Perkolationstheorie Hannes Thurner 0625207 Betreuer: Mag. Dr

Perkolationstheorie
Hannes Thurner
0625207
Betreuer: Mag. Dr. Bernhard Krön
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I NHALTSVERZEICHNIS
1. Einleitung
1.1. Einleitung - Modell eines porösen Mediums
2. Kantenperkolation (Bond Percolation)
2.1. Duale Gitter
2.2. Kritische Phasen
3. Elementare Werkzeuge
3.1. FKG - Ungleichung
3.2. BK - Ungleichung
3.3. Russo’s Formel
Anhang A. Simulation eines Percolationsprozesses in Matlab
2. Literaturverzeichnis
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3
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8
10
15
15
19
21
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3
1. E INLEITUNG
1.1. Einleitung - Modell eines porösen Mediums. Zu Anfangs wollen
wir ein stochastisches Modell eines porösen Mediums, z.B. einen poröser
Stein in einem mit Wasser gefüllten Gefäss, betrachten. Die Frage, die uns
hierbei beschäftigt ist: Kann Wasser bis in das Innere des Steins vordringen?
Die Antwort gibt das Perkolations-Modell, welches dabei hilft, solch eine
Problemstellung zu formalisieren.
Es sei L2 ein quadratisches Gitter und p ∈ [0, 1]. Wir betrachen den Stein
als einen endlichen Teilgraph von L2 . Die Kanten repräsentieren hier die
einzelnen Risse des Steins. Die Zahl p repräsentiert die Breite jener Risse
durch die Wasser fließen und q = 1 − p die Breite jener Risse durch die kein
Wasser hindurch fließen kann.
Entsprechend dieses Ansatzes bezeichnen wir eine Kante als offen“ mit
”
Wahrscheinlichkeit p bzw. geschlossen“ mit Wahrscheinlichkeit q.
”
Wasser kann also genau dann bis in das innere eines porösen Steins vordringen wenn es einen Pfad aus offenen Kanten von der Oberfläche bis in das
Innere des Steins gibt. Wenn wir nun alle geschlossenen Kanten löschen,
bleibt ein zufälliger Teilgraph aus offenen Kanten, ein (offener) Cluster,
übrig.
Abbildung 1
4
Die Perkolationstheorie beschäftigt sich mit der Entestehung solcher Cluster, besonders wie die Größe und Struktur von dem Wert p abhängen. Es ist
klar, dass je größer p ist desto größer die Cluster werden. Dazu betrachten wir einen Perkolationsprozess auf dem quadratischen Gitter Z2 , mit den
Parametern p = .25, p = .5, p = .49 und p = .75. Ist p = 0, 25, so sind
alle Cluster eher klein, für p = 0, 75 ist jedoch das Gitter fast vollständig
ausgefüllt.
p = .25
p = .75
p=.49
p = .51
Abbildung 2
Das legt nahe, dass es einen kritischen Wert pc gibt, sodass alle Cluster
endlich sind wenn p < pc und es unendliche Cluster gibt wenn p > pc ist.
Für L2 ist pc = 12 .
5
2. K ANTENPERKOLATION (B OND P ERCOLATION )
Der bisher beschrieben Prozess wird Kantenperkolation genannt. In diesem Kapitel soll nun das Modell der Kantenperkolation etwas genauer Vorgestellt werden. Zunächst werden wir den Perkolationsprozess auf einem
allgemein Gitter beschreiben.
Def 2.1. (Graphentheoretische Distanz)
Es seien x, y ∈ Zd . Die graphentheoretische Distanz von x nach y ist definiert durch:
d
δ (x, y) = ∑ |xi − yi |
i=1
Die graphentheoretische Distanz kann auch als der kürzeste Weg vom
Knoten x zum Knoten y gedeutet werden. Die Distanz vom Ursprung zu x
wird mit |x| = δ (0, x) bezeichnet. Ist δ (x, y) = 1, dann bezeichnet man x
und y als adjazent und man schreibt x ∼ y. Die Kante zwischen x und y wird
repräsentiert durch hx, yi.
Def 2.2. (d-dimensionales kubisches Gitter)
Es sei Ld = (Zd , Ed ) ein Graph mit der Knotenmenge Zd und der Kantenmenge
Ed = {hx, yi : x, y ∈ Zd mit x ∼ y}.
Der Graph entseht durch das Hinzfügen von Kanten zwischen allen adjazenten Punkten. Wir bezeichnen das allgemeine d-dimensionale kubische
Gitter mit Ld .
Wie bereits beschrieben bezeichnen wir jede Kante als offen mit Wahrscheinlichkeit p bzw. geschlossen mit Wahrscheinlichkeit q unabhängig
vom Zustand aller anderen Kanten. Unser Grundraum ist demnach
Ω :=
∏d {0, 1},
e∈E
wobei die Elementarereignisse
ω := (ω(e) : e ∈ Ed )
die Elemente des Grundraums (Konfigurationen) bezeichnet. Ist e ∈ Ed offen bzw. geschlossen, so ist ω(e) = 1 bzw. ω(e) = 0. Zur Modellierung
eines Perkolationsprozesses verwenden wir ein Produktmaß, welches die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kanten beschreibt.
6
Def 2.3. σ -Algebra
Ein Mengensystem F ⊂ 2Ω heisst σ -Algebra über Ω, wenn F folgende Eigenschaften hat:
• Ω∈F
• Für jedes F ∈ F ist F c ∈ F
• Für jede Folge (Fn )n∈N von Teilmengen aus F gilt ∪∞
n=1 Fn ∈ F
Def 2.4. Es sei F eine σ -Algebra aus Teilmengen von Ω die aus Zylindermengen erzeugt wird. Es sei Pp ein Produktmaß auf (Ω, F) mit
Parameter p
Pp := ∏ µe
e∈Es
µe ist ein Bernoulli-Maß auf {0, 1}, wobei
µe (ω(e) = 1) = p und µe (ω(e) = 0) = q.
Der zufällige Teilgraph der sich durch das Löschen der geschlossenen
Kanten ergibt, kann wie folgt beschrieben werden.
Def 2.5. Es sei T = (Zd , K) ein Teilgraph von Ld , mit der Knotenmenge Zd
und der Kantenmenge
K = {e ∈ Ed : ω(e) = 1}.
Def 2.6. (Pfad, Kreis)
Ein Pfad der Länge n in Ld ist eine alternierende Folge
x0 , e0 , x1 , e1 , ..., en−1 , xn
bestehend aus Knoten xi ∈ Zd und Kanten ei ∈ Ed . Ist ei ∈ K 0 ≤ i ≤ n − 1,
so bezeichnen wir diesen Pfad als offen und schreiben x0 ↔ xn . Ein Kreis
der Länge n + 1 in Ld ist ein Pfad x0 , e0 , x1 , e1 , ..., en−1 , xn
mit eine Kante en = hxn , x0 i. Ist ei ∈ K 0 ≤ i ≤ n so bezeichnen wir diesen
Kreis als offen.
Wenn wir nun alle offenen Pfade durch einen Gitterpunkt x ∈ Zd betrachten, haben wir einen Teilgraphen aus T. Diese Zusammenhangskomponente
nennen wir einen (offen) Cluster.
Def 2.7. ((offener) Cluster)
Es sei C(x) die Menge der Knoten die mit x ∈ Zd durch Pfade in T verbunden sind. Man sagt auch, C(x) ist der Cluster bei x.
C(x) = {y ∈ Zd : x ↔ y}
7
Gemäß dieser Definition ist die Clustergröße, die Anzahl aller Knoten,
die durch offene Pfade mit x verbunden sind, also |C(x)|. Den Cluster welcher den Ursprung eines Gitters enthält bezeichnen wir mit C = C(0). Ein
geschlossener Cluster ist analog durch Pfade in Ld \ T beschrieben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebener Knoten zu einem unendlichen Cluster gehört, ist die sogenannte Perkolationswahrscheinlichkeit.
Def 2.8. (Perkolationswahrscheinlichkeit)
θ (p) = Pp (|C| = ∞)
Def 2.9. (Kritische Wahrscheinlichkeit)
pc (d) = sup{p : θ (p) = 0}
Der Parameter d bezeichnet die Dimension des Gitters.
Es kann hier von einem Cluster der am Ursprung beginnt ausgegangen
werden, da die Wahl des Anfangsknotens keine Auswirkungen auf die kritische Wahrscheinlichkeit pc (d) hat, siehe dazu Abschnitt 3.1.
Wird der Wert pc (d) überschritten, dann existieren x ∈ Zd , sodass
|C(x)| = ∞ ist. Umgekehrt kann aber bei p < pc (d) davon ausgegangen
werden, dass keine Cluster unendlicher größe existieren. Für die Perkolationswahrscheinlichkeit gilt daher,
(
= 0 wenn p < pc (d)
θ (p) =
> 0 wenn p > pc (d)
Wie berechnet man pc ? Einen geschlossen Ausdruck zur Berechnung
dieser kritischen Wahrscheinlichkeit gibt es nicht, da der Wert pc (d) nicht
nur von der Dimension des Gitters abhängt sondern auch von der Form des
Gitters. Perkolationsprozesse können auf verschiedenste Gitter beschrieben
werden. Lediglich der Fall d = 1 ist trivial, hier ist pc (d) = 1. Das Gitter breitet sich nur nach links und nach rechts des Ursprungs aus. Daher
ist klar, wenn p < 1 dann ist θ (p) = 0. Für zweidimensionale Gitter ist
die Bestimmung des kritischen Wertes längst nicht mehr so einfach. Betrachtet man beispielsweise
ein hexagonales Gitter (Abbildung 3), so ist
π
pc = 1 − 2 sin 18 .
8
Abbildung 3
2.1. Duale Gitter. Dualer Gitter knnen dabei behilflich sein den kritischen
Wert zu bestimmen oder auch Aussagen über die Größe eines Clusters zu
treffen. Zunächst möchten wir uns mit der Konstruktion des dualen Gitters
befassen.
Auf jeder Fläche des ursprünglichen Gitters wird ein Gitterpunkt des dualen Gitters gesetzt.
Abbildung 4
Zwei duale Gitterpunke werden mit einer dualen Kante verbunden, wenn
diese durch eine Kante des Gitters begrenzt sind. Das bedeutet, jede Kante
eines Gitters schneidet eine duale Kante. Wir bezeichnen hierbei eine duale Kante als offen bzw. als geschlossen, wenn diese eine offene bzw. eine
geschlossene Kante schneidet.
9
Abbildung 5
Zwischen der kritischen Wahrscheinlichkeit eines Gitters und der kritischen Wahrscheinlichkeit des dazu dualen Gitters gibt es einen Zusammenhang, welcher bei der Bestimmung der kritischen Schwelle sehr behilflich
ist. Es sei L ein Gitter und L das dazu duale Gitter, pc (L) bezeichne die
kritische Wahrscheinlichkeit von L bzw pc (L ) jene von L . Es gilt:
pc (L) + pc (L ) = 1
Anhand Abbildung 5, kann man leicht erkennen, dass aufgrund der selbstdualität des quadratischen Gitters pc (L2 ) = 12 ist. Betrachten wir als weiteres Beispiel ein trianguläres Gitter, so ist das dazu duale Gitter ein hexagonales Gitter (Abbildung 6).
Abbildung 6
10
Es folgt, dass die kritische Wahrscheinlichkeit des triangulären Gitters
π
pc = 2 sin( 18
) ist. Ist nun p > pc (L), dann gibt es unendliche Cluster in L.
Es bedeutet aber auch, dass es mit sicherheit keine unendlich geschlossene
Cluster in L gibt. Ist umgekehrt p < pc (L), dann können wir die existens
unendlichen Cluster ausschließen und es gibt unendlich viele geschlosse
Cluster in L . Daher gilt,
p > pc (L) ⇐⇒ 1 − p < pc (L )
2.2. Kritische Phasen. Dieser Abschnitt konzentriert nun etwas genauer
auf die Perkolationswahrscheinlichkeit. Für pc (d) existiert zwar kein geschlossener Ausdruck, jedoch können wir diesen Wert eingrenzen.
Es sei σ (n) die Anzahl aller Pfade in Ld der Länge n für die x0 = 0 ist und
es sei λ (d) die Verbindungskonstante in Ld , gegeben durch
1
λ (d) = lim σ (n) n .
n→∞
Für pc (d), d = 2, gilt nun
1
1
≤ pc (2) ≤ 1 −
λ (2)
λ (2)
für d ≥ 3 ist
1
≤ pc (d).
λ (d)
Auch für λ (d) gibt es nur Abschätzungen statt genauer Werte. Diese Abschätzungen erhalten wir durch eine einfache Überlegung. Für jeden Pfad
gibt es in jedem Schritt 2d −1 Möglichkeiten, den letzten Knoten mit einem
weiteren durch eine Kante hxi , xi+1 i, i > 0 zu verbinden. Daher ist
λ (n) ≤ 2d − 1.
Für den Anfangskonten x0 = 0 gibt es 2d Möglichkeiten einen weiteren
Knoten durch eine Kante hx0 , x1 i zu verbinden. Nach dieser Überlegung ist
σ (n) ≤ 2d(2d − 1)n−1 .
11
Theorem 2.1. Ist d ≥ 2, dann ist 0 < pc (d) < 1.
Beweis. Wegen pc (d + 1) ≤ pc (d) (siehe [1], Abschnitt 1.4) und pc (1) = 1
reicht es zu zeigen, dass pc (2) < 1 und pc (d) > 0 für d ≥ 2.
1. Zu zeigen ist, dass pc (d) > 0 für d ≥ 2.
Wir zeigen, dass θ (p) = 0 wann immer p nahe genug 0 ist. Dazu betrachten
wir einen Perkolationsprozess auf Ld . Es sei N(n) die Anzahl der offenen
Pfade der Länge n mit x0 = 0. Es gilt
E p (N(n)) = pn σ (n).
Gehört nun der Ursprung des Gitters zu einem unendlichen Cluster, existieren offene Pfade aller Längen, sodass
θ (p) ≤ Pp (N(n) ≥ 1) ≤ E p (N(n)) = pn σ (n) ∀n
Für große d verhält sich ein Perkolationsprozess auf Ld ähnlich wie ein
Perkolationsprozess auf einem regulären Baum, bei dem jeder Knoten
2d(1 + o(1)) Nachkommen hat. Mit der Verbindungskonstante ergibt sich
σ (n) = (λ (d) + o(1))n
für n → ∞
.
⇒ θ (p) ≤ (pλ (d) + o(1))n → 0 wenn pλ (d) < 1
2. Zu zeigen ist, dass pc (2) < 1.
Wir betrachten diesmal einen Perkolationsprozess auf L2 , und nehmen uns
die Dualität von L2 zur hilfe. Es sei L 2 = (V 2 , E 2 ) mit V = {x+( 21 , 12 ), x ∈
Z2 } und E sei wie in Abschnitt 2.1 definert. Betrachen wir den Cluster am
Ursprung C in L2 , dann ist |C| < ∞ genau dann, wenn der Ursprung im
Inneren eines geschlossenen Kreises in L 2 liegt (Abbildung 7).
0
Abbildung 7
12
Es sei ρ(n) die Anzahl der Kreise der Länge n in L 2 , welche den Ursprung von L2 umschließen. Diese Kreise enthalten einen Knoten der Form
(k + 21 , 12 ) für ein 0 ≤ k < n. Nach Def 2.5, enthält ein Kreis der Länge n
einen Pfad der Länge n − 1, sodass
ρ(n) ≤ nσ (n − 1).
Es sei γ ein Kreis in L 2 , welcher den Ursprung von L2 enthält und es sei
M(n) die Anzahl solcher geschlossener Kreise mit Länge n.
∞
∑ Pp(γ ist geschlossen)
∑ qnnσ (n − 1) =
≤
n=1
γ
∞
∑ qn(qλ (2) + o(1))n−1
<∞
wenn qλ (2) < 1
n=1
Vielmehr ist,
∑ Pp(γ ist geschlossen) → 0
wenn q = 1 − p ↓ 0
γ
Wir können daher ein π ∈ (0, 1) finden, sodass
1
∑ Pp(γ ist geschlossen) ≤ 2
wennp > π
γ
⇒ Pp (|C| = ∞) = Pp (M(n) = 0 ∀n)
= 1 − Pp (M(n) ≥ 1 für bestimmte n)
≥ 1 − ∑ Pp (γ ist geschlossen) ≥
γ
1
2
wenn p > π
⇒ pc (2) < π
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Theorem 2.2. Für die Wahrscheinlichkeit ψ(p), dass ein unendlicher
Cluster existiert gilt
= 0 wenn θ (p) = 0
ψ(p) =
> 0 wenn θ (p) > 0
Beweis. Nach dem Null-Eins-Gesetz, nimmt ψ(p) nur die Werte 0 und 1 an.
Ist θ (p) = 0, dann ist
ψ(p) ≤
∑
Pp (|C(x)| = ∞) = 0
x∈Zd
⇒ ψ(p) = 0.
Ist dagegen θ (p) > 0, dann ist
ψ(p) ≥ Pp (|C| = 0) > 0
⇒ ψ(p) = 1.
Der Punkt von Theorem 2.1 und Theorem 2.2 ist, dass für d ≥ 2 der Perkolationsprozess in zwei Phasen eingeteilt werden kann.
- Subkritische Phase p < pc (d):
Ist p < pc (d), kann davon ausgengen werden, dass alle Cluster mit sicherheit endlich sind.
Für Pp (|C| = n) kann ein ungefährer Wert angegeben werden. Es existiert
ein α(p) > 0, wenn p < pc , sodass
Pp (|C| = n) ≈ e−nα(p)
für n → ∞
- Superkritische Phase p > pc (d):
In der superkritischen Phase kann von der Existens unendlicher Cluster
ausgegangen werden. Wieviele unendliche Cluster gibt es?
Theorem 2.3. Ist θ (p) > 0, dann ist,
Pp (Es existiert genau ein unendlicher Cluster) = 1
Beweis. Siehe [1] Abschnitt 8.2
14
In der superkritischen Phase existiert ein eindeutig bestimmter unendlicher Cluster.
Ein Fall den wir bisher noch nicht behandelt haben, ist p = pc . Die Frage, die wir uns an dieser Stelle stellen sollten ist: Existiert überhaupt ein
unendlicher Cluster wenn p = pc ist? Die Antwort auf diese Frage ist eine der zentralen Probleme der Perkolationstheorie. Generel wird vermutet,
dass für d ≥ 2 kein unendlicher Cluster existiert. Bisher ist es aber nur für
d = 2 und d ≥ 19 bekannt.
Es wird vermutet, unter der Annahme θ (p) = 0, dass
Ppc (|C| ≥ n) ≈ n−δ
−1
für n → ∞
ist. Der Wert δ wird kritischer Exponent genannt und ist gegeben durch
logPpc (|C| ≥ n)
.
n→∞
log n
δ −1 = − lim
Abbildung 8
Nähert sich hingegen p dem kritischen Wert pc , sind die kritischen Exponten gegeben durch
log χ(p)
p↑pc log |p − pc |
λ = − lim
und
log θ (p)
p↓pc log(p − pc )
β = lim
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wobei
∞
χ(p) = E p (|C|) =
∑ nPp(|C(x)| = n) + ∞ · θ (p)
n=1
die durchschnittliche Clustergröße bezeichnet. Hierbei ist E p der Erwartungswert zur Wahrscheinlichkeitsverteilung Pp .
Die durchschnittliche Clustergröße ist nur für p < pc (d) interessant, da
für p > pc (d) trivialerweise χ(p) = ∞ gilt. Für den Fall, dass die kritische
Wahrscheinlichkeit überschritten wird, können wir altanativ
χ(p) f = E p (|C|; |C| < ∞)
schreiben. Wir beschränken uns dabei nur auf endliche Cluster.
3. E LEMENTARE W ERKZEUGE
3.1. FKG - Ungleichung. Die Funktion θ (p) ist monoton wachsend (Abbildung 8). Intuitiv ist klar, dass wenn p1 ≤ p2 dann θ (p1 ) ≤ θ (p2 ). Je
größer der Wert p ist, desto mehr offene Kanten gibt es und desto eher ist
es wahrscheinlich ist es, dass es einen unendlichen Cluster gibt.
Def 3.1. (Steigendes Ereignis, Steigende Zufallsvariable)
Es sei A ein Ereignis in F. Wir nennen A steigend wenn,
IA (ω) ≤ IA (ω 0 )
falls ω ≤ ω 0
Wobei IA die Indikatorfunktion bezeichnet. Umgekehrt nennen wir A fallend,
wenn Ac steigend ist.
Es sei N eine Zufallsvariable auf dem Messraum (Ω, F). Wir nennen N
steigend wenn
N(ω) ≤ N(ω 0 )
falls ω ≤ ω 0
und fallend, wenn −N eine steigende Zufallsvariable ist.
Def 3.2. Es seien (X(e) : e ∈ Ed ) auf [0, 1] gleichverteilte unabhängige Zufallsvariablen. Es sei
1, wenn X(e) < p
η p (e) =
0, wenn X(e) ≥ p
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Man nennt eine Kante e p-offen wenn η p (e) = 1. Der Vektor η p hat unabhängige Komponenten und Randverteilungen gegeben durch,
P(η(e) = 0) = 1 − p
P(η p (e) = 1) = p
Theorem 3.1. (i) Ist N eine steigende Zufallsvariable auf (Ω, F), dann ist
E p1 (N) ≤ E p2 (N),
falls p1 ≤ p2
sofern die Erwartungswerte E p1 (N) und E p2 (N) existieren.
(ii) Ist A ein steigendes Ereignis in F, dann ist
Pp1 (A) ≤ Pp2 (A),
falls p1 ≤ p2
Beweis. (i): Es seien (X(e) : e ∈ Ed ) auf [0, 1] gleichverteilte unabhängige
Zufallsvariablen. Ist p1 ≤ p2 , dann ist η p1 ≤ η p2 . Für jede steigende Zufallsvariable N auf (Ω, F). Daraus folgt E p1 (N) ≤ E p2 (N).
(ii): Der zweite Teil folgt aus (i) mit N = IA .
Es seien x, y, u, v ∈ Ld . Betrachten wir nun die Pfade x ↔ y und u ↔ v.
Es ist umso wahrscheinlicher, dass ein offener Pfad von x nach y existiert
x
v
u
y
Abbildung 9
wenn der Pfad won u nach v existiert. Ein sochles Verhältnis nennt man eine positive Korrelation. Die FKG-Ungleichung, benannt nach Fortuin, Kasteleyn und Ginibre besagt, dass steigende Zufallsvariablen immer positiv
Korreliert sind.
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Theorem 3.2. FKG - Ungleichung
(i) Sind X,Y steigende Zufallsvariablen, mit E p (X 2 ) < ∞ und
E p (Y 2 ) < ∞, dann ist
E p (XY ) ≥ E p (X)E p (Y )
(ii) Sind A, B steigende Ereignisse, dann ist
Pp (A ∩ B) ≥ Pp (A)Pp (B)
insbesondere gilt,
Pp (
k
\
i=2
k
Ai ) ≥ ∏ Pp (Ai )
i=1
Beweis. (i) Wir zeigen den ersten Teil durch Induktion nach n. Es seien
X,Y steigende Zufallsvariablen, in Abhängikeit des Zustands der Kanten
aus Ld , ω(e1 ), ω(e2 ), ω(e3 ), ..., ω(en ).
Für n = 1 sind X und Y steigende Zufallsvariablen in Abhängigkeit von
ω(e1 ) ∈ {0, 1} mit Wahrscheinlichkeit q bzw. p. Für alle Paare ω1 , ω2 , wobei jedes die Werte 0, 1 animmt, gilt aufgrund der Monotonie
(X(ω1 ) − X(ω2 ))(Y (ω1 ) −Y (ω2 )) ≥ 0,
sodass
1
0≤
1
∑ ∑ (X(ω1)−X(ω2))(Y (ω1)−Y (ω2))·Pp(ω(e1) = ω1)Pp(ω(e1) = ω2)
ω1 =0 ω2 =0
1
=
ω=0
1
1
−
1
∑ X(ω1)Y (ω1)Pp(ω(e1) = ω1) + ∑
X(ω2 )Y (ω2 )Pp (ω(e1 ) = ω2 )
ω2 =0
∑ ∑ (X(ω1)Y (ω2) + X(ω2)Y (ω1))Pp(ω(e1) = ω1)Pp(ω(e1) = ω2)
ω1 =0 ω2 =0
= 2(E p (XY ) − E p (X)E p (Y )))
⇒ E p (XY ) ≥ E p (X)E p (Y ).
Es sei nun 1 < k ≤ n und die Behauptung sei für alle m < k gezeigt und es
seien X,Y steigende Zufallsvariablen in Abhängigkeit von
ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek ).
18
Für gegebene ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 ),hängen X,Y nur noch von ω(ek )
ab, sodass
E p (XY ) = E p (E p (XY |ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 )))
≥ E p (E p (X|ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 ))E p (Y |ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 )))
Auch E p (X|ω(e1 ), ω(e2 ), ...ω(ek−1 ) und E p (Y |ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 ) sind
steigende Funktionen in abhängigkeit von ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 ). Nach
Induktionsvoraussetzung folgt
E p (XY ) ≥ E p (E p (X|ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 ))·
E p (E p (Y |ω(e1 ), ω(e2 ), ..., ω(ek−1 ))
= E p (X)E p (Y )
Wir betrachten nun X,Y als steigende Zufallsvariablen, diesmal nicht in
Abhängigkeit einer endlichen Kantenmenge. Es seien e1 , e2 , ... eine gordnete Kantenmenge aus Ld und wir definieren
Xn = E p (X|ω(e1 ), ..., ω(en )),
Yn = E p (Y |ω(e1 ), ..., ω(en ))
Hierbei sind Xn , Yn sind steigende Zufallsvariablen, sodass
E p (XnYn ) ≥ E p (Xn )En (Yn ).
Nach dem Martingalekonvergenzsatz (siehe [2], Abschnitt 11.2, Satz 11.4)
ist für n → ∞
Xn → X
und
Yn → Y
E p (Xn ) → E p (X)
und
E p (Yn ) → E p (Y )
fast sicher,
sodass
für n → ∞
Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Dreiecksungleichung
gilt,
E p (XnYn − XY ) ≤ E p (|(Xn − X)Yn | + |X(Yn −Y )|)
≤
q
q
E p ((Xn − X)2 )E p (Yn2 ) + E p (X 2 )E p ((Yn −Y )2 )
sodass,
E p (XnYn ) → E p (XY )
n → ∞.
n→∞
−→
0
19
(ii) Der zweite Teil folgt durch Anwendung von (i) auf X = IA und Y =
IB .
Theorem 3.3. Es sei G = (V, E) ein unendlicher zusammenhängender Graph
mit abzählbar vielen Knoten. Der Wert von pc (x) ist unabhängig von der
Wahl des Anfangsknotens.
Beweis. Es seien Π1 , Π2 , ..., Πk eine Famile von Pfaden in G und es sei Ai
das Ereigniss, dass ein offener Pfad Πi existiert. Damit ist Ai ein steigendes Ereignis. Weiters betrachten wir einen Perkolationsprozess in G. Es sei
θ (p, x) die Wahrscheinlichkeit, dass x in einem unendlich offenen Cluster
liegt. Und es sei
pc (x) = sup{p : θ (p, x) = 0}
der entsprechende Kritische Wert. Aus der FKG-Ungleichung folgt, dass
θ (p, x) ≥ Pp ({x ↔ y} ∩ {y ↔ ∞}) ≥ Pp (x ↔ y)θ (p, y)
woraus pc (x) ≤ pc (y) folgt. Diese Ungleichung gilt auch wenn x und y vertauscht sind.
3.2. BK - Ungleichung. In diesem Abschnitt möchten wir uns mit den
sogenannten Kantendisjunkten Pfaden beschäftigen. Hierzu betrachten wir
nicht den allgemeinen Fall, dass das Erieignis A und B eintreten. Wir ersetzen die Ereignisse A ∩ B durch das Ereignis A ◦ B, welches das Ereigins,
dass A und B auf disjunkten Kantenmengen eintreten, beschreibt.
Def 3.3. Disjunktes Ereigniss
Es seien H = {e1 , e2 , ..., en } eine endliche Teilmenge von Ed .
OH = {ω ∈ Ω : ω(e) = 1 ∀e ∈ H}
Es seien A, B steigende Ereignisse, welche von dem Zustand der Kanten in
endlichen Teilmenge E ⊂ Ed abhängen. Das disjunkte Ereignis ist dann
A ◦ B = {ω ∈ Ω : ∃H1 , H2 ⊂ E mit H1 ∩ H2 = 0,
/ OH1 ⊂ A, OH2 ⊂ B};
A ◦ B ist ebenfalls ein steigendes Ereignis.
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Als Beispiel betrachten wir einen endlichen Teilgraphen G von Ld . Es
seien x, y Punkte in G und es sei AG (x, y) das Ereignis, dass es einen Pfad
x → y in G gibt. AG (u, v) ◦ AG (x, y) ist dann das Ereignis, dass es zwei Kantendisjunkte offene Pfade in G gibt.
G
u
x
v
y
Abbildung 10
Man könnte auch behaupten, man habe es mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun, da ein Pfad bestimmte Kanten nicht verwenden darf.
Dadurch wird intuitiv klar, dass
Pp (AG (u, v) ◦ AG (x, y) | AG (u, v)) ≤ Pp (AG (x, y))
Das ist auch die grundlegende Aussage der, nach van den Berg und Kesten
benannten, Ungleichung.
Theorem 3.4. BK - Ungleichung
Es seien A und B zwei steigende Ereignisse. Dann ist
Pp (A ◦ B) ≤ Pp (A)Pp (B)
Beweis. Idee, siehe [1] Abschnitt 2.3
Es sei G ein endlicher Teilgraph von Ld . Es seien A = AG (x, y) bzw B =
AG (u, v) seien Ereignisse wie oben definiert. A ◦ B ist dann wieder das Ereigniss, dass es zwei Kantendisjunkte Pfade in G gibt. Es sei e eine Kante
in G, die in zwei paralelle Kanten e0 und e00 mit dem selben Endknoten
aufgespalten werden.
Beginnt nun ein Pfad bei x bzw. bei u, so ist möglich statt einer gemeinsamen Kante e die Kante e0 bzw die Kante e00 zu benutzen. Das bedeutet
aber auch, dass die Wahrscheinlichkeit zwei kantendisjunkte offene Pfade
in G zu finden jetzt größer oder gleich ist als vor der Aufspaltung. Setzt
man diese Aufspaltung für alle Kanten in G fort, kann die Wahrscheinlich
zwei kantendisjunkte offene Pfade zu finden, in jedem Schritt steigen oder
gleich bleiben. Zuletzt erhalten wir zwei von einander unabhängige Kopien
G0 und G00 von G. Wir können jetzt zwei von einander unabhängige Pfade
x → y in G0 und u → v in G00 finden, sodass
21
y
G
v
e'
e''
u
x
Abbildung 11
Pp (A ◦ B) ≤ Pp (A)Pp (B)
ist
3.3. Russo’s Formel. Die Wahrscheinlichkeit Pp (A) mit einem steigenden Ereigniss A, ist eine monoton wachsende Funktion (Theorem 3.1.) in
abhängigkeit von p. In diesem Kapitel möchten wir uns die Änderung von
Pp (A) in abhängigkeit der Veränderung von p bestimmen.
Es sei A ein steigendes Ereignis und es seien Pp , Pp+δ zwei Produktmaße
auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F).
Es seien (X(e) : e ∈ Ed ) auf [0, 1] gleichverteilte unabhängige Zufallsvariablen. Für steigende Ereignisse gilt,
Pp+δ (A) − Pp (A) = P(η ∈
/ A, η p+δ ∈ A)
Es gibt eine eindeutige Kante e, sodass η p (e) = 0 und η p+δ (e) = 1 (eine
Kante, die bei p geschlossen jedoch bei p p+δ offen ist). Eine solche Kante
ist essentiel für das Eintreten von A.
Def 3.4. Entscheidente Kante
Es sei A ein steigendes Ereignis, es sei ω ∈ Ω und es sei e ∈ Ed . Die Kante
e heißt enstscheident für ein Paar (A, ω) wenn,
IA (ω) 6= IA (ω e )
wobei
(
ω( f )
ω e( f ) =
1 − ω(e)
∀ f ∈ Ed \{e}
wenn f = e
ω e ist jene Konfiguration, welche mit allen Kanten übereinstimm außer der
Katne e.
22
Ist e entscheident für das Ereignis (A, ω), dann hängt das Eintreten (oder
auch Nichteintreten) des Ereignisses von der Kante e ab. Anders ausgedrückt, das Eintreten oder Nichteintreten von A hängt davon ab ob e offen
oder geschlossen ist. Man beachte aber, dass das Ereignis
e ist entscheident für A “= {ω : e ist entscheident für (A, ω)}, nicht vom
”
Zustand von e abhängt.
Als Beispiel betrachte man einen Teilgraphen aus L2 . Es sei A das
Ereignis, dass ein offener Pfad von x nach y existiert und es sei e ∈ E2
eine offene Kante.
y
e
x
Abbildung 12
Die Kannte e ist damit entscheident für das Eintreten des Ereignisses A.
Wäre e geschlossen, gäbe es den Pfad x → v nicht und A würde damit auch
nicht eintreten.
Theorem 3.5. Russo’s Formel
Es sei A ein steigens Ereignis in Abhängigkeit vom Zustand endlich vieler
Kanten von Ld . Dann ist
d
Pp (A) = E p (N(A))
dp
wobei N(A) die Anzahl der Kanten ist, die für A entscheident sind. Man
kann auch schreiben,
d
Pp (A) = ∑ Pp (e ist entscheident für A)
dp
e∈Ed
Beweis. Es sei A ein steigendes Ereigniss und es sei p = (p(e) : e ∈ Ed ) ein
Vektor mit 0 ≤ p(e) ≤ 1 ∀e. Es seien (X(e) : e ∈ Ed ) auf [0, 1] gleichverteilte unabhängige Zufallsvariablen und es sei η p (e) wie in Def3.2 definiert. Es
sei hier Pp das Wahrscheinlichkeitsmaßauf Ω für das ω(e) = 1 mit Wahrscheinlichkeit p(e), damit ist
Pp (A) = P(η p ∈ A)
23
Für eine gewählte Kante f sei p̂ = ( p̂(e) : e ∈ Ed ) mit,
(
p(e) wenn e 6= f
p̂( f ) =
p̂( f ) wenn f = e
Das bedeutet p und p̂ unterscheiden sich nur an der Kante f .
Ist p( f ) ≤ p̂( f ), dann ist
Pp̂ − Pp = P(ηp ∈
/ A, ηp̂ ∈ A)
= ( p̂( f ) − p( f ))Pp ( f ist entscheident für A)
Das Ereignis (ηp ∈
/ A, ηp̂ ∈ A) kann nur dann eintreten kann, wenn f entscheident für A ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass f bei p̂ offen und bei p
geschlossen ist p̂(f) − p. Daraus folgt
Pp̂ − Pp
= Pp ( f ist entscheident für A)
p̂( f ) − p( f )
Lässt man nun p̂( f ) − p( f ) gegen 0 gehen, ergibt sich
∂
Pp (A) = Pp ( f ist entscheident für A)
∂ p( f )
Ist A nur von endlichen Menge von Kanten abhängig, dann ist Pp(A) eine Funktion in abhängigkeit von einer enldichen Menge von Kantenwahrscheinlichkeiten (p( fi ) : 1 ≤ i ≤ m. Aus der Kettenregel folgt,
m
d
∂
Pp (A) = ∑
Pp (A)p=(p ,p ,...,p )
m
1 2
dp
i=1 ∂ p( f i )
m
= ∑ Pp ( fi ist entscheident für A)
i=1
= E p (N(A))
Es sei nun A ein steigendes Ereignis in abhängigkeit von unendlich vielen
Kanten. Es sei E eine endliche Kantenmenge und es sei
(
p
e∈
/E
pE (e) =
0 ≤ p ≤ p+δ ≤ 1
p+δ e ∈ E
sodass,
Pp+δ (A) ≥ PpE (A)
daraus folgt,
1
1
(Pp+δ (A) − Pp (A)) ≥ (PpE (A))
δ
δ
24
Lässt man δ → 0 gehen, dann geht
1
(PpE (A) − Pp (A)) → ∑ Pp (e ist entscheident für A)
δ
e∈E
für E ↑ Ed ist,
1
lim inf (Pp+δ (A) − Pp (A)) ≥ E p (N(A))
δ ↓0 δ
A NHANG A. S IMULATION EINES P ERCOLATIONSPROZESSES IN
M ATLAB
Zur Simulation eines Perkolationsprozesses, betrachten wir ein Teilgitter
L = (B(n), E) von L2 mit
0
x
n
2
B(n) = {x ∈ Z :
≤ 1 <
}
0
x2
n
0
0
1
1
n−1
={
,
, ...,
,
, ...,
}
0
1
0
1
n−1
und E ist eine Teilmenge aus Kanten von L2 .
Die folgende Funktion bildet eine Liste aller Gitterpunkte aus B(n).
function [ ret ] = B(n)
x = zeros(n,1); y = 0:n-1;
o = ones(n,1); xy = [x , y’];
for i = 1:n-1
x += o;
xy = [xy ; x y’];
end
ret = xy;
endfunction
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Zur Beschreibung der Kanten verwenden wir eine Adjazenzmatrix A. Die
Einträge ai j beschreiben die Kanten hi, ji ∈ E, wobei i bzw. j der i-te bzw
der j-te Eintrag von B(n) ist, in unserem Fall ob eine Kante offen oder geschlossen ist. L ist ein Schleifenfreier und ungerichteter Graph, das bedeutet
A ist symmetrisch und die Einträge sind wie folgt definiert,
(
η p (ai j ) wenn i 6= j
ai j =
0
wenn i = j
Aufgrund der Symmetrie von A reicht es nur die Enträge ai j mit i > j zu
betrachten, da wir die restlichen Einträge durch a ji = ai j erhalten. Der Algorithmus basiert auf der Idee, dass man zu einem gegebenen Index i einen
entsprechenden Index j wählt, sodass ai, j = hi, ji ∈ E ist (Abbildung 13).
Abbildung 13
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function [ ret ] = A(n,p)
l = n*n;
A = zeros(l);
for i=1:l
% Die Bedingungen
%i+1<=l, i+1>l, i+n<=l, i+n>l, mod(i,n)!=0, mod(i,n)==0
%verhindern, dass der Perkolationsprozess ausserhalb von B(n)
%beschrieben wird.
if i+1<=l && i+n<=l && mod(i,n)!=0
A(i,i+1)=rand<p;A(i+1,i)=A(i,i+1);
A(i,i+n)=rand<p;A(i+n,i)=A(i,i+n);
elseif i+1<=l && i+n>l && mod(i,n)!=0
A(i,i+1)=rand<p;A(i+1,i)=A(i,i+1);
elseif i+1<=l && i+n<=l && mod(i,n)==0
A(i,i+n)=rand<p;A(i+n,i)=A(i,i+n);
end
end
ret=A;
endfunction
%Visualisierung des Percolationsprozessses
gplot (A(n,p),B(n), "-")
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2. L ITERATURVERZEICHNIS
[1] Geoffrey Grimmet, Percolation, second edition , Springer 1999
[2] Achim Klenke, Wahrscheinlichketistheorie, Springer 2008
[3] M. E. J. Newman, R. M. Ziff, A Fast Monte Carlo Algorithm for Site
or Bond Percolation, SFI WORKING PAPER: 2001-02-010