Geeichte N = 4 Supergravitation

Geeichte N = 4
Supergravitation
Diplomarbeit am
II. Institut für Theoretische Physik
der Universität Hamburg
von
Jonas Schön
April 2006
Gutachter der Diplomarbeit: Jun. Prof. Dr. Henning Samtleben
Zweitgutachter: Prof. Dr. Jan Louis
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
5
Warum eigentlich Supergravitation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Gegenstand der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1 Einführung in das Thema
9
1.1
Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Supergravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Stringtheorie und dimensionale Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 N = 4 Supergravitation
15
2.1
Ungeeichte N = 4, D = 4 Supergravitation . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Elektromagnetische Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Eichen von N = 4 Supergravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3 Geeichte N = 4 Supergravitation
27
3.1
Die bosonische Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2
Killing-Spinor Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3.1
Elektrische Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3.2
Eichung mit Roo-Wagemans-Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4 IIB Kompaktifizierungen
45
T 6 /Z2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1.1
T /Z2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1.2
T /Z2 Modell mit D3-branes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2
T 4 × T 2 /Z2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3
T × T /Z2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.1
2
6
6
4
3
INHALTSVERZEICHNIS
5 Zusammenfassung und Ausblick
63
A Konventionen und Formeln
65
4
Einleitung
Warum überhaupt Supergravitation?
Obwohl die großen physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts, die Quantenmechanik
und die allgemeine Relativitätstheorie, so erfolgreich in der Elementarteilchenphysik und
der Astronomie angewendet wurden, stellte sich doch die Frage, ob sie nicht nur Spezialfälle einer einheitlichen Theorie sind. Es gibt genügend Gründe, warum man es nicht bei
der bisherigen Beschreibung der vier fundamentalen Kräfte durch das Standardmodell
und die Relativitätstheorie belassen kann. Bei der Herleitung des heutigen Standardmodells um 1970 hat sich das Prinzip der Vereinheitlichung der Kräfte durchgesetzt.
Glashow, Salam und Weinberg haben zeigen können, dass die schwache und die elektromagnetische Kraft bei hohen Energien zusammen die elektroschwache Kraft bilden. Es
gibt auch viele Anzeichen, dass bei noch größeren Energien um 1016 GeV diese sich mit
der starken Kraft vereint. Das Standardmodell kann vernünftige Aussagen über Experimente nur bis zu bestimmten Energien machen. Bei der Planck-Energie ∼ 1019 GeV geht
dies nicht mehr, in dem Bereich also, wo die Gravitation einen von der Größenordnung
ähnlichen Beitrag leistet wie die anderen drei Elementarkräfte. Die einheitliche Beschreibung der Wechselwirkungen im Standardmodell basiert auf Eichsymmetrien der Theorie.
Indem man diese Symmetrien durch die Einführung koordinatenabhängiger Transformationsparameter lokal macht, lassen sich in der Quantenfeldtheorie die zu den Kräften
gehörenden Austauschteilchen, die Spin-1 Teilchen Photon, W-, Z-Bosonen und Gluonen, aus lokaler Eichinvarianz herleiten. Die Gravitation nimmt eine Sonderstellung ein,
das entsprechende Austauschteilchen hat Spin-2. Das Problem dabei ist, dass sich eine
Quantengravitationstheorie nicht renormalisieren lässt. Ein weiteres Argument für eine
einheitliche Theorie ergibt sich daraus, dass die bisherigen Modelle noch viele Fragen
offen lassen. So gibt es viele Parameter, die die Theorie beschreiben, wie zum Beispiel
die Massen verschiedener Teilchen, für deren Wahl es aber keine physikalische Erklärung
gibt.
5
EINLEITUNG
Die Stringtheorie scheint im Moment der aussichtsreichste Kandidat für eine Vereinigungstheorie, die nicht nur alle Wechselwirkungen beschreibt, sondern auch mögliche
Erklärungen für scheinbar willkürlich festgelegte Größen bereit hält. Sie könnte neben
den Massen auch die verschiedenen Größenordnungen von Planck und schwacher Skala
oder die Anzahl der Dimensionen erklären.
Die in den siebziger Jahren entwickelte Supergravitation ist eine Feldtheorie, die gleichermaßen alle vier Kräfte beschreibt [1]. Das jüngste Interesse an der Supergravitation
beruht auf ihrem Auftreten als Niederenergie Limes der Stringtheorie. Sie kann aber
auch eigenständig als Erweiterung des Standardmodells betrachtet werden. Sowohl die
Supergravitation als auch die interessanten Stringtheorien sind supersymmetrisch, das
heißt sie haben eine Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen. Die hier behandelte N = 4 Supergravitation besitzt 4 dieser Supersymmetrien. In Experimenten konnten
aber bislang keine Superpartner von Teilchen gefunden werden, so dass man, um die Natur zu beschreiben, die Supersymmetrien brechen muss, was weitere Probleme zur Folge
hat. Weder die Supergravitation noch die Stringtheorie haben Vorhersagen gemacht, die
bisher experimentell bestätigt werden konnten. Dies liegt unter anderem daran, dass die
Theorien noch längst nicht komplett ausgearbeitet wurden und daher noch viele Fragen
unbeantwortet sind.
Gegenstand der Arbeit
In der vorliegenden Arbeit wird die geeichte 4-dimensionale Supergravitation mit N = 4
Supersymmetrien in einer universellen Formulierung ausgearbeitet. Ziel ist es, alle möglichen Supergravitationstheorien zu erfassen und eine allgemeine Lagrangedichte anzugeben. Das Hauptaugenmerk wird dabei auf den bosonischen Sektor gelegt, da dieser
bereits interessante Aspekte der Theorie enthält. Zu dem wird auch der fermionische
Sektor, inklusive der Killing-Spinor Gleichungen, behandelt und fast vollständig ausgearbeitet. Die N = 4 Supergravitation mit G0 = SO(6, n) × SL(2) Symmetrie erhält man,
indem man n Vektormultipletts an das Gravitationsmultiplett koppelt. Durch Kopplung
der geladenen Felder an nichtabelsche Eichfelder und gleichzeitiger Berücksichtigung der
Supersymmetrie erhält man die geeichte Supergravitation. Die Eichgruppe muss dabei
eine Untergruppe von G0 sein. In 4 Dimensionen hat man bei der gleichzeitigen Behandlung von elektrischen und magnetischen Eichfeldern in der Regel Probleme, die daraus
resultieren, dass die zu eichende Symmetrie nicht schon vollständig auf dem Niveau
der Lagrangedichte realisiert ist. Doch wurden diese Probleme in den letzten Jahren
6
GEGENSTAND DER ARBEIT
prinzipiell behoben, so dass hier eine Lagrangedichte konstruiert werden kann, die elektrische und magnetische Vektoreichfelder, sowie Tensoreichfelder enthält. Die Eichung
der Theorie wird mit Hilfe des konstanten embedding Tensors beschrieben, der gewisse
Bedingungen erfüllen muss, um die Theorie konsistent zu machen. Diese sind allgemein
in [2] gefunden worden und werden hier für den 4-dimensionalen N = 4 Fall explizit ausgearbeitet. Wir erhalten daraus Bedingungen an die Deformationsparameter und
damit an die Klasse der möglichen Theorien. Die Deformationsparameter sind die irreduziblen Komponenten des embedding Tensors und werden als solche nachher bestimmt.
Ein weiteres Ziel der Arbeit ist es, einige der in früheren Arbeiten behandelten Eichungen explizit als Spezialfälle der hier ausgearbeiteten universellen Theorie darzustellen.
Insbesondere gehören dazu solche geeichten N = 4 Theorien, die durch dimensionale
Reduktion mit internen Flüssen aus der IIB Stringtheorie entstehen.
Als Einstieg in das Thema wird in Kapitel 1 ein kurzer Überblick über die Supergravitation und den Zusammenhang zur Stringtheorie gegeben.
In Kapitel 2 werden die Grundlagen, Notationen und Begriffe für die weiteren Kapitel erläutert. Der erste Abschnitt fasst dabei frühere Arbeiten zusammen und präsentiert
die ungeeichte N = 4 Supergravitation in 4 Dimensionen. Der zweite Abschnitt befasst
sich mit der elektromagnetischen Dualität, die in der Theorie auftritt, bevor im dritten
Abschnitt der Formalismus des embedding Tensors in 4 Dimensionen erläutert wird und
die notwendigen Bedingungen an konsistente Eichungen gefunden werden.
Im 3.Kapitel wird die geeichte bosonische Lagrangedichte, inklusive des skalaren
Potentials beschrieben. Des Weiteren werden die Variationen der fermionischen Felder
und damit die Killing-Spinor Gleichungen hergeleitet. Im dritten Abschnitt wird dann
der Zusammenhang zu der von de Roo und Wagemans ausgearbeiteten Theorie [3, 4, 5, 6]
hergestellt.
Weitere Beispiele werden im 4.Kapitel behandelt. Insbesondere werden die durch
Kompaktifizierung auf einem Torus aus der 10-dimensionalen IIB Stringtheorie gewonnenen geeichten Supergravitationen als Spezialfälle der allgemeinen Theorie identifiziert.
Ergebnisse der Arbeit sind zum Teil schon in [7] veröffentlicht. Referenz [7] wird nur
zitiert, wenn es sich um Ergebnisse handelt, die dort ausführlicher beschrieben werden.
7
Kapitel 1
Einführung in das Thema
1.1
Supersymmetrie
Eine mögliche Erweiterung des Standardmodells erfolgt durch die Einführung einer
zusätzlichen Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen. Supersymmetrie ist aber
nicht an eine bestimmte Theorie gebunden, sondern kann als zusätzliche Symmetrie
in jeder Feldtheorie, wie zum Beispiel der Stringtheorie, gefordert werden. In konventionellen Quantenfeldtheorien hat man voneinander unabhängig innere Symmetrien und
Raum-Zeit-Symmetrien, die über die Darstellungen der Poincaré-Gruppe in die Theorie
eingehen. Die Poincaré-Gruppe und die Gruppe der inneren Symmetrien bilden ein direktes Produkt. Die Generatoren der Supersymmetrie sind nun fermionischer Natur, d.h.
sie transformieren in der Spinordarstellung der Poincaré-Gruppe. Man hat nicht mehr
eine klassische Lie Algebra mit Kommutatoren, sondern eine Lie Superalgebra, die durch
Kommutatoren und Antikommutatoren beschrieben wird. Die Idee wurde Anfang der
siebziger Jahre [8, 9] entwickelt, um ein 1967 durch Coleman und Mandula [10] gefundenes Theorem zu umgehen. Dieses besagt für 4 Dimensionen, dass bei Beschreibung
der gesamten Symmetrie durch eine Lie-Gruppe nur ein direktes Produkt der Poincaré
und diverser innerer Symmetriegruppen möglich ist. Die Lie-Superalgebra ist also die
einzig mögliche nichttriviale Erweiterung der Poincaré-Algebra. Die Erweiterung der
Poincaré-Algebra, mit den Impuls- Pµ und Lorentzgeneratoren Mµν
[Mµν , Mρλ ] = −i(ηµρ Mνλ − ηµλ Mνρ − ηνρ Mµλ + ηνλ Mµρ ) ,
[Mµν , Pρ ] = i(ηνρ Pµ − ηµρ Pν ) ,
[Pµ , Pν ] = 0 ,
(1.1)
9
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS THEMA
ist gegeben durch [11]
{Qi , Qj } = 2δij Γµ Pµ ,
1
[Qi , Mµν ] = i(Γµν ) Qi ,
2
[Qi , Pµ ] = 0 ,
mit i = 1, . . . , N .
(1.2)
Hinzu können noch Zentralladungen kommen. Die Qi sind die vierkomponentigen Supersymmetriegeneratoren und für die Γ-Matrizen sei auf den Anhang A verwiesen. Die
Anzahl an Supersymmetrien ist durch N gegeben. Im Falle einer erweiterten Supersymmetrie (N > 1) gibt es noch die sogenannte R-Symmetrie. Sie rotiert die Spinoren
Qi , kommutiert mit der Lorentzgruppe und lässt die Supersymmetriealgebra invariant
[12]. In 4 Dimensionen ist die R-Symmetrie gegeben durch U(N ). Wendet man einen
Operator der Supersymmetrie auf einen bosonischen Zustand an, so erhält man einen
fermionischen und umgekehrt. Jedes Boson hat N Fermionen als Superpartner, und da
diese wiederum Superpartner brauchen, ergibt sich eine von N abhängige Anzahl an
Feldern, die man als Multiplett zusammenfasst. So ergibt sich, dass die Anzahl an bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden in einem Multiplett gleich sein muss [11].
Alle Zustände eines Multipletts haben, solange die Supersymmetrie nicht gebrochen ist,
die gleiche Masse.
1.2
Supergravitation
Um nun Supergravitation oder lokale Supersymmetrie zu erhalten, eicht man die globale
Supersymmetrie. In der Quantenfeldtheorie hat sich das Konzept des Eichens von Symmetrien bewährt. Ausgehend von den globalen Symmetrien SU(3) × SU(2) × U(1) erhält
man durch die Forderung nach lokalen, also koordinatenabhängigen Transformationsparametern die Austauschteilchen der verschiedenen Wechselwirkungen. Das Prinzip der
minimalen Kopplung beruht darauf, dass, nachdem die Transformationen Λ von den
Koordinaten abhängen, die partiellen durch kovariante Ableitungen mit einem Spin-1
Eichfeld Vµ ersetzt werden, d.h. ∂µ → Dµ = ∂µ − Vµ . Damit die kovarianten Ableitungen der Felder dann auch wirklich kovariant transformieren, enthält die Transformation
des Eichfeldes δVµ einen Term proportional zu ∂µ Λ(x). Man geht in der Supersymmetrie analog vor. Transformierten in der globalen Supersymmetrie bosonische Felder, z.B.
Skalarfelder φ(x), in fermionische ψ(x) mit dem globalen Transformationsparameter ε
δφ(x) = ε̄ ψ(x) ,
10
(1.3)
1.2. SUPERGRAVITATION
fordert man nun eine lokale Abhängigkeit des Parameters ε(x):
δφ(x) = ε̄(x) ψ(x) .
(1.4)
Als Eichfelder braucht man nun ein Spin- 32 Feld ψµ (x), das wie folgt unter der lokalen
Supersymmetrie transformiert:
δψµ (x) = ∂µ ε(x) .
(1.5)
Gleichzeitig folgt die Notwendigkeit eines weiteren Feldes, des Gravitons (Spin-2), und
somit die Invarianz der Theorie unter allgemeinen Koordinatentransformationen. Die
Eichfelder der Supergravitation nennt man Gravitini, da sie die Superpartner des Gravitons sind. Lokale Supersymmetrie bezieht also automatisch Gravitation mit ein und
dies gilt auch umgekehrt, Invarianz unter allgemeinen Koordinatentransformationen einer supersymmetrischen Theorie führt auf Supergravitation [13].
Eine Supergravitationstheorie wird durch einen Satz von Feldern in einer Lagrangedichte L beschrieben. Die die Physik beschreibenden Bewegungsgleichungen ergeben sich
dann aus dem Wirkungsprinzip. Die Wirkung ist invariant unter der Super-PoincaréAlgebra, deren Darstellungen die Multipletts sind. Darüber hinaus können noch weitere
Symmetrien der Wirkung existieren. Man betrachtet die Skalarfelder als Abbildung der
Raum-Zeit in eine Mannigfaltigkeit, deren Koordinaten durch die Skalarfelder gegeben
sind. Die Isometrien dieser Mannigfaltigkeit lassen sich in vielen Fällen, insbesondere
für N = 4, zu globalen Symmetrien der Theorie erweitern. Wendet man nun wieder das
Konzept des Eichens an, erhält man eine geeichte Supergravitation. Die Vektorfelder
der Theorie nehmen dabei die Rolle der Eichfelder an. In der geeichten Supergravitation
erhält man für einige Felder einen Masseterm und möglicherweise ein skalares Potential
V in L. Ein nicht verschwindendes Potential entspricht einem de Sitter (V > 0) oder
Anti-de Sitter (V < 0) Hintergrund.
Wenn der Vakuumzustand supersymmetrisch ist, müssen die Superpartner die gleiche Masse haben, was offensichtlich durch Experimente ausgeschlossen ist. Deshalb muss
die Symmetrie gebrochen sein, entweder durch einen explizit die Symmetrie verletzenden Zusatzterm oder durch spontane Symmetriebrechung, mit Hilfe eines entarteten Vakuums. Phänomenologisch akzeptable Modelle mit spontaner Supersymmetriebrechung
gibt es nur für lokale Supersymmetrie [14].
Es gibt Supergravitationstheorien in bis zu 11 Dimensionen. Die Anzahl der Supersymmetrien N ist beschränkt, wobei die maximal mögliche Anzahl von der jeweiligen
Dimension abhängt. So ist zum Beispiel in 11 Dimensionen N = 1, in 10 Dimensionen
11
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS THEMA
N durch 2 und in 4 Dimensionen N durch 8 beschränkt. In den verschiedenen Theorien
hat man ein Gravitationsmultiplett, bestehend aus einem Vielbein, N Gravitini und
möglicherweise Teilchen mit Spin-1, 12 und 0. Hinzu können für nicht maximale Theorien beliebig viele Materiemultipletts kommen. Dies sind entweder Vektormultipletts mit
einem Spin-1, Spin- 21 und eventuell noch Spin-0 Feldern oder für noch kleinere N Hypermultipletts, deren Felder Spin s ≤ 21 haben. Die genaue Anzahl der verschiedenen Felder
ergibt sich aus der Dimension und der Bedingung, dass die Anzahl an bosonischen und
fermionischen Freiheitsgraden gleich sein muss.
Für D = 4, N = 4 Supergravitation existiert also, obgleich der großen Anzahl an
Superladungen, neben dem Gravitationsmultiplett noch ein Vektormultiplett, so dass
man im Gegensatz zur maximalen N = 8 Supergravitation bei der Konstruktion der
Lagrangedichte Spielraum hat. Reine N = 4 Supergravitation, d.h. die Theorie ohne
Vektormultipletts, wurde gleich nach den ersten Supergravitationstheorien entwickelt
[15, 16, 17]. In der Folge wurden Theorien mit gekoppelten Vektormultipletts aus Reduktion der 10-dimensionalen Supergravitation gewonnen [18, 19, 20], wobei das Verhalten der Felder entlang der anderen 6 Dimensionen fixiert wurde (dazu im nächsten
Abschnitt mehr), bevor dann wenig später die allgemeine ungeeichte und einige geeichte
Theorien gefunden wurden [21, 22, 23]. Alternativ wurde eine superkonforme Formulierung der N = 4 Supergravitation von de Roo entwickelt [3, 4, 5, 6], die eine größere
Anzahl an geeichten Theorien erfasste.
Die N = 4 Supergravitation spielt eine bedeutende Rolle als Niederenergie Approximation von Superstringtheorien, zu denen wir im nächsten Abschnitt kommen. Auch
Supergravitationen mit weniger Superladungen können durch spontane Symmetriebrechung oder Trunkierung erzeugt werden. So können zum Beispiel aus dem N = 4 Skalarpotential phänomenologisch interessante N = 1 Kähler-Potentiale und Superpotentiale
ausgerechnet werden [24, 25, 26].
1.3
Stringtheorie und dimensionale Reduktion
Die Bausteine der Stringtheorie sind keine punktförmigen Teilchen, sondern eindimensionale offene und geschlossene Objekte, die Strings. Verschiedene Teilchen entsprechen
den verschiedenen Schwingungsmoden der Strings. Zu den Strings können noch höherdimensionale Objekte sogenannte D-branes kommen. Die supersymmetrische Stringtheorie
hat 10 oder 11 Dimensionen. Da die Objekte des massiven Spektrums sehr schwer sind,
interessiert man sich hauptsächlich für die masselosen Objekte, sogenannte Nullmoden.
12
1.3. STRINGTHEORIE UND DIMENSIONALE REDUKTION
Durch die richtige Kompaktifizierung und Symmetriebrechung können diese Objekte in
4 Dimensionen eine Masse erhalten. Es gibt fünf verschiedene Typen von Stringtheorien: I, Heterotisch E8×E8, Heterotisch SO(32), IIA und IIB. Die IIB Theorie hat zum
Beispiel 2 Supersymmetrien und beschreibt orientierte geschlossene Strings. 1994 konnte durch Witten gezeigt werden, dass die fünf Typen zueinander dual sind [27]. Die
effektiven Wirkungen der Stringtheorien werden durch 10-dimensionale Supergravitationen beschrieben. Man muss sich nun natürlich fragen, wie man von den 10- oder
11-dimensionalen Theorien auf die beobachteten 4 Dimensionen kommt. Dies geschieht
indem man einzelne Dimensionen kompaktifiziert. Sie sind nun keine ausgedehnten, sondern nur noch ”zusammengerollte”Dimensionen. Die 10 Dimensionen können also ein
Produkt von 4 echten Raum-Zeit Dimensionen mit 6 anderen sein, die eine interne
Mannigfaltigkeit bilden. Die geometrischen Eigenschaften der internen Mannigfaltigkeit entscheiden, welche 4-dimensionale Supergravitation man am Ende erhält. Eines
der Probleme der Stringtheorie ist, dass diese Art der Kompaktifizierung nicht eindeutig ist. Es ergeben sich durch die Kompaktifizierung eine große Anzahl an masselosen
Skalaren (moduli ), deren Erwartungswerte geradezu beliebig sind. Durch die Fülle der
4-dimensionalen Theorien, die man aus einer einzigen Stringtheorie erhalten kann, ist
die Vorhersagekraft der Theorie stark eingeschränkt.
Entscheidende Arbeiten zur dimensionalen Reduktion wurden von Kaluza und Klein
[28, 29] beziehungsweise von Scherk und Schwarz [18] veröffentlicht. Bei Kaluza-Klein
Reduktion, wie sie etwa in [30] dargestellt wird, hängen die Felder nicht von den Koordinaten der internen Mannigfaltigkeit ab. Um die 4-dimensionale Theorie zu erhalten
entwickelt man die Felder in einen vollständigen Satz von Funktionen auf der internen Mannigfaltigkeit und integriert über die internen Koordinaten. Die Felder haben
eine Masse, die umgekehrt proportional zur Größe der internen Mannigfaltigkeit ist. Im
Niederenergie Limes hat man daher nur noch die masselosen Felder, die bei KaluzaKlein Reduktion kein Potential haben. Mit dieser Art der dimensionalen Reduktion
erhält man also nur ungeeichte Supergravitationen. Die Verallgemeinerung dieser Kompaktifizierung ist die Scherk-Schwarz Reduktion, bei der die Felder in einer von der
höherdimensionalen Symmetrie vorgeschriebenen Weise von den kompakten Koordinaten abhängen dürfen. Eine weitere Möglichkeit eine geeichte Supergravitationstheorie
durch dimensionale Reduktion zu erhalten ist die Kompaktifizierung mit Flüssen, wie
sie zum Beispiel in [31]. beschrieben wird. Bildet man Tensorfeldstärken von den verschiedenen Feldern der höherdimensionalen Supergravitation und integriert diese über
interne Koordinaten erhalten diese Größen einen Erwartungswert. Dieser Erwartungs13
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS THEMA
wert der Tensorfeldstärken wird als Fluss bezeichnet. Durch die Kompaktifizierung mit
Flüssen werden so die Erwartungswerte der Skalare zum Teil bestimmt. Diesen Vorgang
nennt man moduli stabilisation und man erhält durch ihn ein Skalarpotential [31].
14
Kapitel 2
N = 4 Supergravitation
2.1
Ungeeichte N = 4, D = 4 Supergravitation
Dieser Abschnitt soll die Eigenschaften der ungeeichten N = 4 Supergravitation in
4 Dimensionen zusammenfassen [3, 4, 5, 6, 21, 22, 23]. Die Theorie besteht aus einem Gravitationsmultiplett, an das n Vektormultipletts koppeln. Bei der Formulierung
sowohl der ungeeichten als auch der deformierten Theorie ist die Anzahl n der Vektormultipletts beliebig. Nur wenn wir eine Verbindung mit der dimensionalreduzierten
Stringtheorie herstellen wollen, wie in Kapitel 4 müssen wir n ≥ 6 annehmen. Die globale on-shell Symmetrie ergibt sich zu G0 = SO(6, n) × SL(2) [3], die lokale Symmetrie
ist H = SU(4) × SO(n) × SO(2). Die Skalare der Theorie parametrisieren die Mannigfaltigkeiten SO(6, n)/[SU(4) × SO(n)] und SL(2)/SO(2). Die globalen Symmetrien sind
Isometrien der zusammengesetzten Skalarmannigfaltigkeit, H ist die Isotropie-Gruppe.
Die zur Mannigfaltigkeit gehörende Darstellung der Skalarfelder muss dann entsprechend unter G0 und H transformieren. Hier wird SL(2)/SO(2) statt der äquivalenten
Beschreibung SU(1,1)/U(1) gewählt, die in früherer Literatur häufig verwendet wurde.
Das Gravitationsmultiplett besteht aus dem Vierbein eµ a , 4 Gravitini ψµi mit positiver Chiralität, 6 Vektorfelder, 4 Spinoren χi mit negativer Chiralität, sowie einem
komplexen Skalar τ [23]. Hierbei sind i, j, ... = 1, ..., 4 SU(4) Indizes, a = 0, 1, 2, 3 ein
flacher und µ = 0, 1, 2, 3 ein gekrümmter Raum-Zeit Index. Für die hier verwendete
chirale Notation sei auf den Anhang A verwiesen. Das komplexe Skalarfeld τ parametrisiert die Coset Mannigfaltigkeit SL(2)/SO(2). Diese lässt sich alternativ auch durch die
symmetrische SL(2) Matrix Mαβ oder einen komplexen SL(2) Vektor Vα modulo einer
SO(2) Wirkung beschreiben (α = +, −)1 . Der Zusammenhang zwischen M , M −1 und τ
1
Die Übersetzung der Komponenten in die Notation von [23] lautet: V+ = ψ und V− = iφ.
15
KAPITEL 2. N = 4 SUPERGRAVITATION
ist gegeben durch
Mαβ
1
=
Im(τ )
|τ |2 Re(τ )
Re(τ ) 1
!
,
M αβ
1
=
Im(τ )
1
−Re(τ )
−Re(τ ) |τ |2
!
.
(2.1)
Eine SL(2) Transformation von M entspricht daher einer Möbius-Transformation von τ :
!
a
b
M → gM g T τ → (aτ + b)/(cτ + d) , mit g =
.
(2.2)
c d
Die Komponenten des SL(2) Vektors Vα tragen SO(2) Ladung +1, die komplex konjugierten −1. Diese Darstellung wird daher bei der Kopplung zwischen Skalaren und
Fermionen benutzt. Die Übersetzung in die beiden anderen gleichwertigen Beschreibungen ist
τ =
V+∗
,
V−∗
Mαβ = Re(Vα Vβ∗ ) .
(2.3)
Aus den n Vektormultipletts kommen dann noch n Vektorfelder, 4n Spinoren λai mit
positiver Chiralität (a = 1, 2, ..., n) und 6n Skalare. Die 6n Skalare werden durch die
(n+6)×(n+6) Matrix V = (VM m , VM a ) der SO(6,n)/[SU(4) × SO(n)] Mannigfaltigkeit
dargestellt (M = 1, ..., n + 6; m = 1, ..., 6). Hierbei ist m ein SO(6) Index. Man beachte
dabei, dass die 6-dimensionale Darstellung der SU(4) äquivalent zur Vektordarstellung
der SO(6) ist, d.h. VM m kann alternativ durch einen in den SU(4) Indizes antisymmetrischen Tensor VM ij beschrieben werden. Dieser erfüllt folgende Realitätsbedingung:
1
VM ij = (VM ij )∗ = ijkl VM kl .
2
(2.4)
Die Normierung wird so gewählt, dass für das Skalarprodukt zweier Vektoren
1
VM m VN m = ijkl VM ij VN kl
2
(2.5)
gilt. Da V eine SO(6,n) Matrix ist, ergibt sich folgender Zusammenhang mit der SO(6,n)
Metrik ηM N = diag(−, −, −, −, −, −, +, ..., +):
ηM N = −VM ij VN ij + VM a VN a .
(2.6)
Wir wählen2
i j
VM ij V Mkl = −δ[k
δl] ,
2
VM a V Mb = δba
und VM a V Mij = 0 ,
(2.7)
i j
Die eckigen Klammern bedeuten hier und überall sonst Antisymmetrisierung, d.h. δ[k
δl] = 12 (δki δlj −
δli δkj ) , etc.
16
2.1. UNGEEICHTE N = 4, D = 4 SUPERGRAVITATION
Feld
eµ a
ψµi
+
AM
µ
VM a
VM ij
χi
λai
Vα
SO(n),SU(4) Darstellung SO(2) Ladung
(1,1)
0
(1,4)
− 12
(1,1)
0
(n,1)
0
(1,6)
0
3
(1,4)
2
1
(n,4)
2
(1,1)
1
Bedingungen
i
γ5 ψµ = +ψµi
ij ∗
(VM ) = 12 ijkl VM kl
γ5 χi = −χi
γ5 λai = +λai
-
Tabelle 2.1: Felder der N = 4 Supergravitation
so dass für die Inverse V −1 = (−V M ij , V M a ) gilt. Unter der zusammengesetzten Wirkung
der globalen SO(6,n) und der lokalen SU(4) × SO(n) transformiert V wie üblich [12] zu:
V
→
gVh(x),
g ∈ SO(6, n),
h(x) ∈ SO(6) × SO(n).
(2.8)
Auch hier lässt sich der Coset Raum alternativ durch eine symmetrische positiv definite
Matrix
MM N = VM a VN a + VM ij VN ij
(2.9)
parametrisieren. MM N ist invariant unter H. Wir werden wegen der größeren Übersicht
die Beschreibung mit M = VV T wählen und nur da zur Schreibweise mit SU(4) Indizes
wechseln, wo Fermionen dazukommen und es sich so nicht vermeiden lässt.
+
Die n + 6 Vektorfelder AM
bezeichnen wir als elektrisch und geben ihnen einen
µ
SL(2) Index “ + “. Sie gehen in die ungeeichte Theorie mit ihren abelschen Feldstärken
+
M+
Fµν
= 2∂[µ AM
ein (auch hier bedeutet, dass “ + “ elektrische und nicht, wie häufig in
ν]
der Literatur, komplexe selbstduale Kombinationen der Feldstärke). Magnetische Vek−
kommen in der ungeeichten Lagrangedichte nicht vor, lassen sich aber,
torfelder AM
µ
wie im nächsten Abschnitt getan, auf der Ebene der Bewegungsgleichungen einführen.
Die Lagrangedichte, insbesondere der kinetische Vektorterm, ist invariant unter der
SO(1, 1) × SO(6, n) .
In Tabelle 2.1 sind die Felder mit den H Darstellungen unter denen sie transformieren, ihrer SO(2) Ladung und ihren Realitäts- sowie Chiralitätsbedingungen aufgelistet.
Die gesamte ungeeichte Lagrangedichte teilen wir in zwei Teile auf:
Lgesamt = Lbos + Lfer .
17
(2.10)
KAPITEL 2. N = 4 SUPERGRAVITATION
Der bosonische Teil ist gegeben durch [23]
e−1 Lbos =
1
1
1
R + (∂µ MM N )(∂ µ M M N ) −
(∂µ τ )(∂ µ τ ∗ )
2
2
16
4Im(τ )
1
1
M + µνN +
M+ N+
− Im(τ )MM N Fµν
F
+ Re(τ )ηM N µνρλ Fµν
Fρλ ,
4
8
(2.11)
wobei e = det(eµ a ) und R der Ricci-Skalar ist. Man beachte, dass der kinetische Term
der SL(2) Skalare genauso gut durch Mαβ ausgedrückt werden kann. Es gilt
1
Im(τ )−2 (∂µ τ ) (∂ µ τ ∗ ) = − (∂µ Mαβ ) (∂ µ M αβ ).
2
(2.12)
Der kinetische Term der Lagrangedichte, der die SO(6,n) Skalarfelder beschreibt, lässt
sich mit
(∂µ MM N )(∂ µ M M N ) = −8(V M a ∂µ VM m )(V N m ∂µ VN a )
(2.13)
umformen. Man sieht an der Lagrangedichte, dass, um positive kinetische Energie sicherzustellen, Mαβ eine positiv definite Matrix sein muss, was auf Im(τ ) > 0 führt. Der
fermionische Sektor der Lagrangedichte lautet [23]
1
1
1
e−1 Lfer = − ψ̄µi Γµνρ ∇ν ψρi − χ̄i Γµ ∇µ χi − λ̄ai Γµ ∇µ λai
2
4
2
1 i µ ν
ai µ ν j
M
−i λ̄ Γ Γ ψµ V a ∂ν VM ij + i χ̄ Γ Γ ψµi (V−∗ ∂ν V+∗ − V+∗ ∂ν V−∗ )
4
1
−1 M +
λ
µν
+ (V− ) Fµν (ψ̄i Γ[λ Γ Γρ] ψjρ VM ij − ψ̄ λi Γµν Γλ χj VM ij
4
− i ψ̄λi Γµν Γλ λai VM a − i λ̄ai Γµν χi VM a + λ̄ai Γµν λaj VM ij )
+ h.c. + Terme mit 4 Fermionen .
(2.14)
Die kovarianten Ableitungen ∇µ sind folgendermaßen definiert:
∇µ λia = ∂µ λia +
1 ab
ωµ Γab λia + V M a ∂µ VM b λib + V M ik ∂µ VM kj λja
4
1
− i (V− ∂µ V+∗ − V+ ∂µ V−∗ ) λia ,
4
(2.15)
und entsprechend für ∇µ ψνi und ∇µ χi . Die gesamte Lagrangedichte L = Lbos + Lfer ist
bis auf totale Ableitungen invariant unter Supersymmetrietransformationen. Die Trans18
2.2. ELEKTROMAGNETISCHE DUALITÄT
formationen lauten im Einzelnen [23]
δeµ a = ε̄i Γa ψµi + h.c. ,
1
M+
δψµ i = 2∇µ εi − (V− )−1 Γab Γµ Fab
VM ij εj + Terme mit 3 Fermionen ,
2
ij
+
δAM
= −2V− V M ij ε̄i ψµj + V− V M ε̄i Γµ χj − iV− V M a ε̄i Γµ λai + h.c. ,
µ
M+
δχi = V−∗ −1 Γab Fab
VM ij εj − iΓa εi (V− ∂a V+ − V+ ∂a V− ) + Terme mit 3 Fer. ,
1
M+
δλai = − i(V−∗ )−1 Γab Fab
VM a εi + Γa V M a ∂a VM ij εj + Terme mit 3 Fer. ,
2
δVM a = 2iVM ij ε̄i λaj + h.c.,
δV M ij = −2iV M a ε̄[i λaj] + 2iV M a ijkl ε̄k λal ,
δV+ = ε̄i χi V+∗ ,
δV− = +ε̄i χi V−∗ .
2.2
(2.16)
Elektromagnetische Dualität
Wie schon im letzten Abschnitt erwähnt hat die Lagrangedichte (2.10) nur SO(1, 1) ×
SO(6, n) und nicht die ganze globale Symmetriegruppe G0 als Symmetrie. Erst auf der
Ebene der Bewegungsgleichungen ist die Theorie invariant unter SL(2) × SO(6, n). Diese
Situation ist in 4 Dimensionen nicht ungewöhnlich, der Grund dafür ist die elektromagnetische Dualität [2, 12, 32, 33].
Um die Bewegungsgleichungen SL(2) kovariant aufschreiben zu können, definiert
man
M+
M+
Gµν
≡ Fµν
,
M−
Gµν
≡ e−1 η M N µνρλ
∂L
N+
∂Fρλ
1
M+
= − µνρλ Im(τ )M M N ηN P F P + ρλ − Re(τ )Fµν
+ fermionische Terme. (2.17)
2
Wir fassen diese beiden Feldstärken zu einem SL(2) Vektor
!
M+
G
µν
Mα
=
Gµν
(2.18)
M−
Gµν
zusammen, dessen Komponenten Funktionen der elektrischen Feldstärke sind. Die BianchiIdentitäten und die Bewegungsgleichungen der elektrischen Vektorfelder lauten in der
ungeeichten Theorie
Mα
∂[µ Gνρ]
= 0.
19
(2.19)
KAPITEL 2. N = 4 SUPERGRAVITATION
Sie sind bis auf eine lineare Transformation invariant unter einer reellen konstanten
Rotation
!
!
!
!
N+
M+
M+
U M N ZM N
Gµν
Gµν
G̃µν
→
=
.
(2.20)
M−
N−
M−
WMN V MN
Gµν
Gµν
G̃µν
µ
Mα
Will man G̃µν
wieder aus einer neuen rotierten Lagrangedichte herleiten, wie in (2.17),
muss die Rotation ein Element der symplektischen Gruppe Sp(2n+12, R) sein. Man hat
M+
in 4 Dimensionen eigentlich 2(n + 6) Vektorfeldstärken, neben den elektrischen Fµν
=
+
−
M−
2∂[µ AM
noch die magnetischen Fµν
= 2∂[µ AM
ν]
ν] . Magnetische Vektorfelder und damit
auch die magnetischen Feldstärken kommen in der ungeeichten Lagrangedichte allerdings
nicht vor. Man setzt auf der Ebene der Bewegungsgleichungen
M−
M−
Fµν
≡ Gµν
.
(2.21)
Mα
Zusammen bilden die Vektorfeldstärken ein SL(2) Vektor Fµν
und erfüllen die Dualitätsrelation
Mα
Pγ
Fµν
= ∗ΩM α,N β MN P Mβγ Fµν
,
(2.22)
mit dem Hodge Dualitätsoperator ∗ und
ΩM α,N β = αβ ηM N =
0
ηM N
−ηM N 0
!
.
(2.23)
Der kinetische Feldstärketerm der Lagrangedichte ist gegeben durch
LF F =
1
1
M + µνN +
M+ N+
IM N Fµν
F
+ RM N µνρλ Fµν
Fρλ ,
4
8
(2.24)
wobei R MN und IM N die von den Skalarfeldern abhängigen Real- und Imaginärteile des
symmetrischen Tensors NM N sind. Durch eine symplektische Rotation der Feldstärken
Mα
Fµν
erhält man eine Lagrangedichte in derselben Form aber mit anderem NM N :
NM N → (V N + W )M P [(U + ZN )−1 ]P N .
(2.25)
Um eine symplektische Rotation zu einer Symmetrie der Theorie erweitern zu können,
muss es eine entsprechende Isometrie auf der Skalarmannigfaltigkeit geben.
Man kann also Lagrangedichten in unterschiedlichen symplektischen Rahmen betrachten, die dadurch auch unterschiedliche Symmetriegruppen besitzen. Die dazugehörigen Bianchi-Identitäten und Bewegungsgleichungen sind linear äquivalent und invariant
20
2.3. EICHEN VON N = 4 SUPERGRAVITATION
unter G0 , so dass dieselbe Theorie beschrieben wird. Auf der Ebene der BewegungsMN
αβ
gleichungen können auch die zu den Skalarfeldern dualen Tensorfelder Bµν
und Bµν
definiert werden
∂L
1
MN
∂[µ Bνρ]
≡ 2µνρλ η M P MP Q
= µνρλ η M P MP Q ∂ λ M QN ,
∂(∂λ MQN )
4
∂L
1
+α
∂[µ Bνρ]
≡ 2µνρλ M−γ
= µνρλ M−γ ∂ λ M γα .
(2.26)
∂(∂λ Mγα )
2
Für die geeichte Theorie ist die Situation ein wenig anders. Um alle möglichen deformierten Theorien zu erhalten müsste man eigentlich in jedem symplektischen Rahmen
die Theorie eichen. Wenn wir aber eine Lagrangedichte mit magnetischen Vektorfeldern
MN
αβ
und Tensorfeldern Bµν
und Bµν
, wie in [2], einführen, reicht es aus die Lagrangedichte im bisherigen symplektischen Rahmen der ungeeichten Theorie zu entwickeln. Eine
elektrische Eichung in einem anderen symplektischen Rahmen entspricht dann einer Deformation mit elektrischen und magnetischen Eichfeldern. Man erhält für alle mit G0
rotierten Lagrangedichten äquivalente Bewegungsgleichungen. G0 wirkt dabei wieder auf
die Vektorfeldstärken wie ein Element der Sp(2n + 12, R).
2.3
Eichen von N = 4 Supergravitation
Wir wollen nun die ungeeichte Theorie deformieren. Für N = 4 sind die einzigen Möglichkeiten der Deformation durch Eichungen der globalen Symmetrien gegeben. Sie werden
mit dem Prinzip der minimalen Kopplung von Vektorfeldern an die Isometriegeneratoren
durchgeführt. Die Standardeichung beschränkt sich dabei auf die n + 6 elektrischen Vektorfelder der ungeeichten Theorie und man erhält ”rein elektrische” Eichung. Man kann
zwar so auch Kopplungen mit magnetischen Vektorfeldern erzeugen, muss dafür aber
vorher die entsprechenden magnetischen Ladungen durch Dualitätstransformationen in
elektrische umwandeln und kann dann erst die Theorie elektrisch eichen. Allerdings
lassen sich die so gewonnenen Erkenntnisse schwer in eine allgemeine geeichte Theorie
fassen. Die in der Literatur bisher untersuchten Fälle behandelten daher elektrische, wie
zum Beispiel [23], oder nur einen Teil der magnetischen Eichungen [4, 6, 34, 35]. Der
nun vorgestellte Formalismus beruht auf [2]. Durch die Einführung des symplektischen
Formalismus und des embedding Tensors wird die systematische Behandlung aller möglichen Deformationen der Theorie ermöglicht. Wir erhalten dabei eine Lagrangedichte in
der gleichermaßen elektrische wie magnetische Eichfelder auftreten. Daraus resultierende überflüssige Freiheitsgrade werden durch die Einführung von 2-Form Eichfeldern und
der Forderung einer extra Eichinvarianz absorbiert.
21
KAPITEL 2. N = 4 SUPERGRAVITATION
Eine symplektische Transformation S auf dem aus elektrischen und magnetischen
α
Vektorfeldern zusammengesetzten Vektor AM
µ
+
AM
µ
−
AM
µ
!
→
+
ÃM
µ
−
ÃM
µ
!
= SM N
+
AN
µ
−
AN
µ
!
,
(2.27)
führt auf Lagrangedichten mit unterschiedlicher off-shell Symmetrie. Wenn man die
symplektische Transformation auf den Isometrien der Skalarmannigfaltigkeit fortsetzen
kann, bleiben deren Bewegungsgleichungen aber unverändert. Mathematisch entspricht
diese Transformation einer unterschiedlichen Einbettung von G0 in Sp(2n + 12,R).
Der Doppelindex M α lässt sich mit Hilfe des schiefsymmetrischen Tensors ΩM α,N β =
αβ ηM N runter- und mit seinem konjugierten Tensor ΩM α,N β hochziehen, wobei wir folgende Konvention wählen:
Y M α = YN β ΩN β,M α ,
YM α = Y N β ΩM α,N β ,
(2.28)
für beliebige Tensoren Y . Der Epsilon-Tensor erfüllt +− = +− = 1 und somit
αγ βγ = δαβ .
(2.29)
Die Eichgruppe G muss eine Untergruppe der globalen Symmetriegruppe G0 =
SO(6,n) × SL(2) sein. Für die Generatoren tΛ von G0 in der fundamentalen Darstellung
wählt man
Q
(tM N )P Q = δ[M
ηN ]P ,
δ
(tαβ )γδ = δ(α
β)γ .
(2.30)
Aus diesen werden 2(6 + n) heraus projiziert, die dann an die Vektorfelder koppeln.
Die Einbettung von G in G0 erfolgt mit Hilfe des embedding Tensors ΘM αΛ , wobei der
Index Λ über alle Indizes der Generatoren von G0 läuft. Für die Generatoren XM α der
Eichgruppe ergibt sich so
XM α = ΘM αΛ tΛ .
(2.31)
Schreibt man den Tensor XM α in Komponenten aus, lautet er
γ
P
P
XM αN β P γ = ΘM αRS δ[R
ηS]N δβγ + ΘM αλσ δ(λ
σ)β δN
.
(2.32)
Für die Eichgruppengeneratoren gilt in der 2n + 12-dimensionalen Darstellung
XM α[{N β}
Qδ
Ω{P γ}]Qδ = 0 .
22
(2.33)
2.3. EICHEN VON N = 4 SUPERGRAVITATION
Damit die geeichte Lagrangedichte invariant unter Eichtransformationen ist, muss ΘM αΛ
folgender linearen Bedingung genügen [2]:
Qδ
X({M α}{N β}{P γ}) ≡ X({M α}{N β} Ω{P γ})Qδ = 0 ,
(2.34)
wobei die runden Klammern Symmetrisierung in den drei Doppelindizes bedeuten. Um
diese Bedingung zu erfüllen, zerlegt man die beiden Teile des embedding Tensors in seine
irreduziblen Komponenten
[N
ΘM α N P = fα[M RS] η RN η SP ⊕ δM ξ P ] ⊕ Θ̂M α [N P ] ,
ΘM α βγ = ξ˜M δ δ(β δ γ) ⊕ Θ̂M α (βγ) ,
α
(2.35)
mit Θ̂Rα [N R] = 0 und Θ̂M δ (βδ) = 0. Durch Einsetzen in die lineare Bedingung müssen
einige dieser irreduziblen Komponenten verschwinden. Es bleiben nur der in den SO(6, n)
Indizes antisymmetrische Tensor fα[M N P ] und ξM α = ξ˜M α übrig:
N]
ΘM αβγ = ξδM δ(β δαγ) ,
ΘM αN P = fαM N P + ξα[P δM ,
(2.36)
alle anderen Objekte müssen Null sein. Des Weiteren muss der embedding Tensor bzw.
seine Komponenten invariant unter der Wirkung der Eichgruppe δM α = ΘM α Λ δΛ sein:
δM α ξN β = 0 ,
δM α fβN P Q = 0 .
(2.37)
Dies führt auf folgende quadratische Bedingungen:
ξαM ξβM = 0 ,
P
ξ(α
fβ)P M N = 0 ,
3fαR[M N fβP Q]R + 2ξ(α[M fβ)N P Q] = 0 ,
αβ (ξαP fβP M N + ξαM ξβN ) = 0 ,
αβ (fαM N R fβP Q R − ξαR fβR[M [P ηQ]N ] − ξα[M fN ]P Qβ + ξα[P fQ]M N β ) = 0 .
(2.38)
Insbesondere folgt daraus
αβ fαM P Q fβN P Q =
n αβ P
n
ξα fβP M N = − αβ ξαM ξβN .
4
4
(2.39)
Die quadratischen Bedingungen sind invariant unter der globalen Symmetriegruppe G0 .
Die Wirkung von G0 auf eine gegebene Lösung erzeugt zwar neue Lösungen, doch beschreiben diese die gleiche deformierte Supergravitation. Für off-shell Symmetrietransformationen ist dies offensichtlich, da sie einer linearen Neudefinition der Vektorfelder
23
KAPITEL 2. N = 4 SUPERGRAVITATION
entsprechen, die elektrische und magnetische Felder nicht vermischen. Andere G0 Transformationen, wie SL(2) führen auf verschiedene deformierte Lagrangedichten, die durch
eine symplektischen Rotation verbunden sind, welche elektrische in magnetische Vektoren überführt.
Die quadratischen Bedingungen (2.38) sind gleichbedeutend mit dem Abschluss der
Eichalgebra
[ XM α , XN β ] = −XM αN βP γ XP γ .
(2.40)
XM αN βP γ lässt sich so als Strukturkonstante der Eichalgebra interpretieren. Ausgedrückt
durch die Deformationsparameter lautet sie explizit
1
γ
P γ
P
P γ
XM αN βP γ = fαM P N δβγ + (ξN α δM
δβ − ηM N ξαP δβγ + ξM
δN
αβ − ξM β δN
δα ).(2.41)
2
Der Abschluss der Eichalgebra (2.40) fordert nur die Antisymmetrie in den beiden ersten
Doppelindizes von XM αN βP γ nach der Kontraktion mit XP γ . Im Allgemeinen verschwindet X({M α}{N β}) P γ also nicht. Eine Folge daraus ist, dass die Jacobi-Identität nur bis auf
einen Term proportional zu X({M α}{N β}) P γ erfüllt ist. Des Weiteren transformiert die
Mα
gewöhnliche nichtabelsche Feldstärke Fµν
nicht kovariant unter der Vektoreichtransformation ΛM α . Um dieses Problem zu lösen, müssen wir die Feldstärke um die 2-Formen
MN
αβ
Bµν
und Bµν
erweitern. Die so modifizierte Feldstärke lautet
1 αβ M
1
NP
γδ
g Θβ N P Bµν
+ g αβ ΘM
(2.42)
β γδ Bµν .
2
2
MN
αβ
Bµν
und Bµν
werden in der Lagrangedichte immer nur in Verbindung mit g ΘP −M N
bzw. g ΘP −αβ auftreten, so dass sie im Grenzfall der ungeeichten Theorie (g = 0), genau
wie die magnetischen Felder, wieder komplett aus der Lagrangedichte verschwinden.
Darüber hinaus benötigen wir neben der üblichen Vektoreichtransformation ΛM α noch
[M N ]
(αβ)
N
die Tensoreichtransformationen ΞM
= Ξµ
und Ξαβ
. Die Variation der 2µ
µ = Ξµ
M+
Formen unter Eichtransformation wird so gewählt, dass die modifizierte Feldstärke Hµν
kovariant unter allgemeinen Vektor- und Tensortransformationen ist:
Mα
Mα
Hµν
= Fµν
+
Mα
Nβ
δHµν
= −gXP γN β M α ΛP γ Gµν
.
(2.43)
Die allgemeinen Transformationen wirken nun folgendermaßen auf die Eichfelder:
g
g M ++ g M +−
+
NP
= Dµ ΛM + − ΘM
− ξ+
Ξµ − ξ− Ξµ ,
δAM
µ
− N P Ξµ
2
2
2
g M
g M −− g M +−
M−
M−
NP
δAµ = Dµ Λ
+ Θ+ N P Ξµ − ξ− Ξµ − ξ+ Ξµ ,
2
2
2
α[M
N ]β
MN
MN
α[M N ]β
δBµν = 2D[µ Ξν] + 2αβ A[µ δAν] − 2αβ Λ Gµν ,
M (α
β)N
αβ
δBµν
= 2D[µ Ξαβ
ν] − 2ηM N A[µ δAν]
24
β)N
+ 2ηM N ΛM (α Gµν
,
(2.44)
2.3. EICHEN VON N = 4 SUPERGRAVITATION
wobei
α
Mα
NP
(α β)γ
Dµ = ∇µ − gAM
tN P + gAM
ξM γ tαβ
µ XM α = ∇µ − gAµ ΘM α
µ
(2.45)
die kovariante Ableitung ist. Die Kopplungskonstante g ließe sich aus der Theorie entfernen, indem man die Tensoren f → g −1 f und ξ → g −1 ξ umdefiniert. Sie wird aber
explizit hingeschrieben, um die Terme, die beim Deformieren hinzu kommen und ihre
Ordnung in der Kopplungskonstanten leichter zu erkennen.
Der einzige nicht verschwindende Kommutator der Eichtransformationen ist
[δΛ1 , δΛ2 ] = δΛ̃ + δΞ̃ ,
(2.46)
mit
β Pγ
Λ̃M α = gXN βP γ M α ΛN
[1 Λ2] ,
α[M
N ]β
α[M
N ]β
N
Ξ̃M
=
Λ
D
Λ
−
Λ
D
Λ
,
αβ
µ 2
µ 1
1
2
µ
M (α
β)N
M (α
β)N
Ξ̃αβ
=
−η
Λ
D
Λ
−
Λ
D
Λ
.
MN
µ 2
µ 1
1
2
µ
(2.47)
Die verschiedenen Deformationen der ungeeichten N = 4 Theorie werden durch
fαM N P und ξM α parametrisiert. Umgekehrt liefert jede Lösung der quadratischen Bedingung (2.38) eine konsistente Deformation. Da die quadratischen Bedingungen von
großer Bedeutung sind, schauen wir uns hier schon mal Lösungen mit nur einem Parameter an. Für fαM N P = 0 vereinfacht sich (2.38) zu
ξαM ξβM = 0 ,
αβ ξαM ξβN = 0 .
(2.48)
Aus diesen beiden Gleichungen folgt, dass sich ξM α aufspalten lässt in
ξM α = vα wM .
(2.49)
Wobei vα ein beliebiger und wM lichtartiger Vektor ist, dass heißt wM wM = 0. Bei verschwindendem ξM α ergeben sich aus den quadratischen Bedingungen (2.38) zwei Gleichungen, sie lauten
fαR[M N fβP Q] R = 0 ,
αβ fαM N R fβP Q R = 0 .
(2.50)
Die erste entspricht für α = β der Jacobi-Identität, während die zweite, wenn f+M N P
proportional zu f−M N P ist, trivial erfüllt ist. Mögliche Lösungen dieser Gleichungen
werden in Abschnitt 3.3 behandelt, wo genau wie in Kapitel 4 noch weitere Spezialfälle
der quadratischen Bedingungen beschrieben werden. Zuerst aber wird am Anfang des
nächsten Kapitels die allgemeine geeichte Lagrangedichte hergeleitet.
25
Kapitel 3
Geeichte N = 4 Supergravitation
Im ersten Abschnitt wird der bosonische Anteil der geeichten Lagrangedichte mit Hilfe des im vorherigen Kapitel ausgearbeiteten Formalismus vorgestellt. Die Einhaltung
der Supersymmetrie ist maßgeblich für die Form der Lagrangedichte verantwortlich.
Eicht man, von (2.10) ausgehend, die Isometrien der Skalarmannigfaltigkeit ist die Lagrangedichte nicht mehr invariant unter Supersymmetrien. Dafür verantwortlich sind
die zusätzlichen Terme in den nun kovarianten Ableitungen der Skalarfelder, die beim
Eichen auftreten, wie schon in Abschnitt 1.2 für allgemeine Eichung besprochen. Man
versucht nun durch Addition verschiedener Terme in erster Ordnung g die Theorie wieder supersymmetrisch zu machen. Hinzugefügt werden fermionische Masseterme, also
bilineare Fermionenterme, in denen auch Skalare auftauchen, topologische Terme, in denen die Eichfelder auftreten, und ein Skalarpotential. Die so gewonnene Lagrangedichte
ist invariant unter modifizierten Supersymmetrievariationen. Um die Supersymmetrie
komplett zu überprüfen müsste man den fermionischen Teil hinzuziehen, der hier nicht
vollständig ausgearbeitet ist. Die neuen Variationen der Fermionen und damit auch die
Killing-Spinor Gleichungen werden im zweiten Abschnitt mit Hilfe der Supersymmetrie
hergeleitet. Des Weiteren werden einige der neuen Fermionterme beispielhaft bestimmt.
Die Bestimmung der vollständigen Lagrangedichte und der Variation der 2-Form beinhaltet zwar keine prinzipiellen Schwierigkeiten, allerdings liefert sie an dieser Stelle auch
keine wichtigen Erkenntnisse, so dass hier darauf verzichtet wird. Ein Teil der Ergebnisse
lässt sich mit bereits bekannten Spezialfällen vergleichen [3, 6, 23, 35]. So ist zum Beispiel
in [23] die elektrisch geeichte Lagrangedichte mit bilinearen Fermiontermen aufgeführt,
die sich aufgrund der ähnlichen Notation leicht mit den hier vorgestellten Ergebnissen
vergleichen lässt.
27
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
3.1
Die bosonische Lagrangedichte
Der bosonische Sektor der allgemeinen geeichten Lagrangedichte setzt sich aus dem kinetischen und dem topologischen Term, sowie dem Potential zusammen. Jede konsistente
Deformation der Theorie erfüllt die Bedingungen (2.34) und (2.38) und wird durch unsere Deformationsparameter ξM α und fαM N P = fα[M N P ] charakterisiert. Sie tauchen in
der Lagrangedichte unter anderem in folgenden Linearkombinationen auf
ΘαM N P = fαM N P + ξα[P ηN ]M ,
3
fˆαM N P = fαM N P − ξα[M ηP ]N − ξαN ηM P .
2
Der bosonische Teil der allgemeinen geeichten N = 4 Supergravitation lautet
Lbos = Lkin + Ltop + Lpot .
(3.1)
(3.2)
Die kinetische Lagrangedichte ergibt sich aus der ungeeichten (2.11), indem man die
M+
partiellen durch kovariante Ableitungen und die abelschen Feldstärken Fµν
durch die
M+
entsprechenden kovarianten Hµν ersetzt. Die kovarianten Ableitungen lauten
α
∂µ → Dµ = ∂µ − gAM
µ XM α
(α β)γ
α
NP
tN P + gAM
ξM γ tαβ .
= ∂µ − gAM
µ ΘM α
µ
(3.3)
Mα
Die kovarianten Feldstärken Hµν
ergeben sich zu
+
M+
M Nα P +
ˆ
Hµν
= 2∂[µ AM
ν] − g f αN P A[µ Aν]
g
g M ++ g M +−
NP
+ Θ− M N P Bµν
+ ξ+
Bµν + ξ− Bµν ,
2
2
2
Nα
P−
M−
M−
M
ˆ
Hµν = 2∂[µ Aν] − g f αN P A[µ Aν]
g
g M −− g M +−
NP
− Θ+ M N P Bµν
+ ξ−
Bµν + ξ+ Bµν ,
(3.4)
2
2
2
wobei im kinetischen Teil, ähnlich wie im ungeeichten Fall, nur die elektrische kovariante
M+
Feldstärke Hµν
auftritt. Es ergibt sich so die kinetische Lagrangedichte
e−1 Lkin =
1
1
1
R+
(Dµ MM N )(Dµ M M N ) −
(Dµ τ )(Dµ τ ∗ )
2
16
4 Im(τ )2
1
1
Im(τ ) MM N Hµν M + HµνN + + Re(τ ) ηM N µνρλ Hµν M + Hρλ N + . (3.5)
4
8
Schreibt man die kovarianten Ableitungen aus den kinetischen Skalartermen aus, ergibt
sich
−
γ
Mδ
γ
Dµ Mαβ = ∂µ Mαβ + gAM
µ ξM (α Mβ)γ + gAµ ξM δ(α Mβ)γ ,
Dµ MM N = ∂µ MM N + 2gAPµ α ΘαP (M Q MN )Q .
28
(3.6)
3.1. DIE BOSONISCHE LAGRANGEDICHTE
Die allgemeine Form des topologischen Terms in 4 Dimensionen wird in [2] aus der
Forderung nach Invarianz der Lagrangedichte unter Vektor- und Tensoreichtransformationen hergeleitet. Man muss dann für den hier behandelten N = 4 Fall die entsprechenden Generatoren der Eichgruppe einsetzen. Der sich so ergebende topologische Term der
Vektor- and Tensoreichfelder hat folgende Form:
g
e−1 Ltop = − µνρλ
2
P+
− N+
ˆ−M N P + 2 ξ−N ηM P AM − AN + ∂ρ AP −
ξ+M ηN P AM
A
∂
A
−
f
ρ
µ
ν
µ
ν
λ
λ
g ˆ
g
α N + P β Q−
N P QR
f αM N R fˆβP Q R AM
Θ+M N P Θ− M QR Bµν
Bρλ
µ Aν Aρ Aλ +
4
16
1
M−
R−
NP
+−
++
M
Qα
−
Θ−M N P Bµν + ξ−M Bµν + ξ+M Bµν
2∂ρ Aλ − g fˆαQR Aρ Aλ
,
4
(3.7)
−
−−
wobei anzumerken ist, dass die 2-Form Bµν
in der Lagrangedichte überhaupt nicht
auftaucht.
Die einzelnen Terme des Potentials lassen sich bis auf Vorfaktoren aus der Supersymmetrie bestimmen. Die in Frage kommenden Ausdrücke sind quadratisch in g und
enthalten daher zwei Deformationsparameter fαM N P oder ξαM . Sie ergeben sich aus allen
durch die Darstellungen erlaubten Kombinationen von
M αβ , αβ , M M N , η M N , M M N P QRS .
(3.8)
Dabei ist M M N P QRS ein total antisymmetrischer skalarer Tensor
M M N P QRS ≡ mnpqrs VM m VN n VP p VQ q VR r VS s .
(3.9)
Hat man alle möglichen Kombinationen gefunden, kann man diese mit einem Potential aus der Literatur [6] vergleichen und so die allgemeinen Vorfaktoren bestimmen.
Da aber Eichungen mit ξM α in früherer Literatur noch gar nicht behandelt wurden,
wurde der Vorfaktor für den ξM α Term aus [7] übernommen, wo er mit Hilfe der 3dimensionalen halbmaximalen Supergravitation ermittelt wurde. Die Bestimmung aus
der 3-dimensionalen Theorie ist möglich, da die allgemeine 3-dimensionale Eichung alle
reduzierten 4-dimensionalen enthält. So ergibt sich das Skalarpotential
e−1 Lpot = −g 2 V
h1
i
g2
2
fαM N P fβQRS M αβ M M Q M N R M P S + ( η M Q − M M Q )η N Q η P S
=−
16
3
3
4
αβ
M N P QRS
αβ
MN
− fαM N P fβQRS M
+ 3 ξαM ξβN M M
.
(3.10)
9
29
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
Das Skalarpotential ist universell und ändert auch nicht durch eine symplektische Rotation seine Form.
Wie schon in Abschnitt 2.2 verwenden wir in den Bewegungsgleichungen die Größen
M+
M+
Gµν
≡ Hµν
,
M−
Gµν
≡ e−1 η M N µνρλ
∂L
N+
∂Hρλ
1
M+
= − µνρλ Im(τ )M M N ηN P HP + ρλ − Re(τ )Hµν
+ fermionische Terme. (3.11)
2
α
α
Mα
Λ
Unter den allgemeinen Vektor- und Tensorvariationen, AM
→ AM
und Bµν
→
µ
µ +δAµ
Λ
Λ
Bµν + δBµν , variiert die Lagrangedichte (3.2) mit [2]
µνρλ
1
M−
M−
NP
+−
++
e−1 δLbos = g Θ−M N P ∆Bµν
+ ξ−M ∆Bµν
+ ξ+M ∆Bµν
Hρλ
− Gρλ
8
1
g
N
N−
+
µ
βγ
µ
QP
µνρλ
)
g
ξ
M
D
M
+
Θ
M
D
M
−
η
D
G
+ (δAM
βM
+γ
+M P
NQ
MN
ν ρλ
µ
2
2
1
g
N
N+
−
µ
βγ
µ
QP
µνρλ
+ (δAM
)
g
ξ
M
D
M
+
Θ
M
D
M
+
η
D
G
βM
−γ
−M P
NQ
MN
ν ρλ
µ
2
2
+ totale Ableitungen ,
(3.12)
wobei die ”kovarianten Variationen” durch
α[M
N ]β
MN
MN
∆Bµν
= δBµν
− 2αβ A[µ δAν] ,
M (α
αβ
αβ
∆Bµν
= δBµν
+ 2ηM N A[µ
β)N
δAν]
(3.13)
gegeben sind. Aus der Variation des Lagrangedichte ergeben sich die Bewegungsgleichungen der Eichfelder. Die erste Zeile, also die Variation der 2-Form, entspricht der mit
M−
M−
ΘM − Λ ∆BµνΛ projizierten elektromagnetischen Dualitätsrelation Hµν
= Gµν
. Lässt
man in der geeichten Theorie g → 0 laufen, erhält man die ungeeichte, die dann abelMα
Mα
M+
M−
schen Feldstärken Hµν
und Gµν
= (Gµν
, Gµν
) sind on-shell identisch. Die zweite Zeile
ergibt die Feldgleichung für die elektrischen Vektorfelder. Dabei entspricht der Teil mit
den Skalarfeldern dem elektrischen Materiestrom. Um die Bedeutung der letzten Zeile
zu sehen, führt man 2-Form Feldstärken
α[M
N ]β
(3)M N
MN
Hµνρ
= 3 ∂[µ Bνρ]
+ 6 αβ A[µ ∂ν Aρ] + O(g) ,
M (α
αβ
(3)αβ
+ 6 ηM N A[µ
Hµνρ
= 3 ∂[µ Bνρ]
β)N
∂ν Aρ]
+ O(g)
(3.14)
M+
ein. Daraus lassen sich die Bianchi-Identitäten für Hµν
bestimmen:
M+
D[µ Hνρ]
=
g
(3)P Q
(3)++
(3)+−
Θ− M P Q Hµνρ
+ ξ+ M Hµνρ
+ ξ− M Hµνρ
.
6
30
(3.15)
3.2. KILLING-SPINOR GLEICHUNGEN
Setzt man (3.15) in die dritte Zeile von (3.12) ein, erhält man eine Dualitätsrelation
MN
αβ
zwischen den Skalaren und den 2-Formen Bµν
und Bµν
. Es ergibt sich
1
1
(3)RP
Θ−M P N (MN Q Dµ M QP + µνρλ ηN R Hνρλ )
2
3
1
(3)+β
+ξβM (M−γ Dµ M βγ + µνρλ Hνρλ )
6
N−
N−
+ξP − µνρλ ηM N APν + ( Gρλ
− Hρλ
) = 0,
(3.16)
+
wobei die dritte Zeile der mit ξM α AM
projezierten elektromagnetischen Dualitätsreµ
lation entspricht. Die noch in der Dualitätsrelation zwischen Skalaren und 2-Formen
stehenden Vektorfeldterme, der Form A∂A in nullter Ordnung g, ließen sich noch durch
MN
αβ
eine Neudefinition von Bµν
und Bµν
aus der Relation entfernen. Wir sehen, dass auch
−−
in der Dualitätsrelation keine Feldstärke von Bµν
auftaucht.
Jede symplektische Rotation der Theorie führt auf eine neue Lagrangedichte, welche
aber auf dem Level der Bewegungsgleichungen die gleiche Theorie ergibt. Außer den
Bedingungen an die Deformationsparameter (2.34) und (2.38) ist die Einbettung der
Eichgruppe in die symplektische Gruppe Sp(12 + 2n) beliebig. Somit muss die durch
die Parameter bestimmte Eichgruppe G nur eine Untergruppe der globalen Symmetriegruppe G0 sein und nicht von der SO(1,1) × SO(6, n) Symmetrie der ungeeichten
Lagrangedichte. Die Tensoren fαM N P und ξαM bestimmen aber, wie wir gesehen haben,
nicht nur die Eichgruppe G, sondern legen damit auch fest, welche der Tensor- und magnetischen Vektorfelder überhaupt in der Lagrangedichte auftauchen, wie die Feldstärke
erweitert werden muss und wie die verschiedenen Dualitätsrelationen aussehen.
Die durch die Deformation zusätzlich benötigten Terme in den supersymmetrischen
Transformationen der Fermionen werden im nächsten Abschnitt ermittelt.
3.2
Killing-Spinor Gleichungen
Obwohl der fermionische Sektor der geeichten Lagrangedichte hier nicht komplett behandelt werden soll, leiten wir die zusätzlichen supersymmetrischen Transformationen
der Fermionen her. Dies macht insofern Sinn, da sie zusammen mit der bosonischen
Lagrangedichte für die meisten Anwendungen genügen. Eine interessante Frage, die sich
an eine geeichte Theorie stellt, ist die, ob Supersymmetrie im Grundzustand erhalten
bleibt, also Spinorparameter der Supersymmetrie εi im Grundzustand existieren, so dass
die Fermionvariationen verschwinden. Dies führt auf die Killing-Spinor Gleichungen, die
am Ende dieses Abschnitts hergeleitet werden. Da in diesem Abschnitt Terme betrachtet werden, bei denen Skalare an Fermionen koppeln, wählen wir die VM ij Darstellung
31
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
der SO(6, n) Skalare und die SL(2) Vektordarstellung Vα . Den total antisymmetrischen
Tensor MM N P QRS , der im Potential auftritt, schreiben wir entsprechend um als
MM N P QRS ≡ mnpqrs VM m VN n VP p VQ q VR r VS s
= − 2 i ijps klqt mnru V[M ij VN kl VP mn VQ pq VR rs VS] tu .
(3.17)
Damit die durch die Deformation der ungeeichten Theorie entstandene Lagrangedichte wieder supersymmetrisch ist, muss man fermionische Masseterme in erster Ordnung
in g hinzufügen. Diese reichen aber noch nicht aus, da sie wiederum Terme in der supersymmetrischen Variation erzeugen, die ausgeglichen werden müssen. Man muss den
Variationen der Fermionen einen zusätzlichen Term hinzufügen, weshalb man wiederum ein Skalarpotential braucht. Auch die Ableitungen der Fermionen müssen um einen
zusätzlichen Term proportional zu den Eichfeldern ergänzt werden. Die in der geeichten
Theorie auftretenden kovarianten Ableitungen Dµ wirken auf alle Objekte einer beliebigen Darstellung der globalen Symmetriegruppe G0 durch
α
Dµ = ∇µ − gAM
µ XM α
α
NP
(α β)γ
= ∇µ − gAM
tN P + gAM
ξM γ tαβ ,
µ ΘM α
µ
(3.18)
wobei ∇µ für Fermionen in (2.15) definiert ist und den Spin-Zusammenhang enthält.
ij
In den fermionischen Massetermen treten sogenannte Verschiebungsmatrizen Aij
1 , A2
und A2 ai j auf, die es zu bestimmen gilt. Die Terme mit Gravitini haben zum Beispiel
die Form
µν
g Aij
ψνj ,
1 ψ̄ µi Γ
µ
g Aij
2 ψ̄ µi Γ χj
und g A2 ai j ψ̄ iµ Γµ λaj .
(3.19)
Die Matrizen setzen sich aus Skalarfeldern und den Deformationsparametern zusammen,
wobei sich ihre genaue Zusammensetzung bis auf Vorfaktoren aus der Darstellungstheorie ergibt. Sie lauten
(ij)
Aij
1 = A1
= αβ (Vα )∗ V[kl] M VN [ik] VP [jl] fαM N P ,
M
[ik]
αβ
Aij
VP [jl] fβM N P + y1 αβ Vα VM [ij] ξβ M ,
2 = Vα V[kl] VN
A2 ai j = αβ Vα VM a V N [ik] VP [jk] fβM N P + y2 δij αβ Vα Va M ξβM ,
(3.20)
mit den noch zu bestimmenden Vorfaktoren y1 und y2 . Damit die geeichte Lagrangedichte invariant unter Supersymmetrietransformationen ist, muss sich die Variation der
zusätzlichen Fermionterme mit denen anderer fermionischer Terme, zusätzlicher Bosonterme aus dem kinetischen skalaren Sektor und des Potentials wegheben. Deshalb werden zum einen die Variationen der Fermionen um einen Term mit Verschiebungsmatrizen
32
3.2. KILLING-SPINOR GLEICHUNGEN
ergänzt, zum anderen erhält man folgende Relation zwischen den Verschiebungsmatrizen
und dem Potential, die man supersymmetrische Ward-Identität nennt:
k
i
ik
x1 Aik
1 Ā1 jk − x2 A2 Ā2 jk − x3 A2 aj Ā2 a k = −
1 i
δ V.
4 j
(3.21)
Diese Gleichung ist unter Berücksichtigung der quadratischen Bedingungen (2.38) lösbar.
Schreibt man die erste der Bedingungen in SO(n) und SU(4) Indizes um, ergibt sich
ξα[ij] ξβ[ij] = ξαa ξβa .
(3.22)
Eine für die weiteren Rechnungen nützliche Gleichung erhält man aus (2.4):
V
(M
N )lj
il V
1
= − δij V Mkl V N kl .
4
(3.23)
Um die Ward-Identität (3.21) zu lösen und die Faktoren mit möglichst geringem Rechenaufwand zu bestimmen, wählt man die spezielle Eichung
M M N = δM N ,
V+ = i ,
V− = 1 .
(3.24)
Die so gefundenen Faktoren müssen dann für beliebige Eichungen gelten. Das Potential
vereinfacht sich so zu
1
1
1 MQ NR P S
η η η − M M QηN RηP S + M M QM N RM P S )
24
16
48
1
3
− fαM N P fβQRS αβ M M N P QRS +
ξαM ξβN M αβ M M N
36
16
1
1
[ij][kl][mn]
[ij][kl]
= − δ αβ fα[ij][kl][mn] fβ
+ δ αβ fα[ij][kl]a fβ
a
12
4
3
1
[pq][rs][tu]
+ δ αβ (ξα[ij] ξβ[ij] + ξαa ξβa ) − iαβ (−16fα[ps][qt][ru] fβ
)
16
36
2
4
1
[ik][jl]
[mn]
[ik][jl]
[mn]
[jl]
[ki]
= − δ αβ fα
− iαβ fα
+ δ αβ fα [li]a fβ[jk] a
[kl] fβ[im][jn]
[kl] fβ[im][jn]
9
9
2
3 αβ
+ δ ξαa ξβa ,
(3.25)
8
V = fαM N P fβQRS M αβ (
wobei (3.22) verwendet wurde. Für das Potential folgt gleichzeitig durch Kontraktion
der Ward-Identität (3.21) mit δij
ij
j
i
V = −x1 Aij
1 Ā1ij + x2 A2 Ā2ij + x3 A2ai Ā2a j
[ik][jl]
[mn]
[ik][jl]
[mn]
− i(x1 + x2 )αβ fα
[kl] fβ[im][jn]
[kl] fβ[im][jn]
[jl]
[ki]
+x3 δ αβ fα [li]a fβ[jk] a + (4x3 y22 + x2 y12 )δ αβ ξαa ξβa .
(3.26)
= (−x1 + x2 )δ αβ fα
33
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
Durch Vergleich der beiden Ausdrücke ergeben sich die Faktoren
x1 =
3
,
9
x2 =
1
,
9
x3 =
1
,
2
(3.27)
sowie die quadratische Gleichung
1
3
= 2y22 + y12 .
8
9
(3.28)
Die Faktoren kann man nun in (3.21) einsetzen, um y1 und y2 zu bestimmen. Man
braucht dazu Gleichungen aus den quadratischen Bedingungen (2.38) mit Indexstruktur (j i ):
[li]
αβ ξα[jl] ξβ
= αβ ( −ξαa fβa[jl]
[li][pq][mn]
αβ (fα[jl][pq][mn] fβ
−3fα[mn] [[jk]
[kl]
fβ[lp]
[pi] [mn]
]
[li]
[li][pq]
− fα[jl][pq]a fβ
+ 3fαa [[jk]
[li]
+ ξα[mn] fβ[mn][jl] ) = 0 ,
[kl]
fβ[lp]
[pi]
[li]
a
− ξαa fβa[jl] ) = 0 ,
]a − 2ξ(α [[jk] fβ)[lp]
[kl][pi]
] = 0 , (3.29)
wobei die großen eckigen Klammern Antisymmetrisierung in den jeweils 4 Doppelindizes
bedeuten. Aus der Ward-Identität (3.21) erhält man durch mehrfaches Symmetrisieren
und Antisymmetrisieren in den Indizes unter Berücksichtigung von (3.23), sowie dem
Einsetzen der quadratischen Bedingungen (3.29):
k
i
ik
0 = x1 Aik
1 Ā1 jk − x2 A2 Ā2 jk − x3 A2 aj Ā2 a k +
1 i
δ V
4 j
2 [ip][lq]
1 i [pk][ql]
[mn]
[mn]
− fα
+
δ f
[pq] fβ[jm][ln]
[kl] fβ[pm][qn]
9
18 j α
1
1
1 [lk]
[km]
[im][ln]
[mi]
− y1 ξα[il] fβ[jk][lm]
− y1 fβ
f
f
[mn] ξα[jl] +
9
9
2 α [kj]a β[lm] a
1
1
1
3 i
[lk]
[nm]
− δji fα [km]a fβ[ln] a + y12 ξα[il] ξβ[jl] + ( y22 −
) δj ξαa ξβa
8
9
2
32
4
1
[mn] [ip][lq]
[mn] [pk][ql]
+ i αβ
f
fβ
δi f
fβ
[pq] −
[kl]
9 α[jm][ln]
9 j α[pm][qn]
1
1
[km]
[im][ln]
+ y1 ξα[il] fβ[jk][lm]
− y1 fβ
[mn] ξα[jl]
9
9
1 [lk]
[mi]
[ik]
− fα [kj]a fβ[lm] a + y2 ξαa fβ [kj]a
2
= δ αβ
2
1
= δ αβ ( y1 − ) ξ(α [[jk] fβ)[lp] [kl][pi] ]
9
3
1
1
[li]
− i αβ ( − y1 + y2 ) ξαa fβa[jl] .
2
6
34
(3.30)
3.2. KILLING-SPINOR GLEICHUNGEN
Damit ergeben sich die letzten beiden Parameter
y1 =
3
,
2
1
y2 = − .
4
(3.31)
Die Verschiebungsmatrizen (3.20) lauten daher
(ij)
Aij
1 = A1
= αβ (Vα )∗ V[kl] M VN [ik] VP [jl] fαM N P ,
3
M
[ik]
αβ
Aij
VP [jl] fβM N P + αβ Vα VM [ij] ξβ M ,
2 = Vα V[kl] VN
2
1 j αβ
P
j
a N
[jk]
αβ
A2 ai = Vα VM V [ik] VP fβM N − δi Vα Va M ξβM .
4
(3.32)
Nun lassen sich mit der Forderung nach Supersymmetrieinvarianz von L die exakten
Masseterme und die Korrekturterme in den Fermionvariationen bestimmen. Für die
oben angedeuteten Gravitini-Terme ergibt sich
e−1 Lψ Masse =
1
1
j i
µν
µ
µ a
g Aij
i g Aij
1 ψ̄ µi Γ ψνj −
2 ψ̄ µi Γ χj + ig A2 ai ψ̄ µ Γ λj + h.c. (3.33)
3
3
und für die fermionischen Supersymmetrietransformationen
1
2
M α νρ
i (Vα )∗ VM ij Gνρ
Γ Γµ εj − g Aij
1 Γµ εj ,
4
3
1
4
M α µν
δχi = i εαβ Vα (Dµ Vβ )Γµ εi + i Vα VM ij Gµν
Γ εj − i g Aji
2 εj ,
2
3
1
M α µν i
δλia = 2i Va M (Dµ VM ij )Γµ εj − Vα VM a Gµν
Γ ε + 2 i g A2 aj i εj .
4
δψµi = 2Dµ εi +
(3.34)
Terme mit drei Fermionen in den Supersymmetrietransformationen sind von Ordnung
g 0 und wurden vernachlässigt. Der Feldstärketerm lässt sich mit Hilfe der Definition
Mα
M+
(3.11) statt durch Gµν
auch durch Hµν
ausdrücken. Man findet
i Vα VM
ij
M α µν
Γ
Gµν
M α µν
i Vα VM a Gµν
Γ
∗ −1
= (V− )
VM
ij
M+
Hµν
1
M + ρλ
+ i µνρλ H
Γµν
2
M + µν
= (V− ∗ )−1 VM ij Hµν
Γ (1 − Γ5 ) ,
1
a
∗ −1
M+
M + ρλ
= (V− ) VM Hµν − i µνρλ H
Γµν
2
M + µν
= (V− ∗ )−1 VM a Hµν
Γ (1 + Γ5 ) .
(3.35)
Auch die restlichen fermionischen Masseterme ließen sich auf dieselbe Weise wie die
Gravitini-Terme aus der Invarianz unter Supersymmetrie bestimmen, so dass wir nun
praktisch die ganze geeichte Theorie hergeleitet haben.
35
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
Die Killing-Spinor Gleichungen ergeben sich durch Null setzen der Fermionvariationen:
δ ψµi = 0 ,
δ χi = 0 und δ λai = 0 .
(3.36)
Die Killing-Spinor Gleichungen werden benötigt, um festzustellen, ob ein gegebener
Grundzustand noch supersymmetrisch ist oder alle Supersymmetrien gebrochen sind.
Findet man eine Lösung εi von (3.36), ist die entsprechende Symmetrie erhalten. Man
kann zum Beispiel ein Potential mit Extremum betrachten und nach Lösungen für ein
konstantes Potential suchen. Betrachtet man nun einen Anti-de Sitter (V < 0) oder
Minkowski (V = 0) Grundzustand kann man den Ansatz εi = q i ξ wählen, wobei q i ein
SU(4) Vektor und ξ ein rechtshändiger Killing Vektor des AdS- oder Minkowski-Raums
ist. Man erhält die Spinorgleichung
r
1
(3.37)
Dµ ξ = g − V Γµ Bξ ∗ ,
12
wobei hier B = iΓ5 Γ2 . Die Gleichung kann mit Hilfe der Relation
2
Rµνρλ = − g 2 V gµ[ρ gλ]ν
3
(3.38)
überprüft werden, bei der sich die Form aus der maximalen Symmetrie von AdS und
der Vorfaktor aus der Variation von L nach dem Vierbein ergibt. Setzt man dies in
1
[Dµ , Dν ]ξ = − Rµν ρλ Γρλ ξ
4
(3.39)
ein, erhält man ein mit (3.37) konsistentes Ergebnis. Die Killing-Spinor Gleichungen
werden so zu
r
3
ij
qj Aji
A2 aj i q j = 0 .
(3.40)
A1 q j = − V q i ,
2 = 0 ,
4
Man sieht schon an der ersten Gleichung, dass es für de Sitter (V > 0) Räume, wie
schon zu erwarten war, keine supersymmetrischen Lösungen gibt.
3.3
Beispiele
Bevor die expliziten Beispiele angeschaut werden, wird zunächst die allgemeine Herangehensweise diskutiert. Bisher wurde die allgemeine Theorie in einem speziellen symplektischen Rahmen entwickelt, ausgehend von der ungeeichten Lagrangedichte. Will man
36
3.3. BEISPIELE
sympl. Rotation
geeichte L (3.2) mit
α
Λ
AM
und Bµν
µ
-
Eichfixierung,
einige
fαM N P , ξαM 6= 0
L̃ mit
Λ
und Bµν
α
ÃM
µ
elektrische
Eichung,
f+M N P 6= 0
+
Λ
Bµν
aus L
eliminieren
?
Nur noch n + 6 phys.
+
M−
Eichfelder AM
µ , Aµ
?
Dualitätstransformation
-
n + 6 elektrische
+
Eichfelder ÃM
µ
Abbildung 3.1
sich nun eine spezielle geeichte Theorie anschauen, gibt es im Prinzip zwei verschiedene
Möglichkeiten diese zu erhalten. Dies ist in Abbildung 3.1 illustriert.
Zum einen kann man die bisher behandelte Theorie (3.2) mit SO(6, n) × SO(1, 1) offshell Symmetrie symplektisch rotieren. Man erhält so eine Lagrangedichte L̃ in einem
α
anderen symplektischen Rahmen mit 2n + 12 Vektorfelder ÃM
und anderer Symmeµ
trie, die von der jeweiligen Rotation abhängig ist. Man wählt nun in diesem Rahmen
−
elektrische Eichung (ΘM − Λ = 0), so dass sowohl die magnetischen Vektorfelder ÃM
als
µ
Λ
auch die 2-Formen Bµν
vollständig aus der Lagrangedichte verschwinden. Übrig bleibt
+
eine geeichte Theorie mit 6 + n Eichfeldern ÃM
µ .
Wir können aber genauso gut im bisherigen Rahmen (3.2) bleiben und in diesem die
Eichung mit elektrischen und magnetischen Eichfeldern fixieren. Aus der Lagrangedichte
Λ
mit Hilfe der elektromagnetischen Dualitätsrelation
integriert man die Tensorfelder Bµν
M−
M−
Λ
g ΘM − Hρλ − Gρλ = 0. Die Dualitaätsrelation ist eine algebraische Feldgleichung
Λ
für Bµν
und durch die erste Zeile von (3.12) gegeben. Durch die Ausintegration der
Tensorfelder werden auch die Vektorfelder eingeschränkt, so dass die Lagrangedichte
nur noch von n + 6 physikalischen Vektorfeldern abhängt. Diese sind nun über eine
Dualitätstransformation mit den n + 6 elektrischen Eichfeldern verbunden, die wir über
37
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
den ersten Weg gefunden haben. Für den genauen Beweis, dass beide Wege zu der
gleichen Wirkung führen, sei auf [2] verwiesen. Durch die Wahl einer speziellen Basis
für die magnetischen Vektorfelder erhält man dort eine Lagrangedichte, die unabhängig
von einem Teil der magnetischen Vektorfelder ist. Ein Teil der eigentlich elektrischen
Vektorfelder verschwindet dann durch die Ausintegration der Tensorfelder. Übrig bleiben
so genau n + 6 Vektorfelder von denen die Lagrangedichte abhängt. Man kann diese
Vektorfelder nun einfach als elektrisch bezeichnen.
Es lassen sich also alle N = 4 Supergravitationswirkungen durch fαM N P , ξαM und
ein Element von Sp(12 + 2n) parametrisieren. Daraus folgert man insbesondere, dass
G maximale Dimension n + 6 hat, was für elektrische Eichung offensichtlich ist und so
allgemein gilt. In den Beispielen und im nächsten Kapitel wollen wir jetzt verschiedene
Spezialfälle der allgemeinen geeichten Theorien betrachten. Um die von de Roo und
Wagemans konstruierte Theorie [3, 6] in unseren Formalismus einzubetten, werden wir
im zweiten Unterabschnitt den ersten der beiden gerade vorgestellten Wege wählen und
die symplektische Rotation explizit ausarbeiten. Man muss dann nur noch elektrisch
eichen, um die von de Roo und Wagemans behandelten Fälle zu erhalten. Im nächsten
Kapitel wird weitestgehend der zweite Weg eingeschlagen, um die aus den IIB kompaktifizierten Theorien in den allgemeinen Formalismus einzubetten. Doch zunächst wird
der einfachste Fall, nämlich der der elektrischen Eichung im bisherigen Rahmen genauer
betrachtet [23] und nach verschiedenen Lösungen gesucht.
3.3.1
Elektrische Eichung
Wir betrachten die in den letzten Abschnitten ausgearbeitete Theorie und schalten nur
elektrische Vektorfelder ein, das heißt Θ−M Λ muss verschwinden. Wie schon in Abschnitt
2.3 erwähnt, gilt daher bei elektrischer Eichung f−M N P = 0 und ξαM = 0. Die quadratische Bedingung (2.38) für f+M N P = f+M N Q η QP lautet dann:
f+R[M Q f+N P ] R = 0 .
(3.41)
Die zu den elektrischen Eichungen gehörenden Potentiale sind proportional zu M ++ =
Im(τ )−1 . Daher haben die so gewonnenen Theorien keinen Grundzustand mit einer nicht
verschwindenden kosmologischen Konstanten [7, 23].
Zuerst betrachten wir den Fall einer halbeinfachen Eichgruppe G = G(1) × G(2) ×
. . . × G(K) mit Strukturkonstanten fab c (a, b, c = 1, . . . , dim(G)). Für das Eichen halbeinfacher Gruppen gibt es in der Literatur zahlreiche Beispiele [3, 34, 35, 6]. Die Einschränkung an die Eichgruppen ergibt sich neben der Dimension dim(G) ≤ 6 + n durch
38
3.3. BEISPIELE
die SO(6,n) Metrik. Um diese Einschränkung zu zeigen, setzen wir explizit die SO(6, n)
Metrik ηM N überall dort bis auf ein Vorzeichen gleich der Cartan-Killing Form von G
ηab = fac d fbd c , wo diese definiert ist. Wir wählen die Cartan-Killing Form ηab diagonal:
ηab = ( −1, . . ., 1, . . . ) .
| {z } | {z }
p
(3.42)
q
Durch die Einbettung der zu G gehörenden Lie Algebra g = {v a } in den Vektorraum
der elektrischen Vektorfelder ergibt sich, dass entweder p ≤ 6, q ≤ n oder q ≤ 6, p ≤ n
gilt. Nun definieren wir den Index M̂ , mit M̂ = 1, . . . , p, 7, . . . , 6 + q (p ≤ 6) bzw.
M̂ = 1, . . . , q, 7, . . . , 6 + p (q ≤ 6). M̂ läuft also nur über einen Teil des Indexbereiches
von M , so dass in diesem Bereich
(ηM̂ N̂ ) = ±(ηab )
(3.43)
gilt. Wir können so schreiben
(f+M̂ N̂ P̂ ) = (fabc ) ,
alle anderen f+M N P = 0,
(3.44)
wobei fabc = fab d ηdc . Es ergibt sich so, dass die Anzahl an kompakten oder nicht kompakten Generatoren der einfachen Gruppe G(i) kleiner oder gleich 6 sein muss und
die Anzahl der jeweils anderen Generatoren durch n beschränkt ist. Für n ≤ 6 sind
die möglichen Faktoren von G die einfachen Gruppen SU(2), SO(2, 1), SO(3, 1), SL(3),
SU(2, 1), SO(4, 1) und SO(3, 2), für größere n kann man die Liste noch erweitern. Um
SU(3) als Faktor in der Eichgruppe haben zu können, muss n mindestens 8 sein usw.
Es gibt viele mögliche elektrische Eichungen nichthalbeinfacher Gruppen. Man kann
zum Beispiel mit drei zueinander orthogonalen lichtartigen Vektoren aM , bM und cM ein
nicht verschwindendes f+M N P mit
f+M N P = a[M bN cP ]
(3.45)
konstruieren. Die quadratische Bedingung ist erfüllt, da ηM N in dem Bereich verschwindet wo f+M N P 6= 0. Die abelsche Eichgruppe ist G = U(1)3 .
Weitere abelsche Eichgruppen erhält man durch Verallgemeinerung dieser Konstruktion. f+M N P ist nun eine beliebige 3-Form, deren Definitionsbereich ein lichtartiger Unterraum des Vektorraumes {v M } ist.
3.3.2
Eichung mit Roo-Wagemans-Winkeln
De Roo und Wagemans erweiterten die Theorie mit rein elektrischer Eichung durch
Einführung von Winkeln αM unter denen die verschiedenen Multipletts der Theorie aneinander koppeln [3, 4, 6]. Wir wollen in diesem Abschnitt eine Beziehung zwischen
39
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
den von de Roo und Wagemans eingeführten Winkeln und unseren Deformationsparameter fαM N P herstellen und so die Ergebnisse von de Roo und Wagemans in unseren
Formalismus einbetten.
Wir setzen im Gegensatz zum vorherigen Abschnitt nur ξM α zu Null. Mit nicht
verschwindenden f+M N P und f−M N P lauten die quadratischen Bedingungen (2.38)
fαR[M N fβP Q] R = 0 ,
αβ fαM N R fβP Q R = 0 .
(3.46)
Um Lösungen dieser Gleichungen zu bestimmen, starten wir wie im letzten Abschnitt
von Strukturkonstanten fM N P = f[M N P ] , die die Jacobi-Identität erfüllen. Wir zerlegen
den Vektorraum {v M } in K paarweise orthogonale Unterräume mit Projektoren PiM N
(i = 1, ..., K), so dass sich jeder Vektor vM in die Summe seiner Projektionen zerlegen
lässt:
vM =
K
X
PiM N vN ,
η M P PiM N PjP Q = 0
für i 6= j .
(3.47)
i=1
Die Zerlegung wird so gewählt, dass sich auch die 3-Form fM N P in eine Summe von
3-Formen auf den Unterräumen zerlegt:
fM N P =
K
X
(i)
fM N P ,
fM N P = PiM Q PiN R PiP S fQRS .
(i)
(3.48)
i=1
(i)
Die fM N P erfüllen jeweils die Jacobi-Identität. Sie sind die Strukturkonstanten der iten Faktorgruppe G(i) , der halbeinfachen Eichgruppe G = G(1) × G(2) × ... × G(K) .
Lösungen der quadratischen Bedingung (3.46) sind nun durch
fαM N P =
K
X
(i)
wα(i) fM N P ,
(i)
(i)
wα(i) = (w+ , w− ) = (cos αi , sin αi )
(3.49)
i=1
gegeben. Dabei sind die αi ∈ R, i = 1, . . . , K die anfangs angesprochenen Roo-Wagemans
Winkel. Es stellt sich also heraus, dass die Winkel αi zwischen den Faktorgruppen G(i)
der halbeinfachen Eichgruppe G auftreten. Der Fall der rein elektrischen Eichung entspricht hier K = 1, dann ist nämlich f+M N P proportional zu f−M N P und man findet
(i)
eine SL(2) Transformation, so dass wα =(1,0) ist. Da im Roo-Wagemans Formalismus
nur halbeinfache Eichgruppen behandelt wurden, beschränkten wir uns hier auch auf
diese. Die obige Konstruktion gilt aber auch für nichthalbeinfache Gruppen [7].
40
3.3. BEISPIELE
Das Skalarpotential (3.10) nimmt in der hier verwendeten Notation folgende Form
an:
K
X
(i)
1
(j)
−1
V =
Im(τ )
ci cj − 2Re(τ )ci sj + |τ |2 si sj fM N P fQRS
16
i,j=1
i
h1
2 MQ
MQ
NR
PS
MQ NR P S
×
M M M +( η
− M )η η
3
3
K
1 X
(i)
(j)
−
ci sj fM N P fQRS M M N P QRS ,
(3.50)
18 i,j=1
mit den Abkürzungen ci = cos αi und si = sin αi . Dies reproduziert das Potential in [6].
Wir sind bisher von der Lagrangedichte (3.2) ausgegangen, so dass die obige Wahl
der Deformationsparameter fαM N P 6= 0 einer Theorie mit elektrischen und magnetischen
Eichfeldern entspricht.Wir versuchen nun die Lagrangedichte zu bestimmen, in der die
obige Eichung rein elektrisch ist. Die Lagrangedichte ergibt sich aus der bisherigen (3.2)
durch die Bedingung ξ = 0 und einer symplektischen Rotation S auf den Vektorfeldern
AM α , dem embedding Tensor, sowie den Skalarfeldern M M αN β = M M N M αβ . Um die
Rotationsmatrix zu bestimmen, nutzt man die Invarianz der kovarianten Ableitung
α
Mα
Λ
Dµ ≡ ∇µ − g AM
µ XM α = ∇µ − g Aµ ΘM α tΛ
(3.51)
unter der symplektischen Transformation aus. Es ergibt sich so der Zusammenhang
α
Mα
zwischen den Vektorfeldern vor (AM
µ ) und nach der Rotation (õ ):
Λ
Mα
Λ
α
ÃM
µ Θ̃M α tΛ = Aµ ΘM α tΛ .
(3.52)
Setzt man nun (3.49) und die Bedingung für rein elektrische Eichung Θ̃M −Λ = 0 ein,
erhält man
+
ÃM
=
µ
K
X
+
ci Pi M N AN
+
µ
i=1
−
ÃM
µ
=−
K
X
K
X
−
si Pi M N AN
µ ,
i=1
si Pi
M
N+
N Aµ
i=1
+
K
X
−
ci Pi M N AN
µ .
(3.53)
i=1
Die symplektische Rotation S lautet also
!
PK
PK
M
M
s
P
c
P
i i N
i i N
.
S M αN β =
Pi=1
Pi=1
K
K
M
M
− i=1 si Pi N
i=1 ci Pi N
(3.54)
Die Bedingungen an eine symplektische Matrix ließen eigentlich noch eine Wahl bei
den Faktoren vor den unteren beiden Matrixblöcken zu, dies entspricht aber genau der
41
KAPITEL 3. GEEICHTE N = 4 SUPERGRAVITATION
α
sowieso schon gegebenen SO(2)-Symmetrie der Vektorfelder AM
µ . Unter symplektischen
Rotationen transformieren beliebige Vektoren Y wie folgt:
Ỹ M α = S M αN β Y N β ,
ỸM α = S N β M α YN β .
(3.55)
Die Lagrangedichte im neuen symplektischen Rahmen lautet
e−1 L̃ =
1
1
1
R + (Dµ MM N )(Dµ M M N ) −
(Dµ τ )(Dµ τ ∗ )
2
2
8
4 Im(τ )
1
1
M+ N+
ĨM N F̃ µν M + F̃ µ+ − R̃M N µνρλ F̃µν
F̃ρλ − g 2 V ,
(3.56)
4
8
wobei die kinetischen Skalarterme und das Potential unverändert bleiben. Der kinetische
Term der Vektorfelder besteht aus
−
F̃ µν M + = 2∂[µ Ãν] M + − g f N P M Ã[µ N + Ãν] P +
(3.57)
und den rotierten Matrizen ĨM N und R̃M N , die in (2.24) vorgestellt wurden. Um diese
von den Skalaren abhängigen Matrizen zu bestimmen, nutzen wir folgenden vor und
nach der Rotation gültigen Zusammenhang:
!
IM N + RM K I −1KL RLN ηM K I −1KL RLN
MM α,N β =
.
(3.58)
RM K I −1KL ηLN
ηM K I −1KL ηLN
Mit
MM α,N β =
|τ |2
MM N
eIm(τ )
Re(τ )
MM N
eIm(τ )
Re(τ )
MM N
eIm(τ )
1
MM N
eIm(τ )
!
(3.59)
ergeben sich nach der symplektischen Transformation M → M̃ = (S T )−1 M S T die
Definitionen für ĨM N und R̃M N . Sie lauten
(Ĩ −1 )M N =
R̃M N (Ĩ
−1 N P
)
K
1 X
ci cj − 2Re(τ )ci sj + |τ |2 si sj Pi M P Pj N Q M P Q ,
Im(τ ) i,j=1
K
1 X
=
−ci sj + Re(τ )(si sj − ci cj ) + |τ |2 si cj PiM N Pj P Q M N Q .
Im(τ ) i,j=1
(3.60)
Der topologische Term in der Lagrangedichte (3.7) verschwindet im Allgemeinen für
elektrische Eichungen nicht, der Ausdruck lautet vielmehr
1
3
P + R+ S+
+ N+
P+
Ltop,el = − gµνρσ XM +N + Q− ηQP AM
Aρ Aσ ). (3.61)
µ Aν (∂ρ Aσ + gXR+S+
3
8
42
3.3. BEISPIELE
Aus
X̃M +N +
P−
=
K
X
( ci sj − si cj )PiN R Pj P S fM R S = 0
(3.62)
i,j=1
folgt aber, dass L̃top verschwindet.
Vergleicht man das Skalarpotential mit dem des vorherigen Abschnitts, findet man eine
kompliziertere Abhängigkeit von τ , so dass es nun Theorien gibt deren Potential Extrema
haben [6, 35].
43
Kapitel 4
IIB Kompaktifizierungen
In diesem Kapitel werden N = 4 Supergravitationswirkungen betrachtet, die durch
Kompaktifizierung der 10-dimensionalen IIB Stringtheorie entstehen. Aus der effektiven
Wirkung der IIB Theorie ergibt sich eine N = 4 Supergravitation in 4 Dimensionen
durch T6 /Z2 orientifold Kompaktifizierung. Der 10-dimensionale Raum wird so zum
Produkt der 4-dimensionalen Raum-Zeit und einer 6-dimensionalen internen Mannigfaltigkeit, die die Form eines Torus hat. In unserem Fall besteht die orientifold aus dem
Torus T6 und der Z2 Projektion, die eine Kombination aus Paritätsoperation auf der
Weltfläche und Raum-Zeit-Inversion auf einem Teil der Mannigfaltigkeit ist. Durch die
Projektion erhält man nur die halbmaximale Supergravitationstheorie in 4 Dimensionen
und nicht die maximale, wie nach normaler Torusreduktion.
Der einfachste Fall einer Kompaktifizierung auf dem Torus ist der ohne Flüsse
(Kaluza-Klein Reduktion), er führt auf die ungeeichte Theorie. Wie schon in Abschnitt
1.3 erwähnt, sind die Erwartungswerte der masselosen Skalare in der auf diese Weise
reduzierten Theorie beliebig und nicht durch die Stringtheorie oder die Kompaktifizierung festgelegt. Die 10-dimensionalen Felder können so von den internen Koordinaten
abhängen, dass eine Integration der dazugehörigen Feldstärken, in unserem Fall über ein
Teil des Torus, einen nicht verschwindenden Erwartungswert liefert [31, 36]. Dieser Erwartungswert der Feldstärke entspricht einem Feldstärke-Fluss auf dem Torus. Schaltet
man bei einer Reduktion Flüsse an, hat dies verschiedene Vorteile. Man erhält durch die
Flüsse in der reduzierten Theorie ein Skalarpotential, welches zur partiellen Brechung
der Supersymmetrie genutzt werden kann. Bricht man auf diese Weise die Supersymmetrie, werden durch die Flüsse Vakuumerwartungswerte einiger Skalare festgelegt (moduli
stabilisation) [31]. Die Anzahl und Art der Flüsse ist durch die Geometrie der Mannigfaltigkeit stark beschränkt und somit kann die Stringtheorie brauchbare Vorhersagen für die
45
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
4-dimensionalen Wirkungen machen. Für eine auf einer T6 /Z2 orientifold kompaktifizierten IIB Supergravitation mit Flüssen gibt es viele Beispiele [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44].
Durch Anschalten eines Flusses erhält man eine deformierte Supergravitationstheorie,
wobei man die Deformationsparameter mit den Flüssen in Verbindung bringen kann.
Dieses soll für verschiedene Realisierungen der Z2 Projektion geschehen, die einer Aufteilung des Torus in
T6 = T p−3 × T 9−p ,
p = 3, 5, 7
(4.1)
entsprechen. Es sind dabei 9 − p interne Koordinaten der Raum-Zeit-Inversion I9−p
unterworfen, während für die anderen Koordinaten die Projektion nur aus der Paritätsoperation Ω auf der Weltfläche besteht. Damit ein Feld oder ein Fluss die Projektion
übersteht und in der reduzierten Theorie auftaucht, muss es positiv unter der zusammengesetzten Operation
Ω I9−p [(−1)FL ][
9−p
]
2
(4.2)
transformieren. In der Stringtheorie kommen die bosonischen Felder aus zwei verschiedenen Sektoren, dem Ramond-Ramond (R-R) und dem Neveu-Schwarz Neveu-Schwarz
(N-S) Sektor. Gleiches gilt dann entsprechend für die Flüsse. Das bosonische masselose
Spektrum der IIB Theorie besteht aus dem Graviton Gµ̂ν̂ , der N-S 2-Form Bµ̂ν̂ , dem N-S
Skalar φ, Dilaton genannt, sowie der selbstdualen R-R 4-Form Cµ̂ν̂ ρ̂λ̂ , der R-R 2-Form
Cµ̂ν̂ und dem R-R Axion C0 [40]1 . Hinzu kommen dann noch verschiedene Fermionen
aus den gemischten Sektoren. Die 10-dimensionalen Felder haben folgende Parität unter
Ω [40]:
positive :
Gµ̂ν̂ ,
negative : Bµ̂ν̂ ,
φ,
C0 ,
Cµ̂ν̂ ,
Cµ̂ν̂ ρ̂λ̂ .
(4.3)
I9−p liefert einen positiven (negativen) Beitrag für Felder und Flüsse mit gerader (ungerader) Anzahl an T 9−p Indizes. Der Term (−1)FL ergibt nur ein Minuszeichen für R-R
Felder, wenn man Kompaktifizierungen auf T 6 oder T 4 × T 2 betrachtet. Sonst entfällt
der Beitrag [40].
Die Felder, die neben dem Vierbein in der 4-dimensionalen Theorie auftauchen, sind
zusammen mit den Flüssen für die drei hier behandelten Kompaktifizierungen in Tabelle 4.1 aufgelistet. Die in der Spalte der Flüsse auftretenden Objekte der Form Gijk
1
10-dimensionale Raum-Zeit Indizes werden hier durch griechische Indizes mit Hut beschrieben.
46
Torus
T0 × T6
Skalare
gmn , φ, C0 , Cmnpq
Vektoren
Bmµ , Cmµ
Flüsse
Hmnp , Fmnp
Indizes
m, n... = 1, ..., 6
T4 × T2
gab , gij , φ, C0 , Bia ,
Cia , Cijkl , Cijab
Giµ , Cijkµ ,
Baµ , Caµ
Hija , Fija , Gijkab ,
b
i
Gijk , Gia
, Gab
i, j... = 1, ..., 4
a, b = 1, 2
T2 × T4
gab , gij , φ, Bia ,
Cµν , Cab , Cij , Caijk
Gaµ , Caµ ,
Biµ , Cijkµ
Hijk , Habi , Faij ,
j
d
Gabijk , Gai
, Gija , Gad
i, j... = 1, ..., 4
a, b = 1, 2
Tabelle 4.1: Erlaubte Felder und Flüsse bei verschiedenen Kompaktifizierungen der IIB
entsprechen Torsionen der internen Mannigfaltigkeit [18, 44].
Die bei Kompaktifizierung einer d + r-dimensionalen Theorie auf einem T r Torus (mit Koordinaten m1 , m2 , ..., mr ) enstandene Lagrangedichte ist invariant unter
GL(r) = SL(r) × SO(1, 1)T r . SL(r) wirkt auf den Skalaren und Flüssen wie eine Koordinatentransformation und lässt so die Theorie invariant. Die SO(1, 1)T r Symmetrie
ergibt sich aus der Invarianz der reduzierten Theorie unter einer Skalentransformation,
die gleichzeitig die Toruskoordinaten und die Kopplungskonstante neu skaliert. Aus dem
Skalierungsverhalten der Felder lässt sich daher ihre Ladung unter der SO(1, 1)T r ablesen. Während sich das Vierbein eµ a nicht unter der Skalentransformation verändert,
transformiert eine beliebige (k − p)-Form Cm1 ...mp µp+1 ...µk und die Vektorfelder aus der
1
10-dimensionalen Metrik Gm
µ wie folgt [45]:
1
1
Gm
→ e−[(d−2)/r+1]α Gm
µ
µ ,
Cm1 ...mp µp+1 ...µk → e[(d−2)/r+p−k]α Cm1 ...mp µp+1 ...µk .
(4.4)
Die Ladungen für Feldstärken F, und damit für die Flüsse (Hm1 m2 m3 , Fm1 m2 µ usw.), som3
wie die entsprechenden Größen aus der Metrik Gm
ergeben sich aus folgenden Formeln
1 m2
[45]:
Fm1 ...mp µp+1 ...µk+1 → e[(d−2)p/r+p−k]α Fm1 ...mp µp+1 ...µk+1 ,
m0
m0
Gm
→ e[(d−2)(p−1)/r+p+1−k]α Gm
,
1 ...mp µp+2 ...µk+1
1 ...mp µp+2 ...µk+1
ν
ν
Gm
→ e[(d−2)p/r+p−k+1]α Gm
.
1 ...mp µp+1 ...µk+1
1 ...mp µp+1 ...µk+1
(4.5)
Wir werden uns jeweils die Vektorfelder und Flüsse anschauen, die aus der IIB Theorie kommen und nicht durch die Projektion verschwinden, sowie ihre Darstellungen und
Ladungen unter den verschiedenen Symmetriegruppen bestimmen. Damit identifiziert
47
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
man die symplektische Einbettung und die Deformationsparameter der bisher behandelten Supergravitationstheorie. Die symplektische Einbettung der kompaktifizierten
Theorie muss so gewählt werden, dass die off-shell Symmetrie GL(p − 3) × GL(9 − p)
enthält, da man diese mit dem Torus T p−3 × T 9−p identifizieren kann. Konkret werden
wir die Darstellungen unter der neuen Symmetrie zerlegen und diejenigen Vektorfelder
als elektrisch bezeichnen, die man mit denen aus der Kompaktifizierung identifizieren
kann. Man bettet so die kompaktifizierte IIB Theorie als Spezialfall in den bisherigen
Formalismus ein.
4.1
T 6/Z2 Modell
4.1.1
T 6 /Z2 Modell
Für den Anfang wollen wir uns auf n = 6 beschränken, also den Fall, bei dem 6 Vektormultipletts an das Gravitationsmultiplett koppeln. Dies ist die minimale Anzahl an
Vektormultipletts die man erhält, wenn man die Typ IIB Supergravitation kompaktifiziert. Statt wie bisher in diesem Fall die Lagrangedichte mit SO(6,6) × SO(1,1) off-shell
Symmetrie zu betrachten, wird jetzt die symplektisch transformierte mit GL(6) × SL(2)
Symmetrie betrachtet. Die GL(6) Symmetrie ergibt sich aus dem T 6 Torus, der in diesem Abschnitt die interne Mannigfaltigkeit bildet. Die IIB hat eine SL(2) Symmetrie,
die die N-S 2-Form Bµ̂ν̂ und die R-R 2-Form Cµ̂ν̂ , sowie die Skalare φ und C0 ineinander
transformiert. Da bei der Kompaktifizierung die SL(2) Symmetrie erhalten bleibt, so
dass auch die durch die Kompaktifizierung aus Bµ̂ν̂ und Cµ̂ν̂ erhaltenen Größen jeweils
ein SL(2) Duplett bilden (siehe dazu Tabelle 4.1), kann man diese SL(2) mit der der 4dimensionalen Theorie identifizieren. Die (12,2) Darstellung, unter der die Vektorfelder
α
AM
bisher transformierten, zerlegen sich unter der neuen Symmetriegruppe in2
µ
(12, 2) → (6+ , 2) ⊕ (60− , 2)
α
AM
→ Aαµm ⊕ Amα
µ
µ .
2
(4.6)
m = 1, ..., 6 ist in diesem Abschnitt ein SL(6)-Index. In diesem Kapitel werden die Indizes so
gewählt, dass kleingeschriebene Indizes eine SO(1,1) Ladung andeuten. Also sind Größen mit unterem
Index m unter der SO(1, 1)0 , die die SL(6) zur GL(6) ergänzt, positiv geladen und transformieren in
der 6+ Darstellung. Epsilon-Tensoren treten so nur auf, wenn die Größe den obigen Konventionen
entsprechend ”falsch geladen” ist. Als Beispiel betrachten wir den aus der Reduktion gewonnenen Fluss
Hmnp , der unter der SO(1, 1)0 mit −3 geladen ist und so bei uns nur als Größe mnpqrs Hmnp auftaucht.
48
4.1. T 6 /Z2 MODELL
Man nennt nun die 12 Vektorfelder Aαµm aus (6+ , 2) elektrisch, da man diese mit dem
SL(2) Duplett (Bµm ,Cµm ) identifizieren kann. Die 12 dualen magnetischen Vektorfelder
0
Amα
µ transformieren unter der 6− -Darstellung der GL(6). Im Gegensatz dazu würde man,
+
m+
aus der bisherigen SO(6, 6) × SO(1, 1) Sicht, die Vektorfelder A+
aus
µm aus 6+ und Aµ
0+
6− als elektrisch bezeichnen.
Die Generatoren der SO(6,6) zerlegen sich unter der Untergruppe GL(6) wie folgt:
66
→
15+2 ⊕ 150−2 ⊕ 350 ⊕ 10 ,
t[M N ]
→
t[mn] ⊕ t[mn] ⊕ t̂mn ⊕ tss δnm ,
(4.7)
wobei t̂mn spurlos ist, d.h. t̂mm = 0. Gl(6) kann man als SL(6) × SO(1, 1)0 betrachten,
wobei der Strich nur eingeführt wurde um eine Unterscheidung der beiden SO(1,1)
Gruppen zu ermöglichen. Der Subskript gibt hierbei die Ladung unter der SO(1, 1)0
an.
Die Deformationsparameter der Theorie zerlegen sich ebenfalls. ξ M α zerlegt sich daα
bei genau wie die Vektorfelder AM
in
µ
ξM α = ξmα ⊕ ξαm
(4.8)
und fαM N P wie folgt in 6 Teile:
(220, 2) = (20+3 , 2) ⊕ (84+1 , 2) ⊕ (6+1 , 2) ⊕ (840−1 , 2) ⊕ (60−1 , 2) ⊕ (20−3 , 2) ,
2 p
2
s
p
n]
fα[M N P ] → fα[mnp] ⊕ fˆα[mn] + δ[n
fαm]s ⊕ fˆαm[np] + fαss[p δm
⊕ fα[mnp] ,
(4.9)
5
5
s
[sp]
wobei fˆα[ms] = 0 und fˆαs = 0 gilt.
Nun kann man sich Terme anschauen, mit denen SO(6, 6) × SL(2) Generatoren an
die Vektorfelder koppeln, z.B.
2
m
s
t[np] + (fˆ+[np] + f+[ps] δnm + ξ+p δnm )t[np]
5
1 p m 1
[mp]
+(−fˆ+n
+ ξ+
δn − f+r rp δnm )t̂np
2
5
1
1
+ (f+r rm + ξm+ )tss ] + Terme mit Am+
µ . (4.10)
6
2
[mnp]
+
NP
AM
= A+
µ (f+M N P + ξ+[P ηN ]M )t
µm [f+
Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.2 dargestellt. Dabei ist zu beachten, dass zwei Vektoren
X m und Xm unter unterschiedlichen Darstellungen der SL(6) transformieren und somit
Indizes nicht mit einer Metrik hoch- bzw. heruntergezogen werden können. Die alte
Metrik ηM N geht über in δm n ⊕ δ m n .
49
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
Aαµm = (Bµm , Cµm )
Amα
µ
t[np]
r
m
m
fˆαnp m − 52 δ[n
fαp]r + ξ+[p δn]
fαmnp
t̂np
−fˆαn mp − 15 fαr rp δnm + 12 ξαp δnm
p
p
fˆαmn p − 15 fαnr r δm
− 12 ξnα δm
tss
fαr rm + 12 ξαm
fαmr r − 12 ξmα
t[np]
fαmnp
r[p n]
[p n]
fˆαm np + 25 fαr δm + ξα δm
tβγ
ξδm δ(γ δα
β)
β)
ξmδ δ(γ δα
Tabelle 4.2: Kopplung der Vektorfelder an die Generatoren der SL(2) × SO(6, 6) bei T 6 /Z2
Kompaktifizierung
Elektrische Eichung bedeutet in diesem Zusammenhang Θmα Λ = 0. Man muss daher
die zweite Spalte der Deformationsparameter Null setzen. Daraus folgt dann,
ξmα = 0,
fαmr r = 0,
fαmnp = 0,
2
ξαm = fαr rm .
5
fˆαmnp = 0,
fˆαmnp = 0,
sowie
(4.11)
Die quadratischen Bedingungen (2.38) an die beiden nicht verschwindenden Deformationsparameter fαmnp und ξαm sind bis auf eine trivial erfüllt. Diese lautet
[m npq]
ξ(α fβ)
= 0.
(4.12)
Man sieht sofort, dass, wenn einer der Parameter verschwindet, der andere beliebig
gewählt werden kann. Zwei Lösungen bei denen beide Parameter nicht verschwinden
sind durch
fαmnp = ξα[m Anp]
und fαmnp = βγ Bα[m ξβn ξγp] ,
(4.13)
mit beliebigen Amn = A[mn] und Bαm , gegeben.
Die bisher in der Literatur behandelten Fälle, z.B. [38, 39, 43], beschäftigen sich mit
Deformationen, die durch Flüsse hervorgerufen werden, die sich mit dem Deformationsparameter fαmnp identifizieren lassen. Im T 6 /Z2 Modell gibt es die möglichen 3-Form
Flüsse Hmnp =< ∂[m Bnp] > und Fmnp =< ∂[m Cnp] > [40], die zu einem SL(2) Vektor
50
4.1. T 6 /Z2 MODELL
fαmnp = mnpqrs (Hqrs , Fqrs ) zusammenfassbar sind. Eine ähnliche physikalische Interpretation für ξαm gibt es bisher nicht. Man kann ξαm hier auch nicht als Torsion auf der
internen Mannigfaltigkeit deuten, wie es in anderen Fällen [46] und auch in den nächsten Abschnitten möglich ist. Das liegt daran, dass ξαm ein Duplett unter der globalen
SL(2) der IIB bildet, während ein Torsionsparameter ein Singlett sein muss. Durch die
Projektion sind zudem alle geometrischen Flüsse, die aus der Metrik kommen, verboten,
so dass es überhaupt keine Torsion gibt [40, 44].
Man kann nun die Deformationsparameter und ihre Eigenschaften in folgender Tabelle zusammenfassen:
Parameter SL(6) Dar. SO(1, 1)0
fαmnp
(20, 2),
−3
m
ξα
(6,2)
−1
Fluss
(Hqrs , Fqrs )
-
mnpqrs
Bei Kompaktifizierung der IIB auf T 6 /Z2 erhält man also eine N = 4 Supergravitationtheorie mit GL(6)×SL(2) off-shell Symmetrie, deren elektrische Vektorfelder durch Amα
µ
gegeben sind. Konsistente Deformationen dieser Theorie werden durch die Deformationsparameter ξαm und fαmnp bestimmt, die die quadratische Bedingung (4.12) erfüllen.
Eine geometrische Interpretation für ξαm gibt es dabei nicht.
4.1.2
T 6 /Z2 Modell mit D3-branes
Wir betrachten nun den allgemeineren Fall mit mehr als 6 Vektormultipletts, die an
das Gravitationsmultiplett koppeln. Diese Theorie hat in der ursprünglichen Formulierung globale SO(6, 6 + q) × SO(1, 1) off-shell Symmetrie. Im nun gewählten symplektischen Rahmen haben wir stattdessen GL(6) × SO(q) × SO(1, 1) off-shell Symmetrie.
Die SO(6, n) Metrik ηM N geht über in

ηM N

0 δnm 0
 n

→  δm
0 0  .
0 0 1q
(4.14)
Das Modell entspricht der IIB Stringtheorie auf T 6 /Z2 kompaktifiziert mit q D3-branes
[39]. Auf den dazugehörigen Vektorfeldern AIα
µ wirkt SL(2) als elektrisch-magnetische
I+
Dualitätstransformation, weshalb wir Aµ als elektrisch bezeichnen. Zu den 12 bisherigen elektrischen Komponenten des embedding Tensoren Θα mΛ kommen nun q weitere
51
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
ΘI+Λ (I, J, ... = 1, 2, ..., q). Somit lässt sich Tabelle 4.2 zu Tabelle 4.3 ergänzen.
Aus der Tabelle kann man ablesen, dass bei elektrischer Eichung alle Deformationsparameter außer
fαmnp ,
mn
,
f+I
m
,
f+IJ
f+IJK ,
m
ξ+
(4.15)
m
verschwinden. Bemerkenswert dabei ist, dass der Deformationsparameter ξ−
nun verschwinden muss, obwohl er über einen anderen Indexbereich läuft als die hinzugekommenen Vektorfelder AIα
µ . Die Deformationsparameter müssen darüber hinaus noch die
quadratischen Bedingungen
[m npq]
= 0,
[m npq]
[mn pq]L
8ξ+ f+ + 3f+L f+
[m np]I
[mn p]IL
3ξ+ f+ + 2f+L f+
[m n]IJ
[mn IJ]L
2ξ+ f+ + 3f+L f+
m[I JK]L
m IJK
ξ+
f+ + 6f+L f+
[IJ KH]L
f+L f+
= 0,
ξ+ f−
= 0,
= 0,
= 0,
=0
(4.16)
erfüllen. Der Spezialfall in dem nur fαmnp und f+IJK ungleich Null sind wurde schon in
[39] behandelt, wobei in diesem Fall fαmnp uneingeschränkt ist und f+IJK eine JakobiIdentität erfüllen muss.
4.2
T 4 × T 2/Z2 Modell
Dieses Modell unterscheidet sich von dem oberen durch eine andere Wirkung der orientifold Projektion. Man teilt nun die sechs Koordinaten des Torus in T 4 und T 2 Koordinaten auf. Es werden bei der Kompaktifizierung der IIB Stringtheorie nun nur zwei
Koordinaten (a, b = 1, 2) der Raum-Zeit-Inversion unterworfen. Für die anderen vier
Toruskoordinaten (i, j = 1, 2, 3, 4) besteht die orientifold Projektion nur noch aus der
Paritätsoperation Ω auf der Weltfläche. Da man nun eine andere Projektion hat, überleben auch andere Felder und Flüsse die Reduktion auf 4 Dimensionen, wie man aus
Tabelle 4.1 entnehmen kann.
Die Einbettung der Symmetrie der Kompaktifizierung in die SL(2) × SO(6, 6) der
52
4.2. T 4 × T 2 /Z2 MODELL
A+
µm = Bµm
A−
µm = Cµm
Am+
µ
Am−
µ
AI+
µ
AI−
µ
fˆ+np m
r
m
− 25 δ[n
f+p]r
fˆ−np m
r
m
− 25 δ[n
f−p]r
f+mnp
f−mnp
f+Inp
f−Inp
m
+ξ+[p δn]
m
+ξ−[p δn]
t̂np
−fˆ+n mp
− 15 f+r rp δnm
p m
+ 12 ξ+
δn
−fˆ−n mp
− 15 f−r rp δnm
p m
+ 12 ξ−
δn
fˆ+mn p
p
− 15 f+nr r δm
p
− 12 ξn+ δm
fˆ−mn p
p
− 15 f−nr r δm
p
− 12 ξn− δm
fˆ+In p
fˆ−In p
t ss
f+r rm
m
+ 12 ξ+
f−r rm
m
+ 12 ξ−
f+mr r
− 12 ξm+
f−mr r
− 12 ξm−
f+Ir r
f−Ir r
t[np]
mnp
f+
mnp
f−
fˆ+m np
r[p n]
2
+ 5 f+r δm
[p n]
+ξ+ δm
fˆ−m np
r[p n]
2
+ 5 f−r δm
[p n]
+ξ− δm
f+I np
f−I np
t++
m
−ξ−
-
−ξm−
-
−ξI−
-
t+−
m
ξ+
m
−ξ−
ξm+
−ξm−
ξI+
−ξI−
t−−
-
ξm+
-
m
ξ+
-
ξI+
tJn
fˆ+Jn m
r
1 m
+ 6 δn f+Jr
− 12 ξ+J δnm
fˆ−Jn m
1 m
+ 6 δn f−Jr r
− 12 ξ−J δnm
−f+mnJ
−f−mnJ
f+IJn
+ 12 ξn+ ηIJ
f−IJn
+ 12 ξn− ηIJ
tJ n
mn
−f+
J
mn
−f−
J
−fˆ+m nJ
n
− 16 f+Jr r δm
1
n
− 2 ξJ+ δm
−fˆ−m nJ
n
− 16 f−Jr r δm
1
n
− 2 ξJ− δm
f+IJ n
n
+ 12 ξ+
ηIJ
f−IJ n
n
+ 12 ξ−
ηIJ
t[JK]
m
f+
JK
m
f−
JK
f+mJK
f−mJK
f+IJK
+ξ+[K ηJ]I
f−IJK
+ξ−[K ηJ]I
t[np]
Tabelle 4.3: Kopplung der Vektorfelder an die Generatoren der SL(2) × SO(6, 6 + q) bei T 6 /Z2
Kompaktifizierung
53
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
4-dimensionalen Theorie ergibt sich aus folgendem Schema:
SL(2)
↓
SL(2)
↓
SO(1, 1)1
×
×
×
SO(6, 6)
↓
SO(4, 4)
×
SO(2, 2)
↓
↓
GL(4)
×
SL(2)T 2 × SL(2)IIB .
(4.17)
Die SO(6,6) bricht unter der Aufteilung der zwei Tori in SO(2,2) und SO(4,4), die
wiederum zur GL(4) = SO(1, 1)2 × SL(4) Symmetrie des T 4 Torus bricht. Die SO(2,2)
Symmetrie kombiniert die SL(2)IIB Symmetrie der IIB mit der SL(2)T 2 des Torus. In
der SO(2,2) ist somit die GL(2) schon enthalten.
Die Vektorfelder zerlegen sich unter SO(1, 1)1 × SL(4) × SL(2)T 2 × SL(2)IIB in
(2, 12) → (2, 4, 1, 1) ⊕ (2, 40 , 1, 1) ⊕ (2, 1, 2, 2) .
(4.18)
Bei der Darstellungsangabe gibt die erste Zahl die Darstellung unter der SO(1, 1)1 , die
zweite die GL(4)-Darstellung an, die dritte die SL(2)T 2 und die vierte die SL(2)IIB .
Als elektrische Eichfelder kommen nur die Vektorfelder in Frage, die sich aufgrund
der Darstellung und Ladung mit denen aus der Kompaktifizierung identifizieren lassen. Dafür muss man die SO(1, 1)1 × SO(1, 1)2 Symmetrie der Supergravitation mit der
SO(1, 1)T 4 × SO(1, 1)T 2 Symmetrie der T 4 × T 2 /Z2 Kompaktifizierung in Verbindung
bringen. Die Ladungen der reduzierten Felder unter SO(1, 1)T 4 und SO(1, 1)T 2 lassen
sich mit Hilfe der Skalentransformation (4.4) bestimmen. Allerdings sind diese Ladungen nur Linearkombinationen der SO(1, 1)1 und SO(1, 1)2 Ladungen. Hat man die Koeffizienten der Linearkombination bestimmt, kann man die SO(1,1) Ladungen ineinander
umrechnen und so die Vektorfelder in der bisherigen Notation mit den kompaktifizierten
Feldern identifizieren. Wählt man zuerst eine Reduktion der 10-dimensionalen IIB auf
einem T 4 Torus (d = 6, r = 4) und dann auf T 2 (d = 4, r = 2), ergeben sich für die
Vektorfelder die in folgender Tabelle zusammengefassten Ladungen unter der SO(1, 1)T 4
der GL(4) und der SO(1, 1)T 2 der GL(2). Des Weiteren sind die Darstellungen unter
der SL(4), der SO(2,2) und die daraus resultierende Vektornotation in der bisherigen
N = 4 Sugra-Notation aufgelistet. Neben den Feldern Bµa und Cµa , die man zu einem
Vektor AA+
mit SO(2,2) Index A = 1, 2, 3, 4 zusammenfassen kann, erhält man Giµ aus
µ
dem 10-dimensionalem Metriktensor Gµ̂ν̂ und Cµi = ijkl Cµjkl aus der 4-Form. Alternativ
kann man den SO(2,2) Index A auch aufsplitten in den SL(2)T 2 Index a = 1, 2 und den
av+
SL(2)IIB Index v = 1, 2, d.h. AA+
µ → Aµ .
54
4.2. T 4 × T 2 /Z2 MODELL
Vektorfeld
Giµ
Cµi = ijkl Cµjkl
(Bµa , Cµa )
SL(4),SO(2,2) Darstellung SO(1, 1)T 4
(4,1)
-2
(4,1)
2
(1,4)
-2
SO(1, 1)T 2
-1
-1
0
Bezeichnung
Ai+
µ
Ai−
µ
A+
Aµ
Natürlich zerlegen sich auch wieder die Deformationsparameter und die Generatoren
der SO(6,6) × SL(2). Daraus ergibt sich Tabelle 4.4. Bei elektrischer Eichung nicht
verschwindende Deformationsparameter sind
f+ABC ,
f+ABi ,
f+Aij ,
fαijk ,
2
ξi+ = f+il l .
3
(4.19)
Indizes A, B, C, ... lassen sich dabei einfach mit der SO(2,2)-Metrik hoch- und herunterziehen. Die quadratischen Bedingungen lauten
ξ[i+ f−jkl] = 0 ,
8ξ+[i f+jkl] + 3f+C[ij f+kl]D η CD = 0 ,
3ξ+[i f+jk]A + 2f+C[ij f+k]AD η CD = 0 ,
2ξ+[i f+j]AB + 3f+C[ij f+AB]D η CD = 0 ,
ξ+i f+ABE + 6f+Ci[A f+BE]D η CD = 0 ,
f+C[AB f+EF ]D η CD = 0 .
(4.20)
Bei der Identifikation von Fluss und Deformationsparameter müssen neben der richtigen Darstellung auch wieder die SO(1,1) Ladungen übereinstimmen, die sich mit Hilfe
von (4.5) bestimmen lassen. Man kann nun f+Aij , wie in früheren Arbeiten [40, 41, 43],
als Fluss auf dem Torus interpretieren. Wobei man f+Aij = f+avij als SO(2,2) kovariante
Größe aus H[aij] =< ∂[a Bij] > und F[aij] =< ∂[a Cij] > zusammensetzt. Des Weiteren gibt
es im reduzierten IIB Modell den 5-Form Fluss Gijkab =< ∂[i Cjkab] >. Dieser Fluss hat
die gleichen Ladungen unter den SO(1,1) und transformiert in denselben Darstellungen
wie f+ijk , so dass auch für diesen Parameter eine geometrische Interpretation möglich
ist. Man kann bei der Reduktion auch einen Fluss aus den beiden Skalaren Dilaton und
Axion bilden. Allerdings bildet dieser einen Vektor Pix (x = 1, 2, 3) unter der SL(2)IIB .
Der in zwei SO(2,2) Indizes antisymmetrische Deformationsparameter f+ABi zerlegt sich
unter der Aufteilung
SO(2, 2) → SL(2)IIB × SL(2)T 2
f AB → f x × fˆx̂ ,
+i
i
i
55
in
(4.21)
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
t[jk]
AA+
= (Bµa , Cµa )
µ
AA−
µ
i
Ai+
µ = Gµ
i
Ai−
µ = Cµ
A+
µi
A−
µi
f+Ajk
f−Ajk
f+ijk
f−ijk
fˆ+jk i
l
i
+ 23 δ[k
f+j]l
fˆ−jk i
l
i
+ 23 δ[k
f−j]l
i
+ξ+[k δj]
i
+ξ−[k δj]
t[jk]
f+A jk
f−A jk
fˆ+i jk
l[k j]
+ 23 f+l δi
[k j]
+ξ+ δi
fˆ−i jk
l[k j]
+ 23 f−l δi
[k j]
+ξ− δi
ijk
f+
ijk
f−
t̂j k
fˆ+Aj k
fˆ+Aj k
fˆ+ij k
− 13 f+jl l δik
− 12 ξ+j δik
fˆ−ij k
− 13 f−jl l δik
− 12 ξ−j δik
−fˆ+j ik
− 13 f+l lk δji
1 k i
2 ξ+ δj
fˆ−j ik
− 13 f−l lk δji
1 k i
2 ξ− δj
ts s
f+Al l
f−Al l
f+il l
− 12 ξ+i
f−il l
− 12 ξ−i
f+l li
i
+ 12 ξ+
f−l li
i
+ 12 ξ−
t[BC]
f+ABC
ξ+[C ηB]A
f−ABC
ξ−[C ηB]A
f+BCi
f−BCi
f+BC i
f−BC i
t[Bj]
f+ABj
1
2 ξ+j ηAB
f−ABj
1
2 ξ−j ηAB
−f+Bij
−f−Bij
fˆ+Bj i
− 12 ξ+B δji
+ 14 δji f+Bl l
fˆ−Bj i
− 12 ξ−B δji
+ 14 δji f−Bl l
tB j
f+AB j
j
ηAB
+ 12 ξ+
f−AB j
j
ηAB
+ 12 ξ−
−fˆ+Bi j
− 12 ξ+B δij
− 14 f+Bl l δij
−fˆ−Bi j
− 12 ξ−B δij
− 14 f−Bl l δij
−f+B ij
−f−B ij
t++
−ξA−
-
−ξi−
-
i
−ξ−
-
t+−
ξA+
ξA−
ξi+
−ξi−
i
ξ+
i
−ξ−
t−−
-
ξA+
-
ξi+
-
i
ξ+
Tabelle 4.4: Kopplung der Vektorfelder an die Generatoren der SL(2) × SO(6, 6) bei T 4 × T 2 /Z2
Kompaktifizierung
56
4.3. T 2 × T 4 /Z2 MODELL
mit SL(2)IIB Vektorindex x und SL(2)T 2 Vektorindex x̂ = 1, 2, 3. Man kann nun aufgrund
derselben Transformationseigenschaften den skalaren Fluss auf dem Torus Pix mit dem
Deformationsparameter fix der N = 4 Supergravitation identifizieren.
Man kann sich nun Torsionen des Torus anschauen. Die Torsionen haben die Form
Gijk und lassen sich in die Spur und einen spurlosen Anteil zerlegen:
l
Gijk → Ĝijk ⊕ δ[jk Gi]l
.
(4.22)
Die Ladungen unter den SO(1,1) Symmetrien lassen sich aus (4.5) bestimmen. Nach
b
d
der Projektion gibt es unter anderem noch Gijk und Gia
, deren Spuranteile Gill bzw. Gid
dieselben Ladungen haben wie ξ+i , so dass man ξ+i eventuell als Spur einer Torsion
i
deuten könnte. Außerdem überlebt das Objekt Gab
, welches mit f−ijk in Verbindung
k
b
gebracht werden könnte, sowie Ĝij und Ĝia . IIB Kompaktifizierungen mit Torsion sind
in [44] zu finden, wo unter anderem mit den hier aufgeführten Torsionen gearbeitet wird.
Kompaktifiziert man die IIB auf T 4 × T 2 /Z2 erhält man, wie wir gesehen haben,
eine Supergravitationstheorie, die der bisherigen Theorie mit den nicht verschwindenden Deformationsparametern aus (4.19) entspricht. Die symplektische Einbettung wird
dabei so gewählt, dass man eine GL(4) × SL(2) × SL(2) × SO(1, 1) Symmetrie hat. Die
entsprechenden Eichfelder sind AA+
und Aiα
µ
µ . Die Deformationsparameter können zum
Teil als Fluss auf den Tori gedeutet werden, was durch Tabelle 4.5 veranschaulicht wird.
Wobei noch zusätzlich die quadratische Bedingung für den Fall angegeben ist, dass man
nur diesen einen Fluss anschaltet. Die Deformationsparameter f−ijk und ξ+i könnte man
als Torsion interpretieren, während für die verbleibenden zwei Deformationsparameter
bisher keine geometrische Deutung möglich ist.
4.3
T 2 × T 4/Z2 Modell
Wir wollen nun die auf dem T 2 × T 4 /Z2 Torus kompaktifizierte IIB mit Flüssen als Spezialfall der allgemeinen geeichten Theorie identifizieren. Die globale off-shell Symmetrie
des entsprechenden ungeeichten Modells ist SO(1, 1)1 × GL(4) × GL(2). Nun wählen
wir als elektrische Vektorfelder die aus, die die gleichen Ladungen unter den SO(1,1)
Gruppen haben wie die Vektorfelder aus der reduzierten IIB Theorie. Wir gehen dabei
ähnlich wie im vorherigen Abschnitt vor. Allerdings wird jetzt auch die SL(2)IIB zur
SO(1, 1)IIB gebrochen, so dass die Felder und Flüsse drei SO(1,1) Ladungen haben. Die
Ladungen unter SO(1, 1)T 4 und SO(1, 1)T 2 lassen sich wieder mit (4.4) und (4.5) bestimmen, die Ladung unter SO(1, 1)IIB ist aus 10 Dimensionen bekannt. Zuerst reduzieren
57
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
Parameter
SL(4),SL(2)IIB ,
SL(2)T 2 Darstellung
SO(1, 1)T 4
SO(1, 1)T 2
Fluss auf
T4 × T2
quadratische
Bedingung
f+ABC
(1,2,2)
2
0
-
fix
(40 ,3,1)
2
1
Pix
fx[i fj]x = 0
fˆix̂
(40 ,1,3)
2
1
-
fˆx̂[i fˆj]x̂ = 0
f+Aij
(6,2,2)
2
2
(H[aij] , F[aij] )
f+ijk
(4,1,1)
2
3
Gijkab
-
f−ijk
(4,1,1)
-2
3
-
-
ξi+
(40 ,1,1)
2
1
-
-
f+D[AB f+EF ]
f+D[ij f+kl]
D
D
=0
=0
Tabelle 4.5: Mögliche Deformationsparameter und ihre Ladungen bei IIB Kompaktifizierung auf
T 4 × T 2 /Z2
wir auf einem T 4 Torus (i, j = 1, 2, 3, 4), dann auf einem T 2 (a, b = 1, 2). Nach der
orientifold Projektion sind von den Feldern der IIB Theorie nur noch Gaµ , Cµa = ab Cµb ,
Bµi und Cµi = ijkl Cµjkl erhalten, deren Ladung unter den SO(1,1) Gruppen und ihre
Übersetzung in die bisherige Vektorfeldnotation in folgender Tabelle zusammengefasst
ist:
Vektorfeld SL(4),SL(2) Dar.
Gaµ
(1,2)
Cµa
(1,2)
Bµi
(40 ,1)
Cµi
(4,1)
SO(1, 1)T 4
0
−2
0
2
SO(1, 1)T 2
−2
0
−1
−1
SO(1, 1)IIB
0
−1
+1
0
Bezeichnung
Aa+
µ
Aa−
µ
A+
µi
Ai+
µ
Elektrische Eichung entspricht dann dem möglichem Anschalten folgender Deformationsparameter:
f+ijk ,
fˆ j ,
+ai
f+ijk ,
f+a ij ,
fˆ+ij k ,
f+abj ,
f+il l ,
f+ab j ,
58
fˆ+i jk ,
f+al l ,
f+l li ,
f+aij ,
ξa+ = 2f+ad d .
(4.23)
4.3. T 2 × T 4 /Z2 MODELL
Die quadratischen Bedingungen ergeben sich wieder nur aus einer der Bedingungen
(2.38):
3f+R[M N f+P Q]R + 2ξ+[M f+N P Q] = 0 ,
(4.24)
wobei man noch für die SO(6,n) Indizes alle möglichen Kombinationen von SL(4) und
SL(2) Indizes einsetzen muss. Wenn man für M, N, P und Q zum Beispiel SL(2) Indizes
einsetzt, ergibt sich
l
f+l[ab f+cd] = 0 .
(4.25)
Man kann jetzt wieder versuchen, die Deformationsparameter mit Flüssen auf den
Tori zu identifizieren. Die Flüsse auf den Tori sind
Hijk =< ∂[i Bjk] > ,
Faij =< ∂[a Cij] > ,
Habi =< ∂[a Bbi] > ,
Gabijk =< ∂[a Cbijk] > .
(4.26)
Die dazugehörige Tabelle mit den Ladungen und den entsprechenden Deformationsparametern lautet:
Fluss
Hijk
Faij
Habi
Gabijk
SL(4),SL(2) Dar.
(4,1)
(6,2)
(40 ,1)
(4,1)
SO(1, 1)T 4
4
2
0
2
SO(1, 1)T 2
1
2
3
3
SO(1, 1)IIB
1
-1
1
0
Parameter
1 ab
ijkl f−ab l
8
1
f kl
4 ijkl +a
f+abi
1
f l
4 ijkl +ab
Bemerkenswert an der Tabelle ist, dass der erste Fluss Hijk einem Parameter entspricht
der nicht in (4.23) auftaucht. Wir sind bisher davon ausgegangen, dass die nach der
Projektion erhaltenen Vektorfelder an die Flüsse auf den Tori koppeln, die ebenfalls die
Projektion überstehen. f−ab i = ijkl ab Hjkl koppelt aber über den Term
i ab
A−
µi f−ab t
(4.27)
−
an das Vektorfeld A−
µi . Wir nannten Aµi magnetisch, da es sich bisher nicht mit einem
aus der Projektion erhaltenen Vektorfeld identifizieren ließ.
Die Erklärung dafür ist in der 10-dimensionalen IIB zu suchen, da dort Cµ̂ν̂ ρ̂λ̂ selbstdual ist. Man kann also in der IIB nicht zwischen Cµ̂ν̂ ρ̂λ̂ und seinem Hodge Dualen
unterscheiden. Nach der Kompaktifizierung ergibt das Duale C̃µi = ijkl C̃µjkl . Man hat
59
KAPITEL 4. IIB KOMPAKTIFIZIERUNGEN
daher in 4 Dimensionen zwei gleichwertige Möglichkeiten die elektrischen Vektorfelder
zu wählen.
i+
i
Wählt man A−
µi = Cµi statt Aµ = Cµ elektrisch, ändert sich die Tabelle der elektrischen Vektorfelder:
Vektorfeld SL(4),SL(2) Dar.
Gaµ
(1,2)
a
Cµ
(1,2)
Bµi
(40 ,1)
Cµi
(40 ,1)
SO(1, 1)T 4
0
−2
0
−2
SO(1, 1)T 2
−2
0
−1
1
SO(1, 1)IIB
0
−1
+1
0
Bezeichnung
Aa+
µ
Aa−
µ
A+
µi
−
Aµi
Nun entspricht elektrische Eichung dem möglichen Anschalten von
fαijk ,
fαa ij ,
fαab i ,
2
ξαi = − fαl li = fαd di ,
3
ξαa =
1
fαal l = 2fαad d .
2
(4.28)
Für den Fall, dass nur einer der Deformationsparameter angeschaltet wird, erhält man
an diesen keine quadratische Bedingung.
Bei dieser Wahl der elektrischen Vektorfelder entspricht der Fluss Hijk einem elektrischen Deformationsparameter. Allerdings induziert nun der Parameter f+abi , der dem
Fluss Habi zugeordnet wird, magnetische Eichung. Das Problem mit der reduzierten
4-Form hätte schon im T 4 × T 2 /Z2 Modell auftreten können. Man erhält auch bei
T 4 × T 2 /Z2 Kompaktifizierungen zwei gleichwertige Möglichkeiten für die Wahl der
elektrischen Vektorfelder und damit der elektrischen Deformationsparameter. Die erlaubten Flüsse koppelten dort aber nicht an ein Vektorfeld, welches der reduzierten
4-Form oder ihrem Dualem entspricht. So ergeben dort Deformationen, die durch Flüsse
hervorgerufen werden, in beiden Fällen dieselbe Theorie.
Auch im T 4 × T 2 /Z2 Modell bleibt uns noch die Möglichkeit, die nicht als Fluss
interpretierten Deformationsparameter mit Torsion in Verbindung zu bringen. So würde
die Projektion Objekte der Form
j
Ĝai
,
l
Gal
,
d
Gad
,
Gija
(4.29)
j
erlauben. Dabei weist das spurlose Ĝai
dieselbe Struktur und Ladung unter den verj
l
d
ˆ
schiedenen SO(1,1) auf wie f+ai . Ähnlich kann man Gija mit f−a ij , sowie Gal
und Gad
mit f+al l und ξ+a in Verbindung bringen. Bei den letzten zwei Paaren ist aber eine klare
Zuordnung mit den bisherigen Kriterien nicht möglich.
60
4.3. T 2 × T 4 /Z2 MODELL
Parameter
SL(4), SL(2)
Darstellung
SO(1, 1)T 4
SO(1, 1)T 2
SO(1, 1)IIB
Fluss auf
T2 × T4
ijk
f+
(40 ,1)
2
1
−2
-
ijk
f−
(40 ,1)
4
−1
−1
-
f+a ij
(6,2)
2
2
−1
ijkl Fakl
f−a ij
(6,2)
4
0
0
-
f+ab i
(4,1)
2
3
0
ijkl Gabjkl
f−ab i
(4,1)
4
1
1
ab ijkl Hjkl
i
ξ+
(4,1)
0
1
−1
-
i
ξ−
(4,1)
2
−1
0
-
ξ+a
(1,2)
0
2
0
-
ξ−a
(1,2)
2
0
1
-
Tabelle 4.6: Mögliche Deformationsparameter und ihre Ladungen bei IIB Kompaktifizierung auf
α
T 2 × T 4 /Z2 mit den elektrischen Eichfeldern Aaα
µ und Aµi
Aufgrund der Selbstdualität der 10-dimensionalen 4-Form ergeben sich bei der Kompaktifizierung der IIB auf T 2 × T 4 /Z2 zwei gleichwertige Theorien. Sie entsprechen
unterschiedlichen symplektischen Einbettungen, bei denen man jeweils nur elektrische
Eichung hat. In beiden Fällen lässt sich einer der Flüsse nicht mit den elektrischen
Deformationsparametern identifizieren. Der hier als zweites behandelte Fall mit den
α
elektrischen Vektorfeldern Aaα
µ und Aµi ist etwas übersichtlicher, so dass wir für diesen
nochmal die Deformationsparameter mit ihren Darstellungen und den entsprechenden
Flüssen in Tabelle 4.6 zusammenfassen. Auch die Torsionen lassen sich zum Teil durch
elektrische Deformationsparameter der ersten und zum Teil durch die der zweiten Einbettung beschreiben. In beiden Fällen gibt es aber auch wieder Deformationsparameter,
die mit keinem geometrischen Objekt identifiziert werden können.
61
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
In der vorliegenden Arbeit wurde die allgemeine Eichung der N = 4 Supergravitation in
4 Dimensionen formuliert. Dies geschah unter Berücksichtigung der quadratischen Konsistenzbedingungen (2.38) an die Deformationsparameter. Die geeichte Lagrangedichte mit SO(6, n) off-shell Symmetrie wurde bis auf einzelne fermionische Terme komplett ausgearbeitet. Dazu wurden die Supersymmetrietransformationen des fermionischen Sektors gefunden, so dass man die Killing-Spinor Gleichungen aufstellen konnte.
Hier wäre nun interessant bei unterschiedlicher Wahl der Deformationsparameter die
Grundzustände näher zu betrachten oder die Massenspektra zu bestimmen. Die Konstruktion der Theorie geschah auf systematische Weise, so dass man alle bisher erfassten
Eichungen in den Formalismus einbetten kann. Um diesen Aspekt herauszustellen wurde
auch die von de Roo und Wagemans konstruierte Theorie [3, 4, 6] explizit eingebunden.
Darüber hinaus sind in der allgemeinen Eichung eine Vielzahl bisher noch nicht behandelter Fälle enthalten, insbesondere die, in denen keiner der beiden Deformationsparameter fαM N P und ξαM verschwindet.
Im letzten Kapitel wurde eine Verbindung zu den aus der IIB Stringtheorie durch
verschiedene Torusreduktionen hervorgegangenen 4-dimensionalen Theorien hergestellt.
Wir wählten die symplektische Einbettung der N = 4 Supergravitation so, dass man
die elektrischen Vektorfelder mit den reduzierten Feldern identifizieren konnte. Mögliche Flüsse auf der internen Mannigfaltigkeit konnten mit einigen der total antisymmetrischen Deformationsparameter identifiziert werden. Andere, wie die ξ Parameter
können eventuell als Torsion gedeutet werden. Diese Interpretation für ξ legt auch [46]
nah, wo eine Eichung mit ξ aber ohne fαM N P durch Scherk-Schwarz Reduktion einer
5-dimensionalen Theorie erzeugt wurde. Hier bietet sich noch eine genauere Untersuchung des Zusammenhangs zwischen der Torsion und den Deformationsparametern an,
63
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
sowie die Frage, ob für alle Parameter eine höherdimensionale Interpretation möglich ist.
So traten bei der IIB Kompaktifizierung einige Deformationsparameter auf, die keine
Deutung als Torsion oder Fluss zuließen. Es wurde zum Beispiel auch noch kein höherdimensionaler Ausgangspunkt gefunden, der durch Reduktion eine geeichte Theorie mit
nicht verschwindenden Roo-Wagemans Winkeln erzeugt. Ebenfalls interessant wäre es
natürlich, weitere reduzierte Stringtheorien explizit in den Formalismus einzubetten.
64
Anhang A
Konventionen und Formeln
Die 4-dimensionale Raum-Zeit Metrik hat Signatur (−, +, +, +). Der Epsilon-Tensor
mit Raum-Zeit Indizes wird folgendermaßen gewählt:
0123 = e ,
0123 = −e−1 .
(A.1)
Damit ist der Epsilon Tensor ein echter Raum-Zeit Tensor. Wie gewöhnlich gilt für die
Γ-Matrizen
{Γµ , Γν } = 2ηµν ,
(Γµ )† = η µν Γν ,
Γ5 = iΓ0 Γ1 Γ2 Γ3 ,
(A.2)
und Γ-Matrizen mit mehreren Indizes sind in diesen antisymmetrisch, zum Beispiel
1
Γµν = Γ[µν] = (Γµ Γν − Γν Γµ ) .
(A.3)
2
Für die Γ-Matrizen wählt man die chirale Darstellung
!
!
!
0 σµ
1 0
0 Γµ =
,
Γ5 =
,
B = iΓ5 Γ2 =
,
σµ 0
0 −1
− 0
mit dem 2-dimensionalen Epsilon-Tensor und den 4er-Vektoren σµ = (1, ~σ ), σ µ =
η µν σν = (−1, ~σ ), die die Pauli Matrizen enthalten. Eine nützliche Relation für die ΓMatrizen ist durch
Γ[µ BΓ∗ν] B ∗ = −Γµν
(A.4)
gegeben.
Die in der Arbeit vorkommenden Fermionen sind chiral. Von den Fermionen mit
oberen SU(4) Vektorindex i sind die Gravitini ψµi und λai rechtshändig, während χi
linkshändig ist, d.h.
Γ5 ψµi = +ψµi ,
Γ5 χi = −χi ,
65
Γ5 λai = +λai .
(A.5)
ANHANG A. KONVENTIONEN UND FORMELN
ψ̄µi und λ̄ai sind dann linkshändig, während χ̄i rechtshändig ist. Die SU(4) Vektorindizes
werden durch komplexe Konjugation hoch- und heruntergezogen, für einen gewöhnlichen
SU(4) Vektor gilt also vi = (v i )∗ . (Eine ähnliche Formulierung hatten wir ja schon in
Abschnitt 2.1 für die SO(n, 6)-Skalare gefunden: VM ij = (VM ij )∗ .) Um Fermionen mit
unterem SU(4) Vektorindex zu definieren braucht man noch die Matrix B = iΓ5 Γ2 :
φi = B(φi )∗ ,
(A.6)
so dass auch φi als Dirac Spinor transformiert. Die auf diese Weise komplex konjugierten
Spinor haben entgegengesetzte Chiralität, so ist χi = B(χi )∗ linkshändig. Den komplex
konjugierten Spinor von φ̄i = (φi )† Γ0 definieren wir als φ̄i = (φ̄i )∗ B. Daraus folgen dann
die Relationen
φ̄i χi = (φ̄i χi )∗
und
φ̄i χi = χ̄i φi ,
(A.7)
wobei die erste Gleichung auch gültig ist, falls Γ-Matrizen zwischen den Spinoren stehen
und die SU(4) Vektorindizes nicht gleich sind, z.B. φ̄i Γµ χj = (φ̄i Γµ χj )∗ .
Rechtshändige Spinoren können durch 2-komponentige Weyl-Spinoren φA und linkshändige durch die konjugierten Weyl-Spinoren φȦ ausgedrückt werden. Hierbei sind
A und Ȧ (konjugierte) SL(2, C) Vektorindizes. Somit lassen sich rechtshändige und
linkshändige Spinoren schreiben als
φ = (φA , 0)T
und
φ = (0, φȦ )T .
(A.8)
Nun haben wir für den Spinor χi = (0, χiȦ )T und für den komplex konjugierten χi =
T
A
AB
(χiḂ )∗ zusammenhängen.
(χA
i , 0) , wobei die Weyl-Spinoren über χi = 66
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70
Danksagung
Ich danke Herrn Professor Henning Samtleben für die Auswahl des interessanten Themas
sowie für die hervorragende und engagierte Betreuung. Ich danke Martin Weidner, der
mit seinen Erklärungen und Tipps die Betreuung perfekt machte. Des Weiteren möchte
ich mich noch bei meinen Kollegen Simon Körs und Christoph Ellmer bedanken.
Erklärung gemäß Diplomprüfungsordnung
Hiermit versichere ich, diese Arbeit selbständig angefertigt und nur die angegeben Quellen und Hilfsmittel verwendet zu haben. Ich gestatte die Veröffentlichung dieser Arbeit.
Hamburg, den 20.4.2006
Jonas Schön
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