WGMS III, Lösungen zu Blatt 8 (Weihnachtsblatt)

Jörn Schweisgut
20.12.2004
WGMS III, Lösungen zu Blatt 8 (Weihnachtsblatt)
Präsenzaufgaben
A
Ein Versuch mit den möglichen Ergebnissen Treer (1) und Niete (0) werde
geführt. Die ersten (bzw. zweiten)
n
2n−mal durch-
Versuche bilden die erste (bzw. zweite Versuchsreihe).
Beschreiben Sie folgende Ereignisse mit Hilfe geeigneter Zählvariablen.
Zunächst einmal sollte man sich klar machen, was hier der Ergebnisraum ist. Für einen
Ω̃ = {0, 1}. Da wir aber hier 2n Versuche durchführen, betrachten wir
Ω = {0, 1} × . . . × {0, 1}.
|
{z
}
einzelnen Versuch ist
hier
2n−mal
Dann ist ein Ergebnis
ω
ein
2n−Tupel
ωi .
mit Einträgen aus
{0, 1}.
Diese einzelnen Kompo-
nenten bezeichnen wir hier mit
(a) In der ersten Versuchsreihe tritt mindestens ein Treer auf.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten ein Ereignis zu denieren.
•
Eine Möglichkeit ist die Denition durch verbale Beschreibung:
A :=Ereignis, dass
in der ersten Versuchsreihe mindestens ein Treer auftritt.
•
Man kann das Ereignis auch mit Hilfe einer Zufallsvariablen bzw. Zählvariablen
denieren. Dazu muss man zunächst diese Zählvariable denieren.
n
P
Es sei X =
I{ω∈Ω|ωi =1} . Diese Zufallsvariable ist eine Funktion und wird auf ein
i=1
n
Ergebnis ω angewendet, wobei ω aus Ω = {0, 1} = {0, 1} × . . . × {0, 1} ist.
|
X
ist mit Hilfe der Indikatorfunktion
Wir schreiben abkürzend
eignis, dass im
i−ten
{ωi = 1}
2n−mal
I{ω∈Ω|ωi =1} deniert.
{ω ∈ Ω|ωi = 1} und
für
{z
}
meinen damit das Er-
Versuch ein Treer gelandet wurde.
Die Indikatorfunktion
I
weist als Index dieses Ereignis auf, so dass die Indikator-
funktion den Wert 1 annimmt, wenn sie auf ein
ω
angewendet wird, das in diesem
Ereignis liegt.
ω nimmt die Indikatorfunktion den Wert 0 an.
I{ωi =1} (ω) gleich 1, wenn im i−ten Versuch ein Treer aufgetreten ist und
im i−te Versuch eine Niete herauskam.
Für alle anderen
Somit ist
0,
wenn
Geht man also alle Versuche durch und summiert die Funktionswerte der Indikatorfunktionen, so erhält man die Anzahl der Versuche, bei denen ein Treer
aufgetreten ist. Diese Summe beschreibt hier unsere Zählvariable
Man könnte
hier
in diesem Fall
bereits Werte 1 und 0 sind:
X.
X
X(ω)
auch einfacher denieren, da die Ergebnisse
n
P
=
ωi . Diese Denition funktioniert aber oft
i=1
nicht auf diese Weise!!
Wirft man beispielsweise statt des hier beschriebenen Versuchs einen Würfel
und interessiert sich dafür, wie oft eine
riable
Y
6
n−mal
geworfen wird, so kann man eine Zählva-
nicht als Summe über die einzelnen aufgetretenen Ergebnisse denieren,
da man sonst einfach die aufgetretenen Augenzahlen summieren würde. Man würn
P
de daher die Zählvariable Y wie folgt denieren: Y =
I{ω∈Ω|ωi =6} .
i=1
Nun nimmt die Indikatorfunktion den Wert 1 an, wenn man eine Sechs gewürfelt
hat, und sonst ist die Indikatorfunktion 0. Die Summe der Funktionswerte der Indikatorfunktionen über alle Versuche liefert dann die Anzahl der gewürfelten Sechsen.
Zurück zum Ereignis, das in der Aufgabenstellung zu beschreiben war.
Mit Hilfe der Zählvariable
X
kann man nun das Ereignis
A = {ω ∈ Ω|X(ω) > 0}
denieren.
Abkürzend kann man
{X > 0}
statt
{ω ∈ Ω|X(ω) > 0}
schreiben und meint
damit, dass man die Elemente betrachtet, bei der die Funktion
das Element einen Funktionswert gröÿer als 0 liefert.
Man könnte natürlich auch gleich abkürzend
A =
n
P
X
I{ωi =1}
angewendet auf
> 0
schreiben,
i=1
ohne eine Zählvariable explizit zu benennen.
(b) Bei beiden Versuchsreihen treten gleich viele Treer auf.
B :=Ereignis,
dass in beiden Versuchsreihen gleich viele Treer auftreten.
n
2n
P
P
Mit den Zählvariablen X1 =
I{ωi =1} und X2 =
I{ωi =1} kann man B auch wie
i=1 i=n+1
folgt denieren:
B :=
X1 = X2
.
(c) Die zweite Versuchsreihe liefert mehr Treer als die erste.
C :=Ereignis,
dass die zweite Versuchsreihe mehr Treer als die erste liefert.
n
2n
P
P
Mit den Zählvariablen X1 =
I{ωi =1} und X2 =
I{ωi =1} kann man C auch wie
i=1 i=n+1
folgt denieren:
C :=
X1 < X2
(d) In jeder Versuchsreihe gibt es mindestens eine Niete.
D :=Ereignis,
kommt.
dass in jeder der beiden Versuchsreihe mindestens eine Niete vor-
n
2n
P
P
X1 =
I{ωi =1} und X2 =
I{ωi =1}
i=1
i=n+1
D := X1 < n ∩ X2 < n
Mit den Zählvariablen
folgt denieren:
kann man
D
auch wie
Alternativ könnt man hier auch die Indikatorfunktion anders denieren und die Zähln
2n
P
P
variablen Y1 =
I{ωi =0} und Y2 =
I{ωi =0} zählen die Anzahl der Nieten.
i=1
i=n+1
Dann kann man
D
schreiben als
D :=
Y1 ≥ 1 ∩ Y 2 ≥ 0
B
Eine Münze wird dreimal geworfen. Sei
einander Zahl erscheint und
B
A
das Ereignis, dass mindestens zweimal hinter-
das Ereignis, dass alle Würfe das gleiche Ergebnis liefern.
Beschreiben Sie dieses Zufallsexperiment mit Hilfe eines geeigneten Grundraums, und bestimmen Sie die angegebenen Ereignisse.
Wenn eine Münze einmal geworfen wird, hat man als mögliche Ergebnisse Kopf (0) und Zahl
(1). Die Ergebnismenge ist dann
{0, 1}. Führt man diesen Münzwurf dreimal hintereinander
durch (mit Beachtung der Reihenfolge), so erhält man als Grundraum dieses Experimentes
Ω = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1}
= {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}
3
3
(und nach Produktformel ist übrigens |Ω| = |{0, 1}| = 2 = 8.
Die Ereignisse sind dann A = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} und B = {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}.
(a)
A ∪ B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} ∪ {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}
= {(0, 0, 0),(1, 1, 0),(0, 1, 1),(1, 1, 1)},
(b)
A ∩ B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} ∩ {(0, 0, 0), (1, 1, 1)} = {1, 1, 1)},
(c)
A \ B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} \ {(0, 0, 0), (1, 1, 1)} = {(1, 1, 0),(0, 1, 1)},
A ∪ B in Ω ist Ω \ (A ∪ B), also
A ∪ B = {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}\
{(0, 0, 0),(1, 1, 0),(0, 1, 1),(1, 1, 1)} = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)}
(d) Das Komplement von
Man kann (muss aber hier nicht) auch die Regel von De Morgan anwenden:
A∪B
=
De Morgan
A ∩ B = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)}
∩{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}
= {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)}
C
Zwei gleiche Münzen werden gleichzeitig geworfen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass
verschiedene Symbole oben liegen?
Da die Münzen ununterscheidbar sind und gleichzeitig geworfen werden, kann man zunächst keine Reihenfolge festlegen. Da es aber eigentlich zwei Möglichkeiten gibt, verschiedene Symbole zu erhalten, muss man die Münzen gedanklich unterscheiden (z.B. gedanklich färben oder nacheinander werfen). Man erhält also folgenden Grundraum:
{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
und
|Ω| = 4.
Ω =
für A günstiger Ergebnisse = |A|
A ist P (A) = AnzahlAnzahl
aller Ergebnisse
|Ω|
Für das Ereignis A =die obenliegenden Symbole sind verschieden = {(K, Z), (Z, K)} gibt
es also |A| = 2 Möglichkeiten.
|A|
Also ist P (A) =
= 24 = 21 = 0, 5.
|Ω|
Es ist ein Laplace-Modell, d.h. für ein Ereignis