Mathematik für Informatiker III

Teillösung zum 6. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker III
(Autor: Mathias)
1. Inverse Matrix I
Sei A eine n × n–Matrix derart, dass Ak = 0 für ein k ≥ 0. Zeigen Sie, dass dann E − A
invertierbar ist und geben Sie die Inverse an.
Lösung: Es gilt:
(E − A)
−1
=
k−1
X
Ai = E + A + A2 + . . . + Ak−1
i=0
denn durch Ausmultiplizieren ergibt sich:
(E − A) · (E + A + A2 + . . . + Ak−1 )
=E · (E + A + A2 + . . . + Ak−1 ) − A · (E + A + A2 + . . . + Ak−1 )
=E + A + A2 + . . . + Ak−1 − A · E − A · A − A · A2 − . . . − A · Ak−1
=E + A + A2 + . . . + Ak−1 − A − A2 − . . . − Ak−1 − Ak
=E − Ak
=E − 0
=E
2. Rang von Matrixpotenzen
Es Sei A ∈ M (n × n, R) eine quadratische Matrix und Ai das i-fache Matrixprodukt
von A.
(a) Beweisen Sie, dass die Folge rg(A1 ), rg(A2 ), rg(A3 ), . . . eine (schwach) monoton
fallende Folge ist.
Lösung: Dazu überlegt man sich zuerst, als was man den Rang einer Matrix auch
verstehen kann. Es ist rg(A) = dim Im f wenn f : K n → K n die zu A korrespondierende lineare Abbildung ist. Matrixmultiplikation ist in diesem Sinne das
Hintereinanderausführen von linearen Abbildungen. Damit ist das i-fache Matrixprodukt Ai die Matrix, die zu dem i-fachen Hintereinanderausführen der Abbildung
f korrespondiert, also:
Ai ←→ g(~v ) = f ◦ f ◦ . . . ◦ f (~v ) mit rg(Ai ) = dim Im g
|
{z
}
i-mal
Das heißt:
Ai+1 ←→ f ◦ g(~v ) = f ◦ f ◦ f ◦ . . . ◦ f (~v ) mit rg(Ai+1 ) = dim Im (f ◦ g)
|
{z
}
i+1-mal
Weil sich aber durch das Ausführen einer Abbildung die Dimension des Bildes nicht
erhöhen kann, sondern höchstens gleich bleibt, gilt
dim Im (f ◦ g) ≤ dim Im g
rg(Ai ) ≤ rg(Ai+1 )
⇔
(b) Zeigen Sie, dass diese Folge konstant ist, wenn A eine Matrix in oberer Dreiecksform
ist.
Lösung: Wir betrachten eine Matrixmultiplikation von zwei Matrizen in oberer
Dreiecksform mit demselben Rang m:


∗ ··· ∗
∗ ··· ∗
a11 ∗
∗ ···
∗
b11 ∗
∗ ···
∗


.
.. . .
.
.
.
..
. . ..   0 b
 0 a
. ..
∗ ···
∗
∗ ···
∗
.
22
22




.. . .
.. . .
.. 
.
..
..
..
..
 0
 0
.
. ..
.
.
.
.
.
0
a
0 b33
.
.


33
 .
.. . .
.. . .
. 
.
..
..
..
..
..
..
 .
 .
. .. 
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
∗
∗
 .
· ..


0 ···
0 amm ∗ · · · ∗   0
0 · · · 0 bmm ∗ · · · ∗
 0


 0 ··· ··· ···
0
0 ··· 0   0 ··· ··· ···
0
0 ··· 0


.. . .
..   ..
. ..
.
 ..
..
..
..
..
..
..
..
..
 .
.
.
.
. .  .
.
. ..
.
.
. .
. ..
0 ··· ··· ···
0
0 ··· 0
0 ··· ··· ···
0
0 ··· 0









=







a11 b11
∗
∗
···
∗
0
a22 b22
∗
0
..
.
0
..
.
a33 b33
..
.
∗
..
.
0
0
..
.
0
···
..
.
···
···
..
.
···
..
.
..
.
0
···
..
.
0
···
···
···
∗
amm bmm
0
..
.
∗ ···
.. . .
.
.
.. . .
.
.
.. . .
.
.
∗ ···
0 ···
.. . .
.
.
∗
..
.
..
.
..
.
0
0 ···
0
∗
0
..
.

















Das heißt also, die Multiplikation von zwei Matrizen in oberer Dreiecksform desselben Rangs erzeugt wieder eine Matrix in oberer Dreiecksform mit diesem Rang.
Wenn also A eine Matrix in oberer Dreiecksform mit rg(A) = m ist, dann ist
nach einem Induktions-Argument auch Ai eine Matrix in oberer Dreiecksform,
und wichtiger: Es gilt rg(Ai ) = m für alle i und die Folge ist konstant.
3. Nochmal Rang
Sei A · x = b ein lineares Gleichungssystem, A ∈ M (n × n, R), dass zwei linear unabhängige Lösungen hat. Ist dann:
(a) rg(A) ≤ n − 1 und rg(A) = n − 1 kann vorkommen oder
(b) rg(A) ≤ n − 2 und rg(A) = n − 2 kann vorkommen?
Begründung!
Lösung: Der Fall rg(A) = n hat zur Folge, dass das LGS eine eindeutige Lösung hat,
und so kann dieser Fall nicht eintreten. Ansonsten hat die Lösungsmenge des LGS die
Gestalt ~z + U wobei dim U = n − rg(A). Schon ein eindimensionaler Unterraum U hat

















allerdings zur Folge, dass sich in der Menge (~z + U ) zwei linear unabhängige Vektoren
befinden (solange ~z 6∈ U was nur im Fall eines homogenen Gleichungssystems auftritt).
Aus dim U = 1 folgt rg(A) = n − 1, womit dieser Fall eintreten kann, und weshalb in
(a) alle möglichen Fälle bereits beschrieben sind, während in (b) aber genau der Fall
rg(A) = n − 1 außer Acht gelassen wird. (a) ist die richtige Antwort.
4. Determinante
Berechnen Sie die Determinante der Matrix A ∈ M (n × n, K), die nur Nullen als
Einträge hat bis auf aij = 1 mit i + j = n + 1. Das heißt, auf der Nebendiagonalen
stehen Einsen.
Lösung: Mit der Bedingung
(
1, falls i + j = n + 1
aij =
0, sonst
hat die Matrix A ∈ M (n × n, R) die Gestalt:
0 ···
 ..
 . ...
A=

 0 1
1 0

0
.
..
.
..
···
1

0
..
.





0
Es fällt sofort auf, dass die Matrix A der Einheitsmatrix (deren Determinante bekannt
ist: det En = 1) ähnlich ist, genauer sich durch eine gewisse Anzahl von Spalten/Zeilenvertauschungen in die Einheitsmatrix verwandeln lässt. Bekanntermaßen kippt
eine solche Vertauschung das Vorzeichen der Determinante der Matrix:
det A0 = (−1) · det A. Wieviele Zeilenvertauschungen sind allgemein dafür nötig?
Für ein gerades n kann aus der Matrix A die Einheitsmatrix entstehen, wenn nacheinander die erste mit der n-ten, die zweite mit der (n − 1)-ten usw. Zeile vertauscht
wird. Insgesamt müssen die ersten n2 Zeilen mit ihrem jeweiligen Gegenstück vertauscht
werden, es sind also für ein gerades n genau n2 Zeilenvertauschungen nötig.
Für ein ungerades n fällt auf, dass die mittlere, d n2 e-te Zeile bereits mit der entsprechenden Zeile der Einheitsmatrix identisch ist, die restlichen Zeilenvertauschungen aber
äquivalent zu denen einer Matrix mit geradem n verlaufen können, d.h. die Anzahl der
Vertauschungen entspricht hier n−1
2 . Verallgemeinert für gerade und ungerade n heißt
das: es sind für die Umwandlung b n2 c Zeilenvertauschungen nötig. Für die Determinante
heißt das:
n
n
det A = (−1) · det A(1) = (−1)2 · det A(2) = . . . = (−1)b 2 c · det A(b 2 c)
n
n
= (−1)b 2 c · det En = (−1)b 2 c
wobei mit A(i) die Matrix gemeint ist, die aus den entsprechenden i Zeilenvertauschungen entsteht.
5. Volumen Wurde korrigiert
Bestimmen Sie im R3 das Volumen der durch die 4 Punkte aufgespannten Pyramide
(heißt konvexe Hülle):


0
P1 =  2 
−1


1
P2 =  1 
−1


−2
P3 =  0 
0


0
P4 =  1 
2
Tipp: Verschieben Sie geschickt die Punktmenge!
6. Lineare Gleichungssysteme II Wurde korrigiert
(a) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mittels der Cramerschen Regel:
3x1 +2x2 +4x3 =
4
2x1 −2x2 +3x3 =
2
−x1 +3x2 −2x3 = −1
(b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen LGS (A|b), indem Sie mittels der komplementären Matrix die zu A inverse Matrix berechnen und diese Umkehrabbildung
auf b anwenden.