Mitschrieb zu Experimentalphysik VI: Kerne und Teilchen

Mitschrieb zu Experimentalphysik VI:
Kerne und Teilchen
Prof. Dr. Thomas Müller
Vorlesung Sommersemester 2004
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 26. April 2008
Mitschrieb der Vorlesung Experimentalphysik VI
von Herrn Prof. Dr. Thomas Müller im Sommersemester 2004
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Einführung: Die Suche nach den fundamentalen
1.2 Die Geschichte der Kern- und Teilchenphysik .
1.3 Klassifizierung der Kern- und Teilchenphysik .
1.4 Grundbegriffe der Kern- und Teilchenphysik . .
1.4.1 Größenordnungen . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Nomenklatur in der Kernphysik . . . . .
Bausteinen
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2 Einführung in die Kernphysik
2.1 Kerne und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bindungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Masse des Neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Größe und Struktur der Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Differentieller Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Rutherfordstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Elektronenstreuung an Kernen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bindungsenergie: Das Tröpfchenmodell . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Weizsäckersche Massenformel . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Anwendung: Spaltung von Uran . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kernspin und magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Magnetisches Dipolmoment allgemein . . . . . . . . . . .
2.4.2 Experimentelle Bestimmung von µ
~I . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Komposition magnetischer Momente . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Kernspinquantenzahlen und magnetische Momente einiger
2.4.5 Höhere Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Parität und Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Schalenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kerne in Einheiten
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des Kernmagnetons 24
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3 Kernumwandlungen
3.1 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Zerfallsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Wichtige Größen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 β-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 β− und β+ -Zerfälle im Kern . . . . . . . . .
3.1.6 Indirekter Neutrino-Nachweis . . . . . . . . .
3.2 Fermi-Theorie des β-Zerfalls (33/34) . . . . . . . .
3.3 Experimenteller Nachweis des Neutrinos . . . . . . .
3.4 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung
3.4.1 γ-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Mößbauer-Effekt . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Experiment von Pound, Rebka (1960) PRL 4, 337
3.5.1 Anwendung der Radioaktivität/Dotierung . .
3.6 Kernspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
INHALTSVERZEICHNIS
3.6.1 Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Voraussetzung für spontane Spaltung . .
3.6.3 Uranspaltung . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Kernkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Reaktortypen . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Energiegewinnung . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Energiegewinnung in Sternen . . . . . .
3.9 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie . .
3.9.1 Energieverlust für geladene Teilchen . .
3.9.2 Spezialfall e− , e+ in Materie . . . . . .
3.9.3 Coulombstreuung . . . . . . . . . . . .
3.9.4 Cerenkov-Effekt . . . . . . . . . . . .
3.9.5 Wechselwirkung von Photonen . . . . .
3.9.6 Hadronische Wechselwirkung in Materie
3.10 Strahlenwirkung, Dosimetrie . . . . . . . . . . .
3.10.1 Energiedosiswerte . . . . . . . . . . . .
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5 Elementarteilchenphysik
5.1 Grundlagen der Elementarteilchenphysik . . . . . . .
5.1.1 Der Teilchenzoo . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Fundamentale Teilchen des Standard-Modells
5.1.3 Zusammengesetzte Objekte . . . . . . . . . .
5.1.4 Fundamentale Wechselwirkung . . . . . . . .
5.1.5 Diskussion: Farbe, Gluon . . . . . . . . . . .
5.1.6 Symmetrien und Erhaltungssätze . . . . . . .
5.2 Moderne Teilchenphysik . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Struktur der Hadronen . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Phänomene der schwachen Wechselwirkung .
5.2.3 Elektroschwache Vereinigung . . . . . . . . .
5.3 Astrophysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Elemententstehung im frühen Universum . .
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99
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109
109
4 Beschleuniger und Detektoren
4.1 Detektoren . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Ionisationsdetektoren . . . . .
4.1.2 Gasdetektoren . . . . . . . . .
4.1.3 Halbleiterdetektoren . . . . . .
4.1.4 Szintillationsdetektoren . . . .
4.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Kalorimeter . . . . . . . . . . .
4.2.2 Ältere Technologien . . . . . .
4.3 Experimente . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Beispiel: Superkanioka (Japan)
4.3.2 CMA am LHC . . . . . . . . .
4.4 Teilchenbeschleuniger . . . . . . . . .
4.4.1
Fired Target“ . . . . . . . . .
”
4.4.2 Luminosität . . . . . . . . . . .
.
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4
Kapitel 1
Einleitung
1.1
Einführung: Die Suche nach den fundamentalen Bausteinen
Die zugehörigen Folien findet man auf www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de!
1.2
Die Geschichte der Kern- und Teilchenphysik
Dies findet man sehr schön dargestellt auf wswww.physik.uni-mainz.de/quast/HEP2000/TPlernen.html.
Weitere Tabellen und Veröffentlichungen zu diesem Thema findet man auf http://pdg.lbl.gov und K.
Hagiwara et al., Physical Review D66, 010001 (2002).
Zu Beginn des 20.Jahrhunderts waren die Wissenschaftler der Meinung, daß sie die meisten fundamentalen
Prinzipien der Natur verstanden haben. Atome stellte man sich als kleine feste Körper vor. Die Leute vertrauten Newtons Bewegungsgleichungen und die meisten physikalischen Probleme schienen gelöst zu sein. Jedoch
beginnend mit Einsteins Relativitätstheorie, welche die Newtonsche Mechanik ersetzte, erkannten die Wissenschaftler schrittweise, daß ihr Wissen weit von jeglicher Vollständigkeit entfernt war. Das spezielle Interesse
galt dem wachsenden Bereich der Quantenmechanik, welche die Grundlagen der Physik vollständig veränderte.
Jahr
Entdeckung
1900
Max Planck führte die Quantisierung elektromagnetischer Strahlung ein. Dies war die Geburt
der Quantentheorie.
1905
Albert Einstein, einer der wenigen Physiker, die Plancks Ideen ernst nahmen, führte den
Begriff des Photons als des Quants der elektromagnetischen Strahlung ein. Einstein veröffentlichte die spezielle Relativitätstheorie. Sie erweitere die Newtonsche Mechanik und ist zusammen mit der aus ihr folgenden Äquivalenz von Masse und Energie die Basis für die Theorie der
Elementarteilchen.
1909
Hans Geiger und Ernest Marsden, unter der Anleitung von Ernest Rutherford, streuten Alpha-Teilchen an einer Goldfolie und beobachteten unerwartet große Streuwinkel (die
Abbildung zeigt die Meßapparatur). Sie vermuteten daraufhin, daß Atome sehr dichte, klein,
positiv geladene Kerne besitzen.
1911
Ernest Rutherford schloß endgültig auf einen kompakten Atomkern als Ergebnis der Streuexperimente, die von Hans Geiger and Ernest Marsden durchgeführt wurden.
1912
Albert Einstein entwickelt die allgemeine Relativitätstheorie. Sie verknüpft die Gravitation
mit der Struktur von Raum und Zeit.
1913
Niels Bohr stellt sein Atommodell vor, den ersten erfolgreichen Versuch, den Quantenbegriff
auf den Atombau anzuwenden.
1919
Ernest Rutherford gelang der erste Nachweis für die Existenz des Protons.
1921
James Chadwick und E.S. Bieler folgerten, daß der Atomkern von einer unbekannten sehr
starken“ Kraft zusammengehalten wird.
”
1923
Arthur Compton entdeckte das quantenhafte Verhalten der Röntgenstrahlung. Dies war
eine weitere Bestätigung der Teilcheneigenschaft dieser extrem kurzwelligen Strahlung.
1924
Louis de Broglie schlug die Welleneigenschaft von Teilchen vor.
1925
Wolfgang Pauli formulierte das Pauli-Prinzip“ (oder Pauli-Verbot“) für Elektronen im
”
”
Atom.
Fortsetzung . . .
5
KAPITEL 1. EINLEITUNG
. . . Fortsetzung
Jahr
Entdeckung
1926-1928 Bohr, Born, Dirac, Heisenberg, Pauli und Schrödinger entwickeln und deuten die
Quantenmechanik. Dies markiert den Beginn der Entwicklung eines neuen physikalischen Weltbildes.
1926
Erwin Schrödinger entwickelte die Wellenmechanik mit der nach ihm benannten Wellengleichung, die das Verhalten von Bosonen-Systemen beschreibt. Max Born lieferte die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik.
1927
Bestimmte Stoffe, die Elektronen emittieren (Beta-minus-Zerfall), wurden beobachtet. Da man
wußte, daß Atome und Kerne diskrete Energie-Spektren besitzen, war es schwierig zu verstehen,
daß die emittierten Elektronen ein kontinuierliches Spektrum besitzen können. (Siehe dazu auch
Text zu 1930)
1927
Werner Heisenberg entwickelte zusammen mit Max Born und Pascal Jordan die Matrizenmechanik. Er formulierte die Unschärferelation.
1928
Paul Dirac verband die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie, um das
Elektron zu beschreiben.
1930
Die Quantenmechanik und die spezielle Relativitätstheorie hatten sich durchgesetzt. Es gab
drei fundamentale Teilchen: Protonen, Elektronen und Photonen. Max Born sagte, nachdem
er Diracs Gleichung kennengelernt hatte, Die Physik, so wie wir sie bisher kannten, wird es
”
in 6 Monaten nicht mehr geben.“
1930
Wolfgang Pauli schlug das Neutrino zur Erklärung des kontinuierlichen Energiespektrums
der Elektronen beim Beta-Zerfall vor.
1931
Paul Dirac erkannte, daß die positiv geladenen Teilchen, die seine Gleichung forderte, noch
unbekannt sein mußten. Er nannte sie Positronen. Sie mußten exakt wie Elektronen sein, nur
positiv geladen. Das war das erste Beispiel für ein Antiteilchen.
1932
James Chadwick entdeckte das Neutron. Die Mechanismen der Kernbindung und des Kernzerfalls wurden Forschungsschwerpunkte. Dies markiert den Beginn der Kernphysik.
1933-34
Enrico Fermi schuf eine Theorie des Beta-Zerfalls und der schwachen Wechselwirkung. Sie
ist die erste Theorie, die explizit Neutrinos und die Flavour-Änderung von Teilchen einbezieht.
1933-34
Hideki Yukawa kombinierte Relativität und Quantentheorie, um die Wechselwirkung innerhalb des Atomkerns durch den Austausch neuer Teilchen (π-Mesonen) zwischen Protonen und
Neutronen zu beschreiben. Aus der Größe des Kerns schloß Yukawa, daß die vermuteten
Mesonen eine etwa 200-mal größere Masse als die Elektronen besitzen mußten. Dies war der
Beginn der Mesonen-Theorie der Kernkräfte.
1937
Ein Teilchen mit der 200-fachen Elektronenmasse wurde in der Höhenstrahlung gefunden. Es
wurde von den Physikern zuerst für das von Yukawa postulierte π-Meson gehalten, später stellt
man aber fest, daß es sich um das Myon handelte.
1946-47
Physiker erkannten, daß das in der Höhenstrahlung gefundene Teilchen nicht Yukawas πMeson ist, sondern ein neues Teilchen, das sie Myon nannten, das erste Teilchen der II. Generation von Elementarteilchen. Diese Entdeckung war völlig unerwartet, so daß I.I. Rabi die
Entdeckung mit den Worten who ordered that?“ ( wer hat das bestellt?“) kommentierte. Der
”
”
Begriff Lepton“ wurde für Teilchen eingeführt, die nicht stark wechselwirken.
”
1947
Entdeckung des π-Mesons in der kosmischen Strahlung.
1947
Überwindung von Divergenzproblemen in der Quantentheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung (QED). Einführung der Feynman-Diagramme. Berechnung des Lamb-shifts.
1948
Im Berkley-Synchro-Zyklotron wurde zum ersten Mal ein π-Meson künstlich erzeugt.
1949
Entdeckung des K+ -Mesons über seinen Zerfall
1950
Das neutrale π-Meson wurde entdeckt.
1951
Zwei neue Teilchen wurden in der Höhenstrahlung entdeckt. Man entdeckte sie durch ihre Vförmige Spur, die sie in Detektoren hinterließen und rekonstruierte daraus, daß ein elektrisch
neutrales Teilchen in zwei geladene Teilchen zerfallen sein mußte. Die Teilchen wurden Λ0 und
K0 genannt.
1952
Entdeckung der ersten Nukleonresonanz D(1232).
1952
Donald Glaser erfand die Blasenkammer. Das Brookhaven Cosmotron, ein 1,3 GeVBeschleuniger nahm seinen Betrieb auf.
Fortsetzung . . .
6
1.2. DIE GESCHICHTE DER KERN- UND TEILCHENPHYSIK
. . . Fortsetzung
Jahr
Entdeckung
1953
Gefördert durch die Blasenkammertechnik werden in den folgenden Jahren zahlreiche neue
instabile Teilchen ( Resonanzen“) entdeckt.
”
1953
Einführung der Strangeness (Seltsamkeit) durch Gell-Mann und Nishijima, um gewisse Eigenschaften der neu entdeckten Teilchen zu erklären.
1953-57
Streuexperimente von Elektronen an Protonen enthüllten eine ausgedehnte Ladungsstruktur
innerhalb des Protons von etwa 10-15 m Größe. Die Beschreibung der elektromagnetischen
Struktur von Proton und Neutron weist auf eine innere Struktur dieser Teilchen hin. Trotzdem
wurden sie auch weiterhin als elementare Teilchen betrachtet.
1954
C.N. Yang und Robert Mills entwickeln eine neue Klasse von Theorien, die sogenannten
Eichtheorien“. Obwohl es zu dieser Zeit noch nicht klar war, schufen diese Theorien die Basis
”
des heutigen Standard-Modells.
1957-59
Julian Schwinger, Sidney Bludman und Sheldon Glashow schlugen in verschiedenen
Abhandlungen vor, daß die schwache Wechselwirkung durch geladene schwere Bosonen (später
W+ und W- genannt) vermittelt wird. Yukawa hatte schon 20 Jahre zuvor den Austausch
von Bosonen diskutiert, aber dann das π-Meson als Vermittler der starken Wechselwirkung
eingeführt.
1961
Einführung eines Klassifizierungsschemas für die Vielzahl der entdeckten Elementarteilchen
anhand der mathematischen SU(3)-Gruppe. Man nennt diese Einordnung in sich ergebenden
Mustern“ auch den Achtfachen Weg“. Dies liefert die mathematische Grundlage für das
”
”
Quarkmodell. Voraussage des W− -Baryons mit Strangeness S = −3.
1962
Ein Experiment in Brookhaven zeigt, daß es zwei verschiedene Neutrino-Arten gibt, das
Elektron- und Myon-Neutrino. Dies wurde schon vorher aufgrund theoretischer Überlegungen
vermutet.
1964
Entdeckung des W− in einem Blasenkammerexperiment in Brookhaven. Dies ist eine wesentliche Stütze der Symmetrieüberlegungen, die zum Quarkmodell führten.
Ab Mitte der 60er Jahre erkannten die Physiker, daß ihr bisheriges Verständnis, daß alle Materie aus elementaren Protonen, Neutronen und Elektronen besteht, nicht ausreichen ist, um die zahllosen Teilchen zu erklären,
die bisher entdeckt worden waren. Die Quark-Theorie von M.Gell-Mann und G.Zweig löste dieses Problem. Seit nunmehr über 30 Jahren ist schrittweise eine Theorie entstanden, die heute als Standard-Modell
”
der Teilchen und Wechselwirkungen“ bezeichnet wird und durch experimentelle Bestätigungen in neuen Teilchenbeschleunigern immer größere Akzeptanz findet.
Jahr
Entdeckung
1964
Murray Gell-Mann und George Zweig schlugen Quarks als elementare Bausteine von
Mesonen und Baryonen vor. Sie führten drei Sorten von Quarks ein: up, down und strange
(und d, s) mit dem Spin 1/2 und den elektrischen Ladungen +2/3 (u), -1/3 (d) und -1/3 (s)
(es hat sich herausgestellt, daß diese Theorie noch sehr unzureichend war).
1964
Aufgrund der bestimmten Form der Anordnung der Leptonen wurde in mehreren Abhandlungen die Existenz eines vierten Quarks neuen Flavours angesprochen, um bei den Quarks das
gleiche Muster wie bei den Leptonen (damals vier Stück) zu erhalten. Nur sehr wenige Physiker
zogen diese mögliche Existenz zu dieser Zeit ernsthaft in Erwägung. Sheldon Glashow und
James Bjorken postulierten ein viertes Quark und prägten dafür den Begriff charm“ (c;
”
elektrische Ladung -1/3), weil der Glaube an seine Existenz ein ausgesprochen charmanter“
”
Gedanke war.
1965
O.W. Greenberg, M.Y. Han und Yoichiro Nambu führten die Quark-Eigenschaft der
Farbladung (kurz: Farbe) ein. Alle beobachteten Hadronen sind farbneutral bzw. weiß, da sich
die Quarks in ihnen zu farbneutralen Kombinationen zusammenfügen.
. . . 1966 Die Einführung des Quarkmodells findet nur sehr zögerlich statt, weil Quarks nicht beobachtet
...
werden konnten. Sie gelten zunächst eher als ein mathematisches Erklärungsgerüst für die
Systematik der Teilchen.
1967
Steven Weinberg und Abdus Salam fanden unabhängig voneinander eine Theorie, welche
die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung vereinigt. Ihre Theorie forderte die
Existenz eines neutralen, schwach wechselwirkenden Austauschbosons (heute Z genannt), das
die schwache Wechselwirkung vermittelt und zu dieser Zeit noch unentdeckt war. Außerdem
erfordert die Theorie zusätzliches sehr schweres Boson, das sogenannte Higgs-Boson, das bis
heute (1998) noch nicht gefunden wurde.
Fortsetzung . . .
7
KAPITEL 1. EINLEITUNG
. . . Fortsetzung
Jahr
Entdeckung
1968-69
Am Stanford Linear Accelerator (SLAC), in einem Experiment, bei dem Elektronen an Protonen gestreut wurden, schienen die Elektronen an kleinen harten Kernen innerhalb des Protons
abzuprallen. James Bjorken und Richard P.Feynman interpretierten diese Daten im Sinne eines Modells von im Proton enthaltenen Teilchen. Sie benutzen dabei nicht den Begriff
Quark, sondern nannten die Bestandteile noch Partonen. Es war aber bald klar, daß dieses
Experiment ein deutlicher Beweis für die Existenz von Quarks im Proton war.
1970
Sheldon Glashow, John Iliopoulos und Luciano Maiani erkannten die Bedeutung eines
vierten Quarks im Zusammenhang mit dem Standard-Modell. Ein viertes Quark erlaubt eine
Theorie, die eine Flavour-erhaltende, durch Z0 vermittelte schwache Wechselwirkung zuläßt.
1973
Entdeckung der neutralen schwachen Ströme (schwache Wechselwirkung ohne Ladungsaustausch) in einem Neutrinoexperiment am CERN. Diese Wechselwirkung wird durch das Z0 Boson vermittelt.
1973
Eine Quantenfeldtheorie für die starke Wechselwirkung wurde formuliert. Diese Theorie über
Quarks und Gluonen (heute ein Teil des Standard-Modells) ist in seiner Struktur der Quantenelektrodynamik (QED) sehr ähnlich, da die starke Wechselwirkung aber mit Farbladungen
verbunden ist, wurde sie Quantenchromodynamik (QCD) genannt. Quarks sind Teilchen, die
Farbladung tragen. Gluonen sind die masselosen Quanten des Felds der starken Wechselwirkung.
1973
David Politzer, David Gross und Frank Wilczek entdeckten, daß die Farb-Theorie der
starken Wechselwirkung eine besondere Eigenschaft hat, die heute als asymptotische Freiheit“
”
bezeichnet wird. Diese Eigenschaft ist für die Beschreibung der Meßergebnisse von 1968-69
(Bestandteile des Protons) sehr wichtig, weil sie erklärt, warum die Kräfte zwischen Quarks
bei großen Impulsübertragungen klein sind.
1974
In einer zusammenfassenden Besprechung für eine Konferenz präsentierte John Iliopoulos
zum ersten Mal in einem einzelnen Artikel das aktuelle Modell der Teilchenphysik, heute
Standard-Modell genannt.
1974
Burton Richter und Samuel Ting, beide leiteten unabhängige Experimente, verkünde(Nov.)
ten am selben Tag die Entdeckung des gleichen neuen Teilchens. Ting und seine Gruppe in
Brookhaven nannten das Teilchen das J-Teilchen“, Richter und seine Gruppe nannten es
”
Y“. Da die Entdeckungen völlig gleichwertig waren, wurde das Teilchen J/Y genannt. Das
”
J/Y-Teilchen ist ein charm/Anticharm-Meson (das sogenannte Charmonium). Dies markiert
die experimentelle Entdeckung des c-Quarks.
1976
Entdeckung des D0 -Mesons in einem Speicherringexperiment am SLAC. Es ist die Kombination
eines c-Quark mit einem leichten Quark. Da die theoretischen Vorhersage des D0 erstaunlich
gut mit den Ergebnissen der Messungen übereinstimmte, war die Entdeckung ein weiterer
Meilenstein.
1976
Das Tauon (t-Lepton) wurde in einem Speicherringexperiment am SLAC entdeckt. Da dieses Lepton das erste gefundene Teilchen der III. Generation der Materie war, kam es völlig
unerwartet.
1977
Leon Lederman und seine Mitarbeiter am Fermilab entdeckten noch ein weiteres Quark
( bottom“-Quark b) mit Ladung -1/3 in einem gebundenen Zustand Y aus b und Anti-b. Da
”
die Physiker nun auch für die III. Generation der Materie ein zweites Quark erwarteten, gab
diese Entdeckung den Anstoß für die Suche nach dem sechsten Quark, dem top“-Quark.
”
1979
Der experimentelle Beweis für die Existenz von Gluonen, den Quanten der starken Wechselwirkung, wurde am PETRA-Speicherring bei DESY in Hamburg erbracht.
1983
Die Austauschbosonen W± und Z0 , die von der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung gefordert werden, wurden in zwei Experimenten am CERN Proton-Antiproton-Collider
gefunden, in dem Protonen und Antiprotonen in einem gemeinsamen Ring aufeinanderprallen.
1989
Experimente, die an SLAC und CERN durchgeführt wurden, geben einen starken Hinweis
darauf, daß es nur drei Generationen von Elementarteilchen gibt. Dies ergibt sich daraus,
daß die Z0 -Lebensdauer nur mit der Existenz von genau drei extrem leichten oder masselosen
Neutrinos vereinbar ist.
Fortsetzung . . .
8
1.3. KLASSIFIZIERUNG DER KERN- UND TEILCHENPHYSIK
. . . Fortsetzung
Jahr
Entdeckung
1995
Nach 18-jähriger Suche an vielen Beschleunigereinrichtungen, entdeckte man endlich am Fermilab das top-Quark mit der unerwartet hohen Masse von 175 GeV/c2. Niemand versteht, daß
sich die Masse so stark von der der anderen fünf Quarks unterscheidet.
1.3
Klassifizierung der Kern- und Teilchenphysik
Reine Kernphysik
Elementarteilchenphysik
Experimentelle
Angewandte Kernphysik
Theoretische Kernphysik und Teilchenphysik
Methoden
Wechselwirkungen
Beschleuniger Kernenergie
Nur 3 Wechselwirkungen von Bedeutung: stark, Detektoren
Spaltung und Fusion
schwach, elektromagnetisch
Quantenmechanik-Vielteilchensysteme
spin-off“
Materialforschung
”
Feldtheoretischer Ansatz, N-Teilchen SchrödinOberflächen, Halbleiter, Elektrogergleichung, effektive Modelle
nik, Chemie, Biologie, Geophysik
Urbausteine
Medizin
Quarks und Leptonen
Diagnostik, Therapie
Astrophysik
Umweltforschung
Big-Band, Elementsynthese, Sternevolution, EnerSpurelementanalyse, Archäologieproduktion in der Sonne, Novae, Neutronensterne,
gie, Ozeanographie, Geologie,
usw.
Klimatologie, usw.
Kosmologie
Universum: Wie groß, woher, wohin?
Mathematische Methoden
Gegenseitige Wechselwirkungen mit einer Reihe von Nachbarwissenschaften
1.4
Grundbegriffe der Kern- und Teilchenphysik
1.4.1
Größenordnungen
1.) Längeneinheit:
1 Å=10−10 m
2 fm = 2 · 10−15 m ( Fermi“)
”
. 10−19
rm
G~
Planck-Skala
lPl =
= 1, 6 · 10−35 m
c3
Bei Größenordnungen der Planck-Skala werden erstmals Quanteneffekte der Gravitation sichtbar.
Durchmesser des Atoms
Durchmesser des Protons
Durchmesser von Quarks, Leptonen, Bosonen
2.) Energie:
Die kinetische Energie eines Teilchens der Ladung e nach Durchlaufen von U = 1 V beträgt 1 eV =
1, 6 · 10−19 J.
3.) Masse:
1
eV
∧
= 1, 8 · 10−36 kg (= 0, 511 MeV)
c2
Elementarteilchen
Masse
e−
0, 511 MeV
c2 (me )
π±
139, 6 MeV
c2
p
938, 3 MeV
c2
n
939, 6 MeV
c2
Z
91, 2 GeV
c2
Fortsetzung . . .
9
KAPITEL 1. EINLEITUNG
. . . Fortsetzung
Elementarteilchen
Masse
τ
178 ± 4 GeV
c2
ν
mν 6= 0, mνe < 2 eV,
mνµ < 10 keV, mντ < 1 MeV
mν = O(1 meV), ∆m = O(meV)
1.4.2
Nomenklatur in der Kernphysik
Die Kernphysik ist die Physik der Nukleonen (n, p), welche sich in einem Verbund zusammenschließen.
Ein Verbund solcher Nukleonen bezeichnet man als Nuklid. Man kennzeichnet einen Kern durch:
A n+
Z XN
X ist die chemische Abkürzung, n+ die Ladung des Atoms, falls nicht vollständig ionisiert. Des
weiteren ist Z die Kernladungszahl, A die Massenzahl und N die Neutronenzahl. Betrachten wir als
∧
∧
2+
1
2
Beispiel 12
6 C6 . Ausnahmen von diesem Konzept bilden die leichten Kerne: 1 H0 = p, 1 D1 = d (Deuteron),
∧
∧
3
4
1 T2 = t (Triton) und 2 He2 = α-Teilchen.
1.) Masseneinheit:
Die atomare Masseneinheit mu ist definiert als:
mu ≡ 1 u :=
1 ¡12 ¢
1 Mol des
m 6 C6 =
12
12
N
12
6 C6
= 1, 66 · 10−27 kg = 931, 5
MeV
c2
2.) Impuls:
1
eV
kg
= 5, 34 · 10−28
c
s
3.) Drehimpuls:
1~ = 6, 6 · 10−22 MeVs = 1, 97 · 10−11
MeV · cm
c
Auch findet man manchmal in Büchern ~c = 197 MeV · fm.
4.) Ladung:
e = 1, 602 · 10−19 C,
e2
1
= αlm =
4πε0 ~c
137
Und nun zur Nomenklatur:
1.) Isotope sind Kerne gleicher Ladungszahl Z wie beispielsweise:
p, d, t
40
Z=1
41
Ca,
Ca,
12
14
6 C, 6 C
Z=6
2.) Isotone sind Kerne mit gleicher Neutronenzahl:
d, 32 He1
58
Ti,
60
N =1
Cr
N = 36
3.) Isobare besitzen die gleiche Massenzahl:
t, 32 He
58
Ti,
58
A=3
Fe
A = 58
4.) Isomere: Angeregte Kerne mit gleicher Z, N auf unterschiedlichen Energieniveaus
178
Hf 7→ 178 Hf + γ
5.) Spiegelkerne: Kerne mit vertauschbarem N , Z
13
Beispielsweise ist 13
6 C7 der Spiegelkern zu 7 N6 .
10
Kapitel 2
Einführung in die Kernphysik
2.1
Kerne und ihre Eigenschaften
2.1.1
Elektrische Ladung
U Bestimmung durch Rutherfordstreuung
µ
dσ
dΩ
¶
µ
=
ϑ
z · Z · e2
4πε0 · 4E0
¶2
·
sin
1
¡ϑ¢
4
2
U Moseley-Gesetz
Die Frequenz der K-Linie der Röntgenstrahlung folgt aus:
µ
¶
1
1
νK = Ry · (Z − s)2 ·
− 2 ;s≈1
1 n
Dies gilt für den Übergang in die unterste Schale (Abschirmungseffekt).
2.1.2
Masse
U Massenspektrometer:
Schauen wir uns das Prinzip eines solchen Spektrometers nach Thomson an:
11
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
}
~
Die Ablenkung im E-Feld
ergibt sich dann zu:
y=
q · E · l2
4Ekin
~
Die Ablenkung im B-Feld:
FL = q · v · B =
mv 2
R
Damit ergibt sich p = mv = q · B · R. Daraus ergibt sich dann die Masse wie folgt:
m=
p2
B 2 · R2 · 2y
=q·
2Ekin
E · l2
Anmerkung: Die Massenbestimmung läßt sich durch eine fokussierende Anordnung verbessern.
∆m
1
=
m
2000
Außerdem läßt sich in Experimenten folgendes beobachten:
U Ladung des Kerns ist ein Vielfaches von e.
U Masse des Kerns ist Vielfaches von mp
Neben Protonen (p) und Elektronen (e− ) existiert ein zusätzlicher Baustein, nämlich das Neutron (n),
wobei m(n) ≈ m(p) und q(n) = 0 gilt.
2.1.3
Bindungsenergie
Starke Kräfte, die Protonen und Neutronen auf lokalem Raum binden, führt zu einem sogenannten
Massendefekt:
mKern = Z · mp + N · mn −
EB
c2
Betrachten wir als Beispiel die Bindungsenergie einiger Kerne:
12
2.2. GRÖSSE UND STRUKTUR DER KERNE
1.) Kohlenstoff: 12 C = 6 p + 6 n
a.) 6mp + 6mn = 6 · (938, 279 + 939, 573) MeV = 11267, 112 MeV
b.) m(12 C − 6e− ) = 11174, 950 MeV
Die Differenz beträgt dann 92, 162 MeV.
EB
= 7, 68 MeV
A
2.) Zirkonium: 90 Zr = 40 p + 50 n
a.) 40mp + 50mn = 84509, 834 MeV
b.) m(90 Zr − 40 e− ) = 83728, 200 MeV
Damit ergibt sich eine Differenz von 781, 634 MeV.
EB
= 8, 68 MeV
A
Das Ergebnis ist also, daß etwa 0, 8% der Ruhemasse nach E = mc2 in Energie umgewandelt werden.
(Vergleiche außerdem atomare Bindungsenergien beispielsweise vom Wasserstoffatom: nur 13, 6 eV!)
2.1.4
Masse des Neutrons
a.) Bestimme md , mp
b.) Photospaltung des d
2
1D
+ γ 7→ 10 n + 11 H
Diese Reaktion ist möglich für Eγ > 2, 226 MeV. Draraus ergibt sich dann:
mn = md − mp + 2, 226
MeV
MeV
= 934, 6 2
2
c
c
Dies ist etwa 1, 3 MeV
c2 schwerer als das Proton.
2.2
2.2.1
Größe und Struktur der Kerne
Wirkungsquerschnitt
Der Wirkungsquerschnitt WQ ≡ σ ist definiert als die effektive Fläche bei einem Streuprozeß. Als Illustration betrachten wir feste Kugeln:
13
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
Die Kugeln stoßen gerade dann, wenn der Abstand höchstens R1 + R2 = R ist. Damit ergibt sich σ =
π(R12 + R22 )2 .
Bestimmung von σ:
Streufläche
NT · σ
=
A
Gesamtfläche
NT · σ
= φ · NT · σ
A
Damit ergibt sich:
ṄR = ṄS ·
σ=
ṄR
φ · ṄT
[σ] = 100fm2 = 10−24 cm2 ≡ b (Barn)
Beispiel:
σpp (10 GeV) = 40 mb
σνp (10 GeV) = 70 fb = 7 · 10−38 , cm2
Speziell gilt σtot = σin + σel .
2.2.2
Differentieller Wirkungsquerschnitt
Dieser berechnet sich nach dσ
dx . x ist eine physikalische Variable wie beispielsweise E, θ und dΩ. Betrachten
wir nun einen Strom von Teilchen, welche einen Streukörper treffen:
Für das Raumwinkelement gilt:
I
dΩ = 4π
dṄR
1
dσ
=
·
dΩ
dΩ NT φ
14
2.2. GRÖSSE UND STRUKTUR DER KERNE
Auch gilt:
dσ
dθ =
dθ
Z2π
dσ
dσ
dΩ =
·
dΩ
dΩ
φ=0
Z2π
sin θ dθ dφ =
0
dσ
· 2π sin θ dθ
dΩ
dσ
dσ
= 2π sin θ ·
dθ
dΩ
2.2.3
Rutherfordstreuung
Einen schönen Artikel von Professor Rutherford findet man im Phi. Mag. 21 (1911). Betrachten wir den
klassischen Aufbau seines Experimentes:
dṄR
dΩ
ist die Anzahl der sichtbaren Blitze. Es läßt sich dann folgender Verlauf beobachten:
Interpretation: Elastische Streuung der α-Teilchen am Coulombpotential
{
{
φ · 2π · b db = φ · 2π · sin θ dθ ·
dσ
dΩ
15
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
Allgemein gilt für elastische Streuung ohne Polarisation:
dσ
b
db
=
·
dΩ
sin θ dθ
Als Spezialfall betrachten wir die Coulombstreuung.
a.) Energieerhaltung:
1
zZe2
mv 2 +
= E0 = const.
2
4πε0 r2
b.) Drehimpulserhaltung:
L = m · v0 · b = m · v · b0 = const.
Aus diesen beiden Beziehungen läßt sich b eliminieren:
b=
zZe2
1
· cot θ
4πε0 E0 2
Das Ergebnis für die Coulombstreuung ist dann:
dσ
=
dΩ
µ
zZe2
4πε0 · 4E0
¶2
·
1
¡ ¢
sin4 θ2
Analyse:
Aus E0 = 4, 78 MeV, θ1 = 30◦ und θ2 = 50◦ ergibt sich die größte Annäherung am Kern:
zZ
· 1, 44 fm · MeV
rmin
}
E0 = 4, 78 MeV =
Daraus ergibt sich rmin = 47 fm > rAu .
Bei größeren Energien gibt es Abweichungen wegen neuer Wechselwirkung (Kern usw.)! Aus den Abweichungen
im elastischen Wirkungsquerschnitt folgt eine Abschätzung der Ausdehnung des Kerns.
1
U RK = r0 · A 3 mit r0 = 1, 3 fm (Dichteste Kugelpackung)
Betrachten wir einige Beispiele:
1
a.) 11 H: RK = 1, 03 fm; RK · A− 3 = 1, 0 fm
16
2.2. GRÖSSE UND STRUKTUR DER KERNE
1
b.) 21 D: RK = 2, 80 fm; RK · A− 3 = 2, 2 fm (Nukleonen sind relativ schwach gebunden)
c.)
16
8 O:
d.)
197
79 Au:
1
RK = 2, 75 fm; RK · A− 3 = 1, 4 fm (Nukleonen sind stark gebunden)
1
RK = 6, 87 fm; RK · A− 3 = 1, 18 fm
Kerne sind also dichte Kugelpackungen.
ii.) Dichte der Kernmaterie:
%K =
A · 1, 66 · 10−27 kg
g
= 1, 44 · 1015
4
3
cm3
3 πRK
Beispiel: Zusammenpressen der Sonne
Die Sonne besitzt eine Masse M0 von 2 · 1030 kg. Damit ergibt sich für das Volumen der Sonne, wenn sie
die Dichte der Kernmaterie hätte:
V =
M0
= 1, 4 · 1018 cm3
%K
Daraus ergibt sich ein Durchmesser D = 17 km. So groß sind gerade Neutronensterne!
iii.) Vergleiche Kernkraft mit Gravitation
m1 m2
m3
mit G = 6, 67 · 10−11
r
kgs2
·
¸
A1 · A2 MeV
VG = 1, 1 · 10−37 ·
r
fm
VG = G ·
Vergleiche dies mit VK ≈ EB ≈ 8 MeV/Nukleon. Daraus ergibt sich
2.2.4
G
EB
K
EB
= 10−38 .
Elektronenstreuung an Kernen
i.) Ee ist definiert durch die de Broglie-Wellenlänge des Elektrons: λe < RK (O(fm)). Mit λ =
ergibt sich pe > 200 MeV
und Ee > 200 MeV.
197 MeV·fm
pe ·c
c
~
pe
≡
ii.) Berücksichtige Spin
µ
¶
µ
¶
·
µ ¶¸
dσ
dσ
θ
=
· 1 − β 2 sin2
dΩ Mott
dΩ Rutherford
2
Dieser Ausdruck geht gegen 0 für β 7→ 1 und θ 7→ 180◦ .
Wir definieren die sogenannte Helizität:
h=
p~ · ~s
= ±1
|~
p · ~s|
Diese ist bei der Streuung erhalten.
17
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
Ein solcher Prozeß ist verboten. Falls der Kern einen Spin besitzt, gilt:


µ
dσ
dΩ
¶
µ
=
Dirac
dσ
dΩ

µ ¶
µ ¶

q2
θ 
 2 θ

2
· cos
+
· sin

2


2
2M
2
Rutherford 
| {z } |
{z
}
¶
Mott
Spin-SpinWechselwirkung
q ist der Impulsübertrag und M die Kernmassse.
iii.) Innere Strukturen, Formfaktor
Wir beschreiben dies durch den Impulsübertrag:
Hier läßt sich mit den trigonometrischen Beziehungen folgender Zusammenhang finden:
µ ¶
1 |~q|
q
θ
sin
=
=
2
2 |~
p|
2mv
Mit E =
µ
dσ
dΩ
p2
2m
¶
erhält man die nichtrelativistische Rutherford-Streuformel:
µ
=
q
2 · z · Z · e2 · m
4πε0
¶2
·
1
q4
Das Streuverhalten in einer Ladungsverteilung sieht wie folgt aus:
µ
¶ µ
¶
dσ
dσ
=
· |F (q 2 )|2
dΩ
dΩ Punkt | {z }
Formfaktor
Es muß auf jeden Fall |F (q 2 )| ≤ 1 gelten.
Z
F (q 2 ) =
· ¸
~q~r
d3 r
%(~r) · exp i
~
Betrachten wir die Fouriertransformierte der Ladungsverteilung:
h ³
´i
ψ(~r, t) = ψ0 · exp i ~k~r − ωt
Von dQ geht eine Sekundärwelle aus:
i
h
i
h i
h
~ = ψ(~r) · a · exp i~k 0~r = ψ0 · exp i~k~r · a · exp i~k~r0
A(R)
r
r
18
2.3. BINDUNGSENERGIE: DAS TRÖPFCHENMODELL
~ − ~r0 ergibt sich dann:
Mit ~r = R
h ³
´i
h ³
´i
~ − ~k 0~r0
h ³
´ i
exp i ~k~r0 + ~k 0~r
exp i ~k~r0 + ~k 0 R
exp [ikR]
=
≈
· exp i ~k − ~k 0 ~r
r
r
R
~ gilt, ergibt sich ~k 0 k R
~ bei großen Abständen. Damit folgt |~k 0 | = |~k|. Wir integrieren über
Da |~r| ≈ |R|
alle dQ:
Z
Z
h
i
a
%(~r0 ) 3 0
a ψ0
0
~
Atot (R) =
ψ0 exp (ikR) · exp (i∆kr ) ·
d r =
·
exp [ikR] %(~r0 ) · exp i∆~k~r0 d3 r0
R
Q
R Ze
zZe2
dσ
Mit |~q| = ~|∆~k|, a =
und
∝ |Atot |2 folgt:
2
4πε0 q
dΩ
·
µ
¶
¸
¯Z
¯2
~q · ~r0
dσ
dσ
¯
¯
=
· ¯ %(~r) · exp i
d3 r 0 ¯
dΩ
dΩ Punkt
~
{z
}
|
F (q 2 )
Beispiele:
Ladungsverteilung
Mathematische Form
Punkt
%(~r0 ) =
1
δ(r0 )Q
4π
µ 3¶
a
0
%(~r ) =
exp[−ar0 ]
8π
µ 2 ¶ 32
· 2 02 ¸
a
a r
0
%(~r ) =
· exp −
2π
2
½
0
C
für
r
≤
R
%(~r0 ) =
0
für r0 > R
Exponent
Gauß
Harte Kugel
|F (q 0 )|
1
µ
¶−2
1 + q2
q2 π2
·
¸
q2
exp − 2 2
2a ~
3 · α−3 (sin α − α cos α) mit
α = |q|
~ R und αmin = 4, 5
U Kerne besitzen eine konstante Ladungsverteilung/Ladungsdichte bis zu einem diffusen Rand
U Die Form das Ladungsdichte ist durch eine Fermiverteilung beschreibbar:
%(r) =
%
³0
1 + exp
−r−R1/2
a
1
´ mit a = 0, 55 fm, R1/2 = 1, 1 · A 3 fm, % ≈ 0, 17
Nukleonen
fm3
U Kerne können von Kugelform abweichen (Oblaten, Zigarren)
U Kernkräfte beschränkt auf Bereich der Ladungsverteilung (⇒ Kernmodelle)
2.3
Bindungsenergie: Das Tröpfchenmodell
Das Modell geht auf Bethe und Weizsäcker (1935) zurück. Es besagt, daß der Kern eine inkompressible
Flüssigkeit darstellt, wobei die Nukleonen als Tröpfchen dieser Flüssigkeit angesehen werden. Mit c2 = 1 gilt:
EB = Z · mp + N · mn − mK
EB
A
∧
Man beobachtet, daß
in etwa konstant ist; der Wert liegt bei 8 bis 9 MeV. Wir machen also folgenden
Ansatz (g = gerade, u = ungerade):
∧
2
3
EB = aV · A − aS · A − aC · Z 2 · A
− 31

δ
(N − Z)2 
0
+
− aA ·

A
−δ
für g, g
für g, u oder u, g
für u, u
1
mit δ = aP · A− 2
Den ersten Term bezeichnet man als Volumenterm, den zweiten als Oberflächenterm, den dritten als Coulombterm, den vierten als Asymmetrieterm (Ungleichgewicht zwischen der Anzahl der Energiezustände von
Protonen und Neutronen) und schließlich den fünften als Paarungsterm.
19
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
2.3.1
Kernkraft von kurzer Reichweite
Oberflächenterm
Nukleonen an der Oberfläche von weniger anderen
Nukleonen umgeben
Coulombterm
Coulombabstoßung
Asymmetrieterm
N ≈ Z wird bevorzugt (weniger stark bei großem A)
Paarungsterm
Neutronen- und Protonenpaare bevorzugt
Weizsäckersche Massenformel
Konstante
aV
aC
aS
aA
aP
2.3.2
Volumenterm
Wert
15, 5 MeV
0, 7 MeV
16, 8 MeV
23 MeV
11, 3 MeV
Anwendung: Spaltung von Uran
Der Prozeß läuft folgendermaßen ab: Ein thermisches Neutron n wird von einem Urankern eingefangen und
dieser zerfällt dann in zwei unbekannte Kerne X und Y:
239
n + 238
92 U 7→ 92 U 7→ X + Y
Angenommen, es gelte m(X) = m(Y) = m
µ
Ef = m(Z, A) − 2m
2.4
2.4.1
Z A
,
2 2
¶
¡U¢
2
. Dann ergibt sich:
³
´
´
2
1
2
Z2 ³
= ∆EB = aS A 3 1 − 2 3 + aC 1 1 − 2− 3 ≈ 180 MeV!
A3
Kernspin und magnetisches Moment
Magnetisches Dipolmoment allgemein
a.) Klassisch:
20
2.4. KERNSPIN UND MAGNETISCHES MOMENT
~ = q · πr2 · ~eA = q · v · πr2 · eA = q · p · r · ~eA = q ~l
µ
~ =j·A
T
2πr
2m
2m
Für Teilchen mit Spin I:
µ
~ I = gI ·
e ~
·I
2m
g ist der sogenannte Landefaktor. Klassisch gilt gI = 1 und gI < 1 für Ladungsverteilungen. Für
Elektronen hat man ge = 2, 002319304386 bestimmt.
b.) Elektron:
µ
~ e = ge · µB ·
~
e~
eV
S
mit µB =
≈ 5, 8 · 10−5
~
2me
T
µB ist das Bohrsche Magneton.
c.) Proton:
µ
~ P = gp · µK ·
~
S
e~
eV
mit µK =
≈ 3, 2 · 10−8
~
2mp
T
µK ist das sogenannte Kernmagneton. Es gilt außerdem gp = 5, 585 und gn = −3, 826(38).
d.) Kern:
µ
~ I = gI · µK ·
I~
~
Allgemein gilt dann:
gI =
|~
µI |
µK
~
|I|
~
I kann die Werte 0, 12 , 1, . . . besitzen.
2.4.2
Experimentelle Bestimmung von ~µI
a.) Hyperfeinstruktur-Aufspaltung atomarer Spektren
~ J sei im folgenden das Magnetfeld der Hülle am Kern:
B
³
´
~ J = −|~
~ J~
VHFS = −~
µI · B
µI | · BJ · cos I,
Mit F~ = I~ + J~ ergibt sich weiter:
³
´
+ 1) − I(I + 1) − J(J + 1)
~ J~ = F (Fp
p
F 2 = I 2 + J 2 + 2I · J ⇒ cos I,
2 · I · (I + 1) · J · (J + 1)
EHFS =
a · (F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1))
2
p
p
mit a = µB · ge · µK · gI · |ψ(r = 0)|2
3
2 · I · (I + 1) · J · (J + 1)
21
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
Beispiel: 1s-Aufspaltung im Wasserstoffatom
EHFS =
 a
 +4

− 34 a
für
F =1
für
F =0
∧
Damit ergibt sich ∆EHFS = a = λ = 21 cm. Hierbei handelt es sich um die interstellare H-Linie.
b.) Magnetische Kernresonanz (NMR)
Prinzip: Einstrahlung von Energie auf Probe im Magnetfeld
Im statischen Magnetfeld H0 findet eine Ausrichtung“ der Spins statt.
”
Mit Einstrahlung einer Energie ∆E(∆m = 1) = −gI · µK · H0 durch H(t) findet durch Absorption ein
resonanzartiges Umklappen der Spins statt:
µH(t) =
gI · µK · H0
h
Beispiel:
Bei Protonen ergibt sich mit H0 = 1 T ein Wert von ν = 42, 5 MHz.
2.4.3
Komposition magnetischer Momente
Es lassen sich folgende Beobachtungen für den Kernspin I machen:
U A geradzahlig: I = 0, 1, 2, . . .
U A ungeradzahlig: I = 12 , 32 , . . .
22
2.4. KERNSPIN UND MAGNETISCHES MOMENT
U Z und N geradzahlig: I = 0
Wir machen folgenden Ansatz:
X
X
I~ =
I~ni +
I~pi mit I~ni = ~lni + ~sni und I~pi = ~lpi + ~spi
µ
~I =
X
µ
~ Imi +
X
~ Ipi = gl~lpi + gs~spi
µ
~ Ipi mit µ
~ Ini = gl · ~lni + gs~sni und µ
Hierbei gilt außerdem für das Neutron gl = 0, gs = −3, 8 und für das Proton gl = 1, gs = 5, 6.
U d: Q = − 13 e, md ≈ 7 MeV
U u: Q = + 23 e, mu ≈ 5 MeV
Beispiele:
i.) Deuterium 21 H:
I = Ip + In =
1 1
+ +1
2 2
Experimentell hat man auch Iexp = 1 bestimmt.
µI = µp + µn = (2, 79 − 1, 91) µK = 0, 88µK
Experimentell findet man µexp = 0, 86µK .
ii.) Tritium 31 H:
I = Ip +
X
Ini =
i
1
2
µI = (2, 79 + 0) µK
Im Experiment erhält man Iexp =
1
2
und µexp = 2, 97µK .
iii.) Helium 42 He:
I = 0 + 0 = 0; Iexp = 0
µI = 0; µexp = 0
Damit stimmt also unsere Theorie. Betrachten wir Spin und Bahndrehimpuls zusammen, so gilt:
³
´
µ
~ I · I~ I~
µ
~=
~2
|I|
Für I = l ±
1
2
ergibt sich:
¶
µ
gs − gl
·I
µI = µK · gl ±
2l + 1
23
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
Beispiel:
iv.) Sauerstoff
17
O:
Hier gilt I = 52 , wobei ein Elektron ungepaart ist. Mittels der obigen Formel erhalten und mit l = 2,
s = 12 erhalten wir µI = −1, 9µK .
v.) Fluor
17
F:
Auch hier ist I = 52 ; es liegt ein ungepaartes Proton vor (l = 2, s = 21 ). Dann ergibt sich µI = 4, 7µK .
Experimentell hat man µexp = 4, 8µK bestimmt.
2.4.4
Kern
Kernspinquantenzahlen und magnetische Momente einiger Kerne in Einheiten des Kernmagnetons
Kernspinquantenzahl
Erwartet
aus
Experimenteller
X
X
Ip +
In
Wert
1
2
1
2
+ 12
+0
0 + 21
0+0
1
1
2 + 2
1
2 +0
0 + 21
0+0
1
2 +0
1
2 +0
2
1H
3
1H
3
2 He
4
2 He
6
3 Li
7
3 Li
9
4 Be
12
6 C
85
37 Rb
115
49 In
1
1
2
1
2
0
1
3
2!
3
2!
0
5
2!
9
2!
Magnetisches Moment
Erwartet
aus
Experimenteller
X
X
µp +
µn
Wert
0, 880
2, 793
−1, 913
0
0, 880
2, 793
−1, 91
0
2, 793
2, 793
0, 857
2, 978
−2, 127
0
0, 822
3, 256
−1, 177
0
1, 353
5, 523
Schlußfolgerung:
Aus I, µ erhalten wir die Erkenntnis, daß p, n im Kern paarweise abgesättigt sind. Damit können Hinweise
über I, µ, l des verbleibenden Nukleons erhalten.
2.4.5
Höhere Momente
a.) Hilfskonstruktion:
Die potentielle Energie der Ladungsverteilung ergibt sich aus:
Z
W = φ(~r)%(~r) dV
V
24
2.4. KERNSPIN UND MAGNETISCHES MOMENT
Wir machen den Ansatz einer Taylorreihenentwicklung um den Nullpunkt:
¯
¯
¯
X
∂Ej ¯¯
~ r)¯¯ + 1
φ(~r) = φ(~o) + ~r∇φ(~
xi xj
2 i,j
∂xi ¯¯
0
0
Damit berechnen wir:
U Erster Term:
Z
W0 = φ(~o)%(~r) dV = Z · e · φ(~o)
V
Dies ist gerade die potentielle Energie der Gesamtladung.
U Zweiter Term:
Z
~ o) ~r%(~r) dV = 0
W1 = −E(~
V
Dies gilt, daß %(~r) = Q · ψ ? (~r) · ψ(~r) ist. Daraus folgt dann mit ψ(~r) = ψ(−~r), daß %(~r) = %(−~r)
gilt und damit:
Z
Z
Z
~r%(~r) dV = ~r%(−~r) dV = − ~r%(~r) dV = 0
Die physikalische Konsequenz hieraus ist:
Falls beispielsweise Fall ¬ häufiger auftritt als Fall ­, ist die Paritätssymmetrie gebrochen.
â Natur:
â Gespiegelt am Ursprung:
U Dritter Term:
¯ ¶
¯
µ
Z
Z
¢ ∂Ej ¯
∂Ej ¯¯
1 X
1 X¡
2
¯ %(~r) dV
3xi xj − ~r δij
xi xj
W2 = −
¯ %(~r) dV = − 6
¯
2
∂x
∂x
i
i
0
0
i,j
i,j
V
V
25
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
~ ·E
~ = 0 verschwindet. Jetzt führen wir
Dies können wir so schreiben, da der zweite Term wegen ∇
das Quadrupolmoment (siehe Theorie C) ein und erhalten:
¯
1 X
∂Ej ¯¯
W2 = − ·
Qij
6
∂xi ¯
i,j
0
Beispielsweise gilt für Systeme mit Rotationssymmetrie bezüglich z
Z
¡ 2
¢
Qzz =
3z − r2 %(~r) dV
V
Beispiel:
i.) Zigarre“:
”
ii.) Oblate“:
”
µ
¶2
4
a+b
2(b − a)
4
·z·
·
= · z · hRi2 · hδi
5
2
a+b
5
Für δ > 0 handelt es sich um eine Zigarre, bei δ = 0 liegt eine Kugel vor und bei δ < 0 eine Oblate.
Qzz =
2.4.6
Parität und Isospin
A.) Parität:
Hierbei handelt es sich um die Symmetrie der Wellenfunktion unter räumlicher Spiegelung am Ursprung.
P sei der Paritätsoperator und Π dessen Eigenwert. Dann gilt:
P ψ(~r) 7→ ψ(−~r) = Πψ(~r)
Führt man diese Operation zweimal hintereinander aus, so ändert sich nichts:
P 2 ψ(~r) = Π2 ψ(~r) = ψ(~r)
Damit muß auf jeden Fall Π = ±1 gelten. Betrachten wir beispielsweise die Wellenfunktion eines Teilchens
im Zentralpotential:
½
0, 2, 4, . . . Π = +1
ψ(~r) = Rnl (r) · Ylm (θ, φ) mit l =
1, 3, 5, . . . Π = −1
Man benutzt folgende Konvention:
p, n, e− Π = +1
p, n, e+ Π = −1
26
2.5. ISOSPIN
Beispiel: Parität des π−
Wir beobachten die Reaktion π− + d 7→ n + n, wobei das π− aus einem u und einem d besteht.
i.) Pion wird eingefangen und formt ein Atom im Grundzustand l = 0
I = 1, l = 0
Π(π) = +1 = Π(d) · Π(π− ) = Π(n) · Π(p) · Π(π− ) = 1 · Π(π− )
ii.) Betrachtung des nn-Systems
Es gilt für den Gesamtdrehimpuls I = 1. Folgende Möglichkeiten gibt es dann:
Snn = 1 l = 0
Snn = 1 l = 1
Snn = 1 l = 2
Snn = 0 l = 1
Beide n sind bekannterweise Fermionen. Deren Gesamtwellenfunktion muß antisymmetrisch sein.
Daraus folgt Snn = 1 (symmetrisch) und l = 1 (antisymmetrisch). Daraus folgt weiter:
Π(nn) = Π(n) · Π(n) · Π(ψ) = +1 · (+1) · (−1) = −1 = Π(π− )
2.5
Isospin
Wegen der Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte und da m(p) ≈ m(n) gilt für das Nukleon:
T (p) = 12 T3 = + 12
T (n) = 12 T3 = − 12
¡
¢
Beim Pion gilt m(π+ ) = m(π− ) ≈ m(π0 ) = O 140 MeV
.
c2
+
T (π) = 1 T3 (π ) = +1
T3 (π0 ) = 0
T3 (π− ) = −1
Beispiel:
p + p 7→ |{z}
d + |{z}
π+
|{z} |{z}
1
2
0
1
2
π0
p + n 7→ |{z}
d + |{z}
| {z }
0 oder 1
0
σ1 = 2σ2
1
σ2
1
Es gilt damit 50% T (p + n) = 0 und 50% T (p + n) = 1.
2.6
Schalenmodell
U Schalenmodell: Vorhersage der inneren Eigenschaften (Momente, I, EB )
U Experimentelle Hinweise: Stabilität von Kernen mit magischen“ Zahlen N oder Z = 2, 8, 14, 20, . . ..
”
2.6.1
Potentiale
Ein Hinweis auf die Form der Potentiale gibt die Dichteverteilung. Ansatz:
U Jedes Nukleon bewegt sich im unabhängig in einem mittleren Potential.
U Reichweite der Kernkraft ≤ R0
27
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
Betrachten wir die Bewegungsgleichung:


A
A
2
X
X
X
− ~ 4i +
Hi ψ(~r1 , ~r2 , . . . , ~rA ) =
Vij (~ri − ~rj ) ψ(~r1 , . . . , ~rA ) = Eψ(~r1 , . . . , ~rA ) mit ψ = A (Πi ψi (~ri ))
2mi
i
i
i<j
Es gilt die Eigenwertgleichung Hi ψi = Ei ψi und
X
Vij ist das Potential. Wir berechnen die Lösung numerisch
i<j
(Hartee-Fock-Verfahren). Dazu machen wird zur Lösung der Gleichung folgenden Näherungsansatz:
¸ X
X
X
X · ~2
V (~rij ) −
Vi (~ri )
H≡
Hi =
−
4i + Vi (~ri ) +
2mi
i<j
i
i
i
|
{z
}
VR ≈0Restliche
Wechselwirkung
i.) Harmonischer Oszillator in drei Dimensionen:
¶
µ
¢
r2
m ¡
Vi (r) = −V0 1 − 2 = ω 2 r2 − R02
R0
2
Dessen Energieeigenwerte ergeben sich durch:
µ
EN
3
= ~ω N +
2
¶
− V0 für N = 2(n − 1) + l wobei n = 1, 2, . . . ; l = 0, 1, 2, . . .
Dies ist ein guter Ansatz für leichte Kerne wie beispielsweise 42 He,
16
8 O
und
40
20 Ca.
28
2.6. SCHALENMODELL
ii.) Kastenpotential:
~
iii.) Woods-Saxon-Potential mit ~l-S-Kopplung:
V (r) = −
µ
¶
V0
Ze2
¡ r−R0 ¢ − C~l · ~s +
4πε0 r
1 + exp
a
|
{z
}
Für Protonen
Zusammenfassung:
U Aufschluß über die Form des Potentials geben Streuexperimente
U Schalenmodell: Magnetische Momente, Kernspin, Korrekturen zu EB
29
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG IN DIE KERNPHYSIK
30
Kapitel 3
Kernumwandlungen
Allgemein hat man beobachtet, daß sich chemische Elemente durch Aussendung von Strahlung umwandeln.
U α-Zerfall:
α
A
→ A−4
ZX −
Z−2 Y
+ 42 He (Starke Wechselwirkung, Tunneleffekt)
U β-Zerfall:
e∓ A
A
−→ Z±1 Y
ZX −
+ e∓ + νe (νe ) (Schwache Wechselwirkung)
U γ-Zerfall:
A ? γ A
→ ZX
ZX −
+ γ (EM)
1.) Dipol-Strahlung
U l = 1, m = 0:
|x01 |2 ∼ sin2 ϑ
U l = 1, m = ±1:
31
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
|x1±1 |2 ∼ (1 + cos2 ϑ)
2.) Quadrupol-Strahlung
U l = 2, m = 0:
|x02 |2 ∼ sin2 ϑ cos2 ϑ
U l = 2, m = ±1:
|x12 |2 ∼ (1 − 3 cos2 ϑ + 4 cos4 ϑ)
U l = 2, m = ±2:
32
3.1. RADIOAKTIVITÄT
|x22 |2 ∼ (1 − cos4 ϑ)
3.1
Radioaktivität
3.1.1
Zerfallsgesetz
Die Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt sich durch:
P = const. · ∆t =
∆N
N
Schreiben wir diese Beziehung differentiell: C · dt =
1.Ordnung für N (t). Durch Integration ergibt sich:
dN
N .
Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung
Ct + D = ln(N ) ⇒ N (t) = N0 exp (−λ · t)
λ ist die sogenannte Zerfallskonstante.
A(t) =
dN
1 Zerfall
= −λN (t), [A(t)] = Becquerel =
dt
Sekunde
A nennt man Aktivität.
Beispiel:
1.) Umwelt:
a.) Granit: A ∼ 1000 Bq
kg
b.) Tonschiefer: 700 Bg
kg
c.) Gartenerde: 400 Bq
kg
33
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
2.) Haus:
Bq
a.) Radon in Luft: 50 m
3
b.) Leitungswasser: 1 bis 30 Bq
l
c.) Kalium im Körper: 4500 Bq
3.1.2
Wichtige Größen
Man wird auf folgende wichtige Begriffe immer wieder stoßen:
U Halbwertszeit: t1/2 =
U Lebensdauer: τ =
1
λ
U Halbwertsbreite: Γ =
3.1.3
ln 2
λ
~
= ~λ
τ
α-Zerfall
Es besteht folgende Voraussetzung:
!
Q = [M (Z, A) − M (Z − 2, A − 4) − Mα ] c2 > 0
Eα =
Q
1+
Mα
M (Z−2,A−4)
Es besteht folgender
X
t1/2
212
Po 0, 3 µs
238
Pu 877 a
238
U
4, 5 · 109 a
Zusammenhang zwischen t1/2 und Eα :
Eα
8, 8 MeV
5, 6 MeV
4, 3 MeV
Beobachtungen:
U Linienspektrum ⇒ 2-Körperzerfall
U Zusammenhang ln λ = A + B log Rα = A0 + B 0 log Eα
Betrachten wir an dieser Stelle das Geiger-Nutall-Gesetz (1911):
Gamov, London und Henry haben im Jahre 1928 dieses Verhalten interpretiert:
i.) Im Mutterkern bildet sich ein α-Zustand.
34
3.1. RADIOAKTIVITÄT
Die freiwerdende Bindungsenergie ist Ekin,α . Es entsteht ein gebundenes (Y+α)-System; ein spontaner
Zerfall findet dann statt, wenn Eα > VC (R0 ). Das Coulombpotential an der Stelle R0 ist gegeben durch:
VC (R0 ) =
2 · Zy · e 2
4πε0 · R0
Beispielsweise kann folgender Zerfall stattfinden:
238
92 U
7→ 234
90 Th + α
Speziell für Uran gilt also:
VC =
1, 44 MeV · fm · 90 · 2
√
= 35 MeV À Eα
1, 2 · 3 234 fm
Ein spontaner Zerfall ist also eigentlich nicht möglich.
ii.) α-Teilchen tunnelt durch Coulombschwelle:
U Eindimensionale Stufe:
Man vergleicht nun |ψin |2 mit |ψout |2 , berücksichtigt also die Stetigkeit der Wellenfunktion und der
Ableitung der Wellenfunktion. Damit erhält man für die Transmissionswahrscheinlichkeit:
·
¸
2p
T ∼ exp −
2m (V0 − Eα ) · d
~
}
Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Teilchen eine eindimensionale Stufe durchtunnelt“.
”
U Dreidimensionale allgemeine Schwelle:
35
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
Man nähert das Potential durch Stufen an und erhält damit:


ZRCp
2
T ∼ exp −
2m (V (r) − Eα ) dr
~
R0
Für V (r) wird beim α-Zerfall dann die Coulombschwelle eingesetzt.
U α-Zerfall:
Tα = exp(−G) mit G =
2
~
r
2m 2ZY · e2
·
· F (R0 , RC )
Eα
4πε0
G ist der sogenannte Gamov-Faktor.
Beispiel:
i.)
212
84 Po:
Tα = 10−13 , t1/2 = 0, 3 µs, Eα = 8, 8 MeV
ii.)
144
66 Nd:
Tα = 2 · 10−42 , t1/2 = 2 · 1015 a, Eα = 1, 8 MeV
c.) Stoßfrequenz:
f=
Vα
1
≈ 1020 bis 1021
2R0
s
Damit ergibt sich weiter:
λ = λα · T · f
µ ¶
1
1
ln(t1/2 ) ∝ ln
∝G∝ √
λ
Eα
3.1.4
β-Zerfall
Beobachtung:
Im Jahre 1914 wurde von Chadwick eine e+ /e− -Abstrahlung mit kontinuierlichem Spektrum beobachtet.
Dies war damals ein Mysterium:
U Wo kommen die e+ /e− her?
U Warum handelt es sich um ein kontinuierliches Spektrum?
Diskussion:
Man nahm an, daß Energie- und Impulserhaltungssatz nicht gelten.
U Betrachten wir folgendes Beispiel:
β1
212
83 Bi
−−−−→
212
84 Po
208
81 Ti
−−−−→
208
82 Pb


α2 y
β2

α
y 1
£ ¡
¢
¡208 ¢
¤ 2
Emax (β) + E(α) = 11, 2 MeV = M 212
83 Bi − M 82 Pb − mα − me− c
36
3.1. RADIOAKTIVITÄT
U Falls der β-Zerfall ein 2-Körperzerfall ist, erwarten wir:
Für ug-Kerne (I = 12 ) −
→ gu (I = 0, 1), da e+ /e− den Spin
β
1
2
besitzt. Dies wurde jedoch nie beobachtet.
Deshalb kam von Pauli im Jahre 1931 folgender Vorschlag: Beim β-Zerfall handelt es sich um einen
”
3-Teilchenzerfall mit einem Neutrino ( kleines Neutron“) ν.“ Die Eigenschaften dieses ν sind folgende:
”
A
∓
â Z = 0, da A
Z X 7→ Z±1 Y + β + ν
â Masse sehr klein
Es gilt mνe .
2 eV
c2 .
Elementarer Prozeß:
n 7→ p + e− + νe + 0, 8 MeV (τn = 900 s) Freie Neutronen
τp > 1033 Y
3.1.5
β− und β+ -Zerfälle im Kern
A
−
1.) β− : A
Z X 7→ Z+1 Y + β + νe
∆E = [(M (Z, A) − Z · me ) − (M (Z + 1, A) − (Z + 1)me ) − me ] c2 =
!
= [M (Z, A) − M (Z + 1, A)] c2 > 0
mν = 0
2.) β+ : Zerfälle
A
ZX
+
7→ A
Z−1 Y + β + νe
∆E = [(M (Z, A) − Zme ) − M (Z − 1, A) − (Z − 1)me − me+ ] c2 =
!
= [M (Z, A) − M (Z − 1, A)] c2 − 2me c2 > 0
37
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
3.) Elektroneinfang (Electron capture EC)
Dieser findet statt, wenn der β+ -Zerfall energetisch nicht möglich ist.
A
ZX
EC
+ e− −−→ A
Z−1 Y + νe
Das Elektron stammt aus der Atomhülle. Ein fundamentaler Prozeß ist e− + p 7→ n + νe .
∆E = [(M (Z, A) − Zme ) + me − (M (Z − 1, A) − (Z − 1)me )] c2 = [M (Z, A) − M (Z − 1, A)] c2
Betrachten wir folgendes Beispiel aus der Natur:
7
EC
Be −−→ 7 Li + 8, 6 keV
53 d
Ein 7 Be-Kern ohne Elektronenhülle ist stabil.
3.1.6
Indirekter Neutrino-Nachweis
Betrachtet wird der K-Einfang des
37
37
Ar (Rodebark, Allen 1952).
EC
Ar −−→ 37 Cl + νe + 0, 82 MeV
| {z }
35d
Q
Kinematik:
p~2 =
37
Ar ist in Ruhe. Daraus ergibt sich Eν + ECl = Q und p~ν + p~Cl = 0.
¢ ´
¢
1 ¡
1 ³ 2 ¡
2 2
= 2 Ek2 + 2Ek · m0 c2
E
−
m
c
0
2
c
c
Wir können folgende Näherungen verwenden:
p~2Cl ≈
1
1
· 2ECl · mCl c2 , p~2ν ≈ 2 Eν2
c2
c
(mν ≈ 0)
Hieraus ergibt sich weiter:
ECl =
Q2
= 9, 7 eV
2mCl c2
38
3.1. RADIOAKTIVITÄT
+
Es findet folgender Prozeß statt:
1.)
37
EC
A −−→ 37 Cl + νe
2.) Auger-Elektron:
Auger-Elektron
3.) Cl+ −−−−−−−−−−→ Gitter
∆t 7→ ECl = 9, 7 eV
4.) Doppelter β-Zerfall
A
ZX
−
7→ A
Z+2 Y + 2e + 2νe
Es handelt sich um gg-Kerne, welche nicht in uu-Kerne zerfallen können.
39
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
Beispielsweise gilt:
76
Ce 7→ 76 Se + 2e− + 2νe
5.) Sonderfall: ν-loser doppelter β-Zerfall
A
ZX
−
7→ A
Z+2 Y + 2e
Die Erklärung ist folgende:
Das Problem ist, daß die Helizität nicht erhalten ist (∆L = 2).
3.2
Fermi-Theorie des β-Zerfalls (33/34)
a.) Ausgangspunkt Fermis Goldene Regel
Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Zuständen |ii und |ji ist gegeben durch:
W =
dn
2π 2
G |M |2
~ F
dE0
GF ist die sogenannte Kopplungskonstante und M = hf |H|ii das Matrixelement der beiden Zustände.
dn
2
2
dE0 ist die Zustandsdichte. Für B · q ¿ mW gilt:
40
3.2. FERMI-THEORIE DES β-ZERFALLS (33/34)
|M |2 ≈ 1
für
|M |2 ≈ 3
für
GF = 1, 16 · 10−5
↑ 7→ ↑ + ↓ ↑
n 7→ p + e− ν
↑ 7→ ↓ + ↑ ↑
(Fermi-Übergang)
(Gamov-Teller-Übergang)
1
mit ~ = c = 1
GeV2
b.) Phasenraum: X 7→ Y + e− + νe
Es gilt Ee + Eν = E0 (Emax ), denn EY ¿ Ee , Eν . Daraus ergibt sich (mit vν ≈ c):
pν =
1
1
(E0 − Ee ) ; dpν = dE0
c
c
Die Anzahl der Teilchen dn ergibt sich aus:
dn =
Volumen des Ortsanteils · Volumen des Impulsanteils
Volumen in Phasenraum
=
Volumenelement
(∆x∆y∆z) · (∆px ∆py ∆pz )
Für ein Teilchen besitzt das Volumenelement (∆x · ∆y · ∆z) · (∆px · ∆py · ∆pz ) im Phasenraum die Größe
h3 . Das Volumen des Ortsanteils ist V , das des Impulsanteils ist eine infinitesimale Kugelschale, womit
sich für dn ergibt:
dne =
V · p2e
V · 4πp2e dpe
dpe =
3
2
2~ π
h3
Damit folgt weiterhin:
dne · dnν
16π 2 · p2e p2ν
d2 n
≡
=V2·
dpν dpe
2
2
dE0
dE0
h6
16π 2
dne
2
= V 2 · 6 3 p2e (E0 − Ee ) dpe
dE0
h c
2
Es gilt W = n(pe ) dpe ∝ p2e (E0 − Ee ) dpe .
U Berücksichtige Coulombwechselwirkung ·F (z, pe )
U Berücksichtige Neutrinomasse: Zusätzlicher Faktor
s
µ
1−
mν c2
E0 − Ee
¶2
Aus der Abweichung der Geraden läßt sich also eine Neutinomasse mν < 3 eV (Mainz) bestimmen.
Das Forschungszentrum Karlsruhe (Katrin) hat mν . 0, 2 eV bestimmt.
41
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
3.3
Experimenteller Nachweis des Neutrinos
Das Neutrino wurde erstmals von Reines und Cowan nachgewiesen (1953-1959: Physical Review 113, 273
(1951)).
Es finden dabei folgende Prozesse statt:
νe + p 7→ n + e+
Und außerdem:
e+ e− 7→ γγ (je 511 keV)
n + 114 Cd 7→ 115 Cd + nγ (9, 1 MeV)
Es gilt Ṅγ ≈ h3 .
σ(νe p 7→ ne+ ) =
Ṅγ
= 10−43 cm2
L·ε
L ist die Akzeptanz und ε die Effizienz. MFW für MeV-Neutrinos: 100 ly Wasser (Bodenstedt: Experimente
der Kernphysik). Eine interessante Website über Neutrinos ist wwwlapp.im2p3.fr/neutrinos/.
3.4
Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung
Erinnerung: Naturgesetze sollten P-Symmetrie aufweisen. S.Wu hat im Jahre 1956 die β− -Emission von
studiert:
60
Co
42
3.4. PARITÄTSVERLETZUNG IN DER SCHWACHEN WECHSELWIRKUNG
Man erwartet für die Intensität:
i.) Ausrichtung des
60
Co in H
~
Es gilt T ≈ 0, 01 K und damit kT < µ
~ I · B.
ii.) Kontrolle der Spin-Ausrichtung:
43
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
iii.) Zähle e− in Abhängigkeit von T
1.) Beobachtung:
Die e− werden bevorzugt entgegen des
60
Co-Spins ausgesandt: e−
L , νR
2.) Helizität:
p~ · ~s
−v
=
<0
|~
p| · |~s|
c
p~ · ~s
U Rechtshändig: H(νe ) =
= +1 > 0
|~
p| · |~s|
U Linkshändig: H(e− ) =
Der Hintergrund ist, daß die schwache Wechselwirkung (W, Z-Bosonen) nur zwischen linkshändigen Teilchen
und rechtshändigen Antiteilchen wirkt. (Vermutung: Die Natur ist symmetrisch bei hohen Energien.)
3.4.1
γ-Zerfall
Hierbei handelt es ich um die Abregung angeregter Kerne:
A ?
ZX
7→ A
ZX + γ
Betrachten wir folgende Sonderfälle:
1.) Innere Konversion:
A ?
ZX
+
−
7→ A
ZX + e
A ?
ZX
+
−
ist das angeregte Atom, A
Z X das Restatom und e das Auger-Elektron.
Dieser Vorgang ist typisch, wenn die freie γ-Emission verboten ist. Betrachten wir als Beispiel folgende
Reaktion:
?
72
32 Ge
−
(I = 0) 7→ 72
32 Ge (I = 0) + e c + 691 keV
2.) Innere Paarbildung:
Falls ∆EB > 2me c2 ist, findet die Emission von e+ e− -Paaren statt. Betrachten wir das Beispiel:
16 ?
8 O
−
+
7→ 16
8 O + e + e + 6, 06 MeV − 1, 04 MeV
44
3.4. PARITÄTSVERLETZUNG IN DER SCHWACHEN WECHSELWIRKUNG
Dies besitzt folgende Anwendung: Resonanzabsorption von γ-Strahlung = Kernfluoreszenz (MößbauerEffekt)
Dieser Vorgang ist jedoch in der Kernphysik nicht möglich!
i.) Rückstoß des Kerns:
Er =
Eγ2
1
mA vr2 =
2
2mA c2
Eγ0 = E0 − ER
Betrachten wir als Beispiel 57 Fe: E0 = 14, 4 keV (τ = 1, 4 · 10−7 s). Daraus folgt Γ = 4, 7 · 10−9 eV.
Außerdem ist Er = 2 · 10−3 eV.
ii.) γ0 + A
Z X:
Der Rückstoß des absorbierenden Kerns ist Er .
Wir berücksichtigen die thermische Bewegung:
r
∆Ek = E0 ·
2kT
ÀΓ
mc2
45
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
3.4.2
Mößbauer-Effekt
Einen Artikel hierzu findet man im Journal der Naturwissenschaften 45 (1958), 538.
Einbindung in Kristallgitter: Gitterschwingungen ⇒ Rückstoßenergie gequantelt
Das ganze Gitter trägt damit den Rückstoß.
Experiment: Abtastung einer natürlichen γ-Linie mit Hilfe des Dopplereffekts
U Erzeugung der γ-Quelle
191
β
Os −−→ 191 Ir? −−→ 191
5·10−10 s Ir + 42 keV + 129 keV
14 h
2γ
(Aus Neutronenstreuung) Es gilt Eγ = 129 keV und ER = 4, 6 · 10−2 eV.
U Anwendungen
â HFS-Analysen
â Isomerieverschiebungen
â Relativistische Effekte
46
3.5. EXPERIMENT VON POUND, REBKA (1960) PRL 4, 337
3.5
Experiment von Pound, Rebka (1960) PRL 4, 337
Gewicht von Lichtquanten
mγ =
hν
c2
(Träge Masse von Photonen=schwere Masse)
pγ = mγ c =
hν
c
Bei Fall“ im homogenen Gravitationsfeld ergibt sich:
”
h·ν
h · ∆ν
∆Eγ = mγ · g · ∆h = 2 · g · ∆h =
c
c
â Quelle:
57
Fe : hν0 = 14, 4 keV
â Erwarte:
∆hν =
14, 4 keV · 9, 81 sm2 · 20 m
9 · 1016
m2
s2
= 3, 1 · 10−11 eV
∆hν
= 2 · 10−15
hν0
3.5.1
Anwendung der Radioaktivität/Dotierung
Interessant für die Archäologie ist die
14
C-Methode.
i.) In Atmosphäre:
14
N + p 7→ 14 C + n
Das p stammt aus der Höhenstrahlung.
14
Co : τ1/2 = 5730 a
47
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
ii.) Aufnahme des
14
C (zusammen mit
12
C) in organischen Substanzen
iii.) Nach Ende der Stoffaufnahme
14
C 7→ 13 C + e− + ν + 155 keV
R≡
N (14 C)
N (12 C)
Dieses R ändert sich und damit kann man Rückschlüsse auf das Alter der Probe schließen. (R0 =
1, 2 · 10−12 vor 1950)
3.6
Kernspaltung
3.6.1
Geschichte
U 1938/39: Zufällige Entdeckung von Otto Hahn und Straßmann
U 1939: Korrekte Interpretation von L. Meitner und Fritsch
U 1942: Kontrollierte Kernspaltung durch Fermi in Chicago
U 1945: Atombomben 6., 9.August (Hiroshima und Nagasaki)
3.6.2
Voraussetzung für spontane Spaltung
U Q = M (Z, A) − M (Zx , Ax ) − M (Zy , Ay )
U Energiegewinn durch Deformation
Form
Volumen
V =
4 3
πR
3
V =
4
πab2
3
³
R
ε´
≈R 1−
2
1+ε
ε ist der sogenannte Deformationsparameter. Für V = const. gilt:
µ
¶
2 2
2
O = 4πR 1 + ε + . . .
5
Radius/Halbachsen
R
a = R(1 + ε), b = √
â Oberflächenenergie:
¶
µ
2
2 2
3
ES = −aS · A · 1 + ε + . . .
5
â Coulombabstoßung
µ
¶
Z2
1 2
EC = −aC · 1 · 1 − ε . . .
5
A3
·
¸
2
1
Z2
aC · Z 2
Z2
!
∧
3
∆E =
aC · 1 − 2aS · A ε2 = 0 = xS =
> 51
1 > 1 also
5
A
A3
2aS · A 3
Dies gilt für spontane Spaltung. xS ist der sogenannte Spaltparameter.
48
3.7. KERNKRAFTWERKE
Beispiel aus der Natur:
238
92 U
:
Z2
= 35, 6; ε = 0, 3, xS = 0, 7
A
Die Halbwertszeit der Spaltung liegt bei 1016 a durch Tunneleffekt. Aber T1/2 für α-Zerfall ist 4, 5 · 109 a.
Spaltung durch Tunneleffekt: T1/2 = 1016 a, Spaltbarriere: 6, 3 MeV
3.6.3
Uranspaltung
Die Spaltung von Uran wird durch Elektroneneinfang ausgelöst.
238
U + ntherm 7→ 239 U + 4, 8 MeV
235
U + ntherm 7→ 236 U? + 6, 4 MeV ⇒ X? + Y? + νe + kn + 204 MeV
Hierbei entstehen langlebig radioaktive Produkte wie beispielsweise 36 Kr, 36 Ba und zwei bis vier Neutronen.
Generell sind 300 Kombinationen bekannt. Bevorzugt ist hierbei die asymmetrische Spaltung:
Beispiel eines Fragmentes:
137
53 I
β
β
β
24 s
3,8 min
30 a
137
137
−−→ 137
54 Xe −−−−→ 55 Cs −−→ 56 Ba
3.7
Kernkraftwerke
1.) Energiebilanz bei
235
U:
a.) Spaltfragmente: 167 MeV
b.) Spaltneutronen: 5 MeV
c.) Prompte γ-Strahlung: 6 MeV
d.) β- und γ-Strahlung der Fragmente: 14 MeV
e.) ν: 12 MeV
49
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
Die Energie der ersten vier Punkte läßt sich nutzen. Aus 1 g 235 U erhält man beispielsweise 2 MWh
thermische Energie. Im Vergleich dazu erhält man bei der Verbrennung von einem Gramm Kohlenstoff
eine Energie von 8 Wh.
2.) Betrieb durch Kettenreaktion:
n + 235 U 7→ 263 U? 7→ X + Y + 2 bis 4 n (+νe ) 7→ 236 U + γ
Oder man maximiert σ(Spaltung), damit der Kern durch 1 n gespaltet wird und > 1 Neutronen freisetzt.
Die Energie der Neutronen, welche aus der Spaltung freigesetzt werden, sieht folgendermaßen aus:
hEn i = 1, 9 MeV
Nebenbemerkung: Die Kettenreaktion ist auch ohne Moderation möglich, wenn m(235 U) > 50 kg. Man
bezeichnet diese Grenzmasse als kritische Masse.
3.7.1
Reaktortypen
1.) Leichtwasser-Reaktor:
Als Moderator und Kühlmittel wird H2 O eingesetzt. Damit ist ein relativ kompakter Reaktorkern (kurze
Bremslänge) möglich. Ein solcher Reaktor ist billig, aber das hohe σ(n, γ) erfordert die Anreicherung von
235
U auf ≥ 3%. Es gibt verschiedene Varianten dieses Reaktors:
a.) Druckwasser-Reaktor (Beispielsweise Biblis, Phillipsburg):
In einem solchen Reaktor steht Wasser unter einem Druck von etwa 155 bar. Somit ergibt sich eine
Siedepunktsverschiebung auf ≈ 320◦ C. Der Reaktor besitzt außerdem zwei Wasserkreisläufe.
b.) Siedewasser-Reaktor (Beispielsweise Phillipsburg):
Hier wird Wasser verdampft, wobei die Dampftemperatur einen Wert von ≈ 290◦ erreicht und
≈ 70 bar Druck herrschen kann.
2.) Schwerwasser-Reaktor:
Als Moderator nimmt man schweres Wasser, nämlich D2 O (≈ 0, 015% in natürlichem Wasser). Damit ist
der Reaktorkern ziemlich groß, aber:
U Der Reaktor läuft prinzipiell ohne
Indien, Argentinien, usw.
235
U-Anreicherung. Man findet diesen Typ häufig in Kanada,
U Der Betrieb ist bei sehr niedrigen Temperaturen möglich; die Anlagenkosten sind relativ hoch.
50
3.8. KERNFUSION
3.) Graphit-moderierte Reaktoren:
Diese können grundsätzlich ebenfalls mit Natur-Uran betrieben werden. Sie besitzen jedoch eine relativ
geringe Effektivität, große Volumina und verursachen darüber hinaus hohe Kosten.
4.) Brutreaktoren:
Sie produzieren mehr Brennstoff als sie verbrauchen. Man unterscheidet nach den ablaufenden Reaktionen
zwei Typen:
a.) Erster Typ: Schneller Brüter (Kalkar, Superphénix)
238
239
92 U(n, γ)92 U
2β−
−−−−−−−→ 239
94 Pu(n, f ) + 2 n
23 min, 2,3 d
Der Brutstoff ist Natur-Uran 238
92 U und als Brennstoff verwendet man Plutonium (≈ 20%). Der
Verbrauch des Brennstoffs wird permanent durch die Brutreaktion am 238 U nachgeliefert; es ist
sogar ein Überschuß möglich (≈ Faktor 2 in sechs bis acht Jahren)! Das Uran wird etwa 60-fach
besser ausgenutzt; das allein bestimmt aber nicht die Wirtschaftlichkeit.
Da beim Schnellen Brüter“ schnelle Neutronen zur Spaltung verwendet werden, ist kein Moderator
”
notwendig bzw. zulässig. Die Steuerung läuft beispielsweise über B4 C-Stäbe.
â Extrem hohe Energiedichte im Reaktorkern!!
â Flüssiges Natrium wird zur Kühlung verwendet: Tm = 97◦ C, Tv = 900◦
Dieser Typ Reaktor ist technologisch schwierig handzuhaben (wegen Brandgefahr, chemisch aggressivem Natrium, usw.). Der α-Strahler Plutonium besitzt eine Halbwertszeit von 24000 Jahren.
Durch Inhalation wirkt dieses radiotoxisch!
b.) Zweiter Typ: Hochtemperatur-Reaktor (HTR) (Hamm-Uentrop)
2β− 233
232
233
−−→ 92 U(n, f )
92 Th(n, γ)90 Th −
+ 2, 5 n
Die Neutronenreproduktivität ist auch für thermische Neutronen ausreichend, Deshalb wird ein
Moderator verwendet. Es wird mit He-Gas bei circa 700 bis 950◦ C gekühlt, womit sich ein hoher
Wirkungsgrad ergibt.
3.8
Kernfusion
U Big Bang
U Sterne, Supernovae
U Wasserstoff-Bombe
U Reaktionen
3.8.1
Energiegewinnung
Betrachten wir den Deuterium-Tritium-Prozeß:
½
3, 5 MeV
für α
d + t 7→ α + n +
14, 1 MeV für n
In Wasser befindet sich 0,015% Deuterium, welches mittels Ionisation und Massenfilter aus dem Wasser extrahiert werden kann. Tritium ist radioaktiv und kommt in der Natur nicht vor, womit es künstlich erzeugt
werden muß:
n + 63 Li 7→ 42 He + t (+4, 6 MeV)
Die Halbwertszeit von Tritium ist 12, 3 a. Die Voraussetzungen für kontrollierte Kernfusion sind:
U kT (d, t) > 10 keV (T > 108 K)
Nur dann kann die Coulomb-Barriere überwunden werden (σ(t, α)).
51
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
U Fusionsrate/Volumen
Ṅ = nd · nt · hv · σ(t, dt)i
n ist die Dichte des Deuterium bzw. Tritiums und hv · σ(t, d) die relative Geschwindigkeit. Genau dieses
Fusionsrate muß eine bestimmte Größe haben:
Ṅ =
n2
hv · σ(t, d)i mit n = nd + nt = ne
4
U Leistungsdichte:
Man führt außerdem die Leistungsdichte ein:
Pd,t = Ṅ · Qd,t
Qd,t beschreibt die Aufheizung des Plasmas durch α und die Energie der Neutronen.
>
Pd,t ! PV = g · n2 ·
√
T
PV beschreibt die Verluste beispielsweise durch Bremsstrahlung der Elektronen.
U Zündparameter:
Z ≡ n · τE · kT
τE ist die Einschlußzeit. Für Z > 1021
keV·s
m2
(⇒ Fusion).
Hierbei gibt es folgende Reaktortypen:
a.) Magnetischer Einschluß:
Man verwendet folgende Ansätze:
U Stellerator
U Tokamak (52 Tamm, Sacharov)
b.) Beispiel: JET
n = 1020
1
, kT = 15 keV, τE > 1 s
m3
Damit erhält man Z = 1, 5 · 1021
keV·s
m3
und eine Leistung von 1, 7 MW.
b.) Laser-induzierte Fusion (Inertialfusion):
Laser-Beschuß von Pellets“
”
U Erhitzung auf 108 K innerhalb von 10−8 s
U Abdampfung des Glases
U Verdichtung des Deuteriums (d) und Tritiums (t) durch Stoßwelle (×100)
52
3.8. KERNFUSION
Beispiel: Shiva-Nova-Laser im Livermore Lab
Mit md,t > 1022
3.8.2
1
cm3 ,
τE > 10−8 s und T > 108 K ergibt sich Z > 1022
keV·s
m3 .
Energiegewinnung in Sternen
Betrachten wir beispielsweise unser Zentralgestirn, also die Sonne. Die Leistung P der Sonne auf der Erde
6
beträgt 1, 4 kW
m2 (Solarkonstante). Mit dem Abstand A der Sonne zur Erde, also 1 AE = 150 · 10 km erhält man
1
23
6
nach dem r2 -Gesetz PSonne = 4 · 10 kW. Des weiteren gilt ∅Sonne = 1, 4 · 10 km und T = 5800 K.
1.) Aufbau der Sonne:
g
Für den Sonnenkern gilt T ≈ 15, 6 · 106 K, P ≈ 1011 bar und % ≈ 141 cm
3.
2.) Energieerzeugung:
a.) pp-Zyklus (98,4%)
â
â
â
â
p + p 7→ d + e+ + νe + 1, 19 MeV
p + p + e− 7→ d + νe + 1, 44 MeV
d + p 7→ 3 He + γ + 5, 49 MeV
3
He + 3 He 7→ 4 He + p + p + 12, 85 MeV
Die beiden bei der vierten Reaktion erzeugten Protonen können bei den ersten beiden Prozessen
∧
MeV
frei. Schauen wir uns
mitwirken. Bei 4 p 7→ He wird eine Energie von 26, 2 MeV = 6, 5 Nukleon
außerdem das Prozeßschema an:
53
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
p + p 7→ d + e+ + νe
@
99,75% @
@
R
p + e− + p 7→ d + νe
¡
¡ 0,25%
ª
¡
d + p 7→ 3 He + γ
¡
¡
ª
¡
3
He + 3 He 7→ 4 He + 2 p
@
@
R
@
3
He + 4 He 7→ 7 Be + γ
¡
¡
ª
¡
7
Be + e− 7→ 7 Li + νe
p − p I (≈ 87%)
7
@
@
R
@
7
Be + p 7→ 8 B + γ
?
Li + p 7→ 2 4 He
8
?
B 7→ 8 Be? + e+ + νe
p − p II (≈ 13%)
8
?
Be? 7→ 2 4 He
p − p III (≈ 0, 017%)
Die letzten drei Reaktionen auf der rechten Seite bezeichnet man als 8 B-Zyklus. Der totale Neutrinofluß auf der Erde ergibt sich aus:
φν =
LSonne
νe
≈ 6, 6 · 1010
2
13, 1 MeV · 4π · (1 AE)
cm2 · s
b.) CNO-Zyklus (1,6%)
â
â
â
â
12
C + p 7→ 13 N + γ, 13 N 7→ 13 C + e+ + νe
13
C + p 7→ 14 N + γ
14
N + p 7→ 15 O + γ, 15 O 7→ 15 N + e+ + νe
15
N + p 7→ 12 C + 4 He, 12 C + 4 p 7→ 12 C + 4 He
Auch hier das Prozeßschema:
12
13
−−−−→
C
N+γ
+p
13
?
C + e+ + ν
@
+p @
@
R
14
N+γ
@
+p @
R
@
15
←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+p
Es entsteht ein µe pro 13, 1 MeV erzeugter Energie.
12
C + 4 He
15
O+γ
?
N + e+ + ν
Die Gesamtstrahlung der Sonne ergibt sich aus:
a.) 95% Photonen: 2 eV
b.) 5% Neutrinos: 100 bis 400 keV
3.9
Wechselwirkung von Strahlung mit Materie
Energieverlust/Absorption von Strahlung findet statt durch:
54
3.9. WECHSELWIRKUNG VON STRAHLUNG MIT MATERIE
U Elektromagnetische Wechselwirkung mit Atomhülle oder -kern (e+ , e− , µ+ , µ− , (ch± ), γ)
U Hadronische Wechselwirkung mit Atomkern (h(π + , π − , p, n, p, n, K+ , K− , K0 ))
3.9.1
Energieverlust für geladene Teilchen
Der stattfindende Vorgang ist Ionisation. Dieser Prozeß wurde beschrieben durch:
U Klassisch: N.Bohr
U Quantenmechanisch: Bethe
}
U Modern: Allison, Cobb (Annual Review Nuclear Physics 30 (1988))
Das Ion erfährt die Coulombkraft von einem Hüllenelektron:
F~ =
Z · e2
· ~er
4πε0 · (x2 + b2 )
Damit ergibt sich eine Impulsänderung:
Z
Z
~
∆~
p = F dt = F~⊥ dt
Der Rest hebt sich weg aufgrund der Symmetrie des Problems.
µ
¶
Z
dx
1
~ ⊥ dx
weil dt =
∆~
p = · eE
v
v
Wir verwenden den Gaußschen Satz der Elektrodynamik:
Z
Z
Zi · e
! %
~
~
E dA = 2πb · E⊥ dx =
=
ε0
ε0
A
Damit ergibt sich die Impuls- und Energieänderung:
∆p =
(∆p)2
1
Zi · e 2
1
und ∆E =
·
=
·
4πε0
v·b
2me
8π 2 ε0 · me
µ
Zi · e2
v·b
¶2
55
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
Dies ist genau der Energieübertrag auf das Hüllenelektron im Abstand b. Für ne Elektronen pro cm3 folgt:
 b

µ
¶
Zmax
2
∆p
Zi2 · e4 · ne
~
v
bmax
dE = −
· ne · 2πb db dx =
ln
mit bmin =
, bmax =
2me
4πε20 · v 2 · me
bmin
me · v
ω
bmin
Die quantenmechanisch korrekte Formel lautet:
¶
· µ
¸
¡
¢
dE
Zi2 · e4 · ne
2me v 2
2
2
=−
· ln
− β ln 1 − β
dx
4πε20 · v 2 · me
hIi · (1 − β 2 )
hIi ist die mittlere Ionisationsenergie ∼ Z · 14 eV. Bei kleinen Geschwindigkeiten (nichtrelativistisch) gilt:
Z2
dE
∝%· i
dx
E0
Bei relativistischen Energien E0 ≈ 3mi · c2 gilt:
dE
MeV · cm2
≈ (1 . . . 2) · %
dx
g
Solche Teilchen sind minimal-ionisierend. Beispielsweise gilt für 1 cm H2 O:
dE
≈ 1, 5 MeV
dx
Bei hochrelativistischen Energien wir der relativistische Anstieg durch Polarisationseffekte im Medium gebremst. Wir wollen die mittlere Reichweite im Medium berechnen:
Z0 µ
hRi =
dE
dx
¶−1
E0
dE ≈
1
E02
·
mi · Zi2 %Abs
Eine der Anwendungen liegt in der Bestrahlung von Tumoren (Krebstherapie). Für den mittleren Energieverlust
ergibt sich:
Beispiel: Argon
¯
dE ¯¯
keV
= 1, 2
dx ¯w
cm
À
¿
keV
dE
= 2, 7
dx
cm
56
3.9. WECHSELWIRKUNG VON STRAHLUNG MIT MATERIE
3.9.2
Spezialfall e− , e+ in Materie
U Ionisation (Bethe-Bloch)
U Bremsstrahlung nach Ablenkung in Coulombfeld der Kerne
Klassisch gilt:
F
Zi · Z · e2 1
=
·
m
4πε0 · r2 m
µ
¶
m2p
dE ∧ Ie−
Z2 · Z2
∝
=
= 2 = 3 · 106
IStrahlung ∝ i 2
m
dt
Ip
me
¯
µ
¶
2
3
2
¯
4me · Z · α · (~c) · E
dE ¯
187
=
ln
∝ Z2 · E
1
dx ¯B
m2e · c4
Z3
a=
Aus − dE
dx =
(ultrarelativistisch)
E
x0
ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang:
µ
¶
x
E(x) = E0 · exp −
x0
x0 ist die sogenannte Strahlungslänge.
Beispiele:
Element
Al
Fe
Pb
3.9.3
x0
9 cm
1, 8 cm
0, 56 cm
Coulombstreuung
Betrachten wir die Rutherford-Streuung eines geladenen Teilchens an einem positiv geladenen Kern:
µ
¶
Zi · e 2 · Z
1
dσ
¡ ¢
=
·
dΩ
4πε0 · E
sin4 θ2
57
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
Bei der Vielfachstreuung ergibt sich:
µ
¶
r
1
θ2
21 MeV
x
· exp −
mit θRMS = √
P (θ) = √
·
2 · θRMS
x0
2π · θRMS
2·p·β·c
Beispiel:
Wir betrachten die Vielfachstreuung eines Protons mit p = 1 GeV
in 1 m Argon (x0 = 714 m). Mit unserer
c
∧
◦
Formel ergibt sich θRMS = 0, 5 mrad = 0, 03 .
3.9.4
Cerenkov-Effekt
Dieser wurde 1934 für geladene Teilchen in Materie mit v >
vion Cerenkov-Licht statt. Qualitativ:
cos θC =
c
n
entdeckt. In diesem Falle findet eine Emission
1
β·n
Bei v < nc ist kein makroskopisches Dipolmoment vorhanden.
¯
¶
Z µ
dE ¯¯
1
4π 2 · Zi · e2
·
1
−
· ν dν
=
dx ¯c
c2
β 2 · n2
Beispiel: H2 O mit n = 1, 33
¯
dE ¯¯
MeV
= 0, 4 · 10−3
cm
dx ¯C
58
3.9. WECHSELWIRKUNG VON STRAHLUNG MIT MATERIE
Vergleiche dies mit:
¯
dE ¯¯
MeV
=2
dx ¯I
cm
Für β <
1
n
(Schwelle) ist keine Cerenkov-Strahlung zu beobachten. Für die Zahl der Photonen ergibt sich:
µ
¶
d2 Nγ
2π · Zi2 e2
1
=
·
·
1
−
dx dλ
λ2
~c
β 2 n2
Beispielsweise gilt für 1 cm H2 O der Wert Nγ = 500.
3.9.5
Wechselwirkung von Photonen
U Photo-Effekt:
σPh =
4π · re2 · α4 · Z 5
Eγ
mit ε =
ε
me c2
U Compton-Streuung:
σC ∝ Z ·
ln ε
ε
U Paarerzeugung:
σP ∝ re2 · Z 2
(für Eγ > 2me c2 )
Für die Absorption von Photonen gilt:
¶
µ
7 x
Nγ (x) = N0 · exp − ·
9 x0
59
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
3.9.6
Hadronische Wechselwirkung in Materie
Für uns in diesem Zusammenhang relevant sind langlebige Hadronen:
U p, n, p, n
U π+ , π− , K+ , K− , K0L
Hierbei gilt nun:
U Geladene Hadronen:
¯
dE ¯
dx i
U Hadronen: h + N 7→ Kernfragmente + Hadronen
Hadronische Wechselwirkung
Bei hohen Energien findet folgender Prozeß statt:
h + N 7→ Kernfragmente + n(π+ , π− , π0 ) +
n + − 0 0
(K , K , K , KS ) + Einige Baryonen, Antibaryonen
10
Ein Maß für die Absorption ist die nukleare Absorptionslänge:
A
[m]
σim · NL · %
³ x´
N (x) = N0 · exp −
λ
λ=
Beispiele:
Element λ [cm] x0 [cm]
C
34
19
Fe
17
1,8
U
11
0,3
Teilchen-Daten findet man auf pdg.lbl.gov/2003/contents-listing.html, Hajiwara et. al., PRD 66
(2002)
60
3.10. STRAHLENWIRKUNG, DOSIMETRIE
3.10
Strahlenwirkung, Dosimetrie
a.) Generell:
dN
1 Zerfall ∧
[Bq], 1 Bq =
= 0, 27 · 10−10 Ci = 1 Curie
dt
s
· ¸
∆E J
U Energiedosis: DE =
∆m kg
·
¸
dDE Gy
J
U Dosisrate:
, 1 Gy ≡ 1 Gray = 100 rad = 1 kg
dt
s
U Aktivität:
b.) Für ionisierende Strahlung:
Hier definiert man die Ionendosis:
· ¸
As
∆Q As
, 1 R = 2, 6 · 10−4
(Röntgen)
DI =
∆m kg
kg
c.) Biologische Wirkung:
Die Äquivalenzdosis ist definiert durch H = DE · q [Sv] (Sievert). q ist hierbei der sogenannte biologische
Wirkungsfaktor (Qualitätsfaktor).
1 Sv = 1 Gy · q = 100 rem (Röntgen-Äquivalenz-Menge)
Qualitätsfaktoren:
U γ, e− , e+ : q = 1
U n: 5 . . . 20
U p: 5 . . . 15
U α, Kernfragmente: 20
3.10.1
Energiedosiswerte
mSv
U Kosmische Strahlung: 0, 3 Jahr
mSv
U Natürliche Radioaktivität: 0, 5 . . . 5 Jahr
mSv
U Eingenommene Radioaktivität 0, 3 Jahr
Gesetzliche Grenzwerte sind:
mSv
U Kreimdrüsen, Gebärmutter: 0, 3 Jahr
mSv
U Übrige Organe: 0, 9 Jahr
mSv
U Haut: 1, 8 Jahr
∧
Tödlich innerhalb von 30 Tagen ist 3 Gy = 300 rad.
61
KAPITEL 3. KERNUMWANDLUNGEN
62
Kapitel 4
Beschleuniger und Detektoren
Wichtigste Werkzeuge der Teilchenphysik sind Beschleuniger. Es ist damit ein Studium hochenergetischer
Reaktionen
U Studium hochenergetischer Reaktionen
U Erzeugung neuer Teilchen aus kinetischer Energie
4.1
Detektoren
Generell wird mit Detektoren die Energie E (Kalorimetrie (Absorption)), der Impuls p~ (Richtung, Krümmungs~ und die Frequenz ν (Flugzeit oder Cerenkovstrahlung)
radius im ortsempfindlichen Detektor inklusive B)
vermessen.
63
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
4.1.1
Ionisationsdetektoren
Das Prinzip ist ein Plattenkondensator mit Medium.
∆E = ∆x ·
dE
dx
ne− = ni = n =
∆E
Wi
1
Wi ist die effektive Ionisationsenergie. Beispielsweise gilt für Argon Wi = 26 eV und n = 25 cm
(1 Atom). Die
Spannungsänderung durch die Ionen ergibt sich aus:
1
1
CU 2 = CU02 −
2
2
Zd
n · e · E dy =
y0
1
U0
CU02 − n · e ·
· (d − y0 )
2
d
n · e d − y0
·
C
d
Es gilt damit U + U0 ≈ 2U0 . Die Elektronen verursachen folgende Spannungsänderung:
∆U = U − U0 = −
∆U = −
n · e y0
·
C
d
Insgesamt ergibt sich ∆U = − n·e
C und für die Signalform:
U Elektronen:
∆U − = −
n · e |v − | · t
·
C
d
U Ionen:
∆U + = −
n · e v+ · t
·
C
d
64
4.1. DETEKTOREN
Die Aufladung erfolgt über R:
¶
µ
t
∆U ∝ exp −
RC
Beispiel:
Für R = 1 MΩ und C = 100 pF ergibt sich RC = 100 µs. Dann folgt für ein Signal ∆E von 1 MeV und einer
Ionisationsenergie Wi von 26 eV die Spannungsänderung 60 µV.
4.1.2
Gasdetektoren
U Charpak (Nobelpreis)
U Sauli CERn-Report 77-01
1.) Zählrohr:
E(r) =
2πε0
C · U0 1
· mit C = ³ ´
2πε0 r
ln rrai
Beispiel:
U0 = 2000 V, ri = 50 µ, ra = 1 cm
Damit ergibt sich E(ra ) = 75 kV
cm .
65
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
2.) Sonderfall Geiger-Müller-Zähler:
∆Q = C · U0 , ∆U = U0
Oberhalb von G ≈ 108 findet eine Gasentladung statt.
3.) Funkenkammer:
4.) Proportionalkammer:
Diese geht auch auf Charpak zurück. Statt eine Aneinanderreihung von Zählrohren:
66
4.1. DETEKTOREN
In der Nähe zur Anode gilt E(r) ∝
angesprungenden Drahtes.
d
σ=√
12
1
r.
Der Ort des Teilchendurchganges entspricht der Adresse des
(O(0, 5 mm))
Hierbei gibt es folgende Grenzen:
U Teilchendichte, Teilchenrate
U Präzision
U Volumen
Mikrosteifendetektoren (1,2); Driftkammer (2,3)
5.) Driftkammer:
Man mißt die Dauer ∆t des Elektronendrifts. Dann gilt ∆t =
Form:
vD = const. für E > 1, 5
x
vD .
Man erhält ein Schaubild folgender
µm
kV
≈ 40 . . . 70
cm
ns
Die Ortsauflösung ist begrenzt durch ∆t und die Diffusion (vD ) auf 30 µm bis 100 µm.
67
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
6.) Zeitprojektionskammer (Time Projection Chamer, TPC):
4.1.3
Halbleiterdetektoren
Das Prinzip ist eine Diode, welche in Sperrichtung betrieben wird.
Die Verarmungszone entspricht unserem Detektor; dort gibt es keinen freien Ladungsträger. Trifft nun ein geladenes Teilchen auf diese Schicht, so entstehen Leitungselektronen, welche zum Pluspol wandern und Löcher,
die zum Minuspol wandern. Für die Signalhöhe Wi (Si) ergibt sich 3, 6 eV (= 1, 2 eV Bandlücke + Phononenenergie).
dE
MeV
(Si) = 3, 9
(MIP)
dx
cm
Für d = 300 µm ergeben sich 33000 Elektron-Loch-Paare. Das Signal muß verstärkt werden. Kommen wir zur
Ortsbestimmung:
d
σx = √ (O(10 − 12 µm))
12
n + 30 Si 7→ 31 Si + e− + ν (31 p)
4.1.4
Szintillationsdetektoren
Das Prinzip ist folgendes:
U Szintillator: Ionisation führt zur Lichtemission
U Photodetektor: Durch das emittierte Licht wird ein Photoelektron herausgelöst; dies führt zu einem
Stromsignal.
68
4.1. DETEKTOREN
1.) Anorganische Szintillatoren:
Beispiel:
g
Für NaI + Tl gilt % = 3, 7 cm
3 , λszin = 410 nm und
Nγ
MeV
= 4 · 104 .
1.) Organische Szintillatoren:
Hier wird folgendes Prinzip realisiert: Durch Ionisation werden Moleküle angeregt; diese emittierten
dann UV-Licht. Durch Dotierung der Materialien mit sogenannten Wellenlängen-Schiebern wird dieses
UV-Licht in blaues und grünes Licht umgewandelt. Ein wichtiges Beispiel ist folgendes:
U Naphtalen: λ = 348 nm
U Wellenlängen-Schieber: POPOP+
Dieser wandelt das ultraviolette Licht in Licht der Wellenlänge 450 nm bis 500 nm um (ε = 0, 1).
3.) Photomultiplier (PMT), Sekundärelektronen-Vervielfacher (SEV):
Eigenschaften von anorganischen Szintillator-Materialien:
69
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
U Szintillatoren (Kristalle):
Material
Dichte
£ g ¤
X0 [cm]
Photonausbeute
4 · 104
Zerfallszeit [ns]
230
λmax
[nm]
415
NaI (Tl)
3,67
1,85
Rad.
Dam.
≥ 10
2,59
CsI (Tl)
4,51
1,86
1005
565
1,79
≥ 10
1,13
0,89
5 · 104
(0,49)
4 · 104
(0,04)
104
(0,13)
8 · 103
≈ 100
Reines
CSI
BaF
4,51
1,86
42
1 · 104
10
36
0,6
620
300
440
530
2,4
310
310
220
310
480
breites
Band
423
4,87
2,03
BGO
PbWO4
7,13
8,28
Plastik
1,03
cm3
n
103
Anmerkungen
hydroskopisch,
spröde
geringfügig
hygroskopisch
geringfügig
hygroskopisch
105
2,15
10
104
Photonausbeute
= f (T )
1,58
Sowohl CsI (Tl) als auch BGO sind geeignet für Photodiodenauslese.
U Cherenkov-Zähler:
£ g ¤
Material % cm
3
SF-5
4,08
Glas
SF-5
5,20
Glas
PbF2
7,66
4.2
X0 [cm]
2,54
n
1,67
1,69
1,81
0,95
1,82
Photonausbeute
600
(1, 5 · 10−4 )
900
(2, 3 · 10−4 )
2000
(5 · 10−4 )
λcut [nm]
350
Rad
102
350
102
103
Anmerkungen
Nicht in Mengen
verfügbar
Anwendungen
a.) Absorption von e+ , e− , γ: Energiemessung
b.) Durchtrittszeit geladener Teilchen
σt ≈ 50 ps . . . 2 ns
Markierung von Ereignissen ≡ Trigger
c.) Durchtrittsort geladener Teilchen
70
4.2. ANWENDUNGEN
⇒ Szintillierende Fibern
4.2.1
Kalorimeter
1.) e− , e+ , γ
Hierbei entstehen e+ -e− -Paare durch Ionisation. Durch Bremsstrahlung entstehen γ-Quanten, die
aufgrund von Paarbildung weitere e+ -e− -Paare bilden, wodurch wieder weitere γ-Quanten gebildet
werden usw.
Die Anzahl der gebildeten Sekundärteilchen ist N (d) = 2d . Für die Energie E dieser Sekundärteil0
chen gilt E(d) = E
.
2d
E(dmax ) =
E0
E0
≡ EC , N (dmax ) =
d
max
2
EC
U Form des Schauers:
â Longitudinal:
dE
∝ dα · exp(−d)
dd
â Transversal:
71
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
21 · X0
EC
RM =
Man spricht hier auch vom Moliere-Radius.
Beispielsweise gilt für Bleigas E0 = 100 GeV und X0 = 2 cm. Damit folgt dmax = 13X0 = 26 cm,
d95 = 23X0 = 46 cm und RM = 3, 6 cm.
U Energiemessung:
Mit N (d) = 2d ergibt sich:
Ntot =
dX
max
2d = 2 · 2dmax
d=0
Mit Edmax
³ ´
ln EEC0
E0
= EC = dmax ergibt sich dmax =
.
2
ln(2)
E0 ∝ Ntot (∝ 2dmax ) ∝ ISignal
Hieraus folgt weiter die Energieauflösung:
σ(E0 ) ∝
p
Ntot ∝
p
σ(E0 )
1
ISignal ⇒
∝√
E0
E0
2.) Hadron-Kalorimeter:
Hadronen verursachen eine Kernreaktion, wodurch Sekundärhadronen freigesetzt werden, welche erneut
Kernreaktionen verursachen usw. Darüber hinaus können die Sekundärhadronen Atome ionisieren. Sekundärhadronen sind π, K, p, n, p, n. Die π und K können außerdem in µ, γ und ν zerfallen.
1
σhad = 40 mb · A 3
Über die Schauerform läßt sich folgendes sagen:
dmax [λ] = 0, 2 · ln(E [GeV]) + 0, 7, R95 ≈ 1 · λ
Für Eisen (Fe) gilt beispielsweise mit E = 100 GeV: dmax = 1, 6 · λ = 27 cm und d95 = 4, 8 · λ = 80 cm.
√ .
Des weiteren gilt R95 (Fe) = 17 cm. Die Energieauflösung σEE ist von der Größenordnung 100%
E
4.2.2
Ältere Technologien
U Funkenkammer:
Photographie der Funken, von ionisierenden Teilchen ausgelöst
72
4.3. EXPERIMENTE
U Blasenkammer:
Das geladene Teilchen ionisiert die Moleküle der Flüssigkeit. Bei Druckabfall beginnt die Flüssigkeit bei
Ionisationskeimen zu kochen. Somit entstehen Bläschen.
4.3
Experimente
Systeme von Detektoren zum Nachweis, Vermessung von Teilchen, Prozessen
4.3.1
Beispiel: Superkanioka (Japan)
U Protonzerfall:
U Neutrinonachweis:
Nachweis von Cerenkov-Strahlung
4.3.2
CMA am LHC
Compact Muom Solenoid (http://cmsinfo.cern.ch/)
Studium von Ereignissen in pp-Kollisionen bei 14000 GeV
U Higgsboson
U Supersymmetrie
73
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
U Anomalien
U Strukturen der Quarks
U Topphysik
4.4
Teilchenbeschleuniger
Das Prinzip ist folgendes:
U Beschleunigung geladener Teilchen in elektrischen Feldern
U Ablenkung in magnetischen Dipolfeldern
U Fokussierung durch magnetische Multipolfeldern
4.4.1
Fired Target“
”
Hier werden Strahlen gegen Streukörper geschossen.
√
S=
q
p
m21 + m22 + 2 · E0 · m2 ≈ 2m2 · E0
Beispielsweise gilt für das CERN SPS mit 450 GeV (p 7→ p):
√
S = 29 GeV.
U Hohe Ereignisraten
U Einfacher Detektor, 100% Akzeptanz
Somit ist es möglich, alle Sekundärteilchen nachzuweisen.
U Collider“
”
√
q
S=
p
m21 + m22 + 2 · E1 · E2 − 2 · p~1 · p~2 ≈ 2
E1 · E2 = 2 · E1 wenn E1 = E2
Zum Beispiel gilt für das Fermilab Teratron mit 980 GeV p 7→ 980 GeV p:
√
S = 1960 GeV.
â Niedrige Ereignisraten
â Hohe Anforderungen an den Detektor (Akzeptanz < 100%)
74
4.4. TEILCHENBESCHLEUNIGER
4.4.2
L≡
Luminosität
Np · Np
· f · nBunch
4π · σx · σy
Bunch“ bedeutet Paket“. f ist die Frequenz der Bunche. Mittels der obigen Luminosität erhält man die
”
”
Ereignisrate des Detektors:
Ṅ = L · σpp
Die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung ist folgende:
P =
Np · σ
F
Damit ergibt sich die Wechselwirkungsrate zu
Np · σ
·f
F
und für Np Protonen gilt:
Ṅ =
Np · Np · σ
·f
F
Beispiel: Tevatron 03
c
= 48 kHz, σx = 50 µm und σy = 50 µm ergibt sich eine
Mit Np = 1011 , Np = 1011 , nb = 6, f = 2πR
1
31
Luminosität LTev von 10 cm2 ·s . Damit ergibt sich die Rate von p-p-Kollisionen: σin ≈ 50 mb = 5 · 10−26 cm2
(inelastisch) und außerdem:
Ṅ = σ · L = 5 · 10−26 cm2 · 1031
1
= 500 kHz
cm2 · s
75
KAPITEL 4. BESCHLEUNIGER UND DETEKTOREN
Beispiel: Rate von Top-Quarks
Für den Wirkungsquerschnitt gilt:
σtt = 7 pb = 7 · 10−36 cm2
1
1
= 7 · 10−5
2
cm · s
s
Damit erhalten wir durch Integration über ein Jahr in der Teilchenphysik“:
”
Ṅtt = 7 · 10−36 cm2 · 1031
7
10
Z s
Ntt =
Ṅ dt = 700
0
Weiterhin gilt mittels der integrierten Luminosität:
· ¸
Z
Z
1
N = σ · L dt mit
L dt
pb
In unserem Beispiel läßt sich dies berechnen:
7
10
Z s
L dt = 1038
0
1
1
=
2
cm
100 pb
76
Kapitel 5
Elementarteilchenphysik
5.1
5.1.1
Grundlagen der Elementarteilchenphysik
Der Teilchenzoo
a.) Bis zum den 30-er Jahren galten Protonen (p), Neutronen (n), Elektronen (e− ), ν (+Antiteilchen) als
fundamentale Teilchen.
b.) Pion π
U Im Jahre 1935 wurde von Yukawa postuliert, daß die kurze Reichweite der Kernkraft – analog zur
elektromagnetischen Wechselwirkung – durch Austausch eines Kraftteilchens“ mit Masse hervor”
gerufen wird.
Löst man die Klein-Gordon-Gleichung im statischen Fall für relativistische Teilchen, so erhält
man das Yukawa-Potential:
µ
¶
g
r
~
V (r) = − · exp −
mit r0 = 1, 4 · 10−15 m =
r
r0
mπ · c
Daraus läßt sich mπ = 140 MeV
c2 bestimmen.
U 1947 wurde schließlich das Pion von Powell in Höhenstrahlung gefunden.
U Bestimmung von τπ± nach Chamberlain (1950):
77
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
U Bestimmung des Spins von π:
Vergleiche σ(p+p 7→ π+ +d) und σ(π+ +d 7→ p+p). σ ist proportional zur Anzahl der Endzustände
inklusive Spin.
σ1 (pp 7→ π+ d) ∝ (2Iπ + 1) · (2Id + 1) ∝ (2Iπ + 1) · 3 mit Id = 1
σ2 (π+ d 7→ pp) ∝
Der Faktor
1
2
1
(2Ip + 1)2 = 2
2
folgt aus dem Pauli-Prinzip. Bilden wir das Verhältnis:
σ1
3
σ1
9
=
für Iπ = 0,
= für Iπ = 1
σ2
2
σ2
2
Der erste Wert wurde tatsächlich experimentell nachgewiesen.
c.) Myon
Das Myon wurde 1937 von Anderson in der Nebelkammer bei der Suche nach dem Pion π entdeckt:
−6
s. (µ 7→ e + νe + νµ ) Rabi: Who ordered that?“
mµ = 106 MeV
c2 . Die Lebensdauer τµ beträgt 2, 2 · 10
”
d.) Das Kaon
Dieses wurde 1947 von Rochester und Butler entdeckt.
78
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Strangeness: Starke Erzeugung, Zerfall in stark wechselwirkende Teilchen der Lebensdauer À 10−23 s
£
¤
Teilchen Masse m MeV
Lebensdauer τ [s]
c2
±
K
494
1, 2 · 10−8
0
K
498
τK0S = 9 · 10−11 , τK0L = 5 · 10−8
Hierbei treten folgende Zerfälle auf:
U K± 7→ µ± νµ (64%), K± 7→ π+ π0 (21%)
U K0L 7→ π+ π− π0 , 3π0 (π0 π0 , π+ π− ∼ 10−3 )
U K0S 7→ π+ π− , π0 π0 (3π0 , π+ π− π0 ∼ 103 )
5.1.2
Fundamentale Teilchen des Standard-Modells
Fermionen sind Materieteilchen mit Spin s = 12 .
1.) Leptonen:
Q
−1
0
1
e−
νe
2
µ−
νµ
3
τ−
ντ
Wechselwirkung
elektromagnetische, schwache, (gravitative)
schwache, gravitative
2.) Quarks:
Q
2
3
− 13
5.1.3
1
u
d
2
c
s
3
t
b
Wechselwirkung
elektromagnetische, schwache, starke, gravitative
elektromagnetische, schwache, starke, gravitative
Zusammengesetzte Objekte
U Elektromagnetisch gebunden, wie beispielsweise:
â Wasserstoffatom:
â Positronium:
â Myonisches Atom
U Stark gebunden:
â Mesonen:
Beispiele sind π+ und u.
79
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
â Baryonen:
Beispiele: n (udd) und Λ (uds)
â Exoten:
Glueball (gg)
Hemaphroditen
(qqg)
J P = 0−
a.) Klassifizierung der Hadronen:
Man kann diese nach den Quantenzahlen einordnen, also nach dem Spin J, der Ladung Q, dem Isospin
I und der Baryonenzahl B.
U Isospin:
Betrachten wir den Isospin nach Heisenberg:
â Dublett: p, n
¯
¯
À
À
¯1 1
¯1 1
p = ¯¯ ,
, n = ¯¯ , −
2 2
2 2
In bezug auf die starke Wechselwirkung sind p und n gleiche Teilchen.
â Triplett: π
π+ = |1, 1i, π0 = |1, 0i, π− = |1, −1i
Der Isospin ist erhalten in starken Prozessen.
U Baryonenzahl:
B(π) = 0, B(N) = +1, B(N ) = −1
U Strangeness: (τ & 10−8 s)
â
â
â
â
π, N: S = 0
Kaon K+ : S = +1, Kaon K− : S = −1
Lambda Λ: S = −1
s-Quark: −1, s-Quark: +1
80
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Es besteht folgender Zusammenhang:
Q
B
S
Y
= I3 + + ≡ I3 +
e
2
2
2
Y ist die sogenannte Hyperladung.
b.) Mesonen mit Spin 0
c.) Baryonen mit Spin
1
2
81
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
d.) Baryonen mit Spin
3
2
Voraussage: Baryon mit Spin 32 : S = −3
mΩ ≈ m∆ + |S| · 150 MeV
π+ + p 7→ ∆++ + π0
82
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Betrachten wir die Energieniveaus (Massen) der Baryonen:
e.) Das statische Quarkmodell:
Dieses wurde von Gellmann und Zweig (1964) aufgestellt. Dieses besagt, daß Hadronen aus u, d und
s (Quarks) zusammengesetzt sind.
Flavor
u
d
c
s
t
b
Q
Spin
I
I3
B
2
3
− 13
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
S
0
0
0
−1
0
0
Charm
0
0
1
0
0
0
Wir überprüfen:
1
Q
= I3 + (B + S)
e
2
Beispielsweise gilt für das u-Quark:
Q
1 1 1
2
= + · =
e
2 2 3
3
f.) Quarkmodell für Baryonen J =
3
2
83
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
g.) Der Farbfreiheitsgrad
Die Wellenfunktion ist symmetrisch im Raum (l = 0), Spin (↑↑↑) und Flavor (qqq). Die totale Wellenfunktion muß jedoch antisymmetrisch sein: ψ(1, 2, 3) 7→ −ψ(2, 1, 3). Damit wird als zusätzlicher Freiheitsgrad
die Farbladung eingeführt. Man unterscheidet für Quarks rot, grün, blau und für Antiquarks rot, grün,
blau. Hadronen sind farbneutral; beispielsweise besteht das Pion π aus u (rot) und d (rot). Das Proton
p besteht aus zwei u- und einem d-Quark (rot, grün, blau).
1
|qq0 q00 i = √ (|R, G, Bi − |R, B, Gi + |B, R, Gi − |B, G, Ri + |G, B, Ri − |G, R, Bi)
6
Bei starker Wechselwirkung gibt es eine Beziehung zwischen zwei Farbobjekten.
84
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
νe
e−
νµ
µ
ντ
τ
u
d
c
s
t
b
Flavour
Elektron-Neutrino
Elektron
Myon-Neutrino
Myon
Tau-Neutrino
Tau-Lepton
up
down
charm
strangeness
top
bottom (beauty)
£
¤
Masse GeV
c2
< 7 · 10−9
0,000511
< 0, 00017
0,106
< 0, 024
1,777
≈ 0, 005
≈ 0, 010
≈ 1, 3
≈ 0, 125
≈ 170
≈ 4, 3
Elektrische Ladung
0
-1
0
-1
0
-1
2
3
- 13
2
3
- 13
2
3
- 31
U Total symmetrische Zustände (ψs ):
U Total antisymmetrische Zustände (ψa ):
1
√ (uds − usd + dsu − dus + sud − sdu)
6
U Antisymmetrische Zustände in 1 und 2 (ψ1,2 ):
85
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
U Antisymmetrische Zustände in 2 und 3 (ψ2,3 ):
86
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
5.1.4
Fundamentale Wechselwirkung
a.) Elektromagnetische Wechselwirkung:
In der Quantenelektrodynamik beschreibt man Kräfte durch Austausch virtueller γ.
e2
4πε0 ~c
U Photoeffekt:
α=
U Rutherford-Streuung:
Für die Kopplung gilt
A(q) =
√
α·
√
α ∼ e. Für die Streuamplitude ergibt sich
1 √
α
e2
· α= 2 =
2
q
q
4πq 2
und für den Wirkungsquerschnitt folgt:
dσ
α2
=
2
dq
4πq 4
U Paarerzeugung
87
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
U Selbstenergiebeiträge
Geladene Teilchen stellen gebundene Systeme dar.
Potential: Bestimmt durch Messung der Energieniveaus (Spektroskopie).
b.) Starke Wechselwirkung:
Quantenchromodynamik: Austausch masseloser Gluonen
αs =
gs2
4π~c
Für q 2 . (0, 5 GeV)2 gilt gs 7→ 1.
Kommen wir zur Photon-Photon-Streuung:
Betrachten wir gebundene Systeme, wie beispielsweise Hadronen:
Vq,q = −
4 αs
+ kr
3 r
88
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Die Konsequenz ist, daß es keine freien Quarks gibt. Illustration:
Das Resultat ist folgendes:
Erzeugung von Hadronen: Fragmentation“. Betrachten wir als Beispiel die Streuung zweier Quarks:
”
89
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
c.) Schwache Wechselwirkung:
QFD: Austausch von Bosonen mit Masse
U Neutrino-Nukleon-Streuung:
U Pionzerfall:
Für elastische Streuung gilt:
αw =
g2
1
≈
> αem
4π~c
30
1
, m = mw
q 2 + m2
g2
â Streuamplitude: f (q) = 2
q + m2
â Propagator:
90
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
schwache Kopplung“
”
d.) Gravitation:
Fm1 m2
=
Fq1 q2
αg =
Gm1 m2
r2
e1 e2
4πε0 r 2
= 6 · 10−38 für p, e−
G · m2p
= 6 · 10−39
~c
e.) Laufende Kopplungen:
Betrachten wir die elektromagnetische Wechselwirkung:
Ein großer Abstand entspricht einem kleinen q 2 . Die Probeladung sieht eine nicht abgeschirmte Zentralladung.
Großer Abstand: größere Farbladung
91
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
5.1.5
Diskussion: Farbe, Gluon
a.) Indirekt: Existenz von ∆++ (uuu, ↑↑↑, l = 0)
 
R
uuu+ ↑↑↑ +(l = 0) + G
B
b.) Messung des Wirkunsgquerschnittes von e+ e− 7→ qi q i :
σhad =
X
·
X 4πα2
· qi2
3s
Farben Quarks
Vergleiche dies mit einem fundamentalen Wirkungsquerschnitt:
σµµ =
R≡
4πα2
3s
X
σhad
= Nµ ·
qi2 = |{z}
uu + |{z}
dd + |{z}
ss + |{z}
cc + |{z}
bb für Nµ = 3
σµµ
i
|
4
3
1
3
1
3
{z
4
3
1
3
}
3 23
c.) Zahl der Gluonen:
U Drei Farbfreiheitsgrade
U qq, qqq-Systeme sind farbneutral
Es sind drei Farbkombinationen möglich:
92
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Man kann die 9 Farbkombinationen in einer Matrix darstellen:


R
G
B
 R RR GR BR 


 G RG GG BG 
B RB GB BB
1
√ (RR + BB + GG)
3
¢
1 ¡
√ RR − GG
2
¢
1 ¡
√ RR + GG − 2BB
6
¢
1 ¡
√ RR + BB + GG
3
Farbloses Singulett
d.) Gibt es virtuelle Zustände?
Man muß das Vakuum aufgrund der virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Paare als Dielektrikum betrachten.
U Lambshift
U g−2
U Laufende Kopplung
⇒ Konsistenz
Stellen wir nochmals alle Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle dar:
93
∞
≈ 10−3
∞
Elektromagnetismus
Schwach
Gravitation
≈ 10−20 . . . 10−16
≈ 10−2
Beispiel: π 7→ µν
Schwache Ladung
≈ 0, 5 · 10−38
≈ 10−12 . . . länger
≈ 10−5
elektrische Ladungen
e
1
α=
=
4πε0 ~c
137
Beispiel: π0 7→ γγ
Beispiel: ∆ 7→ πp
Farbladungen
2
≈ 10−23
Ladungen“
”
R [fm]
Lebensdauer [s]
≈ 1 . . . 0, 1
konstante αi
weite
≈1
Kopplungs-
Reich-
Stark
Wechselwirkung
Wellenlängen
Spin 21 ~
Zeit-Kontinuum
Spin 2~
Ströme
W± , Z0 (≈ 100 GeV)
Gekrümmtes Raum-
neutrale schwache
Schwere Bosonen
Gravitonen
Geladene und
Spin 21 ~
Beispiel: νp 7→ νp
Spin 1~
Radioaktiver Zerfall
Optik aller
Elektromagnetismus
Hadronen
Kernbindung
Phänomene
Quarks, Leptonen
≈ 10−17
Spin 1~
Masselose Photonen
Geladene Leptonen
Quarks
Confinement“
”
masselose Gluonen (Spin 1~)
Quarks (Spin 12 ~)
Felder
Beispiel: γp 7→ π0 p
10−6
Beispiel: πp 7→ πp
≈ 10−3
σ [mb] bei 1 GeV
Wirkungsquerschnitt
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
94
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
5.1.6
Symmetrien und Erhaltungssätze
Noether (1917): Zu jeder Symmetrie gibt es eine erhaltene Größe. Man unterscheidet zwischen:
U Kontinuierliche Transformationen:
Raum-Zeit-Translation
Rotation
Eichtransformation
Impuls, Energie
Drehimpuls
Ladung
U Diskrete Transformation:
Spiegelung
Teilchen-Antiteilchen-Transformation
Zeitspiegelung
Parität p
Ladungsparität c
Zeitparität t
Leptonenzahl L
Baryonenzahl B
a.) Parität:
P ψ(~r, t) = ψ(−~r, t), P 2 ψ(~r, t) = ψ(~r, t)
Es gilt folgende Eigenwertgleichung:
P ψ(~r, t) = pψ(~r, t) mit p = ±1
ψ(~r, t) sind Eigenzustände und p die entsprechenden Eigenwerte. Betrachten wir folgende Beispiele:
U ψ(x) = cos(x): P ψ(x) = cos(−x) = cos(x) = ψ(x) ⇒ p = 1
U ψ(x) = sin(x): P ψ(x) = sin(−x) = − sin(x) = −ψ(x) ⇒ p = −1
U ψ(x) = cos(x) + sin(x): P ψ(x) 6= pψ(x)
ψ(x) ist hierbei kein Eigenzustand des Paritätsoperators P .
b.) C-Parität:
Naturgesetze sind gleich für Teilchen und Antiteilchen.
C|Teilcheni = |Antiteilcheni
Betrachten wir folgende Beispiele:
Q
µ
s
B
Proton
e
+2, 79µK
+ ~2
+1
Antiproton
−e
−2, 79µK
+ ~2
−1
Für ein Photon gilt C|γi = −|γi.
Die C-Parität ist erhalten:
i.) Starke Wechselwirkung: p + p 7→ π− + X
Wir wenden den Operator C an:
C(p + p) 7→ C(π− + X) ⇒ p + p 7→ π+ + X
Die Wirkungsquerschnitte und Kinematik von π− , π+ sind gleich.
95
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
ii.) Elektromagnetische Wechselwirkung:
Die Reaktion π0 7→ γ + γ kann in der Natur auftreten.
C|π0 i = C|γ1 i · C|γ2 i = C 2 |γ, γi = +|γ, γi = +|π0 i
Gibt es auch die Reaktion π0 7→ γ + γ + γ?
C|γ1 , γ1 , γ3 i = C|γ1 i · C|γ2 i · C|γ3 i = −|γ1 , γ2 , γ2 i = −|π0 i
BR(π0 7→ 3 γ) < 3 · 10−8
iii.) Schwache Wechselwirkung:
π+ 7→ µ+ νL
C(π+ 7→ µ+ + νL )
Die C-Parität ist maximal verletzt.
c.) Zeitumkehr:
Invarianz unter Zeitspiegelung:
Πψ(~r, t) = ψ(~r, −t)
Betrachten wir beispielsweise das zweite Newtonsche Axiom:
F =m
d2 x
dt2
Wenden wir den Zeitspiegelungsoperator T an, so gilt T (F ) = F , da die Zeit quadratisch in die Formel
eingeht. Der Kurvenverlauf ist und bleibt also derselbe:
Haben wir in der Teilchenphysik die Reaktion A+B 7→ C+D, so muß auch die Reaktion C+D 7→ A+B
auftreten.
d.) CP-Symmetrie
Schauen wir uns den Pion-Zerfall an:
νL ← π+ → µ+
96
5.1. GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Wenden wir den Paritätsoperator P an, so ergibt sich eine Reaktion, welche in der Natur noch nicht
beobachtet wurde:
P (νL ← π+ → µ+ ) = µ+ ← π+ → νR
Außerdem wenden wir C an:
C(νL ← π+ → µ+ ) = νL ← π− → µ−
Auch diese Reaktion wurde nie beobachtet. Wenden wir jedoch C · P an, so ergibt sich durchaus eine
mögliche Reaktion:
(C · P )(νL ← π+ → µ+ ) = µ− ← π− → νR
Alle Wechselwirkungen sind CP-invariant. 1964: CP in Kaon-Zerfällen (Christenson, Cronin, Fitch)
Betrachten wir neutrale Kaonen: K0 , K0 :
0
0
P |K0 i = −|K0 i (Konvention), P |K i = −|K i
0
0
C|K0 i = |K i, C|K i = |K0 i
Führen wir dies nun zusammen, so gilt:
0
(CP )|K0 i = −|K0 i, (CP )|K i = −|K0 i
0
K0 /K -Mischungen durch Übergänge:
Es treten immer folgende Gemische auf:
´
´
1 ³
1 ³
0
0
|K1 i := √ |K0 i − |K i , |K2 i = √ |K0 i + |K i
2
2
Wenden wir wieder den Operator CP darauf an:
´
1 ³
0
(CP )|K1 i = √ −|K i + |K0 i = |K1 i
2
(CP )|K2 i = −|K2 i
Wir haben also folgende Zerfälle:
1.) K1 7→ π+ π− /π0 π0
K “
” S
(CP )(K1 7→ π+ π− ) = π+ π− = +|K1 i
2.) K2 7→ π+ π− π0
K “
” L
(CP )(K2 7→ π+ π− π0 ) = −|K2 i
97
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Man beobachtet auch:
+ − 0
K1 7→ π
| π
{z π}
|{z}
+1
(2‰)
−1
©
CP.
Dies ist CP-Verletzung: ©
³
´
1
0
|K1 i = √ |K0 i − |K i 7→ π+ π−
2
´
1 ³
0
|K2 i = √ |K0 i + |K i 7→ π+ π− π0 + 2, 3‰ π+ π−
2
KL = |K02 i + ε|K01 i
KS = |K01 i − ε|K02 i
Auch werden folgende Reaktionen beobachtet:
KL 7→ π+ e− νe,R , KL 7→ π− e+ ν0,L ⇒ BR = 39%, ∆ = 3 ‰
e.) CPT-Symmetrie:
Diese ist verletzt, wenn beispielsweise m(τ) 6= m(τ) und Γ(τ) 6= Γ(τ). Betrachten wir folgende Illustration:
P
C
T
π 0 ← K+ → π + −
→ π+ ←−−−
K+ −−−→
π0 −
→ π− ← K− → π0 −
→ π− −−−→
K− ←−−−
π0
0
0
−
+
Pπ
−
+
Pπ
Pπ
0
−
−
Wenn m(K ) 6= m(K ) gilt, ist kein Prozeß möglich mit π + π 7→ K
gilt:
Pπ
mit P π0 , P π+ . Beispielsweise
m(p)
= 1 ± 10−9
m(p)
Wenn CPT erhalten ist, dann ist CP verletzt. Man erwartet dann eine T-Verletzung. Suche nach elek←−−−
trische Dipolmomenten EDM = q · ~l.
98
5.2. MODERNE TEILCHENPHYSIK
Wenn ein resultierendes elektrisches Dipolmoment gesehen wird:
Anzahl (n ↑↓) 6= Anzahl (n ↓↓) = Anzahl Π(n ↑↓)
Der erste Pfeil steht für ~s, der zweite für das elektrische Dipolmoment.
−−−→
|EDM|n < 6 · 10−26 e · cm
Fassen wir auch die Erhaltungssätze übersichtlich in einer Tabelle zusammen:
Erhaltungsgröße
Energie
Impuls
Drehimpuls
Q (Ladung)
B (Baryonenzahl)
L, Lθ , Lm , Lt (Leptonenzahl)
I (Isospin)
stark
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Wechselwirkung
schwach
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Beispiele, Bemerkungen
EM
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
e− 7→ νe + neutral“ no“
”
”
e + e− 7→ pp; p + n 7→ π+ + π0 no“
”
−
−
µ 7→ e + νe + νµ
Nein
n 7→ p + e− + ν, π0 7→ γγ
Strangeness, Charme, . . .
Ja
P (Parität)
C (Ladungskonjugation)
CP
Ja
Ja
Ja
Nein:
∆l = 0, 12
Nein:
∆ = 0, 1
Nein
Nein
Nein
T (Zeitumkehr)
Ja
Nein
Ja
PCT
Ja
Ja
Ja
Ja
Λ 7→ π− + p, K0 7→ π+ π−
Ja
Ja
Ja
Nachweis: Experiment von Wu et. al
Landau: C-Verletzung ⇔ P-Verletzung
Schwache Verletzung im K0 -Zerfall (etwa 10−3 )
Beispiel: p + 27 Al 7→ α + 24 Mg nur auf
10−3 gesichert
?
1.) Additive Quantenzahlen: Q, B, L, S ? , C ? , B ? , T ? (strangeness, charme, bottom, top)
2.) Multiplikative Quantenzahlen: C, P , T
5.2
Moderne Teilchenphysik
5.2.1
Struktur der Hadronen
a.) Formfaktor:
µ
¶
dσ
dσ
=
|F (Q2 )|2
dΩ
dΩ Punkt
Hofstadter 1956 (N.P. 1961): Elektron Protonstreuung (Ee = 188 MeV)
1
|F (Q2 )| = ³
1+
Q2
0,71 GeV2
´2
b.) Inelastische Elektron-Kern-Streuung:
99
}
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
c.) Tief inelastische Elektron-Proton-Streuung:
U λ < Rp :
U λ ¿ Rp :
Elastische Streuung an punktförmigen Quarks
Kommen wir zur Kinematik folgender Prozesse:
100
5.2. MODERNE TEILCHENPHYSIK
ν = E − E0
W 2 = p02 = (p + q)2 = p2 + 2pq + q 2 = Mp2 + 2Mp · ν − Q2 , da pq =
µ ¶µ
¶
M
ν
0
p~e − p~e0
Für elastische Elektron-Proton-Streuung gilt W = Mp . Entsprechend ist Q2 = 2M ν oder auch
Q2
Q2
gilt 2M
2M ν = 1. Für tief elastische Streuung gilt W > Mp und damit
ν ≡ x < 1. Man spricht
p
auch vom Bjorken-x“. Inelastische Streuung lieft ab Q2 = 10 GeV vor; dies entspricht
”
folgender Wellenlänge:
h
λ= p
= 0, 1 fm
Q2
Wir können dieses Verhalten folgendermaßen interpretieren:
Elastische Streuung an Quarks
e.) Partonverteilungen (Parton Distribution Function, PDF):
Kommen wir auf die Elektron-Proton-Streuung zurück:
µ ¶¸
·
µ ¶
θ
d2 σ
4πα2
E0
M
θ
2
2
2
2
=
·
·
· F2 (Q , ν) · cos
+ 2 · F1 (Q , ν) · sin
dq 2 dν
q4
E·ν
ν
2
2
F2 (Q2 , ν) beschreibt die elektrische Komponente und F1 (Q2 , ν) den magnetischen Anteil der
Elektron-Proton-Streuung. Mit
µ ¶
Q2
dν
dx
E0
θ
=1−
≈ 1,
=
und
≡1−y
cos2
0
2
4EE
ν
x
E
ergibt sich:
·
¸
4πα2
F2 (x) y 2 2x · F1 (x)
d2 σ
=
· (1 − y) ·
+
·
dq 2 dx
q4
x
2
x
101
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
F1 (x) und F2 (x) bezeichnet man als Strukturfunktionen. Für Q 7→ 0, y 7→ 0 (quasi-elastische
Streuung) erhalten wir:
Z
dσ
4πα2
F2 (x)
=
·
dx
dq 2
q4
x
|
{z
}
X
qi2
i
Daraus ergibt sich F2 (x):
¸2
1
4
F2 (x) = x · (u(x) + u(x)) + (d(x) + d(x) + s(x) + s(x))
9
9
·
u(x), s(x) usw. sind die Wahrscheinlichkeitsdichten, ein u-Quark (s-Quark, usw) mit Impuls
pu = pp · x im Proton zu finden.
U Elastische Streuung:
4πα
dσ
= 4 |F (q 2 )|2
q2
q
U Inelastische Streuung:
dσ
4πα
= 2 · F (x)
2
dq dν
q
2
(x · P + q) = P q 2 = m2q ≈ 0
2 2
P } +2 · x · P q + q 2 ≈ 0
|x {z
≈0
µ ¶ µ
¶
Q2
M
ν
P ·q =
·
=M ·ν ⇒ x=
0
p~e − p~e0
2M ν
102
5.2. MODERNE TEILCHENPHYSIK
Aus Messungen von F2 (x) durch ep, eN, νp, νN ergeben sich die Dichteverteilungen der Quarks:
u(x), d(x), u(x), d(x), . . .. Wir integrieren über die Dichteverteilungen von 0 bis 1:
Z1
(u(x) + u(x) + d(x) + . . .) · x dx ≈ 0, 50 ± 0, 005 (!)
0
Diesen Wert bestimmt man experimentell, obwohl man eigentlich den Wert 1 erwartet hätte. Der
Unterschied rührt von der Feldenergie masseloser Gluonen her.
Sind Quarks punktförmig? Wenn nicht:
Angenommen, ein zusammengesetztes Objekt (Quark oder auch Lepton) werden an einem Antiquark
gestreut. Wir würden also nicht
dσ
αs
6=
dΩ
s
erwarten, sondern:
dσ
= const. (πR2 )
dΩ
5.2.2
Phänomene der schwachen Wechselwirkung
1.) Neutrino-Nukleon-Streuung:
Vergleichen wir die Streuung von Myon-Neutrinos νµ an Nukleonen (νµ N 7→ µ− X) mit der Streuung
von Anti-Myon-Neutrinos νµ an Nukleonen (νµ N 7→ µ+ X). Man beobachtet:
U σνN ∝ Eν !
σνN
1
U
=
σνN
3
−
U νN: µ isotrope Winkelverteilung
U νN: µ+ Vorwärtsrichtung
103
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
X
~si = 1
i
Vorwärtsstreuung (Helizität des µ)
X
~si = 0
i
Eine isotrope Winkelverteilung ist möglich. Damit ergibt sich:
σνN = 3 · σνN
¡
¢
σ(νN) ∝ Eν ∝ G2F · s 7→ 2MN · Eν
Generell: Punktförmige Streuung von Spin- 12 -Teilchen
σmax = π · λ ·
2π~2
2l + 1
π~2
1
= 2 =
für s = , l = 0
2s + 1
2pCM
S
2
Ausweg: Austausch massiver Bosonen
√
GF = g 2 ·
2
8m2w
104
5.2. MODERNE TEILCHENPHYSIK
αw ≡
g2
1
GeV
=
mit mw ≈ 80 2
4π
29
c
2.) Schwache Wechselwirkung von Quarks
Durch β-Zerfälle, Mesonzerfälle und ν-N-Streuung hat man herausgefunden, daß massive Bosonen mit
universellen Kopplung an q, l ausgetauscht werden.
Nicht beobachtet hat man Sprünge zwischen Generationen:
µ ¶ µ ¶
c
u
,
s
d
Andererseits:
U Λ 7→ pe− νe
U K− 7→ µ− νµ
105
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Cabibbo: Quarks mischen:
µ ¶ µ
¶
u
u
=
dc
d cos θc + s sin θc
| {z }
Isospindublett
d sind Masseneigenzustände.
Man kann die sogenannten Ströme Jw auch mit folgender Matrix schreiben:
µ
¶ µ ¶
¡
¢
cos θc
sin θc
d
Jw = u c ·
·
− sin θc cos θc
s
Auf diese Weise kann man die Kopplungen von u und d berechnen. Es kann außerdem keine flavorartigen
Ströme geben; außer die Quarks sind sehr stark unterschiedlich. Für drei Generationen läßt sich dies schreiben
durch:


 
d
c1
c3 s1
s1 s3
¡
¢
c1 c2 s3 + c3 s2 exp(iδ) 
Jw = u c t · M · s mit M = −c2 s1 c1 c2 c3 − s2 s3 exp(iδ)
b
s1 s2 −c1 c3 s2 − c2 s3 exp(iδ) −c1 s2 s3 + c2 c3 exp(iδ)
M ist die sogenannte Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix, welche drei Winkel und eine komplexe Phase
enthält.
Suche nach FCNC (Flavor-ändernde neutrale Ströme): Nicht möglich wäre beispielsweise folgender Zerfall:
Aber folgender Zerfall ist durchaus möglich:
BR)(B0 7→ K0 µ+ µ− )
SM: BR ≈ 10−6
5.2.3
Elektroschwache Vereinigung
Im Jahre 1967, 1968 haben Weinberg und Salam (pakistanischer Physiker) eine Theorie verwirklicht, welche die elektromagnetische und schwache Wechselwirkung vereinigt. (Wir erinnern uns hierbei an die Vereinigung der elektrischen und magnetischen Wechselwirkung zur elektromagnetischen Wechselwirkung durch
Maxwell.)
1.) Divergenzen in der schwachen Wechselwirkung
106
5.2. MODERNE TEILCHENPHYSIK
a.) Erinnerung an Kopplungskonstante: [GF ] =
Betrachten wir folgende Streuung:
1
GeV2
G2F
dσ
G2F
⇒
σ
=
·S
=
νe
dq 2
π
π
Dies führt zu einer Unitaritätsverletzung bei
wir das W-Boson eingeführt:
√
S ≈ 600 GeV, wie wir gesehen haben. Deshalb haben
b.) Weitere Divergenzen:
e:
gµν −
q2 −
qµ qν
m2e
m2e
c.) Anpassung der Kopplungen:
Dies divergiert nicht, wenn:
g=
e
mit sin θw ≈ 0, 22
sin θw
gz =
e
sin θw cos θw
107
KAPITEL 5. ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
d.) Weitere Divergenzen:
Verlange skalares Boson, nämlich das Higgs-Boson H.
Die Kopplungskonstante des Higgs-Bosons muß proportional zu m sein; außerdem kann man mH <
1, 2TeV voraussagen.
Daraus ergibt sich mH . 250 GeV und wahrscheinlich mH ≈ 100 GeV. Suche des Higgs-Bosons am
LEP:
Mit Sicherheit kann man sagen, daß mH > 114, 5 GeV gilt.
108
5.3. ASTROPHYSIK
Elektroschwache Eichtheorie 7→ Standardmodell
Es gibt insgesamt 21 freie Parameter, nämlich e, sin θw , MW , MH Me− , Mν , Mq , θCKM , δ und ΛQCD .
Offene Fragen sind weiterhin:
U Gibt es drei Familien?
U CP-, C- und P-Verletzung
U Q(u + u + d) = −Q(e− )
U Gravitation
U 21 Parameter
Grand unified theory (GUT):
}
MX & 1016 GeV ⇒ τp > 1034 Jahre
5.3
Astrophysik
5.3.1
Elemententstehung im frühen Universum
a.) Als das Universum das Alter tU = 10−4 s bis 1 s hatte, betrug dessen Temperatur 1012 K bis 1010 K (>
MeV). Im thermischen Gleichgewicht fanden die Prozesse e+ e− ↔ γγ, pe− ↔ nνe und ne+ ↔ pνe statt.
Aufgrund der Boltzmann-Statistik gilt für das Verhältnis Proton – Neutron bis zur ersten Sekunde:
µ
¶
nn
mn − mp
= exp −
np
kT · c2
b.) Bei T = 1010 K und tU = 1 s gilt:
nn
= exp(−1, 5) ≈ 0, 22
np
c.) Bis tU = 220 s zerfallen die Neutronen, da die zweite Reaktion nicht mehr möglich ist.
nn
= 0, 14
np
Jetzt ist die Temperatur soweit abgesunken, daß Neutronen und Protonen zu 42 He fusionieren.
nn/2
n(4 He)
=
= 0, 081
1
n( H)
np − 2 · nn/2
Damit ergibt sich:
M (4 He)
= 0, 25 Interstellare Gase
M (4 He + 1 H + 2 D + 7 Li)
109