mittlere normierte Leistung P
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1. Signalbeschreibung im Zeitbereich
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-1
Inhaltsverzeichnis
1.1 Signalklassen
* Kapitel 3.4 (Energie und Leistung)
1.2 Symmetrie-Eigenschaften von Signalen
1.3 Verschiebung und Dehnung eines Zeitsignals * Kapitel 3.3.1
1.4 Elementarsignale
* Kapitel 3.2
1.5 Harmonische Funktionen * Kapitel 3.2
1.6 Mittelwerte
Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen
* I. Rennert, B. Bundschuh, „Signale und Systeme – Einführung in die Systemtheorie“, Carl Hanser Verlag, 2013.
School of
Engineering
1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-2
Periodische Signale
• wiederholen sich abschnittsweise, sind wichtige Hilfssignale
• für alle t gilt: x(t+T0) = x(t), wobei kleinstes T0 die Periode ist
• f0 = 1/T0 ist die Wiederhol- bzw. Grund-Frequenz
x(t)
x(t+nT0) = x(t)
für alle t und Integer n
-2T0
-T0
2T0
T0
t
Nicht-periodische Signale
• sind nicht periodisch nach obiger Definition, z.B.
A
x(t)
x(t) =
A/e
τ
t
A·e-t/τ für t ≥ 0
0
sonst
School of
Engineering
1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-3
Normierte Signalleistung und Signalenergie
• Momentanleistung
p(t) = u(t)·i(t) = R·i2(t) = u2(t) / R
• Normierung auf R = 1Ω und auf 1V (bei einem Spannungssignal)
=> x2(t) ist dimensionslos
• (mittlere) normierte Signalleistung
Bezeichnung manchmal auch Pn
1 T
2
P lim
x(t) dt
T 2T T
• (mittlere) normierte Signalenergie
Bezeichnung manchmal auch En
(Energie = Leistung · Zeit)
2
E x(t) dt
1.1 Signalklassen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-4
Leistungssignale
• haben endliche normierte Signalleistung, d.h. 0 < P < ∞
bzw. unendliche normierte Signalenergie E = ∞
• zeitlich unbegrenzte Signale ohne abklingende Amplitude
• periodischen Signale sind Leistungssignale
• (mittlere normierte) Leistung eines periodischen Signals
P
1
2
x (t) dt
T0 T
0
Integral über 1 Periode T0
• Effektivwert bzw. RMS-Wert eines periodischen Signals
(ist vom Scheitelwert Xp und von der Signalform (!) abhängig)
X eff X rms
1
2
x
(t) dt P
T0 T0
Root-Mean-Square
School of
Engineering
1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-5
Beispiel: s(t) = A·sin(2πf0t-φ) ist ein Leistungssignal
Flächen F gleich gross
2
F
T0
F
T0
mittlere Leistung
1
2
P=
s (t) dt = A2/2
T0 T
0
E=∞
Zeige dass das Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t) die Leistung P = A2/2 hat
und damit den Effektivwert Xrms = A/√2
Benutze trigonometrische Umformung: sin2(α) = 0.5 – 0.5·cos(2α)
P=…
School of
Engineering
1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-6
Energiesignale
• haben endliche normierte Signalenergie, d.h. 0 < E < ∞
bzw. verschwindende normierte Signalleistung P = 0
1
• zeitlich begrenzte Signale (z.B. Einzelpuls)
• zeitlich unbegrenztes Signal mit abklingender Amplitude
d.h. transiente Signale z.B. „Ausschwingvorgänge“
x(t)
τ
Beispiel eines Energiesignals: zeige dass x(t) Energie E = τ/2 hat
e-t/ τ
0
x(t) =
für t ≥ 0
für t < 0
E=…
1
1/e = 0.37
τ
t
je grösser τ, desto langsamer ist der exponentielle Abfall
der Amplitude bzw. desto grösser ist die Signal-Energie E
t
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Engineering
1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-7
kausale Signale
• nehmen nur für t ≥ 0 von Null verschiedene Werte an
• spielen nur eine Rolle im Zusammenhang mit kausalen Systemen
Kausalität
Ein kausales System reagiert erst dann mit einem
Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anliegt.
Die Stossantwort von kausalen Systemen verschwindet für t<0.
Stossanregung
kausale Stossantwort
kausales
System
t
Technisch realisierbare Systeme sind kausal !
t
1.1 Signalklassen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-8
Komplexe Signale
• reelle Signale haben reellwertige Amplituden
• komplexe Signale haben komplexwertige Amplituden
d.h. x(t) = xreal(t) + j·ximag(t)
• praktische Signale sind reell, aber
manchmal hat die komplexe Darstellung Vorteile
• Ix(t)I ist die Umhüllende bzw. Enveloppe
• Beispiel: x(t) = e-t · ej2πfot wobei t ≥ 0 und f0 = 1 Hz
Ix(t)I Umhüllende
reelles Signal Re{x(t)}
School of
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1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-9
Deterministische Signale
• können exakt vorhergesagt und beschrieben werden
/V
• tragen keine Information, sind aber wichtige Hilfssignale
sin(2πf0t)
Stochastische Signale bzw. Zufallssignale
• können nur mit stochastischen Kenngrössen wie z.B. Mittelwert
/V
und Varianz der Amplitude, Korrelation usw. beschrieben werden
• tragen Information oder stellen Rauschen dar
Musterverlauf
(immer wieder
anderer Verlauf)
School of
Engineering
1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-10
x(t)
analoge Signale
(zeit- und Amplitudenwertkontinuierlich)
t
Abtastung
x(nTs)
Ts = 1/fs
fs : Abtastrate [Samples/s], Abtastfrequenz [Hz]
Ts : Abtastperiode oder -intervall
Quantisierung
x[n]
t
Amplitude quantisiert
digitale Signale
(zeit- und wertdiskret,
Zahlenreihe)
ADC
t
-Ts
zeitdiskrete
(wertkontinuierliche) Signale
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1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-11
Ein Bild ist ein 2-dimensionales, digitales Signal
2-dimensionale Funktion f(x,y) der Ortskoordinaten (x,y)
z.B. quantisierte Intensität (Helligkeit) in Funktion des Orts
0
1
2
...
N-1
y
0
1
2
:
M-1
x
1 Pixel (Bildelement)
Matlab-Beispiel
% Bild 16x16 Pixel, pixval=0: schwarz, pixval=64 weiss
X=[0*ones(8,8) 16*ones(8,8); 32*ones(8,8) 64*ones(8,8)];
image(X)
colormap(gray);
8x8 Pixel
School of
Engineering
1.2 Symmetrieeigenschaften
SiSy, Signal, 1-12
Gerade bzw. symmetrische Funktion
x(t)
• wenn für alle t gilt: x(-t) = x(t)
• Spiegelsymmetrie zur vertikalen Achse
t
0
• cos(.) ist eine gerade Funktion
Ungerade bzw. anti-symmetrische Funktion
x(t)
• wenn für alle t gilt: x(-t) = -x(t)
• Punktsymmetrie zum Ursprung
t
0
• sin(.) ist eine ungerade Funktion
Achtung: die meisten Signale sind weder gerade noch ungerade
• sind aber theoretisch in geraden und ungeraden Anteil zerlegbar
d.h. x(t) = xg(t) + xu(t)
1.3 Verschiebung und Dehnung
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-13
Originalsignal x(t)
x(t+1s) Zeitverschiebung um 1s nach links
Quelle: Dr. S. Wyrsch
x(t-2s) Zeitverschiebung um 2s nach rechts
2·x(t) Skalierung (Verstärkung) mit 2
School of
Engineering
1.3 Verschiebung und Dehnung
SiSy, Signal, 1-14
Originalsignal x(t)
x(-t) (Zeit-) Spiegelung
x(2t) (Zeit-) Stauchung mit Faktor 2
x(-(t-2s)) (Zeit-) Spiegelung und nachher
(Zeit-) Verschiebung um 2s nach rechts
x(t/3) (Zeit-) Dehnung mit Faktor 3
School of
Engineering
1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-15
Für die Systembeschreibung wird die Reaktion auf Testsignale ermittelt.
Sprungfunktion, Schritt- oder Heaviside-Funktion (engl. unit step)
u(t)
u(t) =
1
für t > 0
1/2
für t = 0
0
für t < 0
1
t
• u(t) wird oft als „Einschaltfunktion“ verwendet
t=t0
1V
System
R
x(t)
x(t) = u(t-t0)
C
y(t)
1
y(t)
t0
• Matlab: heaviside()
t
School of
Engineering
1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-16
Rechteck-Funktion
rect(t)
1
1 für ItI < 1/2
rect(t) =
0 sonst
t
1/2
- 1/2
• Matlab rectpuls()
Beispiel Rechteck-Puls der Breite τ
rτ(t) = rect(t/τ)
1
rτ(t) =
1 für ItI < τ/2
0 sonst
- τ/2
t
τ/2
• Zusammenhang mit Sprungfunktion
u(t+τ/2)
1
rτ(t) = u(t+τ/2) - u(t-τ/2)
τ/2
t
- τ/2
-u(t-τ/2)
School of
Engineering
1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-17
Dreieck-Puls
1 t
(t)
0
1
t 1
t 1
Λ(t)
-1
1
t
• Matlab tripuls()
Gauss-Impuls
1
Γ(t) e
π t 2
Γ(t)
t
• Matlab gauspuls()
Fläche = 1
School of
Engineering
1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-18
Dirac-Stoss, Dirac-Impuls, Dirac-Deltafunktion δ(t)
• ist keine Funktion, sondern eine Distribution
• Näherung als sehr kurzer Rechteck-Impuls mit sehr hoher Amplitude
• Darstellung als Pfeil, allenfalls mit „Gewicht“
2·r1/2(t)
δ(t) = lim n·r1/n(t)
2
n→∞
Fläche = 1
r1(t)
1
1
-1/2
1/2
t
t
δ(t) = 0 für t ≠ 0
der Wert für t=0 ist nicht definiert, aber
δ(t) dt 1
School of
Engineering
1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-19
Der Dirac-Impuls ist die zentrale Testfunktion für Systeme!
Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig
d.h. wenn h(t) bekannt ist, kann y(t) für beliebige x(t) bestimmt werden, siehe später
x(t) = δ(t)
y(t) = h(t)
x(t)
t
LTISystem
Stossantwort
y(t)
t
LTI: linear, time-invariant
δ(t-t0)
Eigenschaften des Dirac-Impulses
• Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft
x(t)
x(t) δ(t t
0
) dt x(t 0 )
• Abtastung x(t)·δ(t-t0) = x(t0)·δ(t-t0)
• Ableitung der Einheitsschrittfunktion δ(t) = du(t) / dt
t
School of
Engineering
1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-20
keine Elementarsignale, aber wichtige Hilfsfunktionen
Signum-Funktion
sgn(t)
sgn(t) =
1
für t > 0
0
für t = 0
-1 für t < 0
1
t
-1
• Matlab: sign()
Betragsfunktion
Ix(t)I = x(t) / sgn(x(t))
• Matlab: abs()
Beispiel: Ix(t)I = Icos(2π·f0·t)I wobei f0 = 1 kHz
School of
Engineering
1.5 Harmonische Funktionen
SiSy, Signal, 1-21
• spielen eine zentrale Rolle in der Fourier-Spektralanalyse
• sind Eigen- oder Resonanzfrequenz von linearen Systemen
Lösungen der Schwingungsgleichung
Beispiel Feder-Pendel ungedämpft
(http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator)
Kraft F = Masse m mal Beschleunigung d2x(t)/dt2
!
F = m · d2x(t)/dt2 = - k · x(t)
Federkonstante k
m · d2x(t)/dt2 + k · x(t) = 0
Schwingungsgleichung:
d2x(t)/dt2 + (ω0)2 · x(t) = 0 wobei (ω0)2 = k/m
Eine mögliche Lösung: x(t) = A·sin(ω0·t+φ0)
Ruhelage
x(t) und 2. Ableitung sind bis auf einen Faktor identisch
m
Demo: http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung
School of
Engineering
1.5 Harmonische Funktionen
SiSy, Signal, 1-22
Sinus- und Kosinus-Funktionen
x(t) = A·sin(ω0t+φ0)
A
A·sin(φ0)
T0
Momentanwert
Δt0
^
x oder
A Amplitude
auch Scheitelwert
Peak-Wert Xp genannt
ω0 Kreisfrequenz
in [rad/s], ω0 = 2π·f0 wobei
f0 die Frequenz in Hz = 1/s bezeichnet und
T0 = 1/f0 = 2π / ω0 die Periodendauer ist
φ0 (Null-) Phase
Zeit-Verschiebung / -Offset Δt0 = -φ0 / ω0
1.5 Harmonische Funktionen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-23
Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten: x(t) = ejωot
• auch eine Lösung der (ungedämpften) Schwingungsgleichung
• x(t) = ejω0t = cos(ω0·t) + j·sin(ω0·t)
• Umhüllende (Enveloppe)
Ix(t)I = 1
1.5 Harmonische Funktionen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-24
Exponentialfunktion mit komplexen Exponenten x(t) = A·est
• Lösung der (gedämpften) Schwingungsgleichung
d2x(t)/dt2 + 2·ξ·ω0 · dx(t)/dt + (ω0)2 · x(t) = 0
wobei ξ: Dämpfungskonstante, ω0: Schwingkreisfrequenz
• Amplitude A = IAI·ejφ0, “Frequenz” s = σ + jω0
• Realteil von s bestimmt die Form der Signal-Enveloppe
Ix(t)I = IAI·eσt
σ<0 gedämpfte Schwingung
σ>0 angefachte Schwingung
σ=0 harmonische Schwingung
• Imaginärteil von s, d.h. ω0 = 2π·f0, bestimmt die Frequenz
x(t) = IAI·eσt · ejω0t+φ0 = IAI·eσt · [cos(ω0t+φ0) + j·sin(ω0t+φ0)]
1.5 Harmonische Funktionen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-25
Beispiel komplexe Schwingung (seltene Darstellung)
Quelle: Dr. S. Wyrsch
1.5 Harmonische Funktionen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-26
Beispiel komplexe Schwingung (häufige Darstellung)
Quelle: Dr. S. Wyrsch
School of
Engineering
1.5 Harmonische Funktionen
SiSy, Signal, 1-27
sinc-Funktion
• ist eigentlich keine harmonische Funktion
• wichtige Funktion in der Fourier-Analyse
sin(π f 0 t) / (π f 0 t) t 0
sinc f 0 (t)
1
t0
• Matlab: sinc()
1/(π·f0·t)
Nullstellen bei Vielfachen von T0
T0 = 1/f0
School of
Engineering
1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-28
Linearer Mittelwert (Gleichanteil) bzw. "DC-Wert"
• eines Signals
1 T/2
X 0 lim
x(t) dt
T T T/2
• eines periodischen Signals
X0
1
x(t) dt
T0 T
0
Integral über 1 Periode T0
Quadratischer Mittelwert (mittlere normierte Leistung Pn)
• eines Leistungs-Signals
• eines periodischen Signals
1 T/2 2
X lim
x (t) dt
T T T/2
2
1
2
X
x (t) dt
T0 T
0
2
=X
School of
Engineering
1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-29
Beispiele
• DC-Signal
x(t) = A
DC-Wert
Leistung
X0 = A
X2 = A2
X0 = 0
X2 = A2/2
X0 = (2/π)·A
X2 = A2/2
• Sinus-Signal
x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ)
• Sinus-Betrag-Signal
x(t) = A·Isin(2π·f0·t)I
X0 = 0.6366·A
School of
Engineering
1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-30
Effektivwert
• engl. Begriff "Root-Mean-Square-Value" beschreibt die Berechnung
T/2
• periodisches Signal
X eff
1
2
2
x
(t)
d
t
X
= √P = XRMS
T T/2
Beispiele
• Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) Xeff = Xrms = A/√2
• Periodisches Rechtecksignal
Xeff = Xrms = A
School of
Engineering
1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-31
Varianz
• mittlere quadratische Abweichung vom Mittel- bzw. DC-Wert
• periodisches Signal
1
Var(x(t))
T0
2
x(t)
X
0 dt
T0
Standardabweichung
• σ = √Var(x)
Nützliche Identität
Var(x(t)) σ 2 X 2 X0
Matlab mean(), var(), std()
2
School of
Engineering
Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen
SiSy, Signal, 1-32
Kartesische Darstellung
z = a + j∙b
z* = a - j∙b
konjugiert komplexe Zahl
Real- und Imaginär-Teil von z
a = Re{z} = (z + z*) / 2
b = Im{z} = (z - z*) / 2j
Polardarstellung
z = r·ejφ
z = r·ejφ = a+j·b
j·r
r
Betrag r = IzI = √
a2+b2
Phase φ = arctan (b/a)
j·b
φ
r
a
a = r·cos(φ)
b = r·sin(φ)
School of
Engineering
Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen
SiSy, Signal, 1-33
Polardarstellung, wenn r = 1
z = ejφ = a+j·b
j
z = ejφ
z = a + j·b wobei
a = cos(φ) und b = sin(φ)
j·b
φ
1
a
Euler-Formeln
ejφ = cos(φ) + j·sin(φ)
cos(φ) = (ejφ + e-jφ) / 2
Beweis: Re{z} = (z + z*) / 2 wobei z = ejφ
sin(φ) = (ejφ - e-jφ) / 2j
Beweis: Im{z} = (z - z*) / 2j wobei z = ejφ
Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen
School of
Engineering
SiSy, Signal, 1-34
Produkt von komplexen Zahlen in Polarform
z·z* = r·ejφ · r·e-jφ = r2 = IzI2
z1·z2 = r1·ejφ1 · r2·ejφ2 = r·ejφ
r = r1·r2
φ = φ1 + φ2
z1/z2 = r1·ejφ1 / (r2·ejφ2) = r·ejφ
r = r1 / r2
φ = φ1 - φ2
Beispiel
z1 = 1+j = √2·ejπ/4
z = z1·z2 = √2·ejπ/4 · √2·e-jπ/4 = 2
z2 = 1-j = √2·e-jπ/4
z = z1·z2 = (1+j)·(1-j) = 12-j2 = 2
z1
z = z1/z2 = √2·ejπ/4 / (√2·e-jπ/4) = ejπ/2
z = z1/z2 = (1+j)2 / [(1-j)(1+j)]
z2
= (1+j)2/2 = 2j/2 = j