Wahrheitstafel für die logischen Operatoren

Wahrheitstafel für die logischen Operatoren
A
B
¬A
A∧B
A∨B
A→B
A↔B
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Logik für Informatiker, SS ’06 – p.12
Uniforme Notation
Konjunktive Formeln:
Disjunktive Formeln:
Typ α
Typ β
Raymond Smullyan
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.13
Uniforme Notation
Konjunktive Formeln:
Typ α
¬¬ A
A∧B
¬(A ∨ B)
¬(A → B)
Disjunktive Formeln:
Typ β
Raymond Smullyan
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.13
Uniforme Notation
Konjunktive Formeln:
Typ α
¬¬ A
A∧B
¬(A ∨ B)
¬(A → B)
Disjunktive Formeln:
Typ β
¬(A ∧ B)
A∨B
A→B
Raymond Smullyan
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.13
Uniforme Notation
Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln
α
α1
α2
A∧ B
A
B
¬(A∨ B) ¬ A ¬ B
¬(A→ B)
¬¬ A
A ¬B
A
A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.14
Uniforme Notation
Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln
α
α1
α2
A∧ B
A
B
¬(A∨ B) ¬ A ¬ B
¬(A→ B)
¬¬ A
A ¬B
A
β
β1
β2
¬(A∧ B) ¬ A ¬ B
A∨ B
A
B
A→ B ¬ A
B
A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.14
Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung
Alternative Art der Definition von val I
val I (α) =


 true

 false
val I (β ) =


 true

 false
falls
val I (α1 ) = true und val I (α2 ) = true
sonst
falls
val I (β1 ) = true oder val I (β2 ) = true
sonst
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.15
Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung
Alternative Art der Definition von val I
val I (α) =


 true

 false
val I (β ) =


 true

 false
falls
val I (α1 ) = true und val I (α2 ) = true
sonst
falls
val I (β1 ) = true oder val I (β2 ) = true
sonst
Umfaßt Definition von val I für alle Operatoren außer:
1, 0, ¬, ↔
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.15
Modell einer Formel(menge)
Definition: Modell einer Formel
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formel A ∈ For0Σ , falls
val I (A) = true
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.16
Modell einer Formel(menge)
Definition: Modell einer Formel
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formel A ∈ For0Σ , falls
val I (A) = true
Definition: Modell einer Formelmenge
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formelmenge M ⊆ For0 Σ , falls
val I (A) = true
für alle A ∈ M
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.16
Zur Erinnerung: Logische Folgerbarkeit
Definition: Logische Folgerbarkeit
Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB
gdw.
alle Modelle von KB sind auch Modell von A
Notation
KB |= α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.17
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A∨B
KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A
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B
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C
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A∨C
B ∨ ¬C
KB
α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A∨B
KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A
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B
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C
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A∨C
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B ∨ ¬C
KB
α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A∨B
KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A
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B
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C
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A∨C
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B ∨ ¬C
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KB
α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A∨B
KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A
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B
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C
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A∨C
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B ∨ ¬C
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KB
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α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A∨B
KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A
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B
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C
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B ∨ ¬C
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KB
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α
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Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A∨B
KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A
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B
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C
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A∨C
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B ∨ ¬C
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KB
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α
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Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
Logische Äquivalenz
Definition: Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent,
wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.
α |= β and β |= α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19
Logische Äquivalenz
Definition: Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent,
wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.
α |= β and β |= α
Notation
α≡β
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19
Logische Äquivalenz
Definition: Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent,
wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.
α |= β and β |= α
Notation
α≡β
Beispiel
(A → B)
≡
(¬ B → ¬ A)
(Kontraposition)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19
Logische Äquivalenz
Substitutionstheorem
Wenn
A≡B
C 0 ist das Ergebnis der Ersetzung einer Unterformel A in C durch B,
dann
C ≡ C0
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.20
Logische Äquivalenz
Substitutionstheorem
Wenn
A≡B
C 0 ist das Ergebnis der Ersetzung einer Unterformel A in C durch B,
dann
C ≡ C0
Beispiel
A∨B
≡
B∨A
impliziert
(C ∧ (A ∨ B)) → D
≡
(C ∧ (B ∨ A)) → D
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.20
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∧
Kommutativität von ∨
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
Assoziativität von ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
Assoziativität von ∧
Assoziativität von ∨
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A
Idempotenz für ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A
• (A ∨ A) ≡ A
Idempotenz für ∧
Idempotenz für ∨
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A
Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A
Idempotenz für ∨
• ¬¬ A ≡ A
Doppelnegation
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A
Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A
Idempotenz für ∨
• ¬¬ A ≡ A
• (A → B) ≡ (¬ B → ¬ A)
Doppelnegation
Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬ A ∨ B)
Elimination Implikation
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬ A ∨ B)
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)
Elimination Implikation
Elimination Äquivalenz
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬ A ∨ B)
Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)
Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬ A ∨ ¬ B)
de Morgans Regeln
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬ A ∨ B)
Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)
Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬ A ∨ ¬ B)
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬ A ∧ ¬ B)
de Morgans Regeln
de Morgans Regeln
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬ A ∨ B)
Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)
Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬ A ∨ ¬ B)
de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬ A ∧ ¬ B)
de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬ A ∨ B)
Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)
Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬ A ∨ ¬ B)
de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬ A ∧ ¬ B)
de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C))
Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
Wichtige Äquivalenzen (zusammengefasst)
(A ∧ B)
(A ∨ B)
((A ∧ B) ∧ C)
((A ∨ B) ∨ C)
(A ∧ A)
(A ∨ A)
¬¬ A
(A → B)
(A → B)
(A ↔ B)
¬(A ∧ B)
¬(A ∨ B)
(A ∧ (B ∨ C))
(A ∨ (B ∧ C))
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
(B ∧ A)
(B ∨ A)
(A ∧ (B ∧ C))
(A ∨ (B ∨ C))
A
A
A
(¬ B → ¬ A)
(¬ A ∨ B)
((A → B) ∧ (B → A))
(¬ A ∨ ¬ B)
(¬ A ∧ ¬ B)
((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
((A ∨ B) ∧ (A ∨ C))
Kommutativität von ∧
Kommutativität von ∨
Assoziativität von ∧
Assoziativität von ∨
Idempotenz für ∧
Idempotenz für ∨
Doppelnegation
Kontraposition
Elimination Implikation
Elimination Äquivalenz
de Morgans Regeln
de Morgans Regeln
Distributivität von ∧ über ∨
Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.23
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬ A) ≡ 0
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬ A) ≡ 0
• (A ∨ ¬ A) ≡ 1
Tertium non datur
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬ A) ≡ 0
• (A ∨ ¬ A) ≡ 1
Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬ A) ≡ 0
• (A ∨ ¬ A) ≡ 1
Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬ A) ≡ 0
• (A ∨ ¬ A) ≡ 1
Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
• (A ∨ 1) ≡ 1
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung
Definition: Äquivalenzumformung
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch
äquivalente Formel
Anwendung des Substitutionstheorems
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.25
Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung
Definition: Äquivalenzumformung
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch
äquivalente Formel
Anwendung des Substitutionstheorems
Theorem
Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten
wichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül:
Wenn A, B logisch äquivalent sind, kann A in B umgeformt werden
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.25
Allgemeingültigkeit
Definition: Allgemeingültigkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26
Allgemeingültigkeit
Definition: Allgemeingültigkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist
Notation
|= A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26
Allgemeingültigkeit
Definition: Allgemeingültigkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist
Notation
|= A
Beispiele
A ∨ ¬A
A→A
(A ∧ (A → B)) → B
1
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26
Deduktionstheorem
Deduktionstheorem
KB |= A
gdw.
KB → A ist allgemeingültig
(verbindet logische Folgerbarkeit und Allgemeingültigkeit)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.27
Deduktionstheorem
Deduktionstheorem
KB |= A
gdw.
KB → A ist allgemeingültig
(verbindet logische Folgerbarkeit und Allgemeingültigkeit)
Folgerungen
M ∪ { A} |= B gdw. M |= A → B
A, B sind logisch äquivalent
gdw.
A ↔ B ist allgemeingültig
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.27
Erfüllbarkeit
Definition: Erfüllbarkeit
Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.28
Erfüllbarkeit
Definition: Erfüllbarkeit
Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat
Beispiele
A∨B
A
A ∧ (A → B)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.28
Unerfüllbarkeit
Definition: Unerfüllbarkeit
Eine Formel ist unerfüllbar, wenn sie in keinem Modell wahr ist, d.h.,
nicht erfüllbar ist
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.29
Unerfüllbarkeit
Definition: Unerfüllbarkeit
Eine Formel ist unerfüllbar, wenn sie in keinem Modell wahr ist, d.h.,
nicht erfüllbar ist
Beispiel
A ∧ ¬A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.29
Allgemeingültigkeit / Ableitbarkeit / Unerfüllbarkeit
Theorem
A ist allgemeingültig
gdw.
¬ A ist unerfüllbar
(verbindet Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.30
Allgemeingültigkeit / Ableitbarkeit / Unerfüllbarkeit
Theorem
A ist allgemeingültig
gdw.
¬ A ist unerfüllbar
(verbindet Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit)
Theorem
KB |= A
gdw.
(KB ∧ ¬ A) ist unerfüllbar
(verbindet logische Ableitbarkeit und Unerfüllbarkeit)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.30
Verbindung der Eigenschaften
Aus den Theoremen folgt
Logische Folgerbarkeit
Allgemeingültigkeit
Unerfüllbarkeit
sind verbunden.
Kalkül für eine dieser Eigenschaften genügt
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.31