Kapitel 3 – Schließende Statistik - Fakultät Statistik (TU Dortmund)
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TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.24: (Fortsetzung Bsp. 3.22) bekannt: 65 X Xi = 26, also p̂ = X̄ = i=1 26 = 0, 4 65 Überprüfen der Voraussetzungen: (1) n = 65 ≥ 30 X (2) n p̂ = 26 ≥ 10 X (3) n (1 − p̂) = 39 ≥ 10 X Dr. Karsten Webel 194 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.24: (Fortsetzung) weiter: p p σ̂ = 0, 4 (1 − 0, 4) = 0, 24 = 0, 49 1 − α = 0, 9 ⇒ u1− α2 = u0,95 = 1, 645 Daraus folgt: · ¸ 0, 49 0, 49 KI0,9(p) = 0, 4 − 1, 645 √ ; 0, 4 + 1, 645 √ 65 65 = [0, 4 − 0, 1; 0, 4 + 0, 1] = [0, 3; 0, 5] Dr. Karsten Webel 195 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Bemerkung 3.25: Die hier betrachteten Konfidenzintervalle für unbekannte Erwartungswerte sind umso schmaler, • je größer der Stichprobenumfang n ist, • je kleiner die (geschätzte) Standardabweichung σ (bzw. σ̂) ist, • je kleiner das Konfidenzniveau 1 − α bzw. je größer die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist. Dr. Karsten Webel 196 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.26: (Fortsetzung Bsp. 3.17 & 3.24) a) Wieviele Studierende müssen befragt werden, damit das 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit nicht breiter ist als vier Minuten? b) Wieviele mittelständische Unternehmen müssen befragt werden, damit das 90%-Konfidenzintervall für den Anteil der Betriebe, die bei Lockerung des Kündigungsschutzes zusätzliche Mitarbeiter einstellen wollen, nicht breiter als zehn Prozentpunkte ist? Dr. Karsten Webel 197 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.26: (Fortsetzung) zu a) bisher: L = Vo − Vu = 14, 7 − 9, 8 = 4, 9 = 4 Minuten & 54 Sekunden jetzt: ! L≤4 Dr. Karsten Webel 198 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.26: (Fortsetzung) dazu: L = Vo − Vu = X̄ + u1− α2 = 2u 1− α 2 also: ! L≤4 ⇔ n≥ µ µ ¶ σ σ √ − X̄ − u1− α2 √ n n σ √ n 2 u1− α2 σ 4 ¶2 = µ 2 · 1, 645 · 5 4 ¶ = 24, 01 Es müssen mindestens 25 Studierende befragt werden. Dr. Karsten Webel 199 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik zu b) bisher: L = Vo − Vu = 0, 5 − 0, 3 = 0, 2 = 20 Prozentpunkte jetzt: ! L ≤ 0, 1 Dr. Karsten Webel 200 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik dazu: L = Vo − Vu = p̂ + u1− α2 µ ¶ σ̂ σ̂ α √ − p̂ − u1− 2 √ n n σ̂ = 2 u1− α2 √ n Problem: L hängt nun auch über σ̂ von n ab Dr. Karsten Webel 201 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik p Lösung: Abschätzung durch σ̂ = p̂ (1 − p̂) ≤ 1/2 ^ σ 0.5 0.25 0 0 0.25 0.5 0.75 1 ^ p Dr. Karsten Webel 202 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Damit folgt: L = 2 u1− α2 σ̂ 1/2 u1− α2 √ ≤ 2 u1− α2 √ = √ . n n n Also: ! L ≤ 0, 1 ⇔ n≥ µ u1− α2 0, 1 ¶2 = µ 1, 645 0, 1 ¶2 = 270, 6025. Es müssen mindestens 271 mittelständische Unternehmen befragt werden. Dr. Karsten Webel 203 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Motivation: • bisher: Punkt- und Intervallschätzungen für unbekannte Parameter einer Verteilungsfunktion, dabei keine Verwendung von Vorinformationen • jetzt: Vorinformationen, Vermutungen über einzelne Parameter einer Verteilungsfunktion oder über sonstige Eigenschaften einer Zufallsvariablen sind bekannt ( Nullhypothese“) ” Dr. Karsten Webel 204 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.27: (Fortsetzung Bsp. 3.15) Das Zentrum für Studienangelegenheiten an der TU Dortmund behauptet, dass die mittlere Wartezeit von Besuchern nicht mehr als zehn Minuten beträgt. Eine Befragung von 16 zufällig ausgewählten Besuchern ergab folgende Wartezeiten (in Minuten): 12, 20, 5, 15, 8, 1, 30, 25, 10, 4, 17, 11, 20, 10, 6, 2. Nehmen Sie an, dass diese Wartezeiten Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen mit bekannter Standardabweichung σ = 5 sind. Wie ist die Behauptung des Zentrums für Studienangelegenheiten zu bewerten? Dr. Karsten Webel 205 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.27: (Fortsetzung) Situation: uiv X1, X2, . . . , X16 ∼ N (µ, 25). Testproblem: H0 : µ ≤ 10 gegen Dr. Karsten Webel H1 : µ > 10. 206 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.28: Ein skeptischer Mensagänger möchte an einem bestimmten Tag die Nullhypothese Mindestens die Hälfte aller Suppen ist versalzen.“ überprüfen. Er will diese ” Nullhypothese verwerfen, wenn von fünf zufällig ausgewählten Suppen keine einzige versalzen ist. Wie ist diese Testprozedur zu beurteilen? Dr. Karsten Webel 207 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.28: (Fortsetzung) Situation: uiv X1, X2, . . . , X5 ∼ Bin (1, p) mit Xi = Testproblem: H0 : p ≥ 0, 5 gegen 1, i-te Suppe ist versalzen . 0, sonst H1 : p < 0, 5. Testentscheidung: Lehne H0 ab, wenn T = 5 X Xi = 0 gilt. i=1 Dr. Karsten Webel 208 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik mögliche Konsequenzen einer Testentscheidung Testentscheidung Realität Dr. Karsten Webel Lehne H0 nicht ab Lehne H0 ab H0 wahr X Fehler 1. Art H0 falsch Fehler 2. Art X 209 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.29: (Fortsetzung Bsp. 3.28) a) zur Erinnerung: P (Fehler 1. Art) = 3, 125% b) allerdings: p ∈ H1 P (Fehler 2. Art) Dr. Karsten Webel 0,49 0,45 0,35 0,25, 0,05 96,550% 94,967% 88,397% 76,270% 22,622% 210 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Beispiel 3.29: Gütefunktion (Fortsetzung) P (H0 ablehnen) 1 0.75 0.5 0.25 0 0 H1 0.5 H0 1 p Dr. Karsten Webel 211 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Definition 3.30: Gütefunktion Es sei θ ∈ Θ = Θ0 ∪ Θ1 mit Θ0 ∩ Θ1 = ∅. Gegeben sei weiter ein beliebiger Test für das Testproblem H0 : θ ∈ Θ0 gegen H1 : θ ∈ Θ1. Dann heißt die Funktion g(θ) = P (H0 ablehnen | θ) Gütefunktion des Tests. Dr. Karsten Webel 212 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Interpretation • Gütefunktion = P (Fehler 1. Art) auf H0 • Gütefunktion = 1 − P (Fehler 2. Art) auf H1 Quadratur des Kreises • Minimiere gleichzeitig beide Fehlerwahrscheinlichkeiten! Praxis • Gebe maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art vor ( Signifikanzni” veau“) und minimiere die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art Dr. Karsten Webel 213 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Bemerkung 3.31: Jeder statistische Signifikanztest kann nach folgendem Standardschema durchgeführt werden: 1. Aufstellen des Testproblems, Festlegung des Signifikanzniveaus α 2. Bestimmung einer geeigneten Prüfgröße sowie deren Verteilung unter H0 3. Festlegung des kritischen Bereichs (Verwerfungs- oder Ablehnbereichs) 4. Berechnung der Realisation der Prüfgröße anhand der gezogenen Stichprobe 5. Ablehnen von H0, wenn sich die Realisation der Prüfgröße im kritischen Bereich befindet Dr. Karsten Webel 214 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Satz 3.32: Gauß-Test uiv Es seien X1, X2, . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2) mit bekannter Varianz σ 2 > 0. Zu Überprüfen sei eines der folgenden Testprobleme: Dr. Karsten Webel H0 gegen H1 (1) µ ≤ µ0 gegen µ > µ0 (2) µ = µ0 gegen µ 6= µ0 (3) µ ≥ µ0 gegen µ < µ0 215 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 3 – Schließende Statistik Satz 3.32: Gauß-Test (Fortsetzung) Die Nullhypothese wird zum Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße √ X̄ − µ0 T = n σ ³ H ´ 0 T ∼ N (0, 1) in folgendem kritischen Bereich liegt: (1) (u1−α, ∞) (2) (−∞, −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 , ∞) (3) (−∞, −u1−α) Dabei ist uγ das γ-Quantil der Standardnormalverteilung. Dr. Karsten Webel 216
