Übungen zu Stochastik I - Blatt 10

Prof. Dr. E. Spodarev
Malte Spiess, Ralf Thiedmann
SS 2009
30. 06. 2009
Übungen zu Stochastik I - Blatt 10
Abgabe: 7. 07. 2009 vor den Übungen
Aufgabe 1
Sei X1 , . . . , Xn eine Zufallsstichprobe von u.i.v. Zufallsvariablen. Bestimme mit der MaximumLikelihood (ML) Methode Punktschätzer für den Parameter θ, falls Xi ∼ U (θ − 1, θ + 1),
i = 1, . . . , n, wobei Θ = {θ, θ ∈ R}.
(2)
Aufgabe 2
Eine Verkäuferin im Supermarkt macht einen Karton mit 12 Eiern auf, und stellt fest, dass
ein Ei braun ist und die anderen 11 weiss. Es gibt drei Bauernhöfe, von denen der Karton
stammen könnte. Dabei ist bekannt, dass die Bauernhöfe 1, 2 und 3 mit Wahrscheinlichkeit
θ1 = 0.15, θ2 = 0.1 und θ3 = 0.05 braune Eier liefern. Verwende das Maximum-Likelihood
Prinzip, um herauszufinden, von welchem Bauernhof der Karton vermutlich stammt.
(3)
Aufgabe 3
Die erwartete tägliche Kursänderung einer Aktie innerhalb eines bestimmten Zeitraumes soll
geschätzt werden. Dazu werden an n zufällig ausgewählten Tagen die Kursänderungen x1 , . . . , xn
bestimmt. Die Kursänderungen seien Realisierungen der Zufallsstichprobe X1 , . . . , Xn von
u.i.v. Zufallsvariablen mit Xi ∼ N (µ, 1), i = 1, . . . , n, µ ∈ Θ = R. Auf Grund von Erfahrungen mit vergleichbaren Wertpapieren wurden Vorkenntnisse über die tägliche Kursänderung
gewonnen, die sich mit Hilfe einer N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen µ
e modellieren lassen.
(a) Zeige, dass die a-posteriori-Dichte q : Θ → [0, ∞) von µ
e gegeben ist durch
1
n
2n
1
2
2
exp − (n + 1) µ −
xn µ + (
xn )
.
q(x1 ,...,xn ) (µ) = p
2
n+1
n+1
2π(n + 1)−1
(b) Bestimme den Bayes-Schätzer µ
b(X1 , . . . , Xn ) des unbekannten Parameters µ ∈ Θ.
(4)
(2)
Aufgabe 4
Die Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn (u.i.v.) beschreiben die Restlebensdauer von n Patienten,
die unter der selben Krankheit leiden. Aus Erfahrung wird angenommen, dass X1 Rayleighverteilt ist mit Dichte
2
−x
2x
fθ (x) =
exp
1(0,∞) (x) , θ > 0 .
θ
θ
(a) Es soll mit der ML Methode die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine Restlebensdauer von mindestens t Jahren hat, geschätzt werden; d.h. finde den ML-Schätzer für
S(t) = P (X1 > t), t > 0.
(4)
(b) Gib den ML-Schätzer für die Hazard Rate λ(t) = S(t)/fθ (t) an.
(2)
Aufgabe 5
Seien X1 , . . . , Xn u.i.v. und Xi ∼ Bernoulli(p) mit p ∈ [0, 1].
(a) Zeige, dass der ML-Schätzer für p2 verzerrt ist.
(2)
(b) Leite, basierend auf dem ML-Schätzer aus a), den Bias-korrigierten Jackknife-Schätzer
für p2 her.
(4)
(c) Zeige, dass der Schätzer aus b) erwartungstreu für p2 ist.
(2)
Aufgabe 6
In einer Molkerei wurden bei zwei Maschinen, die Milch in Milchtüten abfüllen, die Füllmengen
von 21 bzw. 9 Milchtüten bestimmt. Dabei erhielt man Messwerte x1 , . . . , x21 , y1 , . . . , y9 (in
ml) mit den arithmetischen Mitteln x21 = 501 bzw y 9 = 503 und den empirischen Varianzen
s221 = 3.24 bzw. s29 = 3.61. Unter der Annahme, dass die angegebenen Messwerte eine Realisierung unabhängiger Zufallsvariablen X1 , . . . , X21 , Y1 , . . . , Y9 sind, wobei X1 , . . . , X21 identisch
N (µ1 , σ12 )- und Y1 , . . . , Y9 identisch N (µ2 , σ22 )-verteilt sind,
(a) Teste unter der Annahme, dass σ12 = σ22 = 3.5, zum Niveau 0.05 die Hypothese µ1 = µ2
gegen die Alternativhypothese µ1 6= µ2 .
(3)
(b) Teste zum Niveau 0.1 die Hypothese H0 : σ12 = σ22 gegen die Alternativhypothese H1 :
σ12 6= σ22 (µ1 und µ2 unbekannt).
(3)