a minimal model of locomotion applied to the steady gliding

Christoph Flamm
Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
Das Ziel dieser Zusammenfassung ist es, den Fisch Keratozyten vorzustellen, und das aufgestellte
einfache Modell seiner Fortbewegung zu erklären. Dabei habe ich mich entschieden der Theorie den
Vorrang vor der Mathematik zu geben, da die Mathematik in diesem Modell einfach ist.
Im Anhang befindet sich eine Auflistung aller Formeln und Variablen.
Christoph Flamm
Eine kurze Zusammenfassung der Arbeit:
A MINIMAL MODEL OF LOCOMOTION
APPLIED TO THE STEADY GLIDING
MOVEMENT OF FISH KERATOCYTE CELLS
(Ein minimales Modell der Fortbewegung angewandt
auf die Bewegung von Fisch Keratozyt Zellen)
verfasst von: A. Mogilner, E. Marland und D. Bottino
0. Kurzer Auszug
In der Arbeit geht es um die Analyse der Mechanismen der Fortbewegung von Fisch Keratozyt
Zellen. Es wird versucht den komplexen Prozess der Bewegung in einfachere mechanische
Phänomene zu unterteilen, und es wird ein eindimensionales mathematisches Modell der Bewegung
von Fisch Keratozyten aufgestellt.
1.Einführung
Sehr viele tierische Zellen haben die Fähigkeit zu kriechen, diese Fähigkeit ist essentiell für das
Leben.
Bevor man das Bewegungsverhalten ganzer Zellpopulationen betrachtet , wird zuerst versucht das
Verhalten einer individuellen Zelle zu verstehen (Das Erstere wäre ein vollkommen anderer
Zugang).
Trotz großen Fortschritten in der Biologie, Biochemie und Biophysik wird die Bewegung von
Zellen immer noch nicht vollständig verstanden. In dieser Arbeit werden verschiedene Zugänge
erklärt und diskutiert.
Im Weiteren werden nun direkt FK (=Fisch Keratozyten) untersucht werden. Das
Bewegungsverhalten dieser Zellen wird gern untersucht, weil ihre Bewegung „relativ“ simpel ist.
Außerdem neigen sie zu spontanen Bewegungen wenn sie auf einer Oberfläche abgesetzt werden.
Christoph Flamm
Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
Membranprotein
PDE in der Zellbiologie
Bewegungsrichtung
Verbindungsprotein
Actinfilamenet
Lamellopodium
Zellkörper
Abbildung 1 Schematische Darstellung eines Fisch Keratozyten
Das Lamellopodium ist sehr flach und durchzogen von einem Netz aus Actinfilameneten. Diese
Filamente sind durch Proteine miteinander verbunden, die so eine festes Netzwerk erzeugen.
Es ist weit verbreitet und akzeptiert, dass das Lamellopodium die Basis für die Bewegung des
Keratozyten darstellt. Die Zelle selbst scheint nur mitgeschleift zu werden, und ist passiv.
Die Bewegung des FK kann in drei Schritte unterteilt werden:
Zuerst führt das Wachstum des Actin Netzwerks zu einer Ausdehnung der vorderen Front der Zelle.
Zweitens wird eine graduierte Verankerung zum Substrat entwickelt, sodass die Haftung des
Lamellopodiums vorn viel größer als im hinteren teil der Zelle ist. Danach zieht sich das Cytoskelett
des Lamellopodiums zusammen und bewirkt so eine Bewegung nach vorne .
Nach diesen drei Grundmechanismen ist diese Arbeit gegliedert, und sie werden in folgender
Reihenfolge besprochen werden:
Kapitel 2. Vorstrecken
Kapitel 3. Vorwärtsbewegung
Kapitel 4. Adhesion (Haftung)
Die eben genannten Grundmechanismen arbeiten effektiv zusammen und erzeugen somit einen
höchst effizienten Bewegungstyp (für Zellen). Weiters müssen sie hoch koordiniert sein, um die
Aufrechterhaltung der einfachen Form des Lamellopodiums zu gewährleisten.
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PDE in der Zellbiologie
2. Das Vorstrecken der Zelle
In diesem Kapitel wird betrachtet wie die treibende Kraft des Vortreckens generiert wird.
Ein Hauptbestandteil des Lamellopodiums ist Actin als Monomer und Polymer. Bei der
Polymerisierung der Actinmonomere wird ATP in ADP hydrolisiert (Energieverbrauch). Diese
Polymere sind hoch polarisiert und wachsen an den + Enden schneller.
2.1. Struktur des Actin Cytoskeletts des Lamellopodiums
Die Actin Fasern bilden ein feines Netzwerk. Die meisten dieser Fasern zeigen mit ihren + Enden
zur vorderen Front der Zelle, also wachsen die Filamente vorwiegend gegen die innere Oberfläche
der vorderen Front.
Die Actinfilamenete sind verteilt über Winkel zwischen +60° und -60° im Bezug auf die
Fortbewegungsrichtung.
2.2. Vorstreckende Kraft durch die Polymerisation von Actin
Es stellt sich nun die Frage, wie genau die Kraft für das Vorstrecken erzeugt wird. Es gibt
verschieden Theorien dafür. Durch Experimente wurde aber festgestellt, dass die Actin
Polymerisation alleine die notwendige Kraft für das Vorstrecken erzeugt.
Die Energie der Polymerisation kann benutzt werden, um die Kraft für das Vorstrecken zu erzeugen.
Wenn sich eine lange Actin Faser, die im Netzwerk des Lamellopodiums fest verankert ist, und
vorne die Membran berührt, biegt, wird eine elastische Kraft zum Vorstrecken erzeugt. Das
Filament unterliegt auch einer Biegung durch thermische Wellenbewegungen, dabei schlüpfen
Actin Monomere sofort in die dadurch frei gewordene Lücke.
Dieser gesamte Mechanismus führt zu einer Vorbewegung der vorderen Front.
Nach kurzen Überlegungen kann die Rate des Vorstreckens angegeben werden durch:
(2.1)
V p =  cos k on M e
− f  cos / k B T 
−k off 
(Alle Variablen im Anhang erklärt!)
Die Richtungen der Filamente sind lokal stark korreliert. Die Fasern, die parallel zur vorderen Front
verlaufen, tragen nicht zum Vorstrecken bei. Filamente, die normal zur vorderen Front wachsen,
sind effektiv steif, und können sich nicht genügend biegen, um Kraft zu erzeugen.
Daraus folgt,dass nur Filamente zwischen bestimmten Winkeln Kräfte erzeugen. ( 0 und c )
c erhält man aus
V p = V 0 cos c 
Christoph Flamm
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PDE in der Zellbiologie
Also
c = arccos V p /V 0 
(2.2)
Indem man die Kraft eines Filaments über die auftretenden Winkel integriert, erhält man die Kraft
des Vorstreckens
(2.3)
Fp =
kBT

c
∫d 
0
nV p , 
cos 
ln
cos 
cos c
Der Widerstand zum Vorstrecken wird durch zwei Mechanismen erzeugt:
• Durch die Oberflächenspannung der Membran und
• Durch die Verbindung des Actin mit der Membran: beim Vorstrecken brechen die Verbindungen
des Actin mit der Membran und dissipieren dabei Energie.
Also bewirkt nur ein Teil der freien Actin Spitzen das Vorstrecken, und gebundene Spitzen
verhindern dieses sogar.
Zwischen der Kraft des Vorstreckens und der ihr entgegenwirkenden Kraft herrscht Gleichgewicht,
also
F p V p  = F r
Am Schluss wird diese Gleichung nach V p aufgelöst werden
3. Vorwärtsbewegung der Zelle
Der nächste Schritt im Modell nach der Ausdehnung der vorderen Front und der Adhesion zum
Substrat, ist die Vorwärtsbewegung des Zellkörpers selbst. Oder, unter der Annahme dass der
zellkörper nur passive Fracht ist, die Traktion des Lamellopodiums(Ziehen, Zusammenziehen des
Lamellopodiums )
3.1. Traktion des Lamellopodiums (Ziehen, Zusammenziehen des Lamellopodiums)
Folgende Frage steht nun im Raum: Ist es möglich, dass sich die Zelle nur durch das Vorstrecken
der vorderen Front fortbewegt? Diese Frage wäre mit Ja zu beantworten, wenn die Membran ein
nicht dehnbarer Sack wäre.
Aber die Membran ist sehr verformungsfähig, deshalb ist dieser Umstand auszuschließen.
Die Membran selbst spielt aber keine aktive Rolle bei der Traktion.
Durch Experimente wurde die Unabhängigkeit des Vorstreckens und der Traktion herausgefunden.
Die Hauptaufgabe der Traktion mag nicht die Fortbewegung sein, sondern die Deformation und
Remodellierung der Zelle.
(Eine interessante Nebenbemerkung: Durch Experimente wurde der interessante Umstand
herausgefunden, dass die Traktionskräfte die gleiche Größenordnung wie die Vorstreckkräfte
haben.)
Christoph Flamm
Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
Wie funktioniert also die Traktion? Die erste Idee wäre, sie durch bereits bekannte Elemente zu
beschreiben wie das Actin. Die Actin Filamente depolymerisieren im hinteren Teil des
Lamellopodiums, deshalb wird der Abstand zwischen den Verbindungsproteinen größer und die
frei gewordene Energie bewirkt eine Anziehung der Proteine und dadurch die Traktion.
Es wurde aber durch Experimente herausgefunden, dass im FK und in anderen tierischen Zellen
Myosin die treibende Kraft für die Traktion ist.
In Muskeln sind Actin Filamente hoch ausgerichtet, und das Myosin zieht diese maximal effektiv
zusammen. Im Lamellopodium gibt es aber diese strenge Anordnung nicht. Wie funktioniert die
Traktion also?
3.2. 1D Modell für die dynamische Kontraktion des Actomyosin Netzwerks
Fortbewegungsrichtung
Adhesions
protein
Actinbündel
Verbindungs
protein
Actinfilament
Myosin
Zellkörper
„t> 0 “
„t= 0 “
Abbildung 2 Der dynamische Actomyosin Kontraktions Mechanismus
In Abbildung 2 wird die Funktionsweise des Actomyosin dargestellt: Myosin Cluster bilden sich auf
dem Actin Netzwerk. Dieses Myosin versucht, zu den + Enden der Actin Filamente (vorne) zu
wandern, bei erzeugen sie ein Drehmoment. Vorne üben sie noch nicht genug Drehmoment aus, um
etwas zu bewirken, aber im hinteren Teil tragen sie dazu bei, die Minus Enden in ein paralelles
Bündel zusammenzuziehen. In dieser gebündelten Form kann das Myosin das Actin effektiv
zusammenziehen. Es ist noch zu bemerken, dass während des gesamten Vorgangs die Actin
Filamente an der Front weiterwachsen und sich am hinteren Teil auflösen. Die Lage der Spitzen der
Actin Filamente im Bezug zur vorderen Front ändert sich dabei (seitlicher Fluss).
Christoph Flamm
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PDE in der Zellbiologie
Vordere Front
x
x=0
Abbildung 3 Lage der x-Achse, Längsschnitt durch das Lamellopodium
In diesem Abschnitt gibt es drei wichtige Gleichungen: für die Dichte des polymerisierten Myosin
und die Längendichten des Actin Netzes und der Actin Bündel. Diese drei Gleichungen sind alle
Erhaltungsgleichungen und ähneln sich in ihrer Form. Alle drei sind parabolische PDE.
t ist hier die Zeit. Abbildung 3 soll erklären wie die x- Achse liegt.
Diese Dichten stellen also eindimensionale Verteilungen des Stoffes über er Weite des
Lamellopodiums dar.
Die Gleichung für die Dichte des polymerisierten Myosin
(3.1)
∂m
∂m ∂
= k a m−k

 vm

d m−V p
∂t
∂x ∂x
Ein Zusammenhang zwischen dem unpolymersierten und dem polymerisierten Myosin ist gegeben
durch
L
(3.2)

m
 L∫ m dx = M
0
Gleichung für die Längendichte des Actin-Netzwerks
(3.3)
∂ Ln
∂ Ln
∂ Ln
= − L n −V p
 v
∂t
∂x
∂x
Gleichung für die Längendichte der Actin-Bündel
(3.4)
∂ Lb
∂ Lb
∂ Ln ∂
= − L b −V p
 v

vL b 
∂t
∂x
∂x ∂x
Christoph Flamm
(3.5)
Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
=m /m max für mm max
=1 für mmmax
Man erhält eine konstitutive Gleichung für die Rate der Vorwärtsbewegung des Myosinclusters
v durch folgende Überlegungen: Zuerst stellt man einen Zusammenhang zwischen der
Geschwindigkeit und den Kräften her, dann stellt man eine Gleichung für das Gleichgewicht der
auftretenden Kräfte auf, und löst diese nach der Geschwindigkeit auf. Das Ergebnis lautet:
(3.6)
v = V m 1−
1−
b1 Ln b 2 i v 
m
Für (3.1), (3.3) und (3.4) gelten folgende Randbedingungen:
(3.7)
m 0 = 0, L b 0 = 0, L n 0 = L
Im nächsten Abschnitt werden V p , i v und
L berechnet, um so das Modell abzuschließen.
4. Minimales eindimensionales Modell der Fortbewegung
In diesem Kapitel wird das Modell komplettiert und das Vorschieben der Zelle besprochen.
Besonderes Augenmerk wird gerichtet auf:
• Die Bildung von neuen Actin Filamenten
• Die Adhesion(Haftung) zwischen dem Cytoskelett (Actin Netzwerk) und dem Substrat
(Untergrund)
Um sich zu bewegen, muss es zu einer Kraftübertragung zwischen der Zelle und dem Substrat
kommen. Daher ist die Adhesion essentiell.
Damit sich die Zelle fortbewegen kann, muss also die nach vorn gerichtete Traktion an der Front
größer sein als die Reibung im hinteren Teil der Zelle. Eine Möglichkeit so eine graduierte Traktion
zu entwickeln, ist die assymetrische Kontraktion der Zelle. Ein anderer Weg ist es, die Assymetrie
in die Adhesion zu geben. FK sowie andere tierische Zellen verwenden beide Mechanismen.
4.1. Graduierte Adhesion
Integrin und Talin sind die hauptverantwortlichen Proteine für die Verbindung des Actin Netzwerks
mit der extrazellulären Umgebung. Dabei kommt es zu einer stark assymetrischen Adhesion an der
Unterseite der Zelle.
In diesem Modell wird der Verkehr von polarisierten Rezeptoren als Hauptgrund für die
beobachtete Assymetrie in den Vordergrund gestellt.
Christoph Flamm
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Actinnetzwerk
Talin
PDE in der Zellbiologie
Myosin
Integrin
Abbildung 4 Der graduierte Adhesions Mechanismus
Die Actin Filamente werden an der Führungsfront polymerisiert und durch Proteine vernetzt. Talin
(gebogene Stäbe), lokalisiert an der Führungsfront durch deren Krümmung, verbindet sich mit dem
Integrin (Stäbe), und stellt dabei eine Verbindung zwischen dem Actin Netwerk und dem
Untergrund her (sogenannte Adhesionskomplexe). Nach dem Vorschieben der Zelle werden diese
Verbindungen gelöst (dadurch kommt des zur stark assymetrischen Adhesion der Zelle).
Dieser Vorgang läuft sehr schnell ab, und damit er funktioniert muss eine hohe Integrin Dichte an
der Führungsfront gewährleitet sein. Das hat zur Folge, dass die Verbindungen sehr schnell
rezykliert werden müssen. Das entbundene Integrin wandert von der Unterseite an die Oberseite,
und wird dort von dem, zu den Plus Actin Enden wanderndem, Myosin nach vorne transportiert.
Für das Modell wurden folgende Annahme getroffen: Es gibt keine freien Integrin Moleküle an der
Unterseite. Daraus folgt, dass alle Integrin Moleküle an der Unterseite gebunden sind. Dieses
Integrin stellt also eine Verbindung zwischen dem Substrat und dem Cytoskelett her. Es ist also
statisch im Bezug auf das Substrat (es bewegt sich also mit V p von der Führungsfront weg).
Das Modell wird durch folgende Gleichungen beschrieben:
Hauptsächlich geht es wieder um zwei Stoffdichten.
Gleichung für die Integrindichte an der Unterseite des Lamellopodiums
(4.1)
∂iv
∂i
= −V p v − i v
∂t
∂x
Die Driftrate des Integrin an der Oberseite ist gegeben durch
V t −V p 
Gleichung für die Integrindichte an der Oberseite
(4.2)
∂ id
∂ i v2
∂i
= D
V t −V p  v  i v
2
∂t
∂x
∂x
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PDE in der Zellbiologie
Unter der Annahme dass die meisten Integrinmoleküle an der Front in den Adhesionskomplexen
gebunden sind, findet man stationäre Lösungen für (4.1) und (4.2). Mit den gegebenen Werten der
Modellparameter lässt sich eine stationäre Verteilung der Integrine an der Unterseite approximieren
durch :
x
(4.3)
−
I Vt
V
iv ≃
 −1e
Vt V p
p
4.2. Bildung von Actin an der vorderen Front
Eine der Hauptfragen der Ausdehnung der vorderen Front ist es, wie genau das Actin Netzwerk für
diese Ausdehnung verantwortlich ist. Eine Möglichkeit ist, dass die Verlängerung bereits
existierender Actin Filamente das Vorstrecken bewirkt, eine andere Möglichkeit ist, dass die
Bildung und die Freigabe kurzer Filamente die Führungsfront ausdehnt. Wiederum wirken beide
Mechanismen gemeinsam.
Nach neuesten Forschungsergebnissen findet die neue Bildung von Filamenten auf Proteinen statt,
die an bereits existierenden Fasern hängen: Talin und Integrin sind solche Proteine. Zusätzlich zur
Funktion als Actin Verbindungsprotein ist Talin auch ein Actin Bildungsprotein.Also könnten die
Talin- Integrin-Adhesionskomplexe auch zur Bildung von neuem Actin beitragen, was die
Polymerisation vor Allem an der Vorderfront erklären würde.
Die Gleichungen für das Modell:
Die jetzt angeführten Gleichungen schließen das gesamte Modell in sich ab.
Die Rate der Seitwärtsbewegung der Actin Spitzen ±V p tan 
Die Gleichung für die Dichte der Actin-Polymer-Spitzen (Achtung diese Gleichung ist nicht über
der Weite des Lamellopdiums, sondern über der vordere Front zu sehen!)
(4.4)
∂ n y , t 
∂ n y , t 
= ±V p tan 
N V p , 
∂t
∂y
Auf einem Stück der vorderen Front der Länge l , auf dem nichts neues gebildet wird, liefern
Lösungen dieser Gleichung konstante stationäre Dichten der Polymerspitzen
(4.5)
n V p ,  = l N V p , cot /V p
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PDE in der Zellbiologie
Nun wird angenommen, dass die Bildungsrate neuer Actin-Spitzen proportional zur Integrindichte
an der vorderen Front ist (siehe 4.2. 2 Absatz). Der Term auf der rechten Seite kommt von der
Approximation aus (4.3)
(4.6)
N V p ,  = i v 0 ≃  I /V t V t /V p 
Wir setzen (4.6) in (4.5) ein und das Ergebnis in (2.3). Nach einer asymptotischen Entwicklung
(ähnich Taylor-Entwicklung) des Integrals in (2.3) und numerischer Integration, erhält man folgende
Gleichung für V p in dimensionloser Form
(4.7)
Vt Vt
V
F  V
V
 −1ln  0  ≃ s , s = r  t  t 
Vp Vp
Vp
k BT l  l I
Numerische Lösung von (4.7) liefert V p .
Durch Verwendung von (2.2-3) kann n 0 (Dichte des Actinnetzwerks an der vorderen Front )
bestimmt werden.
Die zugehörige Schätzung für die Längendichte ergibt
(4.8)
l2 I  V t
L ≃
 −1
V tV p V p
Das liefert die Randbedingung für (3.3)
4.3. Ergebnisse
Kern des Modells ist ein System von parabolischen PDE, für die dynamische Verteilung des Actin
und Myosin über die Weite des Lamellopodiums. Das Traktionsmodell wird komplettiert von (2.23,4.4-7), die den Vorstreckmechanismus beschreiben und Gleichung (4.1-3), die die Adhesion
beschreiben. Alle diese Gleichungen haben die gleiche Zeitskala (also müssen sie numerisch
gleichzeitig gelöst werden). Natürlich können auch noch einige andere Vereinfachungen getroffen
werden.
Qualitatives Ergebnis:
Vorhersage einer endlichen Breite des Lamellopodiums in der richtigen Größenordnung
Quantitatives Ergebnis:
Abstand der vorderen Front zur Vorderkante des dichten Actin Bündels
Weite der Myosin Bündel
Verhältnis zwischen Netzwerk und gebündeltem Actin
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Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
Dichte
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
3
0.8
1
0.6
2
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25 Abstand
[µm]
Abbildung 5 Resultate des numerischen Modells
In Abbildung 5 sieht man die numerische Lösung des mathematischen Modells. Die Kurven zeigen
asymptotisch stabile stationäre Verteilungen der Stoffe über dem Lamellopdium :
Kurve 1: Längendichte des Actin Netzwerks
Kurve 2: Längendichte der Actin Bündel
(beide auf die Anfangskonzentration des Actin Netzwerks skaliert)
Kurve 3: Dichte des polymerisierten Myosin (skaliert so, dass m max = 2 ist)
5. Zusammenfassung
Das Modell bescheibt quantitativ die stetige Fortbewegung des Lamellopodiums nach dem
folgenden Szenario:
Die Polymerisation des Actin Netzwerks an der vorderen Front bewirkt die Kraft für das
Vorstrecken und ist verantwortlich für die Ausdehnung. Die Polarisierung des Actin Netzwerkes
und des Myosin bewirkt den Transport und die hohe Konzentration von adhesionsstärkenden und
actinbildenden Proteinen im Bereich der vorderen Front. Dichte Myosin Cluster im hinteren Teil der
Zelle kollabieren das Actin Netzwerk in ein Bündel und das daraus resultierende muskelartige
Zusammenziehen führt zu einer Vorwärtsbewegung des Zellkörpers und komplettiert den Zyklus
der Bewegung.
Natürlich gibt es auch einen Ausblick auf eine Erweiterung des Modells auf 2D. Ein Miteinbeziehen
von winkelabhängigen temporären Dichten der vorkommenden Größen führen auf ein System von
nichtlinearen Integrodifferentialgleichungen über ein Gebiet mit bewegenden Grenzen.
Abschließend ist noch zu sagen, dass es auf diesem Forschungsgebiet noch sehr viel zu tun gibt.
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PDE in der Zellbiologie
In der Arbeit vorkommende Variablen:
(in der Reihenfolge des Auftretens)
f
Fp


W
k on
k off
M
e
−W /k B T 
kBT
Vp
V0
0≃10 °−15 °
c
Fp
nV p , 
Fr
m
t
ka
kd
m = const.
L
M
v
Ln
Lb


m max
Vm
iv
id
D
b1
b2
L
Widerstandskraft – Kraft des Vorstreckens
Kraft des Vorstreckens
Hälfte der Länge eines Actin Monomers
Neigungswinkel zwischen Actin und Bewegungsrichtung
Arbeit des Vorstreckens
Polymerisationskonstante für den Actin Zusammenbau
Polymerisationskonstante für die Actin Zersetzung
lokale Konzentration von polymerisierbaren Actin Monomeren
Boltzmann Faktor
Thermische Energie
Rate des Vorstrecken
Rate des Actin Zusammenbaus
Winkel, durch elastische Eigenschaften des Actin bestimmt
Abschnittwinkel
Totale Kraft des Vorstreckens
geschwindigkeitsabhängige Winkelfilamenetdichte pro Länge
dem Vorstrecken entgegenwirkende Kraft
Dichte des polymerisierten Myosin
Zeit
Rate für den Zusammenbau von Myosin in Cluster
Rate für die Zersetzung von Myosin in Cluster
Dichte der unpolymerisierten Myosin-Molküle (glm. über das Lam.)
Weite des Lamellopodiums
Gesamtmenge an Myosin im Lamellopodium
Rate der Vorwärtsbewegung des Myosinclusters
Längendichte des Actin-Netzwerks
Längendichte des Actin-Bündels
Rate der Actin Depolymerisation
relative Fläche der Myosincluster
Dichte des polym. Myosin, bei der Alles von Myosin bedeckt ist
Geschwindigkeit des gleitenden Myosin
Integrindichte an der Unterseite des Lamellopodiums
Integrindichte an der Oberseite
seitlicher Diffusionskoeffizient des Integrin
Verbindungs + Reibungskoeffizient
Verbindungs + Adhesionskoeffizient
Dichte des Actinnetzwerks an der vorderen Front
Christoph Flamm

D
Vt
I
n y ,t
y
N V p , 

l
Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
Rate der Auflösung der Integrin-Adhesions-Komplexe
Seitliche Diffussionsrate des Integrin
Rate des Integrinverkehr an der Oberseite
Gesamtmenge an Integrin
Dichte der Actin-Polymer-Spitzen
Koordinate entlang der vorderen Front
Bildungsrate des Actin
Rate der Actinbildung pro Intgrinmolekül
Länge des zentralen Bereichs der vorderen Fronnt
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Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
In der Arbeit vorkommende Formeln
W = f  cos
Arbeit des Vorstreckens
V 0 = k on M
Rate des Actin Zusammenbaus
Nettorate des Actin Zusammenbaus
k on M e
−W /k B T 
−k off
Durch kurze Überlegungen erhält man die Rate des Vorstreckens:
(2.1)
V p =  cos k on M e
− f  cos / k B T 
−k off 
V p = V 0 cos c 
Es gilt
Daraus folgt
c = arccosV p /V 0 
(2.2)
Ein einzelnes Filament erzeugt folgende Kraft
f ≃
kBT

ln
cos 
cos c
Daraus folgt die gesamte Kraft des Vorstreckens
(2.3)
Fp =
kBT

c
∫d 
0
nV p , 
cos 
ln
cos 
cos c
Zwischen der Kraft des Vorstreckens und der ihr entgegenwirkenden Kraft herrscht Gleichgewicht,
also
F p V p  = F r
Am Schluss wird diese Gleichung nach V p aufgelöst werden
Christoph Flamm
Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
Gleichung für die Dichte des polymerisierten Myosin
∂m
∂m ∂
= k a m−k

 vm

d m−V p
(3.1)
∂t
∂x ∂x
Die Gesamtmenge des Myosin
L
(3.2)

m
 L∫ m dx = M
0
Dichte der Auflösungspunkte des Actin Netzwerks
−
∂ Ln
∂x
Gleichung für die Längendichte des Actin-Netzwerks
(3.3)
∂ Ln
∂ Ln
∂ Ln
= − L n −V p
 v
∂t
∂x
∂x
Gleichung für die Längendichte der Actin-Bündel
(3.4)
∂ Lb
∂ Lb
∂ Ln ∂
= − L b −V p
 v

vL b 
∂t
∂x
∂x ∂x
(3.5)
=m /m max für mm max
=1 für mmmax
Man erhält eine konstitutive Gleichung für die Rate der Vorwärtsbewegung des Myosinclusters
v durch folgende Überlegungen: Zuerst stellt man einen Zusammnehang zwischen der
Geschwindigkeit und den Kräften her, dann stellt man eine Gleichung für das Gleichgewicht der
auftretenden Kräfte auf, und löst diese nach der Geschwindigkeit auf. Das Ergebnis lautet:
(3.6)
v = V m 1−
1−
b1 Ln b 2 i v 
m
Für (3.1), (3.3) und (3.4) gelten folgende Randbedingungen:
(3.7)
m 0 = 0, L b 0 = 0, L n 0 = L
Im nächsten Abschnitt werden V p , i v und
L berechnet, um so das Modell abzuschließen.
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Bewegungsmodell des Fisch Keratozyten
PDE in der Zellbiologie
Integrindichte an der Unterseite des Lamellopodiums
∂iv
∂i
= −V p v − i v
∂t
∂x
(4.1)
Driftrate des Integrin an der Oberseite
V t −V p 
Integrindichte an der Oberseite
(4.2)
∂ id
∂i 2
∂i
= D v2 V t −V p  v  i v
∂t
∂x
∂x
Unter der Annahme dass die meisten Integrinmoleküle an der Front in den Adhesionskomplexen
gebunden sind, findet man stationäre Lösungen für (4.1) und (4.2). Mit den gegebenen Werten der
Modellparameter lässt sich eine stationäre Verteilung der Integrine an der Unterseite approximieren
durch :
x
(4.3)
−
I Vt
V
iv ≃
 −1e
Vt V p
p
Rate der Seitwärtsbewegung der Actin Spitzen ±V p tan 
Gleichung für die Dichte der Actin-Polymer-Spitzen
(4.4)
∂ n y ,t
∂n y ,t 
= ±V p tan 
N V p , 
∂t
∂y
Auf einem Stück der vorderen Front der Länge l , auf dem nichts neues gebildet wird, liefern
Lösungen dieser Gleichung konstante stationäre Dichten der Polymerspitzen
(4.5)
n V p ,  = l N V p , cot /V p
Die Bildungsrate neuer Actin-Spitzen ist proportional zur Integrindichte an der Front:
(4.6)
N V p ,  = i v 0 ≃  I /V t V t /V p 
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PDE in der Zellbiologie
Wir setzen (4.6) in (4.5) ein und das Ergebnis in (2.3). Nach einer asymptotischen Entwicklung des
Integrals in (2.3) und numerischer Integration, erhält man folgende Gleichung für V p in
dimensionloser Form
(4.7)
Vt Vt
V
F  V
V
 −1ln  0  ≃ s , s = r  t  t 
Vp Vp
Vp
k BT l  l I
Numerische Lösung von (4.7) liefert V p .
Durch Verwendung von (2.2-3) kann n 0 (Dichte des Actinnetzwerks an der vorderen Front )
bestimmt werden.
Die zugehörige Schätzung für die Längendichte ergibt
(4.8)
l2 I  V t
L ≃
 −1
V tV p V p
Das liefert eine Randbedingung für (3.3)