Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen
Definition
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Nenner x befindet.
f(x) =
𝑎
h(x)
1
1
Beispiel 1: f(x) = x
Beispiel 2: f(x) = − x²
Definitionsbereich und Definitionslücken
Bei einer gebrochen-rationalen Funktion gehören nur die reellen Zahlen zum
Definitionsbereich, für die die Nennerfunktion h(x) verschieden von Null ist. Daher ist nicht
jede gebrochen-rationale Funktion für alle rationalen Zahlen definiert. Die Stellen x0 mit
h(x0)=0, für die die Funktion f(x) nicht definiert ist, heißen Definitionslücken.
1
Beispiel 1: f(x) = x
Definitionslücke bei x=0
1
Beispiel 2: f(x) = x−3
Definitionslücke bei x=3
Einfluss von Parametern auf den Graphen der Funktion
a
a
a
Für die drei Funktionen k, g und h mit k(x) = x , g(x) = x+c und h(x) = x + d gilt:
g(x) = f(x + c) und h(x) = f(x) + d
a
Wenn der Graphen zur Funktionsgleichung y = x bekannt ist, erhält man durch Verschieben
a
im Koordinatensystem auch den Graphen zur Gleichung y = x+c + d. Die Form des Graphen
ändert sich durch die Parameter c und d nicht.
Seite 1 von 8
Gebrochen-rationale Funktionen
Einfluss des Parameters c
Wenn eine Zahl c zu x addiert wird, dann verschiebt sich der Graph der Funktion parallel zur
x -Achse, für c < 0 nach rechts, für c > 0 nach links.
2
2
Beispiel: k(x) = x, g(x) = x+4
Hier: 4>0  Verschiebung nach links
Einfluss des Parameters d
Wenn eine Zahl d zum Funktionswert k(x) addiert wird, dann verschiebt sich der Graph der
Funktion parallel zur y -Achse, für d < 0 nach unten, für d > 0 nach oben.
2
2
Beispiel: k(x) = x, h(x) = x + 4
Hier: 4>0  Verschiebung nach oben
Seite 2 von 8
Gebrochen-rationale Funktionen
Die Funktionsgleichung kann auch beide Parameter gleichzeitig enthalten.
a
Der Graph zu y = x wird dann entlang der x- und y-Achsen verschoben.
Einfluss des Parameters a
Es gibt 4 Fälle:
1. Fall a>1: Streckung des Graphen
2. Fall 0<a<1: Stauchung des Graphen
3. Fall -1<a<1: Stauchung des Graphen und Spiegelung an der x-Achse
4. Fall a<-1: Streckung des Graphen und Spiegelung an der x-Achse
2
Beispiele: Fall 1: u(x) = x ; Fall 2: v(x) =
Beispiel negatives Vorzeichen: g(x) =
−1
0,5
x
;
x
Waagerechte und senkrechte Asymptoten
Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion f(x) beliebig nähert ohne sie
zu berühren.
Es gibt zwei Arten von Asymptoten:
 Senkrechte Asymptoten
 Waagrechte Asymptoten
Senkrechte Asymptote
Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
Die senkrechte Gerade, die durch die Definitionslücke x=b verläuft. Ist die senkrechte
Asymptote. b nennt man dann auch Polstelle der Funktion.
Seite 3 von 8
Gebrochen-rationale Funktionen
1
Beispiel: f(x) = x+2, ⅅ=ℝ\{-2}
b=-2; x=-2
Waagrechte Asymptote - Zählergrad < Nennergrad
In diesem Fall ist die x-Achse die waagrechte Asymptote [Beispiel 1]. Bei der Addition einer
Konstante c, ändert sich die Asymptote zu y=c [Beispiel 2].
1
Beispiele 1: f(x) = x+2
y=0
Seite 4 von 8
1
Beispiel 2: f(x) = x+2 + 3
y=3
Gebrochen-rationale Funktionen
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
𝑎
Der Funktionsterm f(x) = 𝑥+𝑏 + 𝑐 ist gegeben.
a) Erläutere wie man den Graphen der Funktion ausgehend von
1.1 für a=-1, b=0 und c=0
1.2 für a=1, b=1 und c=0
1.3 für a=1, b=-1 und c=0
1.4 für a=1, b=0 und c=1
1.5 für a=1, b=0 und c=-1
1
𝑥
zeichnet:
b) Nenne die Asymptoten für die Teilaufgaben 1.1-1.5.
Aufgabe 2
Welche der folgenden Funktionsterme gehört jeweils zu den drei Graphen in nebenstehendem
Bild? Begründe deine Auswahl.
1
1
1
(1) x + 2
(2) x² + 2
(3) x³ + 2
(4) 𝑥+4 + 4
(5) 𝑥+4 − 4
(6) 𝑥−4 + 4
(7) 𝑥+2 − 2
(8) 𝑥+2 − 2
(9) 𝑥−2 + 2
1
−1
Seite 5 von 8
−1
1
1
1
Gebrochen-rationale Funktionen
Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Graphen einer
1
gebrochen-rationalen Funktion x  𝑥 mit der
Definitionsmenge
ℝ\{0}
der
durch
Verschiebungen hervorgeht.
Gib den passenden Funktionsterm für f(x) an.
Seite 6 von 8
Gebrochen-rationale Funktionen
Lösungen zu den Übungsaufgaben
Lösung Aufgabe 1
a)
1.1 für a=-1, b=0 und c=0
 Spiegelung an der x-Achse, da Minus im Zähler
1.2 für a=1, b=1 und c=0
 Verschiebung um 1 nach links
1.3 für a=1, b=-1 und c=0
 Verschiebung um 1 nach rechts
1.4 für a=1, b=0 und c=1
 Verschiebung um 1 nach oben
1.5 für a=1, b=0 und c=-1
 Verschiebung um 1 nach unten
b)
1.1 für a=-1, b=0 und c=0
 Waagrechte Asymptote: y=0
 Senkrechte Asymptote: x=0
1.2 für a=1, b=1 und c=0
 Waagrechte Asymptote: y=0
 Senkrechte Asymptote: x=-1
1.3 für a=1, b=-1 und c=0
 Waagrechte Asymptote: y=0
 Senkrechte Asymptote: x=1
1.4 für a=1, b=0 und c=1
 Waagrechte Asymptote: y=1
 Senkrechte Asymptote: x=0
1.5 für a=1, b=0 und c=-1
 Waagrechte Asymptote: y=-1
 Senkrechte Asymptote: x=0
Seite 7 von 8
Gebrochen-rationale Funktionen
Lösung Aufgabe 2
1
f(x)=𝒙−4 + 4 d.h. Option (6)

waagrecht Asymptote bei y=4  Verschiebung von
1
d.h. zum Funktionswert

1
𝑥
um 4 parallel zur x-Achse nach oben
wird 4 addiert
𝑥
1
senkrechte Asymptote bei x=4  Verschiebung von 𝑥 um 4 parallel zur y-Achse nach rechts
1
d.h. im Nenner des Funktionsterm 𝑥 wird 4 subtrahiert
1

keine Streckung/Stauchung ausgehend von 𝑥  1 im Zähler

keine Spiegelung von 𝑥 an der x-Achse  kein Minus vor dem Funktionsterm von 𝑥

1
1
keine Symmetrie zur y-Achse  ungerade Potenz vom x im Nenner
1
g(x)=− 𝒙+2 − 2 d.h. Option (7)

waagrecht Asymptote bei y=-2  Verschiebung von
d.h. der Funktionsterm

1
𝑥
1
𝑥
um 2 parallel zur x-Achse nach unten
wird um dem Funktionswert -2 addiert
1
senkrechte Asymptote bei x=-2  Verschiebung von 𝑥 um 2 parallel zur y-Achse nach links
1
d.h. der Funktionsterm 𝑥 wird um dem Funktionswert -2 im Nenner subtrahiert
1

keine Streckung/Stauchung ausgehend von 𝑥 1 im Zähler

Spiegelung von 𝑥 an der x-Achse  Minus vor dem Funktionsterm von 𝑥

1
1
Keine Symmetrie zur y-Achse  ungerade Potenz von x im Nenner
1
h(x)=𝒙2 + 2 d.h. Option (2)

waagrecht Asymptote bei y=2  Verschiebung von
d.h. der Funktionsterm
1
𝑥
1
𝑥
um 2 parallel zur x-Achse nach oben
wird um dem Funktionswert -2 addiert
1

senkrechte Asymptote bei x=0  keine Verschiebung von 𝑥 parallel zur y-Achse

keine Streckung/Stauchung ausgehend von 𝑥  1 im Zähler

keine Spiegelung von

Symmetrie zur y-Achse  gerade Potenz von x im Nenner
1
1
𝑥
1
an der x-Achse  kein Minus vor dem Funktionsterm von 𝑥
Lösung Aufgabe 3
1
f(x) = 𝑥+3 − 5

waagrechte Asymptote bei y=-5  Verschiebung von
unten d.h. der Funktionsterm

1
𝑥
1
𝑥
um 5 parallel zur x-Achse nach
wird um dem Funktionswert -5 addiert
1
senkrechte Asymptote bei x=-3  Verschiebung von 𝑥 um 3 parallel zur y-Achse nach links
1
d.h. der Funktionsterm 𝑥 wird um dem Funktionswert -3 im Nenner subtrahiert

1
keine Streckung/Stauchung ausgehend von 𝑥  1 im Zähler
Seite 8 von 8
Gebrochen-rationale Funktionen