Analysis III WS 13/14

Analysis III WS 13/14
Singhof
4. Februar 2014
1
Kapitel I: Maß- und Integrationstheorie
1. Quader und Figuren
Bez. Sei X eine Menge. Mit P(X) bezeichnen wir die Potenzmenge von X, also
die Menge aller Teilmengen von X.
Wünschenswert wäre eine Abbildung µ : P(Rn ) → [0, ∞] mit folgenden Eigenschaften:
(0) µ(∅) = 0.
(1) Ist Q ein Quader in Rn mit den Kantenlängen c1 , . . . , cn , so ist µ(Q) =
c1 · . . . · cn .
(2) Sind A1 , A2 , . . . ∈ P(Rn ) paarweise disjunkt, so ist
µ
∞
[
∞
X
Ai =
µ(Ai ) .
i=1
i=1
(3) Sind A, B ∈ P(R ) kongruent zueinander, so ist µ(A) = µ(B).
n
Eine solche Abbildung gibt es aber nicht, wie aus dem Banach-Tarski-Paradoxon
folgt, für dessen Beweis man allerdings das Auswahlaxiom braucht. Dieses ,,Paradoxon” besagt:
Seien A, B ∈ P(Rn ) zwei beliebige Mengen mit nicht-leerem Inneren, n ≥ 1. Dann
gibt es Mengen C1 , C2 , . . . , D1 , D2 , . . . ∈ P(Rn ) mit folgenden Eigenschaften:
• A ist die disjunkte Vereinigung von C1 , C2 , . . ..
• B ist die disjunkte Vereinigung von D1 , D2 , . . ..
• Ci ist kongruent zu Di für alle i.
Wenn es also ein µ wie oben gäbe, so hätten alle Teilmengen von Rn , die ein nichtleeres Innere haben, dasselbe Volumen! Deswegen müssen wir in einem komplizierten
Prozess definieren, wann eine Menge ,,messbar” ist, also ein Volumen besitzt.
Seien a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn .
a ≤ b : ⇔ ai ≤ bi für i = 1, . . . , n
a < b : ⇔ ai < bi für i = 1, . . . , n.
Ist a ≤ b, so sei [a, b [:= {x ∈ Rn | a ≤ x < b}. Eine solche Menge heißt ein
(achsenparalleler, halboffener) Quader in Rn .
Ist a ≤ b, aber nicht a < b, so ist [a, b [= ∅.
Die Menge aller Quader im Rn wird mit Q n bezeichnet.
Für [a, b [∈ Q n sei
λn ([a, b [) := (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an ).
Eine Vereinigung von endlich vielen Quadern in Rn heiße Figur in Rn . Es sei F n
die Menge aller Figuren in Rn .
Def. Sei X eine Menge und R ⊆ P(X).
R heißt ein Ring von Teilmengen von X, falls gilt:
(1) ∅ ∈ R.
(2) Sind A, B ∈ R, so ist A ∪ B ∈ R.
(3) Sind A, B ∈ R, so ist A r B ∈ R.
Satz 1. F n ist ein Ring von Teilmengen von Rn .
2
Def. Sei X eine Menge, R ein Ring von Teilmengen von X. Eine Abbildung
µ : R → R ∪ {∞} heißt ein Prämaß auf R, falls gilt:
(1) µ(∅) = 0.
(2) µ(A) ≥ 0 ∀ A ∈ R.
(3) Sind A1 , A2 , . . . ∈ R paarweise disjunkt und ist
[
X
µ( Am ) =
µ(Am ).
m
∞
[
Am ∈ R, so ist
m=1
m
Satz 2. Es gibt genau ein Prämaß λn auf F n mit
λn ([a, b [) = (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an ) ∀ [a, b [∈ Q n .
2. σ-Algebren und Maße
Def. Sei X eine Menge und A ⊆ P(X). Dann heißt A eine σ-Algebra in X, wenn
gilt:
(1) A ist ein Ring von Teilmengen von X.
(2) X ∈ A
(3) A1 , A2 , . . . ∈ A ⇒
∞
[
Am ∈ A .
m=1
Lemma 1. Der Durchschnitt von beliebig vielen σ-Algebren in X ist eine σ-Algebra
in X.
Satz 1 und Bezeichnung. Zu jeder Teilmenge A von P(X) gibt es eine kleinste
σ-Algebra σ(A ) in X, die A enthält.
Beispiel: Sei X ein metrischer Raum, T die Menge aller offenen Teilmengen von
X. Die Elemente der σ-Algebra σ(T ) heißen die Borel-Mengen von X.
σ(T ) enthält alle offenen, alle abgeschlossenen und sehr viele weitere Mengen.
Def. Sei A eine σ-Algebra in X. Ein Maß auf A ist eine Abbildung µ : A →
R ∪ {∞} mit folgenden Eigenschaften:
(1) µ(∅) = 0
(2) µ(A) ≥ 0 ∀ A ∈ A
[
X
(3) Sind A1 , A2 , . . . ∈ A paarweise disjunkt, so µ( Am ) =
µ(Am ).
m
m
Bem. Ein Prämaß auf einer σ-Algebra A ist ein Maß auf A .
Def. a) Ein Paar (X, A ), bestehend aus einer Menge X und einer σ-Algebra A in
X, heißt ein Messraum.
b) Ein Tripel (X, A , µ) heißt ein Maßraum, wenn (X, A ) ein Messraum und µ ein
Maß auf A ist.
Satz 2. (Maßfortsetzungssatz von Carathéodory)
Sei X eine Menge, R ein Ring von Teilmengen von X, µ ein Prämaß auf R. Dann
kann µ zu einem Maß auf der σ-Algebra σ(R) fortgesetzt werden.
3
Konstruktion dieser Fortsetzung:
1. Schritt: Wir setzen die Abbildung µ zu einer Abbildung µ∗ : P(X) → R ∪ {∞}
fort:
∞
S
Für A ⊆ X sei U (A) die Menge aller Folgen (Bm ) in R mit A ⊆
Bm . Sei
m=1
∗
µ (A) := inf{
∞
X
µ(Bm ) | (Bm ) ∈ U (A)} .
m=1
Ist U (A) = ∅, so ist dies als µ∗ (A) = ∞ zu interpretieren.
Im Allgemeinen ist µ∗ kein Maß auf P(X).
2. Schritt: µ∗ : P(X) → R ∪ {∞} ist ein sogenanntes äußeres Maß auf X, d.h. µ∗
hat die folgenden Eigenschaften:
(1) µ∗ (∅) = 0.
(2) µ∗ (A) ≥ 0 für alle A ⊆ X.
(3) Ist A ⊆ B ⊆ X, so ist µ∗ (A) ≤ µ∗ (B).
[
X
(4) Ist (Am ) eine Folge in P(X), so ist µ∗ ( Am ) ≤
µ∗ (Am ).
m
m
3. Schritt: Ist µ∗ ein beliebiges äußeres Maß auf X, so nennt man ein A ∈ P(X)
µ∗ -messbar, falls gilt: Für jedes Q ∈ P(X) ist
µ∗ (Q) = µ∗ (Q ∩ A) + µ∗ (Q r A) .
Man zeigt dann:
(a) Die Menge R ∗ aller µ∗ -messbaren Teilmengen von X ist eine σ-Algebra.
(b) µ∗ | R ∗ ist ein Maß auf R ∗ .
4. Schritt: Ist µ ein Prämaß auf R und µ∗ das im 1. Schritt definierte äußere
Maß auf X, so ist σ(R) ⊆ R ∗ . Weil µ∗ | R ∗ ein Maß auf R ∗ ist, so ist erst recht
µ∗ | σ(R) ein Maß auf σ(R), welches µ fortsetzt.Def. Ein Prämaß µ auf einem Ring R von Teilmengen von X heißt σ-endlich, wenn
es eine Folge A1 , A2 , . . . in R gibt, so dass gilt:
(1) A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . .
[
(2) X =
Am
m
(3) µ(Am ) < ∞ ∀ m ∈ N.
Satz 3. Ist R ein Ring von Teilmengen einer Menge X und µ ein σ-endliches
Prämaß auf R, so kann µ auf genau eine Weise zu einem Maß auf der σ-Algebra
A (R) fortgesetzt werden.
4
3. Das Lebesgue-Maß
Mit T n bezeichnen wir die Menge der offenen Teilmengen von Rn , die sogenannte
Topologie von Rn . Sei B n = σ(T n ). Die Elemente von B n heißen die Borel-Mengen
in Rn .
Auf dem Ring F n haben wir das Prämaß λn . Dieses ist σ-endlich, lässt sich also
nach §2 zu einem eindeutig bestimmten Maß auf σ(F n ) fortsetzen, das wieder mit
λn bezeichnet wird und das nach §1, Satz 2 durch seine Werte auf Q n bestimmt ist.
Satz 1. σ(F n ) = B n .
Damit folgt:
Satz 2. Es gibt genau ein Maß λn auf der Menge B n der Borel-Mengen in Rn , so
dass für jeden Quader [a, b [∈ Q n gilt:
λn ([a, b [) = (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an ).
λn heißt das Lebesgue-Maß auf Rn .
Lemma 1. Ist f : Rn → Rn stetig und A ∈ B n , so ist f −1 (A) ∈ B n .
Lemma 2 und Def. Ist f : Rn → Rn stetig, so erhält man ein Maß µ auf B n
durch
µ(B) := λn (f −1 (B)) .
Man schreibt µ =: f (λn ) und nennt f (λn ) das Bildmaß von λn unter f .
Def. Eine Abbildung T : Rn → Rn heißt Translation, wenn es ein a ∈ Rn gibt mit
T (x) = x + a ∀ x ∈ Rn .
Lemma 3. Das Maß λn ist translationsinvariant, d.h. für jede Translation T ist
T (λn ) = λn .
Def. Sei H ⊆ Rn . Dann heißt H eine affine Hyperebene in Rn , wenn es einen (n−1)dimensionalen linearen Teilraum V von Rn und ein a ∈ Rn gibt mit H = a + V :=
{a + v | v ∈ V }.
Def. Sei H eine affine Hyperebene in Rn . Mit SH bezeichnen wir die orthogonale
Spiegelung an H. Sie ist folgendermaßen definiert: Ist x ∈ Rn , so kann man x auf
genau eine Weise in der Form x = y + z schreiben, wobei y ∈ H und z ∈ V ⊥ . (Dabei
ist V wie in der vorangehenden Definition und V ⊥ ist das Orthogonalkomplement
von V , also der 1-dimensionale lineare Teilraum von Rn , der senkrecht auf V steht.)
Es ist
SH (x) := y − z .
−1
SH ist ein Homöomorphismus von Rn auf Rn mit SH
= SH .
Lemma 4. Sei H eine affine Hyperebene in Rn . Dann ist SH (λn ) = λn .
Ein müheloser Beweis von Lemma 4 geht folgendermaßen: Man bezeichnet mit ϕ
eine Drehung, die den Teilraum V0 := {(x1 , . . . , xn−1 , 0) | x1 , . . . , xn−1 ∈ R} auf V
abbildet. Aus Lemma 1 folgt:
B n = σ(ϕ(Q n )) .
Deswegen reicht es zu zeigen: Ist Q ∈ ϕ(Q n ), so ist λn (SH (Q)) = λn (Q).
Dies sieht man, indem man Lemma 3 anwendet.
Def. Eine Abbildung T : Rn → Rn heißt Bewegung oder Kongruenz, wenn bzgl.
der Euklidischen Norm gilt:
k T (x) − T (y) k = k x − y k ∀ x, y ∈ Rn .
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Aus der Linearen Algebra weiß man: Jede Bewegung ist das Produkt von endlich
vielen Spiegelungen. Deswegen folgt aus Lemma 4:
Satz 3. Das Lebesgue-Maß λn ist bewegungsinvariant, d.h.: Ist T eine Bewegung,
so ist T (λn ) = λn .
Bem. Die Bewegungsinvarianz von λn bedeutet: Für jede Bewegung T und jedes
B ∈ B n ist λn (T (B)) = λn (B).
Satz 4. Ist H eine affine Hyperebene in Rn , so ist λn (H) = 0.
Folgerung 1. Alle Borel-Mengen, die in einer affinen Hyperebene liegen, haben das
Lebesgue-Maß 0. Insbesondere haben die einelementigen Mengen das Maß 0 (falls
n > 0), und daher haben alle abzählbaren Mengen das Maß 0.
Folgerung 2. Das Lebesgue-Maß eines offenen oder abgeschlossenen, nicht notwendig achsenparallelen Quaders ist das Produkt der Kantenlängen.
Satz 5. Ist A ∈ GL(n, R) und B ∈ B n , so ist A(B) ∈ B n und
λn (A(B)) = | det A| · λn (B).
Beispiel einer Teilmenge A von R, die keine Borel-Menge ist:
Auf R betrachten wir die Äquivalenzrelation
a ∼ b :⇐⇒ a − b ∈ Q .
Sei A eine Teilmenge von [0, 1], die genau ein Element jeder Äquivalenzklasse
enthält. Dann ist R die disjunkte Vereinigung der Mengen A + q mit q ∈ Q. Wäre
A eine Borel-Menge, so könnten wir λ1 (A) bilden; wegen der Translationsinvarianz
von λ1 wäre λ1 (A + q) = λ1 (A). Wegen λ1 (R) = ∞ folgt, dass λ1 (A) > 0. Andererseits sind die Mengen A + q für rationale Zahlen q ∈ [0, 1] unendlich viele disjunkte
Teilmengen von [0, 2], was wegen λ1 ([0, 2]) = 2 unmöglich ist.
4. Messbare Abbildungen
Def. Seien (X, AX ) und (Y, AY ) Messräume. Eine Abbildung f : X → Y heißt
messbar (bzgl. AX und AY ), wenn gilt:
Ist B ∈ AY , so ist f −1 (B) ∈ AX .
Wir schreiben dann auch f : (X, AX ) → (Y, AY ).
Satz 1. Seien X, Y metrische Räume, BX und BY seien die Mengen der jeweiligen
Borel-Mengen. Ist f : X → Y stetig, so ist f : (X, BX ) → (Y, BY ) messbar.
Bem. Sind f : (X, AX ) → (Y, AY ) und g : (Y, AY ) → (Z, AZ ) messbar, so ist
g ◦ f : (X, AX ) → (Z, AZ ) messbar.
Bezeichnungen: a) R := R ∪ {−∞, +∞}.
b) Ist X eine Menge, so nennen wir eine Abbildung f : X → R eine numerische
Funktion auf X.
c) Sei B 1 := {A ∈ P(R) | A ∩ R ∈ B 1 }. Dann ist B 1 eine σ-Algebra in R. Ihre
Elemente heißen die Borel-Mengen in R. Die Elemente von B 1 sind von der Form
B oder B ∪ {∞} oder B ∪ {−∞} oder B ∪ {∞, −∞} mit B ∈ B 1 .
d) Ist (X, A ) ein Messraum, so heißt eine numerische Funktion f auf X messbar,
wenn f : (X, A ) → (R, B 1 ) messbar ist.
Im Folgenden sei (X, A ) ein Messraum.
6
Beispiel: Sei A ∈ P(X). Die charakteristische Funktion χA von A ist definiert
durch
1 , falls x ∈ A
χA (x) :=
0 , falls x 6∈ A.
Es gilt: χA ist messbar ⇐⇒ A ∈ A .
Satz 2. Sei f eine numerische Funktion auf X. Dann sind äquivalent:
a) f ist messbar.
b) Für alle α ∈ R ist {x ∈ X | f (x) ≥ α} ∈ A .
c) Für alle α ∈ R ist {x ∈ X | f (x) > α} ∈ A .
d) Für alle α ∈ R ist {x ∈ X | f (x) ≤ α} ∈ A .
e) Für alle α ∈ R ist {x ∈ X | f (x) < α} ∈ A .
Satz 3. Seien f, g messbare numerische Funktionen auf X. Dann gilt:
a) {x ∈ X | f (x) < g(x)} ∈ A .
b) {x ∈ X | f (x) ≤ g(x)} ∈ A .
c) {x ∈ X | f (x) = g(x)} ∈ A .
d) {x ∈ X | f (x) 6= g(x)} ∈ A .
Satz 4. Seien f, g : X → R messbar. Dann sind f + g und f g messbar.
Man erweitert in naheliegender Weise die Begriffe ,,Supremum” und ,,Infimum” aus
Analysis I, so dass man Abbildungen
sup, inf : P(R) → R
erhält:
Fall 1: Sei A ∈ P(R).
• Ist A nicht-leer und nach oben beschränkt, so ist sup(A) wie üblich die kleinste
obere Schranke von A.
• Ist A nicht nach oben beschränkt, so sei sup(A) := ∞.
• Ist A = ∅, so sei sup(A) := −∞.
Fall 2: Ist ∞ ∈ A, so sei sup(A) := ∞.
Fall 3: Ist ∞ ∈
/ A, aber −∞ ∈ A, so sei sup(A) := sup(A ∩ R).
In analoger Weise betrachtet man den Limes einer Folge in R.
Def. Sei (an ) eine Folge in R.
lim sup an := lim (sup{ak | k ≥ n}) = inf{sup{ak | k ≥ n} | n ∈ N} ∈ R.
n→∞
n→∞
lim inf an := lim (inf{ak | k ≥ n}) = sup{inf{ak | k ≥ n} | n ∈ N} ∈ R.
n→∞
n→∞
(Beachte: Die Folge (sup{ak | k ≥ n})n ist monoton fallend, daher existiert ihr Limes
in R ∪ {∞, −∞}.)
Bem. Eine Folge (an ) in R konvergiert genau dann gegen a ∈ R, wenn
lim sup an = a = lim inf an .
n→∞
n→∞
7
Satz 5. Seien fn (n ∈ N) messbare numerische Funktionen.
a) Die Funktionen sup fn und inf fn sind messbar.
n
n
b) Die Funktionen lim sup fn und lim inf fn sind messbar.
n→∞
n→∞
c) Die Folge (fn ) konvergiere punktweise in R. Dann ist lim fn messbar.
n→∞
5. Integrationstheorie
Sei (X, A , µ) ein Maßraum.
Def. Eine Funktion f : X → R heißt nicht-negative Treppenfunktion auf X, wenn
gilt:
f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X,
f ist messbar,
f nimmt nur endlich viele Werte an.
Sei T + = T + (X) die Menge der nicht-negativen Treppenfunktionen auf X.
Bez. Sei f ∈ T + . Ist X die disjunkte Vereinigung von A1 , . . . , Am ∈ A und sind
m
X
α1 , . . . , αm ∈ [0, ∞ [ mit f =
αi χAi (wobei die αi nicht notwendig verschieden
i=1
P
sind), so nennen wir die Zerlegung f = αi χAi eine Normaldarstellung von f .
Def. Sei f ∈ T + und sei f =
R
f dµ :=
m
X
m
X
αi χAi eine Normaldarstellung von f . Dann heißt
i=1
αi µ(Ai ) das Integral von f .
j=1
Satz 1. Sei M + die Menge aller messbaren, nicht-negativen numerischen Funktionen auf X. Für jedes f ∈ M + gibt es eine wachsende Folge (gn ) in T + mit
f = sup gn .
n
Bew.: Man kann setzen
gn :=
n
n·2
X
i=0
i
χAi,n
2n
Ai,n := {x ∈ X |
i
i+1
≤ f (x) < n } für i = 0, 1, 2, . . . , n · 2n − 1
2n
2
An·2n ,n := {x ∈ X | f (x) ≥ n}
Def. Sei f ∈ M + . Man wählt eine wachsende Folge (gn ) in T + mit f = sup gn
n
und setzt
Z
Z
f dµ := sup
gn dµ.
n
Dies ist wohldefiniert, d.h.
R
f dµ hängt nicht von der Wahl der Folge (gn ) ab.
Satz 2. (Satz von der monotonen Konvergenz)
Ist (fn ) eine wachsende Folge in M + , so ist sup fn ∈ M + und
n
Z
Z
sup fn dµ = sup
n
n
8
fn dµ.
Folgerung: Ist (fn ) eine Folge in M + , so ist
∞
X
fn ∈ M + und
n=1
Z X
∞
∞ Z
X
(
fn ) dµ =
fn dµ.
n=1
n=1
Bez. Für f : X → R sei f + := sup(f, 0) , f − := (−f )+ = − inf(f, 0). Dann ist
f = f + − f − und |f | = f + + f − .
f ist genau dann messbar, wenn f + und f − messbar sind.
Def. Eine numerische
Funktion
f auf X heißt (µ−)integrierbar, wenn sie messbar
R
R
ist und wenn f + dµ und f − dµ endlich sind. Dann schreiben wir
Z
Z
Z
Z
f dµ := f (x) dµ(x) := f + dµ − f − dµ
X
und nennen diese reelle Zahl das Integral von f .
Bem. Eine messbare Funktion f ist genau dann integrierbar, wenn
R
|f | dµ < ∞.
Satz 3. Sind f, g integrierbare numerische Funktionen auf X, α ∈ R, so sind auch
αf , f + g (falls dies auf ganz X definiert ist), sup(f, g) und inf(f, g) integrierbar,
und
Z
Z
Z
Z
Z
(αf ) dµ = α f dµ , (f + g) dµ = f dµ + g dµ.
R
f dµ ≤ g dµ.
R
R
Insbesondere ist | f dµ| ≤ |f | dµ.
Ist f ≤ g, so ist
R
Beispiel1. Sei X eine Menge, a ∈ X. Betrachte den Maßraum (X, P(X), δa ) mit
1 , falls a ∈ A
δa (A) =
0 , sonst .
Integrierbar
R bezüglich δa ist eine Funktion f genau dann, wenn |f (a)| < ∞, und
dann ist f dδa = f (a).
Beispiel 2. Sei X = N. Es gibt genau ein Maß µ auf P(N) mit µ({n}) = 1 ∀ n ∈ N.
Betrachte den Maßraum (N, P(N), µ).
Die numerischen Funktionen auf X sind die Folgen f = (f (n))n in R.
∞
R
P
Ist f ∈ M + , so ist f dµ =
f (n).
n=1
(Bew.:
Ist ∞ ∈ f (N), also etwa f (m)R = ∞, so ist f ≥ nχ{m} für alle n ∈ N, also
R
f dµ ≥ n für alle n ∈ N und daher f dµ = ∞.
Ist ∞ ∈
/ f (N), so ist gn := f · χ{1,...,n} ∈ T + , und (gn ) ist eine wachsende Folge mit
f = sup gn . Daher ist
Z
Z
f dµ = sup
Z
gn dµ = sup
n
X
n
∞
X
X
f (k)χ{k} dµ = sup
f (k) =
f (n) .)
k=1
k=1
n=1
Eine numerische Funktion f auf N ist genau dann µ-integrierbar, wenn die Reihe
∞
X
∞
R
P
f (n) absolut konvergiert, und dann ist f dµ =
f (n).
n=1
n=1
Def. Sei (X, A , µ) ein Maßraum.
a) N ⊆ X heißt µ−Nullmenge, wenn N ∈ A und µ(N ) = 0.
9
b) Sei E eine Eigenschaft, die jeder Punkt von X hat oder nicht hat. Wir sagen:
”Fast alle Punkte von X besitzen die Eigenschaft E” oder ”E gilt fast überall auf
X”, wenn alle Punkte, für die E nicht gilt, in einer Nullmenge enthalten sind.
Satz 4. Für f ∈ M + gilt:
Z
f dµ = 0 ⇔ f = 0 fast überall.
Folgerung. Zwei integrierbare Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, haben dasselbe Integral.
Wir nennen demgemäß von nun an eine Funktion integrierbar, wenn sie integrierbar im bisherigen Sinn wird, wenn man sie eventuell auf einer Nullmenge abändert
oder ergänzt.
Bezeichnungen:
a) Ist f eine in diesem erweiterten Sinn λnR-integrierbare numerische Funktion auf
Rn , so heißt f Lebesgue-integrierbar ; statt f dλn schreibt man auch
Z
Z
Z
f (x) dλn (x) oder
f (x) dx oder
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn
Rn
Rn
Rn
und nennt dies das Lebesgue-Integral von f .
b) Allgemeiner: Ist Y ∈ B n , so sei B n (Y ) := {B ∈ B n | B ⊆ Y }.
Dann ist B n (Y ) eine σ−Algebra in Y . Durch B 7→ λn (B) erhält man ein Maß λn | Y
auf B n (Y ).
Man hat also einen Maßraum (Y, B n (Y ), λn | Y ).
Ist f : Y → R eine numerische Funktion, die integrierbar bezüglich λn | Y ist, so
schreibt man
Z
Z
Z
Z
f dλn oder
f (x) dλn (x) oder
f (x) dx oder
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn
Y
statt
Y
R
Y
Y
f d(λn | Y ).
6. Die Vertauschbarkeit des Integrals mit Grenzprozessen
Sei (X, A , µ) ein Maßraum.
Wir kennen bereits den Satz von der monotonen Konvergenz. Daraus folgt leicht:
Satz 1. (”Lemma von Fatou”) Sei (fn ) eine Folge in M + und f := lim inf fn .
Dann ist f ∈ M + und
n→∞
Z
Z
f dµ ≤ lim inf
n→∞
fn dµ.
Satz 2. (Satz von der majorisierten Konvergenz)
Sei (fn ) eine Folge integrierbarer R-wertiger Funktionen auf X, die fast überall
punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Es gebe eine integrierbare R-wertige
Funktion g auf X mit | fn (x)| ≤ g(x) ∀ x ∈ X, n ∈ N. Dann ist f integrierbar und
Z
Z
f dµ = lim
fn dµ.
n→∞
Bew.: Wende das Lemma von Fatou an auf die Folge (|f | + g − |fn − f |)n .
10
Satz 3. Sei µ(X) < ∞. Sei (fn ) eine Folge R-wertiger integrierbarer Funktionen
auf X, die gleichmäßig gegen die Funktion f : X → R konvergiert. Dann ist f
integrierbar und
Z
Z
f dµ = lim
n→∞
fn dµ.
Satz 4. Seien a, b ∈ R mit a < b und sei f : [a, b] → R Riemann-integrierbar. Dann
ist f Lebesgue-integrierbar (im erweiterten Sinn wie am Ende von §5), und das
Zb
Z
Riemann-Integral
f (x) dx und das Lebesgue-Integral
f (x) dλ1 (x) stimmen
a
[a,b]
überein.
Bemerkung. Eine Funktion f : R → R, die uneigentlich integrierbar ist im Sinne von Analysis I, ist nicht notwendigerweise Lebesgue-integrierbar, nämlich dann
nicht, wenn |f | nicht uneigentlich integrierbar ist, wie es z.B. für die Funktion
f (x) = sinx x der Fall ist.
Bezeichnungen: Ist I ein Intervall mit den Endpunkten a, b, wobei
−∞ ≤ a < b ≤ ∞, und ist f eine auf I Lebesgue-integrierbare numerische FunktiZb
Z
on, so schreibt man
f (x) dx statt
f dλ1 .
a
I
Zb
Wenn man irgendwo
f (x) dx liest, ist immer zu klären, ob es sich um das Integral
a
einer Lebesgue-integrierbaren Funktion oder um ein uneigentliches Integral handelt!
Sei (X, A , µ) ein Maßraum, I ein offenes Intervall in R und f : I × X → R eine
Abbildung.
Für t ∈ I sei ft : X → R definiert durch ft (x) := f (t, x).
Für x ∈ X sei f x : I → R definiert durch f x (t) := f (t, x).
Wenn f x an der Stelle t differenzierbar ist, so schreiben wir
∂f
(t, x) := (f x )0 (t)
∂t
und sagen, dass
∂f
∂t (t, x)
existiert.
Satz 5. f : I × X → R habe die folgenden Eigenschaften:
a) Für alle t ∈ I ist ft integrierbar.
b) Für alle t ∈ I, x ∈ X existiere
∂f
∂t (t, x).
c) Es gebe eine integrierbare Funktion g mit
∂f
(t, x) ≤ g(x) ∀ t ∈ I, x ∈ X.
∂t
Definiere F : I → R durch
Z
F (t) :=
f (t, x) dµ(x).
X
Dann gilt:
11
1) F ist differenzierbar.
2) ( ∂f
∂t )t : X → R ist integrierbar für t ∈ I.
R
3) F 0 (t) = ∂f
∂t (t, x) dµ(x) ∀ t ∈ I.
X
7. Der Satz von Fubini
Bezeichnungen: a) Seien n, m ∈ N und N := n + m.
Wir schreiben die Elemente von RN in der Form (x, y) mit x ∈ Rn und y ∈ Rm .
b) Ist E ⊆ RN , x ∈ Rn , y ∈ Rm , so sei
Ex := {η ∈ Rm | (x, η) ∈ E},
E y := {ξ ∈ Rn | (ξ, y) ∈ E}.
Satz 1. Sei E ∈ B N . Dann gilt:
1) Für jedes x ∈ Rn ist Ex ∈ B m .
2) Die numerische Funktion x 7→ λm (Ex ) auf Rn ist messbar.
R
R n y
3) λN (E) = λm (Ex ) dλn (x) =
λ (E ) dλm (y).
Rn
Rm
Folgerung. (Cavalierisches Prinzip) Seien E, E 0 ∈ B N mit λm (Ex ) = λm (Ex0 )
∀ x ∈ Rn . Dann ist λN (E) = λN (E 0 ).
Satz 2. Sei f eine messbare nicht-negative numerische Funktion auf Rn und sei
M f := {(x, t) ∈ Rn × R | 0 ≤ t < f (x)}.
Dann ist M f ∈ B n+1 und
λn+1 (M f ) =
Z
f dλn .
Rn
Beispiel. Das Kugelvolumen. Sei Bn,r := {x ∈ Rn |
n
X
x2i ≤ r2 }. Man zeigt
i=1
durch Induktion nach n:
n
λ (Bn,r ) =
1
m!
π m r2m
2m
1·3·...·(2m−1)
π m−1 r2m−1
für n = 2m
für n = 2m − 1.
Satz 3. Sei f eine messbare nicht-negative numerische Funktion auf RN , N = n+m.
Dann sind die folgenden 4 numerischen Funktionen messbar und nicht negativ:
1) x 7→ f (x, y) für festes y ∈ Rm ,
2) y 7→ f (x, y) für festes x ∈ Rn ,
R
3) y 7→ f (x, y) dλn (x),
Rn
4) x 7→
R
f (x, y) dλm (y),
Rm
12
und es gilt:
R
f (x, y) dλN (x, y)
=
RN
=
f (x, y) dλm (y) dλn (x)
R
f (x, y) dλn (x) dλm (y).
R
R
Rn
Rm
Rm
Rn
R
Satz 4. (Fubini) Sei f eine integrierbare numerische Funktion auf RN , N = n+m.
Für fast alle x ∈ Rn ist dann
die Funktion y 7→ f (x, y) integrierbar auf Rm , die f.ü.
R
definierte Funktion x 7→ f (x, y) dλm (y) ist integrierbar auf Rn , und es gilt:
R
R R
f (x, y) dλN (x, y) =
f (x, y) dλm (y) dλn (x)
m
RRn RR
RN
f (x, y) dλn (x) dλm (y).
=
Rm
Rn
Folgerung. Sei f Lebesgue-integrierbar auf Rn . Dann ist
Z
n
Z∞
f dλ =
Z∞
...
−∞
Rn
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn .
−∞
Man kann auch jede andere Reihenfolge der Variablen x1 , . . . , xn benutzen.
Bem. Im Satz von Fubini ist die Voraussetzung, dass f integrierbar ist, wichtig. In
vielen Fällen überprüft man für messbares f diese Voraussetzung
so:
R
Man muss zeigen, dass |f | integrierbar ist, d.h. dass
|f | dλN < ∞. Dafür rechnet
RN
R
man
|f | dλN mithilfe von Satz 3 aus.
RN
8. Die Transformationsformel
Def. Sei k ∈ N ∪ {0 , ∞} und seien U, V offen in Rn . Eine Abbildung ϕ : U → V
heißt ein C k -Diffeomorphismus von U nach V , wenn gilt:
a) ϕ ist eine Bijektion,
b) ϕ ist von der Klasse C k ,
c) ϕ−1 : V → U ist von der Klasse C k .
Bem. a) C 0 -Diffeomorphismus = Homöomorphismus.
b) Ist ϕ : U → V ein Homöomorphismus und A ⊆ U eine Borel-Menge, so ist
ϕ(A) = (ϕ−1 )−1 (A) eine Borel-Menge nach Paragraph 4, Satz 1.
Satz 1. (Transformationsformel) Seien U, V offen in Rn , ϕ : U → V sei ein
C 1 -Diffeomorphismus.
a) Ist A ⊆ U eine Borel-Menge, so ist
Z
λn (ϕ(A)) = | det Dϕ(x) | dx.
A
b) Ist eine Funktion f : V → R integrierbar, so ist | det Dϕ | · (f ◦ ϕ) : U → R
integrierbar und
Z
Z
f (y) dy = f (ϕ(x)) · | det Dϕ(x) | dx.
V
U
Der Beweis benutzt unter anderem die folgenden Resultate: Aus der Analysis II die
Kettenregel und den Umkehrsatz, aus der Analysis III den Satz von der monotonen
13
Konvergenz, Fubini und den Satz 5 aus §1, der sagt, wie sich das Volumen unter
einer linearen Abbildung ändert.
Beispiel: Ebene Polarkoordinaten. Definiere ϕ : [0, ∞ [×[0, 2π ] → R2 durch
ϕ(r, t) := (r · cos t, r · sin t).
Satz 2. Ist f : R2 → R integrierbar, so ist die Funktion
(r, t) 7→ r · f (ϕ(r, t))
über [0, ∞ [×[0, 2π ] integrierbar und es gilt:
Z∞ Z∞
Z2πZ∞
f (r cos t, r sin t) · r dr dt.
f (x, y) dx dy =
−∞ −∞
0
0
Bew. Wende Satz 1 an mit U :=]0, ∞ [×]0, 2π [, V := R2 \ {(x, 0)| x ≥ 0}.
Dann liefert ϕ einen C 1 -Diffeomorphismus von U auf V , und R2 \ V und
([0, ∞ [×[0, 2π ]) \ U sind Nullmengen.
Anwendung:
R∞ −x2 2
e
dx =
−∞
R∞
=
−∞
R∞
e
−(x2 +y 2 )
−∞ −∞
R∞ −r2
= 2π
=⇒
R∞
e
0
R∞
R∞ −y2 2
e−x dx (
e
dy
−∞
2π
R R∞ −r2
dx dy =
e
· r dr dϕ
0 0
i
h
2 ∞
=π
· r dr = 2π − 21 e−r
0
2
e−x dx =
√
π.
−∞
9. Die Räume Lp
Bezeichnungen: Sei (X, A , µ) ein Maßraum, p ∈ [1, ∞ [.
a) Ist f eine messbare numerische Funktion auf X, so sei
Z
1/p
k f kp :=
| f |p dµ
∈ [0, ∞ ].
(Beachte: Mit f sind auch | f | und | f |p nach Paragraph 4 messbar.)
b) L p (X) := L p (X, A , µ) := {f : X → R | f ist messbar und k f kp < ∞}.
Bem. L 1 (X) = { integrierbare R-wertige Funktionen auf X}.
Beispiel: Sei X = {1, 2, . . . , n}, A = P(X), µ({k}) = 1 ∀ k ∈ X.
n
X
R
Dann sind alle Abbildungen f : X → R integrierbar, und f dµ =
f (i). Die
i=1
Menge aller Abbildungen f : X → R kann mit Rn identifiziert werden vermöge
f ↔ (f (1), . . . , f (n)). Also L p (X, A , µ) = Rn , und unter dieser Identifikation gilt
für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn :
k x kp =
n
X
i=1
Dies ist die übliche p-Norm auf Rn .
14
|xi |p
1/p
.
Satz 1. (Höldersche Ungleichung) Sei p ∈ R mit 1 < p < ∞, und sei q definiert
durch p1 + 1q = 1.
Dann gilt für zwei messbare reellwertige Funktionen f, g auf X:
k f g k1 ≤ k f kp · k g kq .
Sind insbesondere f, g ∈ L 2 (X), so ist f g integrierbar.
Folgerung. Ist µ(X) < ∞, so ist L p (X) ⊆ L 1 (X) für p ≥ 1.
Dies sieht man, indem man g = 1 in der Hölderschen Ungleichung setzt.
Satz 2. (Minkowskische Ungleichung) Ist 1 ≤ p < ∞ und sind f, g messbare
reellwertige Funktionen auf X, so ist
k f + g kp ≤ k f kp + k g kp .
Sind insbesondere f, g ∈ L p (X), so ist auch f + g ∈ L p (X).
Daher ist L p (X) ein R-Vektorraum.
Bem. Im Allgemeinen ist (L p (X), k . kp ) kein normierter Raum, denn es kann
Funktionen f 6= 0 geben mit k f kp = 0.
Nach Paragraph 5, Satz 4 ist
{f ∈ L p (X) | k f kp = 0} = {f : X → R | f messbar und f = 0 f.ü.} =: N (X).
Dies ist ein Untervektorraum von L p (X).
Def. Lp (X) := L p (X)/N (X).
Ist f ∈ L p (X), so bezeichne f˜ die Klasse von f in Lp (X).
Durch k f˜ kp :=k f kp wird Lp (X) zu einem normierten Raum.
Satz 3. (Fischer-Riesz) Für 1 ≤ p < ∞ ist Lp (X) ein Banach-Raum.
Kapitel II. Vektoranalysis
10. Untermannigfaltigkeiten des RN
Def. Sei U offen in Rn und sei f : U → Rm von der Klasse C 1 .
a) f heißt Immersion, falls Rg Df (x) = n für alle x ∈ U .
b) f heißt Submersion, falls Rg Df (x) = m für alle x ∈ U .
Bem. Ist U offen in Rn und f : U → R von der Klasse C 1 , so ist f genau dann eine
Submersion, wenn grad f (x) 6= 0 für alle x ∈ U .
Def. Sei p ∈ N ∪ {∞} und sei 0 ≤ n ≤ N . Eine Teilmenge M von RN heißt ndimensionale Untermannigfaltigkeit des RN der Klasse C p , wenn es für jedes a ∈ M
eine offene Umgebung U von a in RN und eine Submersion g : U → RN −n der Klasse
C p gibt, so dass gilt:
M ∩ U = {x ∈ U | g(x) = 0} .
Eine Untermannigfaltigkeit der Klasse C ∞ heißt Untermannigfaltigkeit.
Bezeichnung: In der Situation obiger Definition heißt N − n die Kodimension von
M . Eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 heißt Hyperfläche in RN .
Beispiele: 1) Die 0-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des RN sind die diskreten Teilmengen des RN .
15
2) Die N -dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des RN sind die offenen Teilmengen von RN .
3) S N −1 = {x ∈ RN | x21 + . . . + x2N − 1 = 0} ist eine Hyperfläche in RN .
Satz 1. Sei M ⊆ RN , sei 0 ≤ n ≤ N und p ∈ N ∪ {∞}. Dann sind äquivalent:
a) M ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN der Klasse C p .
b) Für jedes a ∈ M existieren eine offene Umgebung U von a in RN , eine offene
Teilmenge V von RN und ein C p -Diffeomorphismus ϕ : U → V mit
ϕ(M ∩ U ) = (Rn × {0}) ∩ V .
c) Für jedes a ∈ M existieren eine offene Umgebung V von a in M , eine offene
Teilmenge W in Rn und eine Immersion ϕ : W → RN der Klasse C p , die W
homöomorph auf V abbildet.
(Ein solches ϕ, aufgefasst als Abbildung W → V , heißt eine Karte von M .)
Folgerung. Ist M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse C 1 von
RN und a ∈ M , so gibt es eine offene Umgebung V von a in M , die homöomorph
zu Rn ist.
Satz 2. Sei M eine n-dim.Untermannigfaltigkeit von RN und seien ϕj : Wj →
Vj (j = 1, 2) zwei Karten von M . Sei V := V1 ∩ V2 und Uj := ϕ−1
j (V ), j = 1, 2.
Dann sind die Uj offene Teilmengen von Rn , und die Abbildung
τ (ϕ2 , ϕ1 ) := (ϕ2 | U2 )−1 ◦ (ϕ1 | U1 ) : U1 → U2
ist ein Diffeomorphismus. Er heißt die zu den Karten ϕ1 und ϕ2 gehörige Parametertransformation.
Def. Sei M eine n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN . Eine[Menge {ϕj : Wj →
Vj | j ∈ J} von Karten von M heißt Atlas von M , falls M =
Vj .
j
Satz 3. Sei X ein metrischer Raum, M ⊆ X und A ⊆ M . Dann sind äquivalent:
a) A ist offen in M .
b) Es gibt eine offene Teilmenge U von X mit A = M ∩ U .
Satz 4. Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN und sei A ein
Atlas von M . Dann enthält A einen höchstens abzählbaren Teilatlas.
Bez.
Rn−
:= {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 ≤ 0},
∂Rn−
:= {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 = 0}.
Def. Sei M eine n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN und X ⊆ M .
a) Mit ∂X bezeichnen wir den Rand von X in M , also alle Punkte a von M , so
dass für jede Umgebung U von a in RN gilt: U ∩ X 6= ∅ und U ∩ (M r X) 6= ∅.
b) X heißt eine n-dim. abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rand von M , wenn
es zu jedem a ∈ ∂X eine Karte ϕ : W → V von M gibt, so dass gilt:
1)
2)
3)
a ∈ V,
ϕ(Rn− ∩ W ) = X ∩ V,
ϕ(∂Rn− ∩ W ) = ∂X ∩ V.
Eine solche Karte heißt randadaptiert bezüglich X.
Bem. Sei M eine n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN und X eine n-dim. abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rand von M . Dann ist ∂X ⊆ X.
16
Satz 5. Sei M eine n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN und X eine n-dim. abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rand von M . Dann ist ∂X eine (n − 1)-dim.
Untermannigfaltigkeit von RN .
Bem. Seien M und X wie oben und sei a ∈ X.
Ist a ∈ ∂X, so besitzt a eine offene Umgebung in X, die homöomorph zu Rn− ist.
X r ∂X ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit (ohne Rand) von RN .
Beispiele: 1) Rn− ist eine n-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit
Rand von Rn .
2) Dn := {x ∈ Rn | k x k2 ≤ 1} ist eine n-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rand von Rn mit ∂Dn = S n−1 .
n−1
3) S+
:= {(x1 , . . . , xn ) ∈ S n−1 |xn ≥ 0} ist eine (n − 1)-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rand von S n−1 mit
n−1
∂S+
= {(x1 , . . . , xn ) ∈ S n−1 |xn = 0} = S n−2 × {0} .
11. Zusammenhängende metrische Räume
Def. Ein metrischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn die einzigen Teilmengen von X, die sowohl offen als auch abgeschlossen in X sind, ∅ und X sind.
Bem. Genau dann ist X zusammenhängend, wenn gilt: Sind A, B offene Teilmengen
von X mit A ∪ B = X und A ∩ B = ∅, so ist A = ∅ oder B = ∅.
Satz 1. Sei X eine Teilmenge von R, die mehr als einen Punkt enthält. Dann sind
äquivalent:
a) X ist zusammenhängend.
b) X ist ein Intervall (eigentlich oder uneigentlich, offen, abgeschlossen oder halboffen).
Satz 2. Seien X, Y metrische Räume; X sei zusammenhängend und f : X → Y sei
eine surjektive stetige Abbildung. Dann ist Y zusammenhängend.
Lemma 1. Sei X ein metrischer Raum, C ein zusammenhängender Teilraum von
X. Dann ist auch der Abschluss C̄ von C zusammenhängend.
[
Lemma 2. Sei X ein metrischer Raum, X =
Xi . Alle Xi seien zusammenhängend
i∈I
und es sei
\
Xi 6= ∅. Dann ist auch X zusammenhängend.
i∈I
Def. Sei X ein metrischer Raum, x ∈ X. Dann sei C(x) die Vereinigung aller
zusammenhängenden Teilmengen von X, die x enthalten. Die Mengen C(x) heißen
die Zusammenhangskomponenten von X.
Satz 3. Sei X ein metrischer Raum, x, y ∈ X.
a) C(x) ist die größte zusammenhängende Menge, die x enthält.
b) Entweder ist C(x) = C(y) oder C(x) ∩ C(y) = ∅.
c) C(x) ist abgeschlossen in X.
Def. Ein metrischer Raum X heißt wegzusammenhängend, wenn es für je zwei
Punkte x, y ∈ X eine stetige Abbildung w : [0, 1] → X gibt mit w(0) = x, w(1) = y.
Satz 4. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum X ist zusammenhängend.
Bem. Es gibt zusammenhängende Räume, die nicht wegzusammenhängend sind.
17
Satz 5. Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN . Dann gilt:
a) M ist genau dann zusammenhängend, wenn es wegzusammenhängend ist.
b) Die Zusammenhangskomponenten von M sind offen in M .
c) Die Zusammenhangskomponenten von M sind n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten von RN .
Entsprechendes gilt für Untermannigfaltigkeiten mit Rand.
12. Kompakte metrische Räume
Def. Ein metrischer Raum X heißt kompakt, wenn jede Überdeckung von X durch
offene Teilmengen eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Das
S heißt: Ist Λ eine Menge und sind Ai (i ∈ Λ) offene Teilmengen von X mit
Ai = X, so gibt es ein n ∈ N und i1 , . . . , in ∈ Λ mit Ai1 ∪ . . . ∪ Ain = X.
i∈Λ
Bem. Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist genau dann kompakt,Swenn
gilt: Ist Λ eine Menge und sind Ai (i ∈ Λ) offene Teilmengen von X mit A ⊆
Ai ,
i∈Λ
so gibt es ein n ∈ N und i1 , . . . , in ∈ Λ mit A ⊆ Ai1 ∪ . . . ∪ Ain .
Satz 1. Seien X, Y metrische Räume, sei f : X → Y stetig und K sei eine kompakte
Teilmenge von X. Dann ist f (K) kompakt.
Satz 2. Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes ist
kompakt.
Satz 3. Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X ist abgeschlossen in
X.
Satz 4. Seien X, Y metrische Räume; X sei kompakt. Ist f : X → Y stetig und
bijektiv, so ist f −1 : Y → X stetig. Daher ist f ein Homöomorphismus.
Def. Sei (xn ) eine Folge in einem metrischen Raum X und a ∈ X. Dann heißt a
Häufungspunkt von (xn ), wenn (xn ) eine Teilfolge besitzt, die gegen a konvergiert.
(Äquivalent dazu: Wenn es zu jeder Umgebung U von a unendlich viele n ∈ N mit
xn ∈ U gibt.)
Satz 5. Für einen metrischen Raum X sind äquivalent:
a) X ist kompakt.
b) Jede Folge in X besitzt einen Häufungspunkt in X.
c) X ist vollständig, und für jedes ε > 0 existieren ein n ∈ N und x1 , . . . , xn ∈ X
n
S
mit X =
Bε (xi ).
i=1
Satz 6. (Heine-Borel) Eine Teilmenge von Rn ist genau dann kompakt, wenn sie
beschränkt und abgeschlossen in Rn ist.
Def. Ein metrischer Raum X heißt lokalkompakt, wenn gilt: Ist a ∈ X, so besitzt a
eine kompakte Umgebung in X.
Bem. Jede Untermannigfaltigkeit von RN ist lokalkompakt.
18
13. Tangentialräume und Orientierungen
Def. Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN und a ∈ M . Ein
Punkt v ∈ RN heißt Tangentialvektor an M in a, falls es ein offenes Intervall I ⊆ R
mit 0 ∈ I und eine C 1 -Abbildung ψ : I → RN gibt mit
1)
2)
3)
ψ(I) ⊆ M,
ψ(0) = a,
ψ 0 (0) = v.
Sei Ta (M ) die Menge aller Tangentialvektoren an M in a. Dann heißt Ta (M ) der
Tangentialraum an M in a.
Satz 1. Sei M eine n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN und a ∈ M .
a) Ta M ist ein n-dim. Untervektorraum von RN .
b) Sei ϕ : W → V eine Karte von M und b ∈ W mit ϕ(b) = a. Dann ist
Ta (M ) = Bild (Dϕ(b)) = {Dϕ(b) · u | u ∈ Rn } .
c) Sei U eine offene Umgebung von a in RN und g : U → RN −n eine Submersion
mit M ∩ U = {x ∈ U | g(x) = 0}. Dann ist
Ta M = Kern (Dg(a)) = {v ∈ RN | Dg(a) · v = 0}
.
Beispiel: Ist a ∈ S N −1 , so ist Ta (S N −1 ) = a⊥ = {v ∈ RN | < a | v >= 0}.
Def. Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN und a ∈ M . Das
Orthogonalkomplement von Ta (M ) in RN wird mit Na (M ) bezeichnet und heißt
Normalenraum von M im Punkt a. Die Elemente von Na (M ) heißen Normalenvektoren.
Beispiel: Na (S N −1 ) = R · a.
Def. Sei M eine Hyperfläche in RN . Ein Einheitsnormalenfeld auf M ist eine stetige
Abbildung ν : M → RN mit
1. ν(a) ∈ Na (M ) für alle a ∈ M ,
2. k ν(a) k= 1 für alle a ∈ N .
Def. Seien U, V offen in Rn und ϕ : U → V ein Diffeomorphismus. Dann heißt ϕ
orientierungstreu, wenn det Dϕ(x) > 0 für alle x ∈ U .
Def. Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN mit n ≥ 1.
a) Zwei Karten ϕ1 , ϕ2 heißen gleich orientiert, wenn die Parametertransformation
τ (ϕ2 , ϕ1 ) orientierungstreu ist.
b) Ein Atlas von M heißt orientiert, wenn je zwei seiner Karten gleich orientiert
sind.
c) M heißt orientierbar, wenn M einen orientierten Atlas besitzt.
d) Zwei orientierte Atlanten A und A0 heißen äquivalent, wenn jede Karte von A
mit jeder Karte von A0 gleich orientiert ist.
e) Eine Äquivalenzklasse σ orientierter Atlanten von M heißt eine Orientierung von
M . Man nennt dann (M, σ) eine orientierte Untermannigfaltigkeit. Man sagt meist:
”Sei M eine orientierte Untermannigfaltigkeit” statt ”Sei (M, σ) eine orientierte
Untermannigfaltigkeit”.
19
Beispiel: Jede Untermannigfaltigkeit von RN , die das Bild einer einzigen Karte ist,
ist orientierbar.
Bemerkungen. Sei M eine n-dimensionale orientierbare Untermannigfaltigkeit von
RN mit n ≥ 1.
a) Zu jeder Orientierung σ gibt es einen zu σ gehörigen orientierten Atlas A, dessen
Karten den Definitionsbereich Rn haben.
b) M besitzt mindestens zwei verschiedene Orientierungen:
Sei A = {ϕj : Rn → Vj | j ∈ J} ein orientierter Atlas von M . Sei
ϕ̃j (x1 , . . . , xn ) := ϕj (x1 , . . . , xn−1 , −xn ) .
Dann bilden die ϕ̃j einen orientierten Atlas von M , der nicht zu A äquivalent ist.
c) Ist M orientierbar und zusammenhängend, so besitzt M genau zwei verschiedene
Orientierungen.
Satz 2. Sei M eine Hyperfläche in RN . Genau dann ist M orientierbar, wenn M
ein Einheitsnormalenfeld besitzt.
Beispiel: S n ist orientierbar; das Möbiusband ist nicht orientierbar.
Satz 3. Sei M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN und X eine
n-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rand von M . Ist M orientierbar und n ≥ 2, so ist ∂X orientierbar.
Beispiel: Satz 3 zeigt erneut, dass S n orientierbar ist.
Bem. und Def. Ist σ eine Orientierung von M , so erhält man auf folgende Weise
eine Orientierung von ∂X, die die induzierte Orientierung von ∂X heißt:
Man wählt einen orientierten Atlas A von M , der zu σ gehört und für den gilt: Jede
Karte ϕ : W → V von A mit V ∩ ∂X 6= ∅ ist randadaptiert bezüglich X. Für jedes
solches ϕ setzen wir:
V0 := ∂X ∩ V ,
W0 := {(x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 | (0, x1 , . . . , xn−1 ) ∈ W },
ϕ0 : W0 → V0 gegeben durch ϕ0 (x1 , . . . , xn−1 ) := ϕ(0, x1 , . . . , xn−1 ).
Dann bilden die ϕ0 einen orientierten Atlas von ∂X, der zur induzierten Orientierung gehört.
14. Glatte Zerlegungen der Eins
Def. Ist X ein metrischer Raum und f : X → R eine Funktion, so heißt der
Abschluss der Menge {x ∈ X|f (x) =
6 0} der Träger von f ; er wird mit Supp(f )
bezeichnet.
Satz 1. Es gibt eine glatte Funktion g : Rn → R mit
g(x) > 0
für x ∈ ] − 1, 1[n ,
Supp(g) = [−1, 1]n .
Satz 2. Sei U offen Rn und X eine kompakte Teilmenge von U . Seien A1 , . . . , Am
offen in U mit X ⊆ A1 ∪. . .∪Am . Dann gibt es glatte Funktionen g1 , . . . , gm : U → R
mit folgenden Eigenschaften:
• gj (x) ≥ 0 für alle x ∈ U und alle j.
20
•
m
P
gj (x) ≤ 1 für alle x ∈ U .
j=1
• Für alle j ist Supp(gj ) kompakt und in Aj enthalten.
•
m
P
gj (x) = 1 für alle x ∈ X.
j=1
Eine solche Menge von Funktionen heißt eine glatte Zerlegung der Eins auf X,
welche der Überdeckung A1 , . . . Am von X untergeordnet ist.
15. Alternierende Multilinearformen
Bez.: Ist U offen in R3 , so sei V(U ) die Menge aller C ∞ -Abbildungen
F = (f1 , f2 , f3 ) : U → R3 . Die Elemente von V(U ) heißen glatte Vektorfelder auf
U . Man hat lineare Abbildungen
grad
rot
div
C ∞ (U ) −→ V(U ) −→ V(U ) −→ C ∞ :
∂f ∂f ∂f
,
,
,
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂f3
∂f2 ∂f1
∂f3 ∂f2
∂f1
rot(F ) :=
−
,
−
,
−
,
∂x2
∂x3 ∂x3
∂x1 ∂x1
∂x2
∂f2
∂f3
∂f1
+
+
.
div(F ) :=
∂x1
∂x2
∂x3
grad(f )
:=
Es gilt: rot grad f = 0, div rot F = 0.
Ist U zum Beispiel konvex, so gilt: Ist rot F = 0, so gibt es ein f mit grad f = F ;
ist div F = 0, so gibt es ein G mit rot G = F .
Ziel von §15 und §16: Verallgemeinerung dieses Kalküls von 3 auf n und auf beliebige
Mannigfaltigkeiten.
Bez.: a) Sei e1 , . . . , en die übliche Basis von Rn .
b) Sei (Rn )∗ der Dualraum von Rn , also die Menge aller linearen Abbildungen
Rn → R. Dann ist (Rn )∗ ein R-Vektorraum mit der Basis ∆1 , . . . , ∆n , wobei
1 , falls i = j
∆i (ej ) =
0 , falls i 6= j.
c )Für k ∈ N sei (Rn )k := {(v1 , . . . , vk ) | vi ∈ Rn }.
Def. Eine alternierende Multilinearform vom Grad k, kurz: eine alternierende kForm auf Rn ist eine Abbildung ω : (Rn )k → R mit folgenden Eigenschaften:
1) ω ist linear in jedem Argument.
2) ω(. . . , vi , . . . , vj , . . .) = −ω(. . . , vj , . . . , vi , . . .), wenn alle anderen Argumente
gleich bleiben.
Die alternierenden k-Formen auf Rn bilden einen Vektorraum Λk (Rn )∗ . Man setzt
Λ0 (Rn )∗ := R.
Beispiele: a) Λ1 (Rn )∗ = (Rn )∗ .
b) Durch (v1 , . . . , vn ) 7→ det(v1 , . . . , vn ) erhält man eine alternierende n-Form auf
Rn , wobei die vi als Spalten aufgefasst werden.
Bem.1. Die Bedingung 2) ist äquivalent mit
21
2∗ )
ω(. . . , v, . . . , v, . . .) = 0.
Def. Sind ϕ1 , . . . , ϕk ∈ (Rn )∗ , so definiert man ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕk ∈ Λk (Rn )∗ durch
(ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕk )(v1 , . . . , vk ) := det((ϕi (vj ))i,j=1,...,k ).
Beispiel: ∆1 ∧ . . . ∧ ∆n = det.
Bez.: Ist I ⊆ {1, . . . , n}, also I = {i1 , . . . , ik } mit 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n, so sei
|I| := k,
eI
:=
(ei1 , . . . , eik ) ∈ (Rn )k ,
∆I
:=
∆i1 ∧ . . . ∧ ∆ik ∈ Λk (Rn )∗ .
(Dabei ist auch I = ∅, also k = 0, erlaubt; allerdings muss man e∅ nicht definieren;
man setzt ∆∅ := 1 ∈ R = Λ0 (Rn )∗ .)
Bem.2. Sind I, J ⊆ {1, . . . , n} mit |I| = |J| = k ≥ 1, so ist
1 , falls I = J
∆I (eJ ) =
0 , falls I 6= J.
Bem.3. Die ∆I mit |I| = k bilden eine Basis des R-Vektorraums Λk (Rn )∗ .
Insbesondere ist dim Λk (Rn )∗ = nk und Λk (Rn )∗ = 0 für k > n.
P
aI ∆I
Die Elemente von Λk (Rn )∗ können also auf genau eine Weise in der Form
|I|=k
mit aI ∈ R geschrieben werden.
Def. Seien I, J ⊆ {1, . . . , n}, I = {i1 , . . . , ik } mit i1 < . . . < ik und J = {j1 , . . . , jh }
mit j1 < . . . < jh . Dann sei
∆I ∧ ∆J := ∆i1 ∧ . . . ∧ ∆ik ∧ ∆j1 ∧ . . . ∧ ∆jh .
(Insbesondere ist ∆∅ ∧ ∆J = ∆J .)
Daraus gewinnt man eine Abbildung
∧ : Λk (Rn )∗ × Λh (Rn )∗ −→ Λk+h (Rn )∗ :
X
X
X
aI ∆I ∧
bJ ∆ J =
aI bJ ∆I ∧ ∆J .
|I|=k
I,J
|J|=h
Bem.4. Diese Abbildung hat folgende Eigenschaften:
a) Sie ist bilinear.
b) Sie ist assoziativ.
c) Sie ist graduiert kommutativ, d.h.
ω ∧ η = (−1)kh η ∧ ω f ür ω ∈ Λk , η ∈ Λh .
16. Differentialformen
Def. Sei U offen in Rn . Eine Differentialform vom Grad k oder k-Form auf U ist
eine Abbildung
ω : U → Λk (Rn )∗ .
Insbesondere ist eine 0-Form eine Funktion U → R.
Bez.: Die konstante k-Form ω : U → Λk (Rn )∗ mit ω(x) = ∆I für alle x ∈ U wird
mit dxI bezeichnet.
Ist I = {i}, so schreibt man natürlich dxi statt dx{i} .
22
Bem.5. Eine Differentialform ω vom Grad k auf U ist von der Form
X
ω=
fI dxI
|I|=k
mit eindeutig bestimmten Funktionen fI : U → R.
ω heißt stetig (bzw. von der Klasse C p ), wenn alle fI diese Eigenschaft haben.
Wir betrachten meist glatte Differentialformen, d.h. Differentialformen von der
Klasse C ∞ . Mit Ωk (U ) bezeichnen wir den Vektorraum der glatten k-Formen auf
U.
P
P
Sind ω =
fI dxI , η =
gI dxI ∈ Ωk (U ), so ist
X
ω+η =
(fI + gI ) dxI .
Ist ω eine k-Form und η eine h-Form auf U , so erhält man eine (k + h)-Form ω ∧ η
auf U durch
ω ∧ η(x) := ω(x) ∧ η(x).
Ist I = {i1 , . . . , ik } ⊆ {1, . . . , n} mit i1 < . . . < ik , so ist
dxI = dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Es gilt: dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi , insbesondere dxi ∧ dxi = 0.
P
Def. Sei ω =
fI dxI ∈ Ωk (U ). Definiere dω ∈ Ωk+1 (U ) durch
|I|=k
n
X X
∂fI
dxj ∧ dxI .
∂x
j
j=1
dω :=
|I|=k
dω heißt die äußere Ableitung von ω.
Spezialfall: Ist ω eine 0-Form , also eine Funktion, so ist
dω =
n
X
∂ω
dxj .
∂x
j
j=1
Beispiel: Sei ω die Funktion (x1 , . . . , xn ) 7→ xi auf Rn ; dann ist dω = dxi .
Bem.6. Man hat für U ⊆ R3 ein kommutatives Diagramm
C ∞ (U )
grad
rot
ϕ1 ∼
=
=
?
Ω0 (U )
- V(U )
- Ω1 (U )
div
ϕ2 ∼
=
?
d
- V(U )
ϕ3 ∼
=
?
d
- Ω2 (U )
Dabei sind die Vektorraumisomorphismen ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 gegeben durch
ϕ1 (f1 , f2 , f3 ) = f1 dx + f2 dy + f3 dz,
ϕ2 (f1 , f2 , f3 ) = f1 dy ∧ dz + f2 dz ∧ dx + f3 dx ∧ dy,
ϕ3 (f ) = f dx ∧ dy ∧ dz.
Bem.7. Die Abbildung d : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ) ist linear.
Für ω ∈ Ωk (U ) und η ∈ Ωh (U ) ist
d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.
23
- C ∞ (U )
?
d
- Ω3 (U )
Satz 1. Ist ω eine glatte Differentialform, so ist
d(dω) = 0.
Def. Eine Teilmenge U von Rn heißt sternförmig, wenn gilt: Es gibt ein x0 ∈ U , so
dass für alle x ∈ U die Verbindungsstrecke zwischen x0 und x in U liegt.
Bem. Wie zeigen später: Sei U eine offene sternförmige Teilmenge von Rn und
ω ∈ Ωk (U ) mit dω = 0. Dann gibt es ein η ∈ Ωk−1 (U ) mit dη = ω.
Satz 2. Sei U offen in Rn , V offen in Rm , ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : V → U glatt. Dann
gibt es genau eine Abbildung
ϕ∗ : Ωk (U ) → Ωk (V )
mit den folgenden Eigenschaften (1) - (4):
(1) ϕ∗ ist linear.
(2) Ist f ∈ Ω0 (U ) = C ∞ (U ), so ist ϕ∗ (f ) = f ◦ ϕ.
(3) ϕ∗ (ω ∧ η) = ϕ∗ (ω) ∧ ϕ∗ (η).
(4) d(ϕ∗ ω) = ϕ∗ (dω).
Ferner gilt:
(5) ψ ∗ (ϕ∗ (ω)) = (ϕ ◦ ψ)∗ (ω).
Spezialfall: Sei k = n = m: Es ist
ϕ∗ (f dx1 ∧ . . . ∧ dxn ) = (f ◦ ϕ) · det(Dϕ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
17. Integration von Differentialformen und der Satz
von Stokes
Konstruktion: Sei M eine orientierte n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN , sei U
eine offene Teilmenge von RN mit M ⊆ U , seiR ω eine glatte n-Form auf U und A
eine kompakte Teilmenge von M . Wir wollen ω definieren:
A
Fall I: Sei n = N und U = M mit der kanonischen Orientierung. Dann ist ω =
f dx1 ∧ . . . ∧ dxn mit einer glatten Funktion f auf U . Wir setzen
Z
Z
ω := f (x) dx.
A
A
Fall II: Seien n, N, M, U beliebig. Es gebe jedoch eine zur Orientierung von M
gehörige Karte ϕ : W → V mit A ⊆ V . Setze
Z
Z
ω :=
ϕ∗ (ω).
A
ϕ−1 (A)
(Die rechte Seite ist gemäß Fall I definiert. Die Wohldefiniertheit folgt aus der
Transformationsformel und aus dem Spezialfall am Ende von Paragraph 16.)
Fall III: Die allgemeine Situation: Da A kompakt ist, gibt es endlich viele zur Orientierung von M gehörige Karten ϕj : Wj → Vj (j = 1, . . . , m) mit A ⊆ V1 ∪ . . . ∪ Vm .
Seien V˜1 , . . . , V˜m offene Teilmengen von U mit Vj = M ∩ V˜j . Seien g1 , . . . , gm : U →
R Funktionen, die eine glatte Zerlegung der Eins auf A bilden, die der Überdeckung
(V˜j ) untergeordnet ist. Setze
24
Z
ω :=
m Z
X
j=1 A
A
gj ω,
j
wobei Aj := A ∩ Supp (gj ) ⊆ Vj . (Dabei ist die rechte Seite gemäß Fall II definiert.)
Def. Sei U offen in Rn und ω eine k-Form auf U . Dann heißt Supp(ω) := Abschluss
der Menge {x ∈ U |ω(x) 6= 0} in U der Träger von ω.
R
Bem.: Wenn in der obigen Konstruktion von ω die Menge A nicht notwendig
A
kompakt, sondern nur abgeschlossen
in RN ist und stattdessen Supp(ω) kompakt
R
ist, so kann man ebenfalls ω definieren:
A
Man wählt ein R > 0 mit Supp(ω) ⊆ BR (0) und setzt
Z
Z
ω :=
ω.
A
A∩B̄R (0)
Lemma. Sei ω eine glatte (n − 1)-Form auf Rn mit kompaktem Träger. Dann ist
Z
Z
ω.
dω =
Rn
−
∂Rn
−
Satz 1. (Integralsatz von Stokes) Sei M eine orientierte n-dim.Untermannigfaltigkeit
von RN mit n ≥ 2, sei U eine offene Teilmenge von RN mit M ⊆ U und sei ω eine
glatte (n − 1)-Form auf U . Sei X eine n-dim. abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
mit Rand von M . Es sei X kompakt, und ∂X trage die induzierte Orientierung.
Dann ist
Z
Z
dω =
ω.
X
∂X
Def. Eine Untermannigfaltigkeit von R
ohne Rand ist.
N
heißt geschlossen, wenn sie kompakt und
Satz 2. (Satz von Stokes für geschlossene Mannigfaltigkeiten) Sei U offen
in RN und ω eine glatte (n−1)-Form auf U . Sei M ⊂ U eine geschlossene orientierte
n-dim. Untermannigfaltigkeit von RN mit n ≥ 1. Dann ist
Z
dω = 0.
M
Bem. Den Spezialfall n = N des Satzes von Stokes bezeichnet man als ,,Integralsatz
von Gauß”. In diesem Fall trägt M die kanonische Orientierung. Man hat also:
Satz 3. (Integralsatz von Gauß) Sei X eine kompakte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand von Rn , n ≥ 2, und sei ω eine glatte (n − 1)-Form, die
auf einer Umgebung von X definiert ist. Dann ist
Z
Z
dω =
ω.
X
Beispiel. Sei U = Rn und ω =
n
P
∂X
ci ∧ . . . ∧ dxn . Dann ist
(−1)i−1 xi dx1 ∧ . . . ∧ dx
i=1
dω = n dx1 ∧ . . . ∧ dxn , also
1
λ (X) =
n
n
Z
ω.
∂X
25
18. Volumina auf Untermannigfaltigkeiten und klassische Integralsätze
Sei M eine n-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit von RN und sei B(M )
die σ-Algebra der Borel-Teilmengen von M . Wir wollen ein Maß λM auf B(M )
definieren, welches das Lebesgue-Maß verallgemeinert.
Satz 1. Sei K(M ) die Menge der kompakten Teilmengen von M . Dann ist B(M ) =
σ(K(M )). (Hierbei wird Orientierbarkeit nicht gebraucht.)
1. Ist x ∈ M , so ist Tx (M ) ein n-dimensionaler Untervektorraum von RN . Sei
(v1 , . . . , vn ) eine Basis von Tx (M ). Wir wollen definieren, was es heißen soll, dass
diese Basis zur gegebenen Orientierung von M gehört:
Sei ϕ : W → V eine zur Orientierung gehörige Karte von M mit x ∈ V . Sei
a := ϕ−1 (x). Dann ist (Dϕ(a) · e1 , . . . , Dϕ(a) · en ) eine Basis von Tx (M ). Daher
gibt es eindeutig bestimmte reelle Zahlen λij mit
vi =
n
X
λij Dϕ(a) · ej .
j=1
Ist det(λij ) > 0, so sagen wir, dass (v1 , . . . , vn ) zur gegebenen Orientierung von M
gehört.
2. Wir wählen eine Orthonormalbasis (v1 , . . . , vn ) von Tx (M ), die zur gegebenen
Orientierung von M gehört. Es gibt genau eine alternierende n-Form volx auf Tx (M )
mit
volx (v1 , . . . , vn ) = 1 .
Sie hängt nicht von der Wahl von (v1 , . . . , vn ) ab. Die Vorschrift volM , die jedem
x ∈ M die alternierende n-Form volx zuordnet, heißt die Volumenform auf M .
3. Es gibt eine offene Umgebung U von M in RN und eine glatte n-Form ω auf U ,
so dass gilt: Ist x ∈ M und sind a1 , . . . , an ∈ Tx (M ), so ist
volx (a1 , . . . , an ) = ω(x)(a1 , . . . , an ) .
R
4. Ist A eine kompakte Teilmenge von M , so hängt ω nicht von der Wahl von U
A
und der n-Form ω wie oben ab. Man setzt
Z
Z
ω =: volM =: λM (A)
A
A
und nennt diese Zahl das Volumen von A. Nach Satz 1 und dem Maßfortsetzungssatz
lässt sich λM auf genau eine Weise zu einem Maß λM auf B(M ) fortsetzen.
Spezialfall n = 1: Sei I ein offenes Intervall, sei ϕ : I → RN glatt mit ϕ0 (t) 6= 0
für alle t ∈ I, und ϕ sei ein Homöomorphismus von I auf ϕ(I) =: M . Dann ist M
eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RN , und {ϕ} ist ein Atlas von M ,
der eine Orientierung von M liefert. Sind a, b ∈ I mit a > b und ist A := ϕ([a, b]),
so ist
Zb
λM (A) =
k ϕ0 (t) k dt .
a
Bem. 1: Ist zusätzlich f : M → R stetig, so ist
Zb
Z
f dλM =
A
f (ϕ(t))· k ϕ0 (t) k dt .
a
26
Spezialfall N = 3, n = 2: Sei ϕ : W
von M und sei A eine Borel-Teilmenge
Z
λM (A) =
→ V eine zur Orientierung gehörige Karte
von V . Dann ist
∂ϕ ∂ϕ 2
∂x × ∂y dλ .
ϕ−1 (A)
Dabei bezeichnet × das Kreuzprodukt in R3 .
Bem. 2: Ist zusätzlich f eine stetige Funktion auf M , so ist
Z
Z
∂ϕ ∂ϕ dx dy .
f dλM =
f (ϕ(x, y)) ×
∂x
∂y ϕ−1 (A)
A
Satz 2. (Klassische Version des Satzes von Gauß) Sei U offen in R3 , sei X ⊂ U
eine kompakte 3-dim. Untermannigfaltigkeit mit Rand von R3 und F : U → R3 ein
glattes Vektorfeld. Sei ν das nach außen gerichtete Einheitsnormalenfeld auf ∂X.
Dann ist
Z
Z
3
div F dλ =
< F | ν > dλ∂X .
X
∂X
(Dabei ist die rechte Seite gemäß Bem. 2 zu verstehen.)
Satz 3. (Klassische Version des Satzes von Stokes) Sei U offen in R3 , sei
M ⊂ U eine orientierte 2-dim. Untermannigfaltigkeit und F : U → R3 ein glattes Vektorfeld. Sei X eine 2-dim. kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand von
M . Sei ν eines der beiden Einheitsnormalenfelder auf M . Dann gilt für eines der
Einheitstangentialfelder τ auf ∂X:
Z
Z
< rot F | ν > dλM =
< F | τ > dλ∂X .
X
∂X
(Dabei ist die linke Seite gemäß Bem. 2 und die rechte Seite gemäß Bem. 1 zu
verstehen.)
27