4. ¨Ubung (KW 22/23)

Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
4. Übung (KW 22/23)
4. Übung (KW 22/23)
Aufgabe 1
(E 1.3 Generator“)
”
Bei einem Generator wird die Drehzahl so erhöht, dass die Stromstärke in der Zeit t1
von Null auf I1 nach der Funktion I(t) = kt2 anwächst (k ist eine Konstante). Wie
viele Elektronen (Anzahl N ) passieren in dieser Zeit den angeschlossenen Außenwiderstand (d. h. wie viele Elektronen werden vom Generator an einen Verbraucher
abgegeben)?
I1 = 6.0 A, t1 = 8.0 s
Aufgabe 2
( Gleichheit der Elementarladung“)
”
Wenn sich die Ladungen des Elektrons und des Protons im Betrag um 10−9 unterschieden, wenn also |qe | = (1 ± 10−9 ) |qp | gälte, wie groß wäre dann die elektrische
Ladung von 1 m3 Sauerstoffgas O2 bei Normaldruck und einer Temperatur von 0 ◦C ?
Hinweis: Sauerstoff hat die Ordnungszahl 8, jedes Sauerstoffatom hat also 8 Protonen und 8 Elektronen.
Aufgabe 3
( Elektronengeschwindigkeit beim Stromfluss“)
”
Metallisches Natrium hat eine Atommasse von 23 u und eine Dichte von 0.97 g cm−3 .
Pro Atom trägt ein Elektron zur elektrischen Leitung bei. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen im Natrium-Metall, wenn die Stromdichte j =
103 A cm−2 beträgt?
Avogadro-Zahl: NA = 6.02 × 1023 mol−1
Aufgabe 4
( Millikan-Experiment“)
”
1910 konnte R. A. Millikan erstmals nachweisen, dass elektrische Ladung stets quantisiert auftritt, und es gelang ihm, die Elementarladung des Elektrons zu bestimmen.
Das Millikan-Experiment besteht aus
zwei horizontalen parallelen Metallplatten, die elektrisch aufgeladen werden
können. In der oberen Platte befindet
sich eine kleine Öffnung, durch die feine Öltröpfchen (Radius r, Dichte ρ =
1030 kg m−3 ) eingestäubt werden, wobei
sich einige Tröpfchen negativ aufladen
(Ladung q).
Die Bewegung der Tröpfchen zwischen den Metallplatten kann durch ein Mikroskop
verfolgt werden, insbesondere kann ihre Geschwindigkeit senkrecht zu den Metallplatten bestimmt werden.
Jens Patommel <[email protected]>
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4. Übung (KW 22/23)
(a) Stellen Sie für den Fall, dass die Metallplatten nicht aufgeladen sind, das Kräftegleichgewicht auf!
Hinweis: Auf die Tröpfchen wirken in diesem Fall neben der Gewichtskraft eine nach oben wirkende Auftriebskraft FA = VTr ρL g sowie eine der Bewegung
der Tröpfchen entgegen wirkende Reibungskraft FR = 6 π η r v1 , wobei η =
1.8 × 10−5 N s m−2 die Viskosität der Luft ist (Dichte der Luft ρL = 1.2 kg m−3 ).
(b) Berechnen Sie mit Hilfe der Beziehung aus (a), aus der Geschwindigkeit v1 und
anderen bekannten Größen den Radius r der Öltröpfchen!
(c) Die beiden Metallplatten werden nun aufgeladen. Auf die Öltröpfchen wirkt
dadurch eine zusätzliche, nach oben gerichtete Kraft FE = qE, wobei E =
50 kV m−1 als konstant angenommen werden kann. Stellen Sie erneut das Kräftegleichgewicht auf und berechnen Sie die neue Geschwindigkeit v2 der Öltröpfchen!
(d) Leiten Sie eine Beziehung für die Ladung der einzelnen Öltröpfchen her!
(e) Im Experiment werden folgende Geschwindigkeiten v1 und v2 für verschiedene Tröpfchen beobachtet (das negative Vorzeichen bei v1 deutet an, dass die
Tröpfchen nach unten sinken.)
Öltröpfchen
1
2
3
4
5
6
v1 /µm s−1
−15.32
−7.06
−17.66
−17.94
−27.80
−13.84
v2 /µm s−1
187.75
96.95
168.35
174.07
265.21
133.31
Schätzen Sie hieraus die Radien der Tröpfchen und ihre jeweilige Ladung ab.
Schätzen Sie zudem die Größe der Elementarladung ab!
Jens Patommel <[email protected]>
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4. Übung (KW 22/23)
Lösung zu Aufgabe 1
Die elektrische Stromstärke I(t) durch einen Leiterquerschnitt ist die Zeitableitung
der Ladungsmenge Q(t), die durch den Querschnitt fließt:
dQ(t)
= Q̇(t) .
dt
In der Zeit zwischen t0 und t1 passiert somit folgende Ladungsmenge den Leiterquerschnitt:
t
Zt1
Zt1
t =0 1
1 3 1
1
2
Q = dt I(t) = dt kt = kt = k t31 − t30 0= kt31 .
(1.1)
3
3
3
t0
I(t) =
t0
t0
Die Konstante k lässt sich berechnen, indem man von der Information Gebrauch
macht, dass die Stromstärke zum Zeitpunkt t1 gerade I1 beträgt:
I1
t21
(1.2)
1 3 (1.2) 1 I1 3 1
kt =
t = I1 t1 .
3 1
3 t21 1 3
(1.3)
I1 = I(t1 ) = kt21
=⇒
k=
Dies wird in die Gleichung (1.1) eingesetzt:
(1.1)
Q =
Diese Ladungsmenge entspricht einer bestimmten Anzahl N an Elektronen. Da jedes
Elektron die Ladung qe = −e trägt, folgt schließlich für die Anzahl der Elektronen,
die im Zeitraum t1 den Querschnitt an einem beliebigen Ort des Stromkreises passieren:
Q (1.3) I1 t1
6.0 A · 8 s
As
N = =
=
= 1 × 1020
= 1020 .
−19
qe
3e
3 × 1.6 × 10 C
As
Dies gilt an jedem beliebigen Ort des Stromkreises, inbsesondere auch am Ausgang“
”
des Generators. Während der acht Sekunden Stromfluss verlassen also circa 1020
Elektronen den Generator.
Lösung zu Aufgabe 2
Wir wollen untersuchen, wie groß die elektrische Ladung von 1 m3 Sauerstoffgas bei
Normaldruck und einer Temperatur von 0 ◦C ist, falls zwischen den Ladungen des
Elektrons und des Protons der Zusammenhang
|qe | = 1 ± 10−9 |qp |
(2.1)
gilt. Das gegebene Sauerstoffvolumen enhält eine bestimme Anzal Ne an Elektronen
und Np an Protonen. Um diese Anzahlen zu bestimmen, wenden wir die Zustandgleichung des idealen Gases auf den gegebenen Zustand (p, V, T ) an und lösen nach
der Stoffmenge ν auf:
pV = νRT
⇐⇒
Jens Patommel <[email protected]>
ν=
pV
.
RT
(2.2)
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4. Übung (KW 22/23)
Aus der Stoffmenge ergibt sich durch Multiplikation mit der Avogadrokonstante die
Anzahl der Sauerstoffmoleküle:
(2.2)
NO2 = νNA =
pV NA
.
RT
(2.3)
Jedes Sauerstoffmolekül besteht aus zwei Sauerstoffatomen, das Volumen enthält
somit
(2.3)
NO = 2NO2 = 2
pV NA
RT
(2.4)
Sauerstoffatome. Sauerstoff hat die Kernladungszahl Z = 8, der Kern des Sauerstoffatoms ist also aus 8 Protonen zusammengesetzt, das Sauerstoffvolumen enthält
daher
(2.4)
pV NA
RT
(2.5)
pV NA
.
RT
(2.6)
Np = 8NO = 16
Protonen und ebenso vielen Elektronen:
(2.5)
Ne = Np = 16
Daraus berechnen wir die Gesamtladung des Sauerstoffvolumens zu
(2.5)
Q = Qp + Qe = Np qp + Ne qe = 16
(2.6)
pV NA
(qp + qe )
RT
pV NA
qp − 1 ± 10−9 qp
RT
pV NA
qp − qp ± 10−9 qp
= 16
RT
pV NA
e
= ±16 × 109
RT
1013 hPa · 1 m3 · 6.022 × 1023 mol−1 · 1.602 × 10−19 C
= ±16 × 109
8.314 J K−1 mol−1 · 273.15 K
16 × 1013 × 6.022 × 1.602
Pa m3 mol−1 C
=±
× 10−9 × 102 × 1023 × 10−19 ·
8.314 × 273.15
J K−1 mol−1 K
−2
3
Nm · m
= ±68.85 × 10−3 ·
·C
Nm
= ±70 mC .
(2.1)
= 16
Die Ladungsmenge des vorliegenden Sauerstoffs betrüge 70 mC und wäre mit einfachen Messgerären sehr leicht feststellbar. Aus der Tatsache, dass die uns umgebende
Materie (im Normalfall) elektrisch neutral ist, lässt sich schließen, dass der relative Ladungsunterschied zwischen Elektronen und Protonen betragsmäßig sehr viel
kleiner sein muss als 10−9 .
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4. Übung (KW 22/23)
Lösung zu Aufgabe 3
Wir wollen von der gegebenen Stromdichte j auf die mittlere Geschwindigkeit v̄
der am Ladungstransport beteiligten Elektronen schließen. Dazu betrachten wir die
Ladungsmenge Q, welche in einer bestimmten Zeit ∆t durch den Leiterquerschnitt
fließt. Wir setzen uns also an eine beliebige Stelle S des Leiters (siehe Abbildung)
und fragen uns, welche Elektronen innerhalb der Zeit ∆t an dieser Stelle vorbei kommen werden. Offensichtlich sind es gerade diejenigen Elektronen, die sich innerhalb
des in der Zeichnung dunkel markierten Bereichs befinden, d. h. diejenigen, deren
Abstand von der Stelle S nicht größer als ∆s = v̄∆t ist und die die Stelle S noch
nicht passiert haben. Dieser dunkle Bereich entspricht einem Zylinder der Länge ∆s,
dessen Grundfläche der Leiterquerschnitt ist.
s = v̄ t
3
v̄
2
1
v̄
A
4
v̄
v̄
V =A s
R
S
Das in der Zeichnung mit 1 gekennzeichnete Elektron liegt außerhalb des dunklen
Bereichs und hat deshalb keine Chance, innerhalb der Zeitspanne ∆t den Leiterquerschnitt bei S zu erreichen. Das Elektron 2 hingegen befindet sich bei R, dem
Anfang des markierten Bereichs, und wird den Querschnitt bei S gerade noch rechtzeitig zum Ende des Zeitintervalls ∆t erreichen. Elektron 3 schafft es locker, vor
Ablauf der Zeitspanne bei S zu sein. Das Elektron 4 ist bereits an S vorbei und wird
aufgrund der nach rechts orientierten Geschwindigkeit S nicht passieren.
Nachdem wir wissen, dass genau diejenigen Elektronen binnen ∆t den Querschnitt
bei S passieren werden, die sich innerhalb des dunkel markierten Zylinders befinden,
können wir die Anzahl dieser Elektronen ermitteln, indem wir das Zylindervolumen
V mit der Elektronendichte ne multiplizieren. Das Volumen des Zylinders beträgt
V = A∆s, so dass für die Anzahl der Elektronen
Ne = ne V = ne A∆s = ne Av̄∆t
(3.1)
gilt. Andererseits kennen wir die Stromdichte j, aus der wir ebenfalls die Anzahl
der Elektronen berechnen können, die innerhalb von ∆t den Leiterquerschnitt bei
S durchlaufen, indem wir die geflossene Ladungsmenge Q durch die Ladung eines
einzelnen Elektrons dividieren:
Q Q I∆t
jA∆t
=
.
(3.2)
Ne = = =
qe
−e
e
e
Jens Patommel <[email protected]>
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4. Übung (KW 22/23)
Die über die mittlere Elektronengeschwindigkeit v̄ und die über die Stromdichte j
ermittelten Elektronenanzahlen Ne müssen natürlich gleich sein, so dass sich aus
(3.1) und (3.2) folgender Zusammenhang zwischen j und v̄ ergibt:
j
.
(3.3)
ne e
Jetzt fehlt noch die Elektronendichte ne . Wir ermitteln diese anhand der Massendichte % und der molaren Masse Mm . Man betrachte ein Stück Natrium vom Volumen
V . Dieses hat eine Masse von
(3.1) ∧ (3.2)
=⇒
ne v̄A∆t = 1e jA∆t
⇐⇒
v̄ =
m = %V ,
was einer Stoffmenge von
m
%V
=
(3.4)
Mm
Mm
entspricht. Daraus lässt sich mittels Avogadro-Konstante sofort die Anzahl an
Natrium-Atomen bestimmen:
(3.4) %V
NA .
(3.5)
NNa = νNA =
Mm
Jedes Natrium-Atom spendiert genau ein Leitungselektron, so dass die Anzahl an
Leitungselektronen im betrachteten Volumen V gerade
(3.5) %V
NA
Ne = NNa =
Mm
beträgt. Die Leitungselektronendichte von Natrium lautet somit
Ne
%NA
ne =
=
.
(3.6)
V
Mm
Diese Gleichung (3.6) in (3.3) eingesetzt ergibt eine mittlere Elektronendriftgeschwindigkeit von
j
jMm
(3.3) j (3.6)
= %NA =
v̄ =
ne e
e%NA
e
Mm
ν=
103 A cm−2 · 23 u
1.602 × 10−19 C · 0.97 g cm−3 · 6.022 × 1023 mol−1
23
103
A cm−2 · u
=
· −19
·
1.602 × 0.97 × 6.022 10
× 1023 C · g cm−3 · mol−1
A·u
= 0.246 ·
C · g cm−1 · mol−1
A · g mol−1
= 0.246 ·
A s · g cm−1 · mol−1
= 0.246 cm s−1 = 2.5 mm s−1 .
=
Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen liegt also bei einigen Millimetern pro Sekunde, was überraschend langsam ist, wenn man bedenkt, dass die ungerichtete
thermische Bewegung der Elektronen im Bereich von 106 m s−1 liegt. Die gerichtete,
zum Stromfluss beitragende Driftgeschwindigkeit der Leitungselektronen ist also um
fast neun Größenordnungen niedriger als die thermische Bewegung!
Jens Patommel <[email protected]>
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4. Übung (KW 22/23)
Lösung zu Aufgabe 4
(a) Auf einen einzelnen Öltropfen wirken die Schwerkraft F~g , die Auftriebskraft F~A
und die Reibungskraft F~R , so dass die von außen resultierende Gesamtkraft
F~ges,1 = F~g + F~A + F~R
= mTr ~g − mL ~g − 6πηr ~v
= −mTr g ~ez + mL g ~ez − 6πηrvz ~ez
= [− (mTr − mL ) g − 6πηrv] ~ez
= [− (%Tr − %L ) VTr g − 6πηrvz ] ~ez
beträgt, wobei ~ez den nach oben orientierten Einheitsvektor bezeichnet. Der Tropfen
hat in guter Näherung Kugelgestalt, sein Volumen lautet also VTr = 43 πr3 . Zusammen
mit der Abkürzung ∆% = %Tr − %L schreiben wir
(4.1)
F~ges,1 = − 34 πr3 g∆% − 6πηrvz ~ez .
Diese Gesamtkraft bewirkt eine Beschleunigung des Öltröpfchens, die laut zweitem
Newtonschen Gesetz durch
mTr~a = F~ges,1
gegeben ist, so dass wir folgende Differentialgleichung für die z-Komponente der
Geschwindigkeit erhalten:
mTr~v˙ (t) = − 43 πr3 g∆% − 6πηrvz (t) ~ez
⇐⇒ mTr v̇z (t) ~ex + mTr v̇z (t) ~ey + mTr v̇z (t) ~ez = − 34 πr3 g∆% − 6πηrvz (t) ~ez
| {z }
| {z }
=0
=0
=⇒ mTr v̇z (t) = − 43 πr3 g∆% − 6πηrvz (t) .
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ermittelt man zum Beispiel, indem das Verfahren Trennung der Variablen“ (auch Separationsmethode“ genannt) anwendet
”
”
(Siehe Aufgabe 7 der Nullten Übung im ersten Semester und Aufgabe 3, T 2.7
der ersten Übung im zweiten Semester). Wenn man die Randbedingung vz (0) = 0
annimmt (der Tropfen ruht zum Zeitpunkt t = 0), so lautet die Lösung
t
vz (t) = v1 1 − exp −
τ
mit der maximalen Endgeschwindigkeit
v1 = −
2 r2 g∆%
9 η
und der Zeitkonstenten
τ=
2 r2 %Tr
.
9 η
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— Aufgaben mit Lösung —
4. Übung (KW 22/23)
Der Geschwindigkeitsbetrag |vz | des Tropfens wird also bei Null beginnend immer
größer und konvergiert für t → ∞ gegen den Maximalwert |v1 |, wobei der Abstand
zu |v1 | mit der Zeit exponentiell abfällt. Rein mathematisch betrachtet wird der
Tropfen niemals die Geschwindigkeit v1 exakt erreichen, aber die Abweichung wird
irgendwann kleiner sein als jedwede Messgenauigkeit, so dass es gerechtfertigt ist zu
sagen, dass der Tropfen in endlicher Zeit die Geschwindigkeit v1 haben wird. Setzen
wir realistische Werte ein (r = 0.5 µm, %Tr = 1030 kg m−3 , η = 1.8 × 10−5 N s m2 ),
so errechnet man eine Zeitkonstante von τ = 2.0 µs. Demnach beträgt die relative Abweichung von der Maximalgeschwindigkeit nach zwei Mikrosekunden noch
ca. exp(−1) = 37 %, nach 10 µs nur noch exp(−5) = 0.7 %, und nach 100 µs (der
zehntausendste Teil einer Sekunde) ist die relative Abweichung auf den unvorstellbar kleinen Wert 2 × 10−22 abgefallen! Im Mikroskop wird man also ausschließlich
unbeschleunigte Öltröpfchen mit der Geschwindigkeit v1 beobachten.
Alternativ hätte man auch wissen können, dass die Öltröpfchen eine konstante Geschwindigkeit v1 erreichen, und hätte sie ausrechnen können, ohne die Differentialgleichung zu lösen. Dazu braucht man sich nur zu überlegen, dass der Betrag der
Reibungskraft mit der Geschwindigkeit zunimmt, und zwar so lange, bis die resultierende Gesamtkraft und damit die Beschleunigung gerade gleich Null werden:
4 3
(4.1)
F~ges,1 = ~0 =⇒
− 3 πr g∆% − 6πηrvz ~ez = ~0
{z
}
|
=0
=⇒
2 r2 g∆%
vz = −
=: v1 .
9 η
(4.2)
(b) Man löse Gleichung (4.2) nach r auf und erhalte für den Radius der Öltröpfchen
r
−v1 η
.
(4.3)
r=3
2g∆%
(c) Die nun hinzu gekommene elektrische Kraft F~E trägt zur Gesamtkraft bei, welche
demnach
F~ges,2 = F~g + F~A + F~R + F~E
= F~ges,1 + F~E
(4.1) 4
= − 3 πr3 g∆% − 6πηrvz ~ez + qE ~ez
= − 43 πr3 g∆% − 6πηrvz + qE ~ez
(4.4)
lautet. In das zweite Newtonsche Gesetzt eingesetzt ergibt sich daraus die Differentialgleichung
mTr v̇z (t) = − 34 πr3 g∆% + qE − 6πηrvz (t) ,
deren Lösung für die Anfangsbedingung v(0) = 0 durch
4
πr3 g∆% + qE
t
, v2 = − 3
,
vz (t) = v2 1 − exp −
τ
6πηr
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τ=
2 r2 %Tr
9 η
(4.5)
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4. Übung (KW 22/23)
gegeben ist. Abhängig von der Stärke des elektrischen Feldes E und der Ladungsmenge q sind nun drei Fälle zu unterscheiden, nämlich
•
4
πr3 g∆%
3
+ qE < 0, d. h. v2 > 0: Tropfen bewegt sich nach oben,
•
4
πr3 g∆%
3
+ qE = 0, d. h. v2 = 0: Tropfen verharrt in der Schwebe,
•
4
πr3 g∆%
3
+ qE > 0, d. h. v2 < 0: Tropfen bewegt sich nach unten.
Wie bereits in Teilaufgabe (a) gezeigt, ist es auch hier möglich, direkt zu diesem
Ergebnis zu gelangen (ohne Differentialgleichung), indem man die Gesamtkraft Fges,2
Null setzt und nach v2 auflöst.
(d) Eine Beziehung für die elektrische Ladungsmenge eines Öltröpfchens erlangt
man durch Umformen von Gleichung (4.5) nach q und Einsetzen des in (4.3) gefundenen Radius r:
6πηrv2 + 34 πr3 g∆%
E
2 r
= 3π
9ηv2 + 2r2 g∆%
E q
"
#
r
2
1 ηv2
3 −v
2g∆%
−v1 η
(4.3) 2
= 3π
9η + 2 3
g∆%
E
2g∆%
r
2π −v1 η
=
9ηv2 − 9ηv1
E 2g∆%
r
η −v1 η
(v2 − v1 ) .
= 18π
E 2g∆%
(4.5)
q =
(e) In folgender Tabelle sind die gemessenen und berechneten Werte dargestellt:
Nr.
1
2
3
4
5
6
v1 /µm s−1
-15.32
-7.06
-17.66
-17.94
-27.80
-13.84
v2 /µm s−1
187.75
96.95
168.35
174.07
265.21
133.31
r/µm
0.351
0.238
0.376
0.379
0.472
0.333
q/1019 C
4.83
1.68
4.75
4.94
9.39
3.33
q/e
3.01
1.05
2.97
3.08
5.86
2.08
N = bq/e + 0.5c
3
1
3
3
6
2
∆N
/%
N
0.3
5.0
1.0
2.7
2.3
4.0
Man erkennt, dass die gemessene Ladungsmenge der Öltröpfchen quantisiert ist,
d. h. die Ladungsmenge tritt im Rahmen der Messgenauigkeit stets als ganzzahliges
Vielfache einer kleinsten Ladungsmenge auf, nämlich als ganzzahltiges Vielfache der
Elementarladung e = 1.6 × 10−19 C. Mit Hilfe seiner Öltröpfchenversuche konnte
Millikan die Elementarladung des Elektrons ermitteln und erhielt dafür zusammen
mit seinen Arbeiten auf dem Gebiet des Lichtelektrischen Effekts im Jahr 1923 den
Physik-Nobelpreis.
Jens Patommel <[email protected]>
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4. Übung (KW 22/23)
Quellen
Die Aufgabe 1 ist entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik_2_ET
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
http://www.iapp.de/iapp/lehre/materialien/?v=pe
Jens Patommel <[email protected]>
10