Elemente der Mathematik
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Elemente der Mathematik Sachsen 7. Schuljahr Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Werner Ladenthin Schroedel ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 Sachsen Lösungen Herausgegeben von Prof. Dr. Heinz Griesel, Prof. Helmut Postel, Friedrich Suhr, Werner Ladenthin Bearbeitet von Lutz Breidert, Gabriele Dybowski, Christine Fiedler, Dr. Beate Goetz, Reinhard Kind, ­ Werner Ladenthin, Matthias Lösche, Kerstin Schäfer, Thomas Sperlich, Friedrich Suhr, Prof. Dr. Hans-Georg Weigand, Ulrike Willms Für Sachsen bearbeitet von Angelika Barth, Arno Bierwirth, Christine Fiedler, Dr. Roland Hagen, Annika Kiwatt, Matthias Lösche, Sylvia Noack, Ute Petlinski, Ines Petzschler, Jens Spiegelhauer © 2014 Bildungshaus Schulbuchverlage Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig www.schroedel.de Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich ­zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung gescannt und in ein Netzwerk ­eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Auf verschiedenen Seiten dieses Buches befinden sich Verweise (Links) auf Internet-Adressen. ­Haftungshinweis: Trotz sorgfältiger inhaltlicher Kontrolle wird die Haftung für die Inhalte der externen Seiten ausgeschlossen. Für den Inhalt dieser externen Seiten sind ausschließlich deren Betreiber verantwortlich. Sollten Sie bei dem angegebenen Inhalt des Anbieters dieser Seite auf kostenpflichtige, illegale oder anstößige Inhalte treffen, so bedauern wir dies ausdrücklich und bitten Sie, uns umgehend per E-Mail davon in Kenntnis zu setzen, damit beim Nachdruck der Verweis gelöscht wird. Druck A1 / Jahr 2014 Alle Drucke der Serie A sind im Unterricht parallel verwendbar. Redaktion: Lena Schenk, Claus Peter Witt Umschlagsfoto: polylooks Umschlagsentwurf: LIO Design GmbH, Braunschweig Zeichnungen: Schlierf, Type & Design, Lachendorf; Langner & Partner, Hemmingen Satz: Triltsch, Print und digitale Medien GmbH, Ochsenfurt Druck und Bindung: westermann druck GmbH, Braunschweig ISBN 978-3-507-87495-4 Inhaltsverzeichnis 3 1. Geometrie in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lernfeld Abstand halten – Nicht zu dicht dran, nicht zu weit weg! . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Kreis und Geraden – Kreistangenten . . . 6 1.2 Besondere Punkte und Linien eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden . 10 1.2.2Umkreis und Inkreis eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Satz des Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Thales von Milet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Sätze über Peripheriewinkel und Zentri­ winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Zum Selbstlernen Sehnenvierecke . . . . . Beweisen mathematischer Sätze . . . . . . 1.6 Konstruktion von Dreiecken . . . . . . . . . . 1.6.1Konstruktion von Dreiecken unter Verwendung geometrischer Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2Konstruktion von Dreiecken aus Teildreiecken . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Konstruktion von Vierecken . . . . . . . . . . 1.7.1Konstruktion von Vierecken unter Verwendung geometrischer Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2Konstruktion von Vierecken mithilfe von Teildreiecken . . . . . 1.8 Vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . Wahlthema: Maßstäbe und ihre Anwendungen . 2. Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lernfeld Zahlen unter Null . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Rationale Zahlen – Anordnung und Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vergleichen und Ordnen . . . . . . . . . . . . . 2.3 Zum Selbstlernen Koordinatensystem . . 2.4 Beschreiben von Änderungen mit rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Addieren rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . 2.5.1Einführung der Addition – Additionsregel . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Rechengesetze für die Addition rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . . . Ebbe und Flut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Subtrahieren rationaler Zahlen . . . . . . . . 2.6.1Einführung der Subtraktion – Subtraktionsregel . . . . . . . . . . . 2.6.2Auflösen von Zahlklammern – Vereinfachen eines Terms . . . . . . 2.7 Multiplizieren rationaler Zahlen . . . . . . . 2.7.1Einführung der Multiplikation – Multiplikationsregel . . . . . . . . . 2.7.2 Rechengesetze der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Dividieren rationaler Zahlen . . . . . . . . . Mindmaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Vermischte Übungen zu den Grund­rechen­arten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10Terme – Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . 2.10.1Regeln für das Berechnen von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . . Problemlösestrategien - „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“ . . 2.11Vergleich der Zahlbereiche N, Q, Q+ und Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . 3. Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . Lernfeld Zahlen gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Lösen von Gleichungen durch Probieren . 3.2 Lösen von Gleichungen durch Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1Lösen von Gleichungen des Typs a · x + b = c – Umformungsregeln 3.2.2Zum Selbstlernen Lösen einfacher Gleichungen des Typs ax = bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3Lösen von Gleichungen mit Zusammenfassen von Vielfachen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Sonderfälle bei der Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösen von Gleichungen mit einem ComputerAlgebra-System (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Modellieren – Anwenden von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Umformen von Formeln . . . . . . . . . . . . . 3.5 Rechnerisches Lösen von Betragsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Gleichungen vom Typ T1 · T2 = 0 . . . . . . 4 3.7 Vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . 4.Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lernfeld Rechnen mit Prozenten . . . . . . . . . . 4.1 Grundaufgaben der Prozentrechnung . . . 4.1.1Berechnen des Prozentsatzes – Anteil am Ganzen . . . . . . . . . . . 4.1.2Berechnen des Prozentwertes – Vom Ganzen zum Teil . . . . . . . . 4.1.3Berechnen des Grundwertes – Vom Teil zum Ganzen . . . . . . . . Diagramme mit dem Computer . . . . . . . 4.2 Vermischte Übungen zu den Grundaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Promille – nicht nur im Straßenverkehr . 4.3 Prozentuale Änderung . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1Prozentuale Erhöhung – Prozentsätze über 100 % . . . . . . 4.3.2 Prozentuale Abnahme . . . . . . . . . Tabellenkalkulation – Relative und absolute Adressierung . . . . . . . . . . . . . . Prozent oder Prozentpunte – was ist hier gemeint? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Vermischte Übungen zur Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Zum Selbstlernen Zinsrechnung . . . . . . . 4.6 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . Bleib fit im Umgang mit Prismen . . . . . . . . . 5. Prismen und Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . Lernfeld Wie groß ist...? . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Zweitafelbild eines Prismas . . . . . . . . . . 5.2 Netz und Oberflächeninhalt einer Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Zum Selbstlernen Schrägbild einer Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Zweitafelbild einer Pyramide . . . . . . . . . Dreitafelprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Volumen einer Pyramide . . . . . . . . . . . . 5.6 Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . . 5.7 Vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . Technische Zeichnungen und Bau­ zeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahlthema: Platonische Körper . . . . . . . . . . . . 6.Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lernfeld Daten, Daten, Daten . . . . . . . . . . . . 6.1 Daten darstellen und auswerten . . . . . . . 6.2 Wirkung von Diagrammen auf einen Betrachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Anwendung: Afrika . . . . . . . . . . . . . . . . Bist du topfit? – Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bist du topfit? – Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bist du topfit? – Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bist du topfit? – Test 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Geometrie in der Ebene 9 10 Einstiegsseite: ___ ___ Zu jeder Sehne AB des Kreises geht die Mittelsenkrechte von AB durch den Kreismittel­punkt M. Man muss also nur zwei nicht zueinander parallele Sehnen zeichnen sowie zu beiden jeweils die Mittelsenkrechte. Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt M des Kreises. Lernfeld: Abstand halten – Nicht zu dicht dran, nicht zu weit weg 1. Auftrag: Gas-Flaring 1. Pfeil: Die Punkte liegen auf einem Kreis um die Fackel (Mittelpunkt) mit dem Radius 10 m. 2. Pfeil: Die Punkte liegen auf einem Kreis um den Punkt P mit dem Radius 3 cm. 3. Pfeil: Die Punkte liegen auf den beiden zu g parallelen Geraden, die zu g den gleichen Abstand haben (auf beiden Seiten von g). 4. Pfeil: Die Punkte liegen auf der Mittenparallelen zu g und h, das ist die Parallele zu g und zu h, die genau in der Mitte zwischen g und h verläuft, also zu g und h den gleichen Abstand hat. ___ 5. Pfeil: Die Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten zu PQ . 6. Pfeil: Die Punkte liegen auf den beiden Geraden, die die Schnittwinkel von a und b halbieren. 2. Auftrag: Forschungsstation Die drei Forschungsstationen bilden ein Dreieck. Man zeichnet die Mittelsenkrechten der Dreieckseiten. Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M. Wählt man diesen Punkt als Mittelpunkt eines Kreises durch einen Eckpunkt, so liegen alle drei Eckpunkte auf diesem Kreis. Die Forschungsstationen haben also von diesem Schnittpunkt M alle den gleichen Abstand, sind also alle gleich weit entfernt. Das Depot sollte beim Punkt M errichtet werden. Die Entfernung zu den einzelnen Stationen beträgt etwa 5 km. 1. Pfeil: Die drei gegebenen Punkte bilden ein Dreieck. Man zeichnet die Mittelsenkrechte der Dreieckseiten. Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M. Wählt man diesen Punkt als Mittelpunkt eines Kreises durch einen Eckpunkt, so liegen alle drei Eckpunkte auf diesem Kreis. Die Eckpunkte des Dreiecks haben also von diesem Schnittpunkt M alle den gleichen Abstand. 2. Pfeil: Alle Vierecke, deren Eckpunkte auf einem Kreis liegen, erfüllen diese Bedingung. Der Mittelpunkt des Kreises ist von allen Eckpunkten gleich weit entfernt. Von den besonderen Vierecken erfüllen Quadrate, Rechtecke und gleichschenklige Trapeze diese Bedingung. 3. Pfeil: Die drei Winkelhalbierenden, die die drei Innenwinkel des Dreiecks halbieren, schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt hat von allen drei Dreieckseiten den gleichen Abstand. 4. Pfeil: Alle Vierecke, deren Seiten einen Kreis berühren, erfüllen diese Bedingung. Der Kreis liegt innerhalb des Vierecks und berührt alle vier Seiten. Von den besonderen Vierecken erfüllen Quadrat, Rhomben und Drachenvierecke diese Bedingung. 6 1.1 Kreis und Geraden – Kreistangenten 11 12 Einstieg: Zu jeder Sehne AB des Kreises geht die Mittelsenkrechte von AB durch den Kreismittelpunkt M. Man muss also nur zwei nicht zueinander parallele Sehnen zeichnen sowie zu beiden jeweils die Mittelsenkrechte. Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt M des Kreises. 3. Druckfehler in der 1. Auflage: Koordinaten von B und C vertauscht: B (6 1) und C (11 6) Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten M (6 6). 4. D er Mittelpunkt M ist der___ Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu AB und der ___ Geraden PQ ; (3,5|4,5); Radius ≈ 2,9 ___ ___ ___ AD , AC , DB 5. Sekanten: ___ ___ Tangenten: DE , EC Passanten:EF ___ Durchmesser: DB 6.Alle Sekanten durch den Mittelpunkt des Kreises sind Symmetrieachsen des Kreises. ___ 7. R adius MP einzeichnen und die Senkrechte zu MP in P zeichnen. Die Senkrechte ist die gesuchte Tangente. 13 8. (1)Zeichne den Kreis um M mit dem Radius r = 3 cm und eine Gerade d durch M. (2) Konstruiere auf d einen Punkt mit ___ ___ ___ a) PM = 2 cm; b) PM = 3 cm; c) PM = 5 cm. (3) Konstruiere die Senkrechte zu d durch P. Diese ist die gesuchte Gerade g. g ist in a) eine Sekante; in b) eine Tangente; in c) eine Passante. 7 13 9. A1 (8 – 1) oder A2 (8 7), B1 (9 0) oder B2 (9 6), C (5 8), D1 (0 3) oder D2 (10 3) 10.(1)Konstruiere die Senkrechte zu g durch M; den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Geraden g nenne P. ___ (2)Zeichne einen Kreis um M mit dem Radius MP . Der Kreis berührt die Gerade g im Punkt P. g ist Tangente an den Kreis. 11.(1)g ist Tangente, also liegt der Mittelpunkt M des Kreises auf der Senkrechten h zu g durch den Punkt A. (2)Der Mittelpunkt M des Kreises liegt auch auf ___ der Mittelsenkrechten m zur Sekante AB . Der Schnittpunkt der Senkrechten h und der Mittelsenkrechten m ist der Mittelpunkt M des Kreises, der durch B geht und die Ge­rade g in A als Tangente hat. 12.1. Fall: Der Punkt B liegt innerhalb des Kreises um A (1)Zeichne einen Punkt A und um A einen Kreis mit dem Radius 2 cm. (2)Zeichne eine Gerade g durch A; einen Schnitt­punkt von g mit dem Kreis um A nenne P. (3)Zeichne den Punkt auf g, der 3 cm von P entfernt und innerhalb des Kreises um A liegt; nenne den Punkt B. (4)Zeichne um B einen Kreis mit dem Radius 3 cm. Der Kreis um B berührt den Kreis um A im Punkt P. Die gemeinsame Tangente t an beide Kreise berührt die Kreise im Punkt P und ist senkrecht zu g. 2. Fall: Der Punkt B liegt außerhalb des Kreises um A (1)Zeichne einen Punkt A und um A einen Kreis mit dem Radius 2 cm. (2)Zeichne eine Gerade g durch A; einen Schnittunkt von g mit dem Kreis um A nenne P. (3)Zeichne den Punkt auf g, der 3 cm von P entfernt und außerhalb des Kreises um A liegt; nenne den Punkt B. (4)Zeichne um B einen Kreis mit dem Radius 3 cm. Der Kreis um B berührt den Kreis um A im Punkt P. Die gemeinsame Tangente t an beide Kreise berührt die Kreise im Punkt P und ist senkrecht zu g 8 13 13.(1)Tangente parallel zur Sekante (1)Zeichne einen Kreis um M mit dem Radius r = 2,5 cm und eine Sekante g des Kreises. (2)Zeichne die Senkrechte h zu g durch M; die Senkrechte h schneidet den Kreis in den Punkten P1 und P2. (3)Zeichne die Senkrechte t1 zu h durch P1 und die Senkrechte t2 zu h durch P2. t1 und t2 sind Tangenten an den Kreis, die parallel zu g sind. (2)Tangente senkrecht zur Sekante (1)Zeichne einen Kreis um M mit dem Radius r = 2,5 cm und eine Sekante g des Kreises. (2)Zeichne die Parallele h zu g durch M; die Parallele h schneidet den Kreis in den Punkten P1 und P2. (3)Zeichne die Senkrechte t1 zu h durch P1 und die Senkrechte t2 zu h durch P2. t1 und t2 sind Tangenten an den Kreis, die senkrecht zu g sind. 14.Aus der Zeichnung geht hervor, wie die vier inneren und die vier äußeren Kreise zu konstruieren sind. Hier sind g und h die sich unter einem Winkel von 110° kreuzenden Autobahnen; wa und wb sind Winkelhalbierende. 15.a)Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der Senkrechten zu g durch P. 9 13 15.b) 1. Fall: g ist parallel zu h Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der Mittenparallelen m von g und h, das ist die Parallele , die von g und von h gleich weit entfernt ist. 1. Fall: g und h schneiden sich im Punkt S Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf den Winkelhalbierenden von g und h, das sind die Geraden w1 und w2, die die Schnittwinkel bei S jeweils halbieren. c)Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf den beiden Parallelen h1 und h2, die jeweils von g den Abstand 3,4 cm haben. 16.Druckfehler in der 1. Auflage in Teilaufgabe b): Zentriwinkel statt Mittelpunktswinkel a)Der Winkel α zwischen den Radien und der Winkel β zwischen den Tangenten ergänzen sich zu 180°: α + β = 180° oder β = 180° – α Begründung: Im Viereck APBM beträgt die Winkelsumme 360°. Die Winkel bei A und bei B sind rechte Winkel, also: α + β = 360° – 90° – 90° = 180° oder β = 360° – 90° – 90° – α = 180° – α b) Der Zentriwinkel wird kleiner [größer.] c) Wie in Teilaufgabe a) gezeigt, muss der Zentriwinkel 180° – 30° = 150° groß sein. 10 1.2 Besondere Punkte und Linien eines Dreiecks 1.2.1 Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden 14 Einstieg 1: ___ Man erhält die Mittelsenkrechte zu AB . Einstieg 2: Die Punkte liegen auf der Symmetrieachse ___ der Strecke AB , das ist die Mittelsenkrechte ___ m zu AB . 15 2. W ir stellen die Gabelung als Winkel a mit dem Scheitel S und den Schenkeln a und b dar. Wir suchen alle Punkte, die von beiden Schenkeln gleich weit entfernt sind. Diese Punkte liegen offenbar auf der Symmetrieachse g des Winkels a. Für einen Punkt P auf g gilt: Das Dreieck SR′P ist das Bild von Dreieck SPR ___ ___ bei Spiegelung an der Achse g und somit PR′ = PR . Die Winkel a1 und a2 sind auch gleich groß. Die Symmetrieachse g halbiert also den Winkel a; sie ist die Winkelhalbierende von a. Setzt man die Laternenmasten auf der Winkelhalbierenden des Winkels (Loipengabelung), so sind sie von den Loipen gleich weit entfernt. ___ 3. K onstruiere die Mittelsenkrechte zu PQ . Der Schnittpunkt mit AB ist der gesuchte Punkt S. 11 15 4. a)Alle___ Punkte „rechts“ der Mittelsenkrechten m von PQ sind von P weiterentfernt als von Q. b)___ Alle Punkte „links“ der Mittelsenkrechten m von PQ und auf m liegen von P höchstens so weit entfernt wie von Q. 16 5. M an konstruiert die Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke der beiden Ortschaften. Die Anschlussstelle kann an einem der beiden Schnittpunkte der Straße mit der Mittelsenkrechten liegen. 6. Der Abstand von P zu den beiden Schenkeln ist gleich groß. 7. Der Mittelpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden des Winkels, den die Weggabelung bildet. 8. Der Schatz liegt auf der Winkelhalbierenden des Winkels, den die Weggabelung bildet. 1.2.2 Umkreis und Inkreis eines Dreiecks Einstieg 1: Die Mittelsenkrechten schneiden sich immer in einem Punkt (siehe auch Information 2 auf Seite 17 des Schülerbandes). Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises außerhalb des Dreiecks, bei rechtwinkligen Dreiecken liegt er auf der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite (Mittelpunkt der Seite). Sonst liegt er innerhalb der Dreiecke. Einstieg 2: Die Mittelsenkrechten schneiden sich immer in einem Punkt (siehe auch Information 1 auf Seite 17 des Schülerbandes). Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises außerhalb des Dreiecks, bei rechtwinkligen Dreiecken liegt er auf der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite (Mittelpunkt der Seite). Sonst liegt er innerhalb der Dreiecke. Der Abstand des Schnittpunktes zu den drei Eckpunkten ist jeweils gleich. 12 18 19 2. D a der Kreismittelpunkt von allen Wegen den gleichen Abstand haben soll, muss M auf den drei Winkelhalbierenden der Winkel bei A, bei B und bei C liegen. Wir konstruieren das Dreieck ABC; dazu wählen wir 1 cm für 1 m. Ferner zeichnen wir die drei Winkelhalbierenden. Der Schnittpunkt W der drei Winkelhalbierenden ist der gesuchte Mittelpunkt des kreisförmigen Beetes. Wir zeichnen nun noch eine Senkrechte durch W zu einer der Dreieckseiten (z. B. zu AB) ___ und entnehmen der Zeichnung: WD = 1,6 cm Der Mittelpunkt des Blumenbeetes hat von den Wegen einen Abstand von 1,6 m. 3. D as Depot liegt am Mittelpunkt des Umkreises. Die Entfernung zu den drei Stationen beträgt in der Zeichnung etwa 5,5 cm, in Wirklichkeit also etwa 5,5 km. 4.a)r ≈ 2,95 cm ≈ 3 cm, b ≈ 4,7 cm, a ≈ 75°, g ≈ 56° b) r ≈ 3,4 cm, b ≈ 4,2 cm, a ≈ 39°, b ≈ 64° 13 19 4. c) r ≈ 4,1 cm, a ≈ 30°, b ≈ 38°, g ≈ 112° d) r ≈ 2,9 cm b ≈ 5,2 cm c ≈ 5,3 cm b ≈ 62° 5. F ür ein stumpfwinkliges Dreieck ist der Umkreis nicht der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält. Für alle anderen Dreiecke ist der Umkreis der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält. 6. D er Bogen überspannt eine Breite von 27 m. Aus dem Foto können wir dann abschätzen, dass der Stich eine Länge von etwa 4 m bis 5 m hat. Wir zeichnen nun ein Dreieck aus den Endpunkten A und B des Bogens und dem oberen Ende des Stichs. Diesen Punkt nennen wir C. Den ­Radius des Brückenbogens erhalten wir, wenn wir den Umkreismittelpunkt von ABC bestimmen. ___ Der Stich liegt auf der Mittelsenkrechten zur Strecke AB . Wir konstruieren das gleichschenklige Dreieck und wählen dafür den Maßstab 1 : 900, also 1 cm für 9 m: ___ ___ (1) Zeichne die Strecke AB mit AB = 3 ___ cm. (2) Konstruiere die Mittelsenkrechte zu AB . ___ (3) Der Punkt C liegt auf der Mittelsenkrechten 0,5 cm über AB . (4)Konstruiere die anderen Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC und zeichne den oberen Bogen des Umkreises. Durch Messen erhalten wir für den Radius des Umkreises r ≈ 2,5 cm, also umgerechnet r ≈ 22,5 m. 7. Z eichne das Dreieck aus der 14 cm langen Seite und den anliegenden 60° und 50° großen Winkeln die Mittelsenkrechten und den Umkreis des Dreiecks. Die Holzscheibe muss der Größe des Umkreises entsprechen und hat einen Durchmesser von ungefähr 14,9 cm. 14 19 8.a) (1)Zeichne einen Kreis um den Umkreismittelpunkt M mit r = 3 cm und einen Punkt A auf dem Umkreis. (2)Der Schnittpunkt des Kreisbogens um A mit r = 5 cm und dem Umkreis ergibt den Punkt B. (3)Der Schnittpunkt des Kreisbogens um B mit r = 4,5 cm und dem Umkreis ergibt den Punkt C. ABC ist das gesuchte Dreieck. b ≈ 5,8 cm, a ≈ 49°, b ≈ 75°, g ≈ 56° b) (1)Zeichne einen Kreis um den Umkreismittelpunkt M mit r = 4,5 cm und einen Punkt C auf dem Umkreis. (2)Der Schnittpunkt des Kreisbogens um C mit r = 3,5 cm und dem Umkreis ergibt den Punkt B. (3)Der Schnittpunkt des Kreisbogens um C mit r = 2,0 cm und dem Umkreis ergibt den Punkt A. ABC ist das gesuchte Dreieck. b ≈ 5,3 cm, a ≈ 23°, b ≈ 13°, g ≈ 144° c) (1)Zeichne einen Kreis um den Umkreismittelpunkt M mit r = 2,7 cm und einen Punkt A auf dem Umkreis. (2)Der Schnittpunkt des Kreisbogens um A mit r = 4,8 cm und dem Umkreis ergibt den Punkt B. (3)Trage in A den Winkel a = 48° an. Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit dem Umkreis ergibt den Punkt C. ABC ist das gesuchte Dreieck. a ≈ 4,0 cm, b ≈ 5,1 cm, b ≈ 69°, g ≈ 63° d) (1)Zeichne einen Kreis um den Umkreismittelpunkt M mit r = 2,5 cm und einen Punkt C auf dem Umkreis. (2)Der Schnittpunkt des Kreisbogens um C mit r = 3,7 cm und dem Umkreis ergibt den Punkt A. (3)Trage in C den Winkel g = 55° an. Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit dem Umkreis ergibt den Punkt B. ABC ist das gesuchte Dreieck. a ≈ 4,9 cm, c ≈ 4,1 cm, a ≈ 77°, b ≈ 48° 9. Der Mittelpunkt des Inkreises liegt immer innerhalb des Dreiecks. 15 19 10.Von den besonderen Vierecken besitzen Quadrate, Rechtecke und gleichschenklige ­Trapeze einen Umkreis. [Rhomben, Parallelogramme, Drachenvierecke und Trapeze besitzen im Allgemeinen keinen Umkreis, außer wenn sie oben genannte besondere Viereck mit einem Umkreis sind.] 20 11.a) ρ ≈ 1,2 cm, c ≈ 8,5 cm a ≈ 36° b ≈ 29° b) ρ ≈ 1,4 cm, a ≈ 86° b ≈ 59° g ≈ 35° c) ρ ≈ 1,5 cm, a ≈ 4,2 cm, b ≈ 5,7 cm g ≈ 80° d) ρ ≈ 1,4 cm, c ≈ 8,3 cm b ≈ 28° g ≈ 102° 16 20 12.1. Fall: Alle drei Geraden sind parallel zueinander. Dann gibt es keine Kreise, die alle drei Geraden berühren. 2. Fall: Zwei Geraden sind zueinander parallel. Die dritte Gerade schneidet diese Geraden: a ∙ b, a ∙ c, b ∙ c Die Gerade c schneidet die Geraden a und b in den Punkten Sa bzw. Sb. Die Mittelpunkte der Kreise sind die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden zwischen a und c bei Sa bzw. b und c bei Sb. 3. Fall: Die drei Geraden a, b, und c sind nicht parallel zueinander und schneiden sich in drei Punkten A, B und C. Die Punkte bilden das Dreieck ABC. Der Inkreis berührt alle drei Geraden, aber auch die außen liegenden Kreise berühren die drei Geraden. Die Mittelpunkte der Kreise erhält man als Schnittpunkt der Winkel­ halbierenden eines Innenwinkels mit den Winkelhalbierenden der Außenwinkel bei den anderen beiden Punkten. Die Außenwinkel erhält man durch Verlängern der Dreieckseiten. 13.a) W(≈ 6,6 | ≈ 3,8), ρ ≈ 0,8 cm, a ≈ 4,2 cm, b ≈ 10,8 cm, c ≈ 7,1 cm, a ≈ 14°, b ≈ 143°, g ≈ 23° 17 20 13.b) W(≈ 6,4 | ≈ 7,4), ρ ≈ 1,7 cm, a ≈ 4,5 cm, b ≈ 8,6 cm, c ≈ 9,1 cm, a ≈ 29°, b ≈ 70°, g ≈ 81° c) W(≈ 4,4 | ≈ 8,1), ρ ≈ 2,3 cm, a ≈ 8,1 cm, b ≈ 7,6 cm, c ≈ 9,4 cm, a ≈ 55°, b ≈ 51°, g ≈ 74° 18 20 13.d) W(≈ –0,8 | ≈ 1,6), ρ ≈ 2,0 cm, a ≈ 10,6 cm, b ≈ 9,5 cm, c ≈ 5,4 cm, a ≈ 87°, b ≈ 63°, g ≈ 30° 14.Der Untersetzer kann so groß werden wie der Inkreis des Dreiecks. Der Durchmesser beträgt 9,1 cm. 15.Nur bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkelhalbierenden auch Mittelsenkrechten der gegenüberliegenden Seiten. Hier fallen die Mittelpunkte von Inkreis und Umkreis ­zusammen. 16.Der Inkreis des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen 28 m und 21 m hat einen Radius von 7 m. Hiervon geht der Sicherheitsabstand von 3 m ab. Der Durchmesser des Hochhauses ist also (7 m – 3 m) ∙ 2 = 8 m. 17.Die Winkelhalbierende des Zentrierwinkels geht durch den Kreismittelpunkt. Man benötigt also nur zwei verschiedene Stellungen des Zentrierwinkels. Der Schnittpunkt der markierten Winkelhalbierenden ist der Kreismittelpunkt. Das kann ich noch! A) 1)1,15 3)1,04 5)0,3 2)0,64 4)0,49 6)4 7)0,12 8)2,1 19 1.3 Satz des Thales 21 Einstieg 1: Sie müssen sich alle mit dem gleichen Winkel drehen, nämlich um 90°. Einstieg 2: Man erhält bei C immer einen rechten Winkel. 23 2. a) Konstruktionsbeschreibung: ___ (1)Zeichne die Strecke AB mit c = 4,8 cm sowie den Thaleskreis ___ über AB . (2)Zeichne um B einen Kreis mit dem Radius a = 2,5 cm. Der Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist der Eckpunkt C. ABC ist das gesuchte Dreieck: b ≈ 4,1 cm, a ≈ 31°, b ≈ 59° b) Konstruktionsbeschreibung: ___ (1)Zeichne die Strecke AB mit c___ = 4,7 cm sowie den Thaleskreis über AB . ___ (2)Zeichne die Parallele zu AB im Abstand von hc = 1,9 cm. Die Parallele schneidet den Thaleskreis in zwei Punkten C1 und C2. Es gibt also zwei Lösungsdreiecke ABC1 und ABC2: 1. Lösungsdreieck: a1 ≈ 2,1 cm, b1 ≈ 4,2 cm, c1 = 4,7 cm, a1 ≈ 27°, b1 ≈ 63°, g1 = 90° 2. Lösungsdreieck: a2 ≈ 4,2 cm, b2 ≈ 2,1 cm, c2 = 4,7 cm, a2 ≈ 63°, b2 ≈ 27°, g2 = 90° Die Lösungsdreiecke sind kongruent zueinander. Sie liegen symmetrisch zur Mittel___ senkrechten von AB . ___ 3. K onstruiere den Thaleskreis über MP. Die Schnittpunkte S1 bzw. S2 sind die Berührpunkte der Tangenten an den Kreis. Die Dreiecke MPS1 und MPS2 sind rechtwinklig. 20 23 4.a) D er Satz ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist im Bild rechts angegeben. Die Diagonalen sind gleich lang, aber das Viereck ist kein Parallelogramm. 24 5. b) W enn ein Viereck keine überstumpfen Winkel besitzt, dann sind in dem Viereck zwei rechte Winkel. Der Satz ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist im Bild rechts angegeben. b ist überstumpf, aber das Viereck besitzt keinen rechten Winkel. Julia muss die Kamera um 90° drehen. 6. a) Konstruktionsbeschreibung: ___ (1)Zeichne die Strecke AB mit c = 5,3 cm sowie den Thaleskreis ___ über AB . (2)Zeichne um A einen Kreis mit dem Radius b = 4,3 cm. Der Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist der Eckpunkt C. ABC ist das gesuchte Dreieck: a ≈ 3,1 cm, a ≈ 36°, b ≈ 54° b)Da g ein rechter Winkel ist, ist die Höhe hb genauso lang wie die Seite a, also a = 8 cm. Konstruktionsbeschreibung: ___ (1)Zeichne die Strecke CB mit a = 8 cm und trage in C den rechten Winkel g an. ___ (2)Zeichne den Thaleskreis über CB . (3)Zeichne um C einen Kreis mit dem Radius hc = 5 cm. Der Schnittpunkt des ­Kreises mit dem Thaleskreis ist der H ­ öhenfußpunkt D. (4)Zeichne von B aus die Halbgerade durch D. Der Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von g ist der Eckpunkt A. ABC ist das gesuchte Dreieck: b ≈ 6,4 cm, c ≈ 10,2 cm, a ≈ 51°, b ≈ 39° 21 24 7.a) Konstruktionsbeschreibung: ___ (1)Zeichne die Strecke AB ___ mit c = 8 cm sowie den Thaleskreis über AB___ . (2)Zeichne die Parallele zu AB im Abstand von hc = 3 cm. Die Parallele schneidet den Thaleskreis in zwei Punkten C1 und C2. Es gibt also zwei Lösungsdreiecke ABC1 und ABC2: 1. Lösungsdreieck: a1 ≈ 2,1 cm, b1 ≈ 4,2 cm, c1 = 4,7 cm, a1 ≈ 27°, b1 ≈ 63°, g1 = 90° 2. Lösungsdreieck: a2 ≈ 4,2 cm, b2 ≈ 2,1 cm, c2 = 4,7 cm, a2 ≈ 63°, b2 ≈ 27°, g2 = 90° Die Lösungsdreiecke sind kongruent zueinander. Sie liegen symmetrisch zur Mittel___ senkrechten von AB . b) Konstruktionsbeschreibung: ___ (1)Zeichne die Strecke mit b = 6,4 cm sowie den AC ___ Thaleskreis über AC. ___ (2)Zeichne die Parallele zu AC im Abstand von hb = 2,3 cm. Die Parallele schneidet den Thaleskreis in zwei Punkten B1 und B2. Es gibt also zwei Lösungsdreiecke AB1C und AB2C: 1.Lösungsdreieck: a1 ≈ 5,9 cm, b1 = 6,4 cm, c1 ≈ 2,5 cm, a1 ≈ 67°, b1 = 90°, g1 ≈ 23° 2.Lösungsdreieck: a2 ≈ 2,5 cm, b2 = 2,1 cm, c2 ≈ 5,9 cm, a2 ≈ 23°, b2 = 90°, g2 ≈ 67° Die Lösungsdreiecke sind kongruent zueinander. Sie liegen symmetrisch zur Mittel___ senkrechten von AC. 8. W ähle einen Punkt A ___ auf g und konstruiere den Thaleskreis über AP. Der Thaleskreis schneidet g in A und in einem zweiten Punkt B. BP ist die gesuchte Senkrechte zu g durch P, da APB ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei B ist. 22 24 9. Zum Beispiel: ___ (1)___ Zeichne eine Strecke AB mit AB = 2 · r = 2 ·___ 3,4 cm = 6,8 cm und konstruiere den Thaleskreis zu AB . (2)Zeichne um A einen Kreis mit dem Radius r = 2,1 cm; einen Schnittpunkt mit dem Thaleskreis nenne D. (3)Zeichne um B einen Kreis mit dem Radius r = 2,1 cm; den Schnittpunkt mit dem Thaleskreis, der auf der ___ anderen Seite von AB als der Punkt D liegt, nenne B. Die Punkte A, B, C, D sind Eckpunkte des gesuchten Rechtecks. 10. a)Die Diagonalen in einem Rechteck sind gleich lang. Sobald die Winkel keine rechten Winkel sind, erhält man ein Parallelogramm, dessen Diagonalen dann nicht gleich lang sind. b)Die Diagonalen sind dann ungefähr 15,2 cm bzw. 14,7 cm lang. Den Unterschied kann man noch gut durch Messen erkennen. ___ 11.Konstruiere den Thaleskreis zu AB mit dem Mittelpunkt M. Ein Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden g ist der gesuchte Punkt C. Das Dreieck ABC hat einen rechten Winkel bei C. Wir unterscheiden drei Fälle: Der Radius des Thaleskreises ist größer als der Abstand von M zu g: Es gibt zwei Schnittpunkte C1 und C2. Der Radius des Thaleskreises ist gleich dem Abstand von M zu g: Es gibt nur einen Schnittpunkt C. Der Radius des Thaleskreises ist kleiner als der Abstand von M zu g: Es gibt keinen Schnittpunkt. Es gibt also keinen Punkt C, der die Bedingungen erfüllt. 12.(1) Konstruktion einer Senkrechten. (2) Mithilfe des Thaleskreises ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren. 13.Die beiden Thaleskreise schneiden sich in einem Punkt D, der auf der Geraden AC liegt. Begründung: Nach dem Thalessatz sind die Dreiecke ABD und BCD rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei D, also δ1 = δ2 = 90°. Wegen δ1 + δ2 = 180° liegt D auf der Geraden AC. 23 25 14.Die Dreiecke AMC und BMC sind gleich___ ___ ___ schenklig, denn AM , CM und BM sind Radien des Thaleskreises. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkelhalbierenden und auch Mittelsenkrechte. MF ist also senkrecht zu AC und ME ist senkrecht zu BC. Das Viereck MECF hat also drei rechte Winkel bei F, C und E. Nach dem Innenwinkelsatz ist dann auch ε ein rechter Winkel. 15.Für das rechtwinklige Dreieck ABC gilt nach dem Innenwinkelsatz : α = 30°, β = 60° und γ = 90° Wenn man das Dreieck ABC an der Geraden AC spiegelt, erhält man das Dreieck ABB′. Alle Winkel dieses Dreiecks sind 60° groß. Das Dreieck ist also gleichseitig mit ___ ___ = BB′ AB ___. ___ ___ ___ ___ ___ Wegen AB = BB′ und BC = _ 12 · BB′ gilt BC = _ 12 · AB . ___ 16.(1) Konstruiere den Thaleskreis über PQ . (2)Zeichne um Q einen Kreis mit dem Radius 2,5 cm; die Schnittpunkte mit dem Thaleskreis nenne S1 und S2. Die Geraden PS1 bzw. PS2 gehen durch P und haben von Q den Abstand 2,5 cm, denn beide Geraden sind Tangenten an den Kreis um Q. Da S1 und S2 auch auf dem Thaleskreis liegen, besitzen die Dreiecke PS1Q und PQS2 dort jeweils einen rechten Winkel. ___ 17.(1)Zeichne eine Strecke mit AB = 4,3 cm; ___ konstruiere den Thaleskreis über AB . (2)Zeichne um B einen Kreis mit dem Radius 1,8 cm; die Schnittpunkte mit dem Thaleskreis nenne S1 und S2. Die Geraden AS1 bzw. AS2 gehen durch A und haben von B den Abstand 1,8 cm, denn beide Geraden sind Tangenten an den Kreis um B. Da S1 und S2 auch auf dem Thaleskreis liegen, besitzen die Dreiecke AS1B und ABS2 dort jeweils einen rechten Winkel. 24 25 18.Ungefähre Koordinaten der Berührungspunkte der Tangenten: (1) P1 (10 3) und P2 (7,6 7,8) (3) R1 (11,5 8,6) und R2 (11,5 3,5) (2)Q1 (7,6 4,2) und Q2 (12,4 4,2) (4)S1 (7,2 5) und S2 (9,2 8,9) 19.(1)Umkehrung des Satzes: Wenn eine natürliche Zahl durch 5 (ohne Rest) teilbar ist, dann ist sie auch durch 10 (ohne Rest) teilbar. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage. Gegenbeispiel: 15 ist durch 5 (ohne Rest) teilbar, aber nicht durch 10. (2)Umkehrung des Satzes: Wenn eine natürliche Zahl durch 3 (ohne Rest) teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 (ohne Rest) teilbar. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage. Gegenbeispiel: 9 ist durch 3 (ohne Rest) teilbar, aber nicht durch 6. (3)Umkehrung des Satzes: Wenn eine natürliche Zahl durch 6 (ohne Rest) teilbar ist, dann ist sie auch durch 2 und 3 (ohne Rest) teilbar. Diese Umkehrung ist eine wahre Aussage, denn: Alle durch 6 (ohne Rest) teilbaren Zahlen sind auch Vielfache von 2 und von 3, also durch 2 (ohne Rest) teilbar und durch 3 (ohne Rest) teilbar. (4)Umkehrung des Satzes: Wenn die Summe zweier natürlicher Zahlen durch 7 (ohne Rest) teilbar ist, dann sind die beiden Summanden auch durch 7 teilbar. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage. Gegenbeispiel: 8 + 13 = 21 ist durch 7 (ohne Rest) teilbar, 8 und 13 jedoch nicht. (5)Umkehrung des Satzes: Wenn a ≤ b für zwei Zahlen a und b, dann ist a ein Teiler von b. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage.. Gegenbeispiel: a = 3 und b = 4, also 3 ≤ 4, aber 3 ist kein Teiler von 4. (6)Umkehrung des Satzes: Wenn die Straße nass ist, dann regnet es. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage.. Gegenbeispiel: Es hat vorher geregnet und die Straße ist noch nass, aber es regnet nicht mehr. 25 25 19.(7)Umkehrung des Satzes: Wenn jemand volljährig ist, dann ist er 18 Jahre alt. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage.. Gegenbeispiel: Alle Personen über 18 sind auch volljährig. (8)Umkehrung des Satzes: Wenn schulfrei ist, dann ist Sonntag. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage., denn auch an anderen Wochentagen kann schulfrei sein (z. B. in den Ferien). 20.a) (1) Voraussetzung: Ein Viereck ist ein Rhombus. Behauptung: Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein Rhombus ist, dann sind gegenüberliegende Winkel gleich groß. (2)Voraussetzung: Ein Viereck ist ein Rhombus. Behauptung: Die Diagonalen halbieren die Innenwinkel. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein Rhombus ist, dann halbieren die Diagonalen die Innenwinkel. (3)Voraussetzung: Ein Viereck ist ein Rhombus. Behauptung: Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein Rhombus ist, dann sind die Diagonalen gleich lang und halbieren einander. (4)Voraussetzung: Ein Viereck ist ein Parallelogramm. Behauptung: Die Diagonalen halbieren einander. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren die Diagonalen einander. (5)Voraussetzung: Ein Viereck ist ein Parallelogramm. Behauptung: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. (6) Voraussetzung: Ein Viereck ist ein Drachenviereck. Behauptung: Die Diagonalen sind senkrecht zueinander. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann sind die Diagonalen senkrecht zueinander. (7) Voraussetzung: Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez. Behauptung: Die Diagonalen sind gleich lang. Wenn-dann-Formulierung: Wenn ein Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist, dann sind die Diagonalen gleich lang. b) (1)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck gegenüberliegende Winkel gleich groß sind, dann ist das Viereck ein Rhombus. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage, denn die Aussage gilt für alle Parallelogramme. (2)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck die Diagonalen die Innenwinkel halbieren, dann ist das Viereck ein Rhombus. Diese Umkehrung ist eine wahre Aussage. (3)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck die Diagonalen gleich lang sind und einander halbieren, dann ist das Viereck ein Rhombus. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage, denn das Viereck kann ein Rechteck sein. 26 25 20.b) (4)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck sich die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm. Diese Umkehrung ist eine wahre Aussage. (5)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm. Diese Umkehrung ist eine wahre Aussage. (6)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht zuein­ ander sind, dann ist das Viereck ein Drachenviereck. Diese Umkehrung ist eine falsche Aussage, Gegenbeispiel siehe Bild. (7)Umkehrung des Satzes: Wenn in einem Viereck die Diagonalen gleich lang sind, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez. Diese Umkehrung ist eine wahre Aussage. Im Blickpunkt: Thales von Milet 26 1.Basiswinkelsatz: Für jedes gleichschenklige Dreieck gilt: Die beiden Basiswinkel sind gleich groß. Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel sind gleich groß. Winkelsummensatz: In jedem Dreieck sind die drei Innenwinkel zusammen 180° groß. In jedem Viereck sind die vier Innenwinkel zusammen 360° groß. Thalessatz: ___ Wenn der Punkt C eines Dreiecks ABC auf dem Thaleskreis der Strecke AB liegt, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit g als rechtem Winkel. 2. T hales und sein Schatten bilden einen rechten Winkel und bilden mit der roten Linie ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basiswinkel 45° groß sind. Pythagoras ist also genauso groß wie sein Schatten lang ist. Das Dreieck aus Höhe der Pyramide und dessen Schatten ist auch rechtwinklig mit den Winkeln 45°, also auch gleichschenklig. Daher ist die Schattenlänge der Pyramide gleich der Höhe der Pyramide. 3. D ie Entfernung vom Turm zum Punkt im Gebäude ist genauso groß wie die Entfernung zum Schiff. 4. –
