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Eigenwerte
Stefan Ruzika
Mathematisches Institut
Universität Koblenz-Landau
Campus Koblenz
27. Juni 2016
Stefan Ruzika
§12: Eigenwerte
27. Juni 2016
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Gliederung
1
2
3
4
5
6
Schulstoff
Körper
Vektorräume
Basis und Dimension
Skalarprodukt, Norm, Metrik
Lineare Abbildungen
Stefan Ruzika
7
8
9
10
11
12
Bild, Faser, Kern
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Abbildungen und Matrizen
Koordinatentransformation
Determinanten
Eigenwerte
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Eigenwerte
Ein sehr einfaches Beispiel . . .
Betrachte K -Vektorraum mit dim V = 1.
Proposition 1
Ist F ∈ EndK (V ), so gibt es ein eindeutig bestimmtes λ ∈ K mit
F (v ) = λ · v
und dieses λ hängt nicht von der Wahl von v ab.
Beweis.
Sei w = µv ein anderer Vektor von V , dann gilt für diesen
F (w ) = F (µv ) = µλv = λµv = λw .
Frage: Gibt es auch in höherdimensionalen Räumen Vektoren, die bei Anwendung
von F nur mit einem Faktor multipliziert werden?
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Eigenwerte
Eigenwerte und Eigenvektoren
Definition 1
Sei V ein K -Vektorraum und F : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt
Eigenwert von F , wenn es ein v ∈ V gibt mit
v 6= 0
und
F (v ) = λ · v .
Ein v ∈ V mit v 6= 0 heißt Eigenvektor, wenn es ein λ ∈ K gibt, so dass
F (v ) = λ · v
Achtung:
Eigenwert kann gleich Null sein.
Eigenvektor muss von Null verschieden sein.
Frage: Existenz und Vielfalt von Eigenvektoren
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Eigenwerte
Eigenwerte und Eigenvektoren im K n
Betrachte den K -VR K n und einen Endomorphismus F , also eine Matrix A.
Definition 2
1
Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von A, wenn es ein x ∈ K n gibt mit
x 6= 0
2
und
A · x = λ · x.
Ein x ∈ K n mit x 6= 0 heißt Eigenvektor, wenn es ein λ ∈ K gibt, so dass
A·x =λ·x
Achtung:
Eigenwert kann gleich Null sein.
Eigenvektor muss von Null verschieden sein.
Frage: Existenz und Vielfalt von Eigenvektoren
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Eigenwerte
Eigenraum
Definition 3 (Eigenraum eines Endomorphismus/einer Matrix)
Der Eigenraum eines Endomorphismus F von V zu λ ∈ K ist definiert durch
Eig(F ; λ) := {v ∈ V : F (v ) = λv }
Der Eigenraum einer Matrix A ∈ M(n × n; K ) zu λ ∈ K ist definiert durch
Eig(A; λ) := {x ∈ K n : Ax = λx}
Proposition 2
a) Eig(F ; λ) ⊂ V ist Untervektorraum von V .
b) Eig(F ; λ) 6= {0} ⇔ λ ist Eigenwert von F .
c) Eig(F ; λ) \ {0} ist die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert λ.
d) Eig(F ; λ) = Ker(F − λ · idV ), wobei idV die identische Abbildung ist.
e) dim Eig(F ; λ) = dim V − rang(F − λ · idV )
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Eigenwerte
Eigenschaften
Frage: Wie findet man Eigenwerte?
Dazu später wichtig:
Lemma 4
Sei A ∈ M(n × n; K ) und λ ∈ K . Dann gilt:
λ Eigenwert von A ⇔ det(A − λ · En ) = 0
Beachte:

a11 − λ
 a21

A − λEn =  .
 ..
an1
a12
a22 − λ
...
...
..
.
...
...
a1n
a2n
..
.





ann − λ
Beweis.
Tafel
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Eigenwerte
Eigenschaften
Korollar 5
Ein Vektor x ∈ K n ist genau dann ein Eigenvektor von A zu λ ∈ K , wenn er eine
nicht-triviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
(A − λ · En ) · x = 0
ist.
Satz 6
Sei F ∈ Endk (V ). Seien v1 , . . . , vm Eigenvektoren zu m paarweise verschiedenen
Eigenwerten λ1 , . . . , λm . Dann sind v1 , . . . , vm linear unabhängig und es gilt
m ≤ dimK V .
Beweis.
Tafel
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Eigenwerte
Beispiel II
Beispiel 7
Sei V = R2 und F eine Drehung um den Winkel α. Diese wird beschrieben durch
die Matrix
cos α − sin α
Aα =
sin α cos α
e2
Anschaulich klar:
e1
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Eigenwerte
Beispiel III
Beispiel 8
Sei V = R2 und F die Spiegelung der Ebene an der Geraden L1 mit dem Winkel
α
2 . Diese wird beschrieben durch die Matrix
cos α
sin α
Bα =
sin α − cos α
e2
Anschaulich klar:
Bα e1
L1
α
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α
2
e1
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Eigenwerte
Zurück zur Theorie . . .
In den Beispielen haben wir gesehen:
Bei einer 2 × 2-Matrix A müssen wir laut Lemma 4:
a −λ
a12
det A − λE2 = det 11
=0
a21
a22 − λ
lösen. Dies führt zu einem Polynom
p(λ) = λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 ),
das wir das charakteristische Polynom nennen.
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Eigenwerte
Charakteristisches Polynom
Allgemein gilt:
Satz 9
Betrachte den K -VR K n und einen Endomorphismus (d. h. eine n × n-Matrix) A.
Dann ist
p(λ) := det(A − λEn ) ∈ K [λ]
ein Polynom vom Grad n, das charakteristische Polynom zur Matrix A. Die
Nullstellen von p(λ) sind die Eigenwerte von A.
Wir erinnern an den Fundamentalsatz der Algebra:
Fundamentalsatz
Jedes Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten a0 , . . . , an−1
p(λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0
hat genau n (komplexe) Nullstellen λ1 , . . . , λn mit
p(λ) = (λ − λ1 ) · . . . · (λ − λn ).
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Eigenwerte
Eigenwerte ausrechnen
Beispiel 10
Sei A =
−1
−1
6
.
4
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Eigenwerte
Eigenwerte ausrechnen
Beispiel 11

0
Sei A = −3
−2
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
−1 1
−2 3.
−2 3
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Eigenwerte
Charakteristisches Polynom
Betrachten wir das charakteristische Polynom genauer; erst für den Spezialfall
n = 3 (den Fall n = 2 hatten wir schon), dann allgemein:
Beispiel 12 (n = 3)
det(A − λE3 ) =
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Eigenwerte
Charakteristisches Polynom
Allgemein folgt aus der Leibniz-Formel:
det(A − λEn ) = (a11 − λ) · . . . · (ann − λn ) + Q
wobei der erste Summand zur Identität gehört und Q alle restlichen n! − 1
Summanden umfasst.
Beobachtung 13
Q enthält keine Terme mit λn und λn−1 .
Also ist deg Q ≤ n − 2 und das Polynom
p(λ) := det(A − λEn ) = bn λn + bn−1 λn−1 + . . . + b1 λ + b0
hat die Koeffizienten
bn = (−1)n
bn−1 = (−1)n−1 (a11 + . . . + ann )
..
.
b0 = det A
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Eigenwerte
Charakteristisches Polynom
Definition 14
Sei A eine n × n-Matrix. Man nennt
spur(A) := a11 + . . . + ann ∈ K
die Spur der Matrix A.
Betrachte vorherige Folie: b0 = 0 gdw. det A = 0. Damit folgt:
Korollar 15
Genau dann ist 0 ∈ K ein Eigenwert von A, wenn det A = 0.
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Eigenwerte
Charakteristisches Polynom
Beispiel 16
Sei

−5
−12
A=
 1
−4
1 6
2 12
1 0
0 4

6
12 

−2
6
Bestimme das charakteristische Polynom!
Tafel
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Eigenwerte
Diagonalisierbarkeit
Definition 17
1) Sei V ein K-Vektorraum mit dimK V = n < +∞ und F : V → V linear. F
heißt diagonalisierbar genau dann, wenn V eine Basis B = (v1 , . . . , vn ) besitzt,
die aus Eigenvektoren von F besteht.
2) Eine Matrix A ∈ M(n × n; K ) heißt diagonalisierbar genau dann, wenn die
durch A erklärte lineare Abbildung FA : K n → K n , x 7→ FA (x) := A · x,
diagonalisierbar ist.
Bemerkung 17.1
Bedeutung:
Tafel
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Eigenwerte
notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit
Bemerkung 17.2
Ist F : V → V diagonalisierbar, so zerfällt das charakteristische Polynom pF in
Linearfaktoren, d. h.
pF (λ) = ±(λ − λ1 ) · · · · · (λ − λn ),
wobei n = dim V und λ1 , . . . , λn ∈ K .
Beweis.
Tafel
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Eigenwerte
Einfache Eigenwerte
Beispiel 18
Sei λ ∈ K und A =
λ
0
1
.
λ
Tafel
Satz 19
Ist n = dim V , F ∈ End(V ) und gilt
pF (λ) = ±(λ − λ1 ) · · · · · (λ − λn )
mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1 , . . . , λn , so ist F diagonalisierbar.
Beweis.
Klar nach Satz 14.8.
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Eigenwerte
Korollar 20
Jede reelle, symmetrische 2 × 2- Matrix A ist diagonalisierbar.
Beweis.
Tafel
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Eigenwerte
Geometrische und algebraische Vielfachheit
Bemerkung 20.1
Sind v1 , v2 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten λ1 , λ2 , so ist v1 + v2 kein
Eigenvektor.
Tafel
Definition 21
Man nennt die Zahl d(F ; λ) := dim Eig (F ; λ) die geometrische Vielfachheit des
Eigenwertes λ von F .
Beobachtung 22
Kurz ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit d(F ; λ) ist maximale Zahl linear
unabhängiger Eigenvektoren von F zu λ ∈ K .
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Eigenwerte
Definition 23
Gilt für das charakteristische Polynom pF von F die Zerlegung
pf (λ) = (λ − λ1 )r1 · · · · · (λ − λk )rk · q
mit paarweise verschiedenen λ1 , . . . , λk , sowie r1 , . . . , rk ≥ 1 und
r1 + · · · + rk = m ≤ n = dim V und einem Polynom q vom Grad n − m, welches
keine Nullstellen in K hat, so heißt
µ(F ; λi ) := ri
für i = 1, . . . , k
die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λi von F . Dies ist die Vielfachheit
der Nullstelle λi von pF .
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Eigenwerte
Lemma 24
Ist F : V → V linear, so gilt für jeden Eigenwert λ von F :
1 ≤ d(F ; λ) ≤ µ(F ; λ) ≤ dim V .
Beweis.
Tafel
Beispiel 25

λ



Sei λ ∈ K beliebig und A = 



0
Tafel
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1
λ
..........
1
..
.
. ..
..
.
§12: Eigenwerte
0




 ∈ M(n × n; K ).


1
λ
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Eigenwerte
Kriterium für Diagonalisierbarkeit
Satz 26
Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n < +∞. Eine lineare Abbildung F : V → V
ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) Das charakteristische Polynom pF zerfällt in Linearfaktoren, d. h.
pF (λ) = ±(λ − λ1 ) · · · · · (λ − λn ) mit
λ1 , . . . , λ n ∈ K .
b) Für jeden Eigenwert λ von F gilt: d(F ; λ) = µ(F ; λ), d. h. die geometrische
Vielfachheit ist gleich der algebraischen Vielfachheit.
Beweis.
Tafel
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Eigenwerte
Beispiel 27

2
Betrachte die Matrix A = 3
6
Polynom lautet:
0
5
6

0
−3 ∈ M(3 × 3; R). Das charakteristische
−4
pA (λ) = −(λ − 2) · (λ2 − λ − 2) = −(λ − 2)2 · (λ + 1).
Die Eigenwerte sind also λ1 = −1 und λ2 = 2. Für die algebraischen
Vielfachheiten folgt:
µ(A; −1) = 1
und
µ(A; 2) = 2.
Den Eigenraum zu λ1 = −1 erhält man als Lösungsraum des homogenen LGS
(A + E3 ) · x = 0,
Rang 2 ist, einen Eigenvektor dazu berechnet man
 dessen

0
z. B. als v1 = 1 und erhält:
2
Eig (A; −1) = R · v1 .
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Eigenwerte
Fortsetzung
Beispiel 28
Den Eigenraum zu λ2 = 2 erhält man als Lösungsraum des homogenen LGS
(A − 2E3 ) · x = 0, dessen Rang 1 ist. Linear unabhängige Eigenvektoren dazu sind
 
 
−1
1
v2 = 0 und v3 =  1  ; Eig (A; 2) = R · v2 + R · v3 .
0
1
Also ist A diagonalisierbar, und wir erhalten:





0 1 −1
−1 −1 1
−1
2 −1 , S · A · S −1 =  0
S −1 = 1 0 1  , S =  2
2 1 0
1
2 −1
0
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§12: Eigenwerte

0 0
2 0 .
0 2
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