Aufgabe 2: Lineare Modellierung

Aufgabe 2: Lineare Modellierung
In der zweiten Aufgabe sollen die Grundlagen der linearen Modellierung aufgezeigt werden.
Dazu werden verschiedene lineare Modelle implementiert und die Zeitreihen des
Datensatzes aus Aufgabe 1 anhand dieser Modelle analysiert. Wie in Aufgabe 1 sind die
resultierenden Ergebnisse zu interpretieren.
Lineare Regression
Bei einer linearen Regression wird eine zu erklärende Variable
Linearkombination einer oder mehreren Erklärungsvariablen
(Regressand) als
(Regressoren) modelliert.
Diese lineare Beziehung kann wie folgt dargestellt werden:
1
(1)
: Wert der abhängigen Variable zum Zeitpunkt
: Wert der -ten Regressors zum Zeitpunkt
: Regressionskonstante
: Regressionskoeffizient des -ten Regressors
: Regressionsresiduum zum Zeitpunkt
In dieser Aufgabe soll die Zeitreihe SP500 die abhängige Variable und die übrigen Reihen die
unabhängigen Variablen darstellen.
1. Unterteilen Sie die transformierten Daten der Aufgabe 1 in eine Schätzperiode (insample) und eine Prognoseperiode (out-of-sample). Nehmen Sie dazu die letzten 20
Jahre des gesamten Datensatzes als Prognosehorizont.
2. Die Bestimmung der Regressionskoeffizienten kann mittels der Methoden der
kleinsten Quadraten (OLS) erfolgen. Dabei werden die Regressionsparameter so
geschätzt, dass die Summe der quadrierten Residuen minimiert wird. Schätzen Sie für
den SP 500 die OLS – Koeffizienten.
1
Siehe Th. Poddig, H. Dichtl, und K. Petersmeier: Statistik, Ökonometrie, Optimierung, Uhlenbruch Verlag, 4
Auflage, 2008, S. 213 ff.
3. Zur Analyse des geschätzten Regressionsmodells können Hypothesentests2
herangezogen werden. Dabei werden die Regressionskoeffizienten (t-Test) oder das
gesamte Modell (F-Test) auf Signifikanz getestet. Ermitteln Sie für das geschätzte
Modell die Teststatistiken. Welche Koeffizienten sind zum 5% - Konfidenzniveau
signifikant? Ist das gesamte Modell signifikant?
ARMA Modelle
Autoregressive
Moving
Average
(ARMA)
Prozesse
sind
Grundmodelle
der
Zeitreihenanalyse. Die ARMA Prozesse können in zwei Modellklassen unterteilt werden:
1. Moving Average Prozesse der Ordnung Q:
mit
( )
Hierbei wird angenommen, dass der Wert der Zeitreihe y zum Zeitpunkt t sich aus den
Residuen der vergangenen q Perioden gewichtet mit den Koeffizienten Theta ergibt.
2. Autoregressive Prozesse der Ordnung P: AR(p) mit
(3)
Hierbei wird angenommen, dass der Wert der Zeitreihe y zum Zeitpunkt t sich aus der
Wert der Zeitreihe selbst für die vergangenen p Perioden ergibt.
3. ARMA (p,q) Prozesse stellen eine Mischung der beiden Prozessen dar:
(4)
Schätzen Sie für den SP500, die langfristige und die kurzfristige Zinssätze die
Koeffizienten von AR(1), MA(1) und ARMA(1,1) Modellen.
2
Siehe Th. Poddig, H. Dichtl, und K. Petersmeier: Statistik, Ökonometrie, Optimierung, Uhlenbruch Verlag, 4.
Auflage, 2008, S. 287 ff.
Prognosen
Mithilfe der geschätzten Modelle sollen die Zeitreihen (SP500, langfristige und kurzfristige
Zinssätze) für die Out-of-Sample Periode prognostiziert werden.
Zwecks Prognose des SP500 Indizes kann die Gleichung (1) der linearen Regression
folgendermaßen modifiziert werden:
(5)
1. Berechnen Sie für die erstellten Prognosen die Kennzahlen aus Aufgabe 1. Um die
Güte der Prognose zu analysieren, werden verschiedenen Kennzahlen benötigt. Wie
beurteilen Sie die Modelle für die Prognose?
2. Analysieren Sie die Residuen der jeweiligen Modelle. Dazu testen Sie, ob die
Residuen normalverteilt, unkorreliert oder heteroskedastisch sind. Interpretieren Sie
Ihre Ergebnisse.
3. Plotten Sie die prognostizierten Reihen gegen die tatsächlich realisierten Zeitreihen.
Hilfreiche Funktionen
Folgende Matlab – Funktionen können zur Bearbeitung der Aufgaben hilfreich sein:
Plotten: plot, title, axis, figure, num2str, datetick
Math: diff, log, mean, std, var
Statistiken: adftest, kstest, jbtest, archtest, lbqtest
Modell: garchset, garchfit, regress, regstats, lscov, garchpred
Matlab - Toolboxen im Internet:
MFE Toolbox von Kevin Sheppard: http://www.kevinsheppard.com/wiki/MFE_Toolbox
Econometric Toolbox von James P. LeSage: http://www.spatial-econometrics.com/