Prof. Dr. B. Hanke Einführung in die Topologie Blatt 5 Übung 1 Man zeige, dass kompakte Hausdorffräume und metrisierbare Räume normal sind. Ist jeder normale Raum Hausdorffsch? Übung 2 Es sei Z ein topologischer Raum. Ein Unterrraum Y ⊂ Z heißt Retrakt von Z, falls es eine stetige Funktion f : Z → Y gibt mit f |Y = idY . a) Zeigen Sie: Ist Z Hausdorffsch und Y ein Retrakt von Z, dann ist Y ⊂ Z eine abgeschlossene Teilmenge. b) Seien p, q ∈ R2 verschiedene Punkte. Zeigen Sie, dass {p, q} kein Retrakt von R2 ist. c) Zeigen Sie, dass die verknotete x-Achse“ (siehe Bild) ein Retrakt von R3 ist. Hinweis: Tietze. ” Übung 3 Es sei X ein normaler Hausdorffraum und J die Menge aller stetiger Funktionen f : X → [0, 1]. Zeigen Sie: Die Abbildung F : X→ Y [0, 1], x 7→ (f (x))f ∈J f ∈J ist eine Einbettung (d. h. ein Homöomorphismus aufs Bild F (X)). Wenn X kompakt ist, dann ist das Bild von F abgeschlossen. Hinweis: Der Beweis geht analog zum Beweis des Metrisierbarkeitssatzes. Übung 4 Man beweise folgende Variante des Satzes von Banach-Alaoglu: Es sei (V, k · k)) ein reeller normierter Vektorraum. Wir nehmen zusätzlich an, dass V separabel ist, d.h. es existiere eine abzählbare dichte Teilmenge C ⊂ V . (Dicht bedeutet, dass C = V ). Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel B ⊂ (V ∗ , k · k) folgenkompakt in der schwach-∗-Topologie. (Zur Erinnerung: In allgemeinen topologischen Räumen impliziert kompakt nicht folgenkompakt, vgl. Blatt 4). Q Anleitung: Man betrachte das abzählbare Produkt c∈C [−kck, kck] mit der Produkttopologie. Dieses ist nach Aufgabe 1 auf Blatt 4 metrisierbar und kompakt, somit folgenkompakt. Man beweise nun, dass jede Folge (fn )n∈N in B eine Teilfolge (fnk )k∈N besitzt, so dass für alle c ∈ C die Folge (fnk (c))k∈N in R konvergiert. Daraus folgere man die Behauptung der Aufgabe. Abgabe spätestens Montag, den 19. Mai, um 10 Uhr im Übungskasten.