Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie

Einführung in die Spieltheorie
und experimentelle Ökonomie
Aufgabe 1
Übung VL0-3 - 10.11.2010
Aufgabe 1a
Ann.
Aufgabe 1b
8, 2
Ann.
B
o
8, 2
B
Ab.
o
Ab.
0, 0
A
0, 0
A
u
Ann.
5, 5
u
B
Ab.
0, 0
Aufgabe 1b
• Das teilspielperfekte NashGleichgewicht ist {(o),(ann.,ann.)}
Ann.
5, 5
B
Ab.
0, 0
Aufgabe 1c
• Reine Strategien für Spieler A:
{(o),(u)}
• Reine Strategien für Spieler B:
{(ann.,ann.),(ann.,ab.),(ab.,ann.),
(ab.,ab.)}
Aufgabe 1d
Aufgabe 1e
Die Nash Gleichgewichte lauten { (o), (ann.,ann.) }, { (o),
(ann., ab.) } und { (u), (ab., ann.) }.
B
ann., ann., ab.,
ann. ab. ann.
ab.,
ab.
o
8, 2
8, 2
0, 0
0, 0
u
5, 5
0, 0
5, 5
0, 0
A
• In Aufgabe 1b haben wir das
teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht
{(o),(ann.,ann.)} gefunden. Die weiteren
Nash-Gleichgewichte aus Aufgabe 1d
beruhen auf Strategien mit
unglaubwürdigen Drohungen (Aktion
ablehnen (ab.) ist eine unglaubwürdige
Drohung).
Aufgabe 1f
• Im Gegensatz zum Ultimatum Spiel wie
es in VL0, s. 19 beschrieben wird, kann
Spieler A sein Gebot nicht aus dem
Intervall [0,10] auswählen, sondern nur
zwei Aktionen wählen.
Aufgabe 2a
Es existieren keine NashGleichgewichte reinen
Strategien.
Aufgabe 2
Aufgabe 2b
2
1 (q)
1 (1-q)
1 (p)
-2, 2
3, -3
2 (1-p)
-1, 1
-2, 2
1
• Spieler 1 wählt p so, dass Spieler 2
indifferent zwischen Strategie 1 und 2
ist (kein Anreiz unilateral abzuweichen).
2 p + 1(1 − p ) = −3 p + 2 (1 − p )
1
5
p = ; 1− p =
6
6
Aufgabe 2b
• Spieler 2 wählt q so, dass Spieler 1
indifferent zwischen Strategie 1 und 2
ist (kein Anreiz unilateral abzuweichen).
Aufgabe 2b
• Nash-Gleichgewicht in gemischten
Strategien: {(0.167, 0.833), (0.833,
0.167)}
−2q + 3 (1 − q ) = −1q + ( −2 )(1 − q )
5
1
q = ; 1− q =
6
6
Aufgabe 2c (Bestimmung
Reaktionsfunktion Variante I)
• Spieler 1: q < 5
Aufgabe 2c (Bestimmung
Reaktionsfunktion Variante I)
6
dann
1
6
dann
−2q + 3 (1 − q ) > −q + (−2) (1 − q )
2 p + 1(1 − p ) < −3 p + 2 (1 − p )
• Spieler 2:
p<
• Spieler 1 spielt somit Strategie 1
(erwartete Auszahlung höher), d.h. p =
1 (siehe Grafik). Analog für q>5/6 (p=0).
• Spieler 2 spielt somit Strategie 2
(erwartete Auszahlung höher), d.h. q =
0 (siehe Grafik). Analog für p>1/6 (q=1).
Aufgabe 2c (Bestimmung
Reaktionsfunktion Variante II)
Aufgabe 2c
• Weitere Möglichkeit: Beste Antworten
auf reine Strategien anschauen. Bsp:
• p = 0, d.h. Spieler 1 spielt Strategie 2.
Beste Antwort von Spieler 2 ist q = 0.
• p = 1, d.h. Spieler 1 spielt Strategie 1.
Beste Antwort von Spieler 2 ist q = 1.
• Zusätzlich: Indifferenzbedingung.
Spieler 1
Keine Nash-Gleichgewichte in
reinen Strategien
p
1
Spieler 2
0.167
Nash-GG in gemischten
Strategien
0.833
1
q
Aufgabe 2d
• Die Probanden haben mühe, zufällige Reihen zu
generieren
• Die Stichprobenanzahl ist klein
• Die Anreize sind ungenügend (um sich mit dem Spiel
und der optimalen Strategie zu befassen)
• Die Probanden haben keine Lernmöglichkeiten
• Die Spieler handeln nicht rational
• Die Spieler glauben nicht dass ihr Gegenüber rational
handelt.
Aufgabe 3a
• Antwort iii) ist richtig (einzige).
• Spieler 1 kann aus einer stetigen Menge von allen
reellen Zahlen auf dem Intervall [0,50] entscheiden.
Dies entspricht unendlich vielen Aktionen und somit
auch Strategien.
• Spieler 2 reagiert mit den Aktionen 0 oder 1. Da
Spieler 1 aber unendlich viele Strategien hat,
resultieren auch unendlich viele
Entscheidungsknoten und folglich Strategien für
Spieler 2.
Aufgabe 3c
• Antwort ii) ist richtig (einzige).
• Spieler B nimmt das Angebot x von Spieler A an,
wenn sein Nutzen positiv oder gerade null (gleich gut
wie ablehnen) ist. Für welches x ist u(b) positiv?
u A = π A = a(50 − x )
uB = π B − 0.5(π A − π B ) = ax − 0.5(a(50 − x ) − ax)
uB = 2ax − 25a ≥ 0
x ≥ 12.5
Aufgabe 3
Aufgabe 3b
• Antwort iv) ist richtig (einzige).
• Das Spiel hat ein teilspielperfektes
Nash-Gleichgewicht und unendliche
viele Nash-Gleichgewichte mit
unglaubwürdigen Drohungen. Das
heisst, es gibt unendliche viele NashGleichgewichte.
Aufgabe 3c
• Beachte bei der Lösung der Ungleichung,
dass a nicht negativ sein kann (aus
Aufgabenstellung).
• Spieler B nimmt also jedes Angebot das
grösser oder gleich ist wie 12.5 an.
• Spieler A maximiert seinen Nutzen wenn er
genau 12.5 anbietet.
• Das Nash-Gleichgewicht ist also:
{(12.5), (a=1, wenn x ≥ 12.5; a=0, sonst)}
Aufgabe 3d
• Antwort i) ist richtig (einzige).
• Siehe VL1, s.34
• Zwischen 0.3*50 = 15 und 0.4*50 = 20