1]
Beispiel 6.6 Sei f : E → R ein lineares Funktional auf dem lokalkonvexen Raum E. Jede
der Mengen [f = t], t ∈ R heißt eine Hyperebene und jede der Mengen [f ≤ t], [f ≥ t]
ein Halbraum. Eine Hyperebene H = [f = t] ist entweder dicht oder abgeschlossen. H ist
genau dann abgeschlossen, wenn f stetig ist.
Beispiel 6.7 Eine Teilmenge H eines lokalkonvexen Raumes E ist genau dann eine abgeschlossene Hyperebene, wenn offene und disjunkte konvexe Mengen C, D 6= ∅ existieren,
so daß C c = D, D c = C und H = C c ∩ D c .
Sei o.B.d.A. 0 ∈ H. Für den Nachweis, daß H ein Unterraum ist genügt es zu zeigen, daß
mit x auch tx, t > 1, und −x in H liegen!
Angenommen dim E/H ≥ 2, dann ist E \ H zusammenhängend und folglich muß entweder
C oder D leer sein. Wählen wir x0 ∈ E, so daß E = H ⊕ [x0 ], so ist durch f (h + λx0 ): = λ
ein stetiges lineares Funktional definiert mit H = [f = 0].
Beispiel R6.8 Sei L0 [0, 1] der Raum der Lebesgue-meßbaren Funktionen mit der Metrik
d(f, g): = ϕ0 (f − g), wobei ϕ0 (x) = |x|/(1 + |x|). Zeigen Sie: auf L0 [0, 1] gibt es nur ein
einziges stetiges lineares Funktional, nämlich die Nullabbildung.
Beispiel 6.9 Definieren Sie eine lokalkonvexe Topologie auf C 1 (R) – z.B. die initiale
Topologie bezüglich der beiden Abbildungen f 7→ f und f 7→ f ′ von C 1 (R) in C(R) – und
beschreiben Sie den Dualraum.
10
Beispiel 6.10 Ist µ ein (komplexwertiges) Radonmaß auf Rn , so daß für ein N ∈ N:
h−N
d|µ| < ∞, dann ist durch
0
R
hϕ, Tµ i: =
Z
ϕ(x)µ(dx)
ein stetiges lineares Funktional auf dem Schwartzraum definiert.
Beispiel 6.11 Seien E, F lokalkonvex, G = E ⊕ F . Dann ist die finale Topologie auf G
bezüglich der kanonischen Injektionen E → G und F → G nicht lokalkonvex. Die feinste
lokalkonvexe Topologie auf G bezüglich der kanonischen Injektionen besitzt als Umgebungsbasis Mengen der Form co(U ⊕ {0}, {0} ⊕ V ), wobei U bzw. V Nullumgebungen in E bzw.
F sind.
Beispiel 6.12 Seien Eα lokalkonvexe Räume und Fα abgeschlossene Unterräume von Eα .
L
L
L
Zeigen Sie, daß Eα ein abgeschlossener Unterraum von Eα ist. Eα trägt die feinste
L
lokalkonvexe Topologie bezüglich derer die kanonischen Injektionen Eα → Eβ stetig sind!
11
7
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 7.1 Beschreiben Sie den Dualraum von S(Rn ).
Beispiel 7.2R Ist µ ein signiertes Borelmaß auf Rn und h0 (x) = (1 + kxk2 )1/2 . Falls für
ein N ∈ N: h−N
d|µ| < ∞, dann ist durch
0
hϕ, Tµ i: =
Z
ϕ(x)µ(dx)
eine stetiges lineares Funktional auf S(Rn ) definiert.
Beispiel 7.3 Zeigen Sie: S(Rn ) ist dicht in L2 (Rn ) und die Operatoren P α : = (−i)|α| ∂ α
und X α sind symmetrisch, i.e. für alle f, g ∈ S(Rn ) gilt:
hP α f, gi = hf, P α gi
und
hX α f, gi = hf, X α gi .
Ist für j ∈ {1, . . . , n} εj : = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), wobei die 1 an der j-ten Stelle steht, so
nennt man die Operatoren Pj : = P εj bzw. Xj : = X εj in der Physik die Impuls- bzw.
Ortsoperatoren.
Beispiel 7.4 Sei X ein Vektorfeld auf Rn , i.e. es gibt glatte Funktionen g1 , . . . , gn , so
daß für alle glatten Funktionen f : Xf : = g1 ∂1 f + · · · + gn ∂n f . Für welche Vektorfelder X
ist die Abbildung f 7→ Xf ist eine stetige lineare Abbildung von S(Rn ) in sich?
Beispiel 7.5 Zeigen Sie: ist L : C0 (Rn ) → R ein stetiges lineares Funktional, so gibt es
genau
ein endliches signiertes Borelmaß µ auf Rn , so daß für alle f ∈ C0 (Rn ): L(f ) =
R
f dµ. Hinweis: betrachten Sie Rn als Teilraum der Einpunktkompaktifizierung Rn∗ und
C0 (Rn ) als Unterraum von C(Rn∗ ) und benutzen Sie den Darstellungssatz von Riesz für
stetige lineare Funktionale auf C(Rn∗ ).
Beispiel 7.6 Sei E lokalkonvex und A eine konvexe Teilmenge von E. Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Hahn-Banach, daß A genau dann abgeschlossen ist, wenn A σ(E, E ′ )
abgeschlossen ist.
Beispiel 7.7 Sei u : E → F eine stetige lineare Abbildung zwischen den lokalkonvexen
Räumen E und F . Zeigen Sie: (im u′ )⊥ = ker u und im u′ = (ker u)⊥ . Hinweis: HahnBanach!
Beispiel 7.8 Sei u : E → F eine stetige lineare Abbildung zwischen den lokalkonvexen
Räumen E und F . Zeigen Sie: ist u surjektiv, so ist u′ injektiv und u′ bildet σ(F ′ , F )
offene Teilmengen auf σ(E ′ , E) offene Teilmengen ab i.e. u′ ist schwach offen. Ist u′
schwach offen und injektiv, so ist u surjektiv.
Beispiel 7.9 Seien E = F = Rn und h., .i das kanonische innere Produkt. Ist A : ℓn2 → ℓn2
strikt positiv – i.e. für alle x =
6 0 gilt: hAx, xi > 0 – und B: = {x : hAx, xi ≤ 1}, so gilt:
B ◦ = {x : hA−1 x, xi ≤ 1}
12
Beispiel 7.10 Seien E = F = R2 und P ein konvexes Polyeder mit den normierten
Seitennormalen N1 , . . . , Nn . Bestimmen Sie die Polare P ◦ , wenn 0 ein innerer Punkt von
P ist.
Beispiel 7.11 Seien E = F = Rn und h., .i das kanonische innere Produkt. Ist B eine
konvexe, symmetrische Teilmenge von Rn , die 0 als inneren Punkt enthält, dann ist die
Distanzfunktion pB von B gegeben durch pB (x) = sup{|hx, yi| : y ∈ B ◦ }.
13
8
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 8.1 Die Räume RN , S(Rn ) und D(Tn ) sind reflexiv.
Beispiel 8.2 Die starke Topologie auf D ′ (Tn ) ist nicht metrisierbar (vgl. Beispiel 5.4).
2. Sei Tn eine Folge in D ′ (Tn ). Unter welchen Bedingungen konvergiert Tn in der starken
Topologie gegen 0?
Beispiel 8.3 Seien F (x) = |x| und f (x) = sign(x). Zeigen Sie:
1. ∂TF = Tf – was man meist in der Form F ′ = f schreibt.
2. ∂Tf = 2Tδ0 – auch f ′ = 2δ0 oder F ′′ = 2δ0 geschrieben.
Sei ϕ ∈ S(R), dann gilt nach Definition sowie partieller Integration:
′
hϕ, ∂TF i = −hϕ , TF i = −c1
Z
′
ϕ (x)|x| dx = c1
Z
ϕ(x)sign(x) dx = hϕ, Tf i
Beispiel 8.4 Seien f ∈ S(Rn ) und T ∈ S ′ (Rn ), dann ist das Produkt bzw. die Faltung
von T und f definiert durch: hϕ, T f i: = hf ϕ, T i bzw. hϕ, T ∗ f i: = hfˇ∗ ϕ, T i, wobei fˇ(x): =
f (−x). Zeigen Sie: Tg ∗ f = Tg∗f und cn F(f ∗ T ) = F(f )F(T ).
Für alle g ∈ S(Rn ) gilt wegen cn F −1 (f ∗ g) = F −1 (f )F −1 (g) und F −1 (fˇ) = F(f ):
cn hg, F(T ∗ f )i = cn hgb, T ∗ f i = cn hfˇ ∗ gb, T i = cn hFF −1 (fˇ ∗ gb), T i
= hF F −1 (fˇ)F −1 (gb) , T i = hF(fbg), T i = hfbg, F(T )i = hg, fbF(T )i .
Beispiel 8.5 Für alle f ∈ S(Rn ) sind die Abbildungen T 7→ T ∗ f und T 7→ T f stetig
(bezüglich der starken bzw. der schwachen Topologien).
Beispiel 8.6 Sei für λ ∈ R K(., λ) : R+ → R eine Lösung der Differentialgleichung
∂r2 K + (n − 1)r −1 ∂r K + λ2 K = 0 mit K(λ, r) = r 2−n (1 + h(r)), wobei h(0) = 0, h und h′
beschränkt. Dann ist u(λ, x): = K(λ, kxk) eine Lösung der Gleichung (−λ2 + ∆)u = δ0 .
2. Bestimmen Sie K(λ, r) für n = 3.
1. Analog zur Gleichung ∆u = δ0 ! cf. Vl.
2. Sei k(r): = K(λ, r)/r, dann ist die Dgl. gleichbedeutend mit k′′ + λ2 = 0, also K(λ, r) =
r −1 (A cos(λr) + B sin(λr)).
R
R
b(x, s)eist ds.
b ∈ S(Rn ×R), f (x, t) = c1 fb(x, s)eist ds und u(x, t) = c1 u
Beispiel 8.7 Seien fb, u
2
b(., s) eine Lösung der Gleichung (∆ − (s/c) )u
b = fb, so ist u eine Lösung der WellenIst u
−2
2
gleichung c ∂t u + ∆u = f .
Beispiel 8.8 Für alle f ∈ S(Rn ) und alle T ∈ S(Rn ) gilt: T ∗ ∆f = ∆T ∗ f .
Beispiel 8.9 Folgern Sie aus der Gleichung ∆TK = δ0 (cf. Vl), daß die Distribution
TK ∗ f für alle f ∈ S(Rn ) eine Lösung der Poisson-Gleichung ∆T = Tf ist.
2. Folgern Sie aus der Gleichung (−λ2 + ∆)TK = δ0 , daß die Distribution TK ∗ f für alle
f ∈ S(Rn ) eine Lösung der Gleichung (−λ2 + ∆)T = Tf ist.
14
Für alle ϕ ∈ S(Rn ) gilt:
hϕ, ∆(TK ∗ f )i = h∆ϕ, TK ∗ f i = hfˇ ∗ ∆ϕ, TK i
= h∆(fˇ ∗ ϕ), TK i = hfˇ ∗ ϕ, ∆TK i
= hfˇ ∗ ϕ, δ0 i = fˇ ∗ ϕ(0) =
Beispiel 8.10 Sei f ∈ S(R). Folgern Sie aus limr→∞
lim
Z
r
f (x)
r→∞ −r
Z
f (y)ϕ(y) dy = hϕ, Tf i
Rr
−r
sin(rx)/x dx = π:
sin(rx)
dx = πf (0) .
x
Sei g(x): = (f (x) − f (0))/x für x 6= 0 und g(0) = f ′ (0), dann ist g beschränkt und g′
integrierbar – g ist i.a. nicht integrierbar, also folgt nach partieller Integration:
Z
r
−r
g(x) sin(rx) dx = r −1 g(x) cos(rx)|r−r + r −1
Z
r
−r
g′ (x) cos(rx) dx
Beispiel 8.11 Sei Cr : = rBn∞ der Würfel mit Mittelpunkt 0 und Kantenlänge 2r. Zeigen
Sie für f ∈ S(Rn ) mithilfe des Satzes von Fubini sowie dem voranstehenden Beispiel:
−n
lim (2π)
r→∞
Z
Cr
Z
Cr
f (x)e−ihx,yi dx eihz,yi dy = f (x) .
15
9
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 9.1 Die Menge der trigonometrischen Polynome liegt dicht in D(Tn ). Hinweis:
Die trigonometrischen Polynome bilden eine orthogonale Basis von Eigenfunktionen von
1 + ∆ in L2 (Tn ).
Beispiel 9.2 Sei ψ(x) = exp(− kxk2 /2) und P der Raum der Polynomfunktionen auf
Rn . Zeigen Sie, daß {pψ : p ∈ P} in S(Rn ) dicht liegt. Hinweis: Die Hermite Polynome
multipliziert mit ψ bilden eine orthogonale Basis von Eigenfunktionen von ∆ + 1 + kxk2
in L2 (Rn ).
Beispiel 9.3 Sei ∆ der Laplace-Operator auf Rn und A = ∆ + 1.
1. Zu jedem stetigen linearen Funktional T ∈ D ′ (A) gibt es endliche viele Funktionen
f1 , . . . , fm ∈ L2 (Rn ), so daß
∀ ϕ ∈ D(A) :
T (ϕ) =
XZ
(Al ϕ)fl dλ .
l=0
2. Bestimmen Sie mithilfe der Fouriertransformation zu T (ϕ): = ϕ(0) ein m ∈ N sowie
geeignete Funktionen f1 , . . . , fm .
Beispiel 9.4 Sei t > 0 und
µt (ds): = t(4πs3 )−1/2 exp(−t2 /4s) ds .
Dann ist die Laplace-Tranformierte von µt gegeben durch ω(y): =
p
R∞
0
√
e−ys µt (ds) = e−t
y.
Sei a = t2 /4; mit den
sukzessiven Substitutionen
s → x a/y, x → u2 und u → 1/v
R∞
R∞
erhalten wir wegen 0 f (|x − 1/x|) dx = 0 f (x) dx:
1/2
(a/π)
Z
∞
0
s
−3/2 −a/s−ys
e
√
= 2e−2
√
= 2e−2
√
= 2e−2
ds = (a/π)
ay −1/2
(ya)1/4
ay −1/2
(ya)1/4
ay −1/2
(ya)1/4
π
π
π
√
−2 ay −1/2
π
= e
1/2
Z
(y/a)
0
Z
1/4
∞
∞
Z0∞
0
1/4 1/2
(ya)
π
Z
∞
x−3/2 e−
0
√
−2 − ay(1/u−u)2
u
e−
e−
e
√
ay(v−1/v)2
√
ayv2
√
ay(1/x+x)
dx
du
dv
dv
√
(ay)−1/4 = e−2
ay
√
= e−t
y
.
Beispiel 9.5 Ist ∆ der Lapalce-Operator auf Rn und Pt f = γt ∗ f wobei γt das ndimensionale Gaußmaß mit der Dichte (4πt)−n/2 exp(− kxk2 /4t). Dann gilt für alle f, g ∈
S(Rn ):
Ps Pt f = Ps+t f und lim 1t h(1 − Pt )f, gi = h∆f, gi .
t↓0
Pt heißt die n-dimensionale Wärmeleitungs Halbgruppe. 2. Sei Qt f (x): =
Dann gilt für alle f, g ∈ S(Rn ):
Qt f (x) =
Γ( n+1
2 )t
π
n+1
2
Z
Rn
(t2 + kx − yk2 )−
16
n+1
2
R
Ps f (x) µt (ds).
f (y) dy = Ct ∗ f (x),
wobei Ct die n-dimensionalen Cauchy Verteilung ist, i.e. das Wahrscheinlichkeitsmaß mit
der Dichte
2 − n+1
2
2
.
tΓ( n+1
2 )(π(t + kxk ))
Qt heißt die n-dimensionale Cauchy Halbgruppe.
Beispiel 9.6 Sei a > 0 und n ≥ 3. Für (x, y) ∈ Rn × (−a, a) \ {(0, 0)} ist
e(x, y) =
u
X
(r 2 + (y + 2an)2 )−(n−1)/2
n∈Z
eine in y 2a-periodische Lösung der Gleichung: ∆u(x, y) = 0. Zeigen Sie für a ↓ 0:
e(x, 0) = kxk−n+2
lim 2au
a↓0
Z
(1 + z 2 )−(n−1)/2 dz .
R
Beispiel 9.7 Sei f : X → Y stetig und U ⊆ Y eine Gδ -Menge, dann ist f −1 (U ) eine Gδ
in X.
Beispiel 9.8 Ist A eine Gδ -Menge von B und B eine Gδ -Menge von C, so ist A eine
Gδ -Menge von C.
Beispiel 9.9 Sei A eine abgeschlossene Teilmenge des vollständigen metrischen Raumes
(X, d) und ρ(x, y): = d(x, y) + |1/dA (x) − 1/dA (y)|. Zeigen Sie: (Ac , ρ) ist ein zu (Ac , d)
homöomorpher vollständiger metrischer Raum.
Beispiel 9.10 Sei X ein Čech vollständiger Teilraum eines vollständig regulären Raumes
Y . Dann existiert eine Gδ Teilmenge G von Y , so daß X = G ∩ X.
Beispiel 9.11 Ein Teilraum Y eines Čech vollständigen Raumes X ist genau dann Čech
vollständig, wenn eine abgeschlossene Teilmenge A und eine Gδ Teilmenge G von X existieren, so daß Y = A ∩ G.
Beispiel 9.12 Sei X ein Polnischer Raum. Dann ist X das stetige Bild des Polnischen
Raumes NN .
X läßt sich als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen Xn des Durchmessers
≤ 1 schreiben, und jeder der Mengen Xn läßt sich wiederum als abzählbare Vereinigung
abgeschlossener Mengen Xn,m des Durchmessers ≤ 1/2 schreiben, usw. Sei ζ : N → N,
dann ist
∞
ζ 7→
\
Xζ(1),...,ζ(n)
n=1
eine stetige Abbildung, deren Bild X ist.
17
10
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 10.1 I.a. gilt nicht β(X × Y ) = βX × βY : Sei f : N × N → [0, 1] die Abbildung
(n, m) 7→ n/(n + m), dann besitzt f keine stetige Erweiterung auf βN × βN.
Sei F eine stetige Fortsetzung. Fixieren wir m, so ist fm : N → [0, 1], n 7→ f (n, m) stetig
und Fm : βN → [0, 1], Fm |βN \ N = 1 die stetige Fortsetzung, also gilt für alle m ∈ N
und alle N ∈ βN \ N: F (N, m) = 1. Da N dicht ist, folgt für alle M ∈ βN und alle
N ∈ βN \ N: F (N, M ) = 1.
Fixieren wir andererseits n, so folgt für alle N ∈ βN und alle M ∈ βN \ N: F (N, M ) = 0.
Beispiel 10.2 Bestimmen Sie Metriken d1 bzw. d2 auf (0, 1) bzw. R\Q, so daß ((0, 1), d1 )
bzw. (R \ Q, d2 ) vollständig und separabel sind.
Beispiel 10.3 Für jede offene oder abgeschlossene Teilmenge B eines topologischen Raumes X ist ∂B nirgends dicht.
Beispiel 10.4 Enthält ein Hausdorffraum X einen dichten Baireschen Raum Y , so ist X
ein Bairescher Raum.
Beispiel 10.5 Sei X ein Bairescher Raum und A eine magere Teilmenge von X. Dann
ist Ac ein Bairescher Raum.
Beispiel 10.6 Ist X kein Bairescher Raum, dann gibt es eine offene magerer Teilmenge.
Beispiel 10.7 Sei Y eine magere und dichte Teilmengen eines Hausdorffraumes X. Dann
ist Y kein Bairescher Raum.
Beispiel 10.8 Für alle p < q < ∞ ist ℓp eine magere und dichte Teilmenge von ℓq .
Beispiel 10.9 Sei X ein abzählbarer Bairescher Raum. Zeigen Sie, daß X einen isolierten
Punkt enthält.
Beispiel 10.10 Sei X ein separabler Bairescher Raum ohne isolierten Punkt. Dann enthält
X keine dichte abzählbare Gδ Menge. Jede dichte Gδ Menge ist also überabzählbar.
Beispiel 10.11 Sei X ein Bairescher Raum ohne isolierten Punkt. Dann enthält jede
offene Teilmenge überabzählbar viele Punkte.
Beispiel 10.12 Sei X ein Polnischer Raum ohne isolierten Punkt. Dann enthält X eine
zur Cantormenge homöomorphe Teilmenge. Hinweis: Ist A eine abgeschlossene Teilmenge
von X mit A◦ 6= ∅ und A 6= X, dann gibt es abgeschlossene Kugeln B1 und B2 , so daß
B1 ⊆ A, B2 ⊆ Ac und B1◦ , B2◦ 6= ∅.
Falls d(X) ≤ r, dann gibt es abgeschlossene, disjunkte Teilmengen X1,0 und X1,1 , so daß
◦ , X ◦ 6= ∅. Mittels Induktion findet man abgeschlossene,
d(X1,0 ), d(X1,1 ) ≤ r/2 und X1,0
1,1
◦ , . . . , X◦
disjunkte Teilmengen Xn,0 , . . . , Xn,2n −1 , so daß d(Xn,k ) ≤ r/2n und Xn,1
n,2n −1 6= ∅.
Die Abbildung:
\
F (ζ): = Xn,ζ(n)+ζ(n−1)2+···+ζ(1)2n
ist dann injektiv.
18
11
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 11.1 Sei X ein Polnischer Raum und ψ : X → X eine stetige Abbildung, so
daß zu allen offenen Teilmengen U, V von X ein n ∈ N existiert mit ψ n (U ) ∩ V 6= ∅ –
ψ n : = ψ ◦ · · · ◦ ψ. Dann ist die Menge der Punkte x ∈ X, für die {ψ n (x) : n ∈ N} dicht
liegt, eine dichte Gδ -Menge.
Sei Vk eine Basis der Topologie von X. Nach Voraussetzung ist dann
Uk : =
[
ψ −n (Vk )
n∈N
eine Folge offener und dichter Teilmengen von X. Da X ein Bairescher Raum ist, ist
T
G: = Uk eine dichte Gδ -Menge.
Beispiel 11.2 (Kuratowski, Ulam) Seien X, Y ein Bairesche Räum. Besitzt Y eine
abzählbare Basis, so ist X × Y ein Bairescher Raum.
Sei Vn eine Basis für Y und Gn eine Folge offener und dichter Teilmengen von X × Y .
T
Es genügt zu zeigen, daß Gn 6= ∅. Sei Unm : = PrX (Gn ∩ (X × Vm )), dann ist Unm
T
offen in X und dicht, also gibt es einen Punkt x ∈ Unm . Weiters sind die Mengen
Wn : = Gn ∩ [PrX = x] offen und dicht in Y : enthielte Wnc eine offene, nicht leere Teilmenge
V , so gäbe es ein m mit Vm ⊆ V , also {x} × Vm ∩ Gn = ∅, i.e. x ∈
/ Unm . Somit gibt es
T
einen Punkt y ∈ Wn . Der Punkt (x, y) liegt daher in allen Mengen Gn .
Beispiel 11.3 Zeigen Sie, daß auf RN keine l.s.c Norm p existiert.
Sei Bn : = [p ≤ n]; da Bn abgeschlossen ist und
von 0 ist.
S
Bn = RN , folgt, daß B1 eine Umgebung
Beispiel 11.4 Sei Ω offen in Rn . Zeigen Sie, daß C(Ω) mit der Topologie der kompakten
Konvergenz nicht normierbar ist.
Beispiel 11.5 Sei X ein Hausdorffraum, Y ein metrischer Raum und f : X → Y eine
Abbildung. Unter der Schwankung von f im Punkt x versteht man die Funktion
ωf (x): = inf{d(f (U )) : U ∈ U (x)} .
1. ωf : X → [0, ∞] ist von oben halbstetig.
2. f ist genau dann stetig in x, wenn ωf (x) = 0.
3. Die Menge der Punkte C(f ) in denen f stetig ist, ist eine Gδ Menge.
Beispiel 11.6 Es gibt keine Funktion f : R → R mit C(f ) = Q.
Beispiel 11.7 Sei X ein Bairescher Raum, Y ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis
Bn und f : X → Y eine Abbildung, so daß für alle n ∈ N: (∂f −1 (Bn ))◦ = ∅. Dann ist f
in allen Punkten einer dichten Gδ Menge stetig.
Beispiel 11.8 Jede l.s.c. (u.s.c.) Funktion auf einem vollständigen metrischen Raum ist
in allen Punkten einer dichten Gδ -Menge stetig. Hinweis: Topologie I. Beispiel 14.10.
19
Beispiel 11.9 Sei An : = {f ∈ C[0, 1] : ∃ x ∀ y : |f (x) − f (y)| ≤ n|x − y|}. Zeigen Sie: An
ist abgeschlossen und nirgends dicht. Schließen Sie daraus, daß die Menge der Funktionen
f ∈ C[0, 1], die in keinem Punkt differenzierbar sind eine dichte Gδ Menge in C[0, 1]
bilden.
Beispiel 11.10 (Banach-Steinhaus) Sei E ein Fréchetraum, Y ein normierter Raum
und H ⊆ L(E; Y ). Falls für alle x ∈ E und alle y ∗ ∈ Y ∗ : supA∈H |hAx, y ∗ i| < ∞, dann
gibt es eine Nullumgebung U in E, so daß supA∈H,x∈U kAxk < ∞.
Beispiel 11.11 Sei E ein Fréchetraum und B eine abgeschlossene, absorbierende und
absolutkonvexe Teilmenge von E. Dann ist B eine Nullumgebung.
Da E =
von B.
S
n nB,
ist 0 ein innerer Punkt von einem nB, also ist 0 auch ein innerer Punkt
Beispiel 11.12 Sei X ein Banachraum und f : (0, 1) → X, so daß die Abbildungen
t 7→ hf (t), x∗ i für alle x∗ ∈ X ∗ von der Klasse C 1 sind. Dann ist f stetig.
Beweis: Sei 0 < t0 < 1. Da
lim 1 hf (t
t→0 t
+ t0 ) − f (t0 ), x∗ i = hf, x∗ i′ (t0 )
existiert nach dem Satz von Banach-Steinhaus eine Konstante C, so daß für alle hinreichend kleine t:
1
t (f (t + t0 ) − f (t0 )) ≤ C .
20
12
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 12.1 Sei Y ein abgeschlossener Unterraum des Banachraumes X und P : X →
Y eine stetige Projektion, d.h. P ist ein stetiger linearer Operator mit P 2 = P und
im (P ) = Y .
1. P : X → Y ist offen, d.h. das Bild der offenen Einheitskugel BX von X unter P ist
eine offene Teilmenge von Y .
2. Q: = 1 − P ist eine stetige Projektion und es gilt: im P = ker Q und im Q = ker P .
3. P ∗ : Y ∗ → X ∗ ist eine Einbettung, d.h. P ∗ ist ein Isomorphismus von Y ∗ auf P ∗ (Y ∗ ).
Beispiel 12.2 Sei X ein Banachraum und Y ein abgeschlossener Unterraum von X.
Existiert eine stetige Projektion P : X → Y von X auf Y , so ist X/Y zu ker P isomorph
und X zu Y × ker P .
Sei Q = 1 − P , dann ist die Abbildung J : x 7→ (P x, Qx) ein Isomorphismus von X auf
Y × ker P mit der Norm k(y, z)k : = kyk + kzk und der inversen (y, z) 7→ y + z; es gilt:
kJk ≤ 1 + kP k und kJ −1 k ≤ 1. Durch das Diagramm
X
J
/ Y × ker P
Jb
πY
Pr2
X/Y
/ ker P
ist eine eindeutig bestimmte bijektive lineare Abbildung Jb : X/Y → ker P definiert; da
b
b
b
J(B
X/Y ) = Q(BX ) ist J stetig und da Q offen ist, ist auch J offen.
Beispiel 12.3 Sei G eine vollständige metrisierbare Gruppen, H eine metrisierbare Gruppe und Fn : G → H eine Folge stetiger Homomorphismen. Falls Fn punktweise gegen F
konvergiert, so ist F ein stetiger Homomorphismus.
Beispiel 12.4 Sei G eine lokalkompakte Gruppe, H eine metrisierbare Gruppe und Fn :
G → H eine Folge stetiger Homomorphismen. Falls Fn punktweise gegen F konvergiert,
so ist F ein stetiger Homomorphismus.
Beispiel 12.5 Ist G zusammenhängende topologische Gruppe und U eine symmetrische
S
n
Umgebung von e, so gilt: G = ∞
n=1 U .
S
n
H: = ∞
n=1 U ist eine offene Untergruppe von G. Sei X ⊆ G eine Repräsentantenmenge
S
von G/H – diese Menge existiert nach dem Auswahlaxion, dann ist G \ H = {xH : x ∈
X \ {e}} offen!
Beispiel 12.6 Sei (G, dG ) eine vollständige linksinvariante metrische Gruppe – d.h. für
alle x, y, g ∈ G gilt: d(gx, gy) = d(x, y), (H, dH ) eine weitere linksinvariante metrische
Gruppe und u : G → H ein stetiger Homomorphismus. Falls zu jedem r > 0 ein ρ > 0
existiert, so daß u(B(e, r)) ⊇ B(e, ρ), dann folgt für alle R > r: u(B(e, R)) ⊇ B(e, ρ).
Beispiel 12.7 Seien G, H separable, lokalkompakte Gruppen und u : G → H ein stetiger,
surjektiver Homomorphismus. Dann ist u offen.
21
Sei V eine Umgebung von e, W eine kompakte, symmetrische Umgebung von e mit W W ⊆
S
U und gn dicht in G. Dann ist H = F (gn W ); da F (gn W ) = F (gn )F (U ) kompakt ist
und H ein Bairescher Raum, folgt: F (W ) enthält einen inneren Punkt y, also: yU ⊆ F (W )
und somit: U = y −1 yU ⊆ u(W −1 W ) = u(W W ) ⊆ u(V ).
Beispiel 12.8 Seien G, H separable, lokalkompakte Gruppen. Ein Homomorphismus u :
G → H ist genau dann stetig, wenn der Graph Γ(u) von u abgeschlossen ist.
Beispiel 12.9 Seien G, H separable lokalkompakte Gruppen. Ein Homomorphismus u :
G → H ist genau dann stetig, wenn der Graph Γ(u) von u abgeschlossen ist.
22
13
Übungen zu Topologie SS2014
Beispiel 13.1 Der Differentiationsoperator D : C 1 [0, 1](⊆ C[0, 1]) → C[0, 1], f 7→ f ′ ist
abgeschlossen. Bestimmen Sie den adjungierten Operator D ∗ . Zeigen Sie: Besitzt das Maß
µ ∈ M [0, 1] die Dichte g ∈ C 1 [0, 1] bezüglich des Lebesgue-Maßes λ und gilt g(0) = g(1) =
0, so ist D ∗ µ das signierte Maß mit der Dichte −g′ .
Beispiel 13.2 Der Differentiationsoperator D : C ∞ [0, 1](⊆ C[0, 1]) → C[0, 1], f 7→ f ′ ist
nicht abgeschlossen aber der Abschluß des Graphen {(f, f ′ ) : f ∈ C ∞ [0, 1]} stimmt mit
{(f, f ′ ) : f ∈ C 1 [0, 1]} überein.
Beispiel 13.3 Ein dicht definierter Operator A auf dom (A)(⊆ X) → Y heißt abschließbar, wenn Γ(A) der Graph eines linearen Operators ist; man bezeichnet diesen Operator
mit A und nennt ihn den Abschluß von A. A ist genau dann abschließbar, wenn für jede
Nullfolge xn ∈ dom (A), für die Axn konvergiert, gilt: Axn → 0.
Beispiel 13.4 Der Differentiationsoperator D : C 1 [0, 1](⊆ L2 [0, 1]) → L2 [0, 1], f 7→ f ′
ist abschließbar.
Beispiel 13.5 Sei an eine beliebige Folge reeller Zahlen, D der Unterraum aller Folgen
(xn ) ∈ ℓ2 für die {n : xn 6= 0} endlich ist und A : D → ℓ2 der Multiplikationsoperator
(xn ) 7→ (an xn ). Zeigen Sie, daß A abschließbar ist
2. Gilt dies auch, wenn an eine beliebige Folge komplexer Zahlen ist?
Beispiel 13.6 Sei D0 ⊆ X (dicht) und A0 : D0 → X ein linearer Operator, so daß für
ein δ > 0 und alle x ∈ D0 : kA0 xk ≥ δ kxk. Zeigen Sie, A ist abschließbar.
Beispiel 13.7 Seien A : dom (A)(⊆ X) → Y und B : dom (B)(⊆ Y ∗ ) → X ∗ lineare
Operatoren, so daß dom (A) bzw. dom (B) dicht in X bzw. Y ∗ sind. Falls für alle x ∈
dom (A) und alle y ∗ ∈ dom (B) gilt: y ∗ (Ax) = By ∗ (x), dann sind sowohl A als auch B
abschließbar und es gilt für alle x ∈ dom (A) und alle y ∗ ∈ dom (B): y ∗ (Ax) = By ∗ (x).
Beispiel 13.8 Ist E ein Hilbertraum und A ein auf einem dichten Teilraum D von E
definierter symmetrischer Operator, d.h. für alle x, y ∈ D gilt: hAx, yi = hx, Ayi,
dann ist A abschließbar und der Abschluß ist symmetrisch.
Beispiel 13.9 Seien, a, ρ : Rn → R+ glatt, µ(dx) = ρ(x) = e−U (x) dx ein Wahrscheinlichkeitsmaßes auf Rn und X ein Vektorfeld. Zeigen Sie, daß falls ∇(aρ) + ρX = 0,
dann ist A0 f = a∆f + (X|∇f ) – (.|.) ist hierbei das kanonische innere Produkt auf Rn
–ein positiver symmetrischer
Operator auf Cc∞ (Rn ) ⊆ L2 (µ) und mit Γ(f, g): = a(∇g|∇f )
R
gilt: hA0 f, gi = Γ(f, g) dµ.
Beispiel 13.10 Seien A : dom (A) → X ein abgeschlossener, linearer Operator auf dem
dichten Teilraum dom (A) von X über C. Unter dem Spektrum Spec (A) versteht man
die Menge aller komplexen Zahlen λ, für die A−λ : dom (A) → X nicht bijektiv ist. Zeigen
Sie, daß für alle λ ∈
/ Spec (A) gilt: (A − λ)−1 ist beschränkt.
23