Mathematik für Chemiestudierende II 7. Übungsblatt

Dr. G. Skoruppa
SS 2017
Mathematik für Chemiestudierende II
7. Übungsblatt
Abgabe: nach dem bekannten Verfahren bis Mittwoch, 14.06.17.
Aufgabe 1
In einem Laborversuch werden bei 5 Messungen (Nr. 1 bis Nr. 5) unter Variation der
Temperatur folgende Werte für den Druck eines idealen Gases ermittelt:
Größe
Temperatur xi
Druck yi
Einheit
K
N /m2
Nr. 1
300
235
Nr. 2
350
290
Nr. 3
400
335
Nr. 4
450
360
Nr. 5
500
415
Bestimme mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Ausgleichsgerade p(T ) für
den Druck in Abhängigkeit von der Temperatur und berechne damit den Druck für die
Temperatur 200K.
Aufgabe 2
T (x, y) = yx2 + (x + 1) y 2 .
beschreibe eine Temperaturverteilung, vgl. folgende Temperaturkarte:
a) Antworte alleine durch Blick auf die Temperaturkarte: Wo wirken sich gleich große
Eingabefehler △x = △y = d > 0 bei der x- und y-Koordinate wohl stärker aus? In
(0, 1) oder in (1, 2)?
b) Die Fehlerformel in erster Näherung ergibt sich aus 11.19. Danach führt eine fehlerhafte Einsetzung p statt des richtigen Arguments a zu einem Fehler
△f
≈ (df )a (△⃗x).
wobei also △f := f (p) − f (a) und △⃗x := (△x1 , . . . , △xm ) = p − a. Wie groß ist der
Fehler von T an den beiden in a) genannten Stellen für Eingabefehler △x = △y =
0.1, berechnet nach der Fehlerformel in erster Näherung ?
c) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an T in (0, 1)?
d) Man möchte die Orte mit extremalen Temperaturbedingungen herausfinden. Welche zwei Orte kommen als Kandidaten in Frage?
Aufgabe 3*
Die Entropie S eines idealen Gases ist bei fester Molanzahl als Funktion der Temperatur T und des Volumens V beschreibbar:
S(T, V ) = a ln T + b ln V + c.
Hierbei sind a, b, c gewisse, von der Molanzahl, Molwärme, und der Gaskonstanten abhängende Konstanten.
a) Berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von S.
b) Bestimme Gradient und Differential von S(T, V ) in (T, V ).
c) Berechne
∂S
(1, 1) für v = (1, −1)⊤ .
∂v
d) Für ein ideales Gas gilt
V =
bT
p .
Hierbei bezeichnet p den Druck. Drücke nun
S als Funktion S̃(T, p) in T und p aus und berechne die partielle Ableitung
∂S
vergleiche mit ∂T
.
∂ S̃
∂T
und
e) S̃(T, p) entsteht als eine Verkettung von V (T, p) und S(T, V ). Schreibe (ohne die
∂ S̃
einzelnen Ableitungen sofort auszurechnen) ∂T
mittels der Kettenregel auf und
berechne dann
∂ S̃
∂T
erneut.
Information: Oft werden physikalische Größen, wie hier die Entropie, mit immer demselben Symbol (hier z.B. stets S, und nicht, wie in d), auch S̃) bezeichnet. Dann ist es
wichtig darauf hinzuweisen, in Abhängigkeit von welchen Variablen sie betrachtet werden. Bei einer partiellen Ableitung werden alle bis auf eine dieser Variablen konstant
gehalten. In der Literatur über Thermodynamik wird dies oft so ausgedrückt, dass man
die Variablen als Indizes anhängt, die konstant gehalten werden. Also
( ∂S )
∂S
• Partielle Ableitung ∂T
in a):
,
∂T V
( ∂S )
∂ S̃
in d):
.
• Partielle Ableitung ∂T
∂T p
Wenn (wie in der Thermodynamik üblich) beschrieben werden soll, dass S mit cv als
Molwärme und R als Gaskonstante in der Weise
S(T, V, n) = ncv ln T + nR ln V − nR ln n + a
zusätzlich von der Molanzahl n abhängt und per V = nR Tp auf eine Funktion S(T, p, n)
( ∂S )
( ∂S )
umgeschrieben werden kann, dann schreibt man gar ∂T
bzw.
∂T p,n .
V,n
Aufgabe 4*
Ein Gebirgspfad laufe immer auf gleicher Höhe (also auf einer Höhenlinie).
Das Gebirge kann dabei als Graph einer stetig partiell diffbaren Funktion f : R2 → R,
die Definitionsmenge R2 als die zugrunde liegende Landkarte“ und der Pfad auf der
”
”
Landkarte“ als diffbarer Weg γ : R → R2 beschrieben werden.
a) Wie sieht die Richtung von (gradf )(γ(t)) an einem Wegpunkt γ(t) in Bezug auf die
dortige Wegrichtung (=Richtung von γ ′ (t)) aus? Wie steht also der Gradient auf
Höhenlinien? (Tipp: Leite f ◦ γ ab!)
b) Wende die Erkenntnisse aus a) auf die Temperaturverteilung in Aufgabe 2) an.
Welche Richtung hat der Gradient in (1,2) ungefähr?
c) Berechne den Gradienten in (1,2) exakt und überprüfe die Schätzung aus b).