Physik Labor (bersicht) - 45

Physik Labor (Übersicht)
Versuch 1: Laser
hAufgabenstellungen:
Æ
Wellenlänge eines Lasers mit Hilfe der Lichtbeugung am optischen Gitter
Æ
Brechungsindex n eines Glasblocks durch Messung des Brewsterwinkels
Æ
Spurbreite einer CD/DVD durch Beugung der Lichtwellen am optischen Gitter
hVerwendete Formeln:
λ=
g
si
⋅
2
i
r + si 2
Wellenlänge λ in nm
g=
1
L
Gitterkonstante g in nm
sin α P
=n
sin β
daraus ergibt sich Æ
g=
λ ⋅ i ⋅ si2 + r 2
Spurbreite g
si
sin α P
sin α P
=
=n
D
sin (90 − α P ) cos α P
und
Æ
tan α P = n
h Fehlerrechnung:
Δn = (
dn
⋅ Δα )
dα
Fehlerfortpflanzung nach Gauss
d(tan α )
⋅ Δα )
d(α )
durch Einsetzen erhält man:
Δn = (
Ableiten nach der Quotientenregel:
u’ = 1 + tan2( α )
daraus folgt durch einsetzten:
Δn = (1 + tan 2 (α )) ⋅ Δα
hVersuchsskizzen und Herleitung:
Δ = i⋅λ
Δ = g ⋅ sin α
g ⋅ sin α i = i ⋅ λ
sin α i =
si
=
ci
si
( r ) + ( si )
2
2
hZusatzfragen:
Pab
⋅100 (in Prozent)
Pzu
Wirkungsgrad des Helium-Neon-Lasers
Æ
Bedeutung der Gitterkonstante: Abstand zweier Spaltmitten z.B. Gitter mit L=1000cm-1 = 1000
Gitterspalten pro Zentimeter
Huygens-Fresnelsche Prinzip: erklärt die Erscheinung der Wellenausbreitung. Jeder von einer
Wellenbewegung erfasster Punkt eines Mediums wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen
Elementarwelle. Durch die so entstehenden vielen Elementarwellen kommt es bei der Überlagerung zu
einer gemeinsame Wellenfront aller Elementarwellen.
kohärentes Licht: wenn die Wellen aus demselben Wellenzug durch Reflexion, Brechung oder Beugung
aufgespaltet wurden, also gleiche Phasenbeziehung besteht. Kohärente Lichtwellen bilden die Grundlage
für Interferenz, d.h. die Überlagerung von Lichtwellen.
Interferenzmuster: „stationär“?
Ein stationäres Interferenzmuster ist ein stillstehendes/ruhendes Muster. Es bewegt sich nicht, wie es
beim Laser der Fall ist.
Æ
Æ
Æ
Æ
η=
Æ
h Sonstiges:
Periodendauer:
Die Periodendauer T gibt an wie lange eine vollständige Schwingung dauert. Die Periodendauer hat den
Formelbuchstaben T und die Einheit Sekunde s. Sie ist der Kehrwert der Frequenz. T = 1/f
Frequenz:
Die Frequenz f gibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an. Die Frequenz hat den Formelbuchstaben f
und die Einheit Hertz Hz. Eine Frequenz von 1000 Hz bedeutet 1000 Schwingungen pro Sekunde. Die Frequenz
ist der Kehrwert der Periodendauer. f = 1/T
Wellenlänge:
Unter der Wellenlänge versteht man den entfernungsmäßigen
Abstand zwischen zwei gleichen, aufeinander folgenden
Schwingungszügen einer periodischen Wellenbewegung.
Versuch 2: Linsen
hAufgabenstellungen:
Æ
Æ
Æ
Brennweite einer Sammellinse über die optische Abbildung
Brennweiter einer Zerstreuungslinse (rechnerisch, da keine reelles, sonder nur virtuelles Bild)
über eine Linsenkombination
grafische Darstellung der Linsenkombination
h Verwendete Formeln:
Berechnung der Brennweite der Sammellinse:
fi1 =
1
1
1
+
gi1 bi1
Berechnung der Brennweite der Linsenkombination:
fk =
1
1 1
+
fs f z
Formel für die Brennweite
f k der Linsenkombination mit Linsenabstand e:
1
1
1
e
= + −
fk
fs f z fs ⋅ f z
Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse:
fz =
fs ⋅ fk
fs − fk
hFehlerrechnung:
Fehlerfortpflanzung nach Gauß für
2
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
df z = ⎜ z ⋅ df s ⎟ + ⎜ z ⋅ df k ⎟
⎝ ∂f s
⎠ ⎝ ∂f k
⎠
Einsetzen der Formel: f z =
2
fz :
2
fs ⋅ fk
fs − fk
2
⎛ ∂ fs ⋅ fk ⎞
⎛ ∂ fs ⋅ fk ⎞
2
2
Δf z = ⎜
⋅
⋅
⎟ ⋅ ( Δf s ) + ⎜
⎟ ⋅ ( Δf k )
⎝ ∂f s f s − f k ⎠
⎝ ∂f k f s − f k ⎠
⎛ f ⋅( f − f ) − f ⋅ f
Δf z = ⎜ k s k 2 s k
⎜
( fs − fk )
⎝
2
⎞
⎛ f ⋅( f − f ) + f ⋅ f
2
⎟ ⋅ ( Δf s ) + ⎜ s s k 2 s k
⎟
⎜
( fs − fk )
⎠
⎝
2
⎞
2
⎟ ⋅ ( Δf k )
⎟
⎠
2
2
⎛ f ⋅f − f 2− f ⋅f ⎞
⎛ f2− f ⋅f + f ⋅f ⎞
2
2
s
k
k
s
k
s
k
s
k
⎟ ⋅ ( Δf s ) + ⎜ s
⎟ ⋅ ( Δf k )
Δf z = ⎜
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
( fs − fk )
( fs − fk )
⎝
⎠
⎝
⎠
Vereinfachung mittels Division durch
fz
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
− fk 2
fs2
Δf z
2
2
⎟
⎜
⎟ ⋅ ( Δf k )
= ⎜
⋅
Δ
+
f
(
)
s
2
2
⎜( f − f ) ⋅ f ⎟
⎜( f − f ) ⋅ f ⎟
fz
k
z ⎠
k
z ⎠
⎝ s
⎝ s
Einsetzen der Formel: f z =
fs ⋅ f k
fs − fk
⎛
⎜
− fk 2
Δf z
= ⎜
fz
⎜ ( f − f )2 ⋅ f s ⋅ f k
k
⎜ s
fs − fk
⎝
2
⎞
⎛
⎟
⎜
fs2
2
⎟ ⋅ ( Δf s ) + ⎜
⎟
⎜ ( f − f )2 ⋅ f s ⋅ f k
k
⎟
⎜ s
fs − fk
⎠
⎝
2
2
⎞
⎟
2
⎟ ⋅ ( Δf k )
⎟
⎟
⎠
2
⎛
⎞
⎛
⎞
fs2
− fk 2
Δf z
2
2
⋅ ( Δf k )
= ⎜
⋅ ( Δf s ) + ⎜
⎟
⎟
⎜ ( f − f )⋅ f ⋅ f ⎟
⎜ ( f − f )⋅ f ⋅ f ⎟
fz
k
s
k ⎠
k
s
k ⎠
⎝ s
⎝ s
2
2
2
⎛ − f k ⎞ ⎛ Δf ⎞ ⎛
⎞ ⎛ Δf k ⎞
fs
Δf z
= ⎜
⋅⎜
+⎜
⎟
⎟⎟ ⋅ ⎜
⎟
⎟
⎜( f − f )⎟
⎜
fz
k ⎠
⎝ fs ⎠ ⎝ ( fs − fk ) ⎠ ⎝ fk ⎠
⎝ s
2
Minus kann außer Acht gelassen werden, da es durch das quadrieren so und so eliminiert wird
⎛
⎞
fk
Δf z
= ⎜
⎟
⎜( f − f )⎟
fz
k ⎠
⎝ s
2
2
⎞
⎛ Δf ⎞ ⎛
fs
⋅⎜
⎟⎟
⎟ + ⎜⎜
⎝ fs ⎠ ⎝ ( fs − fk ) ⎠
2
2
2
2
⎛ Δf ⎞
⋅⎜ k ⎟
⎝ fk ⎠
⎛ f s ⎞ ⎛ Δf k ⎞ ⎛ f k ⎞ ⎛ Δf s ⎞
Δf z = f z ⋅ ⎜
⎟ ⋅⎜
⎟ +⎜
⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ fk − fs ⎠ ⎝ fk ⎠ ⎝ fk − fs ⎠ ⎝ fs ⎠
2
2
h Grafische Darstellung:
In der Abbildungsgleichung werden die Terme
1
=x
g
1 1
1
,
und
wie folgt umbenannt:
g b
f
1
1
=y
=c
b
f
Nach dieser Substitution erhält man x + y = c bzw. y = − x + c
h Zusatzfragen:
F.1
Welchen Wertebereich muss die Brennweite der Sammellinse bezogen auf die Brennweite der Zerstreuungslinse haben,
damit man die Brennweite der Zerstreuungslinse im Prinzip auf die angegebene Weise bestimmen kann?
Æ reelle Abbildung
Æ Wertebereich der Brennweite der Linsenkombination muss positiv sein
Æ Weil die Brennweite der Sammellinse positiv ist ( f s > 0 ) und die Brennweite der Zerstreuungslinse
1
1 1
die Brennweite der Linsenkombination berechnet wird,
= +
f K fS f Z
muss folgender Zusammenhang bestehen: f S < f Z
1
Mit der Brechkraft der Linsen D =
ausgedrückt bedeutet dies: DS > DZ
f
negativ (
f z < 0 ) und mit
F.2
Bei der Linsenkombination kann man näherungsweise die Berührungsebene zwischen den beiden Linsen als
Bezugsebene (Hauptebene) verwenden. Es lässt sich aber begründen, dass die Bezugsebene außerhalb des
Linsensystems auf der Seite der Sammellinse anzunehmen ist! Begründen Sie mittels Skizze!
F.3
Worin liegen systematische Fehlermöglichkeiten des Versuchs und woran erkennt man sie bei der grafischen
Auswertung:
Systematische Fehlermöglichkeiten:
- ungenaue Skala
- Position von Schirm, Dia und Linse können nicht exakt bestimmt/abgelesen werden
Bei der grafischen Auswertung werden diese Fehler dadurch sichtbar, dass die tatsächliche Steigung nicht wie
angenommen m = −1 beträgt. Die Gerade muss flacher verlaufen.
F.4
Die Formel für
f k gilt für dünne Linsen ohne Abstand oder Zwischenraum. Berechnen Sie aus der exakten Formel
mit Linsenabstand e (s. Formelsammlung) das korrekte
1 1 1
e
= + −
fk fs f z fs ⋅ f z
daraus folgt
fz .
1 1 1 ⎛
e ⎞
− = ⋅ ⎜1 − ⎟
fk f s f z ⎝
fs ⎠
Versuch 3: Dichte
h Aufgabenstellungen:
A.1 Æ es sollen vier Gewichtsstücke eines Gewichtssatzes auf ihre Genauigkeit überprüft und die
absoluten und relativen Abweichungen ermittelt werden
A.2 Æ es soll mit dem gemessenen Volumen und Masse, die mechanische Dichte von 1 cm3-Klötzchen
unterschiedlicher Materialien ermittelt werden
A.3 Æ Dichte eines Stahlstucks mit Hacken soll über eine hydrostatische Waage, auch ohne Kenntnis
über dessen Volumen, mit dem archimedischen Prinzip bestimmt werden.
A.4 Æ es soll die mechanische Dichte von Toluol indirekt bestimmt werden
h Definition der Dichte:
Mechanische Dichte ( p ) ist der Quotient aus Masse
( m ) und dem Volumen (V ) eines Körpers,
p=
m
V
; sie ist eine der wichtigsten Stoffkonstanten.
Die Dichte ist sowohl abhängig vom Material, als auch von Druck und Temperatur. Diese Einflussfaktoren sind
besonders bei Gasen und Flüssigkeiten ausgeprägt.
g
⎛ kg ⎞
, häufig gebraucht wird auch
oder
3 ⎟
cm3
⎝m ⎠
Die SI-Einheit der Dichte ist das Kilogramm durch Kubikmeter ⎜
(bei Gasen)
g
.
l
Wie die Masse
( m ) eines Körpers ist auch die Dichte ( p ) vom geografischen Ort auf der Erdoberfläche
unabhängig. Im Unterschied zur Gewichtskraft
FG = m ⋅ g in Newton.
Hierbei ist g der Erdbeschleunigungsfaktor, der abhängig vom geografischen Ort ist. Für große Teile
Deutschlands nährt man g durch den Wert
h Verwendete Formeln:
9,81
m
an.
s2
Zu A.1
Δm = mist − msoll
in g
absolute Abweichung der Gewichtsstücke
⎛ Δm ⎞
Δm% = ⎜
⎟ ⋅100%
⎝ msoll ⎠
in g
prozentuale Abweichung der Gewichtsstücke
Zu A.2
V = a ⋅b ⋅c
m
p=
V
in mm3
Volumen der Klötzchen
in g/cm3
mechanische Dichte der Klötzchen
Zu A.3
V=
( miL − miW )
ρSt =
Zu A.4
ρT =
ρw
zur Berechung des Volumens des Stahlstücks
miL
m
=
⋅ ρw
V miL − miW
zur Berechnung der Dichte des Stahlstücks
mT mP +T − mP
=
VT
VT
Formel für Dichte von Toluol
mW mP +W − mP
=
VW
VW
m
m − mP
ρT = T ⋅ ρW = P +T
⋅ ρW
mW
m P +W − m P
ρW =
Formel für Dichte von Wasser
Zusammenfassung der beiden vorausgegangenen Formeln, mit
Beachtung das VW = VT
h Fehlerrechnung:
Zu A.2
Δm
Δk
Δρ
in g
in mm
in g/cm3
Ungenauigkeit der Waage
Ungenauigkeit bei den Kantenlängen
absolute Messabweichung der Dichte
ρ Literatur
in g/cm3
Literaturwerte
x
Formelfehler-Faktor
Δk ⎞
⎛ Δm
Δρ = ⎜
+ 3x ⋅
⋅ρ
k ⎟⎠
⎝ m
Fehlerberechnung
Zu A.3und A.4
Berechnung der Messabweichung über den Größtfehler:
⎛ ΔmiL
Δ(miL − miW ) ΔρW
Δρ = ⎜
+
+
⎜ m
ρW
m
m
−
iL
iL
iW
⎝
⎞
⎟⎟ ⋅ ρ
⎠
h Sonstiges:
Archimedisches Prinzip:
Das Archimedische Prinzip wurde vor über 2000 Jahren vom altgriechischen Gelehrten Archimedes entdeckt. Es
lautet: Die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium ist genau so groß wie die Gewichtskraft des vom
Körper verdrängten Mediums.
Ursache für die Auftriebskraft ist der Druckunterschied zwischen der Ober- und der Unterseite eines
eingetauchten Körpers. Die Kräfte, die auf die Seitenflächen einwirken, spielen keine Rolle, da sie sich gegenseitig
stets aufheben. Das heißt, es wirkt auf die unteren Teile der Oberfläche eines eingetauchten Körpers eine größere
Kraft als auf die oberen Teile der Oberfläche. Es herrscht folglich ein Druckunterschied. Da jedes physikalische
System stets bestrebt ist, einen Druckausgleich zu erzielen, wird sich der Körper so lange aufwärts bewegen, bis
sich alle auf ihn einwirkenden Kräfte ausgleichen.
Pyknometer:
Messgerät zur Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten.
Zuerst wird das leere, dann das gefüllte und auf 20 Grad Celsius temperierte Pyknometer gewogen. Als
Besonderheit ist das Flüssigkeitspyknometer mit einem Schliffstopfen mit einer Kapillare ausgestattet
Versuch 4: Spektralfotometer
h Aufgabenstellungen:
Æ
es sollen die spektralen Transmissionskurven τ(λ) eines gelben, eines cyan, einer Kombination
aus cyan und gelb, und einer Kombination aus zwei cyan- Filtern mit einem Spektralfotometer
im Bereich des sichtbaren Lichts bestimmt werden
Æ
es soll mit Hilfe eines rosa Eichfilters der Wellenlängenfehler Δλs und das Auflösungsvermögen
des Spektralfotometers abgeschätzt werden
h Was ist ein Spektralfotometer
Ein Spektralfotometer ist ein Messgerät, mit dem man den spektralen Transmissionsgrad τ (λ ) oder den
Remissionsgrad β (λ ) einer Probe in einem bestimmten Wellenlängenbereich messen kann.
Konstruktionsbedingt sind SFM im Allgemeinen nur in der Lage, entweder den Transmissionsgrad oder den
Remissionsgrad zu messen.
h Verwendete Formeln:
τ=
Φτ
Φ
⇒τ = τ ⋅100%
Φ
Φ
Transmissionsgrad (Verhältnis aus durchgelassener Lichtintensität
zu einfallender Lichtintensität)
A=
Δλa
spektrales Auflösungsvermögen ( Δλa =kleinste Wellenlängen-
λ
unterschied, den das Gerät noch zu trennen vermag)
τ1 =
Φ2
⇒ Φ 2 = Φ1 ⋅τ 1
Φ1
und
τ2 =
Φ3
Φ2
Æ
τ2 =
Φ3
Φ
⇒τ 1 ⋅τ 2 = 3 = τ komb
Φ1 ⋅τ 1
Φ1
τr =
τi =
2n
n +1
mit n=1,5
2
τ
τr
Transmissionsgrad durch die Reflexionsverluste
Rein-Transmissionsgrad (i = intrinsisch = eigen)
τ gelb / cyan =
τ cyan,doppelt
τ gelb ⋅τ cyan
⋅ 100
τr
τ e inf 2
=
⋅100
τr
Transmissionsgrad des grünen Filters in Prozent
Transmissionsgrad der doppelten Filterdicke in Prozent
ΔλS =λmax,ist − λmax,soll
Formel für den systematischen Wellenlängenfehler
h Sonstiges:
Wie entsteht Lichtabsorption in einem Filter?
Die Elektronen des Materials werden von der elektrischen Komponente (E-Vektor) der Lichtwelle zum
Mitschwingen veranlasst. Dabei wird ein Teil der Wellenenergie durch „Reibung“ in Wärme des Filtermaterials
umgewandelt.
Transmissionskurven Cyan-, Gelb- und Kombinationsfilter
Messwerte
Cyanfilter
Transmissionskurven Cyan- und Doppelcyanfilter
Messwerte
Kombination
Gelb- und
Cyanfilter
Transmissionsgrad in %
Messwerte
Gelbfilter
Messerte
Cyanfilter
50,0
40,0
Messwerte
Doppelcyanfilter
30,0
20,0
10,0
Rechenwerte
Doppelcyanfilter
Wellenlänge in nm
0
77
0
0
71
74
0
0
65
68
0
0
59
62
0
0
53
56
0
0
47
50
0
0
41
44
0
Rechenwerte
Kombination
Gelb- und
Cyanfilter
38
77
0
74
0
71
0
68
0
65
0
62
0
59
0
56
0
53
0
50
0
47
0
41
0
0,0
44
0
38
0
Transmissionsgrad in %
60,0
100,0
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
Wellenlänge in nm
F.1
Welche Eigenschaften bei Lampe bzw. Photodetektor sind über der Wellenlänge nicht konstant und bedingen deshalb
bei jeder neu eingestellten Wellenlänge eine neue 100%-Kalibrierung?
Der Photodetektor und die Lampe weisen keine konstanten Eigenschaften auf, d.h. da die Lampe
polychromatisches Licht ausstrahlt, also Licht mit vielen Wellenlängen, aber nicht alle Wellenlängenbereiche
durch das Gitter gelassen werden, kommen beim Photodetektor keine 100% des ausgestrahlten Lichtes an und je
nach Wellenlängenbereich variiert die Lichtintensität. Der Photodetektor hat ebenfalls Wellenlängenabhängige
Schwankungen. Somit muss das SFM bei jeder Wellenlänge wieder auf 100% geeicht werden um ein genaue und
auswertbare Messung zu erhalten.
F.2
Wie würden sich tendenziell alle τ(λ)-Kurven von doppelten Filtern verändern, wenn kein Öl, sondern Luft
dazwischen wäre?
Da der Brechungsindex von Luft wesentlich geringer ist als der von Glas, hätte man anstatt 2 Grenzflächen 4, an
denen Reflexionsverluste entstehen. Dies hätte zur Folge, dass weniger Licht transmittiert wird und die Kurve
würde flacher verlaufen. Dadurch, dass Öl ungefähr denselben Brechungsindex wie Glas hat, entsteht ein
homogenes System mit nur 2 Grenzflächen wie bei einem einfachen Filter.
Versuch 5: Luftfeuchtigkeit:
h Aufgabenstellungen:
Æ
es soll mit Hilfe eines Taupunktspiegels die relative Luftfeuchtigkeit
fr ermittelt werden
Æ
die relative Luftfeuchte
Æ
Ergebnisse aus den beiden Versuchen sollen miteinander verglichen werden
f r soll mit dem Aspirationspsychrometer bestimmt werden
h Versuchsprinzip:
Mit der Luftfeuchtigkeit, oder kurz Luftfeuchte, bezeichnet man den Wasserdampfanteil, der in der
atmosphärischen Luft enthalten ist. Der Grad an Feuchtigkeit wird durch die absolute bzw. die relative
Luftfeuchte angegeben.
Die Dichte des Wasserdampfes, d.h. der Quotient aus der vorhandenen Wassermasse m und dem Volumen V, ist
die absolute Luftfeuchte ρ.
ρ=
m
g
in 3
V
m
f r bezeichnet man das Verhältnis von absoluter Luftfeuchte ρ (ϑ ) zur
Wasserdampfdichte bei der die Luft gesättigt wäre (maximale Sättigungsmenge) ρ s (ϑ ) , bei herrschender
Temperatur ϑ . Die Luft ist mit Feuchtigkeit gesättigt, wenn sie die höchstmögliche Dampfmasse enthält, d.h.
Als relative Feuchtigkeit
der Wasserdampf nicht mehr fähig ist seine eigene Konzentration in der Luft weiter zu erhöhen, bei der jeweils
betrachteten Temperatur.
Die relative Feuchtigkeit f r wird in Prozent angegeben.
fr =
ρ
⋅ 100%
ρs
(1)
Alternativ hierzu kann die relative Feuchtigkeit über den Wasserdampfdruck
p(ϑ ) und den Wasserdampfdruck
bei gesättigter Luft ps (ϑ ) , in Abhängigkeit von der Temperatur, ermittelt werden.
Mit der allgemeinen Gasgleichung
p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T
bzw.
p=
1 m
⋅ ⋅ R ⋅T
V M
wobei
p = Dampfdruck
V = Volumen
T = 273,2 + ϑ absolute Temperatur in Kelvin
J
R = 8,314
allgemeine Gaskonstante
mol ⋅ K
m
n = Molzahl („Stoffmenge“)=
M
m = Dampfmasse
g
M = 18
Molekülmasse des Wasserdampfes
mol
m
= ρ einsetzt:
Erhält man, wenn man für
V
p=
Damit lässt sich beweisen, dass p und
M jeweils Konstanten sind ρ
ρ
M
⋅ R ⋅T
(2)
zueinander proportional sind, wenn T konstant ist (da bereits R und
R
= const . = x ).
M
Daher lässt sich die Gleichung (2) auch folgendermaßen darstellen:
p = x ⋅ ρ ⋅T
und analog auch für
ps = x ⋅ ρs ⋅ T
Um die Konstante ( x ) und T zu eliminieren, werden die beiden Gleichungen durcheinander dividiert und man
erhält:
p ρ
=
ps ρ s
Damit erhält man durch einsetzten in die Gleichung (1) die äquivalente Definition:
fr =
Die Bestimmung der relativen Feuchtigkeit
p
⋅ 100%
ps
(3)
f r erfolgt durch ein Taupunktspiegelhygrometer. Dabei wird die
spiegelnde Oberfläche soweit abgekühlt, bis sich die Luftfeuchtigkeit auf ihm niederschlägt (kondensiert), d.h.
vom gasförmigen in den flüssigen Aggregatzustand übergeht. Mit der Temperatur des Tauspiegels am Taupunkt
lässt sich der entsprechende Wasserdampfsättigungsdruck aus der Tabelle entnehmen ( p (ϑτ ) ). Weil in einem
Raum keine zwei verschiedene Dampfdrücke gleichzeitig herrschen können (Dampfdruckunterschiede werden
sofort ausgeglichen) gilt:
Dampfdruck am Taupunkt p(ϑτ ) = Dampfdruck bei Raumtemperatur p(ϑ )
h Abbildung:
Abb.: Aspirationspsychrometer
F.1
Warum sind die Rohre verchromt?
Der wesentliche Aspekt ist, dass das Chrom die Funktion hat, Wärmestrahlung zu reflektieren und somit eine
Verfälschung der Messwerte vorzubeugen. Eine weitere Eigenschaft ist, dass das Chrom nicht oxidiert und ein
gewisser Schutz der Apparatur gewährleistet wird.
Versuch 6:Wärmeausdehnung:
h Aufgabenstellungen:
Æ
von 3 Metallrohren (Messing, Aluminium und Stahl) und einem Glasrohr soll der
Längenausdehnungskoeffizient bestimmt werden
h Versuchsprinzip/Grundlagen:
Ursachen der Wärmeausdehnung
In einem Festkörper schwingt jedes einzelne Atom um einen Gleichgewichtspunkt. Würde es sich dabei um
harmonische Schwingungen handeln, so müsste die Entfernung zwischen den Atomen im Mittel gleich dem
Gleichgewichtsabstand bleiben, weil die Atome in gleichem Maße in Richtung eines Nachbaratoms als auch in
die entgegengesetzte Richtung schwingen. Deshalb kann die Wärmeausdehnung nicht mit der Näherung des
harmonischen Potenzials beschrieben werden, sondern es muss berücksichtigt werden, dass die potenzielle
Energie stärker steigt, wenn sich zwei Atome einander nähern, als wenn sie sich voneinander entfernen. Durch
die steilere Potenzialkurve ist bei der Schwingung die Auslenkung in Richtung eines näheren Nachbaratoms
kleiner und gleichzeitig die rücktreibende Kraft größer als bei der Schwingung weg vom Nachbaratom (bzw. in
Richtung eines weiter entfernten Atoms); dadurch verbringt das Atom weniger Zeit in der Nähe des
Nachbaratoms, die Abstände zwischen den Atomen sind im Mittel größer als der Gleichgewichtsabstand. Falls
die Schwingungen mit geringen Energien stattfinden, ist das Potenzial noch relativ symmetrisch, je höher die
Energien werden, desto weiter schwingen die Atome in den asymmetrischen Bereich des Potenzials. Höhere
Energien sind bei höheren Temperaturen vorhanden, deshalb kommt es bei Erwärmung zur Ausdehnung.
Bei Gasen steigt der Druck bei konstantem Volumen mit zunehmender Temperatur, weil durch die höhere
Teilchenenergie sowohl mehr Impuls pro Teilchen z. B. an eine Gefäßwand abgegeben wird, als auch die
Geschwindigkeit der Teilchen höher ist, was zu mehr auftreffenden Teilchen pro Zeiteinheit führt. Wenn der
Druck konstant bleiben soll, muss das Volumen vergrößert werden, so dass die geringere Teilchendichte die oben
genannten Effekte ausgleicht. Bei Gasen, deren Verhalten von dem des idealen Gases abweicht, spielen auch
Anziehungskräfte zwischen den Gasteilchen, die die Wärmeausdehnung verringern, sowie das Volumen eines
einzelnen Teilchens eine Rolle.
Bei Flüssigkeiten hat die Wärmeausdehnung im Prinzip die gleichen Ursachen wie bei Gasen, nur wird sie durch
Anziehungskräfte zwischen den Teilchen stark vermindert.
Wärmeausdehnungskoeffizient
Der Wärmeausdehnungskoeffizient ist ein Kennwert, der das Verhalten eines Stoffes in einem bestimmten
Temperaturbereich beschreibt. Unterschieden wird zwischen dem Längenausdehnungskoeffzienten (auch
linearer Wärmeausdehnungskoeffizient) und dem Raumausdehnungskoeffizienten (räumlicher oder auch
Volumenausdehnungskoeffizient).
h Verwendete Formeln:
Formel für Längenausdehnungskoeffizienten
α=
Δl / l0
Δl / l0
=
ΔT
ϑ warm − ϑ kalt
(
)
Æ abhängig von tatsächlicher Ausdehnung, Anfangslänge und Temperaturunterschied
Æ beschreibt das Ausdehnungsverhalten eines Stoffes unter Temperaturveränderung
h Fragen:
Versuch 7: Resonanz
h Aufgabenstellungen:
Æ
es soll die Eigenfrequenz f eigen eines ungedämpft schwingenden Rades bestimmt werden und
bewiesen werden, dass die Eigenfrequenz unabhängig von der Schwingungsweite des Rades ist
Drehfrequenz des Antriebsmotors in Abhängigkeit von der Motorspannung soll ermittelt
werden
Schwingungsamplituden des Rades, bei vordefinierter Dämpfung und den empfohlenen Stufen
der Motorspannung, in einer Resonanzkurve abgebildet
Æ
Æ
Die Resonanz wird in der Physik als das erzwungene Mitschwingen eines schwingungsfähigen Systems
(=Resonator), wenn dieses periodisch angeregt wird, beschrieben.
Unter dem Begriff der Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems ist eine Frequenz (=Anzahl der
Schwingungen in der Zeiteinheit) zu verstehen, mit der das System nach einmaliger Anregung schwingen kann.
Die Eigenfrequenz f eigen lässt sich mithilfe der Periodendauer T wie folgt ermitteln:
f eigen =
1
in Hz.
T
h Regressionsrechnung:
Mit der linearen Regressionsfunktion yˆ = g ( x ) = a yx + byx ⋅ U lässt sich die Ausgleichsgerade rechnerisch
ermitteln, wobei der Achsenabschnitt;
a yx =
n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
∑ xi 2 ⋅ ∑ yi − ∑ xi ⋅ ∑ xi ⋅ yi
i =1
⎛
⎞
n ⋅ ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
n
n
2
2
und der Regressionskoeffizient (Steigung);
n
byx =
n
n
n ⋅ ∑ xi ⋅ yi − ∑ xi ⋅ ∑ yi
i =1
i =1
i =1
2
⎛
⎞
n ⋅ ∑ xi 2 − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
n
n
ist.
h Fragen:
F.1
Warum ist die Gerade für die Erregerfrequenz
f err in Abhängigkeit von der Motorspannung U keine
Ursprungsgerade?
Der Elektromotor benötigt zur Überwindung der Startreibung eine geringe Mindestspannung. Erst wenn diese
Reibung überwunden wird fängt das Antriebsrad an sich zu drehen.
F.2
Erklären Sie, wieso die Motorspannung während des Versuchs häufig nicht konstant bleibt?
Die Motorspannung ist abhängig von der Belastung des Motors. Durch Reibungen, welche durch die
mechanische Verbindung von Motor und Drehpendel verursacht werden, schwankt die Beanspruchung des
Motors. Diese Schwankungen werden durch die fluktuierende Motorspannung sichtbar.
F.3
Warum werden in der Tabelle zu Teil 3 nicht die gemessenen sondern die gerechneten Frequenzen eingetragen?
Wie im 2. Versuch bewiesen wurde, hängt die Spannung linear mit der Frequenz zusammen. Um Messfehler zu
vermeiden wird daher die Geradengleichung über die Regressionsrechnung verwendet.
F.4
Im Diagramm zu Teil 3 sollen Sie gemäß Aufgabenstellung die Achse doppelt beschriften. Welche der beiden
Größen ist als wesentlich, welche nur als Hilfsgröße anzusehen?
Die Erregerfrequenz wird hier als wesentliche Größe gesehen. Mit ihr wird die Amplitude bestimmt. Die
Spannungsangabe ist nur eine Hilfsgröße. Die Erregerfrequenz wird sich bei einem anderen Motor und gleicher
Spannung anders verhalten.
F.5
Versuchen Sie dem Schaubild mit den Resonanzkurven zu entnehmen, ob sich die Frequenzwerte der Maxima mit
zunehmender Dämpfung verschieben. Falls ja, in Richtung tieferer oder höherer Frequenz?
Mit Hilfe des Schaubildes lässt sich nicht eindeutig sagen, dass die Kurve sich verschiebt. Jedoch kann man einen
leichten Trend nach links vermuten. Somit würde sich die Kurve mit Zunahme der Dämpfung in die tieferen
Frequenzen verschieben.
Versuch 8: Dispersion:
h Aufgabenstellungen:
Æ
ermitteln der Prismenwinkels
Æ
γ
mit Hilfe eines Spektometers
es sollen die Spektrallinien ermittelt und daraus
δ min
berechnet werden
es soll mit Hilfe eines Spektrometers die Abhängigkeit der Brechzahl n von der Wellenlänge
Lichts ermittelt werden
h Formeln und Darstellungen:
Die Verhältniszahl n ist sozusagen ein Geschwindigkeits-Reduktionsfaktor, sie wird Brechzahl oder
Brechungsindex genannt.
c0
sin α1 n2
und:
= = nkonst .
c
sinα 2 n1
wobei: c 0 = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
c = Lichtgeschwindigkeit im Medium
Es gilt: n =
Abb. Strahlengang am Prisma
δ =(α1 -α 3 )+(α 2 -α 4 )
Bestimmung des Winkels
γ=
γ
:
(ϕr − ϕl )
in °
2
δ min :
= ϕr − ϕl ± 180°
Zur Bestimmung des Winkels
δ min
Bestimmung des Brechungsindexes n :
n=
sin
δ min + γ
2
sin
h Fehlerrechnung:
γ
2
λ
des
Größtfehler:
Nach Gauss:
γ=
(ϕr − ϕl )
Æ
2
Δne =
cos
δ +γ
2
Δγ =
− sin
sin
h Beweise:
Behauptung 1:
δ +γ
γ
2
2
(Δϕ + Δϕ )
2
⋅ cot
γ
2 ⋅ Δγ +
2
cos
δ +γ
2
sin
γ
⋅
Δγ
2
2
γ = α2 + α3
γ = 180° − β1 − β2
β1 = 90° − α 2
β 2 = 90° − α 3
γ = 180° − ( 90° − α 2 ) − ( 90° − α 3 )
γ = 180° − 90° + α 2 − 90° + α 3
→ γ = α2 + α3
Behauptung 2:
δ = α1 + α 4 − γ
β = 180° − (α 2 + α 3 )
β = 180° − γ
ε = 180° − δ
α1 + α 4 + β + ε = 360°
α1 + α 4 + (180° − γ ) + (180° − δ ) = 360°
α 1 + α 4 − γ − δ = 0°
→ δ = α1 + α 4 − γ
Versuch 9: Wheatstone-Brücke
h Aufgabenstellungen:
Æ
es soll anhand der Wheatstoneschen Schleifdrahtmessbrücke der Wert zweier ohmscher
Widerstände bestimmt werden
Æ
diese Widerstände sollen anschließend in Reihe und dann parallel geschaltet und der jeweilige
Wert des resultierenden Widerstands gemessen werden
Æ
es sollen die spezifischen Widerstände von Konstantan und Messing ermittelt werden
h Verwendete Formeln:
Ohmsche Gesetz ( R =
U
)
I
Die Wheatstonesche Brückenschaltung (s. Abb. 1) vermindert somit diese Fehlerquellen durch Kompensation.
Dies erfolgt durch einen Nullabgleich des Anzeigegeräts (Amperemeter) an zwei (oder auch mehreren)
Spannungsteilern. Das heißt, die Messbrücke ist abgeglichen, wenn die Teilspannungen keine Spannung am
Anzeigegerät mehr anzeigen. Somit gilt laut Maschenregel für die Spannung U x = U1 und U 3 = U 2 woraus
sich
U x U1
ergibt.
=
U3 U2
Rx und durch R3 identisch ist, lässt sich
U
R
R
das oben genannte Verhältnis auch wie folgt darstellen: x = 1 .
mithilfe des Ohmschen Gesetztes R =
I
R3 R2
R ⋅R
Somit kann der gesuchte Widerstand Rx mit Rx = 1 3 ermittelt werden.
R2
Dadurch, dass der elektrische Strom (=elektrische Stromstärke) durch
Die beiden Widerstände
R1 und R2 werden durch einen Schleifdraht aus Konstantan ersetzt. Dieser
Schleifdraht wird durch einen verschiebbaren Schleifkontakt in zwei variable Teilabschnitte geteilt, die den
Widerständen R1 und R2 entsprechen (s. Abb. 2).
Der spezifische Widerstand ρ (rho) ist ein materialabhängiger Widerstand, der für das jeweilige Material
konstant und somit einen fest definierter Wert hat.
Diese zwei Teilabschnitte lassen sich durch den spezifischen Widerstand ρ und einer konstanten
Querschnittsfläche A folglich darstellen:
R1 = ρ ⋅
x
l−x
, R2 = ρ ⋅
A
A
h
R1
x
=
R2 l − x
Setzten man diese Gleichung in die oben erhaltene Gleichung für
Rx = R3
Rx ein, erhält man die Endformel:
x
l−x
Abb.2: Wheatstonebrücke mit Schleifdrahtwiderstand
Der Sollwiderstand für die Schaltung in Reihe Rx , soll ergibt sich nach der Kirchhoff'schen Maschenregel mit der
Formel: Rreihe = Rx ,1 + Rx ,2 . Bei angenommenen Rx ,1 = 1 k Ω und Rx ,2 = 2 k Ω beträgt
Rx , soll = 1 k Ω + 2k Ω = 3 k Ω .
Für die parallele Schaltung der Widerstände lässt sich der Sollwiderstand wie folgt ermitteln:
1
Rx , soll
=
1
1
+
Rx ,1 Rx ,2
Mit dieser Formel ergibt sich bei Rx ,1 = 1 k Ω und Rx ,2 = 2 k Ω für Rx , soll :
Rx , soll =
1
1
1
+
Rx ,1 Rx ,2
=
1
1
1
+
1kΩ 2 kΩ
= 0, 666 k Ω
Messabweichung und statistische Fehlerrechnung
h Grober Fehler:
z.B. durch Unachtsamkeit, Benutzung ungeeigneter Geräte oder falscher
Æ
Formeln u.s.w. „Stichwort Schlamperei“
Æ
unterschieden sich i. a. als „Ausreißer“ deutlich von anderen Messwerten
Æ
Sie sind durch eine statistische Fehleranalyse nicht zu erfassen
h Systematische (wenn Messungen wiederholt werden) Messabweichung:
Æ
ein fehlerhaft kalibriertes Messgerät (z.B. Uhr, Thermometer, Maßstab…)
Æ
konstante, nicht erkannte Umgebungseinflüsse, die das Messgerät in gleich
bleibender Weise dejustieren (z.B. hohe Luftfeuchtigkeit, Temperatur,
elektrostatische Aufladung)
Æ
mangelnde Reinheit von Substanzen (z.B. undefinierte oder verunreinigte
Legierung)
Æ
ungenaues Messverfahren (z.B. Bestimmung der Brennweite einer dicken Linse
aus g und b…)
Æ
Bedingt durch die Auswerteformel (Linearisierung, Nährung)
h Zufällige oder statistische Fehler:
Bedingt durch:
Æ das Messgerät
Æ die Umgebung des Messgerätes
Æ der Messende (der Versuchsdurchführende)
Æ das Messobjekt selbst
h Statistische Fehlerrechnung
1) Direkte Messung
Arithmetischer Mittelwert:
fr =
1 n
∑ xi
n i =1
Standardabweichung:
s fr =
(
1 n
∑ fi − f r
n − 1 i =1
)
2
Standardabweichung des Mittelwerts:
sf =
sf
n
Vertrauensgrenze für 95%ige Sicherheit:
u95% = s f ⋅ t
2) Indirekte Messungen
Æ Direktes Einsetzten (i. a. nicht empfohlen)
Æ Analytische Fehlerfortpflanzung
h Größtfehler
h wahrscheinliche Fehler (Fehlerfortpflanzungsgesetz nach Gauß)