Vorlesung 8a

Experimentalphysik III
Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
Frank Cichos
Vorlesung 8
1.3 Wellencharakter von Teilchen
/ groß
more complex
objects than
atoms, fullerenes come to mind as
Wellenl
änge
klein
suitable candidates. After their discovery and the subsequent
destructive interference of C60 de Broglie waves passing through
neighbouring slits of the grating. For comparison, we show in Fig. 2b
10
invention of efficient mass-production methods , they became the profile of the undiffracted collimated beam. The velocity
easily available. In our experiment (see Fig. 1) we use commercial, distribution has been measured independently by a time-of-flight
99.5% pure, C60 fullerenes (Dynamic Enterprises Ltd, Twyford, UK) method; it can be well fitted by f ðvÞ ¼ v3 expð # ðv # v0 Þ2 =v2m Þ, with
which were sublimated in an oven at temperatures between 900 and v0 ¼ 166 m s # 1 and vm ¼ 92 m s # 1 as expected for a transition
1,000 K. The emerging molecular beam passed through two between a maxwellian effusive beam and a supersonic beam13. The
collimation slits, each about 10 !m wide, separated by a distance most probable velocity was v ¼ 220 m s # 1 , corresponding to a de
of 1.04 m. Then it traversed a free-standing nanofabricated SiNx Broglie wavelength of 2.5 pm. The full-width at half-maximum was
grating11 consisting of nominally 50-nm-wide slits with a 100-nm as broad as 60%, resulting in a longitudinal coherence length of
8
1 EXPERIMENTELLE HINWEISE
period.
about 5 pm.
At a further distance of 1.25 m behind the diffraction grating, the
The essential features of the interference pattern can be underinterference pattern was observed
using a spatially resolving
detecstood using of
standard
theory14 for a grating
diffraction
C60
molecules
on Gitter)
a grating
C60 molecule
Ergebnis:
Interferenzmuster
(a:
MitKirchhoff
Gitter, b:diffraction
Ohne
tor. It consisted of a beam from a visible argon-ion laser (24 W all with a period of 100 nm, by taking into account both the finite
lines), focused to a gaussian waist of 8 !m width (this is the size width of the collimation and the experimentally determined velocrequired for the light intensity to drop to 1/e2 of that in the centre of ity distribution. The parameters in the fit were the width of the
the beam). The light beam was directed vertically, parallel both to collimation, the gap width s0 of a single slit opening, the effective
the lines of the diffraction grating and to the collimation slits. By beam width of the detection laser and an overall scaling factor. This
using a suitable mirror assembly, the focus could be scanned with model, assuming all grating slits to be perfect and identical,
micrometre resolution across the interference pattern. The reproduces very well the central peak of the interference pattern
absorbed light then ionized the C60 fullerenes via heating and shown in Fig. 2a, but does not fit the ‘wings’ of this pattern.
subsequent thermal emission of electrons12. The detection region
Agreement with the experimental data, including the ‘wings’ in
9
Interferenzmuster wird sehr
viel feiner als Fußball sein
Nachtrag C60 Beugung
nicht zu sehen
9)
2.1. particle-wave dualism
60 -Moleküle
messer 1 nm
d Rotationsmoden
ensto⇥sotope)
100 nm diffraction
grating
Scanning photoionization stage
Oven
10 µm
Ion
detection
unit
10 µm
Collimation slits
Figure 1 Diagram of the experimental set-up (not to scale). Hot, neutral C60 molecules
leave the oven through a nozzle of 0:33 mm " 1:3 mm " 0:25 mm
(width " height " depth), pass through two collimating slits of 0:01 mm " 5 mm
(width " height) separated by 1.04 m, traverse a SiNx grating (period 100 nm) 0.1 m after
the second slit, and are detected via thermal ionization by a laser 1.25 m behind the
grating. The ions are then accelerated and directed towards a conversion electrode. The
ejected electrons are subsequently counted by a Channeltron electron multiplier. The
laser focus can be reproducibly scanned transversely to the beam with 1-!m resolution.
en
Strahl hat Divergenz
von 10 µrad
M. Arndt et al. Nature 401, 680 (1999).
): Schlitzgr680
öße(50 nm) = Fußball : Tor. © 1999 Macmillan Magazines Ltd NATURE | VOL 401 | 14 OCTOBER 1999 | www.nature.com
Späteres Experiment (selbe Gruppe, 2001)
äre Abstand Quelle-Detektor
=
Abstand
• sometimes waves behave like particles (electromagnetic waves)
Laser
Streuung von C60 an stehenden Lichtwellen
• sometimes particles behave like waves (electrons, C60)
but how do predict wether the object behaves like a wave or particle?
Wellenfunktion und Wellenpakete
wicklung der Quantenphysik
∆ω
98
3. Entwicklung der Quantenphysik
vg =
Momentaufnahme
∆k
zur Zeit t = 0
vg =
Momentaufnahme
zur Zeit t = 0
xn
ψ
vg
ψ
∆ω
∆k
xn
x
vg
x
ψ = cos(ω1t − k1x) + cos(ω2t − k 2x)
Abb. 3.24. Überlagerung von zwei monochromatischen Wel-
= cos(ω1t − klen
+ cos(
1x)mit
2 t − k 2 x)
etwasωunterschiedlichen
Frequenzen ω j und gleichen
Amplituden C j
24. Überlagerung von zwei monochromatischen Weletwas unterschiedlichen Frequenzen ω j und gleichen
uden C j über. Wenn ∆k ≪ k0 gilt, kann man die Funktion
ω(k) = ω0 +
!
dω
dk
"
k0
· (k − k0 ) + · · ·
(3.62)
a)
a)
x
∆x = 4 π / ∆k
ψ
∆x = 4 π / ∆k
ψ
∆x = √8·ln2
∆k
x
x
Gaußsches Wellenpaket
a)
chromatischen Welzen ω j und gleichen
x
∆x = 4 π / ∆k
ψ
die Funktion
···
∆x = √8·ln2
∆k
(3.62)
en höhere Glieder
im engen Interk gewählt wurde)
r C(k) durch den
nd erhalten durch
den Abkürzungen
:
b)
x
Abb. 3.25a,b. Wellenpaket als Überlagerung von unendlich
vielen Wellen mit Frequenzen ω im Bereich ω0 ± ∆ω/2
(a) mit konstanter Amplitude C(k) = C(k0 ) der Teilwellen,
1.3.3 Unschärferelation
Das Produkt aus der Unbestimmtheit ∆x der Ortsbestimmung des Teilchens, definiert als die räumliche Breite des Wellenpaketes, und der Impulsunschärfe ∆ p x des Teilchens, definiert als die Breite
der Impulsverteilung der das Wellenpaket aufbauenden
Heisenbergesche Unschärferelation
ψ(x, t 0 )
2
ψ(x, t 0 )
2
∆k = 2π, und aus (
∆x · ∆ p ≥ 2π !
d. h. ! wird durch h
Der Zahlenwert
dukt ∆x · ∆ p x
Ortsunschärfen
Für die anderen
sionalen Wellenpak
∆y · ∆ p y ≥ ! ,
∆x
∆x =
1
∆k
x0
Wir wollen uns
einigen Beispielen v
∆x
x
x0
C(k )
x
C(k )
∆k
∆k = 1
∆x
a)
a) Beugung von E
k0
kx
b)
k0
kx
Abb. 3.29a,b. Darstellung der Unbestimmtheitsrelation durch
Auf einen Spalt der
paralleler, in x-Rich
tronen mit dem Imp
dem Durchlaufen d
nente p x = 0, währe
Elektrons keine gen
Von allen einfa
doch nur solche d
GrößeThedes
Atoms
minimum
energy state, quantum mechanically, can be estimated
by calculating the value of a=ao for which E(a) is minimized:
E [eV]
0.5
AS A FUNCTION OF a
THE TOTAL ENERY
LOOKS LIKE THIS
a [Å]
-13.6
By preventing localization of the electron near the proton, the Uncertainty Principle
RETARDS THE CLASSICAL COLLAPSE OF THE ATOM,
PROVIDES THE CORRECT DENSITY OF MATTER,
and YIELDS THE PROPER BINDING ENERGY OF ATOMS
Abb. 3.30. Beugung von Elektronen an einem Spalt, interpretiert durch die Unbestimmtheitsrelation
Unschäfe und Beugung
x-Koordinate einengen auf das Intervall ∆x = b. Nach
der Unbestimmtheitsrelation (3.81) wird dadurch die
Unbestimmtheit der Impulskomponente ∆ px ≥ h/b,
d. h. die Elektronen können hinter dem Spalt in einem
Winkelbereich −θ ≤ ϕ ≤ +θ angetroffen werden mit
sin θ =
∆ px
h
≥
.
p
b· p
(3.83a)
Wegen der Impulserhaltung beim Streuvorgang hat
dann auch das Teilchen, an dem das Photon gestreut
wurde und das dadurch einen Rückstoß bekommt, die
Impulsunschärfe ∆ px .
Paralleles Licht, das in Abb. 3.31b von oben in
y-Richtung auf das Mikroskop trifft, erzeugt in der
Fokusebene im Abstand y vom Objektiv wegen der
Beugung am Objektivrand eine Beugungsstruktur,
deren zentrales Maximum den Durchmesser
D = 1,22y · sin θ ≈ 2y · λ/d
hat (siehe
Bd. 2, Abschn. 10.5.1).
3.3. Materiewellen und Wellenfunktionen
Beschreiben wir die Elektronen durch eine de-Broglie-Welle mit der Wellenlänge λ = h/ p, so b)wird
Räumliche Auflösungsgrenze eines Lichtmikroskops auf Grundy der Unschärferelation
diese am Spalt gebeugt, und wir perhalten
ein zenx =0
trales Beugungsmaximum mit der Fußpunktsbreite
Angenommen, wir wollten mit einem Lichtmikroskop
∆ϕ = 2θ zwischen den ersten beiden Nullstellen
der
den Ort x eines ruhendend Mikroteilchens bestimmen.
b
Intensitätsverteilung.
Dazu müssen wir das Teilchen beleuchten, um aus dem
Analog zur Beugung in der Optik (siehe von
Bd. ihm
2, gestreuten Licht der Wellenlänge λ seinen Ort
Kap. 10) ergibt
feststellen zu können (Abb. 3.31).
I(θ)dies
h
λ
sin θ =
= ,
b· p θ b
→
θ p
was sich als identisch mit (3.83a) erweist.
py
Ein gestreutes Photon muss in einen Raumkegel
gestreutes
mit dem Öffnungswinkel 2α gestreut
werden, damit
(3.83b)
Photon
α d) des Mikroskops eres vom Objektiv (Durchmesser
fasst werden kann, wobei sin α ≈ tan α = d/2y, wobei
Licht- des Objektes vom Objektiv ist. Seine
y die Entfernung
quelle p hat dann eine Unbestimmtheit
Impulskomponente
x
(3.85)
103
d
θ
y
Dies macht deutlich, dass die UnschärferelaD
x
=h/λ h d
·
.
(3.84)
α ≈ Teilchen
∆ p x = pPh ·psin
tion nichts weiter als die Wellenbeschreibung
λ 2y
D = 2 ⋅ 1,2 ⋅ y ⋅ sin θ
∆p
∆ϕ = 2θund die bei einer
ϕ
von Teilchen
räumlichen
x
b)
Wegen dera)Impulserhaltung beim Streuvorgang
hat= 2 ⋅ y ⋅ λ / d
Begrenzung
Welle auftretenden
Abb. 3.30.
Beugung vonder
Elektronen
an einem Spalt,Beugungserinterdann auch Abb.
das Teilchen,
an demder
das
Photon gestreut
pretiert durch
die Unbestimmtheitsrelation
3.31. Erklärung
räumlichen
Auflösungsgrenze eines
scheinungen
berücksichtigt.
x-Koordinate einengen auf das Intervall ∆x = b. Nach
der Unbestimmtheitsrelation (3.81) wird dadurch die
Unbestimmtheit der Impulskomponente ∆ px ≥ h/b,
wurde undMikroskops
das dadurchmithilfe
einen Rückstoß
bekommt, die
der Unschärferelation
Impulsunschärfe ∆ px .
Paralleles Licht, das in Abb. 3.31b von oben in
y-Richtung auf das Mikroskop trifft, erzeugt in der
Fokusebene im Abstand y vom Objektiv wegen der
1.3.4 Atommodelle/Linienstrahlung
Absorptionsspektroskopie
Linienspektren - Balmer Serie
1.5.3. Bohr‘s model
Emission spectrum of a hydrogen atom
Balmer‘s formula
m2
" = 364.6nm 2
m #4
Brackett
Pfund
!
more common form:
Rydberg - Ritz formula (1908)
= Ry
1
m2
1
n2
Balmer
n=1
n=2
n=3
n=4
⇥
n, m are principle numbers
n defines the series
Lyman
wavelength
Lyman
Balmer
Paschen
Brackett
excitation energy in eV
Paschen
Bohrsches Atommodell
1.5.3. Bohr‘s model
Nils Bohr (1913)
• electron is in circular orbit around positive charge
electron
Coulomb
centrifugal
v
Ze2
r=
4⇥ µv 2
in principle any radius is allowed
proton
• Bohr‘s hypothesis
• angular momentum is quantized
|L| = µrv = n
• orbits are stable, no radiation
(we‘ll see later that this corresponds to the idea of a standing
electron wave and to de Broglie‘s idea)
Bohrsches Atommodell
1.5.3. Bohr‘s model
summary of Bohrs model of the hydrogen atom
• electron moves on circles around the nucleus with quantized radii
n2
rn = 2 a0
Z
with
a0 =
0h
2
⇥µe2
• radii increase quadratically with n
• possible values are inversely proportional to Ze,
He+ is smaller than H
• each state has a well defined total energy (approaches 0 for r"!)
energies are negative, since bound
En =
Z2
Ry 2
n
Epot = +2En
Ekin =
En
• the energy E1 is needed to ionize the atom
• by absorption of h#, the atom can be excited from Ei to Ek
Bohrsches Atommodell
Schwächen
1.5.3. Bohr‘s model
weaknesses of Bohr‘s model
• accelerated charges do radiate light
this means they lose energy and will finally
crash into the positive charge, not
compatible with classical electrodynamics
• lowest orbit has |L|=$ but experimentally
one observes |L|=0
• orbital momentum is actually
|L| =
l(l + 1)
• Zeeman effect, fine structure, hyperfine
structure (but we do not know about this, yet)
Franck Hertz Versuch (1911-1914)
1.5.3. Bohr‘s model
Franck-Hertz experiment
electrons loose energy in collisions
e (Ekin ) + Hg ⇥ Hg ⇥ (Ea ) + e (Ekin
• atoms can acquire only discrete
energy quanta
• the magnitude depends on the
specific atom
Ea )
electron current as function of the
acc. voltage for mercury vapor
Franck-Hertz Versuch
Bessere Auflösung
Linienspektren
1.5.3. Bohr‘s model
atomic spectra (1859/1885, Balmer, Kirchhoff, Bunsen)
• elements emit light of certain frequencies only
• each element has a characteristic emission and absorption spectrum
• spectral lines are not completely narrow
emission spectrum of magnesium
emission spectrum of silicon
Bohr Sommerfeld Modell
n … Hauptquantenzahl
l … Drehimpulsquantenzahl