Einführung in die Theoretische Informatik Zusammenfassung der

Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
Einführung in die Theoretische Informatik
Christina Kohl
Alexander Maringele
Georg Moser
Michael Schaper
Manuel Schneckenreither
1
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
2
ein Wahrheitswertsymbol (True, False) ist eine Formel, und
3
wenn A und B Formeln sind, dann sind
¬A
(A ∧ B)
(A ∨ B)
(A → B)
auch Formeln
Institut für Informatik @ UIBK
Wintersemester 2015
Definitionen
• Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert v̄ für Formeln
• A ≡ B, wenn A |= B und B |= A gilt
GM (IFI)
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Theoretische Informatik
35/1
Methode von Quine
Inhalte der Lehrveranstaltung
Methode von Quine
Einführung in die Logik
Lemma
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive
und Disjunktive Normalformen
A eine Formel und p ein Atom in A
1
A ist eine Tautologie gdw.
A{p 7→ True} ist Tautologie
Einführung in die Algebra
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
2
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
und A{p 7→ False} ist Tautologie
A ist unerfüllbar gdw.
A{p 7→ True} unerfüllbar
und A{p 7→ False} unerfüllbar
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie
Sprachen
Beispiel (Wahrheitstabellen oder logische Äquivalenzen)
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Wir betrachten die Formel F
F := (p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
Einführung in die Programmverifikation
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
Es ist nicht schwer einzusehen, dass F eine Tautologie ist
36/1
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
37/1
Methode von Quine
Methode von Quine
Beispiel (Methode von Quine)
Beispiel (Fortsetzung)
Die Methode liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
2
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r) ist Tautologie
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
Anforderungen in Baumform:
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
{p 7→ False}
{p 7→ True}
G
Übrige Anforderungen
3
(True → r) ∧ True → r
≡
r ∧ True → r
≡
r→r
≡
True
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r)
≡
(False → r) ∧ (False → q) → True
≡
True ∧ True → True
≡
True
(False → r) ∧ False → r
≡
True ∧ False → r
≡
False → r
≡
True
Es gibt keine weiteren Anforderungen mehr, also ist F eine Tautologie
G ist Tautologie
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
38/1
Formales Beweisen
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
39/1
Formales Beweisen
Definition
Formales Beweisen
G eine endliche Menge von Formeln, F eine Formel
Modus Ponens
A→B
B
1
A
Ein Beweis von F aus G ist eine Sequenz
MP
A1 , . . . , An = F
sodass für alle 1 6 i 6 n:
• Ai ∈ G
• Ai ist eines der Axiome
• Ai folgt mit MP aus Ai1 und Ai2 , i1 , i2 < i
Definition
Axiome für die Aussagenlogik nach Frege und Lukasiewicz
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
2
F heißt beweisbar aus den Annahmen G, wenn es einen Beweis von
F aus G gibt
Definition
Die Axiome sind Schemata, das heißt A, B und C können für beliebige
Formeln stehen
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
40/1
1
Die Beweisbarkeitsrelation A1 , . . . , An ` B gilt, gdw. B aus A1 , . . . ,
An beweisbar ist
2
Wir schreiben ` A statt ∅ ` A und nennen A in diesem Fall
beweisbar
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
41/1
Formales Beweisen
Formales Beweisen
Korrektheit und Vollständigkeit
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
Satz
Das Axiomensystem mit Inferenzregel MP ist korrekt und vollständig für
die Aussagenlogik:
A1 , . . . , An |= B
gdw. A1 , . . . , An ` B .
Basierend auf einem korrekten und vollständigen Beweissystem können
wir versuchen das Beweisen zu automatisieren → SAT solvers
1
2
3
4
5
6
Satz (Deduktionstheorem)
Sei B mit Hilfe der Prämisse A beweisbar, dann existiert ein Beweis von
A → B, der A nicht als Prämisse hat
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
42/1
Formales Beweisen
¬p → (p → q)
p
q
¬p → (p → q)
T
T
T
F
T
T
F
F
T
F
T
T
GM (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
(¬q → ¬p) → (p → q)
p→q
¬p → (p → q)
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, Modus Ponens
Axiom (3)
3, 4, Modus Ponens
1, 5, Deduktionstheorem
Einführung in die Theoretische Informatik
43/1
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
• Fall Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
Wir verwenden folgenden Beweis:
1
2
3
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
2
q
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
Fakt
1
p
Basis: k = 1; dann gilt B1 = A und die Behauptung, da A → A
beweisbar
Bk
Bk → (A → Bk )
A → Bk
Axiom oder Prämisse 6= A
Axiom (1)
1, 2, MP
• Fall Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
Wir verwenden folgenden Beweis:
Schritt: k > 1; die Induktionshypothese besagt
1
2
3
4
5
Für alle l < k ist A → Bl ohne die Prämisse A beweisbar
Fallunterscheidung:
• sei Bk = A (wir argumentieren wie im Basisfall)
• sei Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
Beweis von A → Bi
IH
Beweis von A → (Bi → Bk )
IH
(A → (Bi → Bk )) → (A → Bi ) → (A → Bk ) Axiom (2)
(A → Bi ) → (A → Bk )
2, 3, MP
A → Bk
1, 4, MP
• Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
44/1
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
45/1
Formales Beweisen
Formales Beweisen
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Lemma
Definition
• f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
• p1 , . . . , pn atomare Formeln
TV(f ) 6= ∅, TV(f ) 6= {T, F}n
• Sei DNF D definiert als:
Definition
D :=
Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion; wir definieren:
3
• Sei KNF K definiert als:
• Die Wahrheitstabellen von D und K entsprechen der
Formel A ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn A eine
Konjunktion von Disjunktionen von Literalen
Wahrheitsfunktion f
46/1
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
47/1
Formales Beweisen
Satz
Beispiel
1
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
2
Jede Formel mit n Atomen induziert eine Wahrheitsfunktion in n
Variablen
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
Beweis.
Es fehlen die Fälle, wo die Wahrheitsfunktion trivial ist:
• TV(f ) = ∅
• TV(f ) = {T, F}n
2
Setze D = K :=
Vn
3
Setze D = K :=
Wn
i=1 (pi
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF.
i=1 (pi ∧ ¬pi ) im ersten Fall
TV(⊕) = {(F, T), (T, F)}
∨ ¬pi ) im zweiten Fall
Folgerung
p
F
T
Für jede Formel A existiert eine DNF D und eine KNF K , sodass
A ≡ D ≡ K gilt.
GM (IFI)
Bj
wobei Bj = pj , wenn sj = F und Bj = ¬pj sonst
Formales Beweisen
1
n
_
(s1 ,...,sn )6∈TV(f ) j=1
Formel A ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn A eine
Disjunktion von Konjunktionen von Literalen
Einführung in die Theoretische Informatik
^
K :=
Ein Literal ist ein Atom p oder die Negation eines Atoms ¬p
GM (IFI)
Ai
wobei Ai = pi , wenn si = T und Ai = ¬pi sonst
Definition
2
n
^
(s1 ,...,sn )∈TV(f ) i=1
TV(f ) := {(s1 , . . . , sn ) | f (s1 , . . . , sn ) = T}
1
_
Einführung in die Theoretische Informatik
48/1
GM (IFI)
q
F
T
p⊕q
F
F
Disjunktion
p1 ∨ p2
¬p1 ∨ ¬p2
KNF
(p1 ∨ p2 ) ∧ (¬p1 ∨ ¬p2 )
Einführung in die Theoretische Informatik
49/1