12. Übungsblatt - Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 7.2 - Experimentalphysik
19. Januar 2016
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SA
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E R SIT
A
IV
A VIE N
Prof. Dr. Christoph Becher
Experimentalphysik Va – Atom- und Molekülphyik
Wintersemester 2015/16
Übungsblatt 12
Aufgabe 22: Zwei-Teilchen-Wellenfunktionen
Gegeben sei ein eindimensionaler, unendlich hoher Potentialtopf
0 für 0 ≤ x ≤ a
V (x) =
.
∞ sonst
Dann sind die Wellenfunktionen
r
Ψn (1) =
und
π
2
sin(x1 n )
a
a
r
π
2
sin(x2 m )
a
a
die orthonormierten Eigenfunktionen der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen (Teilchen 1
bzw. 2) in diesem Potential.
Ψm (2) =
a) Geben Sie den Hamilton-Operator H des Zwei-Teilchen-Systems (ohne Wechselwirkung
zwischen den Teilchen) an und zeigen Sie, dass die symmetrisierten bzw. antisymmetrisierten Wellenfunktionen
r
1
Ψs =
[Ψn (1)Ψm (2) + Ψn (2)Ψm (1)]
2
und
r
1
[Ψn (1)Ψm (2) − Ψn (2)Ψm (1)]
2
orthonormale Eigenfunktionen des Hamilton-Operators H sind, wenn n 6= m.
Ψa =
b) Der Austauschoperator P vertauscht die Teilchen 1 und 2. Zeigen Sie, dass P mit dem
Hamilton-Operator H vertauscht und dass Ψs und Ψa Eigenfunktionen zu P sind.
c) Berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten |Ψs |2 und |Ψa |2 explizit in Abhängigkeit
von x1 und x2 für n = 1 und m = 2. Wie verhält sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
für x1 = x2 ?
Aufgabe 23: Zwei Teilchen mit δ-Wechselwirkung
Gegeben sei ein eindimensionaler, unendlich hoher Potentialtopf
0 für 0 ≤ x ≤ l ,
V (x) =
∞ sonst.
Die orthonormierten Eigenfunktionen des Grundzustandes und des ersten angeregten Zustandes
lauten
r
r
2
xπ
2
2xπ
sin( )
und
u1 =
sin(
).
u0 =
l
l
l
l
a) Berechnen Sie die Energieeigenwerte E0 und E1 der beiden Wellenfunktionen für ein Teilchen der Masse m.
b) Nun sollen sich zwei Teilchen in dem Potentialkasten befinden. Beide seien im Grundzustand u0 .
Berechnen Sie die Energieverschiebung dieses Zwei-Teilchen-Zustandes durch den Wechselwirkungsoperator HW W = a · δ(x1 − x2 ) in erster Ordnung Störungsrechnung (dabei ist
a eine Konstante).
c) Stellen Sie die symmetrisierte und antisymmetrisierte Zwei-Teilchen-Wellenfunktionen für
ein Teilchen im Zustand u0 und ein Teilchen im Zustand u1 auf.
d) Berechnen Sie die Energieverschiebung dieser Zustände durch den Wechselwirkungsoperator aus Teil b) in erster Ordnung Störungsrechnung. Gehen Sie dazu folgendermaßen
vor:
ˆ Rechnen Sie zunächst mit zwei allgemeinen Wellenfunktionen u0 und u1 und zeigen
Sie, dass sich zwei Terme ergeben: ein Integral mit positivem Vorzeichen (CoulombIntegral) und eines mit positivem oder negativem Vorzeichen, je nach Symmetrie der
Wellenfunktion (Austauschintegral).
ˆ Berechnen Sie diese beiden Terme nun mit den angegebenen Wellenfunktionen und
zeigen Sie, dass sie gleich sind.
ˆ Zeigen Sie, dass für die antisymmetrische Wellenfunktion die Energieverschiebung
durch die Wechselwirkung verschwindet und erläutern Sie diesen Sachverhalt.
e) Die beiden Teilchen seien nun identische Spin-1/2-Teilchen. Welche Gesamtspinquantenzahl gehört zu den in Teil c) bestimmten Wellenfunktionen.