Tageslichtsteuerung mit prismatischen Mikrostrukturen im

Tageslichtsteuerung mit
prismatischen Mikrostrukturen im
Übergangsbereich von diraktiver
und geometrischer Optik
Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades
der Fakultät für Angewandte Wissenschaften der
Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg im Breisgau
vorgelegt von
Wolfgang Hoÿfeld
im November 2004
Dekan: Prof. Dr. Jan G. Korvink
Referent: PD Dr. V. Wittwer
Korreferent: Prof. Dr. H. Zappe
Inhaltsverzeichnis
Danksagung
vii
1 Einleitung
1
1.1
Tageslichtsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Fassadenelemente zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts
1.3
. . . . . . .
2
1.2.1
Nachführbare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2
Statische Systeme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Herstellungsverfahren für mikrostrukturierte Oberächen . . . . . . . . . .
10
1.3.1
Mikrozerspanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2
Optische Lithograe
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Miniaturisierung der lichtsteuernden Strukturen von Tageslichtsystemen
.
1.5
Übersicht über die Arbeit
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.1
Ziel der Arbeit
1.5.2
Aufbau der Arbeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Theoretischer Teil
2.1
2.2
Grundlagen
16
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.1
Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.2
Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.3
Randbedingungen an diskontinuierlichen Brechungsindexübergängen
22
2.1.4
Zeitabhängige Wellengleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.5
Kohärenz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.6
Zeitunabhängige Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.7
Vektorielle Helmholtz-Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.8
Zweidimensionale Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.9
Integraltheorem von Helmholtz und Kirchho . . . . . . . . . . . .
29
2.1.10 Ebene-Wellen-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1.11 Poynting-Vektor
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugung an aperiodischen Strukturen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.1
Transmissionsproblem
2.2.2
Reexionsproblem
2.2.3
Analytische Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.4
Numerische Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.5
Rigorose Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
iv
Inhaltsverzeichnis
2.3
2.4
2.2.6
Hochfrequenzmethoden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2.7
Hybride Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Beugung an periodischen Strukturen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.3.1
Floquet-Bloch-Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.3.2
Rayleigh-Entwicklung und Gittergleichung . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3.3
Beugungsezienzen
45
2.3.4
Rigorose Lösungsmethoden
2.3.5
Hochfrequenznäherungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.4.1
Hochfrequenznäherungen für die Beugung an einem Keil . . . . . .
51
2.4.2
Eigene Ansätze und Kombination mit der LPIA-Methode
. . . . .
65
2.4.3
Zusammenfassung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Hybrid-Ansatz
3 Experimenteller Teil
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Mikrostrukturierung
78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.1.1
Herstellung der Fotoplatten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.1.2
Belichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.1.3
Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.1.4
Mikroreplikation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.2.1
Rasterelektronenmikroskop
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.2.2
Fourier-Spektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Prismatische Oberächenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3.1
Topograe der Originalstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3.2
Homogenität
3.3.3
Replikation
3.3.4
Optische Charakterisierung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer Modulierung
. . . 113
3.4.1
Topograe der Originalstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.2
Replikation
3.4.3
Optische Charakterisierung
Zusammenfassung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Analyse diraktiver Störeekte
123
4.1
Strahlenoptisches Verhalten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2
Einuss der Strukturperiodizität
4.3
Beugung am Keil zwischen unterer Flanke und Durchsichtsbereich
4.4
Beugung an der Prismenspitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5
Theoretische Optimierungsansätze
4.6
Zusammenfassung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . 131
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Diskussion und Ausblick
146
Zusammenfassung
151
Inhaltsverzeichnis
v
Veröentlichungen und Patente
153
Verzeichnis der verwendeten Symbole und Abkürzungen
155
Literaturverzeichnis
157
vi
vii
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei all denen bedanken, die im besonderen Maÿe zum
Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Ein groÿes Dankeschön geht an alle Wiesentäler Kollegen. Ohne eure Mithilfe wäre diese Arbeit nie entstanden. Ich habe bei euch
eine freundschaftliche Atmosphäre vorgefunden, durch die mir meine Arbeit sehr viel
Spaÿ gemacht hat. Besonders danken möchte ich
•
Dr. Benedikt Bläsi, Dr. Andreas Gombert und PD Dr. Volker Wittwer für die interessante Aufgabenstellung und die Betreuung der Arbeit, ihre stete Hilfsbereitschaft
und Geduld,
•
Jörg Mick, dass er mich in die Kunst der Interferenzlithograe eingewiesen hat
und mich beim Kickern gelegentlich gewinnen lieÿ,
•
Karen Forberich für viele gute Korrekturvorschläge bei meiner Arbeit und dafür,
dass sie mir während der heiÿen Phase meiner Doktorarbeit viel Projektarbeit
abgenommen hat,
•
Dr. Peter Nitz für seine stete Bereitschaft, sich Zeit zu nehmen, Fragen zu klären
oder Entwürfe von Veröentlichungen zu korrigieren,
•
Günther Walze für die Ray-tracing-Rechnungen,
•
Volker Kübler für die Zerstreuung zwischendurch,
•
meinen Eltern dafür, dass sie mir mein Studium und damit diese interessante Promotion ermöglicht haben,
•
und last but not least: Andrea, dass sie mir trotz der Entfernung treu geblieben
ist...
viii
1
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Tageslichtsteuerung
Seit vor über 9000 Jahren das Glas erfunden wurde, hat seine Bedeutung für den Menschen stetig zugenommen. Seine Transparenz für Licht und seine Widerstandsfähigkeit
gegen Wind und Wetter haben bewirkt, dass Glas für den Bau von Häusern eine besonders
groÿe Bedeutung erlangt hat. Im Mittelalter waren Glasfenster, die aus sog. Butzenscheiben zusammengesetzt werden mussten, noch ein Luxusgut. Heute können groÿächige
Glasfassaden günstig hergestellt werden.
Die Transparenz von Glas fasziniert Architekten und Bauherren. Sie ermöglicht den Sichtkontakt zur Umgebung und die Ausleuchtung der Räume mit Tageslicht. Dadurch spart
man nicht nur Stromkosten für elektrische Beleuchtung. Tageslicht wird auch von den
meisten Menschen als angenehm empfunden. Deshalb werden heutzutage die Fassaden
vor allem gewerblicher und repräsentativer Bauten zu einem groÿen Teil mit Glas gestaltet. Auf die Lichtbedingungen und das Raumklima im Inneren der Gebäude hat dies
erhebliche Auswirkungen:
•
Das transmittierte Sonnenlicht erhöht den Energieeintrag in das Gebäude. Im Winter kann dies vorteilhaft sein, im Sommer führt der Energieeintrag jedoch zur Überhitzung von Büro- und Wohnräumen, falls keine Gegenmaÿnahmen getroen werden.
•
Direktes Sonnenlicht kann auÿerdem zu Blendung führen. Bei Büroarbeitsplätzen,
insbesondere bei Bildschirmarbeitsplätzen, muss Blendung unbedingt verhindert
werden.
Es ergeben sich somit mehrere Anforderungen an moderne Glasfassaden. Sie sind in
Abb. 1.1 zusammengefasst. Die drei Grundanforderungen - Schutz vor Wind und Wetter,
Ausleuchtung des Gebäudes mit Tageslicht sowie eine ausreichende Wärmedämmung werden von modernen Isolierverglasungen problemlos erfüllt. Die weitergehenden Anforderungen wie Blendschutz, Tageslichtlenkung und Schutz vor Überhitzung im Sommer
sind momentan Gegenstand zahlreicher Forschungs- und Entwicklungsarbeiten. Sie beziehen sich vor allem darauf, wie das Tageslicht möglichst sinnvoll durch die Glasfassade
2
Kapitel 1. Einleitung
Abbildung 1.1: Anforderungen an moderne Glasfassaden. Die grauen Pfeile stehen für Lichtströme,
die schwarzen Pfeile für Wärmeströme.
gesteuert werden kann. Alle Anforderungen gleichzeitig optimal zu erfüllen ist schwierig,
weil z.B. eine eziente Lenkung des Tageslichts in die Tiefe des Raumes zur Folge haben
kann, dass dort Überhitzung oder Blendung auftreten. Aus diesem Grund konzentrieren
sich bestehende Lösungen in der Regel auf eine Anforderung. Die International Energy
Agency (IEA) teilt Tageslichtsysteme wie in Abb. 1.2 dargestellt auf [IEA00]. Dieser Einteilung folgend beschäftigt sich diese Arbeit mit Tageslichtsystemen mit Verschattung,
wobei die Verschattung dadurch erreicht wird, dass das direkte Sonnenlicht ausgeblendet
wird.
1.2 Fassadenelemente zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts
Anforderungen an einen Sonnenschutz für Büroarbeitsplätze nden sich z.B. in [VBG02].
Danach muss ein Sonnenschutz folgende Eigenschaften haben:
•
•
Begrenzung von Blendwirkungen durch das Sonnenlicht,
Vermeidung eines zu groÿen Leuchtdichteunterschiedes zwischen besonnten und unbesonnten Flächen,
•
Gewährleistung der Sichtverbindung nach auÿen,
•
unwesentliche Beeinussung des Tageslichtes im Innenraum und damit der Farbund Farbwiedergabeeigenschaften,
•
Begrenzung des Wärmeeintrags durch Sonneneinstrahlung.
1.2. Fassadenelemente zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts
3
Abbildung 1.2: Kategorisierung von Tageslichtsystemen nach der International Energy Agency (IEA),
Task 21, [IEA00]. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Tageslichtsystemen mit Verschattung, wobei
die Verschattung dadurch erreicht wird, dass das direkte Sonnenlicht ausgeblendet wird.
Ein Sonnenschutz muss somit vor Blendung und Überhitzung schützen.
Blendung ist eine Störung der visuellen Wahrnehmung, verursacht durch eine helle Lichtquelle, helle Reexionen oder zu hohe Kontraste im Gesichtsfeld. In seiner einfachsten
Form ist Blendung eine Folge der normalerweise hilfreichen Fähigkeit des menschlichen
Auges zur Adaption auf unterschiedliche Helligkeitsniveaus. Am Arbeitsplatz kann es
z.B. vorkommen, dass das Auge auf das Niveau einer Blendquelle wie z.B. reektiertem
Sonnenlicht adaptiert, wodurch es schwierig wird, in der nun zu dunklen Arbeitszone Details zu erkennen. In Ÿ 6. (1) der Bildschirmarbeitsverordnung aus dem Jahr 1998
heiÿt es daher: Bildschirmarbeitsplätze sind so einzurichten, daÿ Blendungen und störende Reexionen auf dem Bildschirm und anderen Arbeitsmitteln durch Lichtquellen auch
bei leicht wechselnden Arbeitshaltungen vermieden werden.
Überhitzungsschutz bedeutet, dass eine zu hohe Raumtemperatur verhindert wird. Dieser Schutz stellt - verglichen mit dem Blendschutz - geringere Anforderungen an das
Fassadenelement. Ein Tageslichtsystem, das beispielsweise 20% des direkten Sonnenlichts
transmittiert und den Rest überwiegend reektiert, kann einen eektiven Überhitzungsschutz darstellen. Für einen Blendschutz ist es in der Regel nicht ausreichend.
Üblicherweise setzt man zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts Jalousien ein. Die
Stellung der Lamellen kann individuell eingestellt werden. Alternativ bestehen auch Lösungen, bei denen die Lamellenstellung fest ist. Die Formen reichen von einfachen gebogenen Lamellen bis hin zu komplizierten Formen (Beispiele siehe Abb. 1.3), die in Hinsicht
auf die Ausblendung des direkten Sonnenlichts oder in Hinsicht auf Lichtlenkung mit Hilfe
von Strahlverfolgungs-Rechnungen optimiert werden können. Der Nachteil von Jalousien
besteht darin, dass in der Stellung, in der das direkte Sonnenlicht ausgeblendet wird, auch
ein groÿer Teil des diusen Sonnenlichts von den Lamellen reektiert wird. Die selektive
Ausblendung funktioniert also nur sehr grob. Reexionen des direkten Sonnenlichts an
den Lamellen können weiterhin zu Blendung führen. Ein vollständiger Blendschutz ist oft
nur gegeben, wenn die Lamellen ganz geschlossen werden. Häug reicht daher trotz starker äuÿerer Sonneneinstrahlung das in den Raum dringende Diuslicht nicht mehr aus,
um den Arbeitsplatz genügend auszuleuchten. Die Folge ist, dass Kunstlicht eingesetzt
4
Kapitel 1. Einleitung
Abbildung 1.3: Beispiele von Lamellenformen. Die Form auf der linken Seite ist typisch für Jalousien.
Die Lamelle auf der rechten Seite dient als statisches Verschattungselement, das in eine Doppelverglasung
eingebaut wird.
werden muss. Im Winter bedeutet der fehlende Wärmeeintrag durch die Sonne, dass mehr
geheizt werden muss. Es wird unnötig Energie verbraucht. Aber auch die Qualität des
Arbeitsplatzes verschlechtert sich, weil Kunstlicht als weniger angenehm als Tageslicht
empfunden wird. Hinzu kommt, dass die Transparenz der Verglasung durch die Jalousie
zumindest teilweise verloren geht. Das heiÿt, dass kein oder nur noch eingeschränkter
Sichtkontakt nach auÿen möglich ist.
Um eine Verbesserung dieser Situation zu erreichen, muss die Zielsetzung daher sein,
die Ausblendung des direkten Sonnenlichts möglichst selektiv zu gestalten und auÿerdem
eine möglichst gute Durchsicht des Gesamtsystems zu erreichen. Die Ausblendung kann
prinzipiell durch Absorption oder durch Reexion von Licht geschehen. Reexion ist vorteilhaft, weil bei Absorption die Lichtenergie in Wärme umgewandelt wird und durch
Wärmeuss in den Raum weiterhin eine Überhitzung entstehen kann.
Eine Übersicht über verschiedene Systeme gibt [IEA00](Kap. 4). Im Folgenden sollen
einige Beispiele von Systemen aus transparenten Dielektrika beschrieben werden, deren
Funktion im Wesentlichen auf Totalreexion beruht.
1.2.1 Nachführbare Systeme
Systeme aus transparenten Dielektrika bewirken eine Ausblendung des direkten Sonnenlichts für bestimmte Einfallswinkel. Durch die richtige Nachführung des Systems kann die
Transmission für den momentanen Einfallswinkel der Sonne minimiert werden. Die Nachführung kann manuell oder auch durch eine automatische Regelung geschehen. Wie breit
5
1.2. Fassadenelemente zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts
der Ausblendbereich des Systems ist, ist wichtig dafür, wieviel Durchsicht durch das Gesamtsystem Verglasung/Sonnenschutzelement erreicht werden kann. Optimale Durchsicht
ist bei einer Vertikalverglasung nur dann möglich, wenn die Lamellen in der Ausblendstellung horizontal stehen und so den Blick nach drauÿen minimal behindern. Ein mögliches
System, das diesen Anforderungen relativ gut entspricht, sind geneigte Retroprismen
◦ in einer Ebene
(siehe dazu Abb. 1.4) [Wir98]. Bei Einfall unter einem Winkel von 45
Abbildung 1.4: Jalousie mit transparenten Lamellen, die an der Oberseite mit Prismen strukturiert
sind. Die Prismen haben einen Abstand von einer halben Strukturperiode und weisen an der Spitze einen
◦
Winkel von 45
auf. Diuses Licht aus Richtungen um die Horizontale wird durch die Zwischenräume
zwischen den Lamellen ungestört transmittiert. Direktes Sonnenlicht, das steiler einfällt, wird in der
Struktur zweifach totalreektiert und in die Einfallsrichtung zurückgelenkt.
senkrecht zu den Gitterlinien wird das Licht bei diesen Strukturen in die Richtung reektiert, aus der es eingefallen ist. Man sagt, die Prismen sind retroreektierend. Die
Lamellen bestehen aus transparentem Kunststo, der auf der oberen Seite mit Prismen
strukturiert ist. Die Prismen haben einen Abstand von einer halben Strukturperiode und
weisen an der Spitze einen Winkel von 45
◦ auf. Die Wirkungsweise basiert auf Totalre-
exion. Im Ausblendbereich werden die Sonnenstrahlen durch zweimalige Totalreexion
zurückreektiert.
Eine vom Konzept her ähnliche Lösung ist die Strukturierung der Lamelle mit symmetrischen Prismen, die auf der dem Licht abgewandten Seite der Kunststoplatte liegen und
◦ haben (Abb. 1.5) [Bar85]. Diese Prismen sind eben-
an der Spitze einen Winkel von 90
falls retroreektierend. Fällt das Licht in einer Ebene senkrecht zu den Gitterlinien unter
einem Winkel von 90
◦ ein, so wird es in die Richtung reektiert, aus der es eingefallen ist.
Wir werden diese Struktur in dieser Arbeit auch abkürzend als symmetrische Retroprismen bezeichnen. Die Ausblendung des direkten Sonnenlichts wird wie bei den geneigten
Retroprismen durch zweifache Totalreexion bewirkt. Um eine optimale Verschattung zu
6
Kapitel 1. Einleitung
◦
Abbildung 1.5: 90 -Prismen-Lamelle als Sonnenschutz. Direktes Sonnenlicht, das senkrecht einfällt
wird in der Struktur zweifach totalreektiert und in die Einfallsrichtung zurückgelenkt.
erreichen, müssen die Lamellen jedoch nahezu senkrecht zur Einfallsrichtung des Sonnenlichts stehen. Da die Struktur der Retroprismen keine Bereiche aufweist, bei denen die
vordere und die hintere Grenzäche parallel zueinander liegen, ist eine unverzerrte Durchsicht durch diese Struktur nicht möglich. Alle transmittierten Strahlen werden in ihrer
Ausbreitungsrichtung verändert. Durch einen Trick ist es aber möglich auch bei diesen
Prismen Durchsicht zu ermöglichen. Dazu benötigt man eine komplementäre Retroprismenplatte (siehe Abb. 1.6) [Grü59]. Durch den symmetrischen Aufbau wird bewirkt, dass
Strahlen, die nicht totalreektiert werden, unter dem gleichen Winkel aus der Struktur
austreten, mit dem sie auf die Struktur eingefallen sind. Dadurch ist eine unverzerrte
Durchsicht durch die gesamte Lamelle möglich.
Das Konzept, eine unverzerrte Durchsicht durch eine Komplementärstruktur zu ermöglichen, ist nicht auf symmetrische Prismenlamellen beschränkt, sondern kann auf alle
transparenten Systeme übertragen werden. Aufgrund von Herstellungsfehlern (vor allem
bezüglich der Realisierung des Luftspaltes zwischen den Strukturen) ist die Durchsicht
jedoch in der Realität immer etwas gestört. Ein weiterer Nachteil ist, dass sich die gesamte Transmission durch das System wegen der zusätzlichen Grenzächen verringert.
Ein weiteres transparentes System zur selektiven Ausblendung von direktem Sonnenlicht
sind dielektrische Compound Parabolic Concentrators (CPCs) [Goe96][Goe97]. Abb. 1.7
zeigt die Wirkungsweise. Senkrecht auf die Struktur treende Strahlung wird mittels Totalreexion an den Seitenwänden zu einem Reektor gelenkt und dort reektiert, wobei
die Ausfallsrichtung in der Regel nicht gleich der Einfallsrichtung ist. Dadurch wird das
reektierte direkte Sonnenlicht aufgefächert und Blendungseekte nach auÿen werden
vermindert. Eine Durchsicht ist jedoch nicht möglich.
1.2. Fassadenelemente zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts
7
Abbildung 1.6: Doppelte Retroprismenlamelle als Sonnenschutz mit Durchsicht [Grü59]. Durch den
symmetrischen Aufbau wird bewirkt, dass einfallende und transmittierte Strahlen dieselbe Richtung haben.
Es ist daher eine unverzerrte Durchsicht möglich.
Abbildung 1.7: Ausblendfunktion beim dielektrischen Compound Parabolic Concentrator (CPC). Direk-
tes Sonnenlicht, das senkrecht zur Oberäche einfällt, wird in der Struktur durch Totalreexion an den
parabolischen Wänden zu einem Reektor gelenkt und dort reektiert.
8
Kapitel 1. Einleitung
1.2.2 Statische Systeme
Statische Systeme sind nicht nachführbar und können folglich nicht für jeden Sonnenstand
optimal ausgerichtet werden. Da die Sonne über das Jahr in Deutschland Höhenwinkel
◦ bis etwa 65◦ überstreicht, kann mit einem statischen System keine optimale selek-
von 0
tive Ausblendung von direktem Sonnenlicht erreicht werden. Als Blendschutz über alle
Tages- und Jahreszeiten ist ein statisches System daher prinzipiell nicht zu realisieren.
Gut möglich ist dagegen ein Überhitzungsschutz. Werden z.B. die Retroprismenstruktu-
◦ zur Horizontalen verkippt, so wird im
◦
Sommer direktes Licht, das aus einem Höhenwinkelbereich um etwa 60 auf die Fassade
ren aus Abb. 1.5 fest um einen Winkel von z.B. 30
trit, reektiert. Es ist klar, dass bei einem statischen System eine stark winkelselektive
Ausblendung nicht vorteilhaft ist. Vielmehr ist es für ein solches System sinnvoll den
Ausblendbereich breiter zu gestalten, so dass alle Sonnenpositionen im Sommer, die zu
groÿem Hitzeeintrag führen, im Ausblendbereich liegen.
Was die Form statischer Systeme anbelangt, so können die gleichen oder ähnliche Strukturen wie für nachführbare Systeme verwendet werden. Symmetrische Retroprismen oder
CPCs können besonders gut in geneigten Verglasungen eingesetzt werden, erfüllen jedoch
auch in Vertikalverglasungen eine Sonnenschutzfunktion. Um jedoch in vertikaler Installation eine optimale Funktion zu erreichen, ist es vorteilhaft, die Strukturen zu verkippen
(Abb. 1.8) [Goe97][Ju95].
Abbildung 1.8: Verkippte CPCs bzw. Retroprismen als Strukturen für statischen Überhitzungsschutz
in Vertikalverglasungen [Goe97][Ju95]. Die Verkippung dient dazu, dass direktes Sonnenlicht, das steil
einfällt, reektiert wird.
Weiterhin kann es vorteilhaft sein, die Prismenwinkel asymmetrisch zu wählen. Eine mögliche Lösung mit asymmetrischen Prismen, die nicht aus dem Verkippen von symmetrischen Ausblend-Strukturen folgt, wurde von Nardini erfunden [Na82]. Hier liegt die
Struktur auf der Sonnenseite (Abb. 1.9).
Eine Fortentwicklung der geneigten Retroprismen aus Abb.1.4 sind sog. Durchsichtspris-
1.2. Fassadenelemente zur Ausblendung des direkten Sonnenlichts
9
Abbildung 1.9: Auÿenliegende asymmetrische Prismenstruktur als statischer Überhitzungsschutz in ei-
ner Vertikalverglasung [Na82]. Diuses Licht aus Richtungen um die Horizontale wird relativ gut transmittiert. Direktes Sonnenlicht, das steiler einfällt wird in der Struktur einfach totalreektiert und dadurch
ausgeblendet.
Abbildung 1.10: Vertikal installierte Durchsichtsprismen als statischer Überhitzungsschutz [Ni01]. Dif-
fuses Licht aus Richtungen um die Horizontale wird gut transmittiert. Direktes Sonnenlicht, das steiler
einfällt, wird in der Struktur zweifach totalreektiert und in die Einfallsrichtung zurückgelenkt.
10
Kapitel 1. Einleitung
men [Ni01]. Die Form entspricht qualitativ der Form der geneigten Retroprismen aus
Abb. 1.4, jedoch ist die Struktur vertikal ausgerichtet und die Prismenwinkel sind so
gewählt, dass der Überhitzungsschutz über den Sommer hinweg optimiert wird. Damit
hängen sie vom geographischen Breitengrad ab. Abb. 1.10 zeigt die Wirkungsweise. Der
plane Bereich zwischen den Prismen ermöglicht Durchsicht. Daher ist diese Lösung für
den Einsatz in Vertikalverglasungen besonders interessant.
1.3 Herstellungsverfahren für mikrostrukturierte Oberächen
Moderne Technologien erlauben die Fertigung von mikrometergroÿen Oberächenstrukturen mit einer Genauigkeit von wenigen Nanometern. Diese Techniken haben zum Erfolg
der Mikroelektronik geführt und wurden in den letzten zwanzig Jahren zunehmend auch
in der Mechanik und der Optik angewandt. In der Optik erlauben sie die Miniaturisierung von optischen Elementen wie Linsen oder Prismen. Um Oberächen mit mikrometergroÿen Strukturen herzustellen, gibt es mehrere Verfahren mit spezischen Vor- und
Nachteilen.
1.3.1 Mikrozerspanung
Die Mikrozerspanung umfasst praktisch alle bekannten mechanischen Verfahren der Zerspanung wie Drehen, Fräsen, Bohren, Schleifen, Sägen oder Hobeln. Am verbreitetsten sind das Ultrapräzisionsdrehen und das Mikrofräsen mittels Fly-Cutting [Sch01].
Die Werkstoe werden mit einer monokristallinen Diamantschneide bearbeitet, deren
Schneidkantenschärfe im Submikrometerbereich liegen kann. Als Materialien kommen alle mit Diamant zerspanbaren Werkstoe in Frage. Dazu gehören Nichteisenmetalle und
deren Legierungen, aber auch formstabile Kunststoe oder Halbleiter.
Bei der Mikrozerspanung durch Ultrapräzisionsdrehen wird ein Folienband des zu strukturierenden Materials mit Hilfe einer Federspannvorrichtung an den Umfang einer Scheibe
gespannt, die auf die Spindel einer Drehmaschine aufgesetzt ist (Abb. 1.11). Auf dem
Maschinentisch unterhalb der Scheibe sitzt ein verfahrbarer Halter mit dem Diamantwerkzeug. Durch die mikrometergenaue Steuerung der Tisch- und Spindelachsen werden
parallelverlaufende Nuten mit einer durch das Mikrowerkzeug vorgegebenen Form in die
Oberäche der Folie eingearbeitet.
Das Mikrofräsen ist das variablere Verfahren. Dabei bendet sich das zu strukturierende
Werkstück auf dem Maschinentisch und die Struktur wird durch ein Diamantwerkzeug
herausgefräst. Beim Fly-Cutting-Verfahren sitzt die Diamantspitze auf der Welle einer
Hochfrequenzspindel (Abb. 1.12). Durch das Drehen der Spindel schneidet der Diamant
die Struktur in die Oberäche. Anstelle dünner Metallfolien können mit dieser Methode
auch dickere Substrate strukturiert werden und die Strukturierung kann bei Verwendung
eines Drehtisches in beliebigen Richtungen erfolgen.
Mikrozerspanende Verfahren eignen sich sehr gut zur Herstellung kantiger Strukturen
wie Prismen. Prinzipiell können Gitterstrukturen bis hinunter zu etwa 1
µm
Periode
hergestellt werden. Je kleiner die Strukturen werden, desto nachteiliger wirkt sich aber
1.3. Herstellungsverfahren für mikrostrukturierte Oberächen
11
Abbildung 1.11: Schematische Darstellung der Mikrostrukturierung von Metallfolien durch Ultraprä-
zisionsdrehen. Die zu strukturierende Metallfolie wird auf eine Trägerscheibe aufgespannt und durch das
Diamantwerkzeug zerspanend bearbeitet. Das Werkzeug sitzt auf einem in alle Richtungen verschiebbaren
Tisch.
Abbildung
1.12:
Schematische Darstellung der Mikrostrukturierung von Metallfolien durch Fly-
Cutting. Die zu strukturierende Metallfolie wird durch Vakuum auf einer planparallel geschlienen Sintermetallplatte xiert, die auf dem Maschinentisch montiert ist.
12
Kapitel 1. Einleitung
die Tatsache aus, dass der Prozess seriell ist. Die Anforderungen an die Ebenheit der
Oberäche und die dauerhafte präzise Justierung der Spindel werden immer gröÿer.
1.3.2 Optische Lithograe
Strukturen kleiner als etwa 50
µm
werden bevorzugt durch optische Lithograe herge-
stellt. Mit dieser Technik können beinahe alle Festkörper strukturiert werden. Ihre erfolgreichste Anwendung hat die Lithograe in der Halbleitertechnologie gefunden. Das
Abbildung 1.13: Prozessschritte bei der Lithograe mit anschlieÿendem Ätzen.
klassische Verfahren (vgl. Abb. 1.13) besteht darin, dass das zu strukturierende Material
(das sog. Substrat) zuerst mit einem Lack beschichtet wird, der für Strahlung eines bestimmten Wellenlängenbereichs empndlich ist. In einem Belichtungsprozess, der seriell
oder parallel sein kann, werden Teile des Lacks belichtet. Danach wird der Lack entwickelt, wobei sich bei Anwendung von sog. Positivlack die belichteten bzw. bei Negativlack
die unbelichteten Anteile lösen. Die entstandene Oberächenstruktur wird als Ätzmaske
verwendet. Im Ätzprozess werden im Idealfall nur die vom Lack nicht mehr bedeckten
Oberächen geätzt. Der Lack widersteht dem Ätzprozess. Aufgrund dieser Eigenschaft
wird der Lack auch Resist genannt (engl.: to resist = widerstehen). Nach dem Ätzen kann
der Lack nasschemisch entfernt werden (Strippen) und nur die strukturierte Substratoberäche bleibt übrig. Auf diese Weise erhält man bevorzugt stufenförmige Strukturen,
die auch als binäre Strukturen bezeichnet werden.
Alternativ zum Ätzprozess ist es auch möglich, die strukturierte Lackoberäche in einen
metallischen Stempel zu übertragen (vgl. Abb. 1.14). Diese Methode ist vor allem dann
interessant, wenn man nicht binäre, sondern kontinuierliche Strukturen benötigt. Um den
Metallstempel herzustellen, wird die Resistoberäche mit einer dünnen leitenden Schicht
1.3. Herstellungsverfahren für mikrostrukturierte Oberächen
13
Abbildung 1.14: Prozessschritte bei der Lithograe in Verbindung mit Galvanisierung.
(z.B. Silber, Gold oder einer Nickel-Vanadium-Legierung) versehen und anschlieÿend z.B.
mit Nickel galvanisiert. Dadurch wird die Oberächenstruktur des Resists in Nickel übertragen und man erhält sog. Nickel-Shims. Mit diesen Shims ist es wiederum möglich die
Struktur in Kunststoe oder Werkstoe mit ähnlichen Eigenschaften abzuformen. Diese
Variante hat den groÿen Vorteil, dass nach der Herstellung einer Urstruktur (Masterstruktur) Tausende von Abformungen gemacht werden können. Diese Möglichkeit der
kostenezienten Massenreplikation macht die Mikrostrukturierung von Kunststooberächen für industrielle Anwendungen interessant, weil die hohen Kosten für die Masterstruktur sich über eine hohe Stückzahl amortisieren können.
Während die gesamte Prozesskette bei allen lithograschen Verfahren die gleiche ist, gibt
es bei den einzelnen Prozessschritten bedeutende Unterschiede. Am deutlichsten unterscheiden sich die verschiedenen Verfahren anhand der Belichtungsmethode:
Maskenlithograe
Die in der Halbleitertechnologie bevorzugte Belichtungsmethode
ist die Maskenlithograe. Diese Methode erlaubt nur die Abbildung eines Hell-DunkelMusters. Folglich können nur Stufen- oder Binärstrukturen realisiert werden. Komplexere
Oberächenstrukturen, z.B. für diraktiv-optische Elemente, kann man durch das sog.
Multi-Level-Verfahren herstellen. Dabei werden die Schritte Belackung, Belichtung, Entwicklung und Ätzen mehrfach hintereinander durchgeführt. Indem man in jedem Schritt
eine andere Maske verwendet, kann man binäre Oberächenstrukturen herstellen (vgl.
Abb. 1.15). Dazu muss die Maske für jeden Prozesschritt zu der vorhandenen Struktur
justiert werden (engl.: mask alignment). Durch das schrittweise Strukturieren kann man
eine Vielzahl an Strukturen herstellen, die kontinuierliche Prole durch stufenförmige
14
Kapitel 1. Einleitung
Abbildung 1.15: Herstellung von Multi-Level-Oberächenstrukturen.
Prole annähern.
Bei Maskenbelichtungen ist die strukturierbare Fläche begrenzt, weil das Belichtungsmuster der Maske optisch verkleinert abgebildet werden muss, um die mikrometergroÿen
Abmessungen zu realisieren. Hier ist vor allem die abbildende Linse der beschränkende
Faktor, weil exakt abbildende Linsen ab einer bestimmten Gröÿe nicht mehr hergestellt
werden können.
Eine Variante der Maskenlithograe ist die Grautonlithograe. Sie erlaubt die Herstellung kontinuierlicher Oberächenprole [Kley98]. Für die Belichtung verwendet man eine
Grauton-Maske, die zum Beispiel mit Elektronenstrahllithograe (siehe nächster Absatz)
hergestellt werden kann. Je nach Grauton wird an der jeweiligen Stelle der Maske mehr
oder weniger Licht transmittiert, das den Resist belichtet. Die Grautonlithograe ist eine
relativ kostengünstige Belichtungsmethode. Die strukturierbare Fläche ist jedoch ähnlich
beschränkt wie bei den vorher beschriebenen maskenlithograschen Methoden.
Elektronenstrahlschreiben
Die Mikrostrukturierungstechnik mit der gröÿten Flexi-
bilität ist die Elektronenstrahllithograe [Kley01]. Dabei wird ein Elektronenstrahl mittels
einer Elektronenoptik auf einen geeigneten Fotolack fokussiert und die zu belichtenden
Punkte werden nacheinander abgescannt. Mit diesem Verfahren können Strukturen mit
einer Auösung von etwa 30 nm hergestellt werden. Jedoch bedingt der serielle Belichtungsprozess, dass nur kleine Flächen strukturiert werden können. Elektronenstrahllithograe ist auÿerdem aufwändig und teuer. Sie wird vor allem zur Herstellung von Masken
für die Maskenlithograe verwendet.
Interferenzlithograe
Bei der Interferenzlithograe
werden zueinander kohärente
Lichtwellen überlagert. Durch Interferenz entstehen Hell-Dunkel-Muster, die den Resist
belichten. Die Gröÿe der Strukturen kann durch den Winkel der Wellen zueinander
eingestellt werden. Die Interferenzlithograe bietet den Vorteil, dass sehr groÿe Flächen
1.4. Miniaturisierung der lichtsteuernden Strukturen von Tageslichtsystemen
15
relativ kostengünstig in einem parallelen Prozess strukturiert werden können [Go02].
Jedoch ist man bei der Form der Strukturen eingeschränkt.
1.4 Miniaturisierung der lichtsteuernden Strukturen von
Tageslichtsystemen
Die Miniaturisierung von elektronischen Schaltkreisen hat unser Leben in den letzten
Jahrzehnten entscheidend verändert. Computer, Mobiltelefone, Navigationssysteme oder
Flachbildschirme sind High-Tech-Produkte, die den technischen Fortschritt beeindruckend dokumentieren. Der Trend zur Miniaturisierung zeigt sich auch in anderen Bereichen wie der Optik und der Mechanik. Teilweise verieÿen die Grenzen zwischen den
Bereichen und man spricht allgemein von Mikrosystemen. Mikrosysteme nden sich vor
allem in der Sensortechnik und der Optoelektronik. Studien gehen davon aus, dass von
diesem Bereich der High-Tech-Industrie entscheidende Innovationen des 21. Jahrhunderts
ausgehen werden [Nex02].
Die Fertigungstechniken der Mikrotechnik ermöglichen auch in anderen Bereichen innovative Produkte. Eine mögliche Anwendung ist die Miniaturisierung der lichtlenkenden
Strukturen der in Abschnitt 1.1 diskutierten Tageslichtsysteme. Mit Miniaturisierung ist
in diesem Zusammenhang nicht die Verkleinerung des gesamten Bauteils oder Systems
gemeint, sondern nur der funktionellen Strukturen auf der Oberäche. Die Fläche des
Tageslichtsystems bleibt die gleiche, aber die Dicke wird deutlich verringert. Die Vorteile
dünnerer Systeme liegen darin, dass sie deutlich leichter sind und besser in Verglasungen
integriert werden können. Hinzu kommt, dass durch die Winzigkeit der lichtsteuernden
Strukturen die optische Anmutung der Systeme verbessert werden kann. Wenn die Strukturen kleiner als etwa 50
µm sind, können sie vom Auge nicht mehr aufgelöst werden. Die
Oberächen erscheinen für das Auge als homogen. Bei solchen Gröÿenordnungen stehen
zudem die Fertigungsmethoden der Mikroreplikation zur Verfügung, die eine kostengünstige Herstellung mikrostrukturierter Folien, Kunststoplatten und (mit Einschränkungen)
auch Glasplatten ermöglichen.
16
Kapitel 1. Einleitung
1.5 Übersicht über die Arbeit
1.5.1 Ziel der Arbeit
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung, interferenzlithograschen Herstellung
und Charakterisierung von prismatischen Mikrostrukturen zur Tageslichtsteuerung. Dabei handelt es sich um periodische Strukturen mit Perioden zwischen etwa 5 und 100
µm.
Auf der experimentellen Seite soll geklärt werden, ob und mit welcher Qualität mit Hilfe
2 mit
von Interferenzlithograe und Mikroreplikation Flächen von etwa 400 x 400 mm
mikroprismatischen Gittern strukturiert werden können. Auf der theoretischen Seite soll
untersucht werden, wie die aufgrund der geringen Abmessungen der Strukturen auftretenden Beugungseekte, die die Funktionalität des Systems beeinträchtigen, modelliert
und schlieÿlich durch optimiertes Design vermindert werden können. Dabei sollen drei
Fragen beantwortet werden:
•
•
Wie ist das optische Verhalten der Mikrostrukturen zu verstehen?
Welche Methoden eignen sich zur Modellierung des optischen Verhaltens der Strukturen?
•
Wie sehen optimale Strukturen aus?
Als konkretes Anwendungsbeispiel wird in dieser Arbeit vor allem ein spezielles Sonnenschutzelement betrachtet, das in einer Vertikalverglasung zur selektiven Verschattung
dienen soll. Dabei handelt es sich um Durchsichtsprismen mit einer Geometrie wie sie
Abb. 1.16 zeigt. Sie werden im Folgenden als Durchsichtsprismen vom Typ II bezeichnet.
Die Geometrie der speziellen Prismenstruktur ist das Ergebnis von Optimierungsrechnungen, die Nitz auf der Basis von Strahlverfolgung (engl.: ray tracing) für eine Südfassade
in Freiburg durchführte [MF03].
1.5.2 Aufbau der Arbeit
Die Arbeit gliedert sich in einen theoretischen und einen experimentellen Teil sowie eine
Studie auf.
Theoretischer Teil
Der theoretische Teil beschäftigt sich mit der Frage, welche Methoden zur Beschreibung
der optischen Funktionalität von prismatischen Mikrostrukturen im diraktiv-refraktiven
Übergangsbereich geeignet sind. Solche Strukturen zeigen Beugungseekte an den Kanten
der Prismen und Interferenzeekte aufgrund der Periodizität des Gitters. Zwei Ansätze
werden näher verfolgt:
1. Rigorose Lösung der Maxwell-Gleichungen für periodische Randbedingungen.
2. Approximative Lösung durch Übertragung des Konzeptes der Geometrischen Beugungstheorie auf periodische Transmissionsprobleme von dielektrischen Strukturen.
1.5. Übersicht über die Arbeit
17
Abbildung 1.16: Geometrie des Sonnenschutzelements, das in dieser Arbeit als Anwendungsbeispiel
näher untersucht wird. Dieser Typ von Durchsichtsprismen wird im Folgenden als Typ II bezeichnet.
Der Strahlengang, der für den Ausblendeekt bei hohen Einfallswinkeln verantwortlich ist, ist anhand der
grauen Pfeile zu sehen: Der Strahl trit auf die sog. obere Flanke der prismatischen Struktur und wird
durch diese erste Grenzäche transmittiert. Dann trit er auf die untere Flanke und wird dort totalreektiert. Anschlieÿend erreicht er die zweite Grenzäche, die nicht strukturiert ist. An dieser planen
Grenzäche wird der Strahl zum zweiten Mal totalreektiert und, evtl. nach mehrereren Reexionen, über
die obere Prismenanke ausgekoppelt. Die Dicke des Elements ist in dieser Abbildung nicht maÿstabsgetreu dargestellt. Die Periode der Gitterstruktur liegt nämlich typischerweise im Bereich von Mikrometern,
die gesamte Dicke des Elements im Bereich von Millimetern.
18
Kapitel 1. Einleitung
Experimenteller Teil
Der experimentelle Teil beschäftigt sich mit der groÿächigen Herstellung prismatisch
strukturierter Oberächen durch Interferenzlithograe und Mikroreplikation. Der Herstellungsprozess wird im Detail geschildert. Auÿerdem wird ein neues Verfahren zur Herstellung stochastisch übermodulierter Prismenstrukturen beschrieben. Die prismatisch
strukturierten Fotoplatten und ihre Replikationen in Kunststo werden hinsichtlich ihrer
topograschen und optischen Eigenschaften untersucht. Optische Messergebnisse werden
mit theoretischen Berechnungen verglichen.
Studie
In einer Studie werden die im theoretischen Teil vorgestellten Methoden sowie der neu
entwickelte Hybrid-Ansatz beispielhaft an Durchsichtsprismen vom Typ II (Abb. 1.16) angewendet und verglichen. Dabei werden die selektiven Transmissionseigenschaften dieses
Sonnenschutzelements untersucht, das als statisches Verschattungselement in einer Vertikalverglasung dienen soll. Die refraktive und diraktive Wirkungsweise des Elements in
Abhängigkeit von Periode und Einfallswinkel wird detailliert analysiert. Das Verständnis
für das Zusammenspiel der einzelnen Eekte wird es abschlieÿend erlauben, das Design
der Durchsichtsprismen zu optimieren.
Diskussion und Ausblick
Abschlieÿend werden die wichtigsten theoretischen und experimentellen Ergebnisse der
Arbeit diskutiert und Ansätze für zukünftige Arbeiten entwickelt.
Kapitel 2
Theoretischer Teil
Der theoretische Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung der Transmissionseigenschaften von Mikroprismengittern im diraktiv-refraktiven Übergangsbe-
reich. Mikroprismengitter sind periodische Oberächenstrukturen.
interessieren uns Gitter mit Perioden zwischen etwa 5 und 100
µm.
In
dieser
Arbeit
In diesem Fall sind
die Strukturen so klein, dass sie mit dem Auge nicht mehr oder nur schwer aufgelöst
werden können. Die gesamten Abmessungen der Prismen sind aber noch deutlich gröÿer
als die Wellenlänge des Lichts, so dass das dominierende optische Verhalten refraktiver Natur ist. Von refraktivem Verhalten spricht man, wenn das optische Verhalten
durch geometrisch-optische Näherungen gut beschrieben werden kann. Im Falle der
prismatischen Oberächenstrukturen dominiert refraktives Verhalten, wenn der lokale
Krümmungsradus der Grenzäche deutlich gröÿer als die Wellenlänge ist und daher die
Grenzäche an dieser Stelle durch eine unendlich ausgedehnte ebene Grenzäche angenähert werden kann. Mikroprismen besitzen aber auch scharfe Kanten. Unter einer scharfen
Kante verstehen wir hier einen gekrümmten Prolverlauf, dessen Krümmungsradius kleiner als die Wellenlänge des Lichts ist. Im theoretischen Fall geht der Krümmungsradius
an einer Kante gegen Null und die Ableitung der Prolfunktion weist an dieser Stelle
einen Sprung auf. An diesen Kanten tritt Beugung auf. Man kann die Kanten daher
als Beugungszentren betrachten. Bei Prismengittern liegen diese Zentren typischerweise
mehrere Wellenlängen voneinander entfernt (vgl. Abb. 2.1). Die Beugungseekte an den
Abbildung 2.1: Bei der Modellierung von Mikrostrukturen im diraktiv-refraktiven Übergangsbereich
müssen neben dem globalen refraktiven Verhalten der Struktur die Beugungseekte berücksichtigt werden,
die an den Kanten der Prismen auftreten. Wegen der Periodizität der Strukturen müssen auÿerdem die
resultierenden Interferenzeekte modelliert werden.
20
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Kanten bestimmen zwar nicht das wesentliche optische Verhalten der Strukturen, sie
können aber auch nicht vernachlässigt werden.
Wegen der Periodizität der Strukturen müssen auÿerdem die aus der Periodizität resultierenden Interferenzeekte modelliert werden, die die Beugungsordnungen entstehen
lassen.
Will man also das optische Verhalten der mikroprismatischen Strukturen modellieren,
so muss man sowohl das refraktive als auch das diraktive Verhalten berücksichtigen.
Dafür kann man zwei Ansätze wählen:
1. Brute-Force-Ansatz: Man modelliert die gesamte Struktur als diraktive Struktur.
Das heiÿt, man löst direkt die Maxwell-Gleichungen. Der Nachteil besteht darin,
dass man auch in den Bereichen, wo das Verhalten im Wesentlichen refraktiv und
somit sehr einfach ist, diraktiv rechnet und daher viel Rechenzeit benötigt.
2. Hybrid-Ansatz: Man modelliert die Struktur nur dort als diraktive Struktur, wo
die Krümmung der Grenzäche sehr klein wird. Bei Mikroprismengittern sind dies
die Kanten der Prismen. Der Rest der Struktur wird refraktiv modelliert.
In dieser Arbeit sollen beide Ansätze verfolgt werden. Der Brute-Force-Ansatz führt direkt zur Lösung der Maxwell-Gleichungen unter periodischen Randbedingungen. Darauf
wird in Abschnitt 2.3 eingegangen.
Ein neu entwickelter Hybrid-Ansatz wird in Abschnitt 2.4 diskutiert. Bei diesem Ansatz wird das vorwiegend refraktive Verhalten innerhalb der Gitterstruktur durch eine
approximative Methode, die sog. local plane interface approximation, modelliert (Abschnitt 2.3.5). Die Beugung an den Prismenkanten wird in dem Hybrid-Ansatz als isoliertes Problem betrachtet. Aus der Hochfrequenznäherung des isolierten Problems kann
eine Beugungswelle extrahiert werden. Diese wird dem mittels local plane interface approximation berechneten Feld additiv überlagert. Auf diese Weise ist es möglich, den
Einuss der Beugung an den Kanten zu berücksichtigen.
Bevor auf diese Lösungsansätze im Detail eingegangen wird, werden im Grundlagenteil die
theoretische Problemstellung dargestellt, grundlegende Begrie deniert, die relevanten
Dierenzialgleichungen aus den Maxwell-Gleichungen hergeleitet und bekannte Lösungsansätze geschildert.
2.1 Grundlagen
2.1.1 Denitionen
Im Folgenden soll kurz deniert werden, wie bestimmte Begrie der Optik im Rahmen
dieser Arbeit verstanden werden.
Geometrische Optik
Geometrische Optik und Strahlenoptik werden in dieser Arbeit
klar unterschieden. Die orthogonalen Trajektorien von geometrischen Wellenfronten können zwar durch Strahlen dargestellt werden, geometrisch-optische Lösungen beschreiben
aber Wellen als Lösung der Eikonalgleichung und besitzen damit im Gegensatz zu Strahlen
21
2.1. Grundlagen
stets auch eine Phase. Für die detaillierte Beschreibung des Ansatzes der Geometrischen
Optik wird auf Abschnitt 2.2.6 verwiesen.
Beugung
Beugungsphänomene sind Lichterscheinungen, die sich nicht mehr mit Hilfe
der Vorstellung erklären lassen, daÿ das Licht aus ebenen Wellen (bzw. zu diesen senkrechten Strahlen) besteht. [Bor33](S.141). Beugung beschreibt das Phänomen, dass Wellen
in Bereiche vordringen, die geometrisch-optisch nicht möglich sind. Es existieren daher
keine scharfen Schattengrenzen und das Licht kann gewissermaÿen um die Ecke gehen.
Interferenz
Unter Interferenz wird das Phänomen verstanden, dass sich kohärente
Wellen überlagern und auf diese Weise Intensitätsverteilungen entstehen, die durch die
Strahlenoptik nicht zu erklären sind. Das heiÿt, dass die Gesamtintensität nicht einfach
die Summe der Einzelintensitäten ist.
Diraktive Eekte
Als diraktive Eekte werden alle Eekte aufgefasst, die durch
Beugung und Interferenz entstehen. Es handelt sich also im Gegensatz zu refraktiven
Eekten um die Eekte, die durch die Strahlenoptik nicht beschrieben werden.
2.1.2 Maxwell-Gleichungen
Die klassische Ausbreitung von Licht in Materie kann durch die Maxwell-Gleichungen
1
beschrieben werden, die in dierenzieller Form im SI-System lauten :
∇ × E = −Ḃ ,
∇ × H = j + Ḋ ,
(2.1)
(2.2)
∇D = ρ ,
(2.3)
∇B = 0 .
(2.4)
Zur Lösung der Gleichungen benötigt man zusätzlich die Materialgleichungen, die die
Stromdichte mit dem elektrischen Feld, das elektrische Feld mit der dielektrischen Verschiebung und das magnetische Feld mit der magnetischen Induktion verknüpfen. Sie
lauten für lineare und isotrope Medien:
j = σE ,
(2.5)
D = 0 E ,
(2.6)
B = µ0 µH .
(2.7)
j =0. Auÿerdem nehmen wir an, dass die Materialien
also ρ = 0 gilt. Im Falle ρ = 0 ergeben sich zusätzliche
Für dielektrische Materialien gilt
keine statische Ladung tragen,
1
Für alle Formeln in diesem Kapitel werden SI-Einheiten verwendet. Die Denition aller Formelzeichen
ndet sich im Symbolverzeichnis.
22
Kapitel 2. Theoretischer Teil
konstante Terme für das elektrische Feld. Dieser Fall ist hier jedoch nicht von Interesse.
Für dielektrische Materialien werden die Maxwell-Gleichungen zu
∇ × E = −µ0 µḢ ,
(2.8)
∇ × H = 0 Ė ,
(2.9)
∇E = 0 ,
(2.10)
∇H = 0 .
(2.11)
2.1.3 Randbedingungen an diskontinuierlichen Brechungsindexübergängen
Die Materialgröÿen
und
µ
sind im Allgemeinen vom Ort abhängig. In dieser Arbeit
haben wir es mit Problemen zu tun, bei denen diese Gröÿen in einem bestimmten Volumen als konstant angenommen werden können. An den Grenzächen solcher Volumina
erfahren die Werte von
und µ einen Sprung. Die Randbedingungen für die Felder an den
n12 der Ein-
Grenzächen können aus den Maxwell-Gleichungen hergeleitet werden. Sei
heitsvektor senkrecht zur Grenzäche der beiden Medien, der in Richtung von Medium 2
zeigt,
ρS
die Oberächenladungsdichte an der Grenzäche und
jS
die Oberächenstrom-
dichte an der Grenzäche, dann gilt:
n12 · (B2 − B1 ) = 0 ,
(2.12)
n12 · (D2 − D1 ) = ρS ,
(2.13)
n12 × (E2 − E1 ) = 0 ,
(2.14)
n12 × (H2 − H1 ) = jS .
(2.15)
Die Felder mit Index 1 bezeichnen dabei die Felder im Medium 1 mit Brechungsindex
die Felder mit Index 2 die Felder im Medium 2 mit Brechungsindex
Wir interessieren uns vor allem für dielektrische Materialien, für die
n2 .
ρS = 0
und
n1 ,
jS = 0
gilt. In diesem Fall werden alle rechten Seiten der Gln.(2.12)-(2.15) gleich Null.
2.1.4 Zeitabhängige Wellengleichungen
Durch Anwenden der Rotation auf beiden Seiten von Gl.(2.8) erhält man für das elektrische Feld:
∇ × ∇ × E(r, t) + 0 (r, t)µ0 µ(r)Ë(r, t) = 0 .
(2.16)
Für unmagnetische Dielektrika (µ=1) ergibt sich mit der Vektoridentität
∇(∇A) − ∆A
∇×∇×A =
und Gl.(2.10) eine inhomogene Helmholtz-Gleichung:
∇(r)
∆E(r, t) − 0 (r)µ0 Ë(r, t) = −∇ E(r, t)
(r)
.
Der inhomogene Term auf der rechten Seite resultiert aus dem Term für
∇E = − ∇(r)
(r) E(r, t),
∇D = ∇ (0 (r)E(r, t)) = 0 ergibt:
verwendet man den Zusammenhang
der Produktregel auf
(2.17)
∇E .
Dazu
der sich durch Anwendung
∇ ((r)E(r, t)) = (r)∇E(r, t) + E(r, t)∇(r) = 0 .
(2.18)
23
2.1. Grundlagen
Analog erhält man für das magnetische Feld
∆H(r, t) − 0 (r, t)µ0 µḦ(r, t) = −
∇(r)
× (∇ × H(r, t)) .
(r)
(2.19)
Diese zeitabhängigen inhomogenen Wellengleichungen sind durch die Dielektrizitätsfunktion
(r)
gekoppelt. Für den Fall eines homogenen Mediums (
und man erhält:
∆E(r, t) −
und
∆H(r, t) −
Dabei ist
c=
=const.)
entkoppeln sie
1
Ë(r, t) = 0
c2
(2.20)
1
Ḧ(r, t) = 0 .
c2
(2.21)
√ 1
0 µ0 µ die Lichtgeschwindigkeit im homogenen Medium.
2.1.5 Kohärenz
In der Optik werden häug kohärente und inkohärente Optik unterschieden. In beiden Fällen handelt es sich um Idealisierungen mit dem Ziel die Lösung der Maxwell-Gleichungen
zu vereinfachen. In der kohärenten Optik wird angenommen, dass das Licht als Welle
dargestellt werden kann und alle Wellen zueinander eine denierte Phase besitzen. Aufgrund der denierten Phase können sich z.B. zwei Wellen überlagern und interferieren.
In der inkohärenten Optik wird keine Phase berücksichtigt und somit sind auch keine Interferenzen möglich. Die Interferenzfähigkeit von Licht entscheidet also darüber, welche
Näherung sinnvoll ist. Der fachliche Begri für Interferenzfähigkeit ist Kohärenz. Kohärenz wird quantitativ durch die Kohärenzlänge und Kohärenzzeit beschrieben. Diese
Gröÿen geben an, über welche Entfernungen oder Zeiträume für Teilwellen eine ausreichend groÿe Phasenbeziehung existiert. In diesem Abschnitt soll geklärt werden, welche Kohärenz sichtbares Sonnenlicht besitzt. Dabei folgen wir den Überlegungen von
Pérez [Pe96](S. 367-379).
Zeitliche Kohärenz
Die Sonne ist ein thermischer Strahler. Sie emittiert daher ein kontinuierliches Spektrum
über einen breiten Wellenlängenbereich, das im Wesentlichen durch eine Planck-Kurve
beschrieben wird. Von diesem Spektrum ist nur der Bereich zwischen etwa 400 und 700 nm
für das menschliche Auge sichtbar. Die sichtbare spektrale Intensitätsverteilung
I(ν)
des
Sonnenlichts kann näherungsweise durch eine Kurve, die um einen Frequenzmittelwert
ν0 =550
nm schwankt, dargestellt werden. Hierfür kann man eine Lorentzkurve, Gauÿ-
Verteilung oder im einfachsten Fall eine Rechteck-Verteilung der Breite
um
ν0 ,
verwenden.
∆ν 1 ,
2
zentriert
Die Sonne kann auÿerdem als eine primäre, quasimonochromatische Quelle betrachtet
werden. Ist eine Lichtquelle quasimonochromatisch, so erzeugt jede der monochromatischen Komponenten ihre eigene Interferenzerscheinung.
Zur Herleitung der zeitlichen Kohärenzlänge betrachten wir eine primäre Quelle, deren
Strahlung auf ein Interferometer in der Ebene
S1 -S2
trit (vgl. Abb. 2.2). Jede Frequenz
24
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.2: Zur Herleitung der zeitlichen Kohärenzlänge: Eine primäre punktförmige Quelle emit-
tiert Strahlung mit einer spektralen Intensitätsverteilung
I(ν),
die auf ein Interferometer in der Ebene
S 1 -S 2
trit. Jede Frequenz trägt unabhängig zu einem Interferenzmuster in der Beobachtungsebene am
Punkt
P
bei.
dieser Quelle trägt unabhängig von den anderen ein eigenes Interferenzmuster bei und
erzeugt für sich am Punkt
P
das Feld
E(ν, t) = E1 (ν, t) + E2 (ν, t) = E1 (ν, t) + E1 (ν, t + τ ) ,
das sich durch Superposition der Einzelfelder
wege ergibt, die am Punkt
eine Laufzeit
t, der
S1
bzw.
S2
und
E2
für die zwei verschiedenen Licht-
S1 hat dabei
P erhält man
vorbeiführen. Der erste Lichtweg über
zweite eine Laufzeit
damit
E1
(2.22)
t + τ.
Für die Intensität am Punkt
I(ν) = E(ν, t)E(ν, t)∗ und mit dem Ansatz
E1 (ν, t) = E0 exp(−i2πνt)
ergibt sich nach kurzer Rechnung
I(ν) = 2I0 (ν)[1 + cos 2πντ ] .
Für die gesamte Intensität
I , die am Punkt P
(2.23)
(2.24)
für alle Wellenlängen entsteht, folgt damit:
∞
I=
2I0 (ν)[1 + cos 2πντ ] dν .
(2.25)
0
Die Interferenzstreifen zu den verschiedenen Frequenzen überlagern sich und werden undeutlich, da die Phase
2πντ
von der Frequenz abhängt. Ist das Frequenzspektrum jedoch
schmal genug, so ist die Verschmierung des Musters nicht wahrnehmbar. Nehmen wir ei-
I(ν) an, dann ist die maximale Phasendierenz zwischen zwei
∆φmax = 2π∆ν 1 τ . Eine Verschmierung ndet nicht statt, wenn ∆φmax << 2π
ne Rechteckverteilung für
Wellen
ist und daher
2
τ << τc ≡ ∆ν −1
1 .
2
τc ist die Kohärenzzeit.
Lc = c τc . Für sie gilt
(2.26)
Die Kohärenzlänge zeitlicher Kohärenz ist dann deniert als
Lc = c ∆ν −1
1
2
(2.27)
25
2.1. Grundlagen
und wegen
dν = −(c/λ2 ) dλ
folgt
Lc = λ
λ
∆λ 1
.
(2.28)
2
Nach dieser Überlegung errechnet man für sichtbares Licht (∆λ 1
Lc ≈
1
2
µm.
≈ 300 nm, λ ≈ 550 nm)
Räumliche Kohärenz
Häug werden in Lehrbüchern transversale und longitudinale Kohärenz unterschieden,
die die Kohärenz in Ausbreitungsrichtung und senkrecht dazu beschreiben sollen. Die
longitudinale Kohärenz entspricht der zeitlichen Kohärenz. Die transversale Kohärenz
wird auch als räumliche Kohärenz bezeichnet.
Zur Herleitung der räumlichen Kohärenzlänge betrachten wir eine primäre Quelle der
Ausdehnung
S 1 -S 2
∆S
(vgl. Abb. 2.3), deren Strahlung auf ein Interferometer in der Ebene
trit. Jeder Punkt dieser Quelle trägt unabhängig von den anderen ein eigenes
Abbildung 2.3: Zur Herleitung der räumlichen Kohärenzlänge: Eine primäre Quelle der Ausdehnung
∆S
emittiert Strahlung, die auf ein Interferometer in der Ebene
S1 -S2
trit. Jeder Punkt auf
unabhängig zu einem Interferenzmuster in der Beobachtungsebene am Punkt
P
∆S
trägt
bei.
Interferenzmuster bei. Die einzelnen Intensitäten addieren sich zur Gesamtintensität
I=
2Ii [1 + cos φi ] ,
(2.29)
i
wobei
φi = 2πντi
mit
τi = [(Si S2 P ) − (Si S1 P )]/c.
∆φmax zwischen den
Die maximale Phasendierenz
∆φmax = 2π
Teilwellen beträgt
a ∆S
.
Ds λ
(2.30)
26
a
Kapitel 2. Theoretischer Teil
ist hierbei der Abstand zwischen
S1
und
S2 ,
und
S1
der Quelle und der Verbindungslinie zwischen
Sei
θ
Ds
und
ist der kürzeste Abstand zwischen
S2 .
der Winkel, unter dem man die primäre Quelle vom Interferometer aus sieht. Dann
gilt für kleine Winkel
θ:
∆φmax = 2π
aθ
.
λ
(2.31)
∆φ << 2π oder
lc = λθ , dann wird
Damit die Verwaschung des Interferenzmusters vernachlässigbar ist, muss
aθ
λ
<< 1
gelten. Deniert man die räumliche Kohärenzlänge
lc
durch
die vorherige Bedingung zu
a << lc .
Im Fall der Sonne ist
θ =32'
und
λ≈
(2.32)
550 nm, so dass lc
≈
60
µm.
Die räumliche Kohä-
renzlänge des Sonnenlichts ist somit deutlich gröÿer als die longitudinale Kohärenzlänge.
Bei den prismatischen Gittern, die wir in dieser Arbeit untersuchen wollen, bewegt
sich die Periode und Tiefe der Strukturen in einem Bereich von etwa 5-100
µm.
Daher
benden wir uns in einem Übergangsbereich zwischen kohärenter und inkohärenter Optik
und müssten die partielle Kohärenz der elektromagnetischen Felder berücksichtigen. Eine
entsprechende Rechnung ist aber sehr aufwändig. Die Erfahrungen haben gezeigt, dass
eine kohärente Rechnung gute Ergebnisse liefert. Wir gehen daher im Folgenden stets
davon aus, dass wir es mit vollständig kohärenten Feldern zu tun haben. Mit dieser
Annahme machen wir eine worst case-Betrachtung, denn endliche Kohärenzlängen
können die störenden diraktiven Eekte nur verringern.
2.1.6 Zeitunabhängige Maxwellgleichungen
Gehen wir von vollständig kohärentem Licht aus, dann kann das Gesamtfeld als Summe
von zeitlich harmonischen, monochromatischen Feldern dargestellt werden. Wir machen
daher für die Maxwell-Gleichungen Gl.(2.8)-(2.11) einen Ansatz der Form
E(r, t) = Re [E ω (r) exp(−iωt)] ,
(2.33)
H(r, t) = Re [H ω (r) exp(−iωt)] .
(2.34)
Dabei haben wir die komplexen Feldvektoren
Eω
und
Hω
eingeführt. Durch diesen An-
satz erhält man für dielektrische, nicht-magnetische, lineare und isotrope Materialien die
folgenden zeitunabhängigen Maxwell-Gleichungen:
∇ × E ω (r) = iωµ0 H ω (r) ,
(2.35)
∇ × H ω (r) = −iω0 (r) E ω (r) ,
(2.36)
∇Dω (r) = 0 ,
(2.37)
∇B ω (r) = 0 .
(2.38)
27
2.1. Grundlagen
Im Falle homogener Medien sind noch weitere Vereinfachungen möglich. Es gilt dann
∇ × E ω (r) = iωµ0 H ω (r) ,
(2.39)
∇ × H ω (r) = −iω0 (r) E ω (r) ,
(2.40)
∇E ω (r) = 0 ,
(2.41)
∇H ω (r) = 0 .
(2.42)
Gl.(2.41) und (2.42) werden durch Gl.(2.39) und (2.40) wegen
∇(∇×) ≡ 0
automatisch
erfüllt und sind somit überüssig. Auÿerdem beinhalten Gl.(2.39) und (2.40), dass das
elektrische Feld durch den komplexen Teil des magnetischen Feldes ausgedrückt werden
kann und umgekehrt:
1
∇ × Im [H ω (r) exp(−iωt)] ,
0 (r)ω
−1
∇ × Im [E ω (r) exp(−iωt)] .
µ0 µ(r)ω
E(r, t) =
H(r, t) =
(2.43)
(2.44)
2.1.7 Vektorielle Helmholtz-Gleichungen
Durch die Separation der Zeit ergeben sich aus Gl.(2.35)-(2.38) für inhomogene (
= (r )),
dielektrische und unmagnetische Materialien die vektoriellen, inhomogenen Helmholtz-
Gleichungen
∇(r)
,
∆E ω (r) + k (r)E ω (r) = −∇ E ω (r, t)
(r)
∇(r)
× (∇ × H ω (r))
∆H ω (r) + k2 (r)H ω (r) = −
(r)
2
mit der Separationskonstante
(2.45)
(2.46)
k
k2 (r) = 0 (r)µ0 ω 2 .
(2.47)
2.1.8 Zweidimensionale Geometrie
Alle im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Strukturen für Tageslichtsysteme haben eine
lineare Gitterstruktur, sind also in einer Richtung invariant. Diese Richtung soll im Folgenden die y-Achse sein (Abb. 2.4). Wir gehen auÿerdem davon aus, dass das Licht in
einer Ebene senkrecht zur Gitterebene einfällt. In Wirklichkeit fällt das Sonnenlicht natürlich nicht nur in dieser Ebene auf ein Tageslichtsystem. Die reale Einfallsrichtung kann
also nicht nur durch einen Höhenwinkel beschrieben werden, sondern es muss zusätzlich
der Azimuthwinkel berücksichtigt werden. Die Behandlung des Problems für beliebige
Einfallsrichtungen (sog. konischer Einfall) ist jedoch deutlich aufwändiger. Zur Optimierung der Systeme kann man den Azimuthwinkel vorläug gleich Null setzen, weil er in den
kritischen Mittagszeiten klein ist. Für eine vollständige Simulation des Tageslichtsystems
muss er aber berücksichtigt werden.
28
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.4: Denition der Achsen und des Einfallswinkels für die folgenden Betrachtungen.
Im quasi-zweidimensionalen Fall vereinfachen sich die vektoriellen Helmholtz-Gleichungen
(Gl.(2.45) und (2.46)), weil sie sich durch den Separationsansatz
F ω (r) = a · U (r) · ey + b · V (r) · (cos θ ex + sin θ ez )
(2.48)
F ω (r) steht hierbei für E ω (r) oder H ω (r). U (r) ist die jeweilige Komponente in y-Richtung, V (r) steht für die Komponente senkrecht zur Einfallsrichtung und
zur y-Achse. Durch die y-Invarianz verschwinden alle Ableitungen von U in y-Richtung.
Im Falle E(r) = U (r) · ey folgt für U (r):
entkoppeln lassen.
∆U (r) + k2 (r)U (r) = 0 .
(2.49)
2
In diesem Fall spricht man von TE-Polarisation . Die Dierenzialgleichung ist eine skalare,
homogene Helmholtz-Gleichung mit nicht-konstantem Koezienten
Im Falle
H(r) = U (r) · ey
folgt für
k.
U (r):
∆U (r) + k2 (r)U (r) =
∇(r)
∇U (r) .
(r)
(2.50)
3
In diesem Fall spricht man von TM-Polarisation . Man erhält eine inhomogene Dierenzialgleichung. Der Term auf der rechten Seite erschwert die Lösung von Problemen, bei
denen die Dielektrizitätskonstante diskontinuierlich verläuft, wie es z.B. bei Grenzächen
dielektrischer Medien der Fall ist.
Durch Auftrennung eines beliebigen einfallenden Feldes, dessen Einfallsrichtung in der
x-z-Ebene liegt, in die zwei Polarisationsanteile und Lösung der Dierenzialgleichungen
2
TE: Abk. für transversal elektrisch, da der elektrische Feldvektor transversal zur Einfallsebene steht.
TM: Abk. für transversal magnetisch, da der magnetische Feldvektor transversal zur Einfallsebene
steht.
3
29
2.1. Grundlagen
für beide Fälle können alle Feldkomponenten über die Gleichungen (2.43) und (2.44) bestimmt werden.
Im Falle von homogenen Medien (k(r)=const.) erhält man für jede Polarisation die identische homogene Helmholtzgleichung mit konstantem Koezienten
k:
∆U (r) + k2 U (r) = 0 .
(2.51)
2.1.9 Integraltheorem von Helmholtz und Kirchho
Um die homogene Helmholtz-Gleichung Gl.(2.51) für gegebene Randbedingungen zu lösen, kann das Integraltheorem von Helmholtz und Kirchho hilfreich sein. Es besagt, dass
das Feld
U
in einem Gebiet
Ω
eines homogenen Mediums bestimmt werden kann, wenn
man das Feld und seine Ableitung am Rand
S
von
Ω
kennt. Dazu verwendet man das
Helmholtz-Kirchho-Integral [Bor80]:
U (r) =
Dabei ist
G
1
4π
∂U
∂
G(r, r ) − G(r, r )
dr .
U
∂n
∂n
(2.52)
S
die Greensche Funktion für die Helmholtz-Gleichung. Sie ist deniert als die
Lösung der Gleichung
∆G(r) + k2 G(r) = δ(r − r ) .
(2.53)
Im zweidimensionalen Fall kann die Greensche Funktion analytisch durch eine Zylinderwelle dargestellt werden:
wobei
s=
eiks
G(s) = √ ,
s
(x − x )2 + (z − z )2 .
(2.54)
2.1.10 Ebene-Wellen-Entwicklung
Im Helmholtz-Kirchho-Integral wird die gesamte Lösung durch ein Integral über Zylinderwellen bestimmt. Neben Zylinderwellen sind auch ebene Wellen eine Lösung der
homogenen Helmholtzgleichung. Das heiÿt, jede Lösung lässt sich darstellen durch
U (r) =
u(k)eikr dk
mit
|k|2 = k2 .
(2.55)
C
Für den zweidimensionalen Fall gilt für eine ebene Welle:
U (k, r) = u eikr = U (kx , kz , r) = u exp[ikx x + ikz z] .
(2.56)
Setzt man dies in die homogene Helmholtz-Gleichung Gl.(2.51) ein, dann erhält man die
Bedingung
mit
k02 = µ0 0 ω 2 =
2π
λ0
2
Die Einzelkomponenten
|k|2 = kx2 + kz2 = k02 .
kx
λ0
(2.57)
ist dabei die Wellenlänge im Vakuum.
und
kz
sind voneinander abhängig. Die erlaubten Werte von
30
k
Kapitel 2. Theoretischer Teil
liegen auf einer Kugel (bzw. im zweidimensionalen Fall einem Kreis) mit Radius
wobei
n =
√
k0 n,
der Brechungsindex des homogenen Mediums ist. Diese Kugel wird als
Ewald-Kugel bezeichnet.
Man kann zwei Fälle unterscheiden:
•
Falls
kx2 < k02 gilt, ist
kz
real und man erhält ebene Wellen mit einer konstanten
Amplitude.
•
Falls
kx2 > k02 gilt, wird
kz
imaginär und Gl.(2.56) wird zu
U (r) = u eikx x e±γz
mit
γ = ikz =
(2.58)
kx2 − k02 .
Im zweiten Fall erhält man evaneszente Wellen. Dies sind inhomogene Wellen, deren
Amplitude sich in z-Richtung exponenziell ändert. Das Vorzeichen von
γ
muss so ge-
wählt werden, dass das Feld im Unendlichen begrenzt bleibt. Die Amplitude muss also
exponenziell abfallen. Der Abfall der evaneszenten Welle kann durch die Eindringtiefe
beschrieben werden, die als
d=
d
2π
γ deniert ist. Evaneszente Wellen haben eine beson-
dere Bedeutung, wenn es um die Erfüllung von Randbedingungen geht. Ändern sich z.B.
die Eigenschaften des Mediums in x-Richtung auf einer Skala kleiner als
λ,
dann muss
sich auch das Feld auf dieser Skala ändern. Dies geht nur mit Wellen, deren Wellenzahl
gröÿer als
k0 n
ist, also nur mit evaneszenten Wellen. Folglich sind Beugungsphänome-
ne an Strukturen mit Abmessungen im Bereich der Wellenlänge Phänomene, bei denen
evaneszente Wellen eine wesentliche Rolle spielen.
2.1.11 Poynting-Vektor
Um den Energietransport im elektromagnetischen Feld zu charakterisieren, ist der
Poynting-Vektor
S
eine wichtige Gröÿe. Er ist deniert als
S =E×H.
Aufgrund der hohen optischen Frequenzen ist nur sein zeitliches Mittel
das in der Zeit
T
(2.59)
S(r)
messbar,
gemessen wird:
1
S(r) =
T
T
0
1
E(r, t) × H(r, t) dt = Re [Eω (r) × Hω ∗ (r)] .
2
(2.60)
31
2.2. Beugung an aperiodischen Strukturen
2.2 Beugung an aperiodischen Strukturen
2.2.1 Transmissionsproblem
Abbildung 2.5: Denition des Transmissionsproblems: Eine aus dem Gebiet
trit auf eine Grenzäche
S,
die das Gebiet
Ω1
vom Gebiet
Ω2
Ω1
einfallende ebene Welle
trennt. Gesucht ist die Lösung der
Helmholtz-Gleichung in beiden Gebieten.
Das Problem, an dessen Lösung wir interessiert sind, ist ein Problem mit unbegrenzten
und oenen Randbedingungen: Eine einfallende Welle trit auf eine Grenzäche zwischen zwei Dielektrika, an der sich der Brechungsindex sprunghaft ändert. Das Feld der
einfallenden Welle kann durch
U i = exp[ik1 (sin θ · x + cos θ · z)] · ey
(2.61)
beschrieben werden. Die Grenzäche soll unendlich ausgedehnt sein. An ihr wird die einfallende Welle gebeugt. Das gebeugte Feld entsteht sowohl im Medium der einfallenden
Welle als auch im anderen Medium. Die Helmholtz-Gleichung ist in diesem Fall in zwei Bereichen
Ω1
und
Ω2
zu lösen, in denen jeweils homogene Materialeigenschaften herrschen.
Dieses Problem wird im Folgenden Transmissionsproblem genannt. Wir gehen davon aus,
dass die Grenzäche durch eine Funktion
eine Funktion
U (x, y, z) = U (x, z),
f (x, y) = f (x) darstellbar
für die gilt:
∆U + k12 U = 0
für
y > f (x) ,
=0
für
y < f (x) .
∆U +
4
ist . Wir suchen also
k22 U
(2.62)
Für die Randbedingungen ergibt sich aus den Gln.(2.12)-(2.15), dass sich die Tangentialkomponenten von
E
und
H
beim Durchgang durch die Grenzäche nicht ändern. Daraus
4
Damit werden Grenzächen mit Hinterschneidungen nicht berücksichtigt. Diese interessieren uns
aber auch nicht, weil sie durch Prägeprozesse nicht oder nur schwer herzustellen sind.
32
Kapitel 2. Theoretischer Teil
lässt sich folgern, dass
lim
z→f (x)+
d.h.
U
U=
lim
z→f (x)−
U,
(2.63)
geht kontinuierlich durch die Grenzäche, sowie
lim
z→f (x)+
∂U
∂U
= lim
∂n12 z→f (x)− ∂n12
(2.64)
für TE-Polarisation bzw.
lim
z→f (x)+
2
∂U
=
∂n12
1
lim
z→f (x)−
∂U
∂n12
(2.65)
für TM-Polarisation.
Die Randbedingungen an der Grenzäche sind also reine Stetigkeitsbedingungen.
In dieser Formulierung des Transmissionsproblems haben wir zwei homogene HelmholtzGleichungen in
Ω1
und
Ω2
zu lösen, wobei die Lösungen über die Randbedingungen ge-
koppelt sind. Alternativ kann man das Problem auch lösen, indem man die inhomogenen
Helmholtz-Gleichungen (2.49) und (2.50) für das gesamte Gebiet
Ω1 ∪ Ω2
löst, wobei man
einen inhomogenen Verlauf der Dielektrizitätskonstante annimmt. Im Fall einer Grenzäche zwischen zwei homogenen Medien lautet die Funktion für die Dielektrizitätskonstante:
(x, z) =
1 z > f (x)
.
2 z < f (x)
(2.66)
Beide Formulierungen sind mathematisch äquivalent. Bei beiden Formulierungen sehen
wir, dass die TM-Polarisation Probleme bereiten kann: Da sich
an der Grenzäche
sprunghaft ändert, muss, damit die Randbedingung Gl.(2.65) erfüllt wird, auch
U
an der
Grenzäche einen Sprung machen. Dies stellt für viele numerische Lösungsalgorithmen
eine Schwierigkeit dar.
In jedem Fall muss für eine physikalisch sinnvolle Lösungsfunktion
gelten. Setzt man die Lösung als Summe der einfallenden Welle
Welle
Ud
an, dann heiÿt dies, dass
Ud
U die Energieerhaltung
U i und der gebeugten
im Unendlichen begrenzt bleiben muss. Diese Be-
dingung wird als Sommerfeldsche Strahlungsbedingung bezeichnet, im Englischen häug
als outgoing wave condition. Mathematisch formuliert lautet sie:
lim
r→∞
√
r
∂
− ik U = 0 .
∂r
(2.67)
Man kann zeigen, dass durch die genannten Randbedingungen das Transmissionsproblem
eindeutig gelöst werden kann [Ca80].
2.2.2 Reexionsproblem
Ist man nur an der Lösung im Bereich
Ω1
interessiert, kann sich die Lösung deutlich
vereinfachen. Wir sprechen im Folgenden von Reexionsproblemen. Der bekannteste Fall
eines Reexionsproblems ist der, bei dem das zweite Material ein idealer Leiter ist. Das
33
2.2. Beugung an aperiodischen Strukturen
elektrische Feld im Bereich
Ω2 wird Null. Für TE-Polarisation gilt daher eine Dirichletsche
Randbedingung :
U (x, f (x)) = 0
(2.68)
und für TM-Polarisation eine Neumann-Randbedingung :
∂U =0.
∂n12 z=f (x)
(2.69)
Auf Basis dieser Randbedingungen können einige Probleme analytisch gelöst werden. Ein
Beispiel ist die berühmte Sommerfeldsche Lösung für die Beugung einer ebenen Welle an
einer unendlich dünnen, ideal leitenden Halbebene [So96].
2.2.3 Analytische Lösungen
Eine exakte analytische Lösung des Transmissionsproblems ist nur für einfache Fälle
möglich, bei denen die Grenzäche eine Ebene in einem orthogonalen Koordinatensystem
darstellt. Dann kann die partielle Dierenzialgleichung durch einen Separationsansatz in
zwei einfache Dierenzialgleichungen entkoppelt werden. Beispiele hierfür sind bei kartesischen Koordinaten die Fresnel-Lösung für die plane Grenzäche [He98](S.111.) und bei
zylindrischen Koordinaten die Mie-Lösung für einen Zylinder [Mi08]. Transmissionsprobleme sind vor allem deshalb schwer analytisch zu lösen, weil die Randbedingungen an
der Grenzäche reine Stetigkeitsbedingungen sind. Man muss daher stets die Lösung in
beiden Medien bestimmen, selbst wenn man nur die Lösung in einem Medium sucht. Ist
man bei einem Transmissionsproblem nur an der Lösung in Medium 1 interessiert, kann
man in einigen Fällen durch genäherte Randbedingungen (engl.: approximate boundary
conditions) das Transmissionsproblem in ein Reexionsproblem umwandeln, um dadurch
die Lösung zu vereinfachen [Se81].
Totalreexion
Die analytische Lösung für die plane Grenzäche beschreibt auch das Phänomen der To-
talreexion : Fällt die Welle aus dem optisch dichteren Medium auf eine plane Grenzäche
n
und ist der Einfallswinkel gröÿer oder gleich arcsin 2 , so wird die Welle vollständig reekn1
tiert. In diesem Fall breitet sich im zweiten Medium keine ebene Welle aus, die Energie in
das Medium transportiert. Es entsteht vielmehr eine evaneszente Welle, die entlang der
Grenzäche läuft und deren Amplitude im zweiten Medium senkrecht zur Grenzäche
exponenziell abnimmt [Bor80](S.47):
Et = E0 exp [i (x k0 n1 sin θ − ωt)] exp −k0 z
n21 sin2 θ
−
n22
.
(2.70)
Begrenzte ebene Wellen und dielektrische Halbebene: Goos-HänchenVerschiebung
Im Falle einer z.B. durch eine Blende begrenzten einfallenden Welle haben die Fresnelschen Formeln keine Gültigkeit mehr, da Fresnel von unendlich ausgedehnten Wellenfronten ausging. Mathematisch lässt sich eine begrenzte Wellenfront durch eine Überlagerung
34
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.6: Ein lateral begrenztes Strahlenbündel fällt auf eine Grenzäche zu einem optisch dün-
neren Medium. Ist der Einfallswinkel gröÿer oder gleich dem kritischen Winkel, so erfolgt Totalreexion.
Das reektierte Strahlenbündel erfährt dabei senkrecht zur Ausbreitungsrichtung eine Verschiebung
die sog. Goos-Hänchen-Verschiebung. Die Projektion der Verschiebung auf die Grenzäche ist
dGH ,
dGH .
vieler unendlich ausgedehnter ebener Wellen darstellen, die aus unterschiedlichen Richtungen einfallen. Fallen diese Wellen unter einem Winkel gröÿer als dem Totalreexionswinkel ein, so erfahren die reektierten Wellen bei der Reexion einen Phasensprung
der abhängig vom Einfallswinkel
θ
∆ϕ,
ist. Für TE-Polarisation errechnet man [Ar48]:
∆ϕT E = −2 arctan
und für TM-Polarisation
sin2 θ − (n2 /n1 )2
cos θ
∆ϕT M = −2 arctan
sin2 θ − (n2 /n1 )2
(n2 /n1 )2 cos θ
(2.71)
(2.72)
Dies ist der entscheidende Unterschied zu Wellen, die an einem Metall reektiert werden.
Letztere erfahren einen Phasensprung, der unabhängig vom Einfallswinkel ist.
Durch
die
unterschiedlichen
Phasensprünge
im
Falle
sich Schwebungen, die zu einer Verschiebung dGH
der
Totalreexion
ergeben
des reektierten Strahls führen
(vgl. Abb. 2.6). Diese Verschiebung wurde erstmals 1947 von Goos und Hänchen gemessen [GH47]. Die erste theoretische Berechnung stammt von Artmann aus dem Jahr
1948 [Ar48]. Für Strahlquerschnitte deutlich gröÿer als die Wellenlänge und für Winkel
nahe dem Totalreexionswinkel berechnet er die Verschiebung in TE-Polarisation zu
dGH,T E =
tan θ
λ
·
2
n1 π
sin θ − sin2 θc
und in TM-Polarisation zu
dGH,T M
=
n1
n2
2
sin θc =
mit
dGH,T E
.
n2
n1
(2.73)
(2.74)
35
2.2. Beugung an aperiodischen Strukturen
Diese Gleichungen gelten nicht für
Der Faktor
n1
n2
2
θ = θc
und für
θ >> θc .
für das Verhältnis der Verschiebung in TM-Polarisation zur Verschie-
bung in TE-Polarisation konnte in Messungen von Goos und Hänchen [GH48] und Haibel [Ha01] nicht nachgewiesen werden.
Zur Berechnung der Goos-Hänchen-Verschiebung existieren viele Veröentlichungen, die
teilweise deutlich unterschiedliche Ergebnisse liefern. Wir nennen hier nur die wichtigen Veröentlichungen von Renard [Re64], Tamir und Horowitz [Ho71] und Lai [La86].
Renards Formeln gelten wie die von Artmann nur nahe dem kritischen Winkel. Sie ergeben im Gegensatz zu Artmanns Formeln kein konstantes Verhältnis von TE- zu TMVerschiebung. In den Veröentlichungen von Tamir und Lai werden die Strahlquerschnitte berücksichtigt. Lai untersucht vor allem das Verhalten um den kritischen Winkel. Für
Winkel nicht zu nahe am kritischen Winkel erhält Lai für die Verschiebung eines sehr
breiten Strahls
dGH =
wobei
λ
n1 π
·
m cos2 θc tan θ
sin2 θ − sin2 θc [cos2 θ + m2 (sin2 θ − sin2 θc )]
m = 1 für TE- und m = (n1 /n2 )2
,
(2.75)
für TM-Polarisation. Diese Formel gilt im Gegen-
satz zur Artmann-Formel auch für Winkel
>> θc .
Sie sagt aus, dass sich das Verhältnis
TM- zu TE-Verschiebung mit gröÿeren Winkeln deutlich ändert. Es existiert sogar ein
Winkel, ab dem die Verschiebung in TE-Polarisation gröÿer wird als in TM-Polarisation.
Die nicht zufriedenstellende Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen ist
eventuell darauf zurückzuführen, dass die theoretisch angenommenen einfallenden Felder
im Experiment schwer zu realisieren sind. Eine ebene Welle mit denierter Breite muss
im Experiment beispielsweise mit einer Blende hergestellt werden. An den Blendenbegrenzungen tritt unweigerlich Beugung auf. Diese Beugung wird in der Theorie nicht
berücksichtigt. Darauf wiesen schon Goos und Hänchen hin [GH48].
2.2.4 Numerische Lösungsmethoden
Im Allgemeinen müssen für die Lösung von Transmissionsproblemen numerische Me-
thoden verwendet werden. Die numerischen Methoden zur Berechnung elektromagnetischer Felder kann man in Niederfrequenzmethoden, Hochfrequenzmethoden und hybride
Methoden einteilen (Abb. 2.7). Die Niederfrequenzmethoden sind vorwiegend rigorose
Methoden, die direkt die Maxwell-Gleichungen lösen ohne vom Ansatz her Näherungen
zu beinhalten. Zu ihnen gehören dierenzielle Methoden, Integralmethoden und modale Methoden. Hochfrequenznäherungen lösen die Maxwell-Gleichungen näherungsweise
für den Fall hoher Frequenzen bzw. kleiner Wellenlängen. Zu diesen Methoden zählen
z.B. die Geometrische Optik, die Physikalische Optik oder die Geometrische Beugungstheorie. Hybride Methoden verknüpfen unterschiedliche Methoden miteinander, in der
Regel Niederfrequenz- mit Hochfrequenzmethoden. In dieser Arbeit werden wir als Niederfrequenzmethoden modale und integrale Methoden und als Hochfrequenznäherungen
Geometrische Optik, Physikalische Optik und Geometrische Beugungstheorie anwenden.
Dierenzielle Methoden werden der Vollständigkeit halber beschrieben.
36
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.7: Einteilung der numerischen Methoden zur Lösung von Reexions- und Transmissions-
problemen.
2.2.5 Rigorose Methoden
Dierenzielle Methoden
Die wichtigsten dierenziellen Methoden sind die Methode der Finiten Elemente (FEM)
und die Methode der Finiten Dierenzen (FD).
Die Lösung eines Problems anhand der Methode der Finiten Elemente beinhaltet im
Wesentlichen vier Schritte [Sad01]:
•
Diskretisierung des Lösungsraums in eine endliche Anzahl von Unterräumen oder
Elementen,
•
Ableitung vorherrschender Gleichungen für ein typisches Element,
•
Zusammensetzung der Gleichungen für alle Elemente im Lösungsraum,
•
Lösung des Gleichungssystems.
Finite-Elemente-Algorithmen sind relativ schwierig zu programmieren. Sie sind jedoch
sehr exibel und können auf viele physikalische Probleme angewendet werden, ohne dass
der Code stark verändert werden muss. Daher wird diese Methode bevorzugt zur Modellierung komplexer physikalischer Probleme verwendet, bei denen z.B. mechanische,
optische, elektronische oder thermische Vorgänge wechselwirken.
Die Methode der Finiten Dierenzen ist die am meisten verwendete Methode zur numerischen Lösung von Dierenzialgleichungen.
Die Lösung eines Problems anhand der Methode der Finiten Dierenzen beinhaltet im
Wesentlichen drei Schritte [Sad01]:
2.2. Beugung an aperiodischen Strukturen
•
•
37
Diskretisierung des Lösungsraums durch eine endliche Anzahl von Gitterpunkten,
Näherung der Dierenzialgleichung durch nite Dierenzen, die das Feld an einem
Gitterpunkt mit dem der benachbarten Gitterpunkte verbindet,
•
•
Zusammensetzung der Gleichungen für alle Elemente im Lösungsraum,
Lösung des entstehenden Gleichungssystems unter Berücksichtigung der Rand- und
Anfangsbedingungen.
Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen hat sich als FD-Algorithmus die Finite Dierence
Time Domain Method (FDTD) etabliert. Sie wurde von Yee entwickelt [Yee66]. Die zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen werden im Ortsraum diskretisiert und als Anfangswertproblem gelöst.
Der Vorteil der Methode der Finiten Dierenzen ist, dass sie einfach zu verstehen und zu
programmieren ist. Wie alle dierenziellen Methoden ist sie jedoch eine lokale Methode:
Sie berechnet das Feld in einem eingeschränkten Gebiet. Die Randbedingungen am Rand
des Gebiets müssen klar deniert sein. Probleme mit Randbedingungen im Unendlichen
können nur näherungsweise behandelt werden und müssen durch geeignete Randbedingungen am Rande eines endlichen Gebiets modelliert werden. Um eine hohe Genauigkeit
zu erreichen, muss man den Lösungsraum so wählen, dass seine Abmessungen deutlich
gröÿer als die Gröÿe der zu untersuchenden Struktur sind. Man erhält dadurch sehr groÿe
Gleichungssysteme und die Methode ist nicht sehr ezient. Zudem ist die erreichbare
Genauigkeit der Lösung meist kleiner als bei alternativen Methoden.
Modale Methoden
Modale Methoden eignen sich insbesondere für Probleme mit periodischen Randbedingungen. Wir werden daher im Kapitel 2.3 näher auf diese Methoden eingehen. Durch
das Konzept der absorbing boundaries können diese Methoden auch auf aperiodische
Probleme angewendet werden [Si01]. Dazu wird die zu untersuchende Struktur zuerst
periodisiert und dann werden zwischen die Strukturen eines Periodenabschnitts Schichten eingebaut, die im Idealfall sämtliche auf sie treende Strahlung absorbieren. Damit
wird eine Wechselwirkung und somit Interferenz zwischen den periodischen Abschnitten unterbunden und das berechnete Feld innerhalb einer Periode entspricht im Idealfall
dem Feld für das isolierte Problem. Optimal konstruierte absorbierende Wände werden
als perfectly matched layers bezeichnet [Ber94]. Sie sind vor allem für Lösungen mit
FDTD entwickelt worden, um Randbedingungen im Unendlichen durch einen Randbereich endlicher Ausdehnung ersetzen zu können. Im Falle von Problemen, bei denen als
Quelle der einfallenden Welle eine ebene unendlich ausgedehnte Lichtquelle angenommen wird, ist das Design optimaler absorbierender Wände eine komplexe Fragestellung,
der nicht vertieft nachgegangen wurde. Werden in dieser Arbeit absorbierende Wände
verwendet, so sind diese stets so aufgebaut, dass sie einen Groÿteil der Interferenzen zwischen den periodischen Strukturen unterdrücken und qualitative Betrachtungen isolierter
Beugungsprobleme möglich sind.
38
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Integralmethoden
Als Integralmethoden werden alle Methoden bezeichnet, bei denen aus den MaxwellGleichungen Integralgleichungen abgeleitet und dann mittels verschiedener numerischer
Methoden gelöst werden. Es existiert eine Vielzahl von Integralmethoden, die auf verschiedenen Konzepten basieren. Im Falle inhomogener Medien bieten sich z.B. Volumenintegralmethoden an [Har68]. Für das Transmissionsproblem, in dem zwei homogene dielektrische Medien aneinander grenzen, ist eine Oberächenintegralmethode jedoch geeigneter [Pr97]. Bei Oberächenintegralmethoden werden die Lösungen der Wellengleichungen durch Funktionen dargestellt, die nur auf der Grenzäche ungleich Null sind.
Kennt man diese Funktionen, dann kann das Feld an einer beliebigen Stelle des Raums
bestimmt werden. Im Falle eines Leiters entspricht die gesuchte Funktion auf der Grenzäche der Stromverteilung, die durch das einfallende Feld induziert wird. Im Falle von
Dielektrika kann die Verteilung als Polarisationsfeld gedeutet werden. Das Strahlungsfeld, das wiederum durch diese Ströme oder Ladungen entsteht, ist das gebeugte Feld.
Für die Herleitung der Integralgleichungen im Falle aperiodischer Strukturen verweisen
wir auf [Pr97](App. A). Die resultierende Integralgleichung muss in der Regel numerisch
gelöst werden. Dazu muss das Integral in ein Gleichungssystem umgewandelt werden. Geeignete Methoden hierfür sind die Method of Moments (MoM) [Har68] [Ka03] oder die
Boundary Electric Method (BEM) [Pr97](App. B). Für aperiodische Probleme wurde in
dieser Arbeit keine Integralmethode verwendet. Im Falle periodischer Randbedingungen
werden wir jedoch auf diese Methode zurückkommen.
Oberächenintegralmethoden haben den groÿen Vorteil, dass sie die Sommerfeldsche
Strahlungsbedingung automatisch erfüllen. Damit sind sie exakter als dierenzielle Methoden, weil die Randbedingungen im Unendlichen nicht durch absorbierende Randbedingungen simuliert werden müssen. Im Falle inhomogener Medien oder komplizierter
Geometrien gehen diese Vorteile jedoch zunehmend verloren und dierenzielle Methoden
werden bevorzugt, weil sie leichter zu implementieren sind.
2.2.6 Hochfrequenzmethoden
Geometrische Optik
Der Teil der Optik, der durch Vernachlässigung der Endlichkeit der Wellenlänge des
Lichts, also durch den Grenzübergang
λ→0
gekennzeichnet ist, wird als Geometrische
Optik bezeichnet. In der Geometrischen Optik setzt man für ein skalares elektromagnetisches Feld
U
eine komplexe Wellenfunktion der Form
U (r) = A(r) exp[i k0 S(r)]
an. Dabei ist
k0
A(r)
die reelle Amplitude und
ist die Wellenzahl im Vakuum,
S(r) die
k0 S(r)
(2.76)
die reelle Phase der Welle [Gd96].
Eikonalfunktion. Flächen, für die
S(r)=const.
gilt, werden Wellenfronten genannt. Ein Strahl ist deniert als die Trajektorie, die an
einem beliebigen Punkt auf der Wellenfront beginnt und sich mit der Welle durch den
Raum bewegt, wobei die Trajektorie stets senkrecht zur Wellenfront verläuft. In der
39
2.2. Beugung an aperiodischen Strukturen
Geometrischen Optik wird
S(r)
angenähert durch die Eikonalgleichung
|∇S(r)|2 = n2 (r) .
(2.77)
Im Falle eines homogenen Dielektrikums folgt daraus
|∇S(r)| = n .
(2.78)
Die Lösung sind daher ebene Wellen der Form
U (r) = A exp[i n k0 r)] .
(2.79)
Jeder ebenen Wellenfront kann eine eindeutige Ausbreitungsrichtung zugeordnet werden.
Diese Ausbreitungsrichtung deniert einen Lichtstrahl, der als geometrische Kurve dargestellt werden kann. Daher die Bezeichnung Geometrische Optik. Wegen der kleinen
Wellenlänge des sichtbaren Lichts im Vergleich zu typischen Abmessungen von optischen
Elementen wie Linsen oder Spiegeln ist die geometrische Näherung von gröÿter praktischer
Wichtigkeit. Sie bildet die Basis zur Lösung eines Groÿteils optischer Fragestellungen. Das
numerische Verfahren, um die Strahlengänge in komplexen optischen Anordnungen zu berechnen, wird als Strahlverfolgung oder engl. ray tracing bezeichnet. Hierfür existieren
unterschiedliche Algorithmen, die abhängig von der Problemstellung spezische Vorteile
bieten [Bü03].
Physikalische Optik
Abbildung 2.8: In der Näherung der Physikalischen Optik wird die Feldverteilung am Rand
Lösungsraums
Ω
S
des
durch Geometrische Optik bestimmt. In dem abgebildeten Beispiel eines Einzelspalts
auf den eine ebene Welle trit, würde dies bedeuten, dass das Feld in der Spaltönung gleich dem Wert
des einfallenden Feldes an dieser Stelle gesetzt wird. Die gestrichelte Linie entspricht dem Rand des
Lösungsraums, der im Unendlichen liegen soll. Daher ist dort nach der Sommerfeldschen Randbedingung
der Wert des Feldes ebenfalls Null.
Wählt man als Näherung für die Wellenfunktion und deren Ableitung am Rand in
Gl.(2.52) das Feld in der geometrisch-optischen Näherung, dann spricht man von der
40
Kapitel 2. Theoretischer Teil
physical optics approximation oder Kirchhoschen Näherung. Auf dieser Näherung
basiert die Physikalische Optik oder Kirchhosche Beugungstheorie. Sie wird häug zur
Beschreibung der Beugung an einem Einzelspalt verwendet. Die Lösung des HelmholtzKirchho-Integrals
ist
im
Allgemeinen
nur
numerisch
möglich.
Näherungslösungen
ergeben sich z.B. mit Hilfe asymptotischer Methoden (siehe nächster Abschnitt). Pa-
5 für die Wellenfronten der Zylinderwellen bilden die Grundlage für
raxiale Näherungen
die Fraunhofersche und die Fresnelsche Beugungstheorie. Sie erlauben teilweise analytische Lösungen. Die Fraunhofer-Näherung ist auÿerdem Grundlage für die Fourier-Optik.
Mit Hilfe der physical optics approximation kann das Eindringen von Wellen in den
Schattenbereich beschrieben werden. Die errechneten Felder sind jedoch nicht unbedingt
konsistent mit den Randbedingungen, die sich aus den Maxwell-Gleichungen ergeben.
Vor allem Eekte durch evaneszente Wellen an den Grenzächen bleiben unberücksichtigt, was bei Strukturen mit Abmessungen oder Krümmungsradien im Bereich der
Wellenlänge des Lichts zum Versagen der Methode führt.
Geometrische und Einheitliche Beugungstheorie
Die Geometrische Beugungstheorie (engl.: Geometrical Theory of Diraction (GTD))
wurde von Keller entwickelt [Ke62]. Sie kann als Erweiterung der Geometrischen Optik angesehen werden, denn sie beruht auf einer Erweiterung des Fermatschen Prinzips,
wodurch Kantenwellen (engl.: edge waves) und Kriechwellen (engl.: creeping waves) als
zusätzliche Lösungen zu den ebenen Wellen der geometrischen Optik hinzukommen. Kantenwellen sind Kugel- bzw. Zylinderwellen, die von Kanten ausgehen. Kriechwellen sind
Oberächenwellen, die sich entlang von Grenzächen ausbreiten können. Zu ihnen zählen
z.B. im Falle dielektrischer Medien evaneszente Wellen. Zur Ermittlung des gesamten Feldes werden zu den ebenen Wellen der Geometrischen Optik diese Beugungswellen addiert
(vgl. Abb. 2.9).
Von der mathematischen Seite her betrachtet stellt die Theorie eine Hochfrequenznäherung für das elektromagnetische Feld dar. Sie nutzt die Tatsache aus, dass Beugung bei
hohen Frequenzen ein lokales Phänomen ist, d.h., die Beugung scheint im Fernfeld von
einem Punkt, dem sog. Beugungspunkt, auszugehen. Die winkelabhängige komplexe Amplitude der gestreuten Strahlung wird durch den Beugungskoezienten (engl.: diraction
coecient) bestimmt. Dieser ergibt sich aus der Lösung des lokalen Beugungsproblems im
Bereich des Beugungspunkts. Lokale Probleme, die von allgemeiner Bedeutung sind, weil
sie nach dem Baukastenprinzip immer wieder verwendet werden können, werden kanoni-
sche Probleme genannt. Die Berechnung des Beugungskoezienten solcher modellhaften
Probleme kann durch eine beliebige Methode geschehen. Das übliche Verfahren zur Berechnung der Beugungskoezienten verwendet analytische Lösungen für das kanonische
Problem und benutzt die asymptotische Näherung für das Fernfeld. Asymptotische Lösungen sind Lösungen, die nur in einem bestimmten Bereich die exakte Lösung gut annähern.
Wichtige Methoden zur Bestimmung asymptotischer Fernfeld-Lösungen von Beugungs5
Als paraxiale Näherung bezeichnet man Näherungen, bei denen angenommen wird, dass sich alle
Strahlen bzw. Wellen in einer Richtung nahe der optischen Achse ausbreiten.
2.2. Beugung an aperiodischen Strukturen
41
Abbildung 2.9: Das Konzept der Geometrischen Beugungstheorie (GTD), um Beugung an Kanten zu
beschreiben: Die ebenen Wellen der Geometrischen Optik werden mit winkelabhängig gewichteten Zylinderwellen, die von den Kanten ausgehen, überlagert.
integralen sind die Methode des steilsten Abstiegs (engl.: method of steepest descent)
oder die Methode der stationären Phase (engl.: stationary phase method) [Bor80].
Kennt man die Beugungskoezienten aller relevanten kanonischen Probleme, dann kann
die Lösung für beliebig komplexe Objekte aus der Superposition der Lösungen für die
einfachen kanonischen Probleme erzeugt werden.
Die GTD wurde in den USA und der Sowjetunion vor allem für Probleme aus dem Bereich Radarerkennung und Funkübertragung entwickelt. Für optische Berechnungen wird
die GTD bisher kaum eingesetzt. Dies hat mehrere Gründe:
1. Die GTD wurde für Reexionsprobleme entwickelt, weil diese bei Radar- und
Funk-Fragestellungen vorherrschen. In der Optik dominieren dagegen kompliziertere Transmissionsprobleme. Die groÿe Ezienz der GTD in der Anwendung beruht
auf der Anwendung analytischer Beugungskoezienten. Die analytische Lösung
kanonischer Transmissionsprobleme wie sie für die Optik interessant sind, ist jedoch
für sich genommen schon sehr schwierig und zum Teil noch Gegenstand aktueller
Forschung.
2. Als Hochfrequenznäherungen werden in der Optik meist Geometrische Optik oder
paraxiale Näherungen wie die Fourier-Optik verwendet. Nicht-paraxiale Probleme
sind eher selten.
Eine Einführung in die GTD ndet sich in [Pod89]. Eine tiefergehende Behandlung basierend auf der sowjetischen Schule gibt das Buch von Borovikov [Bo04], ein Buch der
westlichen Schule stellt [Bou97] dar.
Eine groÿe Schwäche der GTD ist die Tatsache, dass sie im Bereich von Schattengrenzen
divergente Felder ergibt. Dieses Problem ist eine Konsequenz der asymptotischen Näherungslösung für die Beugungsintegrale z.B. durch die Methode des steilsten Abstiegs,
die im Bereich stark oszillierender Felder versagt. Um dieses Problem zu lösen, wurde die
42
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Einheitliche Beugungstheorie (engl.: Uniform Theory of Diraction (UTD)) von Kouyoumjian und Pathak entwickelt [Ko74]. Sie liefert als Ergebnis Beugungskoezienten, die
auch im Übergangsbereich nahe der Schattengrenzen physikalisch sinnvolle Werte für das
Fernfeld ergeben.
2.2.7 Hybride Methoden
Hybride Methoden kombinieren Methoden aus verschiedenen Gruppen, in der Regel zwei,
miteinander [Al02]. Diese Vorgehensweise bietet sich an, wenn es sich um Probleme handelt, bei denen zum einen die gesamten Abmessungen des Lösungsbereichs sehr viel gröÿer
als eine Wellenlänge sind und das dominierende Verhalten der Struktur dort mit Hochfrequenzmethoden ausreichend beschrieben werden kann, andererseits aber das Feld in
einem Gebiet interessant ist, wo sich der Nahfeldbereich beugender Strukturen bendet.
In diesem Fall kann es sein, dass die rigorose Lösung des gesamten Problems nicht möglich
oder zu aufwändig ist, und es daher sinnvoll ist mehrere Methoden zu kombinieren.
Nach der oben gegebenen Denition kann man auch die Kirchhosche Beugungstheorie
als hybride Methode ansehen, weil die Feldverteilung am Rand durch das geometrischoptische Feld angenähert wird. Die Kombination von geometrischer Optik und Beugungstheorien bzw. rigorosen Methoden stellt allgemein eine häug verwendete HybridMethode dar. Es wird dabei jedoch selten von hybriden Methoden gesprochen. Weitere
Beispiele für hybride Methoden nach der obigen Denition sind die Kombination von
GTD bzw. UTD mit Finiten Elementen [Al02] oder von thin element approximation
und RCWA [Va01]. Eine Übersicht ndet sich in [Me91].
43
2.3. Beugung an periodischen Strukturen
2.3 Beugung an periodischen Strukturen
Abbildung 2.10: Geometrie des Transmissionsproblems an einer periodischen Oberächenstruktur: Eine
ebene Welle fällt aus einem Medium mit Brechungsindex
n1
unter dem Winkel
strukturierte Grenzäche zu einem Medium mit Brechungsindex
n2 .
θ
auf eine periodisch
Die Periode des Gitters beträgt
Λ.
Die Beugung an periodischen Grenzächen ist ein Spezialfall des Transmissions- bzw.
Reexionsproblems für aperiodische Strukturen (vgl. Abb. 2.10). Eekte, die durch
die Wechselwirkung der periodisch aufeinander folgenden Strukturen entstehen, können
durch die Berücksichtigung periodischer Randbedingungen ezienter beschrieben werden
als durch eine allgemeine Lösungsmethode für aperiodische Probleme. Die Lösungsmethoden für periodische Randbedingungen sind vom Ansatz her identisch, auch wenn sie
teilweise unterschiedliche Namen tragen.
2.3.1 Floquet-Bloch-Theorem
Im Falle periodischer Randbedingungen in x-Richtung gilt für die Intensitätsverteilung
I(x, y, z):
I(x + Λ, y, z) = I(x, y, z) .
Dabei ist
Λ
(2.80)
die Periode des Gitters. Die y-Abhängigkeit wird im Folgenden nicht mehr
ausdrücklich angegeben, weil das Gitter und damit die Felder in dieser Richtung invariant
sind.
Das Floquet-Bloch-Theorem besagt, dass im Falle periodischer Randbedingungen das gesamte Feld pseudoperiodisch ist [Pe80](S.9). Das heiÿt, dass das gesamte Feld das Produkt
einer ebenen Welle mit einer Funktion ist, die die Periodizität des Gitters besitzt:
U (x, z) = g(x, z) exp(iαx)
mit
g(x + Λ, z) = g(x, z),
(2.81)
44
Kapitel 2. Theoretischer Teil
wobei
α = k1 sin θ .
Dieses Theorem wurde 1928 von Bloch für den dreidimensionalen Fall formuliert. Dabei
erweiterte er unwissentlich das Theorem von Floquet, das dieser 1883 für den zweidimensionalen Fall aufgestellt hatte.
Macht man für das gesamte Feld den Ansatz
U = U i + U d , wobei U i
für das Feld der ein-
d
fallenden Welle und U für das gebeugte Feld steht, dann folgt aus der Pseudoperiodizität
i
d
von U , dass auch U pseudoperiodisch ist:
U d (x + Λ, z) = w(x, z) exp(iαx)
mit
w(x + Λ, z) = w(x, z) .
(2.82)
2.3.2 Rayleigh-Entwicklung und Gittergleichung
Die Funktion
man für
Ud
w(x, z)
aus Gl.(2.82) kann man als Fourier-Reihe darstellen. Dann erhält
[Pe80](S.9):
U d (x, z) = exp(iαx)
+∞
vm (z) exp(imKx) =
m=−∞
+∞
vm (z) exp(iαm x)
(2.83)
m=−∞
mit
αm = α + mK = k1 sin θ + mK
und
K=
Für
z < 0,
(2.84)
2π
.
Λ
(2.85)
also im homogenen Bereich des Mediums, aus dem die Strahlung eintrit, gilt
die homogene Helmholtz-Gleichung für alle
x
und
z.
Mit Gl.(2.83) erhält man
+∞ 2
d vm 2
2
+ k1 − αm vm exp[imKx] = 0 .
dz 2
m=−∞
Es folgt
d2 vm 2
+ k1 − α2m vm = 0 ,
2
dz
d.h., die Funktionen
vm (x)
(2.86)
(2.87)
erfüllen ebenfalls die homogene Helmholtz-Gleichung. Die
allgemeine Lösung lautet
vm (z) = Am exp[−iβm z] + Bm exp[iβm z]
mit
βm =
(2.88)
k12 − α2m .
(2.89)
Am = 0. Somit erhalten wir eine
d
Entwicklung von U (x, z) in ebene Wellen, die Rayleigh-Entwicklung :
Die Sommerfeldsche Strahlungsbedingung führt zu
U d (x, z) =
+∞
m=−∞
Rm exp[i(αm x + βm z)] =
+∞
m=−∞
ψm (x, z) .
(2.90)
45
2.3. Beugung an periodischen Strukturen
Im Falle periodischer Randbedingungen ergeben sich also wie im aperiodischen Fall homogene und evaneszente Wellen als Lösungen. Die Periodizität bewirkt jedoch, dass nur
diskrete Werte für die Wellenvektoren der Wellen möglich sind.
Für die homogenen Wellen, die sich ins Fernfeld als ebene Wellen ausbreiten, gilt
2
2
ψm (x, z) = Rm exp i αm x + i k1 − αm z
.
Da
|αm /k1 | < 1,
(2.91)
kann man
mK
αm
= sin θm = sin θ +
,
k1
k1
und
−
π
π
< θm <
2
2
k12 − α2m = k1 cos θm
(2.92)
(2.93)
schreiben. Damit wird aus Gl.(2.91)
ψm (x, z) = Rm exp[ik1 (x sin θm + z cos θm )] .
θm
ist also der Winkel, unter dem sich die ebene Welle der
m-ten
(2.94)
Beugungsordnung
ausbreitet. Gl.(2.92) ist die bekannte Gittergleichung, die üblicherweise
sin θm = sin θ + m
λ1
Λ
(2.95)
z > a,
a
das Maximum der Prolfunktion
geschrieben wird.
Analoge Überlegungen für den Bereich
z(x) = f (x)
wobei
ist, ergeben, dass auch in diesem homogenen Bereich des zweiten Mediums
eine Rayleigh-Entwicklung möglich ist:
+∞
U d (x, z) =
Tm exp[i(αm x + tm (z − a))] .
(2.96)
m=−∞
tm
ist hier deniert als
tm =
k22 − α2m .
(2.97)
Die Gittergleichung lautet dann
n2 sin θm = n1 sin θ + m
λ2
.
Λ
(2.98)
2.3.3 Beugungsezienzen
Von besonderem Interesse ist der Anteil
ηm
der Energie, der in jede Beugungsordnung
ieÿt. Diese Gröÿe nennt man Beugungsezienz. Wir werden häug abkürzend von Ezienzen sprechen. Allgemein errechnet sich die m-te Beugungsezienz aus der Formel
ηm = Re
Em × Hm dx .
(2.99)
46
Kapitel 2. Theoretischer Teil
In Abhängigkeit von den Koezienten der Rayleigh-Entwicklung errechnen sich die Ezienzen in Reexion zu (vgl. [Pe80](S. 11))
cos θm
∗
Rm Rm
cos θ
(2.100)
n2 cos θm
∗
Tm Tm
.
n1 cos θ
(2.101)
R
ηm
=
und in Transmission zu
T
ηm
=
Die Terme
n2 cos θm
cos θm
cos θ bzw. n1 cos θ sichern dabei die Energieerhaltung.
2.3.4 Rigorose Lösungsmethoden
Prinzipiell können die Lösungsmethoden für das aperiodische Transmissionsproblem auch
bei periodischen Randbedingungen angewendet werden. Die durch die Periodizität vereinfachte Problemstellung hat aber zur Entwicklung spezialisierter Algorithmen geführt.
Dierenzielle Methoden
Dierenzielle Methoden können auch bei periodischen Randbedingungen angewendet werden. Eine ausführliche Darstellung ndet sich in [Ne03]. In dieser Arbeit wurden keine
dierenziellen Methoden verwendet. Darum soll nicht weiter darauf eingegangen werden.
Modale Methoden
Eine wichtige Klasse von Lösungsmethoden, die sich für periodische Oberächen besonders gut eignen, sind modale Methoden. Dazu zählen z.B. die BKK-Methode [Kn78], die
Rigorous Coupled Wave Analysis (RCWA) [Mo95] oder die Methode von Morf [Mor95].
Allen ist gemeinsam, dass im ersten Schritt die z-Abhängigkeit der dielektrischen Funktion
(x, z)
beseitigt wird. Dazu wird das Oberächenprol in Schichten zerlegt. In jeder
Schicht wird
in
z-Richtung als konstant angesehen und man erhält für jede Schicht eine
Stufenfunktion für
(x)
(vgl. Abb. 2.11). Diese Stufenfunktion wird bei der RCWA in
eine Fourier-Reihe zerlegt, bei der Methode von Morf in Polynome. In jeder Schicht wird
ein Ansatz für das Feld gemacht und die verschiedenen Felder in den Schichten werden
anhand der Randbedingungen an den Schichtgrenzen aneinander angepasst.
Abbildung 2.11: Konzept der modalen Methoden, um die z-Abhängigkeit der Dielektrizitätsfunktion
zu beseitigen: Das Höhenprol wird in Schichten zerlegt, für die
werden kann.
in z-Richtung als konstant angesehen
47
2.3. Beugung an periodischen Strukturen
Modale Methoden erlauben die Simulation beliebiger Brechungsindexprole und sind wegen dieser Flexibilität sehr beliebt. Allerdings sind die Rechenzeiten in etwa proportional
zu
Λ 3
λ
[Tu97]. Daher werden der benötigte Arbeitsspeicher und die Rechenzeiten für
gröÿere Perioden schnell sehr groÿ.
Oberächenintegralmethoden
Oberächenintegralmethoden können bei periodischen Strukturen sehr vorteilhaft angewendet werden. Die Integration über die gesamte Grenzäche
S
kann auf die Integration
über eine Gitterperiode reduziert werden, indem man das Floquet-Bloch-Theorem verwendet. Damit kann das Integral über
S
als Summe über eine unendliche Zahl an Integra-
len über eine Periode ausgedrückt werden. In dieser Arbeit wurde die Modizierte Inte-
gralmethode verwendet, die von Goray entwickelt wurde [Gor95] [Gor01]. Diese Methode
wurde von ihm auch als Software implementiert und ist kommerziell unter dem Namen
PCGrate
TM erhältlich. Die Umwandlung der Integralgleichung in eine numerisch lösbare
Matrixgleichung geschieht bei dieser Methode durch die Kollokationsmethode, eine spezielle Method of Moments. Klassische Integralmethoden verwenden Fourier-Reihen zur
Beschreibung der Grenzäche. Dies führt leicht zu numerischen Problemen, weshalb Goray quasi-periodische Stufenfunktionen verwendet, durch die das Oberächenprol parametrisiert wird. Das Prol wird dabei an sog. Kollokationspunkten in äquidistanten
Abschnitten entlang der Kurve diskretisiert (Abb. 2.12). Der groÿe Vorteil der Metho-
Abbildung 2.12: Bei der Modizierten Integralmethode von Goray [Gor95] [Gor01] wird das Gitterprol
entlang der Prolfunktion durch Stützpunkte parametrisiert, die entlang der Prolfunktion den gleichen
Bogenabstand besitzen.
de für die in dieser Arbeit behandelten Problemstellungen ist, dass auch Rechnungen für
Strukturen mit sehr groÿen Verhältnissen von Periode zu Wellenlänge ezient zu rechnen
sind, weil die Rechenzeit in etwa mit
Λ 2
λ
steigt.
2.3.5 Hochfrequenznäherungen
Ein besonderes Interesse in dieser Arbeit liegt auf approximativen Methoden. Streng genommen sind rigorose Ansätze ebenfalls nur numerisch und damit approximativ zu lösen,
weil von unendlichen Reihen nur endlich viele Glieder berücksichtigt werden können.
Rigorose Methoden sind jedoch vom Ansatz her exakt, approximative Methoden dage-
48
Kapitel 2. Theoretischer Teil
gen schon vom Ansatz her Näherungen. Ihre Lösungen sind daher nur unter bestimmten
Bedingungen sinnvoll. Einige Methoden sollen hier näher beschrieben werden.
Thin element approximation
Die am meisten verwendete Näherungsmethode für die Berechnung von Beugungsezienzen ist die thin element approximation. Es handelt sich um eine physical optics approximation in Anwendung auf dünne Gitter. Wie der Name schon sagt, ist die Näherung nur für dünne Gitter sinnvoll. Das heiÿt im Falle von Oberächengittern, dass
für alle
x f (x) << Λ
gelten sollte. Auÿerdem sollte das Prol keine starke Krümmung
aufweisen, durch die Beugungseekte entstehen. Bei Transmissionsproblemen geht man
bei dieser Näherung davon aus, dass sich die Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle beim Durchgang durch den modulierten Bereich nicht ändert. Die Phase
δ(x)
in der
Ausgangsebene der brechungsindex-modulierten Region ergibt sich dann einfach durch
die Berechnung der optischen Weglänge von der Eingangsebene bis zur Ausgangsebene
in Einfallsrichtung (siehe Abb. 2.13):
δ(x) = δ0 +
2π
2π
(n1 s1 + n2 s2 ) = δ0 +
(n1 h + (n2 − n1 ) f (x)) .
λ0
λ0
(2.102)
Damit kann man die Feldverteilung in der Ausgangsebene der modulierten Region berechnen. Diese Ebene stellt wiederum den Rand des Lösungsbereichs dar, der den homogenen
Brechungsindex
n2
besitzt und man kann dort das Feld durch eine Rayleigh-Entwicklung
ansetzen. Die Koezienten ergeben sich aus den Werten für
Tm
1
=
Λ
z = h:
Λ
exp [ikδ(x)] exp[−iαm x]dx ,
(2.103)
0
wobei
αm = k1 sin θ + 2πm/Λ .
(2.104)
Abbildung 2.13: Berechnung der Phasen an der Ausgangsebene mit Hilfe der thin element approxima-
tion.
49
2.3. Beugung an periodischen Strukturen
Die Beugungsezienzen in Transmission berechnen sich nach Gl.(2.101) und der paraxialen Näherung
θm ≈ θ
zu
T
ηm
=
n2
|Tm |2 .
n1
(2.105)
Reexionsverluste in der Gitterebene werden dadurch berücksichtigt, dass die Amplituden mit dem Fresnelschen Transmissionskoezienten für senkrechten Einfall multipliziert
werden. Das heiÿt, dass hinsichtlich der Transmission das Gitter einer ebenen Grenzäche
gleichgesetzt wird.
Die thin element approximation wird gerne zur Beschreibung von Gitterphänomenen
hergenommen, weil sie die einfachste Gittertheorie darstellt, mit der Gitterezienzen
berechnet werden können. Sie berücksichtigt jedoch nur die Amplituden- und Phasenveränderung der einfallenden Welle in der Gitterregion und die Interferenzeekte, die durch
die Periodizität des Gitters entstehen. Beugungseekte oder Eekte durch evaneszente
Wellen innerhalb der modulierten Region werden vernachlässigt.
Local plane interface approximation
Die local plane interface approximation
(LPIA) oder auch local plane-wave
me-
thod [Tu97] kann als Erweiterung der thin element approximation auf tiefe Gitter
betrachtet werden. Im Gegensatz zur thin element approximation wird bei der LPIA
berücksichtigt, dass die Wellenfronten in der modulierten Region an der Grenzäche
ihre Ausbreitungsrichtung und Intensität ändern (vgl. Abb. 2.15). Die Näherung der
Abbildung 2.14: Die Berechnung der Gitterezienzen geschieht bei der local plane interface appro-
ximation (LPIA) ähnlich wie bei der thin element approximation durch Berechnung der Amplitudenund Phasenverteilung in der Ausgangsebene. Zusätzlich wird aber die Brechung an den Grenzächen
nach dem Brechungsgesetz und der Transmissionsgrad nach den Fresnelschen Formeln berücksichtigt.
Auÿerdem können in diesem Ansatz unterschiedliche Strahlengänge innerhalb der Struktur berücksichtigt
werden.
50
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.15: Elektrische Feldverteilung an einer periodischen prismatischen Oberäche nach der
◦
local plane interface approximation (LPIA): Eine Welle (λ=550 nm) fällt unter einem Winkel von 45
aus
der Luft auf eine prismatisch strukturierte dielektrische Oberäche (n=1,5). Das schachbrettartige Muster
innerhalb der Prismen entsteht durch Überlagerung der einfallenden Welle und der an der senkrechten
Flanke totalreektierten Welle. Die grauen Bereiche sind verschattete Bereiche.
LPIA besteht darin, dass man davon ausgeht, dass das Gitterprol stückweise durch
ebene Grenzächen angenähert werden kann. Die Änderung der Ausbreitungsrichtung
und der Intensität durch die Grenzäche wird dann für jeden Abschnitt anhand des
Snelliusschen Brechungsgesetzes und der Fresnelschen Formeln berechnet. Man führt
also praktisch ein Ray-tracing innerhalb der modulierten Region durch, wobei man die
Weglänge der Strahlen, und somit die Phase der ebenen Wellen, mitberechnet. Auch
Vielfachreexionen innerhalb der modulierten Region können berücksichtigt werden.
Auf diese Weise kann die Feldverteilung in der Gitterregion berechnet werden. Das
komplexe Feld
U T (x, z = h)
in der Ausgangsebene der modulierten Region kann für die
Berechnung der Gitterezienzen verwendet werden. Dazu wird wie bei der thin element
approximation die Feldverteilung innerhalb einer Periode in eine Rayleigh-Reihe entwickelt, wobei nur ebene Wellen berücksichtigt werden, weil evaneszente Wellen aufgrund
der geometrisch-optischen Näherung für die Wellenpropagation in der Gitterregion nicht
auftreten können:
Tm
1
=
Λ
Λ
U T (x, z = h) exp[−iαm x]dx ,
(2.106)
0
wobei
αm = k1 sin θ + 2πm/Λ .
(2.107)
Die Ezienzen der transmittierten Ordnungen ergeben sich dann anhand Gl.(2.101).
Die Näherung bei der LPIA entspricht der Näherung bei der physical optics approximation: Die Feldverteilung am Rand des Gebiets, in dem die Felder zu ermitteln sind, wird
durch Geometrische Optik bestimmt. Im Gegensatz zur thin element approximation
wird jedoch die Brechung an der Gittergrenzäche berücksichtigt. Für senkrechten Lichteinfall und den Grenzfall eines unendlich dünnen Gitters konvergiert die Lösung der LPIA
daher gegen die Lösung der thin element approximation. Im Gegensatz zum Ray-tracing
berücksichtigen beide Methoden Interferenzeekte, die sich aufgrund der Periodizität des
Gitters ergeben. Beugungseekte innerhalb der Struktur werden aber vernachlässigt.
51
2.4. Hybrid-Ansatz
2.4 Hybrid-Ansatz
Die Schwäche der local plane interface approximation (LPIA) besteht darin, dass sie
Beugungseekte innerhalb der modulierten Gitterregion vernachlässigt. In diesem Abschnitt untersuchen wir daher einen neuen Ansatz für ein Hybrid-Modell aus LPIA und
dem Konzept der Geometrischen Beugungstheorie (GTD). Durch die GTD sollen die Beugungseekte an den Prismenkanten berücksichtigt werden. Dieses Näherungsmodell soll
im Vergleich zu den geschilderten rigorosen Methoden eine schnelle Berechnung von Beugungsezienzen von Mikroprismengittern auch bei groÿen Gitterperioden ermöglichen.
Auÿerdem soll es quantitative Aussagen über die Beiträge der Beugungseekte an den
verschiedenen Kanten und die Interferenzeekte durch das Gitter erlauben.
Der gewählte Hybrid-Ansatz aus LPIA und GTD berücksichtigt die Tatsache, dass bei einem Mikroprismengitter im diraktiv-refraktiven Übergangsbereich die Beugungseekte
nur in der Umgebung der Kanten auftreten und somit isoliert als aperiodisches Beugungsproblem betrachtet werden können. Das vorwiegend geometrisch-optische Verhalten der Struktur und die Interferenzeekte durch die Gitterperiodizität können dagegen
mit der LPIA ezient beschrieben werden. Der Reiz des Ansatzes besteht darin, dass
Beugungswellen, die sich nach der GTD von den Prismenkanten ausbreiten, nur mit den
ebenen Wellen der LPIA-Rechnung additiv überlagert werden müssen, um das Feld in
der Ausgangsebene der modulierten Region zu bestimmen (Abb. 2.16). Der additive An-
Abbildung 2.16: Das Konzept des Hybrid-Ansatzes aus local plane interface approximation (LPIA)
und Geometrischer Beugungstheorie (GTD): Die ebenen Wellen der LPIA werden mit den Zylinderwellen
der GTD überlagert.
satz erlaubt das Aus- und Abschalten der Beugungseekte im Modell. Die Einüsse der
Beugungseekte können dadurch quantiziert werden.
Die Schwierigkeit bei diesem Hybrid-Ansatz besteht darin, die Form der Beugungswellen zu bestimmen, die bei der Beugung an einem dielektrischen Keil entstehen. Darum
werden wir uns zuerst mit dieser Problematik näher beschäftigen.
2.4.1 Hochfrequenznäherungen für die Beugung an einem Keil
In guter Näherung kann jede Kante eines Oberächenprols in einem kleinen Bereich
um die Kante durch die Form eines Keils mit einem festen Keilwinkel
α
angenähert wer-
52
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.17: Das Problem der Beugung einer ebenen Welle an einem Keil: Eine Welle fällt aus
einem Medium mit Brechungsindex
Keilwinkel
α.
n1
unter einem Winkel
θ
auf einen Keil mit Brechungsindex
Gesucht ist das Feld an einem beliebigen Beobachtungspunkt
P (r, φ).
n2
und
den. Das Problem der Beugung einer ebenen Welle an einer Kante stellt sich daher wie
folgt dar (vgl. Abb. 2.17): Eine ebene elektromagnetische Welle fällt auf eine keilförmige
Grenzäche unter dem Winkel
θ , der hier als Winkel zur oberen Flanke des Keils deniert
wird. Die z-Achse liegt für die folgenden Betrachtungen parallel zur Kante. Die Lösung
ist in dieser Richtung invariant, so dass ein quasi-zweidimensionales Problem vorliegt.
Nach der Geometrischen Beugungstheorie kann die Beugung des Felds an dem Keil in der
Näherung für hohe Frequenzen und für das Fernfeld durch zylindrische Wellen beschrieben werden, die von den Kantenspitzen ausgehen und die geometrisch-optischen Wellen
additiv überlagern. Dieser Ansatz ist vom Konzept her einfach und für die Anwendung
auf unser Problem vielversprechend. Die noch zu klärende Frage ist, mit welcher Gewichtungsfunktion
D(ϕ)
die zylindrische Welle in Abhängigkeit vom Winkel
ϕ
ausstrahlt. In
diesem Abschnitt werden wir daher verschiedene Lösungen und Ansätze zur Bestimmung
dieser Gewichtungsfunktion diskutieren und untersuchen, ob sie für das Hybrid-Modell
ezient eingesetzt werden können.
Unser eigentliches Interesse gilt zwar dielektrischen Keilen, dennoch wird sich der Groÿteil der vorgestellten Lösungen mit ideal leitenden Keilen beschäftigen. Für diesen Fall
sind deutlich mehr Lösungen bekannt. Dies liegt daran, dass die Randbedingungen analytische Lösungen stark vereinfachen: Da der Keil perfekt leitend ist, wird das elektrische
Feld im Keil Null und man hat nur ein Reexionsproblem zu lösen. Ist der Keil dielektrisch, so muss man ein Transmissionsproblem lösen und das Feld sowohl auÿerhalb als
auch innerhalb des Keils bestimmen. Nur in sehr einfachen Fällen ist eine analytische
Lösung möglich. Aus diesem Grund werden uns die Lösungen für ideal leitende Keile als
Näherung dienen.
53
2.4. Hybrid-Ansatz
Dünne ideal leitende Halbebene
Für den speziellen Fall eines Keils mit
α=0
erhält man eine unendlich dünne ideal lei-
tende Halbebene. Dieses Problem konnte von Sommerfeld bereits 1896 analytisch gelöst
werden [So96]. Die Lösung für das gesamte Feld wird dabei durch Fresnel-Integrale ausgedrückt. Wir interessieren uns hier nur für Hochfrequenznäherungen im Fernfeld. Dies
hat zwei Gründe: Zum einen benötigen wir für unser Problem nur die Feldverteilungen in
einem Abstand von mehreren Wellenlängen, zum anderen bieten asymptotische FernfeldLösungen die Möglichkeit, das gesamte Feld als Summe aus dem geometrisch-optischen
Feld und dem Beugungsfeld darzustellen. Diese Eigenschaft wird es uns ermöglichen, die
geometrisch-optischen Felder der local plane interface approximation in der Gitterregion
mit Beugungswellen additiv zu überlagern.
Sommerfeld-Lösung in der asymptotischen Näherung
Indem man die Fresnel-
Integrale der exakten Lösung von Sommerfeld stückweise integriert, erhält man eine asymptotische Entwicklung für die Integrale. In nullter Ordnung der Entwicklung lautet die
Lösung [Bor80]:
Ez = Ezg + Ezd ,
g
wobei Ez das geometrisch-optische Feld darstellt.
 −ikr cos(ϕ−θ)
0≤ϕ<π−θ
 e
g
−ikr
cos(ϕ−θ)
Ez =
π−θ <ϕ<π+θ
e

0
π + θ < ϕ ≤ 2π
Ezd
(2.108)
Ezg ist gegeben durch
.
(2.109)
steht für das gebeugte Feld. In TE-Polarisation gilt:
Ezd
=
und in TM-Polarisation
ϕ
2 i π sin 2 sin θ2 eikr
√ ,
e 4
π
(cos θ + cos ϕ) kr
Hzd
=−
ϕ
2 i π cos 2 cos θ2 eikr
√ .
e 4
π
(cos θ + cos ϕ) kr
(2.110)
(2.111)
In der Interpretation der GTD ergibt sich als Beugungskoezient für die ideal leitende
Halbebene in TE-Polarisation
DT E (ϕ, θ) =
und in TM-Polarisation
ϕ
2 i π sin 2 sin θ2
e 4
π
(cos ϕ + cos θ)
DT M (ϕ, θ) = −
ϕ
2 i π cos 2 cos θ2
e 4
.
π
(cos ϕ + cos θ)
(2.112)
(2.113)
Das Problem der asymptotischen Näherung besteht darin, dass an der Schattengrenze die
Lösung divergiert. Für den Fall, dass die Welle senkrecht zur Ebene einfällt, erhält man
z.B. in TE-Polarisation
DT E (ϕ, θ = π/2) =
ϕ
1 i π sin 2
e 4
.
π
cos ϕ
(2.114)
54
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.18: Vergleich der Sommerfeldschen Lösung mit der asymptotischen Näherung für einen
Abstand von 10 Wellenlängen vom ideal leitenden Schirm (TE-Polarisation).
Der Kosinus im Nenner führt zur Divergenz an den Schattengrenzen, d.h. bei den Winkeln
ϕ=
π
2 und
ϕ=
3π
2 . Abb. 2.18 zeigt die exakte und die asymptotische Lösung für
senkrechten Einfall und einen festen Abstand von der Halbebene im Vergleich.
Greynolds-Lösung
Um eine stetige Lösung für die gebeugte Welle im Fernfeldbereich
zu erhalten, gibt es verschiedene Ansätze. Ein einfacher heuristischer Ansatz stammt von
Greynolds [Gr87]. Die Lösung gilt jedoch nur für TE-Polarisation und senkrechten Einfall
(θ
= π/2):
Ezd (r, ϕ)
Dabei ist
ϕ
deniert als
=



eikr
1
2 ei π4 √πkr tan
eikr
1
2 ei π4 √πkr tan
ϕ
+1
2
ϕ
−1
2
ϕ ≥ 0
ϕ < 0
.
(2.115)
ϕ = ϕ − 32 π .
Abb. 2.19 zeigt die exakte Sommerfeld-Lösung und die heuristische Lösung von Greynolds
für einen festen Abstand von der Halbebene im Vergleich. Vom theoretischen Standpunkt
der GTD aus betrachtet ist die Lösung von Greynolds nur bedingt brauchbar, weil die
1
Feldstärke der Beugungswelle nicht mit √
r
abfällt. Wegen der vermischten Terme im
Nenner kann daher kein Beugungskoezient extrahiert werden. Für praktische Berechnungen spielt dies jedoch keine Rolle. Die sehr einfache analytische Form der Lösung
stellt einen groÿen Vorteil dar. Ein Nachteil ist, dass sie nur für senkrechten Einfall und
TE-Polarisation gilt.
Lösung von Kouyoumjian und Pathak
Eine weitere Lösung für die ideal leiten-
de Halbebene stammt von Kouyoumjian und Pathak [Ko74]. Sie ist wie die Lösung von
Greynolds so konstruiert, dass sie auch im Übergangsbereich stetig ist. Mit dieser Lösung begründeten Kouyoumjian und Pathak die Einheitliche Beugungstheorie (Uniform
Theory of Diraction (UTD)). Der Beugungskoezient nach dieser Theorie lautet für
55
2.4. Hybrid-Ansatz
Abbildung 2.19: Vergleich der Sommerfeldschen Lösung mit der heuristischen Lösung von Greynolds
für einen Abstand von 10 Wellenlängen hinter einem ideal leitenden Schirm (TE-Polarisation).
ϕ > π:
i π4
D(k, θ, ϕ, r) = −e
mit
ϕ − θ ×
D1 (k, θ, ϕ, r) = f
2kr cos
2 2 ϕ−θ
· sgn(π + θ − ϕ)
× exp −i2kr cos
2
und
f (x)
r
[D1 (k, θ, ϕ, r) + D2 (k, θ, ϕ, r)]
π
√
ϕ
+
θ
×
D2 (k, θ, ϕ, r) = f
2kr cos
2 2 ϕ+θ
· sgn(π − θ − ϕ) .
× exp −i2kr cos
2
√
(2.116)
(2.117)
(2.118)
ist gegeben durch
∞
f (x) =
e
√
wobei
C(x)
und
S(x)
−i t2
1
1
π
− C(x) − i
− S(x)
,
dt =
2
2
2
(2.119)
x
die Fresnel-Integrale sind:
x
C(x) =
cos
t2
dt ,
2
(2.120)
sin
t2
dt .
2
(2.121)
0
x
S(x) =
0
56
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Wie bei der Lösung von Greynolds ist dieser Beugungskoezient nicht mehr unabhängig
von
k
und
r.
Die Stetigkeit im Bereich der geometrisch-optischen Schattengrenze wird
durch das Zusammenspiel der Fresnel-Integrale erreicht.
Der Nachteil der UTD-Lösung ist, dass die Berechnung der Fresnel-Integrale durch numerische Integration geschehen muss. Die Lösung von Greynolds ist dagegen rein analytisch
und daher für eine eziente Implementierung von Vorteil. Vom theoretischen Standpunkt her ist die UTD-Methode jedoch interessanter. Das Konzept, die Diskontinuitäten
von GTD-Lösungen mit Hilfe von Fresnel-Integralen stetig zu machen, ist auf beliebige
GTD-Koezienten anwendbar.
Ideal leitender Keil
Die soeben beschriebene Lösung für die ideal leitende Halbebene ist nur ein Spezialfall
der allgemeinen Lösung für den ideal leitenden Keil, die Kouyoumjian und Pathak entwickelten. Die allgemeine Lösung verlangt die Lösung von vier Fresnel-Integralen und
erfordert daher einen noch höheren Rechenaufwand als die Lösung für den Spezialfall
der ideal leitende Halbebene. Für die Darstellung der allgemeinen Lösung verweisen wir
auf [Ko74].
Real leitender Keil
Im Fall realer Leitfähigkeit dringt das Feld nur wenig in den Keil ein. Dieses Verhalten
kann sehr gut durch Impedanz-Randbedingungen (engl.: impedance boundary conditions)
modelliert werden. Impedanzrandbedingungen sind genäherte Randbedingungen, die die
6
Impedanz des realen Metalls in der Randbedingung berücksichtigen . Durch Impedanzrandbedingungen vereinfacht sich das Transmissionsproblem wie im Fall idealer Leitfähigkeit zu einem Reexionsproblem. Eine analytische Lösung für einen real leitenden Keil
unter der Annahme einer Impedanz-Randbedingung wurde von Malyuzhinets und Senior
unabhängig voneinander in den 50er Jahren entwickelt [Os99] [Se59]. Norris berechnete
asymptotische Lösungen für das Fernfeld, die rein analytisch und im Bereich der Schattengrenze stetig sind [Os99].
Impedanzrandbedingungen liefern für den Fall hoher Leitfähigkeit gute Ergebnisse, für
geringe Leitfähigkeit oder gar den Grenzfall verschwindender Leitfähigkeit sind sie nicht
sinnvoll. Die Lösungen unterscheiden sich qualitativ nicht von den Lösungen für ideale
Leitfähigkeit, sind aber in der Darstellung deutlich komplexer.
Dünne dielektrische Halbebene
Es existieren mehrere Näherungslösungen des Reexionsproblems für eine dünne, nichtabsorbierende dielektrische Platte. Dünn heiÿt, dass die Platte dünner als ein Viertel der
Wellenlänge des Lichts ist. Alle Lösungen für die dünne dielektrische Halbebene basieren
auf genäherten Randbedingungen. Eine Näherungslösung für hohe Frequenzen wurde von
Burnside entwickelt. Dabei verwendet er als Kantenwelle das Ergebnis der UTD-Lösung
6
Die Impedanz ist deniert als Z = µ . Dabei können µ und komplexe Gröÿen sein, um den Eekt
der Absorption zu berücksichtigen.
57
2.4. Hybrid-Ansatz
für die ideal leitende Halbebene [Bur83]. Chakrabarti [Cha86] und Volakis [Vo87] wählen genäherte Randbedingungen für eine beinahe transparente Halbebene, die zuerst von
Leppington entwickelt wurden [Lep83]. Volakis wies nach, dass Chakrabartis Lösung im
Allgemeinen falsch ist und berechnete eine korrigierte Lösung für beliebige Einfallswinkel einer TM-polarisierten Welle. Eine Lösung für eine beliebig dicke dielektrische Platte
stammt von Rawlins [Ra91]. Als genäherte Randbedingung verwendet er die Randbedingungen der kanonischen Lösung für eine dünne dielektrische Schicht. Der Ansatz erlaubt
eine analytische Lösung. Rawlins bestimmt auch die asymptotische Lösung für das Fernfeld und den Beugungskoezienten der von der Kante ausgehenden Welle. Allen Ansätzen
ist gemein, dass sie davon ausgehen, dass die in die dünne Schicht eindringende Welle nur
wenig gestört wird und keine evaneszenten Wellen angeregt werden.
Dielektrischer Keil
Lösungen von Berntsen und Bergljung
Eine allgemeine Lösung des Transmissi-
onsproblems eines dielektrischen Keils für den quasi-zweidimensionalen Fall und TEPolarisation stammt von Berntsen [Bern83], die Lösung für den allgemeinen dreidimensionalen Fall von Bergljung [Berg01]. Beide Autoren berechnen auch asymptotische Lösungen, die jedoch durch Integralgleichungen dargestellt werden. Analytische Näherungen
wurden bisher nicht entwickelt. Mit Hilfe der Integralgleichungen können numerisch Beugungskoezienten errechnet werden, aber these are in a form that puts the extraction of
numerical data beyond the resources of the author [Her87]. Eine tiefergehende Untersuchung der Lösungen von Bergljung und Berntsen würde daher über den Rahmen dieser
Arbeit hinausgehen.
Näherungslösung von Bühler für Retroprismen
Keils (also dem Keilwinkel
α)
Abhängig von der Geometrie des
und den Brechungsindices der zwei durch das Keilpro-
l getrennten Medien können anhand strahlenoptischer Überlegungen verschiedene Fälle
unterschieden werden, für die das Beugungsverhalten des Keils deutlich voneinander abweicht. Die wichtigste Unterscheidung ist die Unterscheidung von Problemen, bei denen
n1 < n2
ist und solchen, bei denen
n1 > n2
ist. Nur im zweiten Fall kann Totalreexion
auftreten. Dieser Fall ist für uns sehr interessant, weil die Lichtlenkung in dielektrischen
prismatischen Strukturen auf Totalreexion basiert. Beugung an Keilen mit
n1 > n2
spielt daher bei diesen Strukturen eine wesentliche Rolle. Totalreexion tritt genau dann
auf, wenn
θ =45◦
θ<
◦
90
−θc
◦
gilt. Für den speziellen Fall eines 270 -Keils mit
n1 >
√
2 n2
und
wurde von Bühler ein Modell entwickelt, das die näherungsweise Berechnung der
gesamten Transmission durch die Grenzäche des Keils erlaubt [Bü03][Go04]. In seiner
Arbeit untersucht Bühler Retroprismen als selektiv ausblendende Tageslichtelemente wie
sie auch in der Einleitung beschrieben wurden (vgl. Abb.2.20). Bei senkrechtem Einfall
des Lichts auf die Tageslichtelemente werden die Strahlen durch zweifache Totalreexion
in die Einfallsrichtung zurückreektiert. In diesem Fall trit das Licht unter einem Winkel
◦ auf die Prismenanken. Damit Totalreexion auftritt, muss
von 45
gelten. Im Falle
n2 =1,0
(Luft) muss daher
n1 >
√
2 ≈ 1, 41
n1 >
n2
sin 45◦
=
√
2 ·n2
erfüllt sein. Glas und gängige
Kunststoe haben im sichtbaren Wellenlängenbereich einen Brechungsindex in der Grö-
58
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.20: Bühler untersuchte den Transmissionsgrad von Gittern aus retroreektierenden Pris◦
men. Strahlenoptisch werden senkrecht einfallende Strahlen an den mit 45
doppelt totalreektiert, wenn
n1 >
√
2 n2
geneigten Prismenanken
und so in die Einfallsrichtung zurückreektiert. Durch Beu-
gungseekte vor allem an den unteren Prismenspitzen ist der Transmissionsgrad aber ungleich Null.
ÿenordnung von 1,5 und erfüllen daher diese Bedingung. Bühler diskutiert in seiner Arbeit
das Phänomen, dass die Retroreektion im Bereich der Keilspitze versagt. Strahlenoptisch
sollte die Transmission des Retroprismas 0% betragen, sie ist jedoch ungleich Null. Dieses Phänomen kann durch rigorose Rechnungen mit der RCWA-Methode nachvollzogen
werden. Abb. 2.21 zeigt die berechnete Intensitätsverteilung in der Nähe einer Retroprismenspitze. Um Interferenzen zwischen aufeinanderfolgenden Periodenabschnitten zu
unterdrücken, wurden für die Rechnung zwischen die einzelnen Prismen absorbierende
Wände gesetzt. In der Nähe der Spitze zeigt sich ein deutliches Leck.
Whitehead erklärt die erhöhte Transmission an der Spitze der Prismen durch das Auskoppeln evaneszenter Wellen [Wh98]. Während er annimmt, dass in einem Bereich von
der Breite einer Wellenlänge des Lichts evaneszente Wellen durch die Spitze transmittiert
werden, zieht Bühler für eine exaktere Abschätzung den longitudinalen Goos-HänchenEekt heran. Die Breite
aGH
des Intervalls in x-Richtung, in dem einfallende Strahlen
nicht mehr zurückreektiert werden, weil sie durch den Goos-Hänchen-Shift zur Prismenspitze wandern und dort ausgekoppelt werden, ist dann
aGH = 2 · dGH · cos 45◦ = 2 · dGH .
(2.122)
In seiner Abschätzung geht Bühler davon aus, dass in diesem Bereich die Energie zu 100%
transmittiert wird und durch den Rest der Grenzäche der Struktur keine Transmission
stattndet. Damit gilt:
T (Λ) =
2 dGH
aGH
=
Λ
Λ
.
(2.123)
Für die Berechnung des Goos-Hänchen-Shifts verwendet Bühler die Formel von Artmann
(vgl. Abschnitt 2.2.3):
√
T (Λ) =
2mλ
·
Λ n1 π
1
2
1
2 .
− nn21
(2.124)
2.4. Hybrid-Ansatz
59
Abbildung 2.21: Intensitätsverteilung in der Umgebung der Spitze eines isolierten Retroprismas. Die in
der Abbildung gezeigte Intensitätsverteilung wurde mit RCWA berechnet, wobei zwischen die periodischen
Strukturen absorbierende Wände gesetzt wurden. Das Muster aus Intensitätsmaxima und -minima entsteht im Wesentlichen durch die Interferenz der einfallenden Welle und den an den Flanken reektierten
Wellen. An der Grenzäche erkennt man die quer zur Ausbreitungsrichtung exponenziell abfallenden Amplituden der evaneszenten Wellen. An der Spitze koppeln diese evaneszenten Wellen Energie in Medium
2 aus.
Abbildung 2.22: Berechnung des Auskoppelbereichs nach dem Modell von Bühler.
60
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.23: Vergleich der rigoros berechneten Transmission in TE-Polarisation eines Retropris-
mengitters mit den theoretischen Werten nach der Artmann- und der Lai-Formel. Die theoretischen Kurven der beiden Theorien sind für TE-Polarisation identisch.
In dieser Arbeit wurde dagegen die Formel von Lai verwendet, weil diese konsistentere
Ergebnisse liefert. Für den Transmissionsgrad erhält man dann
√
2mλ
·
T (Λ) =
Λ n1 π
1
2
2
1 − nn21
2 2 n2
n2
1
1
2
− n1
2 +m
2 − n1
.
(2.125)
Abb. 2.23 und Abb. 2.24 zeigen die Ergebnisse eigener Rechnungen, in denen die beiden Theorien mit rigoros berechneten Werten verglichen werden (für TE- bzw. TMPolarisation). Als Brechungsindex wurde
n=1,49 und als Wellenlänge λ=633 nm gewählt.
Bei den rigorosen Rechnungen wurde die Integralmethode verwendet, weil sie die genauere Methode ist. Die Rechnung berücksichtigt auch die Transmission durch die oberen
Prismenspitzen und Interferenzeekte aufgrund der Periodizität. Bühler zeigte, dass die
Transmission durch die oberen Prismenspitzen aber sehr gering ist. Eine Rechnung mit
absorbierenden Wänden ist ebenfalls denkbar, aber sehr schwierig. Dadurch kann man
zwar die Transmission an den oberen Spitzen unterdrücken, Beugungseekte an den absorbierenden Wänden sind aber schwer zu verhindern und verfälschen die Rechnung.
In TE-Polarisation liefern beide Theorien das gleiche Ergebnis. Die Werte liegen etwas
unterhalb der rigoros berechneten Werte. Dies ist vermutlich dadurch zu erklären, dass
die Transmission durch die oberen Kanten vernachlässigt wurde und man daher eine
Abschätzung nach unten macht. Der funktionelle Verlauf wird gut beschrieben. In TMPolarisation zeigen sich Unterschiede. Die Artmann-Formel ergibt eine bessere Übereinstimmung mit den rigoros berechneten Werten. Die Kurve auf Basis der Lai-Formel liegt
61
2.4. Hybrid-Ansatz
Abbildung 2.24: Vergleich der rigoros berechneten Transmission eines Retroprismengitters mit den
theoretischen Werten nach der Artmann- und der Lai-Formel (TM-Polarisation).
wie bei TE-Polarisation unterhalb der rigorosen Werte. Das nach Artmann errechnete
Verhältnis TTE /TTM sollte unabhängig vom Einfallswinkel (1,49)
2
≈
2,2 betragen. Nach
◦
der Lai-Formel ist dieser Wert vom Winkel abhängig. Für θ =45 soll dieser Wert etwa 1,64
sein. Abb. 2.25 zeigt das rigoros berechnete Verhältnis aufgetragen gegen die Gitterperiode. Bei den rigoros berechneten Werten ergeben sich deutliche Schwankungen um einen
Mittelwert, der etwa dem mit der Lai-Formel vorhergesagten Wert von 1,64 entspricht.
Diese Schwankungen sind gröÿer als der Fehler der Rechnung. Vermutlich sind sie auf
Eekte zurückzuführen, die durch Interferenz aufgrund der Gitterperiodizität entstehen.
Insgesamt liefert die Lai-Formel also Ergebnisse, die für beide Polarisationen etwas unterhalb der rigoros berechneten Werte liegen. Das Verhältnis TTE /TTM stimmt gut mit dem
der rigorosen Rechnung überein. Die Artmann-Formel liefert in TM-Polarisation zwar
eine bessere Übereinstimmung mit den rigoros berechneten Werten, diese Tatsache kann
aber nicht sinnvoll interpretiert werden, weil die Artmann-Formel in TE-Polarisation wie
die Lai-Formel Werte ergibt, die unter den rigoros berechneten liegen. Das Verhältnis
TTE /TTM wird durch die Artmann-Formel falsch beschrieben. Aus diesem Grund wurde
für die weiteren Rechnungen die Lai-Formel verwendet.
Näherungslösung für den Fall
n1 > n2 , θ <90◦ -θc , α<180◦
In diesem Abschnitt
wollen wir untersuchen, wie der Näherungsansatz von Bühler auf das Reexionsproblem
an einem dielektrischen Keil mit
n1 > n2 , θ <90◦ -θc
und
α<180◦
angewendet werden
kann. Analog zur Überlegung beim Retroprisma kann man annehmen, dass eine ebene
Welle, die unter einem Winkel
θ <90◦ -θc
einfällt, an der Keilanke einen Goos-Hänchen-
Shift erfährt und teilweise an der Keilspitze ausgekoppelt wird. In welche Richtungen
62
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.25: Rigoros berechnetes Verhältnis der Transmission in TM-Polarisation zu der in TE-
Polarisation in Abhängigkeit von der Wellenlänge verglichen mit dem Ergebnis anhand der Lai- und der
Artmann-Formel.
die Energie auskoppelt, kann mit dem Modell nicht beantwortet werden, denn Bühler
betrachtet nur die Energiebilanz.
Abb. 2.26 zeigt das Ergebnis einer RCWA-Rechnung für die Intensitätsverteilung und
die Poynting-Vektoren in der Umgebung eines dielektrischen Keils mit Keilwinkel
α=90◦ .
Der Keil hat einen Brechungsindex von 1,5. Der Brechungsindex des Mediums, aus dem
die Welle einfällt, beträgt 1,0. Die Welle passiert zuerst eine Blende, die so breit gewählt
ist, dass geometrisch-optisch die gesamte Welle auf die obere Keilanke fallen und dort
totalreektiert werden sollte. Die Poynting-Vektoren zeigen, dass Energie zur Keilspitze
hin transportiert und dort ausgekoppelt wird.
Um das Modell für diesen Fall quantitativ zu überprüfen, vergleichen wir für die Struktur
aus Abb. 2.27 den Transmissionsgrad nach dem Bühler-Modell mit rigorosen Ergebnissen
in Abhängigkeit von der Gitterperiode und der Polarisation der einfallenden Welle. Die
Transmission nach dem Bühler-Modell beträgt
T =2·
dGH
+ 0, 2 .
Λ
Den Vergleich mit den rigorosen Ergebnissen zeigen die Abbildungen 2.28 und 2.29. Die
Werte aus der Näherung von Bühler liegen stets unter den rigoros berechneten Werten.
Dies liegt vermutlich daran, dass evaneszente Wellen in der Nähe der Kante nicht nur
über die Spitze ausgekoppelt werden, sondern auch durch die dielektrische Schicht durchtunneln. Dieses Phänomen ist als Frustrierte Totalreexion bekannt [He98](S. 125f.). Es
wird z.B. in dielektrischen Strahlteilern ausgenutzt.
Das polarisations- und periodenabhängige Verhalten des Transmissionsgrads wird durch
63
2.4. Hybrid-Ansatz
Abbildung 2.26: Intensitätsverteilung und die Poynting-Vektoren in der Umgebung eines dielektrischen
◦
Keils mit Keilwinkel
α=90
, berechnet mit RCWA und absorbierenden Randbedingungen. Der Keil hat
einen Brechungsindex von 1,5. Der Brechungsindex des Mediums, aus dem die Welle einfällt betragt 1,0.
Die Welle passiert zuerst eine Blende, die so breit gewählt ist, dass geometrisch-optisch die gesamte Welle
auf die obere Keilanke fallen und dort totalreektiert werden sollte. Die Poynting-Vektoren zeigen, dass
Energie zur Keilspitze hin transportiert und dort ausgekoppelt wird.
64
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.27: Geometrie der Beispielstruktur zur Untersuchung der unterschiedlichen Beugungsei◦
◦
genschaften einer dielektrischen Kante für den Fall n1 > n2 , θ <90 -θc und α<180 .
Abbildung 2.28: Vergleich der Transmissionsgrade, die sich mit dem Modell von Bühler bzw. einer
rigorosen Integralmethodenrechnung für die Struktur aus Abb. 2.27 für TE-Polarisation ergeben.
65
2.4. Hybrid-Ansatz
Abbildung 2.29: Vergleich der Transmissionsgrade, die sich mit dem Modell von Bühler bzw. einer
rigorosen Integralmethodenrechnung für die Struktur aus Abb. 2.27 für TM-Polarisation ergeben.
das Modell von Bühler gut beschrieben. Für einfache Abschätzungen ist es also auch für
den Fall
n1 > n2 , θ <90◦ -θc
und
α<180◦
zu verwenden.
2.4.2 Eigene Ansätze und Kombination mit der LPIA-Methode
In diesem Abschnitt werden wir an einigen Beispielen untersuchen, wie die diskutierten
Lösungen und Modelle zur Beschreibung der Beugung an einer dielektrischen Kante in
dem neuen Hybrid-Modell eingesetzt werden können. Für die Berücksichtigung von Beugungseekten an einer Prismenkante mit
n1 < n2
und
α < 180◦
werden wir eine perfect
screen approximation untersuchen. Für Beugungseekte an Kanten mit
θc , α<180◦
n1 > n2 , θ <90◦ -
entwickeln wir eine Näherung, die auf einer Erweiterung des Ansatzes von
Bühler beruht.
Perfect screen approximation
Der letzte Abschnitt hat gezeigt, dass für die Beschreibung der Beugungseekte an einem Keil nur für den Fall, dass der Keil ideal leitend ist, zufriedenstellende analytische
Lösungen für das Fernfeldverhalten existieren. Dabei ist vor allem die Näherungslösung
von Greynolds für die unendlich dünne ideal leitende Halbebene zu erwähnen, weil hier
für die Berechnung der Kantenwelle nur trigonometrische Funktionen nötig sind. Für
den dielektrischen Fall existieren keine Lösungen, die analytische Beugungskoezienten
liefern. Das heuristische Konzept von Burnside, für die dünne dielektrische Halbebene den Beugungskoezienten der ideal leitenden Halbebene zu verwenden (siehe Abschnitt 2.4.1), kann jedoch auf beliebige Keilformen übertragen werden. Ein Vergleich
dieses Ansatzes mit der exakten Lösung von Berntsen [Bern83] für das Transmissionsproblem ndet sich in [Berg92]. Wir wollen hier den gleichen Ansatz wie Burnside verfolgen.
66
Kapitel 2. Theoretischer Teil
In unserer Näherung gehen wir davon aus, dass die Halbebene stets senkrecht zur Einfallsrichtung steht. Wir nennen diesen Ansatz perfect screen approximation (PSA). Der
GTD-Beugungskoezient ergibt sich dann aus Gl.(2.112). Um auch im Schattenbereich
physikalische Lösungen zu erhalten, verwenden wir die Greynolds-Lösung Gl.(2.115), weil
diese einfacher als die UTD-Lösung ist.
Für eine quantitative Untersuchung dieses Ansatzes vergleichen wir die Intensitätsverteilung hinter einem Gitter aus dielektrischen bzw. metallischen Keilen. Die Geometrie
des Gitters zeigt Abb. 2.30. Für das metallische Gitter wurde die Intensitätsverteilung
Abbildung 2.30: Geometrie der Kante zur Untersuchung der perfect screen approximation. Zum Ver-
gleich mit der rigorosen Berechnung für einen dielektrischen (n
(n2
= 1 − 2i)
wird die Intensität in der Beobachtungsebene 5
µm
= 1, 5)
und einen metallischen Keil
unterhalb der Keilspitze verglichen.
in der modulierten Region mit RCWA berechnet. Da der metallische Keil die Strahlung
absorbiert, wirkt er auch gleichzeitig als absorbierende Wand zwischen den periodisch aufeinanderfolgenden Strukturen, so dass die Nahfelder innerhalb einer Periode mit denen
innerhalb der nächsten Periode nur wenig wechselwirken. Für die gewählte groÿe Periode
von 30
µm
kann man davon ausgehen, dass die Intensitätsverteilung in der näheren Um-
gebung der Kante der Intensitätsverteilung um eine isolierte Kante sehr ähnlich ist. Das
Ergebnis der RCWA-Rechnung zeigt Abb. 2.31.
Im Falle der dielektrischen Kante ist es bedeutend schwieriger das isolierte Problem zu modellieren. Wir verwenden dazu absorbierende Wände, die einen Groÿteil der an der schrägen Flanke totalreektierten Strahlung absorbieren. Durch die Transparenz der Kante
erhält man jedoch unweigerlich Feldbeiträge, die durch Vielfachreexionen und gebeugte
Wellen entstehen und somit eine wirkliche Isolierung des Eektes der Kantenbeugung
sehr schwierig machen. Das Ergebnis der RCWA-Rechnung zeigt Abb. 2.32. Den Verlauf
des imaginären Brechungsindex der absorbierenden Wände zeigt Abb. 2.33.
Im Fall der dielektrischen Kante ergibt sich ein deutlich komplexeres Intensitätsmuster,
das schwer zu interpretieren ist. Zwar werden durch die absorbierenden Wände die to-
2.4. Hybrid-Ansatz
67
Abbildung 2.31: Intensitätsverteilung in der Umgebung einer metallischen Kante (n=1-2i), berechnet
mit RCWA (TE-Polarisation). Die erkennbaren Modulationen in den hellen Streifen hoher Intensität
sind auf Interferenz mit gebeugten Wellen am Keil der benachbarten Periode zurückzuführen.
Abbildung 2.32: Intensitätsverteilung in der Umgebung einer dielektrischen Kante (n=1,5), berechnet
mit RCWA (TE-Polarisation). Die erkennbaren Modulationen in den hellen Streifen hoher Intensität sind
wahrscheinlich hauptsächlich auf Reexionen und gebeugte Wellenanteile an den absorbierenden Wänden
zurückzuführen.
68
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.33: Position und Aufbau der absorbierenden Wände, die zur Berechnung der Intensitäts-
verteilung um die dielektrische Kante verwendet wurden, um Wechselwirkung zwischen den periodischen
Strukturen zu unterdrücken und damit das Beugungsproblem an der dielektrischen Kante möglichst isoliert zu betrachten. Gezeigt ist der Verlauf des imaginären Brechungsindex der absorbierenden Wände.
Weiÿ entspricht einem Wert von 0, schwarz einem Wert von 1.
talreektierten Wellenanteile innerhalb des Keils daran gehindert mit dem benachbarten
Gitterabschnitt wechselzuwirken, aber die Wände bewirken auch eine Reexion dieser
Wellen. An den verrundeten Spitzen der Wände tritt ebenfalls geringe, aber nicht zu
vernachlässigende Beugung auf. Eine wirklich isolierte Betrachtung der Beugung am dielektrischen Keil ist also sehr schwierig.
Das Ergebnis der Feldverteilung hinter der Kante, berechnet mit der perfect screen approximation, zeigt Abb. 2.34. Man erkennt, dass das qualitative Verhalten sehr gut beschrieben wird.
Um die Näherung quantitativ untersuchen zu können, vergleichen wir die Intensitätsverteilungen hinter der dielektrischen und der metallischen Kante für einen festen Abstand
von 5
µm
mit dem Ergebnis der perfect screen approximation (Abb. 2.35). Die Vertei-
lung für die metallische Kante stimmt gut mit dem Ergebnis der perfect screen approximation überein. Im Schattenbereich fällt die Intensität relativ schnell ab. Die Verteilung
für die dielektrische Kante zeigt einen sehr ähnlichen Verlauf, weist aber mehr Übermodulationen auf. Diese sind vermutlich auf Reexionen und Beugung an den absorbierenden
Wänden zurückzuführen. Die Intensitätsspitze bei x=19,7 entsteht durch den Grenzächenübergang an dieser Stelle und wird durch die evaneszenten Wellen verursacht, die bei
der Totalreexion der Wellenanteile innerhalb des Keils entstehen. Dieser Anteil ist hier
nicht von Interesse, weil er nicht durch die Beugung an der Kante verursacht wird.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die perfect screen approximation ein ezienter Näherungsansatz ist, um die Beugung an einer dielektrischen Kante zu beschreiben.
Die Intensitätsverteilung, die hinter einer isolierten dielektrischen Kante entsteht, konnte
69
2.4. Hybrid-Ansatz
Abbildung 2.34: Intensitätsverteilung in der Umgebung einer Kante, berechnet mit der perfect screen
approximation (TE-Polarisation).
Abbildung 2.35: Vergleich der Intensitätsverteilungen 5
µm
hinter der dielektrischen bzw. metallischen
Kante nach der RCWA-Rechnung und nach der perfect screen approximation. Die Kante bendet sich
bei x=15
µm.
Die Übereinstimmung mit der Kurve für die metallische Kante ist sehr gut. Die Kurve für
die dielektrische Kante zeigt mehr Übermodulationen. Diese sind vermutlich auf Reexionen und Beugung
an den absorbierenden Wänden zurückzuführen.
70
Kapitel 2. Theoretischer Teil
jedoch durch die RCWA-Methode mit absorbierenden Wänden nur ungenau berechnet
werden, so dass kein exakter Vergleich mit rigorosen Werten möglich war.
Kombination mit der LPIA-Methode
Nachdem wir nachgewiesen haben, dass die perfect screen approximation für die näherungsweise Beschreibung des aperiodischen Problems der Beugung an einer Kante verwendet werden kann, wollen wir sie nun mit der LPIA-Methode kombinieren, um auch
periodische Probleme ezient behandeln zu können. Als Test für den Hybrid-Ansatz
wählen wir eine periodische Struktur wie sie in Abb. 2.36 gezeigt wird. Diese Struktur
Abbildung
Geometrie der periodischen metallischen Struktur zur Überprüfung des Hybrid-
2.36:
Ansatzes aus local plane interface approximation (LPIA) und perfect screen approximation (PSA).
Bei senkrechtem Einfall einer Welle auf diese Gitterstruktur tritt Beugung nur an den beiden oberen
Kanten der metallischen Prismen auf, weil die untere Kante verschattet wird. Die Beugung an diesen
Kanten kann durch die perfect screen approximation beschrieben werden.
eignet sich besonders gut, weil bei senkrechtem Einfall einer Welle auf diese Gitterstruktur Beugung nur an den beiden oberen Kanten der metallischen Prismen auftritt. Die
untere Kante wird verschattet. Auÿerdem ist das geometrisch-optische Feld sehr einfach
zu beschreiben. Es entsteht durch den Wellenanteil, der ungestört den Spalt zwischen den
beiden oberen Kanten passiert:
U0 exp[i k0 n1 0.4Λ]
0
U g (x) =
0.4Λ < x < 0.6Λ
sonst
.
(2.126)
Das gesamte Feld in der Ausgangsebene ist schlieÿlich
U (x) = U g (x) + Uld (x) + Urd (x) .
Dabei sind
Uld (x)
und
Urd (x)
(2.127)
die Beugungsfelder, die von der linken und rechten oberen
Kante ausgehen und mit der perfect screen approximation beschrieben werden.
Die Beugungsezienzen für das Gitter errechnen sich nach Gl.(2.101) und Gl.(2.106).
Abb. 2.37 zeigt zunächst die Ergebnisse, die man mit der LPIA alleine erhält, d.h. bei
Vernachlässigung der Terme
Uld (x)
und
Urd (x).
Bei der LPIA ergeben sich deutlich stär-
2.4. Hybrid-Ansatz
71
Abbildung 2.37: Vergleich der berechneten Ezienzen für die Struktur aus Abb. 2.36 in Abhängig-
keit vom Winkel der jeweiligen Beugungsordnung, berechnet mit RCWA und der local plane interface
approximation (LPIA) für TE-Polarisation. Die diskreten Werte für die Ezienzen sind durch Linien
verbunden, um den Verlauf klarer zu gestalten. Auÿerdem sind nur positive Winkel aufgetragen, weil sich
für entsprechende negative Winkel aufgrund der Symmetrie die gleichen Werte ergeben. Bei der LPIA
ergeben sich deutlich stärkere Schwankungen im Verlauf als bei der RCWA.
Abbildung 2.38: Vergleich der berechneten Ezienzen in Abhängigkeit vom Winkel der jeweiligen Beu-
gungsordnung, berechnet mit RCWA und dem Hybrid-Ansatz aus local plane interface approximation
(LPIA) und perfect screen approximation (PSA) für TE-Polarisation.
72
Kapitel 2. Theoretischer Teil
kere Schwankungen im Verlauf als bei der RCWA.
Abb. 2.38 vergleicht die Ezienzen berechnet mit dem Hybrid-Ansatz aus LPIA und
perfect screen approximation. Verglichen mit der reinen LPIA ergibt sich eine deutlich
bessere Übereinstimmung mit den rigoros berechneten Werten. Im Gegensatz zur reinen
LPIA beschreibt das Hybrid-Modell den kontinuierlichen Abfall der Ezienzen ab etwa
◦
50 , der sich aus der RCWA-Rechnung ergibt.
Kombination der LPIA mit dem Näherungsansatz von Bühler
Wir wollen nun untersuchen, wie der Näherungsansatz von Bühler erweitert werden kann,
um mit der LPIA kombiniert zu werden. Mit dem erweiterten Ansatz wollen wir versuchen
die Ezienzen für die Struktur in Abb. 2.39 zu berechnen. Mit dem Ansatz von Bühler
Abbildung 2.39: Geometrie der Beispielstruktur, an der der Hybrid-Ansatz aus LPIA und einer Er-
weiterung des Ansatzes von Bühler überprüft werden soll.
wurde in Abschnitt 2.4.1 bereits die gesamte Transmission dieser Struktur abgeschätzt.
Um ihn mit der LPIA zu kombinieren, muss er jedoch Aussagen über die Feldverteilung
in der Ausgangsebene der modulierten Region liefern. Eine rein energetische Betrachtung reicht also nicht aus, sondern wir benötigen Aussagen über die Amplituden- und
Phasenverteilung der ausgekoppelten Welle in der Ausgangsebene. In der folgenden eigenen Erweiterung des Ansatzes von Bühler wollen wir daher annehmen, dass sich die
ausgekoppelte Welle als ebene Welle mit der Breite
w
von der Spitze aus ausbreitet. Die
Ausbreitungsrichtung ist dabei die gleiche wie die der evaneszenten Welle (Abb. 2.40).
Für das dielektrische Gitter aus Abb. 2.39 können wir damit die (reelle) Amplitude
Ua
73
2.4. Hybrid-Ansatz
Abbildung 2.40: Um den Ansatz von Bühler für das Hybrid-Modell verwenden zu können, wird ange-
nommen, dass sich die ausgekoppelte Welle als ebene Welle mit Breite
w
von der Spitze aus ausbreitet.
Die Ausbreitungsrichtung ist dabei die gleiche wie die der evaneszenten Welle.
Abbildung 2.41: Bezeichnungen für die Berechnung der Feldverteilung der ausgekoppelten Welle in der
Ausgangsebene der modulierten Region.
74
Kapitel 2. Theoretischer Teil
der ausgekoppelten ebenen Welle in der Ausgangsebene berechnen. Aufgrund der Energieerhaltung muss für die Intensität
des ausfallenden Wellenanteils
Ia
I0
des einfallenden Wellenanteils und die Intensität
gelten (siehe dazu Abb. 2.41)
I0 · dGH · cos 45◦ = Ia · ∆ · cos 45◦
und damit für die (reellen) Amplituden
U0
Ua
und
Felds
Ua = U0 ·
(2.128)
des einfallenden und ausgekoppelten
dGH
.
∆
(2.129)
Setzen wir die Phase des einfallenden Feldes in der Eingangsebene der modulierten Region
gleich Null, dann errechnet man für die Phase
Ausgangsebene:
δGH
des ausgekoppelten Feldes in der
δGH,r = k0 · n1 · (l1 + l2 · sin 45◦ + l3 )
(2.130)
mit
l1 = 0.4Λ − dGH · sin 45◦ ,
l2 =
dGH
(2.131)
,
(2.132)
◦
◦
l3 = x · sin 45 = (0.6Λ − x) sin 45 .
Der Faktor
sin 45◦
für
l2
in Gl.(2.130) folgt aus der Tatsache, dass sich die evaneszente
Welle entlang der Grenzäche mit einem Wellenvektor vom Betrag
(vgl. Gl.(2.70)).
ki
(2.133)
ki sin θi
ausbreitet
ist dabei der Betrag des Wellenvektors der einfallenden Welle und
◦
der Einfallswinkel auf die Grenzäche, der in diesem Fall 45 beträgt.
θi
Insgesamt ergibt sich für die an der Kante ausgekoppelte Welle die einfache Formel
δGH,r = k0 · n1 · (0.4Λ + (0.6Λ − x) · sin 45◦ ) .
(2.134)
Für die an der gegenüberliegenden Kante ausgekoppelte Welle erhält man analog:
δGH,l = k0 · n1 · (0.4Λ + (x − 0.4Λ) · sin 45◦ ) .
(2.135)
Insgesamt lautet die Feldverteilung durch die ausgekoppelten Wellen damit
U d (x) =

d


 U0 · GH
∆ exp[iδGH,l ]
dGH
∆
U0 ·



exp[iδGH,r ]
0
Der geometrisch-optische Feldanteil
Ug
0.4Λ < x < 0.4Λ + ∆
0.6Λ − ∆ < x < 0.6Λ
.
(2.136)
sonst
ist für dieses Beispiel besonders einfach zu be-
rechnen. Er entsteht durch den Wellenanteil, der ungestört den Spalt zwischen den beiden
unteren Kanten passiert:
U (x) =
g
U0 exp[i k0 n1 0.4Λ]
0
0.4Λ < x < 0.6Λ
sonst
.
(2.137)
75
2.4. Hybrid-Ansatz
Das gesamte Feld in der Ausgangsebene ist schlieÿlich
U (x) = U g (x) + U d (x) .
(2.138)
Die Ezienzen errechnen sich nach Gl.(2.101) und Gl.(2.106).
Bevor wir das Ergebnis diskutieren, sehen wir uns zunächst das Ergebnis nach der LPIA,
also mit der Näherung
U (x) = U g (x),
im Vergleich zu rigoros berechneten Werten an
(Abb. 2.42). Bei gröÿeren Winkeln ergibt die LPIA zu kleine Werte. Durch den Hybrid-
Abbildung 2.42: Vergleich der Ezienzen für die Struktur aus Abb. 2.27 in TE-Polarisation, berechnet
mit der Integralmethode und der local plane interface approximation (LPIA). Die LPIA-Näherung ergibt
bei hohen Winkeln zu niedrige Werte.
Ansatz, der die ausgekoppelten Wellen berücksichtigt, erhält man für gröÿere Winkel eine
deutlich bessere Übereinstimmung mit den rigorosen Werten (Abb. 2.43). Bei genauem
Hinsehen ist zu erkennen, dass in der Näherungslösung die Ezienzen ein Maximum
bei 45 Grad besitzen. Das ist damit zu erklären, dass wir angenommen haben, dass
die Energie in dieser Richtung ausgekoppelt wird. Die rigoros berechneten Werte zeigen
hier kein Maximum. Die wirkliche Auskopplung geschieht daher oensichtlich über einen
breiteren Winkelbereich. Die Ezienzen hängen bei unserem Näherungsansatz nicht nur
von der Summe der ausgekoppelten Energie, sondern auch von der Breite der ausgekoppelten Welle ab. Abb. 2.44 vergleicht die Ezienzen für die Struktur aus Abb. 2.39 in
TE-Polarisation, berechnet mit dem Hybrid-Ansatz aus local plane interface approximation (LPIA) und dem erweiterten Ansatz von Bühler für verschiedene Breiten
ausgekoppelten Wellen. Je kleiner
w
w
der
ist, desto mehr verteilt sich die Energie über einen
breiteren Winkelbereich. Für eine Breite von
λ1 /2
bekommt man eine zufriedenstellende
Übereinstimmung mit den rigoros berechneten Werten.
76
Kapitel 2. Theoretischer Teil
Abbildung 2.43: Vergleich der Ezienzen für die Struktur aus Abb. 2.27 in TE-Polarisation, berech-
net mit der Integralmethode bzw. dem Hybrid-Ansatz aus local plane interface approximation (LPIA)
und dem erweiterten Ansatz von Bühler. Durch die Berücksichtigung der auskoppelnden evaneszenten
Wellen ergibt sich auch bei hohen Winkeln eine zufriedenstellende Übereinstimmung mit der rigorosen
Integralmethodenrechnung. Für die Breite der ausgekoppelten Welle wurde hier
w=
λ1
gewählt.
2
Abbildung 2.44: Vergleich der Ezienzen für die Struktur aus Abb. 2.39 in TE-Polarisation, berechnet
mit dem Hybrid-Ansatz aus local plane interface approximation (LPIA) und dem erweiterten Ansatz
von Bühler für verschiedene Breiten
w
der Winkelbereich zwischen 30 und 80
w
◦
der ausgekoppelten Wellen. Der Übersichtlichkeit halber ist nur
gezeigt. Hier treten die deutlichsten Unterschiede auf. Je kleiner
ist, desto mehr verteilt sich tendenziell die Energie über einen breiteren Winkelbereich. Für
ergibt sich eine relativ gute Übereinstimmung mit dem Ergebnis der Integralmethode.
w = λ1 /2
2.4. Hybrid-Ansatz
77
2.4.3 Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wurde ein neues Hybrid-Modell aus local plane interface approximation (LPIA) und den Konzepten der Geometrischen Beugungstheorie (GTD) untersucht, um das Transmissionsverhalten dielektrischer prismatischer Gitterstrukturen im
diraktiv-refraktiven Übergangsbereich zu modellieren. Der Ansatz erlaubt eine additive
Überlagerung der geometrisch-optischen Felder mit den Beugungsfeldern. Die Beugungsfelder werden aus der Betrachtung isolierter, idealisierter Beugungsprobleme gewonnen.
Im Falle prismatischer Oberächen treten Beugungseekte an den Prismenkanten auf.
Daher kommt dem Problem der Beugung an einem dielektrischen Keil die gröÿte Bedeutung zu. Für dieses Problem gibt es bisher jedoch keine befriedigende Lösung. Als
Näherungslösungen wurden daher eine perfect screen approximation und eine Erweiterung des Näherungsansatzes von Bühler untersucht. Es konnte gezeigt werden, dass
durch den Hybrid-Ansatz Beugungs- und Interferenzeekte auf einfache Weise modelliert
und verstanden werden können. Kennt man die Form der Beugungswellen, so kann die
Präzision bei der Berechnung von Beugungsezienzen im Vergleich zur LPIA-Methode
deutlich verbessert werden.
Kapitel 3
Experimenteller Teil
Im diesem Kapitel wird untersucht, wie gut sich Interferenzlithograe zur groÿächigen
Herstellung von prismatischen Oberächenstrukturen eignet.
Es wird beschrieben, wie Durchsichtsprismen vom Typ II und stochastisch übermodu-
2 hergestellt werden
lierte prismatische Oberächen auf einer Fläche von 375 x 375 mm
können. Die Ergebnisse werden hinsichtlich Funktionalität, Optik und Homogenität über
die Fläche charakterisiert.
Zur Herstellung von Durchsichtsprismen vom Typ II wurden von Mick Vorarbeiten ge-
2 zu strukturieren. Das Verfahren
leistet [Mi01]. Ihm gelang es, Flächen von 750 x 750 mm
zur Herstellung übermodulierter prismatischer Strukturen wird dagegen in dieser Arbeit
zum ersten Mal vorgestellt.
3.1 Mikrostrukturierung
In diesem Abschnitt werden die einzelnen Prozessschritte näher beschrieben, die zur
Herstellung mikrostrukturierter prismatischer Oberächen in Kunststo nötig sind. Eine grasche Übersicht über die Prozesskette wurde bereits in der Einleitung gegeben
(Abb. 1.14). Zusätzlich soll hier noch auf die Herstellung der Fotoplatten eingegangen
werden.
Wir werden sehen, dass das Zusammenspiel von Resist, Belackung, Belichtung und Entwicklung sehr kompliziert ist. Es existieren Modelle zur theoretischen Beschreibung des
interferenzlithograschen Belichtungs- und Entwicklungsprozesses. Ein Hauptproblem besteht aber in der Bestimmung der für die Modelle notwendigen Eingabeparameter. Da
die Bestimmung aller notwendigen Parameter in der Regel zu aufwändig ist, werden
die Modelle in der Praxis häug nur für qualitative Untersuchungen herangezogen. Alle Prozessparameter müssen folglich empirisch ermittelt werden. Für eine zielgerichtete
Optimierung der Parameter ist aber das Verständnis für ihr Zusammenwirken notwendig.
3.1.1 Herstellung der Fotoplatten
Fotoplatten zur Herstellung von Gittern mit einem speziellen Oberächenprol bestehen
aus einem Substrat (z.B. Glas) und einer dünnen Schicht aus Fotolack (Resist). Welcher
79
3.1. Mikrostrukturierung
Resisttyp gewählt wird, hat starke Auswirkungen auf die Möglichkeiten bei der Strukturierung. Prinzipiell werden Positivlacke und Negativlacke unterschieden. Bei Positivlacken
werden die belichteten Anteile beim Entwicklungsprozess entfernt, bei Negativlacken ist
es umgekehrt. Für diese Arbeit wurde Positivresist verwendet. Dieser besteht aus drei
Komponenten:
•
Novolak,
•
Lösungsmittel,
•
fotoaktive Komponente.
Der Novolak dient als lmbildende Basis für die fotoaktive Komponente. Die Lösungsmittel halten den Resist für den Belackungsprozess üssig. Die fotoaktive Komponente
besteht hauptsächlich aus Diazonaphtochinon (engl. Abkürzung: DNQ). Sie wird auch
als Inhibitor bezeichnet, weil sie die Löslichkeit des Novolaks in wässriger alkalischer Lösung stark mindert. Durch Strahlungsenergie in einem geeigneten Frequenzbereich wird
das Diazonaphtochinon in Indencarbonsäure umgewandelt und der Novolak wird wieder
löslich. Zum Thema Chemie und Auswahl der Fotolacke wird auf [Da93][Pop00][Mei01]
verwiesen.
Das Hauptproblem bei der Herstellung der Prismenstrukturen ist, dass bei gröÿeren Perioden für die gleiche Strukturgeometrie mehr Material abgetragen werden muss. Dies
bedeutet in der Praxis, dass dickere Resistschichten hergestellt werden müssen und längere Belichtungszeiten nötig sind. Micks Untersuchungen von mehreren hochaufbauenden
Lacken ergaben, dass der Resist AZP4600 der Firma Clariant am ehesten für die Herstellung der Prismengitter geeignet ist, da er eine Resistdicke von 10
für Typ II Perioden von etwa 17
µm
µm
erlaubt und somit
möglich sind [Mi01].
Um den Lack über die Platte hinweg mit gleicher Schichtdicke aufzutragen, wird der
Lack meist aufgeschleudert. Dabei lässt man den Lack auf die Mitte der Substratplatte
ieÿen während die Platte mit etwa 500-5000 Umdrehungen pro Minute rotiert. Durch
die Zentrifugalkräfte verteilt sich der Lack sehr homogen über der Platte. Die Dicke der
Lackschicht kann man einstellen, indem man die Drehgeschwindigkeit variiert. Sie ist für
die Herstellung von Oberächenstrukturen meist nicht wichtig, da der Resist in diesem
Fall nicht als Ätzmaske verwendet werden soll. Das Aufschleudern dient vor allem dazu,
eine plane Lackoberäche herzustellen. Im Falle der Herstellung der Durchsichtsprismen
ist die Lackdicke jedoch sehr wichtig. Dies wird im nächsten Abschnitt noch weiter erläutert.
Im Anschluss an die Belackung werden die Proben für eine denierte Zeit bei Umgebungstemperatur stehengelassen. Hierbei entweicht ein Groÿteil der Lösungsmittel aus
dem Resist. Die restlichen Lösungsmittel werden durch Backen aus dem Resist getrieben.
◦ C über eine Dauer
Dies erfolgt üblicherweise in einem Konvektionsofen bei etwa 80-100
von etwa 30 min, abhängig vom Fotoresist und den gewünschten Eigenschaften. Durch
das Backen wird der Lösungsmittelgehalt im Resist eingestellt, bei dem der Resist die
gewünschte Empndlichkeit besitzt. Auÿerdem kann durch das Backen eine homogenere
Löungsmittelverteilung erreicht werden, wodurch unterschiedliche Entwicklungsgeschwindigkeiten aufgrund unterschiedlichen Lösungsmittelgehalts vermieden werden.
80
Die Belackung der 375 x 375 mm
Kapitel 3. Experimenteller Teil
2 groÿen Platten erfordert eine geeignete Lackschleuder.
Aus diesem Grund wurde die Belackung extern durchgeführt.
3.1.2 Belichtung
Die interferenzlithograsche Belichtung ist der wichtigste Prozessschritt innerhalb des
gesamten Strukturierungsprozesses. Durch sie wird die wesentliche Form der Strukturen
sowie die Gröÿe der strukturierten Fläche festgelegt. Bei Belichtungen mittels Interferenzlithograe werden kohärente Wellen, die unter einem bestimmten Winkel aufeinandertreffen, überlagert. Durch Interferenz entstehen Hell-Dunkel-Muster, die zur Strukturierung
von Fotoplatten verwendet werden können. Für lineare Strukturen mit gleichbleibender
Periode eignet sich ein Zweistrahlinterferenzaufbau, bei dem zwei näherungsweise ebene Wellen überlagert werden. Zur Herstellung der kohärenten ebenen Wellen wird ein
Laserstrahl mittels Strahlteiler in zwei Strahlen aufgespalten. Anschlieÿend wird jeder
Strahl mit einer Linse aufgeweitet. Die auf diese Weise entstehenden Lichtverteilungen
zeigen jedoch noch störende Interferenzmuster, die z.B. durch Staubpartikel auf den Linsen entstehen. Um die störenden Muster auszultern, werden nahe dem Brennpunkt jeder
Linse Lochblenden mit wenigen Mikrometern Durchmessern eingesetzt, die als Raumlter
dienen. Abb. 3.1 zeigt den beschriebenen Belichtungsaufbau. Die Periode
Λ
des Interfe-
Abbildung 3.1: Optischer Aufbau für die Belichtung von Fotoresistplatten mittels Interferenzlithograe:
Ein Laserstrahl wird durch einen Strahlteiler in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Anschlieÿend wird jeder
Strahl mit einer Linse aufgeweitet. Durch Interferenz der aufgeweiteten Strahlen entstehen Hell-DunkelMuster, die zur Belichtung der Fotoplatte verwendet werden.
renzmusters und damit der belichteten Struktur errechnet sich nach der Formel
Λ=
λ
.
sin θ1 − sin θ2
(3.1)
81
3.1. Mikrostrukturierung
Dabei sind
θ1
und
θ2
die Einfallswinkel der beiden Teilstrahlen. Sie sind deniert als
Winkel zur Normalen der Plattenebene. Im Falle
θ1 = −θ2
erhält man symmetrische,
ansonsten asymmetrische Strukturen.
In dieser Arbeit wurde mit einem Argon-Ionen-Laser des Typs Sabre DBW der Firma
Coherent bei einer Wellenlänge von 363,8 nm gearbeitet. Diese Laser-Linie liegt im Bereich der höchsten Empndlichkeit des verwendeten Fotoresists. Zur Auskopplung der
Strahlung aus dem Resonator besitzt der Laser ein Brewster-Fenster. Der Laserstrahl
ist dadurch polarisiert, und zwar senkrecht zur Ebene des optischen Tischs, weshalb wir
diese Polarisation hier als s-Polarisation denieren. Die theoretisch realisierbare minimale
◦ und ist dann gleich
Gitterperiode ergibt sich bei Einfall der Teilwellen unter jeweils 90
λ
◦
2 , also in diesem Fall 181,9 nm. In der Praxis sind Einfallswinkel von 90 nicht möglich,
so dass Perioden bis hinunter zu etwa 200 nm realistisch sind. Es ist also möglich mit
diesem Aufbau optische Subwellenlängengitter herzustellen, die im sichbaren Wellenlängenbereich z.B. als Antireexstruktur wirken können [Go98a]. Für die hier diskutierte
Anwendung interessieren uns jedoch Perioden von 10
µm
und mehr. Zu gröÿeren Peri-
oden hin ist die Laserwellenlänge kein limitierender Faktor.
Für die folgenden Überlegungen gehen wir davon aus, dass die Oberäche der Fotoresistplatte in der x-y-Ebene bei
z=0
liegt. Die Strahlen fallen in der x-z-Ebene ein. Durch
die Interferenz der beiden Teilwellen entsteht innerhalb der Resistschicht eine stehende
I(x, z, t) unabhängig von der Zeit ist. Bei symmetri= −θ2 ) und gleichen Strahlintensitäten hat die Intensitätsverteilung
2
der Tiefe z im Resist die Form I(x) ∝ sin (x), wenn man Streuprozesse
Welle, deren Intensitätsverteilung
schem Aufbau (θ1
unabhängig von
vernachlässigt. Den Verlauf dieser Funktion zeigt Abb. 3.2. Durch die Absorption des
Abbildung 3.2: Durch die Interferenz der beiden Teilwellen entsteht innerhalb der Resistschicht eine
stehende Welle. Bei symmetrischem Aufbau (θ1
= −θ2 )
und gleichen Strahlintensitäten hat die Intensi-
tätsverteilung der stehenden Welle unabhängig von der Tiefe
die Form
I(x) ∝ sin2 (x).
z
im Resist und unabhängig von der Zeit
Lackes nimmt die Intensität mit zunehmender Tiefe exponenziell ab. Die sich dadurch
ergebende Intensitätsverteilung im Resist während der Belichtung zeigt Abb. 3.3. Eine
wichtige Gröÿe bei der Belichtung ist der Oset. Der Oset beschreibt den Anteil der
Intensität, der nicht moduliert ist (vgl. Abb. 3.4). Er entsteht durch Belichtungsanteile,
die nicht interferieren. Er kann also z.B. durch unterschiedliche Amplituden oder Polari-
82
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.3: Um symmetrische Strukturen zu belichten, werden die Einfallswinkel der Teilstrah-
len gleich eingestellt. Dadurch ergibt sich im Resist ein Intensitätsprol, bei dem die Lage der Maxima
und Minima unabhängig von der Tiefe
z
ist. Durch die Absorption des Resists nimmt die Intensität in
z-Richtung exponenziell ab. Die Intensitätsverteilung innerhalb des Resists ist durch verschiedene Graustufen dargestellt.
Abbildung 3.4: Eine wichtige Gröÿe bei der Belichtung ist der Oset. Der Oset beschreibt den Anteil
der Intensität, der nicht moduliert ist.
83
3.1. Mikrostrukturierung
sationsrichtungen der Teilwellen eingestellt werden. Durch Variation des Oset kann man
das Belichtungsprol verändern. Ein höherer Oset verkleinert das Verhältnis
Imax /Imin .
Die Bereiche zwischen den Interferenzmaxima der stehenden Wellen erhalten mehr Intensität. Das gesamte Belichtungsprol verliert an Kontrast (Abb. 3.5).
Abbildung 3.5: Intensitätsverteilung innerhalb der Fotoresistschicht bei symmetrischer Belichtung mit
Oset. Durch Variation des Oset kann man das Belichtungsprol verändern. Ein höherer Oset verkleinert das Verhältnis
Imax /Imin .
Das Belichtungsprol verliert dadurch an Kontrast.
Proportional zur lokalen Intensität wird der Resist gebleicht, d.h. das Diazonaphtochinon
in Indencarbonsäure umgesetzt. Die Absorption nimmt ab. Dadurch kann die Strahlung
weiter vordringen und auch tiefere Regionen bleichen. Die gebleichten Regionen können
dann im Entwicklungsprozess aus dem Resist gelöst werden. Wichtig ist hierbei, wieviel
Dosis
D
der Resist erhalten hat. Die Dosis
intensität
I(t)
und Belichtungsdauer
D
ist deniert als Produkt aus Belichtungs-
t:
D(x, z) = I(x, z, t) · t .
(3.2)
Die quantitative Beschreibung des Bleichungsprozesses geschieht am Besten durch die Berechnung der Inhibitorkonzentration
M (x, z, t). Die Entstehung
der Inhibitorkonzentrati-
on kann z.B. durch das Modell von Dill modelliert werden [Di75]. Die Eingangsparameter
für dieses Modell sind die sog. Dill-Parameter A, B und C, die die belichtungsabhängige Absorption des Resists, die belichtungsunabhängige Absorption des Resists und die
Zerfallsrate des Inhibitors pro Einheit Belichtungsdosis beschreiben. Im Dill-Modell wird
die zeitliche Entwicklung der Inhibitorverteilung durch zwei gekoppelten Dierenzialgleichungen beschrieben:
∂I(x, z, t)
∂z
∂M (x, z, t)
∂t
= −I(x, z, t) [A · M (x, z, t) + B] ,
(3.3)
= −C · I(x, z, t) · M (x, z, t) .
(3.4)
Die erste Gleichung beschreibt mathematisch, dass die Abnahme der Intensität mit der
Tiefe proportional zur absorbierten Intensität ist. Die zweite Gleichung sagt aus, dass die
Inhibitorkonzentration proportional zur noch vorhandenen Inhibitorkonzentration und
zur lokal herrschenden Intensität mit der Zeit abnimmt. Die zwei Dierenzialgleichungen
84
Kapitel 3. Experimenteller Teil
können durch numerische Integration gelöst werden, wenn alle Parameter und Randbedingungen bekannt sind.
3.1.3 Entwicklung
Durch die Belichtung wird die Löslichkeit des Resists in den gebleichten Regionen erhöht.
Für die Entwicklung wird die Resistplatte daher in ein Bad aus Kaliumhydroxidlösung,
die mit deionisiertem Wasser verdünnt wird, gelegt. Der Entwickler greift den Resist an
der Oberäche an und reagiert dort. Anschlieÿend müssen die Reaktionsprodukte abtransportiert werden. Dies unterstützt man, indem man ausreichend Entwicklerlösung anbietet
und diese in Bewegung hält. Die Verdünnung der Lösung und die Entwicklungsdauer haben groÿen Einuss auf die Struktur. Diese Gröÿen werden in der Regel experimentell
ermittelt. Die optimalen Entwicklungsparameter fanden sich bei einer Entwicklungsdauer von 120 s in einer vierfach verdünnten Lösung des Entwicklers AZ400K der Firma
Clariant.
Mack-Modell
Durch Kenntnis der Abtragsrate
R
in Abhängigkeit von der Inhibitorkonzentration
M
kann der Entwicklungsprozess simuliert werden. Die Abtragsrate ist deniert als der
Resistvolumenabtrag pro Zeiteinheit. Zur Beschreibung dieser Funktion existieren verschiedene Modelle. Wir gehen hier nur auf das Modell von Mack [Ma87] ein. Dieses
S
Modell wurde von Henke in dem Simulationsprogramm SOLID ( imulation of
Lithography
in three
Dimensions)
Optical
für die integrierte Simulation des Belichtungs- und
Entwicklungsprozesses verwendet [Hen91]. Henke entwickelte das Programm für Maskenbelichtungen. Erdmann passte es an die speziellen Randbedingungen bei holograschen
Belichtungen an, indem er die Polarisation der interferierenden Wellen und die Brechung
und Reexion an den Grenzächen berücksichtigte [Za98]. Dieses Simulationsprogramm
wurde von Mick bei den Voruntersuchungen zur prinzipiellen Machbarkeit der Strukturen
eingesetzt [Mi01].
Das Modell von Mack beschreibt die Abtragsrate
R(M ) = Rmax
mit
a=
Rmin
und
Rmax
R
durch die Formel:
(a + 1)(1 − M )n
+ Rmin
a + (1 − M )n
n+1
(1 − Mth )n .
n−1
(3.5)
(3.6)
sind dabei die minimale und die maximale Abtragsrate. Die minimale
Abtragsrate wird auch Dunkelabtragsrate genannt, weil sie den Abtrag beschreibt, der
bereits bei unbelichtetem Resist auftritt.
Mth
und
n
sind reine Fit-Parameter, die im
Experiment bestimmt werden müssen.
Einen beispielhaften Verlauf der Funktion zeigt Abb. 3.6. Man erkennt, dass die Abtragsrate zuerst relativ linear absinkt bis sie einen konstanten Wert
tragsrate, erreicht.
Rmin ,
die sog. Dunkelab-
85
3.1. Mikrostrukturierung
Abbildung 3.6: Beispielhafter Verlauf der Abtragsrate in Abhängigkeit von der Inhibitorkonzentration
nach dem Mack-Modell: Die Abtragsrate sinkt zuerst relativ linear bis sie einen konstanten Wert
Rmin ,
die Dunkelabtragsrate, erreicht.
Surface inhibition
Im Experiment beobachtet man, dass die Abtragsrate des Resists zur Grenzäche Resist/Luft hin abnimmt. Diese Eigenschaft des Resists bezeichnet man als surface inhibi-
tion. Sie kann auf einen geringeren Lösungsmittelgehalt nahe der Oberäche, der durch
das Backen des Resists nach dem Belacken entsteht, oder auf Benetzungsprobleme der
Entwicklerüssigkeit zurückgeführt werden [Za98]. In den Simulationen kann dieser Eekt
dadurch berücksichtigt werden, dass die Abtragsrate
R(M (z))
mit einer sog. surface in-
hibition function SIF (z) multipliziert wird, die die Verminderung der Abtragsrate über
die Resisttiefe
z
beschreibt. Einen beispielhaften Verlauf zeigt Abb. 3.7.
Die geringere Empndlichkeit nahe der Oberäche unterstützt die Herstellung tieferer
Strukturen, weil tiefer liegende Bereiche empndlicher sind und somit die Abtragsrate in
tiefer belichteten Bereichen gröÿer ist. Die Abtragung belichteter Bereiche in den Tälern
geht also schneller vonstatten als in den Bereichen der Spitzen.
Der Eekt der surface inhibition kann sogar so groÿ sein, dass es zu überhängenden
Strukturen kommt (Abb. 3.8). Man nennt diese Formen T toppings. An den T toppings erkennt man besonders ausgeprägt das Phänomen, dass beim Entwicklungsprozess
die weniger gebleichten Bereiche seitlich aus den bereits wegentwickelten Bereichen angegrien werden. Im Falle sehr starker surface inibition führt dies dann zur Unterhöhlung
der Spitzen und zur Entstehung der T toppings. T toppings können durch Erhöhen
des Oset bei der Belichtung verhindert werden.
86
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.7: Beispiel einer surface inhibition function, die die relative Abtragsrate in Abhängigkeit
von der Tiefe im Resist beschreibt.
Abbildung 3.8: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme einer symmetrischen Struktur mit T toppings,
die durch die surface inhibition entstanden sind (aus [Bü03]).
87
3.1. Mikrostrukturierung
Besonderheiten bei der Herstellung prismatischer Strukturen mit Durchsichtsbereich
Die Schwierigkeit bei der Herstellung von Prismen mit Durchsichtsbereich besteht darin,
dass es sich um eine asymmetrische Struktur mit kantiger Form handelt. Mit Interferenzlithograe werden jedoch typischerweise parabelförmige Strukturen hergestellt. Durch
einen asymmetrischen Belichtungsaufbau und Belichtung des Resists bis auf das Substrat
sind diese Strukturen jedoch näherungsweise realisierbar.
Herstellung asymmetrischer Strukturen
Um asymmetrische Strukturen zu ermög-
lichen, müssen die Einfallswinkel der Teilstrahlen unterschiedlich sein. Dadurch ergibt sich
im Resist ein Intensitätsprol, bei dem die Maxima und Minima abhängig von der Tiefe
z
verschoben sind (Abb. 3.9). Das Bleichungsprol ist damit asymmetrisch und erlaubt
Abbildung 3.9: Um asymmetrische Strukturen zu ermöglichen, werden die Einfallswinkel der Teilstrah-
len unterschiedlich eingestellt. Dadurch ergibt sich im Resist ein Intensitätsprol, bei dem die Maxima und
Minima abhängig von der Tiefe
z
verschoben sind. Das Bleichungsprol ist damit asymmetrisch. In der
Abbildung ist die Intensitätsverteilung innerhalb des Resists durch verschiedene Graustufen dargestellt.
bereits die Herstellung prismenähnlicher Strukturen wie sie in Abb. 3.10 zu sehen sind. In
der Praxis realisiert man die unterschiedlichen Einfallswinkel, indem man die Resistplatte
verkippt. Durch geeignete Wahl des Kippwinkels kann man die Prismenform einstellen.
Prismenspitzen
Die Spitzen der Prismen entstehen allein durch eine geeignete Wahl
von Belichtungsdosis und Oset. Abb. 3.11 zeigt Simulationskurven, die wiedergeben,
wie sich das Prol, das man nach der Belichtung und der Entwicklung erhält, in Abhängigkeit von der Belichtungsdosis entwickelt. Diese Prolkurven wurden von Bläsi mit
dem Simulationsprogramm SOLID berechnet, das den Belichtungs- und Entwicklungs-
88
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.10: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme einer Oberächenstruktur, die mit Hilfe asym-
metrisch einfallender Teilwellen belichtet wurde.
Abbildung 3.11: Untersuchung der Prolform in Abhängigkeit von der Dosis für den Fall, dass die
◦
Resistplatte um 40
verkippt ist (aus [Bl00]). Die Prolkurven wurden mit dem Simulationsprogramm
SOLID berechnet, das den Belichtungsprozess und den Entwicklungsprozess simuliert. Der Osetanteil
beträgt bei diesen Rechnungen 65% der maximalen Intensität. Man sieht, wie sich mit zunehmender Dosis
die Prismenspitzen herausbilden.
89
3.1. Mikrostrukturierung
prozess simuliert [Bl00]. Man sieht, wie sich mit zunehmender Dosis die Prismenspitzen
herausbilden.
Durchsichtsbereich
Um den planen Bereich zwischen den Prismen zu realisieren,
muss man den Resist an diesen Stellen bis zum Glassubstrat durchbelichten (Abb. 3.12).
Dadurch verhindert man das Entstehen des parabolischen Strukturanteils zwischen den
Abbildung 3.12: Um den planen Bereich zwischen den Prismen zu realisieren, muss man den Resist an
diesen Stellen bis zum Glassubstrat durchbelichten. Dadurch verhindert man das Entstehen des parabolischen Strukturanteils zwischen den Prismenspitzen, weil in diesem Bereich der Resist beim Entwickeln
vollständig bis zum Substrat hin abgetragen wird. In der Abbildung ist die Intensitätsverteilung innerhalb
des Resists durch verschiedene Graustufen dargestellt.
Prismenspitzen, weil in diesem Bereich der Resist beim Entwickeln vollständig bis zum
Substrat hin abgetragen wird. Eine auf diese Weise entstandene Durchsichtsprismenstruktur zeigt Abb. 3.13.
Belichtungsaufbau
Den gesamten Belichtungsaufbau zeigt Abb. 3.14. Um die Ree-
xionen der Teilwellen an der Grenzäche Luft-Resist zu minimieren, ist es sinnvoll, die
Polarisation des Laserlichts auf p-Polarisation einzustellen. Dies ist bei diesem Aufbau
möglich, weil die Einfallsrichtungen der beiden Teilwellen nur etwa ein Grad auseinanderliegen. Dadurch können auch p-polarisierte Teilwellen nahezu vollständig interferieren.
Zur Drehung des Laserstrahls von s- auf p-Polarisation wurde in jeden Teilstrahl eine
Platte gestellt.
λ
2-
2 zu strukturieren, musste der optische Aufbau so gestal-
Um Flächen von 375 x 375 mm
tet werden, dass die Probenäche möglichst homogen ausgeleuchtet wurde. Dies wurde
durch Einsetzen von Bestform-Sammellinsen mit einer Brennweite von 6 mm, durch Ver-
90
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.13: Rasterelektronenmikroskopische Aufnahme einer Durchsichtsprismenstruktur in Foto-
resist nach dem Entwicklungsschritt. Der plane Bereich zwischen den Prismen wurde realisiert, indem in
diesem Bereich der Resist bis zum Glassubstrat hin belichtet und abgetragen wurde.
Abbildung 3.14: Belichtungsaufbau für asymmetrische Prismenstrukturen. Die Fotoplatte ist verkippt,
um so unterschiedliche Einfallswinkel der Teilwellen einzustellen.
91
3.1. Mikrostrukturierung
wendung von Lochblenden mit einem Lochdurchmesser von 6
µm
und durch einen sehr
groÿen Abstand von etwa 4 m zwischen den Linsen und der Probe erreicht.
Herstellung von stochastisch übermodulierten Prismenstrukturen
Farbeekte, die vor allem durch Beugung an der Gitterstruktur entstehen, stellen ein
Problem in Hinsicht auf die Anwendung als Tageslichtelement dar. Durch Lichtstreuung
an einer aufmodulierten oder nachgeschalteten Struktur können diraktiv und refraktiv
bedingte Farbeekte vermieden werden, weil eventuell entstehende Farben (Linien oder
Farbsäume) durch die Streuwirkung wieder zu Weiÿlicht vermischt werden. Die interferenzlithograsche Herstellung der Strukturen erlaubt es, durch eine weitere Belichtung
eine Struktur mit einer anderen Struktur zu modulieren. Diese zweite Struktur kann z.B.
aperiodischer oder stochastischer Natur sein. Um die Farbeekte an den Prismenstrukturen zu vermindern, wurde daher ein Verfahren zur Modulierung prismatischer Strukturen
mit einer stochastischen Struktur entwickelt [Pat02]. Dabei werden die Fotoplatten vor der
Prismen-Belichtung in einem oder mehreren Schritten mit einem sog. Speckle-Muster
belichtet. Dazu wird in einen aufgeweiteten Strahl des Lasers ein Diusor gestellt (vgl.
Abb. 3.15). Als Diusor diente eine einseitig geätzte Glasplatte. Der Durchmesser der
Abbildung 3.15: Belichtungsaufbau für die stochastische Modulierung von prismatischen Oberächen-
strukturen. Der aufgeweitete Laserstrahl wird auf einen Diusor gelenkt. Hinter dem Diusor entsteht
ein Muster aus sog. Speckles.
ausgeleuchteten Fläche auf dem Diusor und der Abstand zur Probe bestimmen den minimalen Durchmesser der Speckles. Die Überlegung ist dabei analog zur Bestimmung der
Periode beim interferenzlithograschen Aufbau (Gl.(3.1)). In der Kleinwinkelnäherung
tan θ ≈ sin θ
erhält man
d=
λ·l
.
∆x
(3.7)
92
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Dabei ist
∆x
ausgehen, und
der Abstand der Punkte in der Diusorebene, von denen die Teilwellen
l
der Abstand des Diusors zur Probenebene.
Je gröÿer der Winkel ist, unter dem zwei Teilwellen interferieren, desto kleiner ist folglich
d der Speckle-Körner. Ist der Durchmesser der auf dem Diusor ausgeleuchteten
∆xmax , dann beträgt die minimale Specklekorn-Gröÿe ungefähr
die Gröÿe
Fläche
dmin =
λ·l
.
∆xmax
(3.8)
Insgesamt entsteht in der Probenebene ein Intensitätsmuster, das durch Überlagerung
von Teilwellen entsteht, deren Ausgangspunkte in der Diusorebene einen Abstand zwischen
∆x = 0
und
∆x = ∆xmax
haben können. Das entstehende Interferenzmuster
kann man sich daher auch als eine Überlagerung von vielen interferenzlithograschen
Zweistrahlbelichtungen mit unterschiedlichen Einfallswinkeln vorstellen. Durch die kontinuierliche Verteilung an Einfallswinkeln entsteht in der Probenebene eine Überlagerung
von Interferenzmustern mit unterschiedlichen Perioden. Jeder Periode kann man eine
1
Λ zuordnen. Die Funktion, die beschreibt, wieviel jede Ortsfrequenz zur Intensitätsverteilung in der Probenebene beiträgt, wird Ortsfrequenzspektrum
sog. Ortsfrequenz
ν=
genannt. Das Ortsfrequenzspektrum, das von einem Diusor bei einem gegebenen Aufbau
für Speckle-Belichtungen erzeugt wird, ist eindeutig bestimmt und kann zur Charakterisierung der Belichtung verwendet werden. Würde der Diusor z.B. aus zwei Lochblenden
und damit zwei Punktlichtquellen bestehen, dann ergäbe sich die gleiche Situation wie bei
einem interferenzlithograschen Aufbau mit zwei Teilstrahlen: Man erhält eine periodische Intensitätsverteilung mit einem Ortsfrequenzspektrum, das nur bei einer Frequenz
einen Peak aufweist. Im Falle eines realen Diusors erhält man dagegen ein kontinuierliches Spektrum.
Die Einstellung des übermodulierten Ortsfrequenzspektrums geschah bei den Belichtungen experimentell. Veränderbare Parameter sind die Oberächenstruktur des Diusors,
die ausgeleuchtete Fläche auf dem Diusor, die Belichtungsdauer, sowie die Anzahl einzelner voneinander unabhängiger Speckle-Belichtungen. Die Auswirkungen der ParameterVariationen wurden qualitativ überprüft, indem der vom Auge wahrgenommene Farbeffekt für verschiedene Proben bei Bestrahlung mit Sonnenlicht verglichen wurde. Zusätzlich wurden die Proben mit einem Helium-Neon-Laser bei einer Wellenlänge von 633 nm
bestrahlt und die Intensitätsverteilung hinter der Probe auf einer Mattscheibe qualitativ
analysiert: Während bei einer rein periodischen Struktur die verschiedenen Beugungsordnungen als Intensitätspeaks zu sehen sind, zeigen die übermodulierten Strukturen um
die weiterhin sichtbaren Maxima der Beugungsordnungen eine Lichtwolke, die durch die
Streuung an den Speckles entsteht (Abb. 3.16). Diese Streuung ist für die Farbdurchmischung verantwortlich. Sie kann daher auch als indirektes Qualitätskriterium herangezogen werden, wie ezient die Periodizität der Struktur durch die stochastische Übermodulation gestört wird.
Auf die topograsche Beschreibung der Oberächenstruktur der modulierten Prismenstrukturen wird in Kapitel 3.4 weiter eingegangen.
3.1. Mikrostrukturierung
93
Abbildung 3.16: Fotograsche Aufnahme der Intensitätsverteilungen hinter einer Probe mit einer Ober-
ächenstruktur aus Durchsichtsprismen (oben) und einer Probe mit einer Oberächenstruktur aus stochastisch übermodulierten Prismen (unten). Die Proben wurden mit einem Helium-Neon-Laser senkrecht
von vorne bestrahlt. Während bei einer rein periodischen Struktur die verschiedenen Beugungsordnungen als scharfe Intensitätspeaks zu sehen sind, zeigen die übermodulierten Strukturen um die weiterhin
sichtbaren Intensitätsmaxima der Beugungsordnungen eine Lichtwolke.
3.1.4 Mikroreplikation
Beschichtung
Um eine Plattierbasis für die Galvanisierung der Mikrostrukturen zu schaen, müssen
die Strukturen mit einem leitenden festen Material beschichtet werden. Die Schicht muss
die Struktur homogen bedecken. Dies ist am ehesten gewährleistet, indem man dünne
Metallschichten aufbringt. Die Prismenstrukturen wurden durch Kathodenzerstäubung
(Sputtern) mit einer etwa 50 nm dicken Goldschicht versehen. Gold hat den Vorteil, dass
seine Leitfähigkeit im Sputterprozess gut kontrolliert werden kann, weil es nicht oxidiert.
Das Sputter-Verfahren erlaubt es, sehr groÿe Flächen relativ kostengünstig homogen zu
beschichten. Eine Beschreibung dieses Verfahrens ndet sich z.B. in [Büt91].
Galvanisierung
Die Replikation von Mikrostrukturen in Kunststoe erfordert robuste Abformwerkzeuge
aus Metall. Zu deren Herstellung eignet sich die galvanische Abscheidung von Metallen wie z.B. Nickel, Gold oder Kupfer. Häug werden auch Metalllegierungen verwendet, um besondere physikalische Eigenschaften einzustellen. Für die Proben der Gröÿe
2 benötigt man entsprechend groÿe Galvanisierungsbecken, die am Institut
375 x 375 mm
nicht zur Verfügung standen. Der Prozess wurde daher extern durchgeführt. Die entwickelten und mit Gold beschichteten Fotoplatten werden dabei in ein Galvanikbad mit
Nickelsulfamat als Elektrolyt getaucht. Bei einer Nickelkonzentration von etwa 100 g/l
94
Kapitel 3. Experimenteller Teil
können Nickelschichten relativ schnell aufgewachsen werden, da die Lösung hohe Stromdichten erlaubt. Nach dem Aufwachsen muss die Metallstruktur von der Resiststruktur
und der Glasplatte gelöst werden. Dazu verwendet man ein Aceton-Bad, in dem sich der
organische Resist auöst. Die zurückbleibende Nickelstruktur nennt man Masterstruktur. Sie besitzt noch eine dünne Goldschicht auf der Oberäche. Von der Masterstruktur
kann man durch Galvanisierung weitere Nickel-Kopien herstellen, die auch als Nickel-
Shims bezeichnet werden. Die erste Kopie wird Sub-Master, die zweite Sub-Sub-Master,
etc. genannt. Die Dicke der Nickelschicht kann durch die Dauer des Galvanikprozesses
eingestellt werden. Bei den im Rahmen dieser Arbeit hergestellten Nickel-Shims betrug
die Dicke der Nickel-Schicht 300
µm.
Durch Galvanisierung können von einer Fotoresiststruktur viele Abformungen in Nickel
gemacht werden. Durch jede Abformung nutzen sich die Urformen jedoch ab. Wie oft die
Masterstruktur kopiert werden kann, hängt stark von der Struktur und den Anforderungen ab. Bei achen Strukturen kann die Zahl der Kopien bis etwa 50 gehen. Bei den hier
betrachteten tiefen und kantigen Strukturen dürfte die Zahl der Kopien mit akzeptabler
Qualität niedriger sein.
Massenreplikation
Nickel-Shims können als Stempel zum Abformen der Strukturen in andere Materialien
verwendet werden. Gängige Prozesse für die Abformung sind Heiÿprägen, UV-Aushärten
oder Spritzgieÿen [Ga97]. Beim Heiÿprägen wird das zu strukturierende Material geschmolzen. Dann wird der Nickelstempel unter hohem Druck und konstanter Temperatur
in das Material hineingepresst. Im Idealfall reicht dabei die Flieÿfähigkeit aus, um die
Struktur optimal zu bedecken, und nach dem Abkühlen bleibt die Struktur im Abformmaterial erhalten.
Wegen der niedrigen Schmelztemperaturen eignen sich besonders Kunststoe für diesen Prozess. Für die Anwendung als Tageslichtsystem kommen Kunststoe in Frage, die
transparent, kostengünstig und langzeitbeständig gegen das UV-Licht der Sonne sind.
Im Falle der Prismenstruktur vom Typ II sollte der Brechungsindex des Kunststoes
im Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts hoch sein, weil mit steigendem Brechungsindex der Totalreexionswinkel zunimmt und so eine bessere Ausblendwirkung möglich
ist [MF03]. In Frage kommen daher vor allem Polycarbonat (PC) und Polystyrol (PS),
die im Sichtbaren einen Brechungsindex von
n≈
1,59 aufweisen. Polymethylmethacrylat
(PMMA) und Polyethylen (PE) haben dagegen nur einen Brechungsindex von etwa 1,5
(vgl. Tab. 3.1).
Kunststo
Brechungsindex
Polycarbonat (PC)
≈1,59
≈1,59
≈1,49
≈1,51
Polystyrol (PS)
Polymethylmethacrylat (PMMA)
Polyethylen (PE)
Tabelle 3.1: Brechungsindices gängiger transparenter Kunststoe bei 589,3 nm [Stö98].
95
3.1. Mikrostrukturierung
Prinzipiell ist auch ein Heiÿprägen in Glas möglich. Probleme bereiten hier jedoch die
◦
nötige hohe Temperatur von etwa 600 C, um den Schmelzbereich des Glases zu erreichen, die Entformung vom Prägewerkzeug nach dem Erkalten und die Veränderung der
Oberächenstruktur beim Abkühlen durch Schrumpfung.
Ein weiteres Verfahren ist das Spritzgieÿen. Beim thermoplastischen Spritzgieÿen wird eine heiÿe Polymermasse in ein temperiertes Werkzeug gespritzt und erkaltet dort. Bei diesem Verfahren werden hohe Temperaturen und Drücke benötigt, so dass in den abgeformten Strukturen Spannungen auftreten können, die zu Rissen führen oder den Kunststo
doppelbrechend werden lassen. Die Vorteile des Spritzgieÿens bestehen in der schnellen
und kostengünstigen Herstellung selbst von komplizierten Werkzeuggeometrien in einem
Arbeitsgang. Eine tiefergehende Behandlung von Spritzguss für Mikrostrukturen ndet
sich in [Au99].
Für die Strukturierung groÿer Flächen Kunststofolie ist die UV-Aushärtung besonders
interessant. Auf das Substrat, das mit einer strukturierten Schicht überzogen werden
soll, wird ein Acryllack aufgebracht. Der Shim wird in den Lack gepresst und durch
rückseitige Bestrahlung mit UV-Licht durch das Substrat hindurch wird der Lack zum
Aushärten gebracht. Für diese Methode sind folglich UV-transparente Substrate wie Glas
oder transparente Kunststoe Voraussetzung. Der Prozess kann auch leicht im Walzenverfahren durchgeführt werden und so zur Strukturierung von Endlosfolien verwendet
werden. Ein groÿer Vorteil gegenüber thermoplastisch replizierten Oberächen ist, dass
die eingesetzten Lacke eine höhere Kratzfestigkeit aufweisen.
96
Kapitel 3. Experimenteller Teil
3.2 Methoden zur Charakterisierung von Oberächenstrukturen
In diesem Abschnitt werden kurz die Methoden geschildert, mit denen die hergestellten
mikrostrukturierten Oberächen charakterisiert wurden.
3.2.1 Rasterelektronenmikroskop
Die Topograe der mikrostrukturierten Oberächen wurde mit einem Rasterelektronen-
mikroskop (Abk.: REM) des Typs S-4700 der Firma Hitachi untersucht. Mit diesem Mikroskop können Strukturen mit einer Auösung von bis zu 1,5 nm aufgenommen werden.
Die auf das Gerät geeichte Analyse-Software erlaubt eine Vermessung der Mikrostrukturen. Die Proben müssen vor der Betrachtung im REM mit einer wenige Nanometer
dicken, unmagnetischen Metallschicht versehen werden, damit die Ladungen, die durch
den Beschuss mit Elektronen auf der Oberäche der Probe entstehen, abgeleitet werden
können. Die hier analysierten Proben wurden dazu mit einer etwa 10 nm dicken Platinschicht in einem Sputter-Coater der Firma Cressington beschichtet. Das REM wurde
in dieser Arbeit vor allem zur Überprüfung der Strukturgeometrien der Prismengitter
verwandt. Dazu müssen Kanten durch die Struktur gebrochen werden, die im Idealfall
senkrecht zu den Gitterlinien liegen.
3.2.2 Fourier-Spektrometer
Um die optischen Eigenschaften der hergestellten Proben zu vermessen, wurde ein
Fourier-Spektrometer
des Typs IFS 66 der Firma Bruker verwendet. Mit Hilfe der
Fourier-Spektroskopie ist es möglich, spektrale Werte für Transmission oder Reexion
zu messen, obwohl die Probe mit einer breitbandigen Strahlungsquelle (in diesem Fall
einer Halogenlampe) beleuchtet wird. Selbst bei sehr geringen Intensitäten kann mit
der Fourier-Spektroskopie noch eine ausreichende spektrale Auösung erzielt werden.
Die Fourier-Spektroskopie wurde anfangs für den infraroten Spektralbereich entwickelt
(Bez.: Fourier Transform Infrared Spectroscopy, Abk. FTIR). Mittlerweile erlaubt diese
Methode auch Messungen im sichtbaren Wellenlängenbereich, weil heute eine bessere
Stabilität des Aufbaus möglich ist. Im Vergleich zu Gitterspektrometern ermöglicht die
Fourier-Spektroskopie eine deutlich kürzere Messzeit.
Messung des winkelabhängigen gerichtet-hemisphärischen Transmissionsgrades
Der hemisphärische Transmissionsgrad einer Probe ist deniert als das Verhältnis der
gesamten transmittierten Energie in den Halbraum hinter der Probe zur einfallenden
Energie aus dem Halbraum vor der Probe. Fällt die Strahlungsenergie aus einem denierten Winkel auf die Probe, so spricht man exakt vom gerichtet-hemisphärischen
Transmissionsgrad. Wir werden im Folgenden abkürzend vom hemisphärischen Transmissionsgrad sprechen.
Für die Messung des winkelabhängigen (gerichtet-)hemisphärischen Transmissionsgrades
97
3.2. Charakterisierung
Abbildung 3.17: Aufbau zur Messung des winkelabhängigen hemisphärischen Transmissionsgrades:
Weiÿlicht aus einem Fourier-Spektrometer wird unter einem denierten Winkel auf die Probe gelenkt.
Das transmittierte Licht erzeugt in der integrierenden Kugel ein diuses Strahlungsfeld, das proportional
zur transmittierten Energie ist und mit einem Siliziumdetektor gemessen wird.
wurde ein Aufbau verwendet, der am Fraunhofer-ISE entwickelt wurde [St95]. Er besteht
aus einem Fourier-Spektrometer und einer integrierenden Kugel (Ulbricht-Kugel) mit
zwei Önungen. Die Kugel besteht innen aus gesintertem Polytetraouretylen
(PTFE).
Dieses PTFE weist im sichtbaren Wellenlängenbereich einen diusen Reexionsgrad
> 0,97 auf. Die Probe wird an einer Önung angebracht. Die andere Önung dient zur
Referenzmessung ohne Probe. Durch eine Pneumatik kann das Licht wahlweise durch
die Referenzönung oder durch die Probe gelenkt werden. Die Strahlung, die in die
Kugel gelangt, erzeugt ein diuses Strahlungsfeld, das von einem Silizium-Detektor
aufgenommen wird. Das diuse Strahlungsfeld in der Kugel ist dabei proportional zur
in die Kugel transmittierten Energie. Aus dem Verhältnis der Signale mit und ohne
Probe erhält man den hemisphärischen Transmissionsgrad. Um die Winkelabhängigkeit
zu messen, ist die Kugel durch einen Schrittmotor um beliebige Winkel drehbar (siehe
Abb. 3.17).
Messung des gerichtet-gerichteten Transmissionsgrades
Durch
einen
weiteren
äuÿeren
Aufbau
am
Spektrometer
kann
auch
der
spektrale
gerichtet-gerichtete Transmissionsgrad von Strukturen vermessen werden. Das heiÿt,
dass die Transmission für einen denierten Ein- und Ausfallswinkel gemessen wird.
Dazu wird die Probe auf einen Goniometertisch gesetzt (Abb. 3.18). Mit einem Siliziumdetektor, vor dem eine Sammellinse und eine Blende angebracht werden, wird die
in einen bestimmten Ausfallswinkelbereich gelenkte Energie gemessen. Durch Abfahren
des gesamten Halbraums hinter der Probe kann so die direkte Transmission von Proben
bestimmt werden, deren Struktur in der Achse senkrecht zur Tischebene invariant ist.
Die Winkelauösung der Messung wird vor allem durch die Blende vor dem Detektor
98
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.18: Goniometeraufbau in Verbindung mit dem Fourier-Spektrometer.
bestimmt, denn die Blendenönung kann nicht beliebig klein gewählt werden, weil sonst
das Signal am Detektor zu schwach wird. Beim verwendeten Aufbau lag die Winkelauflösung nur bei etwa ein Grad. Der Vorteil des Aufbaus ist jedoch, dass man spektrale
Werte erhält und so Farbeekte quantizieren kann.
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
99
3.3 Prismatische Oberächenstrukturen
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der experimentellen Arbeiten zur groÿächigen
Herstellung von Durchsichtsprismen vom Typ II beschrieben. Es werden die Topograe,
Homogenität und das optische Verhalten einiger beispielhafter Strukturen sowohl von
originären Strukturen im Fotoresist als auch von replizierten Strukturen untersucht. Dabei
soll geklärt werden, mit welcher Qualität die Strukturen groÿächig hergestellt werden
können und wo die Hauptprobleme in der gesamten Prozesskette liegen.
3.3.1 Topograe der Originalstrukturen
Wie in Abschnitt 3.1.2 dargestellt, ist eine ideale Prismenstruktur mit Interferenzlithograe nur näherungsweise herzustellen. Es musste daher geklärt werden, wie nah man bei der
originären Struktur im Fotoresist an die Idealform kommen kann, und ob die realen Strukturen ein befriedigendes Ausblendverhalten zeigen. In diesem Abschnitt betrachten wir
daher die Geometrie verschiedener Proben von Prismengittern mit Durchsichtsbereich.
Sämtliche REM-Aufnahmen zeigen die Struktur im Fotoresist auf dem Glassubstrat, wie
man sie nach dem Entwickeln erhält.
Das Ziel bestand darin eine Oberächenstruktur herzustellen, die möglichst nah an die
die Idealform der Prismenstruktur mit Bezeichnung Typ II herankommt. Die Geometrie
der Oberächenstruktur und für die folgende Diskussion relevante Bezeichnungen zeigt
nocheinmal Abb. 3.19. Wichtig ist die Denition der oberen und unteren Flanke des Pris-
Abbildung 3.19: Idealform der Prismenstruktur mit Bezeichnung Typ II und Denition von Bezeich-
nungen, die in der folgenden Diskussion wichtig sind.
mas. Die Bezeichnung ist so gewählt, weil in der Anwendung in der Vertikalfassade die
obere Flanke nach oben zur Sonne gerichtet ist.
Um die Strukturform einzustellen, wurden vor allem die Belichtungsdauer und der Oset
100
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.20: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der interferenzlithograsch hergestellten Durch-
sichtsprismenstruktur FP7.
variiert. Durch die Belichtungsdauer kann man den Durchsichtsbereich einstellen. Der Oset bestimmt vor allem die Form der Prismenspitzen. Abb. 3.20 zeigt die REM-Aufnahme
einer Beispielstruktur (Probenbezeichnung FP7). Abb. 3.21 vergleicht die Form der Realstruktur mit der Idealstruktur von Typ II. Es zeigen sich Abrundungen der Struktur an
der Spitze der Prismen und im Basisbereich der unteren Flanke. Um die Verrundungen an
der Spitze zu verhindern, kann man z.B. versuchen den Oset geringer einzustellen. Eine
mit weniger Oset belichtete Probe zeigt Abb. 3.22. Die Spitze ist hier weniger verrundet.
Allerdings ist diese Struktur hinterschnitten. Sie ist daher schlecht abformbar.
Generell zeigte sich bei der Einstellung der Strukturform mittels Belichtungsdauer und
Oset, dass eine geradlinige obere Flanke mit wenig verrundeter Spitze einen zu groÿen
Flankenwinkel
α
und eine Hinterschneidung bei der unteren Flanke bedeutete. Eine Ein-
stellung korrekter Flankenwinkel führte jedoch zu verrundeten Spitzen.
3.3.2 Homogenität
Für die Anwendung in einer Verglasung ist es sehr wichtig, dass die mikrostrukturierte
Oberäche ein homogenes Erscheinungsbild hat, um den ästhetischen Ansprüchen von
Architekten und Bauherren gerecht zu werden. Vor allem aber ist eine Homogenität der
Struktur notwendig, um auf der gesamten Fläche die angestrebte optische Wirkungsweise
der Struktur zu gewährleisten. Die optische Homogenität der Prismenstrukturen für das
Auge des Betrachters wird vor allem durch eine gleichmäÿige Breite des Durchsichtsbereichs erreicht. Die Homogenität in der Wirksamkeit als winkelselektive Verschattung
wird dagegen durch eine gleichbleibende Geometrie des Prismenbereichs erreicht. Diese
Geometrie kann z.B. durch zwei Prismenwinkel und die Höhe des Prismas beschrieben
werden. Zur Untersuchung der Homogenität wurden bei zwei strukturierten Fotoplatten
2 (Proben FP19 und FP20) an verschiedenen Stellen Proben
der Gröÿe 375 x 375 mm
herausgeschnitten und Kanten gebrochen, um so Schnitte durch die Struktur mit Hilfe
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
101
Abbildung 3.21: Vergleich der Idealform von Typ II und der interferenzlithograsch hergestellten Re-
alform. Es zeigen sich Abrundungen der Struktur an der Prismenspitze und im Basisbereich der unteren
Flanke.
Abbildung 3.22: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der interferenzlithograsch hergestellten Durch-
sichtsprismenstruktur FP19. Sie weist eine weniger verrundete Spitze auf als FP7. Allerdings ist sie
hinterschnitten und daher schlecht abformbar.
102
Kapitel 3. Experimenteller Teil
des Rasterelektronenmikroskops vermessen zu können. Die Variation der Parameter
Durchsichtsbereich, Prismenwinkel, Prismenhöhe und Strukturperiode wurde anhand
der Aufnahmen bestimmt. Die Position der Probe auf der Fotoplatte wird im Folgenden
durch die (x/y)-Position angegeben (zur Denition siehe Abb. 3.23). Es wurden in einem
Abbildung 3.23: Denition der Koordinaten auf einer Fotoplatte. Diese Koordinaten dienen zur Un-
tersuchung der Homogenität der Prolform und Periode der Oberächenstrukturen.
Fall Proben von FP19 bei fester x-Position (x=20 cm) und variierender y-Position,
im anderen Fall Proben von FP20 bei fester y-Position (y=18 cm) und variierender
x-Position vermessen. Die Ergebnisse nden sich in den beiden folgenden Tabellen 3.2
und 3.3.
x/cm y/cm
Λ/µm
α/◦
β /◦
d/µm h/µm
3,0
18,0
15,3
48
95
7,1
9,0
18,5
18,0
16,4
46
94
7,8
9,5
34,5
18,0
17,3
47
94
8,2
9,9
Tabelle 3.2: Homogenität der Strukturen über eine Resistplatte. Messwerte der Probe FP19. x und y
bezeichnen die Position auf der Platte (vgl. 3.23),
Λ
bzw. unteren Flanke zur Plattenoberäche,
die Breite des Durchsichtsbereiches und die Höhe der
d
und
h
die Gitterperiode,
α
und
β
den Winkel der oberen
Prismenzähne.
x/cm y/cm
Λ/µm
α/◦
β /◦
d/µm
h/µm
20,0
3,5
16,9
42
87
5,0
8,4
20,0
17,5
17,5
43
89
5,7
9,2
20,0
26,5
17,5
44
92
7,0
8,9
20,0
35,5
16,8
42
86
6,9
7,1
Tabelle 3.3: Homogenität der Strukturen über eine Resistplatte. Messwerte der Probe FP20.
Exemplarische REM-Aufnahmen der Probe FP20 zeigen Abb. 3.24, Abb. 3.25 und
Abb. 3.26. Aus den Tabellen 3.2 und 3.3 wird ersichtlich, dass die Periode, der Durchsichtsbereich und die Prismenhöhe deutlich positionsabhängig sind. Die Periode wird
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
103
Abbildung 3.24: REM-Aufnahme der Struktur der Fotoplatte FP20 an der Stelle (20/17,5), also nahezu
der Mitte der Probe.
Abbildung 3.25: REM-Aufnahme der Struktur der Fotoplatte FP20 an der Stelle (20/35,5).
104
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.26: REM-Aufnahme der Struktur der Photoplatte FP20 an der Stelle (20/3,5).
z.B. mit zunehmendem x-Wert gröÿer und nimmt auf der gesamten Breite der Platte
um 2
µm
zu. Auf die Homogenität der optischen Erscheinung und Funktion hätte dies
keinen merklichen Einuss, wenn die Prismengröÿe in gleichem Maÿe gröÿer würde. Die
Durchsicht hängt prinzipiell nur schwach von der Periode ab, solange die Periode deutlich
gröÿer als die Wellenlänge des Lichts ist. Auch die winkelabhängige Transmissionsfunktion würde durch Schwankungen nur unwesentlich beeinusst, wenn die Prismengröÿe sich
entsprechend der Periode ändern würde. Aus verschiedenen Gründen, auf die wir noch
eingehen werden, skalieren aber die Strukturparameter nicht einfach mit der Periode, so
dass die Periodenvariation über die Probe sich auch leicht auf die Durchsicht und die
Funktion auswirkt.
Erklären lässt sich die Periodenänderung durch die Tatsache, dass die einfallenden Wellen
gekrümmt sind, also keine idealen ebenen Wellen darstellen, deren Einfallsrichtung über
die gesamte Probenäche konstant ist. Dieser Eekt kann berechnet werden, indem
man die Einfallswinkel der Wellen in Abhängigkeit vom Ort auf der Platte berechnet
und daraus die an diesem Ort entstehende Periode. Abb. 3.27 zeigt das Ergebnis der
Periodenverteilung für den Fall des verwendeten Belichtungsaufbaus. Die bei den Messungen zu beobachtende Zunahme der Periode mit steigendem x-Wert wird damit durch
die Rechnung bestätigt. Durchsichtsbereich und Prismenhöhe ändern sich aber nicht
nur mit variierender Periode, sondern unterliegen noch weiteren Prozessparametern. Bei
ansonsten identischen Parametern würde sich mit einer lokal höheren Belichtungsdosis
der Durchsichtbereich vergröÿern und die Prismenhöhe verkleinern. Qualitativ denselben
Eekt hätte bei ansonsten gleichen Parametern eine lokal geringere Resistdicke. Bei
den verwendeten Resistplatten lag eine ungleichmäÿige Schichtdicke des Resists vor
und bei dem vorgestellten Belichtungsaufbau ist eine inhomogene Intensitätsverteilung
105
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
2
Abbildung 3.27: Theoretische Periodenverteilung über eine 375 x 375 mm groÿe Fotoplatte für den
betrachteten Aufbau.
in der Probenebene unvermeidlich. In der Regel ist diese Verteilung näherungsweise
gauÿförmig, so dass auÿen liegende Bereiche mit weniger Dosis belichtet werden und
somit der Durchsichtsbereich kleiner und die Prismenhöhe gröÿer werden sollte. Während
die Messungen zeigen, dass der Durchsichtsbereich nach auÿen hin tatsächlich abnimmt,
nimmt die Höhe jedoch oensichtlich nach auÿen hin nicht zu. Dies liegt daran, dass
die Resistdicke über die Platte hinweg variiert. Generell nimmt beim Aufschleudern des
Lacks die Dicke nach auÿen hin ab, bevor sie in den extremen Randbereichen wieder
ansteigt. Hinzu kommt noch, dass der verwendete Resist für Schichtdicken kleiner 6
konzipiert ist. Die homogene Herstellung von 10-15
µm
µm
dicken Resistschichten ist daher
sehr schwierig.
Die Ergebnisse machen deutlich, dass für die groÿächige interferenzlithograsche Herstellung von Mikroprismen die Homogenität der Resistdicke und der Ausleuchtung eine
überragende Bedeutung haben. Dies steht ganz im Gegensatz zur Herstellung nichtdurchbelichteter Strukturen, bei denen die Resistdicke unentscheidend für die Struktur
ist, solange genügend Resist für die Struktur vorhanden ist und die Oberäche eine
ausreichende Ebenheit aufweist. Die Inhomogenität der Ausleuchtung kann bei solchen
Strukturen in einem gewissen Rahmen durch das Zusammenspiel von Belichtungsoset
und der tiefenabhängigen Sensitivität des Fotoresist ausgeglichen werden [Bl00].
3.3.3 Replikation
Als Replikationsverfahren der Strukturen in Kunststo wurde das Heiÿprägen gewählt.
Dieses Verfahren bietet sich für Vorversuche im Labormaÿstab an, da sich Proben kleinerer Fläche damit relativ einfach in Kunststoplatten abformen lassen. Die Abprägungen
wurden zur indirekten Topograebestimmung von Nickel-Shims benutzt. Eine direkte
106
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.28: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Abprägung der FP9-Struktur in PMMA.
Betrachtung von Nickel-Shims im Rasterelektronenmikroskop war nicht möglich, weil es
bei Nickel sehr schwierig ist, denierte Kanten zu brechen. Auÿerdem waren die Abformungen wichtig zur Herstellung strukturierter Platten mit homogenem Brechungsindex,
die dann für optische Messungen herangezogen werden konnten. Denkbar ist auch, dass
für die kommerzielle Produktion Heiÿprägeverfahren eingesetzt werden. Die Prägeversuche können dann Aufschluss darüber geben, wie gut sich die Prismenstrukturen in die
verschiedenen Kunststoe abformen lassen und wie gut die optische Funktionalität nach
dem Abformprozess ist.
Von zwei Fotoplatten (Probenbezeichnung FP9 und FP10) wurden Nickel-Shims angefertigt, die zur Abformung der Strukturen mittels Heiÿprägeverfahren verwendet wurden.
Für das Heiÿprägen stand eine Labor-Plattenpresse Collin P300P zur Verfügung, die Pro-
2 fassen kann. Getestet wurden zwei transparente Kunststoe:
ben bis etwa 20 x 20 cm
Polymethylmethacrylat (PMMA) und Polycarbonat (PC).
Wichtig für die Abformung mittels Heiÿprägen ist es, geeignete Prozessparameter wie
Temperatur, Pressdruck und Heizdauer zu nden. Diese müssen gewährleisten, dass während des Prägeprozesses das Polymer ieÿfähig wird, um sich der Form des Stempels anzupassen. Gleichzeitig darf das Polymer nicht so heiÿ werden, dass es zerstört wird. Eine
detaillierte Analyse des Heiÿprägeverfahrens für Mikrostrukturen ndet sich in [Wor03].
Abb. 3.28, Abb. 3.29, Abb. 3.30 und Abb. 3.31 zeigen Abformungen eines Nickel-Shims
von FP9 in PMMA und PC.
Die Abformungen in PMMA weisen eine sehr gute Qualität auf. Die abgeformte Struktur
ist leicht hinterschnitten. Der Hinterschnitt ist vermutlich auch schon in der MasterStruktur vorhanden. Leichte Hinterschneidungen sind noch abformbar. Sie sind jedoch
nicht erwünscht, weil sie zu einem schnellen Verschleiÿ des Stempels führen. Die Abfor-
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
107
Abbildung 3.29: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Abprägung der FP9-Struktur in PMMA.
Abbildung 3.30: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Abprägung der FP9-Struktur in PC.
108
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.31: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Abprägung der FP9-Struktur in PC.
mung in PC zeigt scheinbar eine deutlich geringere Präzision in der Abformung. An den
Kanten sieht man deutliche Verrundungen. Ob die gesamte Abformung tatsächlich so
ungenau ist, kann jedoch nicht abschlieÿend beurteilt werden, weil wegen der hohen Zähigkeit von PC eine Bruchkante für die REM-Untersuchung nur sehr schwer zu erzeugen
ist. Um überhaupt ein Brechen zu ermöglichen, wurde eine kleine Abformungsprobe angesägt und dann in üssigen Sticksto gelegt. Anschlieÿend konnte in einem sehr kleinen
Bereich eine Kante gebrochen werden. Fraglich ist jedoch, wie stark die Oberächenstruktur bei dieser Behandlung deformiert wird. Aus diesem Grund lässt bei PC-Abformungen
ein Vergleich der optischen Messungen mit der berechneten optischen Funktion aussagekräftigere Rückschlüsse auf die Strukturgüte zu.
3.3.4 Optische Charakterisierung
In diesem Abschnitt gehen wir der Frage nach, welche Auswirkungen die beobachteten
Abweichungen von der Idealform auf die optische Funktion der Strukturen haben.
Bei den optischen Eigenschaften sind zu unterscheiden: optischer Eindruck auf den
Betrachter ("Kosmetik") und die optische Funktionalität hinsichtlich der Wirkung als
statische selektive Verschattung. Der Schwerpunkt liegt in diesem Kapitel auf der optischen Funktionalität.
Die optischen Eigenschaften der hergestellten Prismenstrukturen wiesen deutliche Unterschiede zu den strahlenoptisch modellierten Eigenschaften der Idealstrukturen auf. Als
ein Beispiel für eine Realstruktur soll die Probe FP7 (Abb. 3.20) näher diskutiert werden.
Die Form weicht vor allem an der Spitze der oberen Flanke und an der Basis der unteren
Flanke von der Idealstruktur ab (vgl. Abb. 3.21 in Abschnitt 3.3.1). Die mittleren Winkel
109
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
Abbildung 3.32: Vergleich des theoretischen winkelabhängigen Transmissionsgrades der Idealstruktur
mit Bezeichnung Typ II, berechnet mit Ray-tracing und der Integralmethode. Als Brechungsindex wur-
n =1,59
de
angenommen. Beide Rechnungen sind für gemischte Polarisation. Für die Integralmethode
wurden auÿerdem eine Periode von 20
µm
und eine Wellenlänge von 633 nm angenommen.
der Flanken und der Durchsichtsbereich stimmen jedoch gut überein. Hinsichtlich der
Reproduktion der Idealstruktur ist man mit dieser Struktur an der Grenze des mit Interferenzlithograe Machbaren. Es zeigt sich aber, dass diese scheinbar geringe Abweichung
von der Idealstruktur dazu führt, dass die gesamte strukturierte Platte im Bereich um
◦ überhaupt keinen Ausblendeekt aufweist. Abb. 3.32 zeigt den theoretischen Trans-
60
missionsverlauf für Typ II berechnet mit Ray-tracing und mit der Integralmethode, die
1
auch Beugungsphänomene berücksichtigt . Abb. 3.33 zeigt den winkelabhängigen Transmissionsgrad der Realstruktur FP7, gemessen mit dem Fourier-Spektrometer, sowie den
theoretischen berechnet mit Ray-tracing und der Integralmethode für die Realstruktur.
Vermessen wurde direkt die strukturierte Resistplatte. Als Wellenlänge wurde
λ=700 nm
gewählt, weil bei dieser Wellenlänge der Resist transparent ist. Bei der Vermessung
von strukturierten Resistplatten ist zu beachten, dass der Resist und das Glassubstrat
unterschiedliche Brechungsindices aufweisen. Die strukturierte Resistschicht besitzt bei
700 nm einen Brechungsindex von etwa n=1,63 [Mö95] und das Glassubstrat einen
Index von etwa n=1,5. Eine Berücksichtigung dieser unterschiedlichen Brechungsindices
in der theoretischen Modellierung ist aufwändig. Nimmt man jedoch näherungsweise
einen homogenen Brechungsindex von n=1,6 an, so erzielt man bei der Berechnung mit
der Integralmethode eine zufriedenstellende Übereinstimmung mit den Messergebnissen.
Wichtig ist an dieser Stelle weniger eine präzise Modellierung, sondern die Tatsache, dass
der grobe Verlauf der gemessenen Transmissionsfunktion der Realstruktur theoretisch
1
Näheres zu den Methoden im theoretischen Teil der Arbeit. Bei der Rechnung mit der Integralmethode wurden keine Vielfachreexionen zwischen strukturierter und planer Grenzäche berücksichtigt.
110
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.33: Vergleich der theoretischen und gemessenen winkelabhängigen Transmissionsgrade der
Realstruktur FP7. Die theoretischen Kurven wurden mit Ray-tracing und der Integralmethode berechnet,
wobei ein konstanter Brechungsindex von
n=1,59 für die gesamte strukturierte Platte angenommen wurde.
µm gewählt, für die Wellenlänge 700 nm.
Für die Periode der Struktur wurden bei der Integralmethode 17
Alle Ergebnisse sind für gemischte Polarisation.
nachvollziehbar ist. Sowohl in der Theorie, als auch in der Messung erfolgt lediglich eine
◦
schwache Abblendung oberhalb von etwa 38 . Dieses Verhalten sagt bereits das Raytracing voraus. Die Ergebnisse der Integralmethode zeigen, dass die diraktiven Eekte
zwar das Verhalten verschlechtern, der fehlende Ausblendbereich jedoch hauptsächlich
eine Folge der veränderten geometrisch-optischen Strahlengänge ist.
Ein deutlich besseres Ausblendverhalten zeigt die Struktur FP19 aus Abb. 3.22. Das
zugehörige Messergebnis für den winkelabhängigen Transmissionsgrad ist in Abb. 3.34
dargestellt. Diese Struktur besitzt eine weniger verrundete Spitze. Allerdings weichen die
Flankenwinkel stark von den Idealwerten ab. Dadurch verschiebt sich der Ausblendbe-
◦ Einfallswinkel auf.
reich und das Minimum der Transmission tritt bereits bei etwa 40
Das Hauptproblem besteht darin, dass die Struktur leicht hinterschnitten und folglich
schlecht abformbar ist.
Insgesamt kann aus den Ergebnissen geschlossen werden, dass die optische Funktion der Struktur empndlich von der Realform abhängt. Eine Struktur, die in Form und
Verhalten Typ II gleicht, konnte nur annähernd hergestellt werden. Die Kontrolle und
Stabilität aller relevanten Belichtungsparameter war nicht ausreichend, um die Form
der Prismen präzise einzustellen. Obwohl nach der Einstellung der optimalen Belichtungsparameter diese zwischen den Belichtungen nicht mehr verändert wurden, ergaben
sich stets unterschiedliche Prismenformen. Erschwerend kommt hinzu, dass eine direkte,
nicht-destruktive Bestimmung der Oberächenstruktur der Fotoplatte nicht möglich ist.
Vielmehr muss die Fotoplatte erst beschichtet und galvanisiert werden, dann müssen
111
3.3. Prismatische Oberächenstrukturen
Abbildung 3.34: Gemessener winkelabhängiger Transmissionsgrad der Resistplatte FP19.
von den Nickel-Shims Abformungen hergestellt und mit dem Rasterelektronenmikroskop
untersucht werden. Dieser aufwändige Charakterisierungsprozess kann aber aus Kostenund Zeitgründen nicht für jede Platte erfolgen.
Die beste Möglichkeit zur nicht-destruktiven Charakterisierung der strukturierten Fotoplatte ist momentan die Messung des winkelabhängigen Transmissionsgrades. Die Gröÿe
der Fotoplatten erlaubt am vorhandenen Messaufbau nur einen Einfallswinkelbereich
zwischen 34
◦ und 70◦ . Dieser Bereich ist aber für die Erfassung des interessanten
Ausblendbereiches
ausreichend. Die Messung wurde
an allen
groÿen strukturierten
Fotoplatten durchgeführt. Zwei Resistplatten (FP9 und FP10) mit dem besten Ausblendverhalten bezüglich Lage und Transmissionsgrad am Minimum wurden für die
Galvanisierung ausgewählt. Ein Nachteil bei der Auswahl anhand der optischen Messergebnisse ist, dass nicht beurteilt werden kann, ob Hinterschneidungen vorhanden sind.
Diese können zwar zu einem guten Ausblendverhalten führen, aber die gesamte Struktur
ist nur schlecht abformbar. Dieses Problem bestand zum Beispiel bei der Probe FP9.
Auf die Abformungen mittels Heiÿprägen wurde im Abschnitt 3.3.3 eingegangen. Hier
sollen nun die optischen Messungen der strukturierten Resistplatten und der Abformungen diskutiert werden. Abb. 3.35 zeigt die Transmissionsgrade der Abformungen von FP9
in PMMA und PC, verglichen mit der Original-Resistplatte. Das Ausblendverhalten der
Resistplatte ist am Besten. Dies verwundert nicht, weil der Resist, wie bereits erwähnt,
bei 700 nm einen hohen Brechungsindex von ungefähr 1,63 besitzt. Die PC-Abformung
scheint von guter Qualität zu sein. Das Ausblendverhalten entspricht im Wesentlichen
der Resistplatte. Die Abweichungen zur Kurve der Resistplatte sind auf den geringeren
Brechungsindex von n=1,59 zurückzuführen. Die PMMA-Abformung weist das schlech-
112
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.35: Gemessener winkelabhängiger Transmissionsgrad der Resistplatte FP9 verglichen mit
den Abprägungen in PMMA und PC.
teste Transmissionsverhalten auf. Dies entspricht den Erwartungen, weil PMMA mit
n=1,49 den geringsten Brechungsindex aufweist.
3.4. Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer Modulierung
113
3.4 Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer
Modulierung
Analog zu den Durchsichtsprismenstrukturen sollen nun für die modulierten Prismenstrukturen die Topograe und das optische Verhalten der originären und replizierten
Strukturen untersucht werden.
3.4.1 Topograe der Originalstrukturen
In diesem Abschnitt betrachten wir die Oberächen beispielhafter Proben von modulierten Prismenstrukturen als originäre Struktur im Fotoresist. Sämtliche REM-Aufnahmen
zeigen also die Struktur im Fotoresist auf dem Glassubstrat, wie man sie nach dem Entwickeln erhält.
Bei den modulierten Prismenstrukturen ist die Oberächenstruktur von Periode zu Periode unterschiedlich. Es reicht daher nicht die Betrachtung einer Periode, sondern man
muss versuchen, eine statistisch repräsentative Anzahl von Perioden zu erfassen. Abb. 3.36
zeigt die Schrägansicht der Bruchkante der Probe SP10. Durch die Ansicht wird sowohl
die Strukturform im Schnitt als auch die Oberächenform sichtbar. Diese Probe wur-
Abbildung
3.36:
Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme einer übermodulierten Prismenstruktur mit
Durchsichtsbereich (SP10).
de nur einmalig mit einem Speckle-Muster belichtet. Klar erkennbar ist die Störung der
regelmäÿigen Prismenstruktur. Am deutlichsten sieht man dies an der ungleichmäÿigen
Höhe der Prismenspitzen. Die Störung der Periodizität wird noch oensichtlicher, wenn
man senkrecht von oben auf die Struktur blickt (Abb. 3.37).
Bei übermodulierten Prismen mit Durchsichtsbereich zeigt sich, dass der Farbeekt für
das Auge nicht merklich geringer als bei einer vergleichbaren Probe ohne Modulierung
114
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.37: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Oberäche von SP10.
ist. Der Hauptgrund dafür ist, dass der Durchsichtsbereich nicht moduliert werden kann,
weil nur Bereiche mit einer Restdicke an Resist moduliert werden können. Da die Unterdrückung der Farbeekte für die Anwendung in Verglasungen oberste Priorität hat, wurde
daher bei den weiteren Belichtungen auf den Durchsichtsbereich verzichtet, um die gesamte Strukturoberäche modulieren zu können. Der plane Durchsichtsbereich fällt also weg
und man erhält eine stark verrundete Form (Abb. 3.38). Die erhaltenen Proben haben in
etwa die lichtstreuende Erscheinung eines satinierten (geätzten) Glases. Die Farbeekte
konnten durch Verzicht auf den Durchsichtsbereich vermindert werden. Durch die nun
stärker parabolische Form ergab sich ein verändertes Ausblendverhalten. Darauf wird in
Abschnitt 3.4.3 eingegangen. Um eine noch eektivere Vermischung der Beugungsordnungen zu erreichen, wurden die Strukturen bis zu dreifach mit Speckle-Mustern belichtet,
wobei zwischen den Belichtungen das Speckle-Muster verschoben wurde. Dadurch erreicht
man eine gröÿere Dichte der Speckles. Abb. 3.39 zeigt die Oberäche der dreifach mit
einem Speckle-Muster belichteten Resistprobe SP17.
3.4.2 Replikation
In diesem Abschnitt gehen wir kurz auf die Topograe der mit Heiÿprägen replizierten
Strukturen ein. Dabei handelt es sich um Abformungen von Nickel-Shims, die durch Gal-
2 groÿen strukturierten und vergoldeten Fotoplatten
vanisierung von zwei 375 x 375 mm
hergestellt wurden.
Abb. 3.40 und Abb. 3.41 zeigen REM-Aufnahmen von Abformungen der Proben SP11
und SP13 in PMMA.
Vergleicht man die Aufnahmen der Abformungen mit denen vergleichbarer originärer
Strukturen im Fotoresist aus Abschnitt 3.4.1, so sind keine qualititativen Unterschiede
3.4. Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer Modulierung
115
Abbildung 3.38: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Bruchkante einer übermodulierten Prismen-
struktur ohne Durchsichtsbereich (SP4).
Abbildung 3.39: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Oberäche einer übermodulierten Prismen-
struktur ohne Durchsichtsbereich (SP17). Um eine noch eektivere Vermischung der Beugungsordnungen
zu erreichen, wurde diese Probe dreifach mit Speckle-Mustern belichtet, wobei zwischen den Belichtungen
das Speckle-Muster verschoben wurde. Dadurch erreicht man eine gröÿere Dichte der Speckles. Bei den
Körnern auf der Oberäche handelt es sich um Verunreinigungen.
116
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.40: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Abprägung von übermodulierten Prismen
ohne Durchsichtsbereich in PMMA (Probe SP11).
Abbildung 3.41: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Abprägung von übermodulierten Prismen
ohne Durchsichtsbereich in PMMA (Probe SP1).
3.4. Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer Modulierung
117
in der Topograe festzustellen. Wegen der runderen Form ist die Abformbarkeit weniger
kritisch als bei den Durchsichtsprismen. Kleine Abformfehler, die Streuung verursachen,
fallen auÿerdem weniger auf, weil die Proben ohnehin Licht streuen.
3.4.3 Optische Charakterisierung
Analog zu den Messungen an den Durchsichtsprismen wurden die Transmissionsgrade
von übermodulierten Prismenstrukturen gemessen. Abb. 3.42 zeigt die Transmissionsgrade der Fotoresistplatte und der Abprägungen in PC und PMMA. Die abgeprägten
Abbildung 3.42: Gemessener winkelabhängiger Transmissionsgrad der Probe SP11 für die strukturierte
Resistplatte und die Abprägungen in PMMA und PC.
Strukturen zeigen ein ähnliches Verhalten wie die Resiststruktur. Die Qualität der Abprägungen ist also in beiden Fällen zufriedenstellend. Das Ausblendverhalten gleicht qualitativ dem der unmodulierten Durchsichtsprismenstrukturen. Dies überrascht etwas, da
die zusätzlichen Verrundungen in der Struktur doch erheblich sind. Die Ausblendwirkung
ist für PC schlechter als bei der unmodulierten Struktur. Für PMMA ist das Ausblendverhalten dagegen etwas besser als bei der unmodulierten Struktur. Der unterschiedliche
Brechungsindex von PMMA und PC wirkt sich oenbar bei den acheren und verrundeten Prismen-Strukturen nicht so kritisch aus wie bei den Durchsichtsprismenstrukturen.
Dies liegt daran, dass bei diesen Strukturen der Ausblendeekt nicht durch zweimalige Totalreexion an der unteren Flanke und der unstrukturierten Grenzäche zustande
kommt, sondern durch einmalige Reexion an der unstrukturierten Grenzäche. Für eine
Ausblendung muss daher nur an einer Grenzäche der kritische Winkel überschritten
werden. Der kritische Winkel ist wiederum vom Brechungsindex abhängig.
118
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.43: REM-Aufnahmen der Bruchkanten von FP11 (oben) und SP10 (unten). Die Form ist
annähernd gleich. SP10 ist jedoch moduliert.
Das Ziel, die Farbeekte durch eine Übermodulierung der Struktur zu vermindern, wurde erreicht. Eine quantitative Beurteilung des Farbeekts ist schwierig. Möglich sind
wellenlängenaufgelöste Messungen des direkten Transmissionsgrades. Mit Hilfe eines Goniometeraufbaus am Fourier-Spektrometer kann eine solche Messung realisiert werden
(Beschreibung des Aufbaus siehe Abschnitt 3.2.2). Um den Eekt der Speckles quantitativ zu demonstrieren, wurde eine unmodulierte Struktur (FP11) mit einer modulierten
Durchsichtsprismenstruktur (SP10) verglichen. Bis auf die Modulierung besitzen beide
Proben eine annähernd identische Prolform (vgl. Abb. 3.43). Abb 3.44 zeigt die visuelle
Intensitätsverteilung der von der Weiÿlichtquelle auf der strukturierten Seite senkrecht
bestrahlten Resistplatten in Abhängigkeit vom Ausfallswinkel. Es zeigt sich kein deutlicher Unterschied in der lichtlenkenden Funktion der beiden Strukturen. Der entscheidende Unterschied zeigt sich bei der wellenlängenaufgelösten Auftragung der Intensität
für einen festen Ausfallswinkel (Abb. 3.45). Man sieht, dass bei der unmodulierten Probe
drei Spitzen auftreten. Das Licht ist daher nicht rein weiÿ, sondern farbig. Die Maxima
entstehen durch die wellenlängenabhängigen Beugungsordnungen der Gitterstruktur. Abhängig vom Betrachtungswinkel verschieben sich die Maxima zu anderen Wellenlängen
hin. Diese Farbaufspaltung wird vom Auge wahrgenommen. Bei der modulierten Probe
sind die Maxima im Spektrum verschwunden. Die aufgespaltenen Farben werden durch
die Streuung an der Speckle-Struktur teilweise wieder vermischt. Für das Auge ist bei
diesen Proben jedoch immer noch ein leichter Farbeekt sichtbar. Vermutlich verfügt das
Auge über eine bessere Auösung als die Messapparatur.
Um den Farbeekt noch weiter zu unterdrücken, wurden Proben dreifach moduliert. Dies
bewirkt eine noch dichtere Verteilung der Speckles und somit einen stärkeren Streuef-
3.4. Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer Modulierung
119
Abbildung 3.44: Relative visuelle Intensitätsverteilung hinter der mit Weiÿlicht auf der strukturierten
Seite beleuchteten verspeckelten Probe (SP11) und der unverspeckelten Probe (FP10) in Abhängigkeit vom
◦
Ausfallswinkel. Einfallswinkel: 0
(senkrecht auf die Probe).
◦
Abbildung 3.45: Relative visuelle Intensitätsverteilung bei einem festem Ausfallswinkel von 32 für die
verspeckelte Probe (SP11) und die unverspeckelte Probe (FP10). Bei der unmodulierten Probe treten drei
deutliche Spitzen auf, die sich für das Auge als einzeln wahrzunehmende Farben äuÿern, also das, was
wir als Farbeekt bezeichnen. Bei der modulierten Probe sind diese Spitzen verschwunden. Der Winkel
◦
von 32
wurde gewählt, weil in diesen Winkel viel Intensität gelenkt wurde.
120
Kapitel 3. Experimenteller Teil
Abbildung 3.46: Rasterelektronenmikroskop-Aufnahme der Bruchkante der Probe SP17.
fekt. Eine dreifach mit einem Speckle-Muster belichtete Probe (SP17, siehe Abb. 3.39)
zeigte beim optischen Vergleich durch das Auge mit einer einfach belichteten Probe deutlich schwächere Farbeekte. Auÿerdem wurde bei dieser Probe eine achere Prismenstruktur getestet (siehe Abb. 3.46). Das (unmodulierte) Oberächenprol von SP17 zeigt
Abb. 3.47. Dabei handelt es sich nur um eine Näherung, denn eine eindeutige periodische Prolform gibt es wegen der Aperiodizität des Prols nicht. Die gemessene und die
theoretische Transmissionsfunktion dieser Probe, berechnet mit der Integralmethode und
Ray-tracing, zeigt Abb. 3.48. Bei der Rechnung mit der Integralmethode wurde wieder
die Näherung angewendet, in der die unstrukturierte Grenzäche nur dadurch berücksichtigt wird, dass man die Fresnelsche Transmission der Beugungsordnungen durch diese
Abbildung 3.47: Näherungsweise Prolform der Probe SP17.
3.4. Prismatische Oberächenstrukturen mit stochastischer Modulierung
121
Abbildung 3.48: Winkelabhängiger Transmissionsgrad der in Abb. 3.47 gezeigten Struktur SP17, be-
rechnet mit der Integralmethode und einfacher Fresnel-Korrektur für die hintere Grenzäche (n
Λ = 17µm,
= 1, 59,
gemischte Polarisation) und mit Ray-tracing (Mittelwert über verschiedene Plattendi-
cken). Auÿerdem zum Vergleich die gemessene Kurve für die strukturierte Resistplatte. Die Ray-tracingRechnung zeigt, dass Vielfachreexionen zwischen Gitterstruktur und planer Grenzäche bei dieser Struktur eine gröÿere Rolle für das Ausblendverhalten spielen.
2
Grenzäche berechnet . Strahlen, die vielfach zwischen strukturierter und planer Grenzäche reektiert werden, bevor sie die plane Grenzäche durchdringen, werden in dieser
Näherung nicht berücksichtigt. Die Kurve zeigt eine Ausblendung von etwa 10% bei ei-
◦
nem Einfallswinkel um 60 . Das Ray-tracing, bei dem Vielfachreexionen berücksichtigt
werden, sagt jedoch eine deutlich höhere Transmission in diesem Winkelbereich voraus.
Dieses Ergebnis stimmt auch besser mit den Messergebnissen überein. Daraus kann man
zwei Dinge schlieÿen:
1. Beugungseekte spielen bei dieser Struktur keine groÿe Rolle. Zum einen besitzt
die Grenzäche keine scharfen Kanten, die die einfallenden Wellen stärker beugen
als glatte Grenzächen, zum anderen hängt die Funktionalität nicht von der Totalreexion an der unteren Flanke ab, wo der Goos-Hänchen-Eekt negativen Einuss
haben könnte (näheres hierzu siehe Abschnitt 4.3).
2. Vielfachreexionen zwischen der strukturierten und der unstrukturierten Grenzäche verschlechtern den Ausblendeekt bei dieser Struktur merklich. Die um rund
20% höhere Transmission nach der Ray-tracing-Rechnung ist ausschlieÿlich durch
die Vielfachreexionen zwischen Gitter und ebener Grenzäche zu erklären. Sie
werden beim Ray-tracing berücksichtigt, bei der Integralmethodenrechnung nicht.
2
Für eine weitere Diskussion dieser Näherung verweisen wir auf Abschnitt 4.1)
122
Kapitel 3. Experimenteller Teil
3.5 Zusammenfassung
Durch Interferenzlithograe wurden prismatische Mikrostrukturen auf einer Fläche von
2 hergestellt. Die erhaltenen Master-Strukturen wurden durch Galvanisie-
375 x 375 mm
rung in Nickel-Stempel übertragen. Mit diesen Nickel-Stempeln konnten die Strukturen
erfolgreich durch Heiÿprägen in transparente Kunststoe abgeformt werden. Dadurch
wurde gezeigt, dass eine kostengünstige Fertigung durch Massenreplikation möglich ist.
Sowohl die Master-Strukturen als auch die abgeformten Strukturen wurden hinsichtlich
ihrer Form und ihrer optischen Funktionalität charakterisiert. Die Sonnenschutzfunktion
der Strukturen konnte in Messungen nachgewiesen werden. Die theoretischen Berechnungen konnten anhand der Messergebnisse validiert werden.
Weiterhin wurde ein Verfahren zur Herstellung stochastisch übermodulierter Prismenstrukturen entwickelt. Durch die Übermodulation konnten Farbeekte aufgrund der Periodizität der Oberächenstrukturen deutlich vermindert werden ohne die Funktionalität
der Strukturen wesentlich zu beeinussen.
123
Kapitel 4
Analyse diraktiver Störeekte
anhand verschiedener Modelle
In diesem Abschnitt wird anhand verschiedener Methoden, die im theoretischen Teil dargestellt wurden, untersucht, wie sich diraktive Eekte auf den winkelselektiven Transmissionsgrad eines prismatischen Sonnenschutzelements auswirken können, das das direkte Sonnenlicht für einen bestimmten Winkelbereich ausblenden soll. Als beispielhaftes
Untersuchungsobjekt dienen uns die Durchsichtsprismen vom Typ II, die in Abb. 4.1
nocheinmal dargestellt sind. Im experimentellen Teil gelang es, ein Sonnenschutzelement
Abbildung 4.1: Geometrie der Durchsichtsprismen vom Typ II. Der Strahlengang, der für den Aus-
blendeekt bei hohen Einfallswinkeln verantwortlich ist, ist anhand der grauen Pfeile zu sehen: Der Strahl
trit auf die obere Flanke Prismen und wird durch diese erste Grenzäche transmittiert. Dann trit er
auf die untere Flanke und wird dort totalreektiert. Anschlieÿend erreicht er die zweite Grenzäche, die
nicht strukturiert ist. An dieser planen Grenzäche wird der Strahl zum zweiten Mal totalreektiert und,
evtl. nach mehrereren Reexionen, über die obere Prismenanke ausgekoppelt.
124
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
mit einer ähnlichen Oberächenstruktur groÿächig herzustellen. Der Ausblendeekt war
jedoch noch nicht zufriedenstellend. Dies lag zum einen an Abweichungen der hergestellten Strukturen zu den Idealstrukturen und zum anderen daran, dass diraktive Eekte
bei einer Periode von 17
µm nicht zu vernachlässigen sind. Eine bessere Reproduktion der
Idealstrukturen ist nur auf experimentellem Weg zu erreichen. Diraktive Eekte hingegen können durch ein optimiertes Design der Strukturen vermindert werden. Die folgende
theoretische Studie soll daher im Detail analysieren, wie stark unterschiedliche Beugungsund Interferenzeekte das Ausblendverhalten beeinussen. Aus den Ergebnissen werden
wir Schlüsse ziehen, wie das Design verändert werden kann, um den Ausblendeekt zu
verbessern. Dabei werden auch die experimentellen Randbedingungen berücksichtigt, die
durch die interferenzlithograsche Mikrostrukturierung gegeben sind.
Bevor wir das optische Verhalten des Sonnenschutzelements im Detail untersuchen, rekapitulieren wir nocheinmal, wie der Ausblendeekt strahlenoptisch funktioniert (siehe dazu
Abb. 4.1): Bei hohen Einfallswinkeln treen die Strahlen auf die obere Flanke der Prismen
und werden durch diese erste Grenzäche transmittiert. Dann treen sie auf die untere
Flanke und werden dort totalreektiert. Anschlieÿend erreichen sie die zweite Grenzäche,
die nicht strukturiert ist. Hier werden die Strahlen zum zweiten Mal totalreektiert und
- evtl. nach einigen Totalreexionen zwischen den planparallelen Grenzächenanteilen an der oberen Prismenanke ausgekoppelt.
4.1 Strahlenoptisches Verhalten
Das Design der Prismenstruktur vom Typ II wurde vor Beginn dieser Arbeit von Nitz
mit Strahlverfolgung (engl.: Ray-tracing) optimiert [MF03]. Abb. 4.2 zeigt den von Nitz
berechneten Verlauf des winkelabhängigen Transmissionsgrades. Als Brechungsindex der
strukturierten Platte wählte er den Brechungsindex von Polycarbonat (n2 =1,59) und
n1 =1,0) einfallenden Lichts die Wellenλ=633 nm. Seine Rechnung ist auÿerdem für
als Wellenlänge des aus Luft (Brechungsindex
länge der sichtbaren HeNe-Laserlinie bei
gemischte Polarisation, weil Sonnenlicht gemischt polarisiert ist. Gemischte Polarisation
bedeutet, dass der Mittelwert aus den Werten für TE- und TM-Polarisation gebildet wur-
TM
de. Für das Ray-tracing verwendete Nitz das Strahlverfolgungsprogramm OptiCAD
der Firma OptiCAD Corporation. Dieses Programm erlaubt ein sog. nicht-sequentielles
Ray-tracing. Das bedeutet, dass von Strahlen, die auf eine Grenzäche treen, sowohl
der reektierte als auch der transmittierte Strahl weiterverfolgt werden, so dass alle theoretisch möglichen Strahlengänge berücksichtigt werden können.
In der strahlenoptischen Modellierung erhält man zwischen 57 und 66 Grad Einfallswinkel
einen selektiven Ausblendeekt. In diesem Bereich bleibt der Transmissionsgrad kleiner
als 1,7 %, während in den anderen Bereichen die Transmission deutlich höher ist. Um das
gesamte Transmissionsverhalten besser zu verstehen, ist es hilfreich, sich die wichtigsten
Strahlengänge zu überlegen, die, neben dem Strahlengang, der zur Ausblendung führt,
das Transmissionsverhalten wesentlich bestimmen. Wie wir gleich sehen werden, sind dies
die in Abb. 4.3 gezeigten Strahlengänge.
Die Nummerierung der Strahlengänge in der Abbildung ist willkürlich gewählt. Strahlengänge, die, wie der in Abb. 4.1 gezeigte, zu Reexion führen, sind ausdrücklich nicht
4.1. Strahlenoptisches Verhalten
125
Abbildung 4.2: Winkelabhängiger hemisphärischer Transmissionsgrad der prismatischen Struktur vom
Typ II, berechnet mit Strahlverfolgung (engl.: Ray-tracing) [MF03].
Abbildung 4.3: Die vier Strahlengänge, die das Transmissionsverhalten der prismatischen Struktur vom
Typ II bestimmen.
126
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
berücksichtigt, weil hier nur Strahlengänge interessieren, die etwas zur Transmission beitragen können. Auÿerdem sind keine Strahlengänge aufgeführt, bei denen Strahlen mehrfach zwischen erster und zweiter Grenzäche reektiert werden, bevor sie an der zweiten
Grenzäche transmittiert werden. Solche Strahlengänge nennen wir im Folgenden vereinfachend Vielfachreexionen.
Um genauer zu verstehen, wie die Kurve aus Abb. 4.2 entsteht, ist es nötig, die einzelnen Beiträge der genannten Strahlengänge zur Gesamttransmission zu berechnen. Dies
kann analytisch durch einfache geometrische Überlegungen und Anwendung der Fresnelschen Formeln an der Grenzäche geschehen. Die Ergebnisse eigener Rechnungen zeigt
Abb. 4.4. Aus den Transmissionsbeiträgen der vier genannten Strahlengänge ist zu erken-
Abbildung 4.4: Analytisch berechnete Transmissionsbeiträge der Strahlengänge I bis IV aus Abb. 4.3.
nen, dass der Beginn des Ausblendbereichs bei niedrigeren Winkeln durch Strahlengang II
bestimmt wird und das Ende des Ausblendbereichs durch Strahlengang IV. Strahlengang
I und III tragen nur bis zu einem Einfallswinkel von etwa 40 Grad zur Transmission bei.
Als nächstes wollen wir nun klären, welchen Einuss Vielfachreexionen auf das strahlenoptische Verhalten der Struktur haben. Beim Ray-tracing werden Vielfachreexionen
automatisch berücksichtigt. Berechnet man dagegen die Summe der analytisch berechneten Einzelbeiträge der Strahlengänge I-IV wie sie in Abb. 4.5 dargestellt sind, dann
erhält man einen Transmissionsgrad, der keine Vielfachreexionen enthält. Aus dem Vergleich der Ray-tracing-Kurve und der analytisch berechneten Summe der Einzelbeiträge
kann man daher beurteilen, wie groÿ die Beiträge von Vielfachreexionen zum Transmissionsgrad sind. Diesen Vergleich zeigt Abb. 4.5. Die deutlichsten Unterschiede treten im
Bereich von etwa 38 bis 56 Grad auf. In diesem Bereich wird das Transmissionsverhalten
durch Strahlengang II bestimmt (vgl. Abb. 4.4). Da hier die Strahlen, die an der oberen Flanke gebrochen werden, unter einem Winkel nahe dem Totalreexionswinkel auf
4.2. Einuss der Strukturperiodizität
127
Abbildung 4.5: Vergleich der winkelabhängigen hemisphärischen Transmission von Typ II mit und ohne
Berücksichtigung von Vielfachreexionen zwischen strukturierter und planer Grenzäche.
die zweite Grenzäche fallen, wird ein groÿer Teil von ihnen reektiert. Die reektierten
Strahlen treen wieder auf die erste Grenzäche. Dort werden sie gröÿtenteils wieder
reektiert und bekommen nochmals die Möglichkeit, die zweite Grenzäche zu durchdringen, usw.. Diese Vielfachreexionen erhöhen die Transmission noch einmal merklich.
Der Anteil der Transmission durch Vielfachreexionen nimmt bis zum Beginn des Ausblendbereichs zu, weil mit zunehmendem Einfallswinkel auf die zweite Grenzäche der
Reexionsgrad steigt und somit mehr Energie in die Vielfachreexionen ieÿt.
Auch zwischen 70 und 80 Grad sind leichte Unterschiede zu erkennen. Hier werden durch
den Strahlengang IV vielfach reektierte Strahlen eingekoppelt. Dieser Bereich spielt jedoch für die Verwendung als Sonnenschutzelement eine untergeordnete Rolle. Eine viel
wichtigere Beobachtung ist, dass im Ausblendbereich Vielfachreexionen keinen bedeutenden Einuss auf die Transmission haben. Dies wird einem auch verständlich, wenn
man Abb. 4.1 betrachtet. Die Strahlen, die an der zweiten Grenzäche totalreektiert
werden, werden direkt oder nach einigen Totalreexionen zwischen den planparallelen
Grenzächenanteilen über die obere Prismenanke ausgekoppelt.
4.2 Einuss der Strukturperiodizität
Bei den diraktiven Eekten, die an prismatischen Gittern auftreten und Auswirkungen
auf das Transmissionsverhalten des Sonnenschutzelements haben, ist es sinnvoll zwischen
Interferenzeekten, die durch die Periodizität des Oberächenprols entstehen, und Beugungseekten, die vorwiegend an den Kanten der Prismen auftreten, zu unterscheiden.
Die Periodizität bewirkt, dass das Licht, das durch die Struktur transmittiert wird, sich
128
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
nur in diskrete Raumrichtungen ausbreitet. Das bedeutet, dass die Energieausbreitung
entlang der geometrisch-optischen Strahlengänge verboten sein kann. Strahlenoptisch betrachtet werden die meisten Strahlen im Ausblendbereich totalreektiert. Wird diese
Energie jedoch in ebenen Wellen geführt, die sich nur in diskrete Richtungen ausbreiten,
so ist es möglich, dass der Einfallswinkel des entsprechenden Wellenvektors auf die zweite
Grenzäche kleiner als der Totalreexionswinkel ist. Dadurch wird die Transmission an
der zweiten Grenzäche erhöht und der Ausblendeekt zerstört.
Um den Einuss dieses Eekts quantitativ zu erfassen, bieten sich LPIA-Rechnungen
an. Wie in Abschnitt 2.3.5 beschrieben wurde, berücksichtigen sie den Einuss der Periodizität auf die Phasenverhältnisse der Wellen, die an verschiedenen Gitterpunkten die
Grenzäche durchdringen. Die Lichtpropagation innerhalb der Gitterregion erfolgt bei
der LPIA geometrisch-optisch. Im Vergleich zur Strahlenoptik berechnet man nur zusätzlich die optischen Weglängen der Strahlengänge bis zur Ausgangsebene der Gitterregion.
Für diese Rechnung konnten daher die analytischen Berechnungen der Strahlengänge I-IV
aus Abschnitt 4.1, ergänzt durch die Weglänge des jeweiligen Strahls, verwendet werden.
Durch Rayleigh-Entwicklung der auf diese Weise berechneten Feldverteilung in der Ausgangsebene der Gitterregion wurden die Beugungsezienzen berechnet. Dazu wurde das
Integral aus Gl.(2.106) numerisch gelöst. Die gesamte Transmission durch das Element
wurde dann wieder mit der Näherung abgeschätzt, bei der die Fresnelsche Transmission der Beugungsordnungen durch die zweite Grenzäche berechnet und aufsummiert
wird. Abb. 4.6 zeigt die auf diese Weise erhaltenen Ergebnisse für verschiedene Perioden. Ersichtlich ist, dass sich im interessanten Bereich zwischen etwa 45 und 67 Grad
Abbildung 4.6: LPIA-Rechnungen für verschiedene Perioden von Typ II. Ersichtlich ist, dass sich im
interessanten Bereich zwischen etwa 45 und 67 Grad das Transmissionsverhalten bei kleinen Perioden im
Vergleich zum Ray-tracing-Ergebnis deutlich ändert.
129
4.2. Einuss der Strukturperiodizität
das Transmissionsverhalten bei kleinen Perioden im Vergleich zum Ray-tracing-Ergebnis
deutlich ändert. Hier wird das Verhalten, wie bereits erwähnt, durch Strahlengang II bestimmt. Der Gittereekt wirkt sich oensichtlich deutlich auf Strahlengang II aus. Das
ist dadurch zu erklären, dass dieser Strahlengang den Ausblendeekt bewirkt, wenn der
Strahl an der zweiten Grenzäche totalreektiert wird. Somit ist er äuÿerst empndlich
gegenüber den beschriebenen Interferenzeekten. Die Schwankungen im Verlauf nehmen
mit gröÿerer Periode ab, weil mit zunehmender Periode die Zahl der Beugungsordnungen
zunimmt und dadurch die Ausbreitungswinkel der Beugungsordnungen näher beeinander
liegen.
Im Bereich zwischen 67 und 90 Grad, der durch Strahlengang IV bestimmt wird, sind die
Schwankungen mit der Periode geringer. Eine mögliche Erklärung ist, dass die Transmission dieses Strahlengangs nicht von der Totalreexion an der zweiten Grenzäche, sondern
an der unteren Flanke abhängt. Die untere Flanke bendet sich aber im Gegensatz zur
zweiten Grenzäche in der Gitterregion. Hier sind - zumindest in dem Modell der LPIA
- noch keine Beugungsordnungen entstanden. Folglich kann an dieser Flanke der für den
Strahlengang II beschriebene Interferenzeekt nicht auftreten.
Die LPIA-Methode erlaubt die Berechnung einer unteren Grenze für den Transmissionsgrad. Mit ihr errechnet man den Wert, der erreicht wird, wenn keine Beugungseekte
innerhalb der Gitterregion vorhanden sind bzw. die Beugungseekte keine Auswirkung
auf das Transmissionsverhalten haben. Sie gibt somit einen Grenzwert für den Transmissionsgrad, den man minimal erreichen kann, wenn man durch optimiertes Design störende
Beugungseekte unterdrückt. Betrachten wir die Periodenabhängigkeit der Kurven in
Abb. 4.6 unter diesem Aspekt, dann heiÿt das beispielsweise, dass trotz des Gittereekts
bereits bei einer Periode von 20
µm
ein minimaler Transmissionsgrad von
≈ 3%
möglich
ist.
Da das Design der Prismen so gewählt wurde, dass strahlenoptisch das Minimum der
Transmission bei einem Einfallswinkel von etwa 62 Grad auftritt, ist es besonders interessant, den Transmissionsgrad bei diesem Winkel mit der LPIA-Methode für verschiedene
Perioden zu berechnen (Abb. 4.7). Man erhält dadurch eine Abschätzung nach unten, welcher minimale Transmissionsgrad bei gegebener Periode theoretisch möglich ist. Bei einer
Periode von 10
µm sind beispielsweise minimal etwa 4% Transmission zu erreichen. Strebt
man dagegen eine Ausblendung besser als 1% an, so muss man eine Periode wählen, die
gröÿer als 50
µm
ist.
Um diese unteren Grenzwerte zu erreichen, müssen jedoch alle Beugungseekte an den
Prismenkanten eine vernachlässigbare Auswirkung auf die Transmission haben. Dies ist
jedoch keineswegs der Fall. Rechnungen mit der Modizierten Integralmethode, die in
Abschnitt 2.3.4 vorgestellt wurde, zeigen, dass bei einer Periode von 20
µm der Transmis-
sionsgrad im Minimum des Ausblendbereichs bei etwa 9% liegt (Abb. 4.8). Oensichtlich
spielen neben den Interferenzeekten noch andere Eekte eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu den LPIA-Rechnungen zeigen rigorose Rechnungen auÿerdem, dass der Kurvenverlauf im Ausblendbereich mit steigender Periode nur sehr langsam gegen die strahlenoptische Kurve konvergiert, die den Grenzfall einer unendlich groÿen Periode darstellt
(siehe Abb. 4.9). Selbst bei einer Periode von 60
µm
ist der Ausblendbereich noch stark
130
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.7: Das Design der Prismen vom Typ II wurde so gewählt, dass strahlenoptisch das Mini-
mum der Transmission bei einem Einfallswinkel von etwa 62 Grad auftritt. Daher ist es interessant, den
Transmissionsgrad bei diesem Winkel mit der LPIA-Methode für verschiedene Perioden zu berechnen.
Die Rechnungen zeigen, dass bei einer Periode von 10
µm
minimal etwa 4% Transmission zu erreichen
sind. Strebt man z.B. eine Ausblendung besser als 1% an, muss die Periode gröÿer als 50
µm
sein.
Abbildung 4.8: Vergleich des Ergebnisses einer LPIA- und einer Integralmethodenrechnung für Typ II
mit einer Periode von 20
µm.
131
4.3. Beugung am Keil zwischen unterer Flanke und Durchsichtsbereich
Abbildung 4.9: Vergleich der Integralmethodenrechnung für Typ II mit einer Periode von 20
60
µm.
µm
und
Auÿerdem ist das Ergebnis des Ray-tracing aufgetragen, da es den Grenzwert für eine unendlich
groÿe Periode darstellt.
verrundet, während hingegen in allen anderen Bereichen die Integralmethoden-Kurve und
die Ray-tracing-Kurve einen beinahe identischen Verlauf aufweisen.
4.3 Beugung am Keil zwischen unterer Flanke und Durchsichtsbereich
Für die Strahlengänge I, II und IV stellt die Kante zwischen unterer Flanke und Durchsichtsbereich (vgl. Abb. 4.10) einen Keil mit niedrigerem Brechungsindex dar. Somit
können Eekte auftreten wie sie in Abschnitt 2.4.2 beschrieben wurden: Durch evaneszente Wellen wird Energie zur Kante hin transportiert und dort ausgekoppelt. Dass dies
auch in diesem Fall so ist, zeigen RCWA-Berechnungen der Intensitätsverteilung in der
Gitterregion. In Abb. 4.11 ist die Verteilung zu sehen, die sich für
Λ=10 µm
und
θ =62◦
in TM-Polarisation ergibt. Bei diesem Einfallswinkel sollte nach der strahlenoptischen
Rechnung die durch die obere Flanke transmittierte Welle an der unteren Flanke totalreektiert werden. Die RCWA-Rechnung macht jedoch deutlich, dass ein erheblicher
Anteil der Energie an der rechten unteren Kante ausgekoppelt wird. Dies ist an der
Richtung der Poynting-Vektoren zu erkennen. Zu sehen ist auch, dass die Energie in eine
Richtung ausgekoppelt wird, die an der zweiten Grenzäche nicht totalreektiert wird.
Die ausgekoppelte Welle führt also zu einer Verschlechterung des Ausblendeekts.
Wir versuchen
nun
mit
Hilfe des
selbst entwickelten
Hybrid-Modells,
das in Ab-
schnitt 2.4.2 beschrieben wurde, dieses Verhalten zu beschreiben. In diesem Modell
gehen wir davon aus, dass die Strahlung, die innerhalb eines Bereichs der Breite der
132
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.10: Die Kante zwischen unterer Flanke und Durchsichtsbereich stellt einen Keil mit nied-
rigerem Brechungsindex
n1
dar. Somit können Eekte durch evaneszente Wellen auftreten, die zu einem
Energietransport zur Spitze führen.
Abbildung 4.11: Intensitätsverteilung und Poynting-Vektoren, die sich für Typ II mit
◦
λ=633
nm,
θ=62
Λ=10 µm,
in TM-Polarisation ergeben. Die Poynting-Vektoren zeigen, dass Energie durch eva-
neszente Wellen zur Kante hin transportiert wird. An der Kante werden die Wellen ausgekoppelt.
4.3. Beugung am Keil zwischen unterer Flanke und Durchsichtsbereich
133
Abbildung 4.12: Vergleich des Hybrid-Modells aus Abschnitt 2.4.2 mit der LPIA-Lösung und der ri-
gorosen Integralmethodenrechnung (Λ=20
µm,
gemischte Polarisation). Der deutlich zu hohe Wert, den
das Hybrid-Modell bei 65 Grad liefert, ist dadurch zu begründen, dass die verwendete Formel von Lai für
die Goos-Hänchen-Verschiebung für Winkel nahe dem Totalreexionswinkel nicht gültig ist.
Goos-Hänchen-Verschiebung
dGH
oberhalb von der unteren Keilspitze auftrit, zu eva-
neszenten Wellen führt, die an der Keilspitze auskoppeln. Abb. 4.12 zeigt das mit diesem
Modell berechnete Transmissionsverhalten für Typ II im Vergleich zu einer rigorosen
Rechnung. Die Übereinstimmung zwischen den Werten der Hybrid-Methode und der
rigorosen Rechnung ist sehr gut. Der Wert bei 65 Grad ist jedoch deutlich zu hoch. Dies
liegt daran, dass hier der Einfallswinkel auf die untere Flanke nahe am kritischen Winkel
liegt. In diesem Fall gilt die Lai-Formel zur Berechung der Goos-Hänchen-Verschiebung
nicht mehr. Mit der Formel von Lai wird nahe dem Totalreexionswinkel eine zu groÿe
Verschiebung berechnet, so dass zu viel Energie in die evaneszente Welle geleitet wird.
Die ausgekoppelte Welle führt dann in der Rechnung zu der hohen Transmission bei 65
Grad.
Um das erweiterte LPIA-Modell für unterschiedliche Perioden zu testen, vergleichen wir
den Transmissionsgrad bei 62 Grad, also dem Winkel, für den maximale Ausblendung
erreicht werden soll, für verschiedene Perioden mit den rigorosen Ergebnissen (Abb. 4.13,
logarithmische Auftragung!). Die Werte nach dem Hybrid-Modell liegen für alle Perioden
unterhalb der rigoros berechneten Werte. Der funktionelle Verlauf der Abnahme der
Transmission mit steigender Periode wird durch das Hybrid-Modell gut beschrieben. Für
gröÿere Perioden sind die absoluten Abweichungen zu den rigorosen Werten geringer,
weil mit gröÿerer Periode das geometrisch-optische Verhalten in den Vordergrund tritt.
134
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.13: Vergleich der Rechnung mit der Hybrid-Methode mit der rigorosen Integralmetho-
denrechnung für einen festen Einfallswinkel von 62 Grad in Abhängigkeit von der Periode (gemischte
Polarisation). Der Transmissionsgrad ist logarithmisch aufgetragen.
4.4 Beugung an der Prismenspitze
In diesem Abschnitt wird der Einuss der Beugung an der Prismenspitze auf das Transmissionsverhalten von Typ II untersucht (siehe Abb. 4.14). Dazu verwenden wir das in
Abbildung 4.14: Die Kante an der Prismenspitze stellt einen Keil mit höherem Brechungsindex
n2
dar.
Die Beugungseekte an dieser Kante können daher mit der perfect screen approximation beschrieben
werden.
Abschnitt 2.4.2 entwickelte Hybrid-Modell in Verbindung mit der perfect screen approximation. Mit diesem Modell kann die Beugung der einfallenden Welle an der Prismenspitze
in guter Näherung beschrieben werden (siehe Abb. 4.15). Im Gegensatz zu einer rigorosen
Methode kann der Beugungseekt durch die Kante jedoch an- und abgeschalten wer-
135
4.4. Beugung an der Prismenspitze
◦
Abbildung 4.15: Feldverteilungen in der Umgebung eines 45 -Prismas bei einem Einfallswinkel von
◦
45 , berechnet mit (a) der Hybrid-Methode aus local plane interface approximation (LPIA) und perfect
screen approximation und (b) Rigorous Coupled Wave Analysis (RCWA) (n=1,5,
Λ=10 µm, λ=500
nm,
TE-Polarisation). Um die Beugung an der Spitze möglichst isoliert darzustellen, wurden für die RCWARechnung an der Ausgangsebene absorbierende Schichten eingefügt, die vor allem die Reexion an der
Grenzschicht im Durchsichtsbereich unterdrücken. Bei der LPIA-Rechnung wurden diese Reexionen
nicht berücksichtigt, weil sie keinen Einuss auf die Beugungsezienzen in Transmission haben. Mit
der Hybrid-Methode kann das Eindringen der gebeugten Welle in den Schattenbereich gut beschrieben
werden, nicht jedoch das Eindringen der evaneszenten Wellen, die entlang der senkrechten Prismenanke
propagieren, in den Schattenbereich. Diese bewirken aber auch keinen Energietransport in den Schattenbereich.
den. Das heiÿt, dass der Einuss dieses Eekts auf das Transmissionsverhalten isoliert
betrachtet werden kann.
Es sind mehrere Fälle zu unterscheiden, wie die Zylinderwelle aus dem Hybrid-Modell
die Ausgangsebene erreichen kann. Die vier Möglichkeiten zeigt Abb. 4.16. Im ersten Fall
trit die Zylinderwelle direkt auf die Grenzäche im Durchsichtsbereich. Im zweiten Fall
trit die Welle erst auf die obere Flanke, wird dort gebrochen und erreicht dann die
Ausgangsebene. Im dritten Fall erreicht die an der oberen Flanke gebrochene Welle die
untere Flanke, wird dort reektiert und erreicht dann die Ausgangsebene. Im vierten Fall
wird die Welle zuerst an der oberen und dann der unteren Flanke gebrochen und erreicht
anschlieÿend die Ausgangsebene im Durchsichtsbereich.
Für unsere folgende Untersuchung berücksichtigen wir nur den Anteil E1, der auf die
Grenzäche im Durchsichtsbereich trit. Dieser Anteil ist am einfachsten zu berechnen,
weil in diesem Fall die Kantenwelle direkt die Ausgangsebene erreicht ohne vorher auf eine
Grenzäche zu treen. Für die Berechnung der anderen Beiträge wäre eine Erweiterung
des Hybrid-Modells nötig, die die Propagation von Zylinderwellen durch Grenzächen
ezient beschreibt.
Das Ergebnis der Hybrid-Methode mit der perfect screen approximation im Vergleich
zu einer LPIA-Rechnung zeigt Abb. 4.17. Als Polarisation wurde für diese Rechnungen
TE-Polarisation gewählt, weil die perfect screen approximation in dieser Arbeit nur
für TE-Polarisation entwickelt wurde. Es ergeben sich keine deutlichen Änderungen des
Transmissionsverhaltens, obwohl eine relativ kleine Periode von 10
µm
gewählt wurde,
bei der die Beugung merkliche Auswirkungen haben sollte. Vor allem im Ausblendbereich
ist keine relevante Erhöhung der Transmission durch den Beugungseekt zu beobachten.
Oensichtlich wird nur wenig Energie über den Weg E1 zur Ausgangsebene transportiert.
136
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.16: Mögliche Strahlengänge für die Ausbreitung der Kantenwelle, die von der Prismen-
spitze ausgeht.
Abbildung 4.17: Transmissionsverhalten der Prismenstruktur vom Typ II, berechnet mit LPIA und
der Hybrid-Methode mit perfect screen approximation, d.h. mit und ohne Addition der Kantenwelle im
Durchsichtsbereich (n=1,59,
λ=633
nm,
Λ=10 µm,
TE-Polarisation).
137
4.5. Theoretische Optimierungsansätze
4.5 Theoretische Optimierungsansätze
Die ausführliche Studie der diraktiven Eekte am Beispiel der Prismenstruktur vom
Typ II hat uns ein tieferes Verständnis vermittelt, wie groÿ der Einuss der verschiedenen Beugungs- und Interferenzeekte auf das Transmissionsverhalten des Sonnenschutzelements ist. Das LPIA-Modell hat uns die prinzipiellen Grenzen aufgezeigt, die allein
aufgrund der Periodizität der Strukturen gegeben sind. Das Hybrid-Modell mit der Berücksichtigung des Goos-Hänchen-Shifts konnte die rigoros berechneten Transmissionsgrade im Ausblendbereich erklären, die im Vergleich zu den Ray-tracing-Berechnungen
deutlich höher waren. Die Betrachtung der Beugung an der Prismenspitze mit Hilfe des
Hybrid-Modells mit perfect screen approximation machte deutlich, dass dieser Eekt
von geringerer Bedeutung ist.
Möchte man für eine gegebene Periode das Ausblendverhalten von Typ II optimieren,
so muss nach diesen Ergebnissen die Struktur so verändert werden, dass trotz der GoosHänchen-Verschiebung ein Auskoppeln der evaneszenten Wellen weitgehend verhindert
wird. Eine einfache Möglichkeit, diesen Ansatz zu verwirklichen, besteht darin, die Prismen höher zu machen, wobei jedoch die Prismenwinkel gleich bleiben müssen. Dies bedeutet eine Verkleinerung des Durchsichtsbereichs. Um die Wirksamkeit dieses Ansatzes zu
beweisen, wählen wir den Fall, dass der Durchsichtsbereich vollständig wegfällt. Die so erhaltene Struktur zeigt Abb. 4.18. Den modellierten winkelabhängigen Transmissionsgrad
Abbildung 4.18: Möchte man für eine gegebene Periode das Ausblendverhalten von Typ II optimieren, so
muss die untere Flanke verlängert werden. Damit wird erreicht, dass Wellen, die unter einem Winkel gröÿer oder gleich dem kritischen Winkel auf die untere Flanke fallen, trotz der Goos-Hänchen-Verschiebung
reektiert werden und nicht an der unteren Kante auskoppeln können. Eine mögliche Prismenform mit
verlängerter Flanke zeigt die Abbildung. Die Prismenwinkel entsprechen Typ II. Die Struktur hat jedoch
keinen Durchsichtsbereich.
dieser Struktur für eine Periode von 10
µm zeigt Abb. 4.19. Der Ausblendeekt kann deut-
lich verbessert werden. Der minimale Transmissionsgrad liegt bei nur noch 6 %, während
vorher minimal 21% erreicht wurden. Für die gegebene Periode bendet man sich damit
auch schon sehr nahe am theoretischen Minimum. Dies beweist eine Vergleichsrechnung
◦ minimal etwa 4% erreicht
mit der LPIA-Methode (Abb. 4.20). Danach können bei 61
werden. Die Abweichungen am Ende des Ausblendbereichs werden durch die Beugung
138
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.19: Transmissionsverhalten der Struktur aus Abb. 4.18, berechnet mit der Integralmethode
(n=1,59,
λ=633
nm,
Λ=10 µm,
gemischte Polarisation).
Abbildung 4.20: Vergleich der rigoros berechneten Transmissionskurve für Typ II ohne Durchsichtsbe-
reich mit der anhand der LPIA-Methode berechneten Kurve. Parameter wie in Abb. 4.19.
139
4.5. Theoretische Optimierungsansätze
an der Prismenspitze verursacht. Die Einkopplung von evaneszenten Wellen kann durch
die veränderte Struktur also sehr gut verhindert werden. Der fehlende Durchsichtsbereich
◦
wirkt sich vor allem auf das Transmissionsverhalten bei Winkeln zwischen 34 und 55
aus. Hier erhöht sich die Transmission deutlich. Dies ist dadurch zu erklären, dass Strahlengang III und IV nicht mehr möglich sind. Dadurch ieÿt alle Energie in Strahlengang
I und II, wobei Strahlengang II wegen der verlängerten unteren Flanke mehr Gewicht be-
◦ zum gröÿten Teil ausgeblendet (vgl.
kommt. Strahlengang I wird auÿerdem ab etwa 38
Abb. 4.4). Diese Erklärung bestätigt auch ein Vergleich mit der LPIA-Methode, wobei
nur der Beitrag von Strahlengang II berechnet wurde (Abb. 4.21).
Abbildung 4.21: Vergleich der rigoros berechneten Transmissionskurve für Typ II ohne Durchsichtsbe-
reich mit der anhand der LPIA-Methode berechneten Kurve, wobei nur der Beitrag von Strahlengang II
berücksichtigt wurde.
Erhöht man die Periode auf 20
µm,
so wird der Ausblendbereich noch etwas tiefer und
breiter. Der minimale Transmissionsgrad sinkt um etwa 2% (Abb. 4.22).
Will man auf einen Durchsichtsbereich nicht verzichten bzw. ihn vergröÿern, so besteht
theoretisch die Möglichkeit, den unteren Teil der oberen Flanke senkrecht abzuschneiden. Dadurch ergibt sich eine Struktur wie in Abb. 4.23, die im Folgenden als Typ V
bezeichnet wird. Der abgeschnittene Bereich der Prismenanke ist für die Ausblendung
nicht wichtig, weil auf ihn im Ausblendbereich kein direktes Licht fällt und er daher keine
lichtlenkende Funktion erfüllt. Den Transmissionsgrad dieser Struktur bei einer Periode
von 10
µm
im Vergleich zu Typ II zeigt Abb. 4.24. Das Ausblendverhalten von Typ V ist
ähnlich wie bei Typ II ohne Durchsichtsbereich. Der Durchsichtsbereich bei Typ V führt
jedoch dazu, dass der Transmissionsgrad bei Winkeln zwischen 34 und 55
◦ geringer ist
und mehr dem von Typ II ähnelt.
Das Hauptproblem bei Typ V und Typ II ohne Durchsichtsbereich besteht darin, dass bei-
140
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.22: Vergleich der rigoros berechneten Transmissionskurve für Typ II ohne Durchsichtsbe-
reich für 10 und 20
µm
Periode.
Abbildung 4.23: Geometrie der Prismenstruktur mit Bezeichnung Typ V. Die untere Flanke ist im
Vergleich zu Typ II verlängert. Die obere Flanke ist an der Basis verkürzt, um einen breiten Durchsichtsbereich zu ermöglichen.
4.5. Theoretische Optimierungsansätze
141
Abbildung 4.24: Vergleich der rigoros berechneten Transmissionskurve für Typ II und Typ V für 10
µm
Periode.
de Strukturen mit Interferenzlithograe deutlich schwieriger herzustellen sind als Typ II
mit Durchsichtsbereich. Wie in Abschnitt 3.1 erklärt wurde, wird zur Realisierung des
Durchsichtsbereichs bis zum Substrat durchbelichtet. Dadurch wird der stark verrundete
untere Teil der Oberächenstruktur, die normalerweise im Resist nach der Entwicklung
entstehen würde, abgeschnitten und man erhält den planen Bereich zwischen den Prismen, den wir als Durchsichtsbereich bezeichnet haben. Auÿerdem entstehen durch diesen Trick die relativ gut denierten Kanten am Rand des Durchsichtsbereichs. Will man
nun prismatische Strukturen ohne Durchsichtsbereich herstellen, kann man diesen Trick
der Durchbelichtung nicht mehr anwenden. Man erhält also Bereiche mit starken Verrundungen zwischen den Prismen. Durch diese Verrundungen ist es nicht mehr möglich,
das Aspektverhältnis und die Flankenwinkel wie bei der optimalen Struktur zu realisieren. Behält man die Flankenwinkel, so muss man zwangsläug das Aspektverhältnis
verringern und man erhält wieder eine Struktur ähnlich Typ II. Will man dagegen das
Aspektverhältnis beibehalten, so erhält man automatisch steilere Flanken. Steilere Flanken beeinussen jedoch wiederum die Strahlengänge und damit das Ausblendverhalten
der Struktur.
Zur Verdeutlichung dieser Problematik betrachten wir eine Struktur mit Verrundungen
zwischen den Spitzen, aber gleichem Aspektverhältnis wie Typ II ohne Durchsichtsbereich
(Abb. 4.25). Modellieren wir das Transmissionsverhalten dieser verrundeten Struktur, so
hat es mit dem Verhalten der Idealstruktur nur noch wenig gemein (Abb. 4.26): Anstelle
eines Minimums bei 62 Grad führt diese Struktur sogar zu einem Maximum an dieser
Stelle. Ein Durchsichtsbereich ist folglich bei der Herstellung mittels Interferenzlithograe sehr vorteilhaft. Wie groÿ der Durchsichtsbereich idealerweise zu sein hat, um die
142
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
Abbildung 4.25: Vergleich der Geometrie von Typ II ohne Durchsichtsbereich und der Variante mit Ver-
rundungen zwischen den Spitzen, aber gleichem Aspektverhältnis. Verrundungen dieser Art sind typisch
für interferenzlithograsch hergestellte Strukturen.
Abbildung 4.26: Vergleich der rigoros berechneten Transmissionskurven für Typ II ohne Durchsichts-
bereich und die verrundete Variante mit gleichem Aspektverhältnis (jeweils 10
µm
Periode).
143
4.5. Theoretische Optimierungsansätze
Auskopplungseekte an der rechten Flanke eektiv zu unterdrücken, kann abgeschätzt
werden, indem man für eine gegebene Periode den Transmissionsgrad im Ausblendbereich bei einem Einfallswinkel von 62 Grad für unterschiedlich groÿe Durchsichtsbereiche berechnet. Das Ergebnis einer solchen Rechnung für unterschiedliche Perioden ist in
Abb. 4.27 dargestellt. Für alle Perioden sinkt der minimale Transmissionsgrad mit kleiner
◦
Abbildung 4.27: Hemisphärischer Transmissionsgrad für einen festen Einfallswinkel von 62 in Abhän-
gigkeit von der Gröÿe des Durchsichtsbereichs und für unterschiedliche Perioden. Bei diesem Winkel ist
eine optimale Ausblendung bzw. ein minimaler Transmissionsgrad erwünscht. Die Rechnung zeigt, dass
der minimale Transmissionsgrad mit kleiner werdendem Durchsichtsbereich sinkt. Wählt man z.B. eine
Periode von 20
µm,
dann ändert sich bei einem Anteil des Durchsichtsbereichs unter 10% nur noch sehr
wenig. Ein Anteil von 10% ist daher sinnvoll, um éine hohe Ausblendung zu erreichen.
werdendem Durchsichtsbereich. Nehmen wir als Beispiel die Kurve für eine Periode von
20
µm,
so ist ersichtlich, dass bei einem Durchsichtsanteil unter 10% sich nur noch sehr
wenig ändert. Ein Durchsichtsbereich von 10% ist bei dieser Periode folglich sinnvoll, um
hohe Ausblendung zu erreichen. Für die Herstellung mittels Interferenzlithograe ist ein
solch kleiner Durchsichtsbereich jedoch kaum realisierbar.
Als Alternative zu einer Verkleinerung des Durchsichtsbereichs kann die Periode gröÿer
gewählt werden. Bei einer Periode von 30
µm
liegt der optimale Wert für den Anteil des
Durchsichtsbereichs bei etwa 15%, also auch noch sehr niedrig. Bei 50
µm
wird der Ver-
lauf der Kurve deutlich acher. Ein klares Optimum ist hier nicht mehr auszumachen. Die
Werte liegen bei dieser Periode nur noch zwischen etwa 1,5 und 5%. Die physikalisch nicht
zu erklärenden Schwankungen sind wahrscheinlich auf die Ungenauigkeit der Rechnung
zurückzuführen, die mit zunehmender Periode zunimmt.
1 Die Ergebnisse zeigen jedoch,
dass für eine Optimierung der Ausblendung entweder der Durchsichtsbereich sehr klein
1
Der Fehler kann dadurch abgeschätzt werden, dass man die Summe der Beugungsezienzen bildet
und die Abweichung zum theoretischen Wert von 100% berechnet. Die Summe muss 100% ergeben, weil
144
Kapitel 4. Analyse diraktiver Störeekte
sein muss oder die Periode sehr groÿ.
Ein weiterer Parameter, der für die Optimierung der Ausblendfunktion sehr wichtig ist,
ist der Brechungsindex. Er ist durch die Auswahl an kostengünstigen UV-stabilen und
kommerziell verfügbaren Kunststoen vorgegeben und liegt etwa zwischen 1,49 und 1,59
(siehe Abschnitt 3.1.4). Ein höherer Brechungsindex wäre jedoch wünschenswert, da dadurch die Totalreexion bei kleineren Einfallswinkeln einsetzt und so der Ausblendeekt
weiter verbessert werden kann. Abb. 4.28 zeigt eine Vergleichsrechung für Typ II ohne
Durchsichtsbereich mit Brechungsindex 1,59 und 1,7. Mit einem Brechungsindex von 1,65
Abbildung 4.28: Vergleich des selektiven Ausblendverhaltens von Typ II ohne Durchsichtsbereich mit
Brechungsindex 1,59 und 1,7.
erhält man bereits einen merklich besseren Ausblendeekt.
4.6 Zusammenfassung
Das winkelselektive Transmissionsverhalten einer Durchsichtsprismenstruktur wurde für
Perioden zwischen 5 und 100
µm
untersucht. Mit der Modizierten Integralmethode
konnte das Transmissionsverhalten rigoros berechnet werden. Durch Anwendung der local plane interface approximation (LPIA) konnten die Interferenzeekte, die durch die
Periodizität der Gitterstruktur entstehen, quantiziert werden. Die damit erhaltenen Kurven ergeben einen unteren Grenzwert für die erreichbaren Transmissionsgrade im Ausblendbereich. Auÿerdem konnten die Beiträge der unterschiedlichen Strahlengänge zur
Transmission mit der LPIA-Methode berechnet werden.
Dielektrika keine Energie absorbieren. Die Abweichungen lagen bei diesen Rechnungen bei bis zu 2%, so
dass der relative Fehler der Ergebnisse sehr hoch sein dürfte.
4.6. Zusammenfassung
145
Bei den wellenoptischen Rechnungen wurden Vielfachreexionen zwischen strukturierter
und planer Oberäche nicht berücksichtigt, weil dies den Rechenaufwand deutlich erhöht hätte. Der Einuss von Vielfachreexionen konnte jedoch durch den Vergleich mit
Raytracing-Simulationen quantiziert werden. Es stellte sich heraus, dass im Ausblendbereich Vielfachreexionen den Transmissionsgrad um weniger als 1% erhöhen und somit
in guter Näherung vernachlässigt werden können.
Untersuchungen der Feldverteilungen in der Gitterstruktur und die Berechnung der ortsabhängigen Poynting-Vektoren mit Hilfe von RCWA ergaben, dass evaneszente Wellen,
die durch Totalreexion von Wellen enstehen, zu einem Energietransport entlang von
Grenzächen führen und dann an Kanten der Grenzächen auskoppeln können. Bei der
untersuchten Struktur führte dies zu einer deutlich erhöhten Transmission im Vergleich
zu strahlenoptischen Rechnungen. Die Propagation und Auskopplung der evaneszenten
Wellen konnte durch das selbst entwickelte Hybrid-Modell in Verbindung mit einer Erweiterung des Ansatzes von Bühler modelliert werden.
Um die Auswirkung der Beugungseekte an Prismenspitzen zu quantizieren, wurde das
Hybrid-Modell in Verbindung mit der perfect screen approximation angewendet. Die
Ergebnisse weisen darauf hin, dass diese Beugungseekte nur geringe Auswirkung auf die
Ausblendfunktion haben.
Auf der Basis der Untersuchung der einzelnen diraktiven Eekte und ihrer Auswirkung auf das Ausblendverhalten des beispielhaft untersuchten Prismengitters vom Typ II
konnten Schlüsse für ein optimiertes Design der Strukturen gezogen werden: Ein höheres
Aspektverhältnis der Struktur bei sonst gleichen Winkeln verbessert das Ausblendverhalten bei gegebener Periode. Auÿerdem kann das Ausblendverhalten durch eine Erhöhung
der Periode und des Brechungsindex optimiert werden.
Diskussion und Ausblick
Basierend auf den Ergebnissen dieser Arbeit ergeben sich vielfältige Ansätze für zukünftige experimentelle und theoretische Untersuchungen.
Für die weitere Entwicklung und Optimierung von Tageslichtsystemen, die auf prismatischen Mikrostrukturen basieren, sind folgende Punkte von besonderem Interesse:
•
Verminderung der Farbeekte
Farbeekte sind für den Betrachter ungewohnt und werden in der Regel als unangenehm empfunden. Farbeekte treten bei kleinen Gitterperioden vorwiegend
durch die Aufspaltung des Sonnenlichts in Beugungsordnungen auf, weil die Ausbreitungsrichtungen der Beugungsordnungen wellenlängenabhängig sind. Bei gröÿeren Perioden wird dieser Farbeekt schwächer, weil sich die Beugungsordnungen
verschiedener Wellenlängen teilweise überlappen. Auÿerdem nimmt der Kontrast
der Beugungsordnungen ab, weil das Verhältnis der Kohärenzlänge des Lichts zur
Gitterperiode kleiner wird. Mit gröÿeren Perioden spielen jedoch dispersive Farbeffekte, die durch die Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindex entstehen, eine
immer gröÿere Rolle. Insgesamt treten Farbeekte also bei jeder Gitterperiode auf.
Der Ansatz, die Farbeekte durch Wahl einer gröÿeren Gitterperiode zu vermindern,
ist daher nicht vielversprechend. Erste gute Ergebnisse konnten dagegen durch die
stochastische Modulierung der Oberäche der Prismenstrukturen erzielt werden.
Die Farbeekte konnten aber nicht völlig unterdrückt werden. Daher sollte untersucht werden, ob eine stärkere Modulierung oder eine Modulierung mit anderen
Ortsfrequenzverteilungen weitere Verbesserungen bringen können.
Eine Alternative zur Modulierung der Oberächenstruktur könnte die Verwendung
von Kunststoen sein, die streuende Zuschläge enthalten. Diese Lösung hätte folgende Vorteile:
1. Die prismatische Oberäche muss nicht stochastisch moduliert werden. Man
kann also unmodulierte Durchsichtsprismenstrukturen verwenden.
2. Die Streuwirkung kann unabhängig von der Oberächenstruktur durch die
Gröÿe der Streupartikel oder die Dicke der streuenden Schicht eingestellt werden.
Die Schwierigkeit besteht darin, dass die Streuwirkung des Materials nur so groÿ
sein darf, dass sich die unterschiedlichen Farben, die zu gleichen Beugungsordnungen gehören, gerade miteinander vermischen. Ist die Streuung zu groÿ, dann vermischen sich auch gleiche Farben verschiedener Beugungsordnungen miteinander und
147
die Lichtlenkwirkung wird verschlechtert. Darüber hinaus ist zu bedenken, dass die
Farbvermischung hauptsächlich in Transmission funktioniert, wenn die Farbvermischung durch Streuung im Material oder an der hinteren Grenzäche realisiert wird.
Im Falle einfacher Reexion an der Gitterstruktur erfährt das Licht dann nämlich
keine Streuung und folglich bleiben in Reexion die Farbeekte erhalten.
•
Strukturierung gröÿerer Flächen
In dieser Arbeit konnten bereits Flächen mit einer Fläche von rund 0,4 x 0,4 m
2
strukturiert werden. Für die Anwendung in Verglasungen ist es aber wichtig, dass
noch gröÿere Flächen realisiert werden. Industriell werden Glasgröÿen von bis zu
6 m x 3 m verarbeitet. Eine homogene Strukturierung solcher Flächen mittels Interferenzlithograe ist aus heutiger Sicht nicht vorstellbar. Es hängt jedoch auch
vom konkreten Produkt ab, welche Fläche homogen strukturiert sein muss. Die
Strukturierung groÿer Fensterächen kann alternativ auch dadurch realisiert werden, dass man die gesamte Fläche aus kleinen homogenen Stücken zusammensetzt.
Die Übergangsbereiche müssen dann z.B. durch Kunststostege oder Bedrucken undurchsichtig gemacht werden, um ein ansprechendes Erscheinungsbild zu erreichen
und zu verhindern, dass an diesen Stellen Sonnenlicht transmittiert wird. Je gröÿer
die homogenen Flächen jedoch sind, umso attraktiver ist sicherlich das Endprodukt
für den Kunden. Auch aus Kostengründen bei der Herstellung ist es wünschenswert
gröÿere Flächen strukturieren zu können.
Auf groÿen Flächen bieten Prismenstrukturen ohne Durchsichtsbereich Vorteile gegenüber Durchsichtsprismen: Die schwer zu kontrollierende Durchbelichtung zum
Glas fällt weg. Eine stochastische Modulierung der Strukturen bietet als weiteren
Vorteil, dass streuende Defekte durch die insgesamt vorhandene Streuung überdeckt
werden. Insgesamt sind daher für verspeckelte Prismen ohne Durchsichtsbereich die
Ansprüche an die Homogenität der Ausleuchtung bei der Belichtung und an die
Defektfreiheit bei der Herstellung deutlich geringer. Dies vereinfacht die Skalierung
auf groÿe Flächen.
•
Optimierung der Ausblendfunktion
Die Ausblendwirkung der in dieser Arbeit hergestellten Strukturen war, gemessen
an den Vorhersagen der Ray-tracing-Rechnungen, unbefriedigend. Die Lage des
Ausblendminimums lag bei der Mehrzahl der Proben zudem bei zu kleinen Einfallswinkeln. Es wurde gezeigt, dass dies zu einem erheblichen Teil an den Abweichungen
der Realstruktur von der Idealstruktur lag. Selbst bei kleinen Abweichungen von
der Idealstruktur ändert sich das Transmissionsverhalten von Typ II deutlich.
Daher muss eine gröÿere Präzision in der Reproduktion der Idealstrukturen durch
Interferenzlithograe angestrebt werden. Um dieses Ziel zu erreichen, kann man
versuchen Strukturen zu entwickeln, die einen Kompromiss zwischen Machbarkeit
im interferenzlithograschen Herstellungsprozess, Skalierbarkeit auf groÿe Flächen
und Ausblendwirkung bei kleiner Strukturperiode darstellen. Strukturen wie Typ II
sind kritisch in der Herstellung, weil die Ausblendung durch zwei aufeinanderfolgende Totalreexionen erfolgt. Erreicht man den Ausblendeekt mit nur einer
Totalreexion an der zweiten, planen Grenzäche, so ist das Ausblendverhalten der
148
Diskussion und Ausblick
Struktur weniger empndlich gegenüber Abweichungen der realen Flankenwinkel
von den idealen Winkeln und es sind keine Auskoppeleekte durch evaneszente
Wellen möglich. Ein Beispiel einer Struktur, die die Abblendung durch nur eine
Totalreexion erreicht und interferenzlithograsch gut herzustellen ist, wurde im
experimentellen Teil untersucht (Probe SP17, Abb. 3.46). Der Reiz dieser Struktur
besteht in der interferenzlithograsch leicht zu realisierenden Strukturform. Aufgrund des groÿen Einusses von Vielfachreexionen ist der theoretisch erreichbare
Abblendungseekt jedoch schlechter als für Prismenstrukturen vom Typ II.
Will man an einer Strukturform ähnlich Typ II festhalten, so muss im gesamten
interferenzlithograschen Strukturierungsprozess eine deutlich bessere Übereinstimmung von Ideal- und Realstruktur erreicht werden. Auÿerdem sollten für
eine
Verbesserung
des
Ausblendverhaltens
gröÿere
Gitterperioden
angestrebt
werden, um die Einüsse des Goos-Hänchen-Eekts auf das Ausblendverhalten
zu minimieren. Der Ansatz, die untere Flanke der Prismen bei gleichbleibenden
Prismenwinkeln deutlich zu verlängern, um diesen Eekt zu unterdrücken, scheidet
aus, da er interferenzlithograsch nicht zu realisieren ist. Um gröÿere Perioden zu
erreichen, müssen hochaufbauende Resisttypen mit ausreichender Empndlichkeit
gefunden werden, die die Herstellung entsprechend tieferer Strukturen erlauben.
Im Falle von Typ II sind beispielsweise für Perioden von 50
als 25
µm
µm Resistdicken
gröÿer
nötig.
Neben der Optimierung der Strukturform kann das Ausblendverhalten auch durch
Wahl eines höheren Brechungsindex verbessert werden. Momentan bietet Polycarbonat mit
n ≈1,59
den höchsten Brechungsindex. Ein höherer Brechungsindex
bewirkt ein früheres Einsetzen der Totalreexionen und somit eine bessere Ausblendwirkung. Daher sollte nach möglichen Alternativen zu Polycarbonat gesucht
werden, die einen höheren Brechungsindex aufweisen.
Schlieÿlich ist zu überlegen, ob eine mikromechanische Strukturierung nicht vorteilhafter sein könnte. Hier bestehen technologisch weniger Einschränkungen bezüglich
des Designs (siehe [Mi01][MF03]). Nach dem aktuellen Stand der Technik können
2 strukturiert werden [We04].
z.B. mit Fly-Cutting Flächen bis zu etwa 80 x 80 cm
Mit dieser Technologie stehen einem nahezu alle Optionen hinsichtlich der Optimierung der Struktur oen: Der Durchsichtsbereich kann beliebig eingestellt werden,
und eine gröÿere Periode ist sogar von Vorteil, weil der serielle Strukturierungsprozess dadurch verkürzt werden kann.
•
Entwicklung der Produktionsprozesse für das Gesamtsystem
Entscheidend für die Umsetzung in ein Produkt wird sein, ob kostengünstige Herstellungsprozesse gefunden werden, um Folien oder Kunststoplatten zu strukturieren und in den Doppelglasverbund zu integrieren.
Für den Abprägeprozess in Kunststo wurde in der Arbeit das Heiÿprägeverfahren
getestet. Für eine kostengünstige Massenproduktion wäre es jedoch wünschenswert,
einen kontinuierlichen Prägeprozess über ein Walzenverfahren zu realisieren, um so
die Durchlaufzeiten und somit die Kosten zu verringern. Es sollte daher geklärt
149
Abbildung 4.29: Integration der mikrostrukturierten Folie oder Kunststoplatte in den Glasverbund.
werden, ob bekannte Walzenverfahren für die Herstellung von Prismenstrukturen
auf Kunststofolien eingesetzt werden können.
Für die Integration von strukturierten Kunststofolien oder -platten in den Glasverbund ist es auÿerdem sinnvoll, die Folien oder Platten auf die hintere Glasscheibe
zu laminieren (siehe dazu Abb. 4.29). Dadurch wird verhindert, dass zu viele Grenzächen Luft-Glas bzw. Luft-Kunststo entstehen. Der Laminationsprozess ist sehr
kritisch, weil eine optisch einwandfreie Verklebung ohne Blasen gewährleistet werden muss und gleichzeitig die Strukturen nicht beschädigt werden dürfen. Hier muss
ebenfalls noch Entwicklungsarbeit geleistet werden.
•
Abprägung in Glas
Die Abprägung in Kunststo ist am Weitesten fortgeschritten, weshalb die Lösung aus Abb. 4.29 für eine schnelle Produktumsetzung vielversprechend ist. Die
Mikrostrukturen sind bei dieser Lösung vor Verschmutzung und mechanischer Beanspruchung geschützt. Langfristig wäre es jedoch wünschenswert, die Strukturen
direkt in Glas abprägen zu können. Das hat zwei Gründe:
1. Kunststo ist unter UV-Lichteinwirkung durch die Sonne weniger langzeitstabil als Glas.
2. Für einige Anwendungen kann es sinnvoll sein, die funktionale Struktur auf
einer Einfachverglasung zu haben. Zu solchen Anwendungen zählen z.B. Verglasungen von Wintergärten, transparenten Wärmedämmungen, Treppenhäusern, Gewächshäusern, etc.. Die strukturierte Schicht ist dann direkt dem Wetter, der Umweltverschmutzung und mechanischer Beanspruchung bei der Rei-
150
Diskussion und Ausblick
nigung ausgesetzt. Sie muss daher mechanisch und chemisch äuÿerst stabil
sein. Aus diesem Grund bietet sich die Strukturierung von Glas an.
Für die Abprägung von Mikrostrukturen in Glas werden vor allem zwei Verfahren
eingesetzt: das Sol-Gel-Verfahren [Hee01] und das Heiÿprägen von Glas [Man02].
Beide Verfahren erlauben noch nicht das Abprägen prismatischer Strukturen in Glas
auf groÿen Flächen. In Zukunft sind jedoch noch deutliche Fortschritte zu erwarten.
Auch auf der theoretischen Seite bieten sich für die Zukunft vielfältige Ansätze für Weiterentwicklungen. Der Hybrid-Ansatz, der die local plane interface approximation mit
dem Konzept der Geometrischen Beugungstheorie verbindet, um periodische Strukturen
im diraktiv-refraktiven Übergangsbereich zu modellieren, sollte weiterverfolgt werden.
Die Methode erlaubt es, vor allem Gitter mit groÿen Perioden ezient zu modellieren.
Besondere Vorteile könnte die Methode für die Behandlung gekreuzter Gitter bieten.
Während im Falle linearer Gitter rigorose Methoden vom Rechenaufwand her noch praktikabel sein können, wird bei gekreuzten Gittern der Rechenaufwand und Speicherbedarf
schnell zu groÿ. Um einen vielseitigen Einsatz des Hybrid-Modells zu ermöglichen, müssen
jedoch erst Beugungskoezienten für die wichtigsten kanonischen Transmissionsprobleme so weit entwickelt werden, dass sie in eziente Computeralgorithmen umsetzbar sind.
Eine wichtige Rolle kommt hierbei dem Problem der Beugung am dielektrischen Keil
zu. Für Abschätzungen konnten die perfect screen approximation und der erweiterte
Näherungsansatz von Bühler zwar verwendet werden, allgemeinere und exaktere Lösungen wären aber wünschenswert. Der vielversprechendste Lösungsansatz hierfür besteht
darin, aus der Lösung von Bergljung und Berntsen [Berg01] analytische Hochfrequenznäherungen für den Beugungskoezienten einer dielektrischen Kante zu entwickeln. Zur
Überprüfung der Genauigkeit der Näherungslösungen sollten numerische Methoden zur
Berechnung aperiodischer Beugungsprobleme eingesetzt werden. Hierfür sind integrale
Methoden wegen ihrer hohen Genauigkeit besonders geeignet.
Bei der theoretischen Studie der Beugungseekte an der Prismenstruktur vom Typ II
wurde auÿerdem deutlich, dass für eine Weiterentwicklung der Hybrid-Methode ein Ansatz dafür gefunden werden muss, wie die Zylinderwellen, die von den Kanten ausgehen,
zur Ausgangsebene der Gitterregion propagiert werden können, wenn zwischen Kante
und Ausgangsebene eine zusätzliche Grenzäche liegt. Hierfür existieren bereits Ansätze [Lee82][Hey84], deren Anwendbarkeit innerhalb des Hybrid-Ansatzes untersucht werden sollte.
151
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurden prismatische Gitter als Mikrostrukturen zur Tageslichtsteuerung
hergestellt, charakterisiert und ihre optische Funktionalität mit verschiedenen theoretischen Methoden modelliert. Der Schwerpunkt der Arbeit lag dabei auf Strukturen
mit Perioden zwischen 5 und 100
µm.
Bei dieser Gröÿe können die Strukturen mit
dem bloÿen Auge nicht oder nur schwer aufgelöst werden. Da die Abmessungen aber
noch deutlich gröÿer als die Wellenlänge des Lichts sind, kann ihre Wirkungsweise im
Wesentlichen durch die Strahlenoptik verstanden werden. Dennoch spielen diraktive
Eekte wie die Beugung an den Prismenkanten eine wichtige Rolle und müssen beim
Design der Strukturen berücksichtigt werden.
Im theoretischen
Teil
wurden
daher
rigorose
und
approximative
Methoden
unter-
sucht, um das optische Verhalten der Strukturen im Übergangsbereich von diraktiver
und geometrischer Optik zu modellieren. Rigorose Methoden wie die Rigorous Coupled
Wave Analysis oder die Modizierte Integralmethode
erlauben präzise diraktive
Berechnungen. Sie benötigen jedoch viel Rechenzeit. Auÿerdem geben sie keine direkte
Antwort auf die Frage, welche Beugungs- oder Interferenzeekte dafür verantwortlich
sind, dass die optische Funktionalität unter Umständen deutlich vom strahlenoptisch
vorhergesagten Verhalten abweicht. Um ein quantitatives Verständnis für diese Eekte
zu bekommen, wurde daher eine approximative Methode für den diraktiv-refraktiven
Übergangsbereich entwickelt. Diese Methode kombiniert die local plane interface approximation mit Konzepten der Geometrischen Beugungstheorie. In diesem neuen Ansatz
zur Modellierung periodischer Oberächenstrukturen werden Wellenfelder durch eine
Überlagerung von an den Grenzächen gebrochenen oder reektierten ebenen Wellen
mit von den Kanten ausgehenden Wellen dargestellt. Die Form der Wellen, die von den
Kanten ausgehen, wird durch asymptotische Lösung des isolierten Problems der Beugung
an einer keilförmigen Grenzäche bestimmt. Da eine allgemeine Lösung dieses Problems
nicht möglich ist, wurden spezielle analytische Näherungslösungen untersucht:
•
Für den Fall, dass der Keil einen höheren Brechungsindex als das Medium besitzt,
aus dem die Welle auf den Keil trit, wurde die perfect screen approximation entwickelt. Bei dieser Näherung wird ein dielektrischer Keil durch eine ideal leitende
Halbebene ersetzt. Die Beugungswelle, die von der Kante ausgeht, ist dabei das
Produkt aus einer Zylinderwelle und einer komplexen winkelabhängigen Gewichtungsfunktion. Durch diesen Ansatz konnte die Form des gebeugten Felds ezient
beschrieben werden.
152
Zusammenfassung
•
Für den Fall, dass der Keil einen niedrigeren Brechungsindex als das umgebende
Medium besitzt und Totalreexionsphänomene an der Grenzäche auftreten, konnte
gezeigt werden, dass eine Interpretation durch den Goos-Hänchen-Eekt einfache
Abschätzungen für den Energietransport in der Umgebung der Kante erlaubt.
Durch Kombination dieser Näherungslösungen mit der local plane interface approximation wurden die Beugungsezienzen prismatischer Gitter berechnet. Im Vergleich
zur local plane interface approximation
allein ergab sich eine deutlich verbesserte
Übereinstimmung mit rigoros berechneten Werten.
Im
experimentellen
Teil
der
Arbeit
wurden
prismatische
Mikrostrukturen
interfe-
2 hergestellt. Die erhaltenen
renzlithograsch auf einer Fläche von 375 x 375 mm
Master-Strukturen wurden durch Galvanisierung in Nickel-Stempel übertragen. Mit
diesen Nickel-Stempeln konnten die Strukturen erfolgreich durch Heiÿprägen in verschiedene transparente Kunststoe abgeformt werden. Dadurch wurde gezeigt, dass eine
kostengünstige Fertigung durch Massenreplikation möglich ist.
Sowohl die Master-Strukturen als auch die abgeformten Strukturen wurden hinsichtlich
ihrer Form und ihrer optischen Funktionalität charakterisiert. Die Sonnenschutzfunktion
der Strukturen konnte in Messungen nachgewiesen werden. Die theoretischen Berechnungen konnten anhand der Messergebnisse validiert werden.
Weiterhin
wurden
stochastisch
übermodulierte
Prismenstrukturen
interferenzlitho-
grasch hergestellt. Durch die Übermodulation konnten Farbeekte, die durch die
Periodizität der Oberächenstrukturen entstehen, deutlich vermindert werden ohne die
Funktionalität der Strukturen wesentlich zu beeinussen.
Um Möglichkeiten zu einer weiteren Optimierung der Sonnenschutzfunktion der Strukturen zu untersuchen, wurden ausgehend von einer Beispielstruktur Modellrechnungen
durchgeführt. Durch die im theoretischen Teil entwickelte Näherungsmethode konnten die
Einüsse der Interferenzeekte aufgrund der Gitterperiodizität und die Beugungseekte
an den Kanten der prismatischen Oberächenstrukturen getrennt analysiert werden. Es
wurde nachgewiesen, dass bei der untersuchten Struktur das Auskoppeln evaneszenter
Wellen an den Prismenkanten die Hauptursache dafür ist, dass im diraktiv-refraktiven
Übergangsbereich das reale Verhalten stark von dem abweicht, was man aus strahlenoptischen Überlegungen erwarten würde. Mit Hilfe der Näherungsmethode und rigorosen
Rechnungen wurden Optimierungsmöglichkeiten für eine Durchsichtsprismenstruktur als
selektiv verschattendes Tageslichtsystem aufgezeigt.
Aus der Diskussion der Ergebnisse konnte geschlossen werden, dass Farbeekte durch
eine stärkere Übermodulierung der Prismenstrukturen oder durch Abprägung in streuende Kunststoe weiter vermindert werden sollten. Die Sonnenschutzfunktion könnte
auÿerdem deutlich verbessert werden, indem die Strukturform der Prismen unter Berücksichtigung der Randbedingungen beim interferenzlithograschen Herstellungsprozess
optimiert
wird,
mikromechanische
Strukturierungsverfahren
eingesetzt
Kunststoe mit einem höheren Brechungsindex gefunden werden.
werden
oder
Veröentlichungen und
Patentanmeldungen
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit entstanden unter meiner Mitwirkung folgende
öentlichungen:
Ver-
1. Nitz, P., Bläsi, B., Bühler, C., Georg, A., Gombert, A., Hoÿfeld, W., Mick, J., Walze, G., Sonnenschutz und Lichtlenkung durch mikrostrukturierte Oberächen, Tagungsband 9. Symposium Innovative Lichttechnik in Gebäuden, OTTI-TechnologieKolleg, Staelstein, 23.-24.1.2003, S. 103-108
2. Bläsi, B., Bühler, C., Georg, A., Gombert, A., Mick, J., Hoÿfeld, W., Nitz, P.,
Lautenschlager, H., Schetter, C., Walze, G., Wittwer, V., Entwicklung von Sonnenschutzverglasungen mit optisch funktionalen Mikrostrukturen, in: Leistungen
und Ergebnisse - Jahresbericht 2002, Fraunhofer Institut für Solare Energiesysteme
ISE, Freiburg, März 2003, S. 20-22
3. Gombert, A., Bläsi, B., Bühler, C., Nitz, P., Mick, J., Hoÿfeld, W., Niggemann,
M., Replicated Mictrostructures with Optical Functions in Solar and Display Applications, in: Physics, Theory, and Applications of Periodic Structures in Optics
II, SPIE Proceedings No. 5184, SPIE 48th Annual Meeting, San Diego, USA, 5.7.8.2003, S. 60-73
4. Hoÿfeld, W., Bläsi, B., Bühler, C., Georg, A., Gombert, A., Mick, J., Nitz, P.,
Wittwer, V., Application of Microstructured Surfaces in Architectural Glazings,
in: Proceedings of Glass Processing Days 2003, Tampere, Finland, 15.-18.6.2003, S.
342-344
5. Bläsi, B., Bühler, C., Georg, A., Gombert, A., Hoÿfeld, W., Mick, J., Nitz, P.,
Walze, G., Wittwer, V., Microstructured Surfaces in Architectural Glazings, in:
Proceedings, ISES Solar World Congress 2003, Gothenburg, Sweden, 14.-19.6.2003,
auf CD-ROM erhältlich
6. Hoÿfeld, W., Bläsi, B., Gombert A., Mick J., Modelling of Micro Prism Gratings
in Architectural Glazings, in: Proceedings, Diractive Optics 2003, Oxford, Great
Britain, 16.-20.9.2003, auf CD-ROM erhältlich
154
Veröentlichungen und Patentanmeldungen
7. Gombert, A., Bläsi, B., Boerner, V., Hoÿfeld, W., Kübler, V., Mick, J., Large-area
origination and replication of microstructures with optical functions, in: Fabrication, Packaging, and Integration, SPIE Proceedings No. 5454, Photonics Europe,
Strasbourg, 26.-30.4.2004
8. Gombert, A., Bläsi, B., Bühler, C., Hoÿfeld, W., Mick, J., Nitz, P., Walze, G.
Rigorous study of diraction eects on the transmission of linear dielectric micro
reector arrays, Journal of Optics A: Pure and Applied Optics, vol. 6, S. 952-960
(2004)
9. Gombert, A., Bläsi, B., Bühler, C., Hoÿfeld, W., Mick, J., Nitz, P., Walze, G., Some application cases and related manufacturing techniques for optically functional
microstructures on large areas, Optical Engineering, vol. 43, no. 11 (2004)
10. Nitz, A., Bläsi, B., Bühler, Ell, J., Georg, A., C., Gombert, A., Hoÿfeld, W., Mick, J.,
Walze, G., Microstructured Dielectric Surfaces for Solar Control and Daylighting
Glazing Applications, Solar Energy, eingereicht
11. Walze, G., Ell, J., Georg, A., Gombert, A., Hoÿfeld, W., Nitz, A., Combination
of microstructures and optically functional coatings for solar control glazing, Solar
Energy Materials and Solar Cells, eingereicht
12. Hoÿfeld, W., Gombert, A., Nitz, P. , Optische Modellierung mikrostrukturierter
Oberächen im refraktiv-diraktiven Übergangsbereich, in: Leistungen und Ergebnisse - Jahresbericht 2004, Fraunhofer Institut für Solare Energiesysteme ISE,
Freiburg, in Druck
Patentanmeldungen:
1. Bläsi, B., Hoÿfeld, W., Gombert, A., Boerner, V., Nitz, P., Buehler, C., Mick,
J., Vorrichtung zur Lichtlenkung und Verfahren zur Herstellung der Vorrichtung,
Deutsche Patentanmeldung DE10231141 A, Fraunhofer Gesellschaft zur Förderung
der angewandten Forschung e.V.
2. Bläsi, B., Hoÿfeld, W., Gombert, A., Boerner, V., Nitz, P., Buehler, C., Mick,
J., Device for oriented light scattering and method for producing said device,
Internationale Patentanmeldung PCT/EP2003/007502, Fraunhofer Gesellschaft zur
Förderung der angewandten Forschung e.V.
155
Verzeichnis der verwendeten
Symbole und Abkürzungen
Deutsche Formelzeichen
B:
c:
d:
dGH :
dGH :
D:
D:
E:
G:
H:
I:
Im:
j:
k:
k:
L:
n:
n12 :
magnetische Induktion
Lichtgeschwindigkeit
Eindringtiefe
Goos-Hänchen-Verschiebung, gemessen senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung der reektierten Welle
Goos-Hänchen-Verschiebung, projiziert auf die Grenzäche
Beugungskoezient
dielektrische Verschiebung
elektrisches Feld
Greensche Funktion
magnetisches Feld
Intensität
Imaginärteil
elektrische Stromdichte
Wellenzahl
Wellenvektor
optische Weglänge
Brechungsindex
Normalenvektor der Grenzäche
zwischen Gebiet 1 und 2, zeigt in Richtung Gebiet von 2
Re:
S:
S:
t:
T:
U:
U i:
U d:
V:
Realteil
Oberäche
Poynting-Vektor
Zeit
gerichtet-hemisphärischer Transmissionsgrad
skalare Feldkomponente
einfallendes Feld
gebeugtes Feld
Volumen
Griechische Formelzeichen
δ:
∆ϕ:
0 :
:
φ:
ϕ:
η:
λ:
λ0 :
Λ:
µ0 :
µ:
ν:
ω:
Ω:
ρ:
θ:
θc :
τ:
Phase
Phasensprung durch Goos-Hänchen-Eekt
Dielektrizitätskonstante im Vakuum
relative Dielektrizitätskonstante
Phase
Polarwinkel
Ezienz
Wellenlänge
Vakuumwellenlänge
Gitterperiode
magnetische Induktion im Vakuum
relative magnetische Induktion
Frequenz
Kreisfrequenz
Gebiet (math.)
elektrische Ladungsdichte
Einfallswinkel
kritischer Winkel der Totalreexion
Laufzeit
Abkürzungen
FD:
Finite Dierenzen
FDTD:
Finite Dierence Time Domain
GTD:
Geometrical Theory of Diraction
LPIA:
Local Plane Interface Approximation
PC:
Polycarbonat
PE:
Polyethylen
PMMA:
Polymethylmethacrylat
PS:
Polystyrol
RCWA:
Rigorous Coupled Wave Analysis
TE:
transversal elektrisch
TM:
transversal magnetisch
UTD:
Uniform Theory of Diraction
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