Karteikarten mit Sätzen und Definitionen ANALYSIS 2 SoSe09

Karteikarten, Analysis 2,
Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von
PD Hanke
Felix Müller, [email protected]
Diese Karteikärtchen sollten alle Definitionen und Sätze der Vorlesung ”Analysis 2” bei Herrn PD Hanke enthalten.
Falls ihr Fehler finden solltet, dann wäre es nett, wenn ihr mit ein kurzes Mail mit dem Fehler schickt.
Viel Spaß beim Lernen!
1
NICHT VERGESSEN: DUPLEX-DRUCKMODUS
+
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”DATEI - DRUCKEN” -”KEINE” WÄHLEN!!
Definition
Definition
Metrik
Norm
Analysis 2
Satz 1.1
Analysis 2
Bezeichnung
Definition einer Metrik auf V
offene Kugel
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 1.2
Umgebung
Hausdorffsches Trennungsaxiom
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 1.3
Eigenschaften für offene Mengen eines
metrischen Raums X
offene Mengen
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
abeschlossene Mengen
Randpunkt
Analysis 2
Analysis 2
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K = R
oder K = C. Unter einer Norm auf V versteht man
eine Abbildung k k:V → R, x 7→ kxk mit folgenden
Eigenschaften:
Sei X eine Menge. Unter einer Metrik auf X versteht
man eine Abbildung d : X × X → R.(x, y) 7→ d(x, y)
mit den folgenden Eigenschaften:
i d(x,y) = 0 genau dann, wenn x=y.
i kxk=0 ⇔ x=0
ii Symmetrie: ∀x, y, ∈ X gilt d(x,y) = d(y,x)
ii kλxk = |λ| · kxk ∀ λ ∈ K und x ∈ V.
iii Dreicksungleichung: ∀x, y, z ∈ X gilt
d(x,z) ≤ d(x,y) + d(x,z)
iii kx + yk ≤ kxk + kyk ∀ x,y, ∈ V
Sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X ein Punkt und
r > 0. Dann heißt
Br (a) := {x ∈ X : d(a, x) < r}
die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r bzgl.
der Metrik d.
Sei X ein metrischer Raum. Dann gibt es zu je zwei
Punkten x, y ∈ X mit x 6= y Umgebungen U von x
und V von y, die punktfremd sind, d.h. U ∩ V = ∅
Für die offenen Mengen eines metrischen Raums X
gilt:
i ∅ und X sind offen
ii Sind U und V offen, so ist auch der Durchschnitt
U ∩ V offen
iii Sei Ui , i ∈ I, eine Familie offener Teilmengen
S
von X. Dann ist auch die Vereinigung i∈I Ui
offen
Sei X ein metrischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge
und x ∈ X. Der Punkt x heißt Randpunkt von Y ,
wenn in jeder Umgebung von x sowohl ein Punkt von
Y als auch ein Punkt von X \ Y liegt. Die Menge aller
Randpunkte von Y heißt der Rand von Y und wird
mit ∂Y bezeichnet.
Sei (V, k k) ein normierter Vektorraum. Dann wird
durch
d(x, y) := kx − yk für x, y ∈ V
eine Metrik auf V definiert.
Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊂ X
heißt Umgebung eines Punktes x ∈ X, falls ein ε > 0
existiert, so dass
Bε (x) ⊂ U
Insbesondere ist Bε (x) selbst eine Umgebung von x.
Man nennt Bε (x) die ε-Umgebung von x.
Eine Teilmenge U eines metrischen Raums X heißt
offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist, d.h.
wenn
∀x ∈ U ∃ ε > 0 : Bε (x) ⊂ U
Bemerkung: im Rn : Bε (a) := {x ∈ Rn : kx − ak < ε}
Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt
abgeschlossen, wenn ihr Komplement X \ A offen ist.
Satz 1.4
Definition
Sei X ein metrischer Raum und Y ⊂ X.
Dann gilt:
Inneres, abgeschlossene Hülle
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
Topologie
Umgebung in einem topologischen Raum
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
Haussdorff-Raum
Konvergenz von Folgen
Analysis 2
Satz 2.1
Analysis 2
Satz 2.2
Konvergenz einer Folge von Punkten
abgeschlossene Teilmenge
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
Cauchy Folge
Vollständigkeit
Analysis 2
Analysis 2
Ist Y Teilmenge eines metrischen Raumes X, so heißt
i Die Menge Y \ ∂Y ist offen.
Y̊ := Y \ ∂Y das Innere oder der offene Kern von Y
und
Ȳ := Y ∪ ∂Y die abgeschlossene Hülle von Y .
ii Die Menge Y ∪ ∂Y ist abgeschlossen.
iii Der Rand ∂Y ist abgeschlossen.
Sei X eine Menge. Eine Menge τ von Teilmengen von
X heißt Topologie auf X, falls gilt:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und x ∈ X ein
Punkt. Eine Teilmenge V ⊂ X heißt Umgebung von
x, wenn
∃ U ⊂ X offen : x ∈ U ⊂ V
Offenbar ist diese Definition im Fall metrischer Räume mit der früher gegebenen äquivalent, da die -Umgebungen B (x) in einem metrischen Raum offen
sind.
i ∅, X ∈ τ
ii Sind U, V ∈ τ , so gilt auch U ∩ V ∈ τ .
iii Ist I eine beliebige Indexmenge und
[
Ui ∈ τ ∀i ∈ I ⇒
∈τ
i∈I
.
Sei X ein metrischer Raum und (xk )k∈N eine Folge von
Punkten aus X. Die Folge (xk ) heißt konvergent gegen
den Punkt a ∈ X, also lim xk = a
k→∞
⇔ ∀ Uε (a) ∃ N ∈ N : xk ∈ U ∀k ≥ N
Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt Hausdorff-Raum,
falls in ihm das Hausdorffsche Trennungsaxiom gilt,
d.h. zu je zwei Punkten x, y ∈ X, x 6= y existieren
Umgebungen U von x und V von y mit U ∩ V = ∅
⇔ ∀ ε > 0 ∃N ∈ N : kxk , ak < ε ∀k ≥ N
Bemerkung: Nach Satz 1.2 ist jeder metrische Raum ein Hausforff-Raum
Sei (xk )k∈N eine Folge von Punkten im Rn ,
Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X
ist genau dann abgeschlossen, wenn gilt: Ist (xk )k∈N
eine Folge von Punkten xk ∈ A, die gegen einen Punkt
x ∈ X konvergiert, so liegt x schon in A.
Bemerkung: Dies ist eine Verallgemeinerung von Ana 1, $4, Cor. zu Satz5
xk = (xk1 , xk2 , . . . , xkn ), k ∈ N
Genau dann konvergiert die Folge (xk ) gegen den
Punkt a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn , wenn für ν =
1, 2, . . . , n gilt:
lim xkν = aν .
k→∞
Sei X ein metrischer Raum. Eine Folge (xk )k∈N von
Punkten aus X heißt Cauchy Folge, wenn gilt:
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn in ihm
jede Cauchy-Folge konvergiert.
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : kxk , xm k < ε ∀k, m ≤ N
Bemerkung: Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine CF
Definition
Definition
Banachraum
Bananachraum
Analysis 2
Satz 2.3
Analysis 2
Definition
Im Rn konvergiert jede Cauchy-Folge
Durchmesser
Analysis 2
Satz 2.4
Analysis 2
Definition
Schachtelungsprinzip
Stetigkeit (Abbildung)
Analysis 2
Satz 2.5
Analysis 2
Satz 2.6
Komposition stetiger Abbildungen
Stetigkeit Abbildung - Komponenten
Analysis 2
Satz 2.7
Analysis 2
Corollar aus Satz 2.7
Folgende Abbildungen sind stetig:
Analysis 2
Diese Funktionen sind auch stetig
Folgende Abbildungen sind stetig
Analysis 2
Ein vollständig normierter, gelber und krummer Vektorraum heißt Bananachraum.
Für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X wird
ihr Durchmesser definiert als
diam(A) := sup{kx, yk : x, y, ∈ A}
Die Menge heißt beschränkt, falls diam(A) < ∞.
Ein vollständig normierter Vektorraum heißt Banachraum.
Beweis:
Sei xk = x1k , x2k , . . . , xnk , k ∈ N, eine Cauchy-Folge
in Rn . Da |xkν − xmν | ≤ kxk − xm k, ist für jedes ν =
1, 2, . . . , n die Folge (xkν )k∈N eine Cauchy-Folge in R,
die wegen der Vollständigkeit von R konvergiert. Nach
Satz 2.1 konvergiert dann die Folge (xk )k∈N in Rn .
Bemerkung: Offenbar ist A genau dann beschränkt, wenn A in einer genügend
großen Kugel enthalten ist, d.h. wenn ∃ a ∈ X & r > 0 : A ⊂ Br (a). Es gilt
diam(Br (a)) ≤ 2r, wie aus der 4-Ungl. folgt.
Seien X und Y metrische Räume und f : X → Y eine
Abbildung. f heißt stetig im Punkt a ∈ X, falls
lim f (x) = f (a),
x→a
d.h. wenn für jede Folge (xn )n∈N von Punkten aus X
mit lim xn = a gilt lim f (xn ) = f (a). Die Abbilx→∞
n→∞
dung heißt stetig auf X, falls f in jedem Punkt a ∈ X
stetig ist.
Sei X ein metrischer Raum. Eine Abbildung
Sei X ein vollständig metrischer Raum und
A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 . . .
eine absteigende Folge nichtleerer abgeschlossener
Teilmengen mit
lim diam(Ak ) = 0
k→∞
Dann gibt es genau einen Punkt x ∈ X, der in allen
Ak liegt.
Seien X, Y, Z metrische Räume und
f : X → Y,
f = (f1 , . . . , fn ) : X → Rn
ist genau dann stetig, wenn alle Komponenten
Abbildungen. Ist f stetig im Punkt a ∈ X und g stetig
in b := f (a) ∈ Y , so ist
fν : X → R, ν = 1, . . . , n
stetig sind.
g:Y →Z
g◦f :X →Z
setig in a.
Sei X ein metrischer Raum und seien f, g : X → R
stetige Funktionen. Dann sind auch die Funktionen
f + g : X → R und f g : X → R
stetig. Gilt außerdem g(x) 6= 0 ∀x ∈ X, so ist auch
f
g
: X → R stetig
Folgende Abbildungen sind stetig:
a)
b)
c)
add:
mult:
quot:
R×R→R
R×R→R
R×R→R
(x, y) 7→ x + y
(x, y) 7→ xy
(x, y) 7→ xy −1
Satz 2.8
Definition
δ − ε-Kriterium der Stetigkeit
Homöomorphismus
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 2.9
Eine Folge (fn )n∈N konvergiert gleichmäßig
gegen f . . .
Zusammenhang Konvergenz, Stetigkeit
Analysis 2
Satz 2.10
Analysis 2
Definition
Stetigkeit einer linearen Abbildung
Norm einer linearen Abbildung
Analysis 2
Satz 2.11
Analysis 2
Definition
Stetigkeit von Abbildungen
offene Überdeckung von Mengen
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 3.1
lim (xn )n∈N = a
Welche Menge ist kompakt?
Kopmpaktheit
x→∞
Analysis 2
Analysis 2
Seien X, Y metrische Räume. Eine bijektive Abbildung f : X → Y heißt Homöomorphismus (oder topologische Abbildung), wenn f stetig ist und die Umkehrabbildung f −1 : Y → X ebenfalls stetig ist. Zwei
metrische Räume heißen homöomorph, wenn es einen
Homöomorphismus f : X → Y gibt.
Seien X, Y metrische Räume und a ∈ X ein Punkt.
Eine Abbildung
f :X→Y
ist genau dann in a stetig, wenn
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : kf (x), f (a)k < ε ∀x ∈ X & kx, ak < δ
Beispiel: Rn ist homöom. zur offenen Einheitskugel B := {x ∈ Rn : kxk < 1}.
Seien X eine beliebige Menge, Y ein metrischer Raum,
sowie
Seien X, Y metrische Räume und fn : X → Y, n ∈ N,
eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen
die Funktion f : X → Y konvergiere. Dann ist auch f
stetig.
fn (x) : X → Y, n ∈ N und f : X → Y
Abbildungen. Man sagt, die Folge (fn )n∈N konvergiere
gleichmäßig gegen f , falls
∀ε > 0 ∃ N ∈ N : kfn (x), f (x)k < ε ∀x ∈ x & ∀n ≥ N.
Seien V und W normierte Vektorräume und A : V →
W eine stetig lineare Abbildung. Dann wird ihre
Norm definiert als
Seien V und W normierte Vektorräume (”über R oder
C”) und sei
A:V →W
kAk := sup{kA(x)k : x ∈ V mit kxk ≤ 1}.
eine lineare Abbildung. A ist genau dann stetig, wenn
∃C ∈ R+
0 : kA(x)k ≤ Ckxk ∀x ∈ X.
Bemerkung: Nach Satz 2.10 ist kAk < ∞. Es gilt kA(x)k ≤ kAk·kxk ∀ x ∈ V .
x
Dies folgt daraus, dass A kxk ≤ kAk ∀ x 6= 0
Sei A eine Teilmenge eines metrischen Raumes X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine
Familie (Ui )i∈I von offenen Teilmengen Ui ⊂ X mit
[
A⊂
Ui
i∈I
Dabei ist I eine beliebige (endliche oder unendliche)
Indexmenge.
Sei X ein metrischer Raum und (xn )n∈N eine Punktfolge in X, die gegen den Punkt a ∈ X konvergiert.
Dann ist die Menge
Bemerkung: Eine lineare Abbildung A : V → W ist genau dann auf ganz V
stetig, wenn A im Nullpunkt stetig ist.
Beispiel: Sei C[a, b] der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R auf
dem Intervall [a, b] ⊂ R, versehen mit der Supremums-Norm
kf k := sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}
Seien X, Y metrische Räume und f : X → Y eine
Abbildung
1) Die Abbildung f ist stetig im Punkt a
⇔ ∀ V := Uε (f (a)) ∃ U := Uε (a) mit f (U ) ⊂ V
2) Die Abbildung f ist auf ganz X stetig
⇔ f −1 (V ) ∀ offene Mengen V ⊂ Y offen in X.
Eine Teilmenge A eines metrischen Raums X heißt
kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung
(Ui )i∈I von A endlich viele Indizes i1 , . . . , ik ∈ I gibt,
so dass
A ⊂ Ui1 ∪ Ui2 ∪ . . . ∪ Uik .
A := {xn : n ∈ N} ∪ {a}
kompakt.
Bemerkung: Die Definition besagt nicht, dass A kompakt ist, wenn A eine endliche offene Überdeckung besitzt. Es wird vielmehr verlangt, dass eine beliebige
vorgegebene offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Satz 3.2
Satz 3.3
kompakte Teilmenge - Beschränktheit und
Abgeschlossenheit
kompakter Quader
Analysis 2
Analysis 2
Satz 3.4
Satz 3.5
K ⊂ X kompakte Teilmenge, A ⊂ K
abgeschlossen ⇒
Heine-Borel
Analysis 2
Satz 3.6
Analysis 2
Satz 3.7
f stetige Abbildung, K ⊂ X kompakt ⇒
f stetige Funktion, f beschränkt und nimmt
ihr Maximum bzw. Minimum an, d.h. . . .
Analysis 2
Satz 3.8
Analysis 2
Definition
Bolzano-Weierstraß
Gleichmäßige Stetigkeit
Analysis 2
Satz 3.9
Analysis 2
Definition
X kompakt, jede stetige Abbildung
f : X → Y ist . . .
Analysis 2
Kurve im Rn
Analysis 2
Jede kompakte Teilmenge A eines metrischen Raumes
X ist beschränkt und abgeschlossen.
Corollar: Jede konvergente Folge in einem metrischen
Raum ist beschränkt. Dabei heißt eine Folge (xn )n∈N
beschränkt, wenn die Menge {xn : n ∈ N} beschränkt
ist.
Seien aν , bν ∈ R, aν ≤ bν , ν = 1, 2, . . . , n. Dann ist der
abgeschlossene Quader
Q := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : aν ≤ xν ≤ bν }
kompakt in Rn .
Teilmenge A ⊂ Rn kompakt ⇔,
abgeschlossen & beschränkt.
Beweis: Ist A kompakt, so ist es nach Satz 3.3 abgeschlossen und beschränkt. Ist A beschränkt und abgeschlossen,
so ist A in einem genügend großen abgeschlossenen Quader
Q enthalten, der nach Satz 3.2 kompakt ist. Nach Satz 3.4
ist dann A kompakt.
∃ Punkte p, q ∈ X mit
Sei X ein metrischer Raum, K ⊂ X eine kompakte
Teilmenge und A ⊂ K eine abgeschlossene Teilmenge.
Dann ist auch A kompakt.
Seien X, Y metrische Räume und f : X → Y eine
stetige Abbildung.
f (p) = sup{f (x) : x ∈ X}, f (q) = inf{f (x) : x ∈ X}.
K ⊂ X kompakt ⇒ f (K) ⊂ Y kompakt.
Seien X, Y metrische Räume. Eine Abbildung
f : X → Y heißt gleichmäßig stetig, wenn
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : kf (x), f (x0 )k < ε ∀x, x0 ∈ X
Sei A eine kompakte Teilmenge eines metrischen
Raumes X und (xn )n∈N eine Folge von Punkten xn ∈
A. Dann gibt es eine Teilfolge (xnk )k∈N , die gegen
einen Punkt a ∈ A konvergiert.
mit kx, x0 k < δ
Corollar: Jede beschränkte Folge (xi )i∈I im Rn besitzt
eine konvergente Teilfolge.
Unter einer Kurve im Rn versteht man eine stetige Abbildung
f : I → Rn
wobei I ⊂ R ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall
ist. Nach Satz 2.6 wird die Kurve f gegeben durch ein nTupel
f = (f1 , f2 , . . . , fn )
stetiger Funktionen fk : I → R, k = 1, 2, . . . , n. Die Kurve
heißt (stetig) differenzierbar wenn alle Funktionen fk (stetig) differenzierbar sind. Bsp: Kreis in Ebene f : [0, 2π] → R2
t 7→ (r cos(t), r sin(t))
Seien X, Y metrische Räume und sei X kompakt.
Dann ist jede stetige Abbildung f : X → Y
gleichmäßig stetig.
Definition
Definition
Tangentialvektor
regulär (nicht singuläre) Kurve
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
Schnittwinkel
Bogenlänge
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 4.1
Jede stetig differenzierbare Kurve ist
rektifizierbar, ihr Länge ist . . .
rektifizierbare Kurve
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
Parametertransformation
partielle Ableitung
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
stetig partielle Differenzierbarkeit
Analysis 2
~
Nabla Operator ∇
Analysis 2
Sei I ⊂ R ein Intervall und
f = (f1 , f2 , . . . , fn ) : I → Rn
Sei f : I → Rn eine stetig differenzierbare Kurve.
Die Kurve heißt regulär (nicht singulär ), falls f 0 (t) 6=
0 ∀ t ∈ I. Ein Parameterwert t ∈ I mit f 0 (t) = 0 heißt
singulär.
eine differenzierbare Kurve. Für t ∈ I heißt
f 0 (t) = (f10 (t), f20 (t), . . . , fn0 (t)) ∈ Rn
der Tangentialvektor der Kurve f zum Parameterwert
t. Falls f 0 (t) 6= 0, heißt der auf den Betrag 1 normierte
0
(t)
Tangenten-Einheitsvektor.
Vektor kff 0 (t)k
Sei [a, b] ⊂ R, a < b ein abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] → Rn
eine Kurve. Unterteilt man das Intervall
a = t0 < t1 < . . . < tk = b
und verbindet die Punkte f (ti−1 ) mit f (ti ), für i = 1, 2, . . . , k geradlinig, erhält man einen Polygonzug im Rn . Die Länge des Polygonzugs ist gleich
k
X
pf (t0 , . . . , tk ) :=
Seien f : I1 → Rn ∧ g : I2 → Rn 2 reguläre Kurven. Es
gelte f (t1 ) = g(t2 ). Der Schnittwinkel ist der Winkel
ϑ der Tangentialvektoren f 0 (t1 ) und f 0 (t2 )
cos ϑ =
kf (ti ) − f (ti−1 )k.
hf 0 (t1 ), g 0 (t2 )i
mit 0 ≤ ϑ ≤ π.
kf 0 (t1 )k · kg 0 (t2 )k
i=1
Die Länge der Kurve wird nun definiert als der Grenzwert der
Längen der Polygonzüge bei immer feineren Unterteilungen.
Jede stetig differenzierbare Kurve f : [a, b] → Rn ist
rektifizierbar, und für ihre Länge gilt
b
Z
kf 0 (t)kdt.
L=
a
Bemerkung: Die stetige Differenzierbarkeit ist nicht notwenig dafür, dass eine
Kurve rektifizierbar ist. Es gibt jedoch Kurven, die nicht rektifizierbar sind.
Eine Kurve f : [a, b] → Rn heißt rektifizierbar mit der
Länge L, ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ Unterteilung
a = t0 < t1 < . . . < tk = b
der Feinheit < δ gilt
k
X
kf (ti ) − f (ti−1 )k − L < ε.
i=1
Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und f : U → R eine reelle Funktion. f heißt im Punkt x ∈ U partiell differenzierbar in der i-ten
Koordinatenrichtung, falls der Limes
Di f (x) := lim
h→0
f (x + hei ) − f (x)
h
existiert. Dabei ist ei ∈ Rn der i-te Einheitsvektor
ei = (0, . . . , 0,
1
|{z}
, 0, . . . , 0)
Sei f : [a, b] → Rn eine Kurve, [α, β] ⊂ R ein weiteres Intervall und
ϕ : [α, β] → [a, b]
eine bijektive stetige Abbildung. Dann ist die zusammengesetzte
Abbildung
n
g := f ◦ ϕ : [α, β] → R
wieder eine Kurve im Rn . Man sagt, dass die Kurve g aus der Parametertransformation ϕ hervorgeht. Sind sowohl ϕ als auch
i−te Stelle
−1
ϕ
und für den Limes h → 0 hat man sich auf solche h ∈ R zu beschränken, für die h 6= 0 und x + hei ∈ U .
Di f (x) heißt die i-te partielle Ableitung von f in x.
stetig
differenzierbar,
Parametertransformation.
: [a, b] → [α, β]
so
nennt
man
ϕ
eine
C1 -
Sei U ⊂ Rn offen. Eine Funktion f : U → R heißt
partiell differenzierbar, falls


~ =
∇


∂f
∂x1
∂f
∂x2


∂1 f
 
  ∂2 f 

=
...   ... 
∂f
∂n f
∂xx

∃ Di f (x) ∀x ∈ U ∧ i = 1, . . . , n.
f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zusätzlich
alle partiell Ableitungen Di f : U → R stetig sind.
Bemerkung: Di f (x) =
∂f
∂xi
(x) =
∂f (x)
∂xi .
Definition
Definition
Gradient
Vektorfeld
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 5.1
Divergenz
Satz von Schwarz
Analysis 2
Corollar zu 5.1
Analysis 2
Notation
Satz von Schwarz in n-Dimensionen
partielle Ableitung NOTATION
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Definition
Rotation
Laplace Operator
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Satz 6.1
Sei f total differenzierbar in x und es gilt:
f (x + ξ) = f (x) + Aξ + O(ξ)
totale Differnzierbarkeit
Dann gilt . . .
Analysis 2
Analysis 2
Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge von Rn . Unter einem
Vektorfeld auf U versteht man eine Abbildung
ν : U → Rn .
Jedem Punkt x ∈ U wird also ein Vektor ν(x) ∈ Rn
zugeordnet
~ einer partiell differenzierbaren FunkDer Gradient ∇f
tion f : U → R ist ein spezielles Vektorfeld.
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine partiell differenzierbare Funktion. Dann heißt der Vektor
∂f
∂f
grad f (x) =
(x), . . . ,
(x)
∂x1
∂xn
der Gradient von f im Punkt x ∈ U .
Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine zweimal stetig
partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt ∀a ∈ U
und ∀i, j = 1, 2, . . . , n
∂i ∂j f (a) = ∂j ∂i f (a)
~ν = (ν1 , . . . , νn ) : U → Rn
ein partiell differenzierbares Vektorfeld (d.h. alle Komponenten νi : U → R seien partiell differenzierbar).
Dann heißt die Funktion
~ · ~ν = div ~ν :=
∇
n
X
∂νi
= ∂1~ν + . . . + ∂n~ν
∂x
i
i=1
die Divergenz des Vektorfeldes ν.
Dj Di f =
Di Di f = Di2 f =
Dik . . . Di1 f =
∂2f
=
∂x2i
∂2
∂x21
~ ∇i
~ =
Bemerkung: h∇,
∂
∂xi
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine k-mal stetig
differenzierbare Funktion. Dann gilt
2
f
∂kf
usw.
∂xik . . . ∂xi1
∆f := div grad f =
Man nennt ∆ :=
∂2f
,
∂xj ∂xi
∂2f
∂2f
+
.
.
.
+
∂x21
∂x2n
2
∂
+. . .+ ∂x
2 den Laplace-Operator.
∂ik . . . ∂i2 ∂i1 f = ∂iπ(k) . . . ∂iπ(2) ∂iπ(1) f
∀ i1 , i2 , . . . , ik ∈ {1, 2, . . . , n} und jede Permutation π
der Zahlen 1, . . . , k.

∂2 A3 − ∂3 A2
~=∇
~ ×A
~ =  ∂3 A1 − ∂1 A3 
rot A
∂1 A2 − ∂2 A1

n
n
X
∂
∂
·
=∆
∂x
∂x
i
i
i=1
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rm eine Abbildung,
die im Punkt x ∈ U differenzierbar ist, und zwar gelte
f (x + ξ) = f (x) + Aξ + O(ξ)
mit der Matrix A = (aij ) ∈ M (m × n, R). Dann gilt
a) f ist im Punkt x stetig
b) Alle Komponenten fi : U → R, 1 ≤ i ≤ m, von f
∂fi
sind in x partiell differenzierbar mit ∂x
= aij .
j
Bemerkung: Ist f : U → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, so
gilt: rot grad f = 0
Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und f : U → Rm eine
Abbildung. f heißt im Punkt x ∈ U total differenzierbar, falls ∃ lineare Abbildung A : Rn → Rm , so dass in
einer Umgebung von x gilt f (x+ξ) = f (x)+Aξ +ϕ(ξ),
wobei ϕ eine in einer Umgebung von 0 ∈ Rn definierten Funktion mit den Werten in Rm ist mit
ϕ(ξ)
lim
= 0.
ξ→0 kξk
Definition
Satz 6.2
f stetig partiell differenzierbar ⇒ f . . .
Jacobi-Matrix
Analysis 2
Corollar zu Satz 6.2
Analysis 2
Satz 6.3
Es gelten folgende Implikationen
(Stetigkeit, Differenzierbarkeit)
Kettenregel
Analysis 2
Corollar zu 6.3
Analysis 2
Definition
Corollar zur Kettenregel
Richtungsableitung
Analysis 2
Satz 6.4
Analysis 2
Satz 6.5
f stetig differenzierbar ⇒ ∀ x ∧ ∀ν, kνk = 1
gilt . . .
Mittelwertsatz
Analysis 2
Corollar zu 6.5
Analysis 2
Hilssatz für 6.5
Corollar aus dem Mittelwertsatz
Analysis 2
Sei ν : [a, b] → Rm eine stetige vektorwertige
Funktion auf dem Intervall [a, b] ⊂ R. Dann
gilt . . .
Analysis 2
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine in U partiell
differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen
Dk f seien im Punkt x ∈ U stetig. Dann ist f in x total
differenzierbar.
Corollar: Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist f in U
stetig.
Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offene Mengen sowie f :
U → Rm und g : V → Rk Abbildungen mit f (U ) ⊂ V .
Die Abbildung f sei im Punkt x ∈ U differenzierbar
und die Abbildung g im Punkt y := f (x) ∈ V differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Abbildung
g ◦ f : U → Rk
im Punkt x differenzierbar und für ihr Differential gilt
(Df )(x) := Jf (x) :=
∂f1
∂x1

..
.

=
∂fn
∂x1
∂f1
∂x2
...
..
.
...
..
.
∂fn
∂x2
∂(f1 ,...,fm )
∂(x1 ,...,xn ) (x)
∂f1
∂xn
..
.
∂fn
∂xn



Bemerkung: Die i-te Zeile der Jacobi-Matrix ist der Gradient der Funktion
∂fi
∂fi
fi :
(x), . . . ,
(x) = grad fi (x)
∂x1
∂xn
f stetig partiell differenzierbar ⇒ f stetig
⇓
f total differenzierbar ⇒ f stetig
⇓
f partiell differenzierbar ∀fi
Bemerkung: Eine stetig partiell differenzierbare Funktion nennt man stetig
differenzierbar
D(g ◦ f )(x) = (Dg) (f (x)) · Df (x)
n
Sei U ⊂ R offen und f : U → R eine Funktion. Weiter
sei x ∈ U ein Punkt und ν ∈ Rn ein Vektor mit kνk =
1. Unter der Richtungsableitung von f im Punkt x in
Richtung ν versteht man den Differenzialquotienten
d
f (x + tν) − f (x)
dν f (x) :=
f (x + tν)
= lim
t→0
dt
t
t=0
Bemerkung: Für ν = ei ist also De f gleich der i-ten partiellen Ableitung
i
Di f .
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rm eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei x ∈ U und ξ ∈ Rn ein Vektor
derart, dass die ganze Strecke x + tξ, 0 ≤ t ≤ 1, in U
liegt. Dann gilt
Z 1
f (x + ξ) − f (x) =
Df (x + tξ)dt · ξ
Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offene Mengen, f : V → R, x 7→ f (x),
eine differenzierbare Funktion sowie


ϕ=


ϕ1
. 
m
: U → R , t 7→ x = ϕ(t)
. 
. 
ϕm
eine stetig differenzierbare Abbildung ϕ(U ) ⊂ V . Dann ist die Funktion F := f ◦ ϕ : U → R, t 7→ f (ϕ(t)) partiell differenzierbar und
es gilt für i = 1, . . . , n
m
X
∂f
∂ϕj
∂F
(t1 , . . . , tn ) =
(ϕ1 (t), . . . , ϕm (t))
(t1 , . . . , tn ).
∂ti
∂x
∂ti
j
j=1
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für jedes x ∈ U und
jeden Vektor ν ∈ Rn mit kνk = 1
Dν f (x) = hν, grad f (x)i
0
Es sei
M := sup kDf (x + tξ)k.
Z
Z
b
b
ν(t)dt ≤
kν(t)kdt.
a
a
0≤t≤1
Damit gilt
kf (x + ξ) − f (x)k ≤ M kξk.
Satz 7.1
Satz 7.2
Lineare Approximation einer Funktion
Taylorsche Formel
Analysis 2
Corollar aus 7.2
Analysis 2
Definition
Corollar zur Taylor-Formel
Hessesche Matrix
Analysis 2
Satz 7.3
Analysis 2
Definition
notwenige Bedingung für lokales Extrema
Definitheit einer Matrix
Analysis 2
Satz zur Defintion
Analysis 2
Satz 7.4
Determinantenkriterium für Definitheit
Hinreichende Bedingung für lokales
Extremum
Analysis 2
Satz 8.1
Analysis 2
Satz 8.2
Banachscher Fixpunktsatz
Analysis 2
Satz über implizite Funktionen
Analysis 2
n
n
Sei U ⊂ R offen, x ∈ U ein Punkt und ξ ∈ R ein
Vektor derart, dass die Strecke x+tξ, 0 ≤ t ≤ 1, ganz
in U liegt. Weiter sei f : U → R eine (k + 1)-mal stetig
differenzierbare Funktion. ⇒ ∃ θ ∈ [0, 1] :
f (x + ξ) =
X Dα f (x)
ξα +
α!
|α|≤k
X
|α|=k+1
Dα f (x + θξ) α
ξ .
α!
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine k-mal stetig
differenzierbare Funktion. Sei x ∈ U und ξ ∈ Rn ein
Vektor derart, dass die Strecke x + tξ, 0 ≤ t ≤ 1,
ganz in U liegt. Dann ist die Funktion g : [0 : 1] →
R, g(t) := f (x + tξ), k-mal stetig differenzierbar und
es gilt
X k!
dk g
(t) =
(Dα f )(x + tξ)ξ α .
k
dt
α!
|α|=k
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine zweimal stetig
differenzierbare Funktion. Unter der Hesseschen Matrix von f im Punkt x ∈ U versteht man die x × n
Matrix
∂2 f
∂x2
1
∂2 f
∂x1 x2
.
.
.
.
.
.
∂2 f
∂xn ∂x1
∂2 f
∂xn ∂x2

(Hess f )(x) :=


∂2f
=

∂xi ∂xj

...
..
.
...
∂2 f
∂x1 ∂xn

.
.
.





∂2 f
∂x2
n
Sei U ⊂ Rn offen, und f : U → R eine k-mal stetig
differenzierbare Funktion. Dann gilt ∀ x ∈ U :
f (x + ξ) =
X Dα f (x)
ξ α + O(kξkk ), f ür ξ → 0
α!
|α|≤k
Sei A ∈ M (n × n, R) eine symmetrische n × n Matrix.
a) Die Matrix A heißt positiv definit, falls
hξ, Aξi > 0, ∀ ξ ∈ Rn \0.
b) Die Matrix A heißt positiv semidefinit, falls
hξ, Aξi ≥ 0, ∀ ξ ∈ Rn \0.
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine partiell differenzierbare Funktion. Besitzt f in x ∈ U ein lokales
Extremum, so gilt
c) Die Matrix A heißt negativ definit, falls
hξ, Aξi < 0, ∀ ξ ∈ Rn \0.
grad f (x) = 0.
d) Die Matrix A heißt negativ semidefinit, falls
hξ, Aξi ≤ 0, ∀ ξ ∈ Rn \0.
e) Die Matrix A heißt indefinit, falls ∃ Vektoren ξ, η ∈ Rn :
hξ, Aξi > 0 ∧ hη, Aηi < 0
Sei U ⊂ Rn offen, f : U → R eine zweimal stetig
differenzierbare Funktion und x ∈ U ein Punkt mit
grad f (x) = 0.
a) Ist (Hess f )(x) positiv definit, so besitzt f in x
ein striktes lokales Minimum.
b) Ist (Hess f )(x) negativ definit, so besitzt f in x
ein striktes lokales Maximum.
c) Ist (Hess f )(x) indefinit, so besitzt f in x kein
lokales Extrumum.
U1 ⊂ Rk und U2 ⊂ Rm offene Teilmengen und F : U1 × U2 →
Rm , (x, y) 7→ F (x, y), stetig differenzierbare Abbildungen. Sei
(a, b) ∈ U1 × U2 ein Punkt mit F (a, b) = 0. Die m × m Matrix
 ∂F

∂F1
1
...
∂y1
∂ym




∂(F1 ,...,Fm )
.
.
∂F

.
.
∂y = ∂(y1 ,...,ym ) := 
.
.


∂Fm
∂Fm
.
.
.
∂y
∂ym
1
sei im Punkt (a, b) invertierbar. ⇒ ∃ offene Umgebungen V1 ⊂ U1
von a, eine Umgebung V2 ⊂ U2 von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : V1 → V2 ⊂ Rm mit g(a) = b, sodass
F (x, g(x)) = 0
∀ x ∈ V1 .
Ist (x, y) ∈ V1 × V2 ein Punkt mit F (x, y) = 0, so folgt y = g(x).
Sei


A=

a11
.
.
.
an1
...
...

a1n

.
 ∈ M (n × n, R)
.

.
ann
eine reelle symmetrische n × n-Matrix. A ist genau
dann positiv definit, wenn ∀ k = 1, . . . , n gilt:


det 

a11
.
.
.
an1
...
...

a1n

.
>0
.

.
ann
Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums. Die Abbildung φ : A → A sei eine Kontraktion,
d.h. es gebe eine Konstante θ mit 0 < θ < 1 :
kφ(f ) − φ(g)k ≤ θ|f − gk ∀ f, g ∈ A
Dann besitzt φ genau einen Fixpunkt, d.h. ∃ eindeutig
bestimmtes Element f∗ ∈ A mit φ(f∗ ) = f∗ .
Für einen beliebigen Anfangswert f0 ∈ A konvergiert die furch fk := φ(fk−1 ) rekursiv definierte Folge
(fk )k∈N gegen den Fixpunkt f∗ .
Satz 8.3
Definition
Satz über die Umkehrabbildungen
Immersion
Analysis 2
Satz 9.1
Analysis 2
Definition
Sei ϕ eine Immersion
⇒ ∀t ∈ T ∃ offene V ⊂ T :
Untermannigfaltigkeit
Analysis 2
Proposition 9.2
Analysis 2
Definition
F : U → Rm stetig differenzierbar,
DF (x) ∈ Rm×n surjektiv ∀ x ∈ F −1 (0) ⇒
Codimension der Untermannigfaltigkeit
Analysis 2
Definition
Analysis 2
Corollar 9.3
Corollar zur Def. Regulärer Wert
Zusammenhang regulärer Wert ↔
Untermannigfaltigkeit
regulärer Wert
Analysis 2
Satz 9.4
Extrema unter Nebenbedingungen
Analysis 2
Analysis 2
Sei T ⊂ Rk eine offene Teilmenge. Eine stetig differenzierbare Abbildung ϕ : T → Rn , (t1 , . . . , tk ) 7→
ϕ(t1 , . . . , tk ), heißt Immersion, wenn der Rang der
Jacobi-Matrix
 ∂f1 ∂f1
∂f1 
. . . ∂x
∂x1
∂x2
n
 ..
..
.. 
..
 .
.
.
. 
∂fn
∂fn
∂fn
. . . ∂xn
∂x1
∂x2
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rn eine stetig differenzierbaer Abbildung. Sei a ∈ U und b := f (a). Die
Jacobi-Matrix Df (a) sei invertierbar: ⇒ ∃ offene Umgebungen Uo ⊂ U von a und eine offene Umgebung V0
von b : f die Menge U0 bijektiv auf V0 abbildet und
die Umkehrabbildung
in jedem Punkt t ∈ T gleich k ist.
stetig differenzierbar ist. Es gilt Dg(b) = (F f (a))
M ⊂ Rn heißt Untermannigfaltigkeit der dim k ⇔
a ∈ M ⇒ ∃, nach eventueller Umnummerierung der
Korrdinaten, offene Umgebungen U 0 ⊂ Rk von a0 :=
(a1 , . . . , ak ) und U 00 ⊂ Rn−k von a00 := (ak+1 , . . . , an )
sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : U 0 →
U 00 , sodass
M ∩ (U 0 × U 00 ) = {(x0 , x00 ) ∈ U 0 × U 00 |x00 = g(x0 )}.
mit anderen Worten: M ist lokal Graph einer auf einer k − dim Koordinatenumgebung U 0 ⊂ Rk definierten Abbildung U 0 → U 00 .
Die Zahl n − k heißt Codimension der Untermannigfaltigkeit.
Untermannigfaltigkeiten der Codimension 1 nennt
man auch Hyperflächen.
Es sei c ein regulärer Wert von F . Dann ist F −1 (c) ⊂
Rn eine Untermannigfaltigkeit der Dimension m − n
(die möglicherweise leer ist)
Dies ist das nichtlineare Analogon des folgenden Resultats aus der linearen
Algebra: Ist F : Rn → Rm eine surjektive Abbildung, so ist der Kern von F
ein Untervektorraum von Rn der Dimension n − m.
g = f −1 : V0 → U0
−1
.
Sei T ⊂ Rk offen und ϕ : T → Rn eine Immersion.
⇒ ∀ t ∈ T ∃ offene Umgebungen V ⊂ T , sodass die
Beschränkungen
ϕ | V → ϕ(V ) ⊂ Rn
injektiv ist und einen Homöomorphismus von V auf
ϕ(V ) darstellt.
Es sei U ⊂ Rn sowie F : U → Rm stetig differenzierbar, und ∀ x ∈ F −1 (0) sei das Differential DF (x) ∈ Rm×n surjektiv (als lineare Abbildung
Rn → Rm )
⇒ M := F −1 (0) ⊂ Rn ist eine Untermannigfaltigkeit
der Dimension k = n − m.
Es sei U ⊂ Rn offen und F : U → Rm stetig differenzierbar. Ein Punkt c ∈ Rm heißt regulärer Wert von
F , ⇔ ∀x ∈ F −1 (c) das Differential DF (x) : Rn → Rm
surjektiv ist. Ist c kein regulärer Wert, so heißt c ein
singulärer Wert von F .
Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und f : U → R stetig differenzierbar. Wir setzen M := f −1 (0) ⊂ Rn . Sei a ∈ M so gewählt,
dass Df (a) : Rn → R surjektiv ist (d.h. grad f (a) ∈ R1×n ist als
Abbildung Rn → R surjektiv - insbesondere ist also M in einer
Umgebung von a eine Untermannigfaltigkeit von Rn der Dimension
n − 1.
Es sei nun h : U → R stetig differenzierbar und a sei ein
lokales Maximum (Minimum) von h unter der Nebenbedingung
f = 0, d.h. ∃ eine Umgebung V ⊂ U ⊂ Rn von a, sodass
h(x) ≤ h(a) (h(x) ≥ h(a)) ∀x ∈ M ∩ V.
⇒ ∃ λ ∈ R mit grad h(a) = λ · grad f (a).
λ heißt Lagrange-Multiplikator