Kap. 2: Kurzwiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung und

Kap. 2: Kurzwiederholung
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
• Empirische Fragestellung
• Datenanalyse: Schätzung, Test, Konfidenzintervall
• Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
• Punktschätzung
• Hypothesentests
• Konfidenzintervalle
2.1
Empirische Fragestellung
Bildungsökonomische Frage: Sind kleine Klassen besser?
Konkret: wie ist der Zusammenhang zwischen Klassengrösse und Lernleistung der Schüler?
• Daten bei Stock und Watson: 420 Schuldistrikte in Kalifornien für das Jahr 1998
• Variablen: Anzahl Schüler und Lehrer pro Bezirk, Ergebnisse standardisierter Tests für Lesen
und Mathematik (→ PISA), diverse demographische Variablen
• Definiere neue Variablen:
– score := Durchschnitt aus Rechen- und Leseleistungen
– stratio (“student-teacher ratio”)
Schüler-Lehrer-Quotient
:=
Anzahl Schüler
Anzahl Lehrer
(in Vollzeitäquivalenten)
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-1
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
Ein Blick auf die Daten:
R>
R>
R>
R>
data("CASchools", package = "AER")
CASchools$stratio <- with(CASchools, students/teachers)
CASchools$score <- with(CASchools, (math + read)/2)
attach(CASchools)
R> summary(stratio)
Min. 1st Qu.
14.0
18.6
Median
19.7
Mean 3rd Qu.
19.6
20.9
Max.
25.8
Mean 3rd Qu.
654
667
Max.
707
R> summary(score)
Min. 1st Qu.
606
640
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Median
654
Kap. 2-2
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
Etwas mehr zeigen Boxplots:
stratio
26
score
●
●
●
18
14
16
20
660
640
620
C. Kleiber: Ökonometrie 1
●
22
680
24
700
●
Kap. 2-3
●
●
●
●
●
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
720
Den Zusammenhang visualisiert ein Streudiagramm:
700
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660
680
●
600
620
640
score
●
10
●●
●
15
20
25
●
●
30
stratio
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-4
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
Gesucht: Belege für negativen Zusammenhang zwischen Klassengrösse und Testergebnis
Mögliche Vorgehensweisen:
1. Vergleiche durchschnittliche Testergebnisse für Bezirke mit kleinen und grossen Klassen
→ Punktschätzung
2. Teste auf Gleichheit der erwarteten Testergebnisse für Bezirke mit kleinen und grossen
Klassen
→ Hypothesentest
3. Bestimme Intervall für die Differenz der durchschnittlichen Testergebnisse
→ Intervallschätzung (Konfidenzintervall)
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-5
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
Klassengrösse: definiere Klassen als
• “klein”, falls stratio < 20
• “gross”, falls stratio ≥ 20
Klassengrösse
klein
gross
Ȳ
657.25
650.08
sY
19.39
17.85
n
239
181
Gesucht:
1. Schätzung für ∆ = Differenz zwischen Gruppen
2. Test der Hypothese ∆ = 0
3. Konfidenzintervall für ∆
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-6
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
zu 1.: mit
ng
n
k
1 X
Ȳk :=
Yi
nk i=1
und
1 X
Ȳg :=
Yi
ng i=1
ist naheliegende (Punkt-)Schätzung für Differenz ∆
ˆ = Ȳk − Ȳg = 7.17
∆
Ist dieser Unterschied gross (für praktische Zwecke)?
ˆ = 7.17 entspricht ungefähr Differenz zwischen 75- und 60-Prozent-Quantil:
∆
q0.75 − q0.60 = 666.66 − 659.4 = 7.26
→ Unterschied relativ gross (für praktische Zwecke)
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-7
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
zu 2.: Hypothesentest für H0 : ∆ = 0 vs. H1 : ∆ 6= 0
Zweistichproben-t-Test (Typ: “Welch-Test”) beruht auf
Ȳk − Ȳg
r
t=
s2k
nk
wobei
s2k =
+
s2g
ng
nk
X
1
(Yi − Ȳ )2, analog s2g
nk − 1 i=1
Hier ist
t=q
7.17
375.79
239
+ 318.76
181
7.17
=√
= 3.93
3.33
Da |t| > 1.96: lehne H0 zum Niveau α = 0.05 ab.
Bem.: Da Stichprobe relativ gross (n = 420), verwenden wir einen approximativen t-Test,
d.h. kritische Werte kommen aus der Normalverteilung.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-8
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
Natürlich gibt es in R auch eine eingebaute Funktion für den t-Test:
R> CAsmall <- subset(CASchools, stratio < 20)
R> CAlarge <- subset(CASchools, stratio >= 20)
R> t.test(CAsmall$score, CAlarge$score)
Welch Two Sample t-test
data: CAsmall$score and CAlarge$score
t = 3.927, df = 402.3, p-value = 0.0001013
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
3.58 10.76
sample estimates:
mean of x mean of y
657.2
650.1
Die Funktion geht von ungleichen Varianzen in den Teilstichproben aus (“Welch-Version” des
Tests). Siehe ?t.test, dort steht als Voreinstellung: var.equal = FALSE.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-9
U Basel, HS 2009
2.2
Datenanalyse
zu 3.: Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α = 0.95 für Differenz der Mittelwerte ist
(Ȳk − Ȳg ) ± 1.96 ·
q
c Ȳk − Ȳg ) = 7.17 ± 1.96 · 1.83 = (3.58, 10.76)
Var(
Folgende Aussagen sind äquivalent:
• das 95%-Konfidenzintervall für ∆ enthält nicht 0
• die Hypothese H0 : ∆ = 0 wird zum Niveau α = 0.05 abgelehnt
Bem.: Auch hier ein approximatives Intervall, da Stichprobe relativ gross (n = 420).
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-10
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
• Grundgesamtheit (GG): alle (denkbaren) Schulbezirke
• Zufallsvariable: Testergebnis, Lehrer-Schüler-Quotient vor Durchführung des Zufallsexperiments (d.h. Auswahl des Schulbezirks, Jahres)
• Realisation: Testergebnis, Lehrer-Schüler-Quotient nach Durchführung des Zufallsexperiments
• Verteilung:
– W’keiten für einzelne Ausprägungen von Y in GG (falls Y diskret)
Bsp.: P (Y = 611)
– W’keiten für Mengen (Intervalle) von Ausprägungen von Y in GG (falls Y stetig)
Bsp.: P (Y ≤ 643)
• Momente:
– Erwartungswert E(Y ) =: µY
– Varianz Var(Y ) = E[(Yp− E(Y ))2] =: σY2
– Standardabweichung Var(Y ) =: σY
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-11
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Bedingte Verteilung:
Verteilung von Y gegeben eine andere Zufallsvariable X
Bsp.: Verteilung der Testergebnisse für Bezirke mit kleinen Klassen
Y Testergebnis, X Klassengrösse, also Vtlg. von Y |(stratio < 20)
Wichtige Kenngrössen von bedingten Verteilungen sind
• bedingter Erwartungswert
• bedingte Varianz
E(Y |X = x) =: µY |X
Var(Y |X = x) =: σY2 |X
Beispiele:
• E(Testergebnis |stratio < 20)
• ∆ = E(Testergebnis |stratio < 20) – E(Testergebnis |stratio ≥ 20)
• erwartetes Einkommen von Männern (hier ist X Geschlecht)
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-12
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Bedingte Erwartungen:
Sei Y diskret mit Werten y1, . . . , yk . Dann ist
E(Y |X = x) =
k
X
yiP (Y = yi|X = x)
i=1
Wichtiges Resultat zu bedingten Erwartungen:
Satz über iterierte Erwartungen: (“law of iterated expectations”)
E(Y ) = E(E(Y |X))
= EX (EY |X (Y |X))
Bsp.: Sei Y Einkommen, X Geschlecht, dann
E(Y ) = E(Y |Frau)P (Frau) + E(Y |Mann )P (Mann ) = E(E(Y |X))
Wir werden später oft folgendes Argument verwenden: aus E(Y |X) = 0 folgt E(Y ) = 0.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-13
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
●
●
660
●
●
●
●
●
●
650
mean(score)
670
Empirisches Gegenstück zu bedingten Erwartungen: Gruppenmittelwerte.
Für unsere Daten ist das durchschnittliche Testergebnis als Funktion des stratio:
●
●
●
640
●
●
14
16
18
20
22
24
26
stratio
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-14
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Kovarianz:
Cov(Y, Z) = E[(Y − E(Y ))(Z − E(Z))] =: σY Z
Eigenschaften:
• misst linearen (!!) Zusammenhang zwischen Y und Z
• falls Y und Z stoch. unabh., dann Cov(Y, Z) = 0 (Umkehrung falsch!)
• Kovarianz zwischen Y und Y ist Varianz:
Cov(Y, Y ) = E[(Y − E(Y ))(Y − E(Y ))] = E[(Y − E(Y ))2] = σY2 (= σY Y )
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-15
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Korrelation:
Cor(Y, Z) := p
σY Z
Cov(Y, Z)
p
=
Var(Y ) Var(Z) σY σZ
Eigenschaften:
• −1 ≤ Cor(Y, Z) ≤ 1
• Cor(Y, Z) = ±1 bedeutet perfekter linearer Zusammenhang
• Cor(Y, Z) = 0 bedeutet kein linearer Zusammenhang
• E(Y |Z) = const., dann ist Cor(Y, Z) = 0 (Umkehrung falsch!)
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-16
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
720
Für unsere Daten ist Cor(score, stratio) = −0.23
700
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660
680
●
600
620
640
score
●
10
●●
●
15
20
25
●
●
30
stratio
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-17
U Basel, HS 2009
2.3
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Stichproben und Stichprobenfunktionen:
Formaler Rahmen in Statistik 2:
Einfache Zufallsstichprobe, d.h. jede Stichprobe vom Umfang n wird mit gleicher W’keit
ausgewählt.
Folgerungen:
• Y1, Y2, . . . , Yn sind stochastisch unabhängig
• Y1, Y2, . . . , Yn sind identisch verteilt
Kurzschreibweise: Y1, Y2, . . . , Yn sind u.i.v. (unabhängig und identisch verteilt).
Engl.: i.i.d. (für “independently and identically distributed”)
Eine Zufallsvariable Z, die als Funktion der Stichprobenvariablen Y1, Y2, . . . , Yn definiert ist,
also Z = g(Y1, Y2, . . . , Yn), heisst eine Stichprobenfunktion oder auch eine Statistik.
Typische Stichprobenfunktionen sind Punktschätzer, Intervallschätzer und Teststatistiken.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-18
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
Naheliegend: schätze µY durch Ȳ – Welche Eigenschaften hat der Schätzer, wenn Yi u.i.v.?
X
n
n
1
1
1X
E(Ȳ ) = E
Yi =
E(Yi) = · n · µy = µy
n i=1
n i=1
n
und
X
n
1
Var(Ȳ ) = Var
Yi
n i=1
=
n
n
n
1 X X
1 X
Var(Yi) + 2
Cov(Yi, Yj )
n2 i=1
n i=1
j=1,j6=i
n
C. Kleiber: Ökonometrie 1
=
1 X 2
σY + 0
2
n i=1
=
σY2
n
Kap. 2-19
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
Ergebnis: E(Ȳ ) = µY und Var(Ȳ ) = σY2 /n
Interpretation:
• Ȳ ist ein unverzerrter Schätzer für µY
• Var(Ȳ ) ist umgekehrt proportional zu n – Schätzer wird mit grösserem n genauer!
√
• Standardabweichung der Verteilung von Ȳ ist proportional zu 1/ n
Dies sind nur die Momente der Verteilung von Ȳ – was ist die exakte Verteilung?
Bsp.: Sei Y ∼ Bin (1, p), also E(Y ) = p und Var(Y ) = p(1 − p). Exakte Verteilung von Ȳ
für kleines n sehr kompliziert.
Aber: für “grosses” n wird es einfach!
Wegen Var(Ȳ ) = σ 2/n ist mit wachsendem n Verteilung stärker konzentriert um µY .
Statistik für “grosses” n hat zwei Hauptresultate:
(1) Gesetz der grossen Zahlen und (2) zentraler Grenzwertsatz.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-20
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
Gesetz der grossen Zahlen: (engl.: law of large numbers, LLN)
Falls Y1, Y2, ..., Yn u.i.v. und σY2 < ∞, dann gilt für alle > 0
P (|Ȳ − µY | < ) → 1 für n → ∞
P
Notation: Ȳ −→ µY oder auch p lim(Ȳ ) = µY , für “Ȳ konvergiert in W’keit gegen µY ”
[Beweis: folgt direkt aus der Tschebyschev-Ungleichung!]
Statistische Sprechweise: der Schätzer Ȳ ist konsistent für µY
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-21
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
0.0
0.2
0.4
Y
0.6
0.8
1.0
Illustration: das Stichprobenmittel als Funktion von n.
Simulation von Yi ∼ Bin (1, p), i = 1, ..., 400, mit p = 0.68.
0
100
200
300
400
n
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-22
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
Zentraler Grenzwertsatz: (engl. “central limit theorem”, CLT)
Falls Y1, Y2, . . . , Yn u.i.v. und σY2 < ∞, dann gilt für n → ∞
√ Ȳ − µY d
n
−→ N (0, 1)
σY
d.h. die linke Seite konvergiert “in Verteilung” gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Etwas technischer: hier konvergieren die Verteilungsfunktionen, nämlich
√ Ȳ − µY
P
n
≤y
σY
→ Φ(y) ∀y.
Anwendung: für grosse n gilt näherungsweise
√ Ȳ − µY a
n
∼ N (0, 1)
σY
C. Kleiber: Ökonometrie 1
d.h.
Kap. 2-23
Ȳ ≈ N µY ,
σY2
n
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
10
0
5
Density
15
Illustration: Simulation der Verteilung des Stichprobenmittels Ȳ bei Yi ∼ Bin (1, p), i =
1, ..., 400, mit p = 0.68. (10’000 Simulationen)
0.60
C. Kleiber: Ökonometrie 1
0.65
0.70
Kap. 2-24
0.75
U Basel, HS 2009
2.4
Punktschätzung
Zusammenfassung: Eigenschaften von Ȳ als Schätzer von µY
Falls Y1, Y2, . . . , Yn u.i.v. und σY2 < ∞, dann
• Ȳ unverzerrt für µY mit Varianz σY2 /n
• exakte Verteilung meist kompliziert, aber
P
– es gilt Ȳ −→ µY (Konsistenz)
2
a
σ
– es gilt Ȳ ∼ N µY , nY für n “gross” (approximative Normalverteilung)
Weitere Eigenschaften: Ȳ ist der Kleinstquadrate-Schätzer (KQ-Schätzer) für µY , d.h. er löst
das Optimierungsproblem
n
X
(Yi − m)2
i=1
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-25
→ min!
m
U Basel, HS 2009
2.5
Hypothesentest
Hypothesentest: entscheide, ob Daten gegen Nullhypothese sprechen. Dabei
H0 : E(Y ) = µY,0 vs. H1 : E(Y ) > µY,0
einseitiges Testproblem
H0 : E(Y ) = µY,0 vs. H1 : E(Y ) < µY,0
einseitiges Testproblem
H0 : E(Y ) = µY,0 vs. H1 : E(Y ) 6= µY,0
zweiseitiges Testproblem
Signifikanzniveau: vorgegebene W’keit, Nullhypothese zu Unrecht abzulehnen (bei wiederholter Durchführung des Tests)
Fehler: Beim Testen statistischer Hypothesen kann man zwei Fehler machen
• ablehnen, obwohl man das nicht sollte (H0 wahr) – Fehler 1. Art
• nicht ablehnen, obwohl man das sollte (H0 falsch) – Fehler 2. Art
Vorsicht: die Hypothesen H0 und H1 werden nicht symmetrisch behandelt!
Statistische Tests sind so konstruiert, dass sie den Fehler 1. Art kontrollieren.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-26
U Basel, HS 2009
2.5
Hypothesentest
Vorgehen in Statistik 2 nach Lehrbuch:
• gebe Signifikanzniveau vor
• berechne Teststatistik
• vergleiche Teststatistik mit kritischem Wert zu vorgegebenem Signifikanzniveau
Beim Arbeiten mit statistischer Software geht man anders vor, man benutzt p-Werte.
p-Wert: W’keit, einen mindestens so extremen Wert der Teststatistik zu erhalten wie aus den
Daten berechnet, gegeben die Nullhypothese ist wahr.
Heisst oft auch marginales Signifikanzniveau: kleinstes Niveau, zu dem H0 gerade noch verworfen werden kann.
Für das Beispiel Ȳ :
p-Wert = PH0 (|Ȳ − µY,0| > |ȳ − µY,0|).
Berechnung erfordert Verteilung von Ȳ .
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-27
U Basel, HS 2009
2.5
Hypothesentest
Falls n gross, kann wieder approximative Verteilung (hier Normalverteilung) benutzt werden.
Betrachte dazu
Ȳ − µY,0 ȳ − µY,0 √ > √ p-Wert = PH0 (|Ȳ − µY,0| > |ȳ − µY,0|) = PH0 σY / n
σY / n
Leider ist σ 2 in der Regel unbekannt – schätze σY2 durch
n
X
1
(Yi − Ȳ )2
s2Y =
n − 1 i=1
P
Es gilt: falls Y1, Y2, . . . , Yn u.i.v. und E(Y 4) < ∞, dann s2Y −→ σY2 .
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-28
U Basel, HS 2009
2.5
Hypothesentest
Mit Schätzung von σY2 gilt approximativ
p-Wert
Ȳ − µY,0 ȳ − µY,0 √ > √ = PH0 (|Ȳ − µY,0| > |ȳ − µY,0|) = PH0 σY / n
σY / n
Ȳ − µY,0 ȳ − µY,0 √ > √ = PH0 (|t| > |t∗|)
≈ PH0 sY / n
sY / n
≈ 2(1 − Φ(|t∗|))
Ȳ −µ
die t-Statistik und t∗ deren Stichprobenwert.
Dabei ist t = s /√Y,0
n
Y
Praxis: Lehne H0 zu vorgegebenem Niveau α = 0.05 ab, falls
• |t| > 1.96 bzw.
• p-Wert ≤ 0.05.
Statistische/ökonometrische Softwarepakete verwenden generell p-Werte!
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-29
U Basel, HS 2009
2.5
Hypothesentest
Bemerkungen:
• falls Y1, Y2, . . . , Yn u.i.v. N (µY , σY2 ), dann gilt exakt: t ∼ tn−1 (t-Verteilung mit n − 1
Freiheitsgraden)
• für n > 30 sind tn- und N (0, 1)-Verteilung sehr ähnlich
• häufig Normalverteilungsannahme nicht gerechtfertigt
• t-Verteilung von eher theoretischem Interesse, historisch bedingt
Diese Veranstaltung wird überwiegend Argumente basierend auf approximativen Verteilungen
verwenden.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-30
U Basel, HS 2009
2.6
Intervallschätzung
Ein 95%-Konfidenzintervall für µY überdeckt den wahren Wert des Parameters µY in 95%
der Fälle.
Ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α kann konstruiert werden als Menge aller Werte von
µY , die von Hypothesentest zum Niveau α nicht abgelehnt werden.
Beispiel: Konfidenzintervall für µY , α = 0.05
{µY
Ȳ − µY Ȳ − µY
√ ≤ 1.96} = {µY : −1.96 ≤
√ ≤ 1.96}
: sY / n
sY / n
√
√
= {µY : −1.96 sY / n ≤ Ȳ − µY ≤ 1.96 sY / n}
√
√
= {µY ∈ (Ȳ − 1.96 sY / n, Ȳ + 1.96 sY / n)}
Auch hier wird wieder die Normalverteilungsapproximation benutzt.
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-31
U Basel, HS 2009
2.6
Intervallschätzung
Zwischenfazit: Unter den (plausiblen) Annahmen
1. einfache Zufallsstichprobe, d.h. Y1, Y2, . . . , Yn u.i.v.
2. 0 < E(Y 4) < ∞
wurden Punktschätzung, Hypothesentests und Intervallschätzung entwickelt.
Ursprüngliche Frage:
wie ist der Zusammenhang zwischen Klassengrösse und Lernleistung der Schüler?
Erster Schritt unter Verwendung der Methoden aus Statistik 2:
Vergleich kleine und grosse Klassen.
Eigentliches Ziel:
wie verändert sich das Testergebnis bei Veränderung der Klassengrösse?
C. Kleiber: Ökonometrie 1
Kap. 2-32
U Basel, HS 2009