Werkstoffe der Elektrotechnik

Werkstoffe der Elektrotechnik
von Prof. Dr.-Ing. Amann
Formelsammlung
Von David Lenz
Sebastian Bachmann
Annemarie Turnwald
Bei Fragen und Anregungen:
[email protected]
6.2.2008
David Lenz, Sebastian Bachmann, Annemarie Turnwald
1.Aufbau der Materie
1.1
Wellen
Kreisfrequenz:
Energie:
Masse/Impuls:
ω = 2π f
λ=
Wellenlänge:
2
E mc=
=
=
ω
[ E ]=
hc
λ
c
f
Nm= J= 6, 24 ⋅1018 eV
ω
ω h
m ph = 2 → p ph =m ph c = = =k
λ
c
c
2π
mit Wellenzahl k =
λ
Schrödingergleichung
(allgemein)
− j
( )=−
∂t
2


Ψ r , t + V ⋅ Ψ r , t
( )
2m





Ψ r + V r Ψ r =E Ψ r
−
2m
2
(zeitunabhängig)

∂Ψ r , t
()
() ()
()
1-dimensionaler Potentialtopf
1-dimensionaler Potentialtopf
Ansatz für DGL:
Ψ
=
( x) C1 sin(kx) + C2 cos(kx)
Ansatz für DGL:
( x) C1 sin(kx) + C2 cos(kx)
Ψ
=
2m0 E
mit k =
2
 2π 2 2
E=
n
2m0 ⋅ a 2
Randbedingungen:
Ψ (0) =
Ψ (a) =
0
2m0 E
mit k =
für II
2
a
∫
0
Ψ ( x ) dx =
1
2
∞
∫
Ψ ( x) dx =
1
2
∂2  ∂2
∂2 
 2 +  2 + 2 
∂x  ∂y ∂z 
3-dimensionaler Potentialtopf
=
E
=
2m0 ( E − V0 )
für I/III
2
Randbedingungen
Ψ I (0) =
Ψ II (0); Ψ II (a ) =
Ψ III (a )
und k =
( )
2
k z2 )
( kx2 + k y2 +=
2m0
 2π 2
( n2 + m2 + l 2 )
2m0 a 2
8
 nπ
sin 
3
a
 a
 mπ   lπ 
y  sin  z 
⋅ sin 
 a   a 
, z)
Ψ nml ( x, y=
−∞
2
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
x⋅

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1.2
Das Periodensystem
Hauptquantenzahl:
Nebenquantenzahl:
n = 1, 2,... (  K,L,...-Schale )
l =−
0,..., n 1 (  s, p, d , f − Zuständen )
m =−l , −l + 1,..., l − 1, l
1
Spinquantenzahl:
s= ±
2
Entartungsgrad: Wieviele Kombinationen der Quantenzahlen gibt es, die den gleichen
Energiegehalt besitzen? 2n 2
Magnetische Quantenzahl:
Pauli Prinzip:
Alle Elektronen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl
Hundschen Regeln:
1. Hundsche Regel:
Schale wird so aufgefüllt, dass S =
∑s
i
mit s = ±
1
2
maximal wird
2. Hundsche Regel:
Quantenzahl L maximal
3. Hundsche Regel:
Schale weniger als halbvoll:
-
Bahndrehimpuls und Spin antiparallel
Gesamtdrehimpuls J: J= L − S
s:
p:
d:
f:
Schale mehr als halbvoll:
- Bahndrehimpuls und Spin parallel
- Gesamtdrehimpuls J: J= L + S
Bsp.: Vanadium: V=[Ar]3d³4s²:
1 1 1 3
S =3 ⋅ + − =
2 2 2 2
3 3
J = L − S =3 − =
2 2
m= -2 -1 0 1
s=
↑ ↑ ↑
Abbildung 1 Systematik für die Besetzung
der Orbitale
2
2 Elektronen
6 Elektronen
10 Elektronen
14 Elektronen
m= 0
s= ↑↓
L =−2 − 1 + 0 + 0 + 0 =−3
Volle Schalen liefern keinen Beitrag zu S,L und J
Elektrische Bindungsenergie: Eel =
r0
q1q2
∫ 4πε r
∞
2
0
dr = −
q1q2
4πε 0 r0
r0 : Abstand ( Atomradien r1 + r2 )
q1 , q2 : Ladung der Ionen
Bindungsenergie: elektrische Bindungsenergie ± Ionisierungsenergien
3
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1.3
Gase
Gasgleichung für ideale Gase:
n ⋅ NA ρ
p
= =
NA
V
Ar
k BT
1
p = Nmv 2
3
=
N
Teilchendichte:
Druck:
1 2 f
mv = k BT
2
2
pV = n ⋅ R ⋅ T
p: Druck
T: absolute Temperatur
V: Volumen m: Masse
ρ: Dichte
n: Anzahl der Mole
v 2 : mittleres Geschwindigkeitsquadrat
Ar : relative Atommasse
[ n ] = cm −3 , [ p=]
−2
Nm=
Pa
= 10−5 bar
mit f: Anzahl der Freiheitsgrade (=3 für einatomige Gase)
Konstanten
Gaskonstante
Avogadro-Konstante
J
Boltzmannkonstante=
k B 1,381 ⋅10−23 J
K
mol ⋅ K
N A 6, 022 ⋅1023 mol −1
=
Zusammenhang:
1.4
R = 8,31
R = kB N A
Kristallstrukturen
sc:
fcc:
1
P
=
π ≈ 0,52
6
bcc:
3
π ≈ 0, 68
8
3
r=
a0
4
P
=
4
n π r3
Volumen( Atome)
3
Packungsdichte:
P =
=
Volumen( EZ )
VEZ
2
π ≈ 0, 74
6
2
r=
a0
4
P
=
n: Anzahl der Atome pro
Einheitszelle (Achtung: Atome, die
von angrenzenden Zellen auch
verwendet werden, dementsprechend
gewichten!)
r: Atomradius
Mischkristallbildung durch Leerstellendiffusion
Teilchenstromdichte
∂N
S = −D
∂x
Diffusionskoeffizient
D = D0 e
Mittlere Eindringtiefe
=
xD
−
EA
k BT
[ D] =
cm 2
s
mit E A : Aktivierungsenergie für
Leerstellendiffusion
D ⋅t
4
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2. Mechanische Eigenschaften der Festkörper
m
mP
mN
=
=
V 4 π r3
a03
3
∆l
ε=
l
F
= ε ⋅E
σ=
A
ρ=
Dichte:
Dehnung:
Spannung:
Elastizitätsmodul:
E= −
1 dF
r dr
m: Masse
V: Volumen
P: Packungsdichte
a0: Gitterkonstante
N: Anzahl der Atome in
der Elementarzelle
kg
g
=
3
m
cm3
N
[σ=] [ E=] 2
m
[ρ=]
3. Thermische Eigenschaften der Festkörper
3.1
J
K
J
[c] =
kg ⋅ K
J
[cm ] =
mol ⋅ K
[ C] =
spezifische Wärme
∂U
= 3 Nk B
∂T
1
1 ∆U cm
Spezifische Wärme: =
c
C
=
=
⋅103
m
m ∆T Ar
Wärmekapazität:
=
C
cm =
3R +
Molwärme:

T 
6 RT
=
3R  1 + 2 
TF
TF 

Beitrag der Atome
Innere Energie:
3.2
Beitrag der Elektronen
TF =
EF
: Fermitemperatur
kB
U = 3 Nk BT
Thermische Ausdehnung
Längenausdehnung: ∆l= α l0 ∆T
Volumenausdehnung: ∆V = βV0 ∆T ≈ 3αV0 ∆T
3.3
(spezifische Wärme pro 1 mol)
α: Längenausdehnungskoeff.
β ≈ 3α : Volumenausdehnungskoeff.
Wärmeleitung
∆Q
= −λ grad (T ) ⋅ ∆t
=W
A
Q
Q =
−λ grad (T ) A =
CT

Q = CT
∆Q
dT
W=
=nvx c∆T mit ∆T =−
lx , wobei lx =vx t [ λ ] = W
∆t ⋅ A
dx
m⋅K
A

I= Q= G ⋅ ∆T mit Wärmeleitwert G = λ
l
Transportierte Wärmemenge:
Wärmemenge:
Wärmestromdichte:
Wärmestrom:
Wärmeleitfähigkeit:
λ
5
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Bsp: Stab mit homogener Wärmeleitung
T2
 T −T
grad
=
x + T1  1 2
(T ( x ) ) grad  T1 −l =
l


A
I= G ⋅ ∆T= λ ⋅ (T2 − T1 )
l
3.4
spezifische Wärme der Elektronen
Zustandsdichte:
Fermiverteilung:
D=
(E)
1 dZ  2m 
= 

V dE   2 
3/ 2
1
2π 2
1
 D ( E )  =
3
cm ⋅ eV
E
= 1,0622 ⋅1056
1
f ( E , T ) = ( E − EF ) /( kBT )
e
+1
gibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron bei der
Temperatur T die Energie E besitzt, an.
EF ist die Fermi-Temperatur
Boltzmannnäherung: f ( E , T ) ≈ e
−
E − EF
k BT
Abbildung 3: Fermiverteilung für T=1200K
Abbildung 2: Fermiverteilung für T=0K
Die Fermiverteilung ist nur sehr schwach temperaturabhängig, darum kann meist mit
der Fermiverteilung für T=0K gerechnet werden.
∞
Elektronendichte:
n = ∫ D ( E ) f (T , E ) dE
0
für T=0K:
n
=
EF
∫
0
∞
EF
 2m 
D ( E ) ⋅1dE + ∫ D ( E ) ⋅ 0dE
= ∫ 2 
 
0 
EF
3/2
1
2π 2
EdE
3/2
1 3/2
 2m 
EF
⇒n=
 2 
2
   3π
2/3
2
⇔ EF = ( 3π 2 n )
2m
6
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4. Ladungstransport in Festkörpern
Energie von freien Elektronen:
Geschwindigkeit:
effektive Masse:
2k 2
E (k ) =
2m

vGr = k
m
2
m* = 2
d E (k )
dk 2
5. Elektrische Eigenschaften der Metalle
Elektr. Leitfähigkeit:
Streuwahrscheinlichkeit:
freie Weglänge d. Elektr.:
Spezifischer Widerstand:
Mattiessen’sche Regel:
−en∆px e 2τ
n
=
m* Ex
m*
1 1 1
=
+
σ
=
τ
τ ph τ i
n: Teilchendichte
τ: Streuzeit zwischen zwei Stößen
(
3
(
2 EF
: Fermigeschwindigkeit
l = vFτ mit vF =
m0
1
[ρ] =Ωm
ρ=
σ
S
[ σ] =
=
ρ ρ ph + ρi
m
ρ ph ist temperaturabhängig (Je höher T, desto stärker schwingen die Atome)
ρi ist temperaturunabhängig ⇒ ρ ( 0 K=
) ρi und ρ ( 300 K=) ρ ph ( 300 K ) + ρi
Ver-n-fachen der Störstellen: ρi' = n ρi
Thermoelektrische Effekte
Seebeck-Effekt: Hat man bei einem Leiter an beiden Enden eine unterschiedliche
Temperatur, stellt sich aufgrund unterschiedlicher effektiver Geschwindigkeiten und
unterschiedlichen Trägerdichten n der Elektronen ein Diffusionsstrom j ein. Dieser
Strom hat ein elektrisches Feld E zwischen den Enden des Leiters zur Folge:
dT
e d
Ex = S
mit dem Seebeckkoeffizient S = −
( D n)
µV
dx
σ dT n
[S] =
K
⇒ ∆U = S ⋅ ∆T
Peltier-Effekt: Ein eingeprägter Strom wird benutzt, um thermische Energie/Wärme
zu transportieren.
Wärmestromdichte:
W =Π ⋅ j =S ⋅ T ⋅ j mit Peltierkonstante Π =ST
  T 2 
Supraleitung: kritische Feldstärke: =
H C (T ) H C ,0 K 1 −    mit TC : kritische T.
  TC  


 kritischer Strom: I C = 2π ⋅ r ⋅ H C
r: Radius des Leiters
7
)
Streuung an Fremdatomen (Verunreinigung)  T 2
−3
Streuung durch Gitterschwingungen (Phononen)  T 2
6.2.2008
)
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6. Halbleiter
Fermienergie bei n-Dotierung
Fermienergie im intrinsischen(undotierten) Fall
Fermienergie bei p-Dotierung
Leitungsband
Besetzungswahrscheinlichkeit für Elektr.
Valenzband
Besetzungswahrscheinlichkeit für Löcher:
f(E,T) (Fermiverteilung siehe 3.4)
1-f(E,T)
Elektronendichte:
Löcherdichte:
∞
∫ D ( E ) ⋅ f ( E , T ) dE
=
n
=
p
L
( 2m )
* 3/ 2
n
=
DV ( E )
 m* k T 
N = 2M L  n B 2 
 2π  
3/ 2
*
L
( ML
( 2m )
* 3/ 2
p
EV − E
2π 2 3
Äquivalente Zustandsdichte:
E − EL
2π 2 3
Äquivalente Zustandsdichte:
−
V
Zustandsdichte:
Zustandsdichte:
⇒ n = N L* ⋅ e
∫ D ( E ) ⋅ 1 − f ( E, T ) dE
−∞
EL
=
DL ( E ) M L
EV
 m*p k BT 
*
NV = 2 
2 
 2π  
ist meist 1)
EL − EF
k BT
⇒ p = N ⋅e
*
V
(mit Boltzmannnäherung)
Intrinsische Elektronen-/Löcherdichte:
n=
p=
i
i
Zusammenhang der Teilchendichten:
n⋅ p =
n
Fermienergie:
Thermodynamisches Gleichgewicht:
−
3/2
EF − EV
k BT
(mit Boltzmannnäherung)
*
L
*
V
−
N N e
Eg
2 k BT
2
i
EV + EL k BT  NV* 
ln  * 
=
EF
+
2
2
 NL 
−
+
n + N A =p + N D
N A− : Anzahl der Akzeptoren (=0 bei n-dot); N A− = N A
+
D
+
D
N : Anzahl der Donatoren (=0 bei p-dot); N = N D
p]
[ n=] [ =
 N −A=
  N d+=

8
vollständige
Ionisation
cm −3
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Ladungsträgereigenschaften
Gesamtstromdichte:
Leitfähigkeit:



j =−n ⋅ e ⋅ v n + p ⋅ e ⋅ v p


j = σ⋅E
σ = e ⋅ p ⋅µ p + e ⋅ n ⋅µ n
eτ
m*


v = ±µ ⋅ E

v : Driftgeschwindigkeit
τ : Streuzeit zwischen zwei Stößen
cm 2
Vs
[µ ] =
Ladungsträgerbeweglichkeit: µ =
(negatives VZElektronen,
positives VZ LöcherLöcher)
7. Dielektrische Eigenschaften von Festkörpern
Permittivität
Dielektrische Verschiebung:




 
D =ε E =ε 0ε r E =ε 0 (1 + χ ) E =ε 0 E + P
Frequenzabhängige Permittivität:
εr =
ε '− jε '' =ε r e − jδ
ε −ε
ε=' ε ∞ + stat 2 ∞2
ε=
ε=
(ω 0 )
1+ ω τ
stat
Für 0 < ω < 2π ⋅1010 Hz
ε −ε
ε ∞ = ε (ω ≈ 2π ⋅1010 Hz )
ε ''(ω ) = stat 2 ∞2 ωτ
1+ ω τ
ε ''
ωτ
Verlustfaktor:
tan=
δ =
ε
2
ε ' 1+
∞
1 + (ωτ )
ε stat − ε ∞
Restleitfähigkeit des Dielektrikums: σ Rest = ε ''⋅ ε 0 ⋅ ω
f g : tan δ f = f maximal
ε stat
1
1
⋅
=
τ=
Relaxationszeit:
f r : ε '' f = f maximal
ε ∞ 2π f g 2π f r
Komplexe relative Permittivität:
(
)
g
g
- Im technisch relevanten
Bereich (f<100GHz) nur Ausfall
der Orientierungspolarisation
- Wenn Polarisationsart nicht
vorhanden, dann ε‘ im
zugehörigen Bereich konstant
und ε‘‘ =0
9
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N: Atomdichte
α: Polarisierbarkeit des Atoms

Ea : außen anliegendes Feld
Polarisation
Polarisation:
Claudius-Mosotti-Gleichung



P = N ⋅ p = N ε 0α Ea
α N ε r −1
αN
=
⇔ ε r =+
1
αN
3
εr + 2
1−
3
Lorentz-Feld
(kann oft vernachlässigt werden)
Elektronische Polarisation
Elektronenhülle verschiebt sich auf Grund eines anliegenden elektrischen Feldes
 induziertes Dipolmoment
tritt immer auf
As
[P] = 2
m
Polarisierbarkeit:
α = 4π R 3
[α ] = m3
Ionische Polarisation
Positive und negative Ionen werden durch ein äußeres elektrisches Feld gegeneinander
verschoben -> Dipolmoment: p =∆r ⋅ q
∆r : zusätzlicher Abstand der Ionen
∆r berechnen:
∂U
mit Potential U
Fr =
∂r
Fr (r0 ) = 0
Fr (r0 + ∆r ) =− Fel
Taylorreihe von Fr
⇔
Fr ( r0 ) +
∂Fr
∂r
⋅ ∆r =− qE ⇔ ∆r =−
r = r0
qE
∂Fr
∂r r = r0
Orientierungspolarisation
Permanente Dipole richten sich im äußeren elektrischen Feld (teilweise) aus
θ: Winkel zwischen p und
anliegendem Feld E
r0 : Abstand zweier Ionen
q: Ladung der Ionen
Polarisation:
P = N ⋅ p ⋅ cos θ
Dipolmoment:
p= r0 ⋅ q
Langevin-Funktion:
cos
=
θ L=
(ν ) cothν −
1
mit ν =
E⋅ p
k BT
ν
1
für große ν: cothν → 1 ⇒ L (ν ) =
1 ν
ν
für kleine ν: cothν ≈ + ( +...) ⇒ L (ν ) =
ν 3
3
10
6.2.2008
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8. Magnetische Eigenschaften von Festkörpern



B = µH = µ r µ 0 H
Magentische Flussdichte:

 
 
B =µ 0 H + J =µ 0 (H + M)
1 J M
Magentische Suszeptibilität: χ m =µ r − 1 =
=
µ0 H H
Erscheinungsformen des Magnetismus:

B : magn. Flussdichte/Induktion

: magnetische Feldstärke
H

M : Magnetisierung

J : magnetische Polarisation
µ r : relative Permeabilität
Vs
µ 0 = 4π ⋅10−7
Am
µ r < 1 und χ m < 0 : Diamagnetismus
µ r > 1 und χ m > 0 : Paramagnetismus
µ r >> 1 und χ m >> 1 : Ferromagnetismus
8.1 Elementare Magnetische Dipolmomente
Mechanischer Drehimpuls:
Magnetisches Moment:
Gyromagnetisches Verhältnis:
 


L=
r × m0 v =
m0 r 2ω


ω
e 
m = −e ⋅ πr 2 = −
⋅L
2π
2m 0

B

=


=

H
 

Vs
=

T
2
 J  m=

A
=

M
  m
r : Radius
m 0 : Masse des Elektron
ω : Kreisfrequenz
S, L, J: siehe Punkt 1.2
 kg ⋅ m 2
[L] = VAs 2
J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)=
g= 1+
s

2J(J + 1)
[m] = Am 2
Beträge einsetzen für L,J, S
8.2 Diamagnetismus
Der Diamagnetismus tritt immer auf, wird aber vom Para- und Ferromagnetismus
überlagert und ist temperaturunabhängig.


M
m
N
m
Diamagnetische Suszeptibilität:
χdia =  = N  = −
⋅ Z* ⋅ e 2 ⋅ r 2 ⋅µ 0
6m 0
H
H
N: Atomdichte
r 2 : Erwartungswert des effektiven Bahnradius
Z* : effektive Kernladungszahl (Anzahl der Elektronen auf
der äußeren Schale abzüglich den Leitungselektronen)
11
6.2.2008
David Lenz, Sebastian Bachmann, Annemarie Turnwald
8.3 Paramagnetismus
Tritt auf bei Molekülen bzw. Atomen mit magnetischem Dipolmoment, d.h. wenn die
Elektronenschalen nicht abgeschlossen sind und ist temperaturabhängig.
Paramagnetische Magnetisierung:
Paramagnetische Suszeptibilität:
Magnetisches Dipolmoment:
Betrag des Dipolmoments:
Ng 2 J(J + 1)µ 2Bµ 0 H
3k BT
C
χ mpara =
T
Nµ 0 g 2 J(J + 1)µ B2
mit
C=
3k B
M z = −g ⋅µ B ⋅ J

| M =| g ⋅ J(J + 1) ⋅µ B
M para =
µ=
9, 27 ⋅10−24 Am 2
B
Bohr’sche Magneton
Effektive Magnetonenzahl
8.4 Leitungselektronen
Paramagnetische Suszeptibilität:
Diamagnetische Suszeptibilität:
Fermienergie:
=
E F k=
B TF
µ µ2
3
⋅n⋅ 0 B
2
k BTF
1 m
=− χ para
3
χ mpara =
m
χdia
m
χ m = χ mpara + χdia
=
nµ 2B
µ0
k BT F
2
2
(3π2 n) 3
2m e
8.5 Ferromagnetismus
Ferromagnetismus tritt nur bis zur Curie-Temperatur auf. Danach Paramagnetismus!
C
Curie-Weiss-Gesetz:
( Θ = paramagnetische Curie-Temperatur)
χm =
T−Θ
Hystereseverluste:
BS : Sättigung
BR : Remanente Flussdichte
(Restmagnetisierung auch wenn
kein äußeres H-Feld mehr anliegt)
H C : koerzitive Feldstärke
(benötigt um Magnetisierung zu
beseitigen)
Verlustdichte: wV = ∫ BdH
12
6.2.2008
David Lenz, Sebastian Bachmann, Annemarie Turnwald
Wichtige Konstanten:
Avogadrokonstante N A
Boltzmannkonstante k B
Bohr‘sches Magneton µ B
Elektrische Feldkonst. ε 0
Elektron Ruhemasse me
Elementarladung e
Gaskonstante R
Magnetische Feldkonst. µ0
Normaldruck p0
6, 022 ⋅1023 mol −1
1,3807 ⋅10−23 J
K
9, 27 ⋅10−24 Am 2
8,8542 ⋅10−12 C
Normaltemp. T0
Planckkonst. h

300K
6, 6261 ⋅10−34 Js
1, 05457 ⋅10−34 Js
Vm
9,1094 ⋅10−31 kg
1, 6022 ⋅10−19 C
8,3145 J
K ⋅ mol
−7 Vs
4π ⋅10
Am
1013 mbar
13
6.2.2008
David Lenz, Sebastian Bachmann, Annemarie Turnwald
14
6.2.2008