A auf B

Grundlagen der Mathematik für Informatiker
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1
Mengen, Relationen, Funktionen
2.1 Mengen
Definition 2.1 [Georg Cantor 1895]
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
wohlunterschiedener Dinge unserer Anschauung oder unseres
Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem
Ganzen.
Mengen werden definiert:
extensional: durch Angabe aller Elemente (nur für endliche Mengen)
Beispiele: {0, 1, 2, 3}, { a}, { a, b}
intensional: durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden
Eigenschaft
Beispiele: { x | x ist natürliche Zahl und x < 4}, y | E (y)
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Beispiel 1 (Weitere Beispiele von Mengen)
N = {0, 1, 2, . . .}
Menge der natürlichen Zahlen
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Menge der ganzen Zahlen
∅ = { x | x 6= x } = { }
die leere Menge
Elementbeziehung
Element-Relation:
x∈M
x ist Element der Menge M, x ist Element von M
x ist aus M
Negation von x ∈ M:
x∈
/M
es ist nicht x ∈ M, x ist nicht aus M
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Mengengleichheit und -inklusion
Gleichheit:
A = B :⇔ ∀ x ( x ∈ A ↔ x ∈ B)
x ist genau dann Element der Menge A, wenn
x Element von B ist
Inklusion:
A ⊆ B :⇔ ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B)
wenn x Element der Menge A ist, so ist x auch aus B
echte Inklusion:
A ⊂ B, A ( B : ⇔ A ⊆ B ∧ ∃ x ( x ∈ B ∧ x 6 ∈ A )
A ⊆ B und es gibt ein x ∈ B, welches nicht aus A ist
Satz 2.1 Es seien A, B, C Mengen.
1. Es gilt stets A ⊆ A.
2. Aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C.
3. Es gilt genau dann A = B, wenn sowohl A ⊆ B als auch B ⊆ A
erfüllt sind.
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Operationen für Mengen
Vereinigung:
A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
x ist genau dann Element der Menge A ∪ B, wenn
x Element von A oder von B ist
Durchschnitt:
A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
x ist genau dann Element der Menge A ∩ B ist, wenn
x aus A und aus B ist
Eigenschaft 2.2 1. Es gelten A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B und
A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B.
2. Aus A ⊆ C und B ⊆ D folgen A ∩ B ⊆ C ∩ D und
A ∪ B ⊆ C ∪ D.
3. Aus A, B ⊆ C und A, B ⊆ D folgt A ∪ B ⊆ C ∩ D.
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Hilfssatz 2.3 Die folgenden Beziehungen sind paarweise äquivalent:
A ∩ B = A, A ⊆ B und A ∪ B = B.
Satz 2.4 (Eigenschaften der Operationen ∩ und ∪ )
Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen:
A∩B = B∩A
,
A∪B = B∪A
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C
A∩A = A
,
A∪A = A
(Kommutativität)
(Assoziativität)
(Idempotenz)
Lemma 2.5 (Verschmelzungsgesetze) Es seien A, B Mengen. Dann
gelten die folgenden Gleichungen:
A ∩ ( A ∪ B) = A und A ∪ ( A ∩ B) = A.
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Satz 2.6 (Die Distributivgesetze) Es seien A, B, C Mengen. Dann
gelten die folgenden Gleichungen:
A ∪ (B ∩ C)
= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) und
A ∩ (B ∪ C)
= ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
Die Potenzmenge
Definition 2.2 Es sei M eine Menge. Die Menge { A : A ⊆ M} aller
Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M.
Sie wird mit 2 M oder P( M) bezeichnet.
2
Beispiel 2
2
2
∅
{∅}
{ a,b }
=
=
=
∅
∅, {∅}
∅, { a}, {b}, { a, b}
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Das Komplement
Definition 2.3 Es seien M eine Menge und A ∈ 2 M . Dann heißt
A := { x | x ∈ M ∧ x ∈
/ A}
das Komplement von A (in M).
Eigenschaft 2.7 A ist dasjenige Element X der Potenzmenge 2 M , für
welches gleichzeitig die Bedingungen A ∩ X = ∅ und A ∪ X = M
gelten.
Satz 2.8 (D E M ORGANsche Regeln) Es seien A, B ∈ 2 M . Dann
gelten
A ∪ B = A ∩ B und
A∩B = A∪B
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Weitere Mengenoperationen
Mengendifferenz
symmetrische Differenz
A\B
:=
{x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
A∆B
:=
( A \ B) ∪ ( B \ A)
=
( A ∪ B) \ ( A ∩ B)
:=
:=
Es seien Mi ⊆ M.
unendliche Vereinigung
[
Mi
i ∈I
unendlicher Durchschnitt
\
i ∈I
Mi
x : x ∈ M ∧ ∃ i ( i ∈ I ∧ x ∈ Mi )
x : x ∈ M ∧ ∀ i ( i ∈ I → x ∈ Mi )
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2.2 Relationen
Es seien X, Y Mengen.
geordnetes Paar
( x, y) oder [ x, y]
Kreuzprodukt
A × B := {( x, y) | x ∈ A und y ∈ B}
Eigenschaft 2.9 Es seien A, B, C, D Mengen. Dann folgt aus A ⊆ B
und C ⊆ D auch A × C ⊆ B × D. Weiter gelten
A×∅
= ∅×A = ∅
( A ∩ B) × (C ∩ D ) = ( A × C ) ∩ ( B × D )
( A ∪ B) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C )
A × (B ∪ C)
= ( A × B) ∪ ( A × C )
( A \ B) × C = ( A × C ) \ ( B × C )
A × (B \ C)
= ( A × B) \ ( A × C )
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Mehrfaches Kreuzprodukt
Frage der Reihenfolge!
Unser Standard (für n ≥ 3):
A1 × A2 × · · · × An := A1 × A2 × ( A3 × (. . . × An ))
speziell:
A1 × A2 × A3 × A4 : = A1 × A2 × ( A3 × A4 )
Definition 2.4 Eine Teilmenge R von A1 × A2 × · · · × An heißt
(n-stellige) Relation über A1 , . . . , An .
Gilt A1 = . . . = An = A, so sprechen wir auch von einer n-stelligen
Relation über A.
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Beispiel 3 (Datumsrelation)
A1 = Tag
:= {1, . . . , 31}
A2 = Monat := {1, . . . , 12}
A3 = Jahr
:= {1900, . . . , 2100}
Datum ⊆ Tag × Monat × Jahr
Beispiele:
(29, 2, 2000) ∈ Datum , (29, 2, 1900) ∈
/ Datum
(31, 7, 2007) ∈ Datum , (31, 6, 2007) ∈
/ Datum
Beispiel 4 (die natürliche Ordnung der ganzen Zahlen ≤ )
≤ ⊆ Z×Z
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Eigenschaften zweistelliger Relationen
Definition 2.5 Es seien M eine Menge und R eine zweistellige
Relation über M.
Wir nennen die Relation R
reflexiv, falls für alle x ∈ M stets ( x, x ) ∈ R gilt,
symmetrisch, falls aus ( x, y) ∈ R stets (y, x ) ∈ R folgt,
transitiv, falls aus ( x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R stets ( x, z) ∈ R folgt,
antisymmetrisch, falls aus ( x, y) ∈ R und (y, x ) ∈ R stets x = y
folgt.
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Äquivalenzrelationen
Definition 2.6 Es seien M eine Menge und ≈ eine zweistellige
Relation über M.
Wir nennen ≈ eine Äquivalenzrelation über M, falls ≈ reflexiv,
transitiv und symmetrisch ist.
Beispiel 5 Es sei M die Menge der Schüler einer Schule. Für
a, b ∈ M definieren wir a ≈ b gdw. a, b sind Schüler derselben Klasse.
Definition 2.7 Es sei M 6= ∅ eine Menge. Eine Teilmenge Z der
Potenzmenge 2 M heißt Zerlegung (Klasseneinteilung) von M, falls
1.
S
A∈Z
A=M
2. A 6= ∅ für alle A ∈ Z und
3. A ∩ B = ∅ für alle A, B ∈ Z , A 6= B gelten.
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Definition 2.8 Es seien ≈ eine Äquivalenzrelation über M und
a ∈ M. Wir nennen
[ a]≈ := {b | b ∈ M und a ≈ b}
die von a erzeugte Äquivalenzklasse.
Satz 2.10 Für jede Äquivalenzrelation ≈ über M ist die Menge aller
Äquivalenzklassen
Z≈ := {[ a]≈ : a ∈ M}
eine Zerlegung von M.
Umgekehrt definiert für jede Zerlegung Z von M die Beziehung
a ≈ b gdw. es gibt ein A ∈ Z mit a, b ∈ A
eine Äquivalenzrelation über M.
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Halbordnungsrelationen
Definition 2.9 Es seien M eine Menge und eine zweistellige
Relation über M.
Wir nennen eine Halbordnungsrelation über M, falls reflexiv,
transitiv und antisymmetrisch ist.
Beispiel 6 1. Ist M eine Menge, so ist die Relation ⊆ eine
Halbordnungsrelation über M = 2 M .
2. ≤ ist eine Halbordnungsrelation über Z.
3. Die Teilbarkeitsrelation | ist eine Halbordnungsrelation über N.
Lemma 2.11 Ist eine Halbordnungsrelation über M und ist
T ⊆ M, so ist die Einschränkung T := ∩(T × T ) von auf T
eine Halbordnungsrelation über T .
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Definition 2.10 Es sei M eine durch halbgeordnete Menge, und
es sei T Teilmenge von M. Wir nennen a ∈ M
minimales Element von T , falls a ∈ T und b 6≺ a für alle b ∈ T gilt.
Minimum von T , falls a ∈ T und a b für alle b ∈ T gilt.
untere Schranke von T , falls a b für alle b ∈ T gilt.
Infimum von T , falls a das Maximum der Menge
{b | b ∈ M und b ist untere Schranke von T } ist.
Supremum von T , falls a das Minimum der Menge
{b | b ∈ M und b ist obere Schranke von T } ist.
Folgerung 2.12 1. Jedes Minimum von T ist sowohl minimales
Element, untere Schranke als auch Infimum von T .
2. Ist eine untere Schranke von T Element von T , so ist sie
Minimum von T .
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Spezielle Operationen für zweistellige Relationen
Definition 2.11 Es seien R ⊆ A × B, S ⊆ B × C zweistellige
Relationen.
Verbindung
R ◦ S := ( a, c) | es gibt ein b ∈ B mit ( a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S
−
1
Umkehrrelation R := (b, a) | ( a, b) ∈ R
Folgerung 2.13 R1 ◦ ( R2 ◦ R3 ) = ( R1 ◦ R2 ) ◦ R3
Folgerung 2.14 Eine zweistellige Relation R ⊆ A × A ist genau dann
symmetrisch, wenn R = R−1 , und R ist genau dann transitiv, wenn
R ◦ R ⊆ R.
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Folgerung 2.15 Es seien R, R1 , R2 , R3 zweistellige Relationen über
einer Menge M. Dann gelten die folgenden Beziehungen.
R1 ◦ R3 ⊆ R2 ◦ R3 und R1−1 ⊆ R2−1 .
Aus
R1 ⊆ R2
folgen
Aus
R2 ⊆ R3
folgt
R1 ◦ R2 ⊆ R1 ◦ R3 .
Aus
R ⊆ R −1
folgt
R = R −1 .
R1 ◦ ( R2 ∪ R3 )
= ( R1 ◦ R2 ) ∪ ( R1 ◦ R3 )
( R1 ∪ R2 ) ◦ R3
= ( R1 ◦ R3 ) ∪ ( R2 ◦ R3 )
( R1 ∪ R2 ) −1
=
R1−1 ∪ R2−1 und ( R1 ∩ R2 )−1 = R1−1 ∩ R2−1
( R1 ◦ R2 ) −1
=
R2−1 ◦ R1−1
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Definition 2.12 Es seien M eine Menge und R ⊆ M × M eine
zweistellige Relation über M.
Wir nennen R∗ die reflexive und transitive Hülle von R, falls R∗ die
kleinste reflexive und transitive Relation ist, die R umfasst. Wir nennen
R+ die transitive Hülle von R, falls R+ die kleinste transitive Relation
ist, die R umfasst.
Ferner seien I M := ( a, a) | a ∈ M , R0 := I M und Rn := R ◦ Rn−1
für n ≥ 1.
Lemma 2.16 Es sei eine Relation R ⊆ M × M gegeben. Für alle
n ≥ 0 gilt (m, m′ ) ∈ Rn genau dann, wenn es eine Folge c0 , c1 , ..., cn
von Elementen aus M mit c0 = m, cn = m′ und (ci , ci+1 ) ∈ R für
i = 0, ..., n − 1 gibt.
Satz 2.17 Es sei R ⊆ M × M eine Relation auf einer Menge M.
S
S
Dann gilt R+ = i∞=1 Ri und R∗ = i∞=0 Ri .
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2.3 Funktionen
Leonhard Euler (1755): Eine Funktion benennt eine Abhängigkeit, die
„alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann,
unter sich begreift“.
Definition 2.13 [Funktion]
Eine Relation R ⊆ A × B heißt eindeutig, falls aus ( a, b1 ), ( a, b2 ) ∈ R
stets b1 = b2 folgt.
Eine Relation f ⊆ A × B heißt (partielle) Funktion bzw. Funktion
aus A in B, falls f eindeutige Relation ist.
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Definition 2.14 Es sei f ⊆ A × B eindeutige Relation.
Wir nennen f eine Funktion von A in B, falls der Definitionsbereich
dom( f ) = { a | a ∈ A ∧ ∃b(b ∈ B ∧ f ( a) = b)}
mit A übereinstimmt.
Wir nennen f eine Funktion aus A auf B, falls der Wertebereich
ran( f ) = {b | b ∈ B ∧ ∃ a( a ∈ A ∧ f ( a) = b)}
mit B übereinstimmt.
Wir nennen f eine Funktion von A auf B, falls dom( f ) = A und
ran( f ) = B gelten.
Notation: f ( a) = b
f :⊆ A → B
f : A −→ B
für ( a, b) ∈ f ,
für f ist (partielle) Funktion aus A in B und
für f ist (vollständig definierte) Funktion von A in B
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Definition 2.15 Eine Relation R ⊆ A × B heißt eindeutig
umkehrbar, falls R−1 eine Funktion ist.
Folgerung 2.18 Eine Relation R ⊆ A × B ist genau dann eindeutig
umkehrbar, wenn aus ( a1 , b), ( a2 , b) ∈ R stets a1 = a2 folgt.
Definition 2.16 Wir nennen eine (partielle) Funktion f ⊆ A × B
eineindeutig, falls f eindeutige und eindeutig umkehrbare Relation ist.
Notation:
Bild einer Menge M ⊆ A:
f ( M) = { f ( a) | a ∈ M}
Urbild einer Menge M′ ⊆ B:
f −1 ( M ′ ) = { a | f ( a ) ∈ M ′ }
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Andere Bezeichnungen:
Eine Funktion f :⊆ A −→ B heißt
injektiv, falls |{ x : f ( x ) = y}| ≤ 1 für alle y ∈ B gilt,
d.h. f ist eineindeutig,
surjektiv, falls |{ x : f ( x ) = y}| ≥ 1 für alle y ∈ B gilt,
d.h. f ist Abbildung auf B, und
bijektiv, falls |{ x : f ( x ) = y}| = 1 für alle y ∈ B gilt,
d.h. f ist injektiv und surjektiv.
Bemerkung: Die Bezeichnungen injektiv, surjektiv und bijektiv
werden meist für vollständig definierte Funktionen benutzt.
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Hintereinanderausführung von Funktionen
Folgerung 2.19 Es seien f : ⊆ A → B und g : ⊆ B → C Funktionen.
1. Dann ist die Relation f ◦ g eine Funktion aus A in C, und es gilt
f ◦ g( a) = g( f ( a)) für a ∈ dom( f ) ∩ f −1 (dom( g)).
2. Sind darüberhinaus f und g eineindeutige Funktionen, so ist auch
f ◦ g eineindeutig.
3. Gelten f : A → B und f ( A) ⊆ dom( g), so ist auch f ◦ g : A → C.
Bezeichnung:
Die Menge aller Funktionen von A in B wird mit
B A bezeichnet :
B A := { f | f : A → B}
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n-stellige Funktionen
f : ⊆ An → B
n-faches Kreuzprodukt
äqivalente Darstellungen
An
= |A × ·{z
· · × A} oder
n-mal
An
= { g | g : {1, . . . , n} → A}
Folgerung 2.20 (Spezialfall)
A0 = A ∅ = { ∅ }