ER = EPR - Quantenphilosophie

Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
1
Universität Ulm
Humboldt-Studienzentrum für Philosophie
und
Geisteswissenschaften
Wintersemester 2016/17
Seminar
Leibnitz und die Quantenphysik
Hausarbeit zum Thema
Einstein und die Quanten: ER = EPR?
von Leonard Susskind
Dozent: Dr. W. Matthias Keller
Datum der Abgabe: 2. März 2017
Verfasser:
Peter Stocki
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Physikalische Grundlagen
4
2.1 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1 Postulate und Kopenhagener Deutung . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2 Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3 Einstein-Podolski-Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1 Lorentztransformation und Minkowski-Metrik
. . . . . . . . . . . .
8
2.2.2 Metriktensor und Schwarzschildlösung . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Kruskal-Lösung und Einstein-Rosen-Brücke . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 AdS/CFT-Korrenpondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 de-Sitter- und Anti-de-Sitter-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 AdS/CFT-Korrepondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Copenhagen vs Everett, Teleportation, and ER=EPR
20
3.1 Hinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 „ER=EPR: Everett versus Kopenhagener Deutung“ oder „GHZ-Branes“ . . 21
3.2.1 ER=ERB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Kopenhagener Deutung versus Everett Interpretation . . . . . . . . 22
3.2.3 Wigner’s Freund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.4 GHZ-Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Teleportation durch ein Wurmloch: ERBs als Quelle
. . . . . . . . . . . . 26
3.4 Doppelspalt und Wurmloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Fazit des Artikels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Kontingenz und Freiheit
30
Anmerkungen
31
Literaturverzeichnis
34
Abbildungsverzeichnis
35
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3
1 Einleitung
Die gängige Interpretation der Quantenmechanik, die Kopenhagener Deutung, hat ein
Defizit, das bei Physikern zu Konfusionen und in der Theorie zu logischen Inkonsistenzen führt: Es wird zur Messung an einem System ein Beobachter benötigt, der außerhalb
des zu untersuchenden Systems steht. Zum einen besteht das Universum aus sehr
vielen Beobachtern, so dass nicht klar auszumachen ist, welcher Beobachter nun für
die Messung in Frage kommen sollte. Zum anderen kann man kein System wirklich so
weit isolieren, dass eine ungestörte Messung möglich wäre. Die Lösung des Problems:
ER=EPR. Dabei sind ER Einstein-Rosen Brücken, auch ERB oder Wurmlöcher genannt
und EPR Einstein-Rosen-Podolsky Korrelationen, also Quantensysteme, die sich, entsprechend der Bellschen Ungleichung, nichtlokal verhalten. Es wird also behauptet, dass
Verschränkungen zwischen zwei Teilchen auf plancksche Wurmlöcher, die die Teilchen
verbinden, zurückzuführen sind. Dies wird im Artikel von Leonard Susskind „Copenhagen vs Everett, Teleportation, and ER=EPR“ (Susskind [16]) (Kap. 3) näher ausgeführt.
Um die physikalischen Begriffe verstehen und einordnen zu können, wurden in
Kapitel 2 die dazu nötigen physikalischen Grundlagen zusammengestellt.
Ich habe ab dem Schuljahr 2005/06 am Schiller-Gymnasium in Heidenheim den schulübergreifenden „Kurs für besonders befähigte Schüler“ mit dem Thema: „Die Spezielle
Relativitätstheorie und der Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie“ abgehalten.
Der Kurs umfasste den Zeitrahmen 2 Stunden pro Woche über ein ganzes Schuljahr.
Dafür habe ich ein Skript erstellt, aus dem ich für diese Hausarbeit Informationen entnommen habe. Das Skript wird daher zu dieser Arbeit als Quellennachweis mit geliefert,
ist aber natürlich nicht Teil dieser Hausarbeit.
Weitere Artikel zu diesem Thema wurden nur sporadisch verwendet:
Haramein, Brown und Baker [10], Maldacena und Susskind [12], Brown [2], Haramein
[8], Haramein und Baker [9].
Im letzten Kapitel 4 wird versucht, Leibnitz Kontingenz mit der neuen Physik in Einklang zu bringen. Gedanken über Willensfreiheit schließen die Hausarbeit ab.
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4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Quantenmechanik
Die Postulate der Quantenmechanik und einige ihrer Besonderheiten werden zusammengestellt.1 :
2.1.1 Postulate und Kopenhagener Deutung
Postulat I: Zustände:
Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch die zugehörige Wellenfunktion |vi vollständig beschrieben.
Mathematisch gesehen ist |vi ein Vektor in einem Hilbertraum H, der den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt.
Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen C mit einem Skalarprodukt. Vektoren im
Hilbertraum werden durch |vi bzw. hv| dargestellt. Da eine Multiplikation eines Zustandsvektors |vi mit einer komplexen
Zahl α einen Vektor ergibt, der den gleichen Zustand wie |vi beschreibt, ist |vi ein Repräsentant einer Menge von Vektoren
der Form {α|vi|α ∈ C}, die alle den gleichen Zustand eines quantenmechanischen Systems beschreiben.
Postulat II: Messung:
Jeder Observablen entspricht ein Operator.
Eine Observable ist eine beobachtbare physikalische Größe des beobachteten Systems. Die Messung wird durch einen
linearen, hermiteschen Operator dargestellt. Der Messwert λ entspricht dem Eigenwert des Operators. Ein Operator ist
eine Funktion H → H. Ein linearer Operator A ist linear, wenn gilt: A(α|ui + β|vi) = αA|ui + βA|vi. Ein Operator ist
hermitesch, wenn er nur reele Eigenwerte hat und der Hilbertraum eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bzgl. A besitzt.
Ein Eigenwert von A ist eine Zahl λ, für die ein Vektor |vi existiert, so dass die Eigenwertgleichung A|vi = λ|vi erfüllt ist.
|vi ist dann Eigenvektor zum Eigenwert λ. Der Eigenraum Hλ zum Eigenwert λ ist der Unterraum des Hilbertraums H, für
den die Eigenwertgleichung erfüllt ist.
Postulat III: Messwahrscheinlichkeit:
Der Mittelwert einer Observablen ist gegeben durch das Skalarprodukt der Wellenfunktion mit der durch den zugehörigen Operator multiplizierten Wellenfunktion.
p(λ) = hv|Pλ |vi
Messpostulat: Die Wellenfunktion geht bei der Messung einer Observablen in die
Eigenfunktion über, die zum gemessenen Eigenwert korrespondiert.
Der Projektionsoperator Pλ projeziert den ursprünglichen Zustandsvektor |vi auf den zum Messwert λ gehörigen Unterraum
von Hλ . Wenn der Zustand vor der Messung nicht schon im Unterraum lag, wird durch die Messung der Zustand also
zwangsläufig verändert. Nach der Messung befindet sich das beobachtete System im Zustand |vλ i, wobei |vλ i die Projektion
des ursprünglichen Zustandsvektors |vi auf den Eigenraum Hλ ist.
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5
Postulat IV: Zeitentwicklung:
Die Zeitentwicklung der Zustände ist durch die Schrödingergleichung bestimmt:
H|v(t)i = i~
∂
|v(t)i
∂t
mit dem Operator
H=−
~2 ∂ 2
+ V (x)
2m ∂x2
H stellt den Hamiltonoperator der Energie-Observable dar. Solange keine Messung stattfindet, verhält sich das System also
streng deterministisch. Erst im Moment der Messung findet ein Sprung von |v(t0 )i zu Pλ |v(t0 )i statt. Dieser Sprung wird
als Kollaps der Wellenfunktion bezeichnet.
Als Grundprinzipien der Kopenhagener Deutung könnte man nennen:
Prinzip 1: Das Komplementaritätsprinzip
Wir können nur durch sich gegenseitig ausschließende Konzepte ein Bild der Quantenmechanik machen. Wir können ein Photon z.B. als Teilchen messen (Photoeffekt, Compton-Effekt) oder als Welle (Interferenzphänomene).
Prinzip 2: Der Schnitt zwischen Makro- und Mikrokosmos
Die Makrowelt kann durch klassische Begriffe der Physik beschrieben werden und
erhält dadurch eine ontologische Eigenständigkeit, die der Mikrowelt abgesprochen wird, da sie, nach dem Messpostulat, nur durch die Messung zugänglich
gemacht werden kann.
Prinzip 3: Beschränkung auf die Erfahrung
Durch die Abhängigkeit der Beschreibung eines quantenmechanischen Systems
von der klassischen Physik (Messgeräte, Zeiger) und der Verlust der strengen
ontologischen Eigenständigkeit, gibt die Kopenhagener Deutung das Prinzip der
Objektivierbarkeit und der Determiniertheit auf. Zitat von Bohr:
»Es gibt keine Quantenwelt. Es gibt nur eine abstrakte Quantenbeschreibung.«2
Prinzip 4: Die Rolle der klassischen Messapparate
Bestimmte Aussagen z.B. über den Wellen- oder Teilchencharakter eines Quantenobjekts hängen von der Art der Fragestellung und somit vom experimentellen
Messaufbau ab. Zur korrekten Beschreibung der Quantenphänomene gehört also
die Angabe des experimentellen Versuchaufbaus.
Die Schwierigkeit liegt im Postulat IV, das den Kollaps der Wellenfunktion beschreibt
und die Rolle der Messung, und damit eines Beobachters, explizit hervorhebt. Nach
dieser Standardinterpretation sind ohne Messung keine Informationen über physikalische Systeme zu erhalten, was die Vorstellung einer streng objektiven Mikrowelt ad
absurdum führt. Nach der Kopenhagener Deutung ist ein Messprozess auch irreversibel,
weil durch den Kollaps der Wellenfunktion alle anderen Möglichkeiten einer weiteren
Messung vernichtet wurden und eine Messung nicht mehr rückgängig gemacht werden
kann.
Zurück zum Artikel von Susskind (Susskind [16]). Das Universum ist ein Netzwerk
aus vielen verschränkten Subsystemen, die durch eine Gesamtwellenfunktion dargestellt
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werden muss. Diese ist im Allgemeinen verschieden von der Kenntnis der Einzelwellenfunktionen aller Subsysteme. Was man nach Postulat IV sagen kann, ist, dass sich die
Gesamtwellenfunktion immer weiter entwickelt und die Verschränkung der Subsysteme
immer weiter zunimmt. Dort ein bestimmtes Subsystem als Beobachter auszumachen,
ist nur durch Näherungen möglich. Nach Susskind ist die Quantenmechanik nur eine provisorische Version, die verbessert und erweitert werden kann, so dass viele ihrer Unstimmigkeiten und Interpretationsmöglichkeiten verschwinden. Die Lösung sieht Susskind
in dem Prinzip ER=EPR, das bedeutet: Das außerordentlich komplexe Netzwerk aus
miteinander verschränkten Subsystemen des Universums (EPR) ist ein außerordentlich
komplexes Netzwerk aus Einstein-Rosen-Brücken (ER). In dem Artikel, der auf einer
Vorlesung beruht, die er im März 2016 im „Institute for Advanced Study“ gehalten hat,
werden drei Folgerungen des Prinzips vorgestellt.
1. ER=EPR: Everett gegen Kopenhagener Deutung oder GHZ-Brane
2. Teleprotation durch ein Wurmloch, ERBs als Quelle
3. Doppelspalt und Wurmloch
Um die Inhalte der Texte zu verstehen, werden die fachlichen Voraussetzungen angegeben.
2.1.2 Verschränkung
3
In der klassischen Physik kann man ein Objekt durch 3 Orts- und 3 Impulskoordinaten
beschreiben. Der Zustandsraum ist damit durch einen 6-dimensionalen Phasenraum
gegeben, der durch die drei Impuls- und die drei Ortskoordinaten aufgespannt wird und
isomorph zu R6 ist. Besteht ein System aus zwei Objekten, so ist der Phasenraum 12dimensional und isomorph zu R6 × R6 = R12 , dem direkten Produkt R6 ⊕ R6 = R6+6 . Für
endlich viele Vektorräume stimmt das direkte Produkt mit der Summe der Vektorräume
überein Rn ⊕ Rm = Rn+m . Der Grund dafür ist, dass die Teilsysteme der klassischen
Physik voneinander unabhängig sind und nicht miteinander korrelieren.
In der Quantenmechanik wird die Zusammensetzung der Systeme durch das Tensorprodukt ihrer Hilberträume beschrieben. Der Produktraum Hn ⊗ Hm = Hn·m eines
n- und eines m-dimensionalen Hilbertraums, Hn und Hm , besitzt die Dimension n · m.
Seien {~
ei } und {h~j } die dazugehörigen Basissysteme von Hn und Hm , so lässt sich ein
~ nicht als Produkt der Basisvektoren, sondern
allgemeiner Vektor eines Tensorraums ψ
P
~ = i,j aij e~i ⊗ h~j schreiben. Durch diese Superpositionen
nur als lineare Superposition ψ
bestehen Beziehungen, sogenannte Korrelationen, zwischen den Zuständen der Teilsysteme. Diese Besonderheit, die bei zusammengesetzten Systemen in der klassischen
Physik nicht auftaucht, nennt man Verschränkung.
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7
Daraus folgt, dass sich ein n-dimensionaler Hilbertraum als Tensorprodukt von n
eindimensionalen Hilberträumen schreiben lässt:
H n = H1 ⊗ H 2 ⊗ . . . ⊗ H n =
n
O
Hi
(2.1)
i=1
Ein Basiszustand ψ ∈ Hn eines n-Teilchen Hilbertraums lässt sich schreiben als:
ψ = ψ(1, 2, 3, ...n) = ψ1 ⊗ ψ2 ⊗ . . . ⊗ ψn ,
ψi ∈ Hi , ψ ∈ Hn
(2.2)
Auf Grund des Ununterscheidbarkeitspostulats4 ,hat die allgemeine Form eines Zustands eines Vielteilchensystems:
Ψ(1, 2, . . . n) =
X
P
C(n)
√ ψ(1, 2, . . . n)
n!
(2.3)
Dabei ist die Summe über n! Permutationen zu bilden. Jede physikalische Observable
kommutiert mit jedem Permutationsoperator, d.h. man kann durch kein Experiment zwischen einem permutierten und einem unpermutierten Zustand unterscheiden.
2.1.3 Einstein-Podolski-Rosen
5
EPR bezieht sich auf das Einstein-Podolski-Rosen-Paradoxon. In einer Version wird
durch eine Quelle ein verschränktes Photonenpaar erzeugt, Ereignis ψ , die sich dann in
entgegengesetzten Richtungen auf Messgeräte zubewegen. Mit | ↑a i1 bezeichnen wir
den Zustand von Photon 1, das in diesem Fall den Zustand „Spin up“ bezüglich der
Raumrichtung a hat. Würde man das System klassisch beschreiben, so würde man den
Zustand der zwei Objekte durch Produktzustände, |φi = | ↑z i1 | ↓z i2 darstellen. Wie in
Kap.2.1.2 erläutert, muss man verschränkte Systeme, wie unsere zwei Photonen, durch
die Superposition von Produktzuständen darstellen. Der Spinzustand des Gesamtsystems ist nach Gleichung 2.1 ein Zustandsvektor im Hilbertraum des Tensorprodukts
H1 ⊗ H2 . Die Spin-Hilberträume der zwei Teilchen werden durch die Eigenvektoren
der Operatoren aufgespannt, die wiederum eine Messgröße darstellen. Wir messen
die Projektion des Spins in z-Richtung. Der dazugehörige Operator sei Sˆz , die Eigenwertgleichungen Ŝz1 | ↑z i1 =
~
|
2
↑z i1 und Ŝz1 | ↓z i1 = − ~2 | ↓z i1 für das Photon 1 und
Ŝz2 | ↑z i2 = ~2 | ↑z i2 und Ŝz2 | ↓z i2 = − ~2 | ↓z i2 für das Photon 2. Damit bilden die Vektoren
| ↑z i1 | ↑z i2 , | ↑z i1 | ↓z i2 , | ↓z i1 | ↓z i2 und | ↓z i1 | ↑z i2 eine vollständige Basis
im Hilbertraum des Tensorprodukts. Eine Beschreibung der verschränkten Photonen
könnte nach Gleichung 2.3 sein:
1 |ψi = √ | ↑z i1 | ↓z i2 − | ↓z i1 | ↑z i2
2
(2.4)
Zunächst kann beim Vorliegen dieses Zustandes keinem der Photonen ein eindeutiger
Spinzustand zugeordnet werden. Die Ereignisse der Messung der Spinzustände der
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Photonen liegen raumartig zum Ereignis der Erzeugung der zwei Photonen, so dass
die zwei Mess-Ereignisse nicht-lokal zum Ereignis der Erzeugung liegen. Und trotzdem
stellt man Korrelationen der Messergebnisse fest: Wenn man bei Photon 1 den Zustand
| ↑z i1 misst, liegt bei Photon 2 nach der Messung mit Sicherheit der Zustand | ↓z i2 vor
und umgekehrt. Die Verschränkung sorgt offenbar für Nicht-Lokalität in der Quantenmechanik.
2.2 Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie
2.2.1 Lorentztransformation und Minkowski-Metrik
ERB bezieht sich auf Einstein-Rosen Brücken, die auch Wurmlöcher genannt werden.
Dazu erfolgt ein Kurzeinstieg in die spezielle Relativitätstheorie (SRT)und die allgemeine
Relativitätstheorie (ART)6 . Ausgehend von zwei sich mit konstanter Geschwindigkeit
v relativ zueinander bewegenden Inertialsystemen K und K 0 muss, u.a. wegen der
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c, der Homogenität des Raumes und der Zeit, der
Isotropie des Raumes , die Galilei-Transformation
x = x0 + v · t0
x0 = x − v · t
y = y0
y0 = y
z = z0
z0 = z
t = t0
t0 = t
(2.5)
durch die (spezielle) Lorentz-Transformation
ct0 = γ(ct − βx)
ct = γ(ct0 + βx)
x0 = γ(x − βct)
x = γ(x0 + βct0 )
y0 = y
y = y0
0
z =z
mit
γ=√
(2.6)
0
z=z
v
β=
c
1
1 − β2
ersetzt werden, wobei x, y , z und ct Koordinaten eines Ereignisses in der MinkowskiRaumzeit darstellen, die in K bestimmt werden. Daraus lassen sich z.B. das Additionstheorem der Geschwindigkeiten, die Längenkontaktion und die Zeitdilatation ableiten:
v=
v1 + v2
1 + v1c2v2
∆x =
∆x0
γ
∆t = ∆t0 · γ
Die letzten Gleichungen bedeuten, dass
• dass die Lichtgeschwindigkeit niemals überschritten werden kann.
(2.7)
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• dass die Länge bewegter Gegenstände um den Faktor γ1 < 1 reduziert wird. ∆x0 =
x02 − x01 ist die Länge, die im bewegten System K 0 gemessen wurde. Aus Sicht von
K beträgt dann diese Länge ∆x < ∆x0 .
• dass bewegte Uhren um den Faktor γ > 1 langsamer gehen. ∆t0 = t02 − t01 ist
das Zeitintervall, das im bewegten System K 0 gemessen wurde. Aus Sicht von K
beträgt dann diese Länge des Zeitintervalls ∆t > ∆t0 . Am schnellsten gehen die
Uhren, die sich im eigenen Inertialsystem befinden. Sie messen die Eigenzeit τ ,
hier also t0 .
Der Abstand zweier Ereignisse wird nun über die Eigenzeit definiert. Der Abstand
zweier Ereignisse ist die zwischen den zwei Ereignissen vergangene Eigenzeit τ , multipliziert mit c. Für differentiell kleine Änderungen gilt:
s
√
dt
v2 √
ds = c · dτ = c = c · dt 1 − 2 = c2 dt2 − v 2 dt2 = c2 dt2 − dx2
γ
c
(2.8)
Allgemein:
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2
(2.9)
ds2 wird als Linienelement bezeichnet. Es ist lorentzinvariant, d.h. sowohl im bewegten,
wie im ruhenden Inertialsystem wird das gleiche Linienelement gemessen. Anzumerken
ist noch, dass für Lichtstrahlen ds2 = 0 gilt (Für Lichtstrahlen gilt: c2 dt2 = dr2 = dx2 +
dy 2 + dz 2 ). Nun ist noch der Zusammenhang zwischen Linienelement und Raumstruktur
zu klären. Mit Umbenennung der Koordinaten können wir das Linienelement in einer
allgemeineren Form mit kontravarianten Vierervektoren (x0 , x1 , x2 , x3 ) für (cdt, x, y, z)
schreiben:
ds2 = 1 · dx0 · dx0 +0 · dx0 · dx1 + 0 · dx0 · dx2 +0 · dx0 · dx3
+ 0 · dx1 · dx0 −1 · dx1 · dx1 + 0 · dx1 · dx2 +0 · dx1 · dx3
+ 0 · dx2 · dx0
+0 · dx2 · dx1 − 1 · dx2 · dx2 +0 · dx2 · dx3
+ 0 · dx3 · dx0
+0 · dx3 · dx1 + 0 · dx3 · dx2 −1 · dx3 · dx3
(2.10)
Mit Matrixkomponenten:
ds2 = η00 · dx0 · dx0 +η01 · dx0 · dx1 + η02 · dx0 · dx2 +η03 · dx0 · dx3
+ η10 · dx1 · dx0 +η11 · dx1 · dx1 + η12 · dx1 · dx2 +η13 · dx1 · dx3
+ η20 · dx2 · dx0 +η21 · dx2 · dx1 + η22 · dx2 · dx2 +η23 · dx2 · dx3
(2.11)
+ η30 · dx3 · dx0 +η31 · dx3 · dx1 + η32 · dx3 · dx2 +η33 · dx3 · dx3
Kompakter mit Summenzeichen und Einsteinscher Summenkonvention:
ds2 =
3 X
3
X
µ=0 ν=0
ηµν dxµ dxν = ηµν dxµ dxν
(2.12)
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Dabei bezeichnet


ηµν
1 0
0
0


0 −1 0
0



=
0 0 −1 0 


0 0
0 −1
(2.13)
die Minkowski-Metrik eines flachen Raumes, bei dem unsere Voraussetzungen der Homogenität der Zeit und des Raumes, sowie die Isotropie des Raumes gelten. Wichtiges
Darstellungsmittel ist das Raumzeit-Diagramm. Wird ein anderes Koordinatensystem
Abbildung 2.1: Überlichtgeschwindigkeit
verwendet oder wird ein anderer als der flache Raum beschrieben, so schreiben wir
ds2 = gµν dxµ dxν
(2.14)
dabei ist gµν der metrische Tensor. Beispiel: Metrischer Tensor mit Kugelkoordinaten. Die
neuen Koordinaten werden mittels des totalen Differenzials bestimmt:
dx0a =
∂x0a b
dx
∂xb
(2.15)
Kugelkoordinaten:
x = rsin(ϑ)cos(ϕ)
(2.16)
y = rsin(ϑ)sin(ϕ)
(2.17)
z = rcos(ϑ)
(2.18)
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Abbildung 2.2: Kugelkoordinaten
Die totalen Differenziale:
∂x
∂x
∂x
dr +
dϑ +
dϕ = sin(ϑ)cos(ϕ)dr + rcos(ϑ)cos(ϕ)dϑ − rsin(ϑ)sin(ϕ)dϕ
∂r
∂ϑ
∂ϕ
∂y
∂y
∂y
dy =
dr +
dϑ +
dϕ = sin(ϑ)sin(ϕ)dr + rcos(ϑ)sin(ϕ)dϑ + rsin(ϑ)cos(ϕ)dϕ
∂r
∂ϑ
∂ϕ
∂z
∂z
∂z
dz =
dr +
dϑ +
dϕ = cos(ϑ)dr − rsin(ϑ)dϑ
∂r
∂ϑ
∂ϕ
dx =
(2.19)
Die totalen Differenziale quadriert und in Gleichung 2.14 eingesetzt, ergibt:
ds2 = c2 dt2 − dr2 − r2 dϑ2 − r2 sin2 (ϑ)dϑ2
(2.20)
mit dem Metriktensor:

gµν

1 0
0
0



0 −1
0
0



=

0 0 −r 2
0


0 0
0 −r2 sin2 (ϑ)
(2.21)
gµν beschreibt immer noch die Geometrie des flachen Raumes. Diese Geometrie wird in
der ART über die Einsteinschen Feldgleichungen durch die Massen bestimmt, genauer
durch den Energie-Impuls-Tensor Tµν .
2.2.2 Metriktensor und Schwarzschildlösung
Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten:
8πG
1
Rµν − gµν R + Λgµν = κTµν = − 4 Tµν
2
c
(2.22)
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Dabei ist Rµν der Krümmungstensor (Ricci-Tensor), Λ die kosmologische Konstante, R
der Krümmungsskalar und G die Gravitationskonstante. Die kosmologische Konstante
ist ein Maß für die Energiedichte ρvac des Vakuums: Λ =
energiedichte gilt außerdem: ρvac =
− cp2 ,
8πG
c2
· ρvac . Für die Vakuum-
so dass eine positive Vakuumenergiedichte zu
einem negativen Druck und somit zu einer Expansion des Universums führt.
Wir gehen zunächst von Λ = 0 aus. Für die Beschreibung der Einstein-Rosen-Brücken
gehen wir von einer nicht-rotierenden elektrisch neutralen Kugel der Masse M aus. Im
Außenraum der Kugel soll sich keine Materie befinden, was mit Tµν auf die Lösung der
Vakuumfeldgleichungen führt:
Rµν −
R
gµν = 0
2
(2.23)
Die Lösung von Schwarzschild lautet:
ds2 = (1 −
Dabei ist m =
GM
c2
2m 2
1
dr2 − r2 (dϑ2 + r2 sin2 (ϑ)dϕ2 )
)dt −
r
)
(1 − 2m
r
(2.24)
und 2m = 2 GM
= rS der Schwarzschild-Radius. Ein Stern mit
c2
einem Radius r < rS heißt Schwarzes Loch. Die Schwarzschildlösung ist stationär,
statisch (d.h. zeitsymmetrisch und zeittranslationsinvariant) und asymptotisch flach (d.h.
für r → ∞) geht diese Lösung in die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie in
Kugelkoordinaten (Gleichung 2.20) über. Nach den Feldgleichungen sind die Rµν nur im
Bereich der Quellen ungleich Null, da die Krümmung proportial zur Massendichte ist.
Die Lösung der Schwarzschildmetrik bezieht sich auf den quellfreien Raum und deshalb
ist die Raumkrümmung bezogen auf den 4-dimensionalen Raum Null aber bezogen
auf den 3-dimensionalen Unterraum (ohne zeit) ungleich Null. Die Schwarzschildlösung
kann durch ein Raumzeit-Diagramm dargestellt werden (Abbildung 2.3). Dazu werden
die radialen Nullgeodäten betrachtet, für die gilt: ds2 = ϑ̇ = ϕ̇ = 0. Geodäten sind die
kürzesten Verbindungskurven zweier Ereignisse. Bedingung für eine geodätische Linie:
Z B
A
ds =
Z Bq
A
gµν dxµ dxν = minimal
(2.25)
Nullgeodäten sind Verbindungskurven, die zwei Ereignisse verbinden und die Länge Null
haben. Z.B. ist eine lichtartige Kurve im flachen Minkowskiraum eine Nullgeodäte, weil
diese zwei Ereignisse direkt verbindet: Würde man mit dem Lichtstrahl mitfliegen können, würde dort die Zeit stehen bleiben und das Linienelement wäre Null. Zunächst sehen wir, dass die Geodäten keine Geraden sind, wie sei es wären, wenn der Raum flach
wäre. Zudem sind zwei Dimensionen unterdrückt, so dass wir uns an jedem Punkt (t, r)
eine zweidimensionale Sphäre mit Flächeninhalt 4πr2 denken müssen. r = 2m ist der
Schwarzschildradius und bildet somit den Ereignishorizont. Da die Schwarzschildlösung
asymptotisch flach ist, erwarten wir, dass die Nullgeodäten mit den Koordinatenachsen
für r → ∞ einen Winkel von 45◦ einschließen. Im Gebiet II, zwischen der Singularität und
dem Ereignishorizont, kippen die Koordinaten t und r ihren Charakter um. Jetzt ist die
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Abbildung 2.3: Schwarzschildlösung
Linie t = konstant eine zeitartige Linie und muss innerhalb des Lichtkegels bleiben. Das
heißt, dass ein Beobachter im Gebiet II nicht in Ruhe bleiben kann und zur intrinsischen
Singularität r = 0 hingezogen wird. Die Kongruenz einlaufender Nullgeodäten erweckt
den Eindruck, dass ein Beobachter im Gebiet I unendlich lange Zeit benötigt, um den
Schwarzschildradius zu erreichen. Dieser Eindruck täuscht, da nur von außen beobachtet wird, dass ein zur Singularität fliegender Beobachter unendlich lange braucht, um
den Ereignishorizont zu erreichen. Der Beobachter selbst erreicht den Horizont aber in
endlicher Zeit. Durch Transformation der Zeitkoordinate t → t̄ + 2m · ln(r − 2m) und das
Einführen einer Nullkoordinaten v = t̄ + r, die aus historischen Gründen „avancierter
Zeitparameter“ genannt wird, lässt sich der Sachverhalt besser darstellen. Das Resultat
ist die Eddington-Finkelstein-Form, eine analytische Erweiterung der Schwarzschildlösung (SSL) abgebildet in Gleichung 2.24:
ds2 = 1 −
2m 2
dv − 2dv dr − r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )
r
(2.26)
Das dazugehörige Raumzeit-Diagramm (Abbildung 2.4): Hier ist die Kongruenz einfallender radialer Nullgeodäten durch v = konstant gegeben. Die einlaufenden Geodäten
sind also Geraden. Die linken Ränder der Lichtkegel schließen mit der r-Achse einen
Winkel von −45◦ ein. Der rechte Rand der Lichtkegel hat für r → ∞ einen Winkel von
45◦ zur r-Achse, klappt in der Nähe von r = 2m langsam nach oben und kippt für r < 2m
nach innen.
2.2.3 Kruskal-Lösung und Einstein-Rosen-Brücke
Kruskal hat die SSL nochmals zu einer maximalen Mannigfaltigkeit erweitert. Eine Mannigfaltigkeit heißt maximal, wenn jede von einem beliebigen Punkt ausgehende Geodäte
entweder in beide Richtungen zu unendlichen Werten des affinen Geodätenparameters
ausgedehnt werden kann (sie also geodätisch vollständig ist) oder in einer intrinsischen
Singularität endet. Es gilt: Eine geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit ist maximal, aber
eine maximale Mannigfaltigkeit muss nicht vollständig sein. Die Minkowski-Raumzeit ist
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
14
Abbildung 2.4: SSL in avancierten Eddington-Finkelstein-Koordinaten
ein triviales Beispiel einer geodätisch vollständigen Mannigfaltigkeit. Kruskal hat nun eine maximal, analytische Fortsetzung der Schwarzschildlösung gefunden, die jedoch, auf
Grund auftretender intrinsischer Singularitäten, nicht vollständig ist. Er hat dies erreicht,
indem er sowohl eine avancierte Nullkoordinate v als auch eine retardierte Nullkoordinate w eingeführt hat, so dass letztendlich das folgende Linienelement als Kruskal-Lösung
angegeben werden kann:
ds2 =
16m2 − r 02 16m2 − r 02
e 2m dt −
e 2m dx − r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )
r
r
(2.27)
Das dazugehörige Raumzeit-Diagramm (Abbildung 2.5): Alle einfallenden und auslau-
Abbildung 2.5: Kruskal-Lösung
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
15
fenden radialen Geodäten sind nun Geraden und alle Lichtkegel haben eine 45◦ -Öffnung.
Alle Hyperbeln haben den Ereignishorizont r = 2m als Asymptote. Diese Asymptoten teilen die Raumzeit in 4 Gebiete. Die Gebiete I und II gehören zur avancierten
Eddington-Finkelstein-Lösung. I gehört dabei zur Schwarzschildlösung r > 2m, II gehört
zur Lösung eines schwarzen Lochs, II’ gehört zur Lösung eines weißen Lochs, I und
II gehören zur retardierten Eddington-Finkelstein-Lösung. Die Gebiete I und I’ jedoch
sind für die Entstehung einer Einstein-Rosen-Brücke verantwortlich. Bewegen wir uns
für t0 = 0 auf der x0 -Achse von −∞ nach +∞, so sinkt der Wert von r bei x0 = 0 bis
zu einem Minimum von r = 2m ab und nimmt dann wieder zu für x0 → +∞. Machen
wir bei ϑ = 21 π einen Schnitt, so erhalten wir etwa Figur 2.6. Bei t0 = 0 erhalten wir zwei
Abbildung 2.6: Einstein-Rosen-Brücke
flache Schwarzschild-Mannigfaltigkeiten, die bei r = 2m vereinigt sind. Lassen wir t0
anwachsen, vereinigen sich die Mannigfaltigkeiten bei r < 2m und der Hals verengt sich.
Bei t0 = 1 berühren sich beide Universen bei der Singularität r = 0. Bei t0 > 1 gibt es
für die beiden Universen keine gemeinsamen Punkte mehr. Die zeitliche Entwicklung ist
Abbildung 2.7: Einstein-Rosen-Brücke, Zeitliche Entwicklung
in Abbildung 2.7 zu sehen. Die Drehung um die zentrale vertikale Achse ergibt ähnliche
Abbildungen wie Abbildung 2.6. Beide besitzen aber weiterhin eine Singularität bei r = 0.
Da die Einsteinschen Feldgleichungen die lokale Geometrie der Raumzeit festlegen,
jedoch nicht die globale Geometrie oder die Topologie, wäre auch noch die geometrisch
identische aber topologisch verschiedene Möglichkeit eines Schwanzschild-Wurmlochs
möglich (Abbildung 2.8).
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
16
Abbildung 2.8: Schwarzschild-Wurmloch
2.3 AdS/CFT-Korrenpondenz
2.3.1 de-Sitter- und Anti-de-Sitter-Raum
7
Der de-Sitter-Raum ist die einfachste positiv gekrümmte Raumzeit. Er löst daher die
Einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven kosmologischen Konstanten. Der Raum
ist symmetrisch und die positive Krümmung ist konstant. Im der vierdimensionalen Raumzeit ist der de-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel. Ein 2-dimensionaler de-SitterRaum ist in Abbildung 2.9 skizziert8 .
Abbildung 2.9: 2-dim de-Sitter-Raum
Der Anti-de-Sitter-Raum (AdS) ist die einfachste Raumzeit mit negativer Krümmung
(deshalb Anti-). Ein 2-dimensionaler Anti-de-Sitter-Raum ist in Abbildung 2.10 skizziert9 .
Sie ist eine Raumzeit mit negativer kosmologischer Konstante und liefert daher einen
Abbildung 2.10: 2-dim Anti-de-Sitter-Raum
positiven Druck, der in Zusammenhang mit der Dunklen Energie /Dunkler Materie gebracht werden kann. Die Energieform des Anti-de-Sitter-Raumes ist im Gegensatz zum
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
17
De-Sitter-Raum deshalb auch anziehend. Dies entspricht der üblichen Wirkung von Gravitation.
Der Anti-de-Sitter-Raum ähnelt dem hyperbolischen Raum zuzüglich einer zeitlichen
Dimension. Im Gegensatz zu unserem Universum kann ein Anti-de-Sitter-Raum weder
expandieren noch kontrahieren – er sieht zu allen Zeiten gleich aus (stationärer Zustand).
Eigenschaften des Anti-de-Sitter-Raumes sind:
• Er hat eine konstante negative Krümmung und hat einen Rand.
• Die Energieform ist anziehend, d.h. wenn man im Raum schwebt, hat man den
Eindruck, sich am Boden eines Gravitationspotenzials zu befinden.
• Es existieren geschlossene, zeitartige Kurven, d.h. jedes fort geschleuderte Objekt
kommt wie ein Bumerang zurück. Dabei bleibt die Rückkehrzeit stets diesselbe,
egal mit welchem Schwung man das Objekt weg schleudert und egal, wie weit es
sich entfernt hat.
• Obwohl der Anti-De-Sitter-Raum unendlich ist, hat er eine Grenze im Unendlichen.
Die Grenze wird nur in endlichen Rahmen gequetscht.
Abbildung 2.11: 2-dim Anti-de-Sitter-Raum
• Beim 4-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raum hat die Grenze zwei Raumdimensionen und eine Zeitdimension und somit, bezogen auf das Universum, zu jedem
Zeitpunkt eine sehr große Kugeloberfläche.
• Eine Quantengravitationstheorie im Innern einer Anti-De-Sitter-Raumzeit ist äquivalent zu Quantenteilchentheorie auf dem Rand.
Bei der AdS/CFT-Korrenpondenz wird eine 5-dimensionale Anti-de-Sitter-Raumzeit AdS5
verwendet, auf der dann eine Stringtheorie aufgebaut wird (s.u.).
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
18
2.3.2 CFT
10
CFT steht für “Conformal Field Theory“, also übersetzt “konforme Feldtheorie“. Eine
Feldtheorie beschreibt Kräfte in der Natur entweder klassisch (wie bei der ART oder bei
der Maxwellschen Elektrodynamik) oder quantisiert (Quantenfeldtheorie).
Das Attribut „konform“ bedeutet, dass eine bestimmte Symmetrie bei dieser Feldtheorie
vorliegt, nämlich die konforme Symmetrie. Was das genau bedeutet, ist nur mit einigen
Kenntnissen der Gruppentheorie zu verstehen. Näher ausgeführt: Mathematisch assoziiert man Symmetrien mit Gruppen. In diesem Fall betrachten wir also die konforme
Gruppe. Sie setzt sich aus verschiedenen Transformationen (Generatoren) zusammen,
die gerade die Gruppeneigenschaften erfüllen. Im Falle der konformen Gruppe sind das
die Generatoren der Poincarégruppe (d.h. die Lorentz-Generatoren, die zur Lorentzgruppe gehören, plus Translationen), der Generator für Dilatationen sowie spezielle konforme
Transformation. Dilatationen sind Transformationen, die die Längen- oder Energieskala verändern. Die zugehörige Symmetrie heißt Skaleninvarianz. Eine skaleninvariante
Theorie hängt demnach nicht von der Längen- oder Energieskala ab.
Ein Beispiel für eine konforme Feldtheorie ist die vierdimensionale, supersymmetrische
Yang-Mills-Theorie, die die starke Kraft beschreibt und die die Supersymmetrie beinhaltet.
2.3.3 AdS/CFT-Korrepondenz
Diese AdS/CFT-Korrepondenz besteht zwischen einer Stringtheorie (Typ IIB) auf einer
5D Anti-de-Sitter-Raumzeit mit Gravitation und einer 4D konformen Feldtheorie ohne
Gravitation. Man sagt auch, die Feldtheorie operiere nur auf dem 4D Rand der 5D
AdS-Raumzeit. Die 5D-Strings vermögen eine Reihe der Eigenschaften der 4D-YangMills-Theorie zu beschreiben. Die Yang-Mills-Theorie ist, wie schon erwähnt, gerade
ein mathematisches Konzept für die starke Kraft. Mathematisch lassen sich daher aus
Rechnungen mit Strings in 5D Eigenschaften der 4D-Welt ableiten, die mit der Quantenchromodynamik zusammenhängen. Diese verblüffende Analogie legt eine tiefsinnige
Einsicht in die Gravitation und Teilchenphysik frei. Es ist sogar in der weiteren Erforschung der Korrespondenz gelungen, die Dualität auch für andere Raumzeiten als AdS
zu verallgemeinern. Ähnlich ist es bei den Feldtheorien, die letztlich Eichtheorien sind. In
der Verallgemeinerung sprechen die Theoretiker daher von einer fundamentalen Dualität
von Eichung und Gravitation. Dualität meint in diesem Zusammenhang, dass es zwei
gleichwertige Beschreibungen der Natur gibt - sozusagen zwei Seiten einer Medaille.
Das bedeutet auch, dass zwei scheinbar völlig verschiedene Theorien – die nicht einmal
in Räumen derselben Dimensionszahl gelten – äquivalent sind. Intelligente Bewohner
eines dieser Universen könnten nicht unterscheiden, ob sie in einem fünfdimensionalen,
von einer Stringtheorie beschriebenen Kosmos leben oder in einer vierdimensionalen
Welt, auf die eine Quantenfeldtheorie mit punktförmigen Teilchen zutrifft. Natürlich könnte ihnen die Struktur ihres Gehirns ein massives Vorurteil zugunsten einer dieser Be-
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
19
schreibungen aufdrängen, so wie unser angeborener "gesunder Menschenverstand", die
Wahrnehmung konstruiert, dass unser Universum drei räumliche Dimensionen besitzt.11
AdS/CFT ist eine konkrete Realisierung des holographischen Prinzips, das ’t Hooft
und Süsskind 1993/94 entdeckt haben. Dies entspricht der Idee, dass eine Quantengravitationstheorie im Inneren eines solchen Raumes äquivalent zu einer gewöhnlichen
Quantenfeldtheorie von Punktteilchen ist, die auf dem Rand gilt.
Die holografische Äquivalenz lässt sich im Prinzip nutzen, um ein kompliziertes Problem – etwa das Verhalten von Quarks und Gluonen – zu vereinfachen, indem es von der
vierdimensionalen Grenz-Raumzeit in die hochgradig symmetrische fünfdimensionale
Anti-de-Sitter-Raumzeit verlegt wird.
Abbildung 2.12: Anti-de-Sitter-Raum: Quarks
Das funktioniert auch umgekehrt. So konnte Witten zeigen, dass ein Schwarzes Loch
in einer Anti-de-Sitter-Raumzeit sich in heiße Strahlung verwandelt, wenn man zur alternativen Physik auf der Grenz-Raumzeit übergeht. Die Entropie des Schwarzen Lochs –
immer noch ein zutiefst mysteriöser Begriff – geht dabei in die wohl bekannte Entropie
der Strahlung über.
AdS/CFT ist zwar eine unbewiesene Vermutung, wurde aber in einigen konkreten
Fällen getestet, bei denen Übereinstimmung gefunden wurde! 1997 vermutete Juan
Maldacena, der damals an der Harvard-Universität in Cambridge (Massachusetts) tätig
war, erstmals eine solche Beziehung für den Fall eines fünfdimensionalen Anti-de-SitterModells. Später bestätigten Edward Witten vom Institute for Advanced Study in Princeton
sowie Steven S. Gubser, Igor R. Klebanov und Alexander M. Polyakov von der Universität
Princeton diese Vermutung und fanden weitere Beispiele für das holografische Prinzip
bei Raumzeiten unterschiedlichster Dimensionen.
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
20
3 Copenhagen vs Everett,
Teleportation, and ER=EPR
3.1 Hinführung
Es gibt von vielen Physikern Hinweise dafür, dass die Quantenmechanik nicht leicht zu
verstehen ist. Von Niels Bohr:
»Wer über die Quantentheorie nicht entsetzt ist, der hat sie nicht verstanden.«12
Von Richard Feynman:
»We always have had . . . a great deal of difficulty in understanding the world view that quantum
mechanics represents. At least I do, because I’m an old enough man that I haven’t got to the
point that this stuff is obvious to me. Okay, I still get nervous with it. And therefore, some of the
younger students . . . you know how it always is, every new idea, it takes a generation or two until
it becomes obvious that there’s no real problem. It has not yet become obvious to me that there’s
no real problem. I cannot define the real problem, therefore I suspect there’s no real problem, but
I’m not sure there’s no real problem.«13
Von Paul Dirac:
»There is hope that quantum mechanics will gradually lose its baffing quality...... I have observed
in teaching quantum mechanics, and also in learning it, that students go through an experience....
The student begins by learning the tricks of the trade. He learns how to make calculations in
quantum mechanics and get the right answers.....it is comparatively painless. The second stage
comes when the student begins to worry because he does not understand what he has been
doing. He worries because he has no clear physical picture in his head..... Then, unexpectedly,
the third stage begins. The student suddenly says to himself, I understand quantum mechanics,
or rather he says, I understand now that there isn’t anything to be understood..... The duration
and severity of the second stage are decreasing as the years go by. Each new generation of
students learns quantum mechanics more easily than their teachers learned it.....«
14
Der Artikel von Susskind gliedert sich in drei Teile:
1. „ER=EPR: Everett versus Kopenhagener Deutung“ oder „GHZ-Branes“
2. Teleportation durch ein Wurmloch: ERBs als Quelle
3. Doppelspalt und Wurmloch
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
21
3.2 „ER=EPR: Everett versus Kopenhagener Deutung“
oder „GHZ-Branes“
3.2.1 ER=ERB
Dass die Einstein-Rosen-Podolski-Verschränkung (EPR) die Kausalität nicht verletzt, ist
bekannt. Er verletzt aber die Lokalität, d.h. es gibt Effekte, die raumartige Ereignisse
verbindet. Das kann man an einem Computernetzwerk verdeutlichen. Würden sich die
Computer klassisch verhalten, könnten sie nur mit jeweils ihren Nachbarn kommunizieren. Im Zentrum würde dann ein riesiger Speicher stehen, mit dem alle Computer
verbunden wären und auf dem alle verschränkten Quantenzustände gespeichert wären. Des weiteren würde der Computer einen zentralen Zufallsgenerator besitzen, um
indeterministische Effekte zu generieren. Zu guter Letzt würden die Kabel die Signale
zwischen den Computern ohne Verzögerung übertragen. Wir wissen, dass man über
die nichtlokalen Effekte keine Signale mit Überlichtgeschwindigkeit übertragen kann.
Abbildung 3.1: ERP Verschränkung
Auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die nichtlokale Effekte ermöglichen, die Wurmlöcher oder Einstein-RosenBrücken (ERB). Bei den ERBs ist es nicht möglich, dass zwei Beobachter außerhalb der
Abbildung 3.2: Einstein-Rosen-Brücke
schwarzen Löcher durch die ERB miteinander kommunizieren. Es ist jedoch möglich,
dass die zwei Beobachter in die Löcher springen und sich in der ERB treffen. Die zwei
Effekte haben nicht nur ähnliche Eigenschaften, in gewissem Sinne sind die Phänomene
der ERB und der EPR-Verschränkung wirklich dasselbe: ER=EPR.
Eine bescheidene Sicht auf die Sachlage erlaubt uns folgende These: Schwarze Löcher, die über ERBs verbunden sind, sind verschränkt und umgekehrt. Ein Hinweis darauf könnte die Tatsache liefern, dass Verschränkung in vielen Formen vorkommt, z.B. bei
der Verschränkung von Vakuum-Fluktuationen, bei verschränkten Quantenobjekten und
bei ERBs. Sie könnten also untereinander austauschbar sein, wie Energie. Wie steht es
jedoch mit der Energieerhaltung? Verschränkung kann nur unter bestimmten Umständen
erhalten bleiben. Sie ist dann invariant gegenüber lokalen unitären Transformationen.
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
22
Ein unitärer Operator ist ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen, der das Skalarprodukt erhält. Unitäre
Operatoren sind damit spezielle orthogonale oder unitäre Abbildungen und stets normerhaltend, abstandserhaltend, beschränkt und normal. Der inverse Operator eines unitären Operators ist gleich seinem adjungierten Operator. Die Eigenwerte
eines unitären Operators in einem Hilbertraum haben alle den Betrag eins.
Ein Beispiel für die Umwandlung von einer Verschränkung in die andere möge wie
folgt ablaufen: Durch die Vakuumfluktuation entstehen laufend Paare von miteinander
verschränkten virtuellen Teilchen. Wir erhalten verschränkte reale Teilchenpaare, wenn
diese, zunächst unverschränkt, an den virtuellen Teilchen streuen. Nehmen wir an, Alice
und Bob erzeugen auf diese Weise sehr viele verschränkte Teilchenpaare und jeder von
ihnen behält jeweils ein Teilchen eines Paars. Danach verdichten sie die Teilchen zu
einem schwarzen Loch, die dann, wenn ER=EPR gilt, durch ein Wurmloch verbunden
sind. So haben sie eine ERB erzeugt.
Abbildung 3.3: Bob und Alice
Die Umkehrung kann erfolgen, in dem jeder von ihnen sein schwarzes Loch verdampfen lässt. Dabei entstehen Teilchen, die im hohen Maße verschränkt sind. Es wurden
wieder Bell-Paare erzeugt. Theoretisch ist es der Fall, dass Bell-Paare, ERBs und Teilchen von Hawking-Strahlung durch unitäre Transformationen ineinander umgewandelt
werden können. Wir können also Quantenphänomene auch durch Eigenschaften von
ERBs beschreiben.
3.2.2 Kopenhagener Deutung versus Everett Interpretation
Nach der Kopenhagener Deutung hat der Beobachter, als Außenstehender des Systems, die Möglichkeit, die Entwicklung eines Zustands, darstellbar durch einen Baum
mit immer mehr Ästen, durch eine Messung an einem Ast den Wachstumsvorgang zu
unterbrechen und damit alle anderen Äste sogar zu zerstören, was man in der Quantenmechanik den Kollaps der Wellenfunktion nennt. Die Messung ist irreversibel.
Nach der Everett-Interpretation (auch „Theorie der universellen Wellenfunktion“,
„Viele Vergangenheiten-Interpretation“) gibt es nur ein System, das auch alle Beobachter
mit einschließt. Es findet kein Kollaps der Wellenfunktion statt. Stattdessen bewirken
Interaktionen zwischen den Subsystemen eine Verschränkung aller Subsysteme. Bei
einer Messung bleiben alle anderen Äste erhalten. Die Messung ist reversibel. Da es
eine Unmenge von Subsysteme gibt, die alle als Beobachter fungieren (können), ist es
ein sehr großer Aufwand, die Reversibilität herbeizuführen.
Um die beiden Denkweisen nochmals zu verdeutlichen, wird eine Variante von „Schrödingers Katze“: „Wigners Freund“ betrachtet.
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
23
3.2.3 Wigner’s Freund
Gegeben sei ein abgedichteter Raum, in dem sich die Katze in einer Superposition von
den zwei Zuständen: „tot“ und „lebend“, befindet. An der Katze kann man noch mehr
Messen, so dass die Eigenschaften der Katze durch N Qubits (Messergebnis eines 2Zustandssystems) bestimmt werden kann. (Tot oder lebendig betrifft ein Qubit.) Wigners
Freund soll in unserem Beispiel alle Z -Komponenten, d.h. Projektionen der Qubits auf
die z-Achse der N Qubits messen (kurz: alle N Z-Bits), die klassisch entweder in seinem
Gehirn oder in einem Speicher gespeichert werden sollen.
Nach der Kopenhagener Deutung kollabiert der Zustand der Katze zu einem von 2N
Zuständen und es besteht keine Möglichkeit, dass die Messung ungeschehen gemacht
werden kann.
Nach der Everett-Interpretation verursacht Wigners Freund keinen Kollaps der Wellenfunktion, sondern verschränkt sich mit der Katze. Die Qubits im Speicher von Wigners
Freund verschränken sich mit den Qubits der Katze. Und mit „ER=EPR“ wird Wigners
Freund und die Katze durch viele Wurmlöcher verbunden oder harmloser: wir verdichten
Wigners Freund und die Katze zu zwei schwarzen Löchern, die dann verschränkt sind.
Damit wären Wigners Freund und die Katze durch eine ERB verbunden. Mit der Zeit wird
Abbildung 3.4: Wigners Freund und Katze verschränkt
die ERB wachsen (beschrieben durch eine unitäre Matrix Uij ). Zu dem bestehenden
Tensor-Netzwerk werden immer mehr Zweige hinzukommen, so dass wir mit der Zeit
ein stark verschränktes Netzwerk zwischen der Katze und Wigners Freund erhalten
(s. Abb. 3.4 rechts). Nach der Theorie wären sogar durch komplexe Operationen ein
Nachrichtenaustausch zwischen Katze und Wigners Freund möglich, die sich im Inneren
der ERB treffen würden. Betritt nun Wigner den Raum und beobachtet seinen Freund
(misst dessen Z-Bits), so kollabiert nach der Kopenhagener Deutung der verschränkte
Zustand in einen unverschränkten Produktzustand. Wigners Freund wurde dadurch von
der Katze, die weiterhin in einem kompexen Zustand bleibt, „abgeschnitten“. Nachrichten
können sich nicht mehr im Inneren der ERB treffen. Die ERB und die schwarzen Löcher
werden aber immer weiter wachsen.
Abbildung 3.5: Wigners Freund und Katze unverschränkt
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
24
Wenn aber ER=EPR gilt, dann beobachtet ein dritter, nennen wir ihn Einstein, dass
nun alle drei, die Katze, Wigners Freund und Wigner, miteinander einen verschränkten
Zustand, der aus drei Teilen besteht, bilden. Und es muss dann auch eine ERB geben,
bei der alle drei Teilnehmer beteiligt sind und auch Nachrichten zueinander versenden
können. Es wurde ein GHZ-Zustand erzeugt.
Abbildung 3.6: Wigners Freund, Katze und Wigner
3.2.4 GHZ-Zustand
Der GHZ-Zustand ist nach den Physikern Greenberger, Horne und Zeilinger benannt15 .
Er wird als ein maximal verschränkter Zustand von mindestens drei Teilchen bezeichnet,
der im Fall von Qubits die Form
1 1
|GHZiM = √ |0i⊗M + |1i⊗M = √ (|0 . . . 0i + |1 . . . 1i)
2
2
(3.1)
besitzt. Ein GHZ-Zustand zeigt bei Messungen im GHZ-Experiment aufgrund seiner Verschränkung Korrelationen, die nicht mit Hilfe von lokalen versteckten Variablen erklärbar
sind.
In unseren Fall (M = 3) wird der GHZ-Zustand durch |000i + |111i beschrieben. Der
Abbildung 3.7: GHZ-Zustand
Tensor besteht in diesem Fall nur aus Nullen oder Einsen, es bestehen keine gemischten
Zustände, d.h.: Tijk = δij δik . Wird ein Teil, z.B. Wigner, herausgenommen, verbleiben
die beiden anderen zwei Teile in einer separaten, unverschränkten Dichtematrix, die
Summe der Projektionen auf die reinen Zustände. Das bedeutet, dass keine zwei Teile
Abbildung 3.8: unverschränkte Dichtematrix
verschränkt sind, dass jedoch ein Teil maximal verschränkt ist mit der Einheit aus den
anderen Teilen. Das Ganze kann man auf mehrere Beobachter erweitern (Abbildung 3.9
links). Verdichtet man die Enden zu schwarzen Löchern und erlaubt ihnen zu wachsen,
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
25
so wurde eine Art ERB erzeugt, dargestellt durch ein Tensor-Netzwerk in Abbildung 3.9
rechts. Die Theorie besagt, dass wenn die schwarzen Löcher einmal erzeugt wurden,
diese an Komplexität wachsen. Die Enden des ERB wachsen linear mit der Zeit, das
Zentrum der ERB bleibt erhalten. Die maximale GHZ-Verschränkung ist eine invariante
Erhaltungsgröße der ERB. Das Zentrum der ERB wurde noch nicht ausreichend erforscht und Susskind hat es „GHZ-brane“ benannt.
Abbildung 3.9: GHZ und ERB
Eigenschaften der GHZ-brane:
• sie liegt im Zentrum des Wurmlochs.
• sie ist nicht mit klassischer Geometrie beschreibbar.
• sie hat die Größenordnung der Verschränkungs-Entropie eines reinen schwarzen
Lochs.
• keine zwei Teilnehmer können Nachrichten austauschen, die sich im Zentrum der
GHZ-brane treffen. Bei drei Teilnehmern können sich aber zwei zusammentun,
kooperieren, und eine Nachricht mit dem dritten Teilnehmer austauschen.
• sie bietet die Möglichkeit, das System nach einer Messung wieder in den Anfangszustand zu bringen.
Abbildung 3.10: Nachrichtenaustausch im GHZ
Um den letzten Punkt zu verdeutlichen, lassen wir Einstein Wigners X-Bits messen.
Benannten wir Z-Bit-Zustände mit |0i und |1i, so benennen wir jetzt X-Bit-Zustände
mit |Li und |Ri. Damit lassen sich die Z-Bit-Zustände durch die neue Basis darstellen:
|0i = |Li + |Ri und |1i = |Li − |Ri. Die Messung von Einstein kann zwei verschiedene
Ergebnisse bringen, X = L oder X = R. In Fall von X = L verbleibt das restliche
System „Katze/Wigners Freund“ im original maximal verschränkten Zustand |00i + |11i,
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
26
also in dem Stadium, bevor Wigner an Wigners Freund gemessen hat. Beim Ergebnis
X = R geht der Zustand „Katze/Wigners Freund“ in |00i − |11i über. Hierkann Einstein

1
0
 den
aber mit einer unitären Operation mit einem Rotationsoperator Z = 
0 −1
ursprünglichen Zustand |00i + |11i wieder herstellen.
3.3 Teleportation durch ein Wurmloch: ERBs als Quelle
Das Ziel einer Teleportation kann keine Übertragung von Information, schneller als Licht,
sein, sondern, eine Übertragung, die niemand abhören oder abfangen kann. Im Weiteren
wird das Verfahren vorgestellt:
1. Alice und Bob besorgen sich je ein schwarzes Loch, A und B. Diese sind noch
unverschränkt und weit voneinander entfernt. Die zu übertragene Information soll
in einem dritten, gleich großen (wie A oder B), schwarzen Loch, C, enthalten sein,
soll aber nicht mehr Information besitzen, als A oder B. Alice will also Quantenzustände von C zu Bob übertragen.
2. Die beiden benötigen eine genügend große Quelle von Verschränkungen. Aus
diesem Grund erzeugen sie eine ERB, die A und B verbindet.
3. Nun wirft Alice C in A. Es entsteht ein schwarzes Loch, in dem nach einiger Zeit
die Informationen von A und C gut durchmischt werden.
4. Alice misst nun alle Projektionen der Qubits auf die Z-Achse (Z-Bits) des schwarzen A-C-Lochs. Die Verbindung zu B wird unterbrochen und die Information von C
bleibt hinter B’s Ereignishorizont verborgen.
5. Alice schreibt die Messergebnisse als klassische Bit-Informationen in ihr Notizbuch. Die Informationen sind in Bezug zur Information in C völlig unkorreliert. Sie
sendet ihr Notizbuch auf klassischem Weg zu B.
6. B öffnet Alice’ Notizbuch und führt folgende Operationen an den Qubits in seinem
schwarzen Loch durch: Wenn bei Alice bei dem entsprechenden Bit eine Null steht,
macht er nichts, bei einer 1 dreht er sein entsprechendes Bit um. Nach diesen
Operationen ist sein schwarzes Loch B im Zustand vom originalen C.
Das Verfahren ist das Gleiche, wie bei einer Quantenteleportation. Da man aus dem
Notizbuch keine Information von C erhalten konnte, wurde die Information wirklich durch
das Wurmloch transportiert. Aber der springende Punkt ist, dass zur Teleportation von
C wirklich eine ERB nötig war.
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
27
Abbildung 3.11: Teleportation: 6 Schritte
Abbildung 3.12: Teleportation: Ergebnis
3.4 Doppelspalt und Wurmloch
Auf den ersten Blick scheint ER=EPR nichts mit Interferenz zu tun zu haben, weil Interferenz auch bei einzelnen Teilchen auftritt und bei Verschränkung mindestens zwei
Teilchen beteiligt sind. Auf den zweiten Blick sieht das anders aus. Stellen wir uns
ein Teilchen, vielleicht ein Elektron, als Superposition von zwei Wellenpaketen vor, wie
sie entstehen, wenn solch ein Quantenobjekt einen halbdurchlässigen Spiegel passiert.
Bewegen die Pakete sich aufeinander zu, entsteht so etwas wie eine stehende Welle, bei
Abbildung 3.13: Teilchen als Superposition
der Knoten und Bäuche anzutreffen sind. Es gibt hier also Stellen, an denen das Teilchen
niemals zu finden ist. Ähnliche Verhältnisse finden wir beim Doppelspaltexperiment auf
dem Schirm. Nun können wir die Zustände der Partikel in der linken und rechten Box
durch Wellenfunktionen beschreiben. Soll |10i bedeuten, dass ein Partikel in der linken
Box und kein Partikel in der rechten Box ist und ebenso für |01i, so wird der Zustand des
Teilchens beschrieben durch |10i − |01i. Somit haben wir maximal verschränkte Qubits
vor uns, ein Bell-Paar. Und damit haben wir, wenn wir ER=EPR sehr ernst nehmen, eine
ERB, die die superpositionierten Pakete des einen Teilchens verbindet. Dabei geben
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
28
die Eigenschaften der ERB den Typ der Interferenz wider, z.B. ob konstruktive oder
destruktive Interferenz vorherrscht.
Um die ERB zu erzeugen, nehme man einen Doppelspalt, sammle hinter dem Schirm
an zwei Stellen viele Partikel in jeweils einem Kasten und verdichte diese Partikel zu
jeweils einem schwarzen Loch. Diese zwei schwarzen Löcher sind durch eine ERB
Abbildung 3.14: Doppelspaltversuch und ERB
verbunden und es wäre möglich, dass Alice und Bob, durch Eindringen in jeweils ein
Loch, sich in der ERB treffen könnten.
Bei einem Dreifachspalt hätten wir ähnliche Ergebnisse. Der Zustand hätte dann die
Form |100i+|010i+|001i. Diese drei Kästen wären dann zu dritt verschränkt, jedoch kein
GHZ-Zustand. Der Zustand |100i + |010i + |001i heißt, warum auch immer, W-Zustand.
Jedes Qubit ist wie bei GHZ mit der Einheit der beiden anderen verschränkt, aber im
Gegensatz zu GHZ, nicht maximal. Weitere Forschungsergebnisse sind zu erwarten.
3.5 Fazit des Artikels
In diesem Artikel wurden Quantenphänomene mit ER=EPR durch die Geometrie der
ERB interpretiert. Bis auf das Treffen in der ERB wurden keine neuen Phänomene vorgetragen. Das Interessante dabei war, dass es möglich war, Verschränkung als Phänomene der Geometrie der ERB zu interpretieren. Die Quelle der Inspiration und des Wissens
ist die AsD/CFT-Korrespondenz, einer Korrespondenz zwischen der Supergravitation
oder einer Stringtheorie auf einer 5D Anti-de-Sitter-Raumzeit und einer Feldtheorie ohne
Gravitation, wobei die Feldtheorie nur auf dem 4D Rand der 5D Anti-de-Sitter-Raumzeit
operiert. Dass bisher die Everett-Interpretation in der AsD/CFT-Korrespondenz noch kein
Thema war, liegt daran, dass die Anti-de-Sitter-Raumzeit einen asymptotischen Rand
besitzt16 . Die Unendlichkeit wurde sozusagen in die Endlichkeit gepresst. Damit kann ein
außenstehender „Über-Beobachter“ mittels Feldtheorie (CFT) Messungen vornehmen.
Für diese Sichtweise genügt die Kopenhagener Deutung. Susskind meint, dass irgend-
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
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wann die Sicherheit der asymptotischen Grenze aufgegeben werden muss und eine
Theorie formuliert werden kann, die das Universum als ein Netzwerk von verschränkten
Subsystemen beschreibt, in dem ein Über-Beobachter keinen Platz hat. In dieser neuen
Theorie wird ER=EPR ein fester Bestandteil sein. Bis dahin verbleibt die Erkenntnis,
dass Quantenmechanik und Gravitation doch nicht so weit auseinanderliegen. Die Nichtlokalität der Quantenmechanik und die Nichtlokalität der Allgemeinen Relativitätstheorie
verbindet diese beiden Theorien, was durch ER=EPR zum Ausdruck kommt.
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4 Kontingenz und Freiheit
Im Gegensatz zu Spinoza, der ausdrücklich eine Wahl- oder Entscheidungsfreiheit bei
Gott und den Menschen verwirft, versucht Leibnitz zunächst, den Freiheitsbegriff beizubehalten. Er ist bei ihm an drei Bedingungen geknüpft (Theod.III§288, GP VI 288)17 ,
• der Vernunfteinsicht, die eine distinkte Erkenntnis des Gegenstandes der Entscheidung einschließt
• der Spontanität, kraft derer wir uns selbst bestimmen
• der Kontingenz, d.h. dem Ausschluss der logischen oder metaphysischen Notwendigkeit
Kontingente Sachverhalte sind aber weltgebunden und unlösbar in die Determinationszusammenhänge der wirklichen Welt eingebunden. In dieser Weise sind auch die Individuen weltgebunden. Kontingenz heißt bei Leibnitz nicht, dass in unserer Welt etwas hätte
auch anders geschehen können, denn die Welt ist von Gott als die Beste geschaffen
und nur er kann die Zusammenhänge wieder ändern. Kontingenz heißt bei Leibnitz,
dass es eine andere Welt hätte geben können, in der die Sachverhalte hätten anders
sein können. Entscheidungsfreiheit eines Individuums bedeutet, dass das Individuum
in dieser Welt auf sein tatsächliches Handeln festgelegt ist, sein Gegenstück in einer
anderen Welt aber hätte anders handeln können.
Das erinnert daran, dass in einer AdS/CFT-Korrespondenz ein Problem zu lösen,
indem man es von der vierdimensionalen Grenz-Raumzeit in die fünfdimensionale Antide-Sitter-Raumzeit verlegt. In unserer vierdimensionalen Raumzeit könnten wir keine
Willensfreiheit besitzen, mit einer Dimension mehr wäre das möglich. Wie bei einem
Käfer, der bei einer dünnen Stange nur in einer Richtung gehen kann (zum Umkehren
ist die Stange zu schmal) und bei einer Dimension mehr die Möglichkeit besitzt, die
Richtung zu wechseln.
Da man als Wesen in einer AdS/CFT-Korrespondenz keine Möglichkeit hat, zu entscheiden, ob man sich jetzt in einer vierdiensionalen Grenz-Raumzeit oder in einer fünfdimensionalen Anti-de-Sitter-Raumzeit „befindet“, würde man also zum Schluss kommen: Wir
haben einen freien Willen, können es aber in unserer Welt zwecks Mangel einer weiteren
Dimension nicht erfahren.
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Vielleicht noch ein paar weitere Anregungen zum Thema Willensfreiheit:
1. Wer sagt uns denn eigentlich, dass wir einen freien Willen haben? Unser Gehirn,
das aus Materie besteht und nicht einfach machen kann, was es will. Es ist an die
Naturgesetze gebunden. Einem Gehirn, das nicht frei ist, würde ich erst einmal
nicht trauen. Das würde mich erst einmal stutzig machen. Es könnte sein, dass
es in seiner Behauptung: „Ich habe einen freien Willen“, total unfrei ist und es
aus Gründen der Evolution sagen muss, quasi: Menschen, die denken, sie hätten
einen freien Willen, haben einen Überlebensvorteil.
2. Wenn man es genau betrachtet, bekommen wir unsere Gedanken erst mit, wenn
das Gehirn sie gedacht hat. Könnte ich mitentscheiden, müsste ich außerhalb des
Denkens in den Gedankengang eingreifen können: das Denken erst mal stoppen,
dann ohne Denken den nächsten Gedanken aussuchen und dann den Gedanken
denken. Aber ich bin wie der Käfer oben, habe keine Möglichkeit vom Weg abzuweichen, etwas anderes zu denken, als mein Gehirn gedacht hat.
3. Die Gedanken sind wie eine Tageszeitung, die unser Gehirn als Redakteur an uns
ausgibt. Die Umwelt und unsere früheren Gedanken sind die Reporter. Und nur
weil in allen Tageszeitungen steht: „Hey, wir haben einen freien Willen“, glauben
alle Leute das; sie haben nichts anderes.
4. Auch wenn man den Gedanken „Du siehst doch, dass ich einen freien Willen habe.
Das habe ich gerade aus einem freien Willen heraus gedacht. Ich hätte auch etwas
anderes denken können.“ denkt, es ist und bleibt ein Tageszeitungseintrag, zugegebenermaßen ein raffinierterer. Das Gehirn hat seine Gedanken nicht gestoppt
und dich vorher gefragt, ob es das denken soll.
5. Es hilft dabei auch nicht, „nachzudenken“. „Nachdenken“ heißt zu schauen, was
unser Gehirn dazu sagt. Aber das wissen wir ja bereits. Es wäre so, wie wenn
man die Wahrheit einer Schlagzeile der Zeitung nachprüfen wollte, indem man ein
anderes Exemplar der Tageszeitung hinzunimmt. Durch „Nachdenken“ kommen
wir zu keinem anderen Ergebnis.
6. Wenn wir genauer prüfen wollen, was ein Gedanke eigentlich ist, kann der gleiche
Gedanke als sprachlicher Ausdruck bei jedem anders sein, je nachdem, wie viele
und welche Synapsen feuern. Kann es dabei sein, dass gar nichts feuert und wir
das einen Gedanken nennen? Auch hier sieht man, dass wir keinen Einfluss auf
unsere Gedanken haben. Wir sind nicht einmal in der Lage, ein einzelnes Neuron
zu beherrschen, geschweige denn Milliarden davon.
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Anmerkungen
1. s. Eidemüller [4] S.42f und Schwindt [15] S.12f
2. Zitiert nach Eidemüller [4] S. 66
3. Friebe, Kuhlmann und et.al. [7] S.82f
4. Die Anwendung einer Teilchenpermutation auf einen Viel-Teilchen-Zustand führt formal auf einen Zustand,
der vom ursprünglichen Zustand physikalisch ununterscheidbar ist.(Schwindt [15]) S.81
5. Friebe, Kuhlmann und et.al. [7] S.113f
6. Ich habe ab dem Schuljahr 2005/06 am Schiller-Gymnasium den „Kurs für besonders befähigte Schüler“:
„Die Spezielle Relativitätstheorie und der Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie“ schulübergreifend
gehalten. Dazu wurde von mir ein Skript erstellt, aus dem viel Information entnommen wurde. Ausserdem
wurden die Bücher d’Inverno [3] und Fließbach [6] verwendet.
7. Morherr [13]
8. Wikipedia [18]
9. Wikipedia [17]
10. Müller [14]
11. Bekenstein [1]
12. Niels Bohr, Nobelpreis 1922
13. Feynman [5]
14. Susskind [16] S.1
15. Wikipedia [19]
16. s.a.Maldacena und Susskind [12]
17. Liske [11] S.127ff
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Literatur
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(2016). http://resonance.is/firewalls-or-cool-horizons/.
[3]
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[5]
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[6]
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Cord Friebe, Meinard Kuhlmann und et.al., Hrsg. Philosophie der Quantenphysik.
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Mass Solution. Bd. 14. ATINER 4th International Conference of Physics: Abstract
Book, 2016.
[10]
Nassim Haramein, William David Brown und Amira Val Baker. »The Unified Spacememory Network: from Cosmogenesis to Consciousness«. In: Journal of NeoroQuantology (2016), Vol 14, No 4.
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[15]
Jan-Markus Schwindt. Tutorium Quantenmechanik. Springer Verlag, 2013.
[16]
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GHZ-Experiment.
URL :
https : / / de . wikipedia . org / wiki /
Einstein und die Quanten: ER = EPR? · Peter Stocki
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Abbildungsverzeichnis
2.1 Überlichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Schwarzschildlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 SSL in avancierten Eddington-Finkelstein-Koordinaten . . . . . . . . . . . 14
2.5 Kruskal-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Einstein-Rosen-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Einstein-Rosen-Brücke, Zeitliche Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Schwarzschild-Wurmloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 2-dim de-Sitter-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 2-dim Anti-de-Sitter-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 2-dim Anti-de-Sitter-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 Anti-de-Sitter-Raum: Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 ERP Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Einstein-Rosen-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Bob und Alice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Wigners Freund und Katze verschränkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Wigners Freund und Katze unverschränkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Wigners Freund, Katze und Wigner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 GHZ-Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 unverschränkte Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.9 GHZ und ERB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.10 Nachrichtenaustausch im GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.11 Teleportation: 6 Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.12 Teleportation: Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.13 Teilchen als Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.14 Doppelspaltversuch und ERB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28