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Formelsammlung
für die Sekundarstufen
I und II
Mathematik
Informatik
Astronomie
Physik
Chemie
Biologie
für das Abitur empfohlen
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Ç
VOLK UND WISSEN
Inhalt
MATHEMATIK
Zahlen, Zeichen, Ziffern ……………………………………5
Mathematische Zeichen ……………………………………5
Griechisches Alphabet ………………………………………6
Frakturbuchstaben …………………………………………6
Zahlenbereiche ………………………………………………7
Rechenoperationen …………………………………………8
Termumformungen …………………………………………8
Mittelwerte …………………………………………………8
Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen ……………………9
Teilbarkeitsregeln ……………………………………………9
Primzahlen ……………………………………………………9
Römische Zahlzeichen ………………………………………9
Zahlen im Zehnersystem / Dezimalzahlen…………………10
Zahlen im Zweiersystem / Dualzahlen ……………………10
Zahlen im Hexadezimalsystem / Hexadezimalzahlen ……10
Umrechnungstafel Dezimalzahlen, Hexadezimalzahlen,
Dualzahlen …………………………………………………11
Rechnen mit Bruchzahlen (gebrochenen Zahlen) ………12
Rundungsregeln ……………………………………………12
Näherungswerte ……………………………………………12
Intervalle im Bereich reeller Zahlen ………………………12
Komplexe Zahlen …………………………………………13
Gleichungen und Funktionen ……………………………14
Zuordnungen ………………………………………………14
Proportionale Zuordnungen / Proportionalität …………14
Prozentrechnung / Zinsrechnung …………………………15
Rentenrechnung ……………………………………………15
Finanzmathematik …………………………………………16
Lineare Optimierung ………………………………………17
Lineare Gleichungen / lineare Gleichungssysteme ………18
Lineare Funktionen / konstante Funktionen ……………18
Quadratische Gleichungen …………………………………19
Quadratische Funktionen …………………………………19
Potenzen / Wurzeln / Logarithmen…………………………20
Potenzfunktionen y = f(x) = xk ……………………………21
Exponentialfunktionen / Logarithmusfunktionen ………21
Seiten-Winkel-Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck –
Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens ………………………22
Winkelfunktionen – Sinusfunktion und
Kosinusfunktion ……………………………………………22
Winkelfunktionen – Tangensfunktion und Kotangensfunktion ……………………………………………………23
Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen …………23
Darstellung einer Winkelfunktion durch eine andere
Funktion desselben Winkels ………………………………24
Additionstheoreme …………………………………………24
Summen / Differenzen sowie Funktionen des doppelten
und des halben Winkels ……………………………………24
Die Funktion y = a · sin (bx + c)……………………………24
Winkelmaße ………………………………………………25
Umrechnungstafel: Grad in Radiant ………………………25
Umrechnungstafel: Radiant in Grad ………………………25
Geometrie …………………………………………………26
Einteilung der Dreiecke / Ebene Figuren …………………26
Körper / Satz des Cavalieri …………………………………28
Regelmäßige Polyeder ……………………………………29
Winkelpaare / Sätze im allgemeinen Dreieck ……………30
Satzgruppe des Pythagoras – Flächensätze am
rechtwinkligen Dreieck ……………………………………31
Sätze über Winkel am Kreis ………………………………31
Sehnenviereck / Tangentenviereck …………………………31
Strahlensätze ………………………………………………32
Zentrische Streckung ………………………………………32
Goldener Schnitt ……………………………………………32
Darstellende Geometrie ……………………………………33
Kongruenz …………………………………………………34
Parallelverschiebung ………………………………………34
Spiegelung / Drehung ………………………………………34
Koordinatensysteme ………………………………………35
Transformation eines kartesischen Koordinatensystems
in der Ebene ………………………………………………35
Stochastik …………………………………………………36
Diagramme …………………………………………………36
Kombinatorik ………………………………………………37
Grundbegriffe der Stochastik ……………………………38
Kenngrößen der Häufigkeitsverteilung einer
Datenreihe …………………………………………………38
Kenngrößen zur Charakterisierung der Streuung ………39
Mehrstufige Zufallsversuche ………………………………39
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ………………………40
Zufallsgrößen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung …41
Wertetafel zur Binomialverteilung (n = 2; ...; 10) …………44
Summierte Binomialverteilung (n = 2; ...; 10) ……………45
Wertetafel zur Binomialverteilung (n = 12, 14, 16, 18) ……46
Summierte Binomialverteilung (n = 12, 14, 16, 18) ………47
Wertetafel zur Binomialverteilung (n = 25, 50) ……………48
Summierte Binomialverteilung (n = 25, 50) ………………49
Standardnormalverteilung …………………………………50
Zufallsziffern ………………………………………………51
Analysis ……………………………………………………52
Folgen und Reihen …………………………………………52
Grenzwerte …………………………………………………53
Differenzialrechnung ………………………………………54
Schrittfolge einer Kurvendiskussion ………………………56
Horner-Schema; Polynomdivision …………………………57
Integralrechnung …………………………………………58
Flächeninhaltsberechnung durch Integration ……………60
Volumenberechnung durch Integration …………………60
Wachstumsprozesse, Wachstumsfunktionen;
Differenzialgleichungen ……………………………………61
Vektorrechnung und analytische Geometrie ……………62
Vektoren ……………………………………………………62
Einfache Operationen mit Vektoren ………………………63
Basis von Vektoren / Vektorraum …………………………63
Multiplikation von Vektoren ………………………………64
Geradendarstellungen ……………………………………65
Ebenendarstellungen / Schnittwinkel ……………………66
Lagebeziehungen / Abstände ………………………………67
Kreis und Kugel ……………………………………………68
Kegelschnitte ………………………………………………69
Lineare Algebra ……………………………………………70
Matrizen ……………………………………………………70
Rechnen mit Matrizen ……………………………………71
Besondere Matrizen und Eigenschaften …………………72
Determinanten ……………………………………………73
Lösen linearer Gleichungssysteme mit der
Cramer’schen Regel ………………………………………74
Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem
Gauß’schen Eliminationsverfahren ………………………75
Lineare Abbildungen ………………………………………76
Affine Abbildungen ………………………………………76
INFORMATIK
Datendarstellung ……………………………………………77
Einheiten ……………………………………………………77
Datentypen (Auswahl) ……………………………………77
Algorithmik …………………………………………………78
Algorithmusbegriff …………………………………………78
Strukturelemente der Algorithmierung in
verschiedenen Darstellungsformen ………………………78
Programmiermethodik (-technik) …………………………79
Programmiersprachen………………………………………80
Web-Seitengestaltung ………………………………………81
HTML-Befehle ……………………………………………81
Cascading Style Sheet (CSS) ………………………………82
ASTRONOMIE
Konstanten, Einheiten und Werte …………………………83
Konstanten …………………………………………………83
Einheiten der Länge / Einheiten der Zeit …………………83
Ausgewählte Zeitzonen ……………………………………83
Erde / Mond…………………………………………………84
Planeten des Sonnensystems ………………………………84
Sonne ………………………………………………………85
Einige Daten unseres Milchstraßensystems
(Galaxis) ……………………………………………………85
Scheinbare Helligkeiten einiger Sterne ……………………85
Radien und mittlere Dichten von Sternen …………………85
Formeln ……………………………………………………86
Grundlegende Größen ……………………………………86
Die Kepler’schen Gesetze …………………………………86
Das Gravitationsgesetz ……………………………………86
Kosmische Geschwindigkeiten ……………………………86
PHYSIK
Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems (SI) …87
Mechanik ……………………………………………………87
Größen und Einheiten der Mechanik ……………………87
Größen und Einheiten der Akustik ………………………89
Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung …………………89
Reibungszahlen (Richtwerte) ………………………………93
Arbeit, Energie, Leistung …………………………………93
Impuls, Drehimpuls…………………………………………94
Stoßarten / Gravitation ……………………………………95
Mechanische Schwingungen ………………………………96
Mechanische Wellen ………………………………………97
Schallgeschwindigkeiten ……………………………………97
Mechanik der Flüssigkeiten und Gase ……………………97
Dichten………………………………………………………98
Widerstandsbeiwerte cw einiger Körper …………………99
Thermodynamik ……………………………………………99
Größen und Einheiten der Thermodynamik………………99
Wärme, Wärmeübertragung………………………………100
Feste Stoffe und Flüssigkeiten ……………………………100
Eigenschaften von festen Stoffen …………………………101
Eigenschaften von Flüssigkeiten …………………………101
Eigenschaften von Gasen …………………………………102
Heizwerte …………………………………………………102
Druckabhängigkeit der Siedetemperatur des Wassers …102
Ideales Gas / Reales Gas …………………………………103
Energie, Enthalpie, Entropieänderung……………………103
Kinetische Gastheorie ……………………………………104
Elektrizitätslehre …………………………………………105
Größen und Einheiten der Elektrizitätslehre
und des Magnetismus ……………………………………105
Spezifische elektrische Widerstände………………………106
Gleichstrom ………………………………………………106
Gesetze im unverzweigten und
verzweigten Stromkreis ……………………………………107
Elektrisches Feld …………………………………………107
Magnetisches Feld …………………………………………108
Hall-Konstanten RH ………………………………………109
Relative Permittivitäten εr (Permittivitätszahlen) ………109
Relative Permeabilitäten µr (Permeabilitätszahlen)
magnetischer Werkstoffe …………………………………109
Elektromagnetische Induktion……………………………110
Wechselstrom ………………………………………………110
Widerstände im Wechselstromkreis ………………………111
Transformator ……………………………………………111
Elektromagnetischer Schwingkreis ………………………112
Elektromagnetische Wellen ………………………………112
Elektromagnetisches Spektrum …………………………112
Schaltzeichen ………………………………………………113
Optik ………………………………………………………114
Größen und Einheiten der Optik …………………………114
Strahlenoptik ………………………………………………114
Wellenoptik ………………………………………………115
Lichtgeschwindigkeiten in Stoffen und im
Vakuum ……………………………………………………116
Brechzahlen n ……………………………………………116
Spezielle Relativitätstheorie ………………………………116
Temperaturstrahlung ……………………………………117
Quantenphysik ……………………………………………117
Austrittsarbeiten WA (Auslöseenergie EA) der
Elektronen aus reinen Metalloberflächen ………………118
Kernphysik…………………………………………………118
Beispiele für Halbwertzeiten T1/2 …………………………118
Größen und Einheiten der Kernphysik
und im Strahlenschutz ……………………………………119
Atomkerne und Strahlenschutz …………………………119
Auszug aus der Nuklidkarte (vereinfacht) ………………120
Alpha-, Beta- und Gammastrahlung ……………………122
Naturkonstanten …………………………………………122
CHEMIE
Übersichten zur Chemie …………………………………123
Chemische Elemente ………………………………………123
Atom- und Ionenradien einiger Elemente ………………125
Anorganische Stoffe ………………………………………126
Organische Stoffe …………………………………………129
Molare Standardgrößen – Anorganische
Verbindungen ……………………………………………132
Molare Standardgrößen – Organische
Verbindungen ……………………………………………135
Griechische Zahlwörter in der chemischen
Nomenklatur ………………………………………………136
Massenanteil und Dichte von sauren
und alkalischen Lösungen ………………………………136
Molare Gitterenthalpie von Ionensubstanzen …………137
Molare Hydratationsenthalpie einiger Ionen ……………137
Umschlagsbereiche für Säure-Base-Indikatoren…………137
Komplexzerfallskonstanten (Dissoziationskonstanten) …137
Säurekonstanten und Basekonstanten……………………138
Kryoskopische und ebullioskopische Konstanten
von Lösemitteln ……………………………………………138
Löslichkeitsprodukte bei 25 °C …………………………139
Elektrochemische Spannungsreihe der Metalle …………140
Elektrochemische Spannungsreihe der Nichtmetalle ……140
Elektrochemische Sannungsreihe einiger
Redoxreaktionen / Löslichkeit einiger Gase in Wasser …141
Größengleichungen der Chemie …………………………142
Stoffmenge, molare Masse, molares Volumen und
Normvolumen ……………………………………………142
Zusammensetzungsgrößen ………………………………143
Chemische Thermodynamik ……………………………144
Reaktionskinetik / Chemisches Gleichgewicht …………145
Säure-Base-Gleichgewichte ………………………………146
Löslichkeitsgleichgewichte ………………………………147
Elektrochemie ……………………………………………147
Kernchemie ………………………………………………148
BIOLOGIE
Allgemeine Angaben ………………………………………149
Ungefähre Artenanzahlen einiger
wichtiger Tiergruppen weltweit …………………………149
Ungefähre Artenanzahlen einiger wichtiger
Pflanzengruppen weltweit…………………………………149
Maximales Alter verschiedener Lebewesen ………………149
Zellbiologie ………………………………………………150
Lebensdauer von Zellen in verschiedenen Organen
des Menschen………………………………………………150
Größe von Zellen oder Zellorganellen ……………………150
Dauer der Zellteilung (Mitose) verschiedener Zellen ……150
Sinnes- und Nervenphysiologie …………………………151
Obergrenze der Hörfähigkeit bei Tieren und
beim Mensch ………………………………………………151
Schallpegel verschiedener Geräusche ……………………151
Erregungsleitungsgeschwindigkeit in Nerven ……………151
Anzahl der Rezeptoren und ableitenden Nervenfasern
der Sinne des Menschen …………………………………151
Stoff- und Energiewechsel…………………………………152
Ernährung …………………………………………………152
Täglich benötigte Nahrungsmenge verschiedener
Lebewesen …………………………………………………152
Täglicher Energiebedarf von Säuglingen, Kindern
und Jugendlichen …………………………………………152
Energie-, Nährstoff-, Wasser- und Vitamingehalt
ausgewählter Nahrungsmittel ……………………………153
Energiegehalt der Nährstoffe ……………………………153
Energieverbrauch bei verschiedenen Tätigkeiten ………154
Körpermassenindex / Respiratorischer Quotient ………154
Abbau der Nährstoffe im Körper…………………………154
Veränderung des Sauerstoff- und Kohlenstoffdioxidgehaltes in der Atemluft und im Blut des Menschen
während der Atmung………………………………………155
Diffusion / Osmose / Enzymreaktionen …………………155
Genetik und Evolution ……………………………………156
Chromosomensätze von Lebewesen ……………………156
Genetischer Code …………………………………………156
DNA- und RNA-Gehalt verschiedener Zellen
des Menschen………………………………………………157
Mutationsrate / Populationsgenetik / Evolution …………157
Entwicklung der Lebewesen im Verlauf der
Erdgeschichte………………………………………………158
Ökologie ……………………………………………………159
Wachstumsgesetze …………………………………………159
Bestimmen der Wasserqualität ……………………………159
Biomasseproduktion und Wasserbilanz bei
Pflanzen ……………………………………………………160
Bestandsaufnahme von Pflanzen …………………………160
Zeigerwerte von Pflanzen …………………………………161
REGISTER ………………………………………………162
18
MATHEMATIK
Lineare Gleichungen/lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen
mit einer Variablen
allgemeine Form: a x þ b ¼0, wobei
a, b konstant und a 6¼ 0
b
b
Lsung: x ¼ bzw. L ¼ a
a
Lineare Gleichungen
mit zwei Variablen
allgemeine Form: a x þ b y ¼ c, wobei a, b, ckonstant und a 6¼ 0; b 6¼ 0
a
c
Lsungsmenge: L ¼ ðx; yÞ j y ¼ x þ
b
b
Alle Lsungen liegen auf ein und derselben Geraden.
Lineare Gleichungssysteme (LGS)
mit 2 Variablen
allgemeine Form:
Grafisches Lsen
von linearen
Gleichungssystemen
mit 2 Variablen
Das LGS hat
genau eine Lsung,
wenn die Geraden
einander schneiden.
(I) a1 x þ b1 y ¼ c1
(II) a2 x þ b2 y ¼ c2, wobei a1, b1, c1, a2, b2, c2 konstant
Lsungsmenge: Schnittmenge der Lsungsmengen beider Gleichungen
Das LGS hat
keine Lsung,
wenn die Geraden
parallel verlaufen.
y
y
I
Das LGS hat
unendlich viele Lsungen,
wenn die Geraden
zusammenfallen.
y
II
I = II
I
y0
0
Rechnerisches Lsen
von linearen
Gleichungssystemen
(% Seite 75)
x0
x
II
0
x
0
x
Einsetzungsverfahren:
eine Gleichung nach einer Variablen auflsen
den entstehenden Term in die andere Gleichung einsetzen
Gleichsetzungsverfahren:
beide Gleichungen nach derselben Variablen auflsen
entstehende Terme gleichsetzen
Additionsverfahren:
eine Gleichung auf beiden Seiten mit einer Zahl ð6¼ 0Þ multiplizieren, sodass in
beiden Gleichungen die Koeffizienten vor einer der Variablen dem Betrage
nach gleich, ihre Vorzeichen aber verschieden sind
Gleichungen dann addieren
Lineare Funktionen/konstante Funktionen
Lineare Funktionen
Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ m x þ n, wobei m, n konstant und m 6¼ 0
grafische Darstellung: Gerade durch den Punkt P(0; n) mit Steigung m
Steigung:
Steigungsf (x) = m .x+n
y
y2 y1
winkel
m¼
ðx1 6¼ x2 Þ
⫻
y2
x2 x1
y2 - y 1
m ¼ tan a ða 6¼ 90°Þ
α
y1
⫻
Monotonie:
x2 - x1
Steigungsfr m > 0 monoton wachsend
dreieck
n
fr m < 0 monoton fallend
n
x0 0
x1
x2
x
Nullstelle: x0 ¼ m
Konstante Funktionen Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ n, wobei n konstant
grafische Darstellung: Gerade durch den Punkt Pð0; nÞ, parallel zur x-Achse
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s018-022.3d***19.9.2002***14:48:4
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Gleichungen und Funktionen
Quadratische Gleichungen
Quadratische
Gleichungen
allgemeine Form: a x2 þ b x þ c ¼ 0, wobei a, b, c konstant und a 6¼ 0
Normalform: x2þ p x þ q ¼ 0, wobei p, q konstant
Lsungsformeln
fr Normalform:
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
p
p
x1; 2 ¼ q
2
2
Diskriminante
Anzahl der
Lsungen
fr allgemeine Form:
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
b2 4 a c
x1; 2 ¼ 2a
4 a2
2
p
p pffiffiffiffi
D¼
q, daher x1; 2 ¼ D
2
2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 ffi
ffi
p
p
p 2
q und x2 ¼ q
2
2
2
p
Falls D ¼ 0: genau eine Lsung, x1 ¼ x2 ¼ 2
Falls D < 0: keine Lsung im Bereich der reellen Zahlen
p
Falls D > 0: zwei Lsungen, x1 ¼ þ
2
Satz von Vieta
Fr die Lsungen x1, x2 einer quadratischen Gleichung x2 þ p x þ q ¼ 0 gilt:
x1 þ x2 ¼ p und x1 x2 ¼ q
Zerlegung in
Linearfaktoren
Fr die Lsungen x1, x2 einer quadratischen Gleichung x2 þ p x þ q ¼ 0 gilt:
x2 þ p x þ q ¼ ðx x1 Þ ðx x2 Þ
Quadratische Funktionen
Allgemeine Form
und a 6¼
Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ a x2 þ b x þ c, wobei a, b, c konstant
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi 0
2
b
b 4ac
b 4 a c b2
Nullstellen: x1; 2 ¼ Scheitelpunkt: S ;
2
a
4 a2
4a
2a
Normalform
Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ x2 þ p x þ q, wobei p, q konstant
s
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
p
p 2
p
p2
q
Nullstellen: x1; 2 ¼ Scheitelpunkt: S ; þ q
2
2
4
2
Scheitelpunktsform
Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ aðx þ dÞ2 þ e, wobei a, d, e konstant
sffiffiffiffiffiffiffi und a 6¼ 0
e
Nullstellen: x1; 2 ¼ d Scheitelpunkt: S ðd; eÞ
a
Grafische Darstellung
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Der Funktionsgraph zu y ¼ f ðxÞ ¼ x2 heißt Normalparabel.
y = f (x) = ax2 y
a >1
a=1
0<a<1
y = x2
y
y = x2+px+q
1
1
-1
0
-1
1
x
-1
0
-1
a = -1
-
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s018-022.3d***19.9.2002***14:48:4
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p2
+q
4
1
-p
2
x
19
26
MATHEMATIK
Geometrie
Einteilung der Dreiecke
Einteilung der Dreiecke nach den Seiten
gleichschenklig (ein Paar gleich langer Seiten)
unregelmßig
nicht gleichseitig
(genau zwei Seiten sind gleich lang)
(alle Seiten sind paarweise
verschieden lang)
a 6¼ b 6¼ c
C
b
A
c
a¼b
C
a
a
B
b
c
c
A
a¼b¼c
C
a
b
B
gleichseitig
(alle Seiten sind gleich lang)
A
B
Einteilung der Dreiecke nach den Innenwinkeln
spitzwinklig
(alle Innenwinkel sind spitz)
a < 90
b < 90
g < 90
C
γ
α
rechtwinklig
(es gibt einen rechten Winkel)
A
B
γ
g > 90
C
γ
a
α
β
α
β
A
g ¼ 90
C
b
stumpfwinklig
(ein Innenwinkel ist stumpf)
A
B
c
β
B
Ebene Figuren (u – Umfang; A – Flcheninhalt)
Allgemeines Dreieck
C
γ
b
A
α
a
hg
β
c=g
B
u¼aþbþc
1
1
A ¼ g hg ¼ a b sin g
2
2
a þ b þ g ¼ 180
a
b
c
¼
¼
sin a sin b sin g
c2 ¼ a2 þ b2 2 a b cos g
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
β
a
A
u ¼ 2 a þ c;
b ¼ 180 2 a
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
hc ¼ a2 c2
4
1
A ¼ c hc
2
1 Symmetrieachse
C
hc
α
a
α
c
B
Allgemeines Viereck
D
c
δ
C
γ
A
2
d
e
b
A1
α
A
Rechtwinkliges Dreieck (g ¼ 90)
1
A ¼ ab
C
2
γ
b
a
a2 þ b2 ¼ c2 ; h2c ¼ p q
hc
a2 ¼ p c; b2 ¼ q c
A α
β B
a
b
q
p
sin a ¼ ; cos a ¼ ;
c
c
c
a
b
tan a ¼ ; cot a ¼
b
a
α
a
h
α
A
a
α
a
B
Trapez ða k cÞ
u¼aþbþcþd
A ¼ A1 þ A2
a þ b þ g þ d ¼ 360
D
δ
d
β
a
u ¼ 3a
a2 pffiffiffi
a pffiffiffi
3
3 mit h ¼
A¼
2
4
a ¼ 60
3 Symmetrieachsen
C
B
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s026-027.3d***19.9.2002***14:45:47
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
c
C
m
α
A
γ
β
a
1h
2 h
b
B
1
A ¼ ða þ cÞ h ¼ m h
2
1
m ¼ ða þ cÞ
2
a þ d ¼ 180; b þ g ¼ 180
Geometrie
Parallelogramm (a k c; b k d)
D
c
δ
f
d
γ
e
ha
β
α
a
A
C
B
u ¼ 2ða þ bÞ
A ¼ a ha¼ b hb
A ¼ a b sin a
¼ a b sin b
a ¼ c; b ¼ d
b ¼ d; a þ b ¼ 180
a ¼ g; a þ d ¼ 180
Rhombus – Raute (a k c; b k d)
D
c
δ
e
f
ha d
C
γ
b
α
β
a
A
B
u ¼ 4a
A ¼ a ha
1
A ¼ e f ; e? f
2
A ¼ a2 sin a ¼ a 2 sin b
a ¼b¼c¼d
a ¼ g; b ¼ d
a þ b ¼ 180
Die Diagonalen halbieren einander. Es gibt keine
Symmetrieachse.
Die Diagonalen halbieren einander und sie stehen
senkrecht aufeinander. Es gibt 2 Symmetrieachsen.
Drachenviereck ða ¼ b; c ¼ dÞ
Rechteck (a k c; b k d; a?bÞ
c
D δ
d
γ
C
e
b
f
α
β
a
A
B
u ¼ 2ða þ dÞ
1
A¼ ef
2
a ¼ g; e ? f
1 Symmetrieachse
D
C
c
f
d
e
b
a
A
B
u ¼ 2ða þ bÞ
A ¼ ab
a ¼ c, b ¼ d; e ¼ f
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
e ¼ a2 þ b2
a ¼ b ¼ g ¼ d ¼ 90
Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander,
eine Diagonale wird halbiert.
Die Diagonalen sind gleich lang und sie halbieren
einander. Es gibt 2 Symmetrieachsen.
Quadrat (a k c; b k d; a ? bÞ
Kreis (r – Radius)
D
C
c
f
e
d
b
a
A
u ¼ 4a
A ¼ a2
a ¼b¼c¼d
a ¼ b ¼ g ¼ d ¼ 90
pffiffiffi
e ¼ f ; e? f ; e ¼ a 2
4 Symmetrieachsen
C
α
M
β
d
r
A γ
B
B
Die Diagonalen sind gleich lang, sie halbieren
einander und stehen senkrecht aufeinander.
b : u ¼ a : 360
Kreisbogen
pr
b¼
a
180°
b ¼ r arc a (% S. 23)
b
r
α
Kreisausschnitt (Sektor)
Aα r
α
Kreisring (r1 > r2)
M
Regelmßiges n-Eck
A ¼ p ðr21 r22 Þ
C
B
An
r1
M
Aa : A ¼ a : 360
¼ arc a : 2 p
p
Aa ¼
a r2
360°
1
1
Aa ¼ b r ¼ r2 arc a
2
2
b
M
u ¼ 2pr ¼ pd
1
A ¼ p r2¼ p d 2
4
b
a ¼ ;a¼g
2
a Peripheriewinkel
b Zentriwinkel
_
ber AB
g SehnenTangentenWinkel
M
r2
D
an
r
A
E
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s026-027.3d***19.9.2002***14:45:47
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
hn
u ¼ n an ; A ¼ n An
360°
180° f
; a¼
f¼
n
2
2
1
h2n ¼ r2 an
2
f
an ¼ 2 r sin
2
1 2
An ¼ r sin f
2
27
58
MATHEMATIK
Integralrechnung
Stammfunktion Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f genau dann, wenn F und f in einem
Intervall I definiert sind, wenn F in I differenzierbar ist und wenn F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ fr alle
x 2 I.
Unbestimmtes
Integral
Das unbestimmte
Integral der Funktion f ist die Menge aller Stammfunktionen von fðxÞ.
Ð
Es gilt f ðxÞ dx ¼ F ðxÞ þ c ðc 2 RÞ.
Bestimmtes
Integral
Das bestimmte Integral der Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] ist die
Ðb
reelle Zahl f ðxÞdx.
a
Hauptsatz der
Differenzialund Integralrechnung
Ist f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und F irgendeine Stammfunktion von f ,
so ist
Ðb
f ðxÞdx ¼ FðbÞ FðaÞ.
Eigenschaften
Ða
ð1Þ f ðxÞdx ¼ 0 (falls f in a definiert ist)
a
a
Ða
Ðb
ð2Þ f ðxÞdx ¼ f ðxÞdx
a
b
Ðb
Ðc
a
a
Ðb
ð3Þ f ðxÞdx ¼ f ðxÞdx þ f ðxÞ dx (falls f in [a; b] stetig und a c b)
Integrationsregeln
c
Ð
Ð
Fr einen konstanten Faktor gilt:
Ð k f ðxÞdx ¼ k Ðf ðxÞdx Ð
Fr eine Summe/Differenz
gilt: ½ f ðxÞ Ð
Ð gðxÞdx ¼ f ðxÞdx gðxÞdx 0
Substitutionsregel: f ½fðtÞ f 0 ðtÞdt ¼ f ðxÞdx
mit x ¼ fðtÞ
Ð
Ð und dx ¼ f ðtÞdt
Partielle Integration (Produktintegration): u v0 dx ¼ u v v u0 dx
Nherungsweise Trapezverfahren
b a xn x0
Berechnung
Mit d ¼
erhlt man fr den Flchen¼
von Integralen
n
n
inhalt A folgende Nherung:
n 1
P
A
ðf ðxk1 Þ þ f ðxk ÞÞ d
k¼1 2
Ðb
P
f ðx0 Þ þ f ðxn Þ n1
A ¼ f ðxÞdx þ f ðxk Þ d
2
k¼1
a
y
d
xn–2 xn=b
f (x0)
f(
f
f (xn)
f(
d
d
d
x0 x1 x2
d
xn x
y
f
f (x0)
0
f
d
x0=a x1
Simpsonsche Regel
y
Die Genauigkeit ist bei gleicher Anzahl der Sttzpunkte
i. Allg. grßer als bei dem Trapezverfahren.
xn x0
Mit d ¼
, n gerade gilt:
n
d
A ½ f ðx0 Þ þ f ðxn Þ þ 2 ð f ðx2 Þ þ f ðx4 Þ þ . . . þ f ðxn2 ÞÞþ
3
0
4 ð f ðx1 Þ þ f ðx3 Þ þ . . . þ f ðxn1 ÞÞ
Keplersche (Fass-)Regel
Die Keplersche Regel ist der Spezialfall der Simpsonschen Regel fr n ¼ 2.
x2 x0
Mit d ¼
, n gerade, gilt:
2
d
A ð f ðx0 Þ þ 4 f ðx1 Þ þ f ðx2 ÞÞ
3
f(xn)
f(x1) f(
f(
f(x0)
f(
x0
f (x1)
f(
f (x2)
f(
d
d
x1
x2
x
Analysis
Grundintegrale
und weitere
spezielle
Integrale
Ð
a dx ¼ a x þ c ða 2 RÞ
Ð
x dx ¼ 0,5 x2 þ c
xnþ1
x 2 R,
falls n 0
þ c mit n 2 Z, n 6¼ 1 und
x 2 R, x 6¼ 0 falls n < 0
nþ1
ð
ð
dx
ln x þ c,
falls x > 0
x1 dx ¼
¼ ln j x j þ c ¼
ln ðxÞ þ c, falls x < 0
x
ð
ð
ð
xr dx ¼
xrþ1
þ c mit r 2 Q, r 6¼ 1, x 2 R und x > 0
rþ1
ax dx ¼
1 x
a þ c ¼ ax log a e þ c mit a 2 R, a > 0, a 6¼ 1 und x 2 R
ln a
Ð
ex dx ¼ ex þ c ðx 2 RÞ
Ð
ln x dx ¼ x ln j x j x þ c ðx 6¼ 0Þ
ð
ð
ð
2
x ln x dx ¼ x
ln x 1
þ c ðx 6¼ 0Þ
2
4
dx
1
x
¼ arc tan þ c ða 6¼ 0Þ
a2 þ x2 a
a
dx
1
¼ ln j a x þ b j þ c
ax þ b a
Ð
sin x dx ¼ cos x þ c ðx 2 RÞ
Ð
cos x dx ¼ sin x þ c ðx 2 RÞ
ð
Ð
Ð
ð
ð
Mittelwertsatz
der Integralrechnung
xn dx ¼
dx
p
¼ tan x þ c mit x 6¼ ð2 k þ 1Þ , k 2 Z
cos 2 x
2
p
tan x dx ¼ ln j cos x j þ c mit x 6¼ ð2 k þ 1Þ , wobei k 2 Z
2
cot x dx ¼ ln j sin x j þ c mit x 6¼ k p, wobei k 2 Z
dx
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ arc sin þ c, wenn j x j < j a j; a 6¼ 0
2
2
a
a x
ða x þ bÞn dx ¼
ða x þ bÞnþ1
þ c ðn 6¼ 1Þ
aðn þ 1Þ
Wenn eine Funktion f ðxÞ im Intervall ½a, b stetig ist,
so gibt es wenigstens eine Zahl x mit a x b,
fr die gilt:
Ðb
f ðxÞ dx
Ðb
a
¼ f ðxÞ bzw: f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ ðb aÞ
ba
a
y
Faustregel:
Im Intervall ða; bÞ gibt es eine Stelle x, sodass
das Rechteck mit den Seitenlngen f ðxÞ und
ðb aÞ den gleichen Flcheninhalt besitzt wie die
Flche unter dem Graphen von f in den Grenzen a und b.
O
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f
f(ξ)
a
ξ
b
x
59
70
MATHEMATIK
Lineare Algebra
Matrizen
n-Tupel
Spalten (Zeilen) mit n Zahlen (n ¼ 2: Paar; n ¼ 3: Tripel; n ¼ 4: Quadrupel)
Beispiel: Der Vektor (3; 7; 2; 1; 8; 9) ist ein 6-Tupel.
Matrix
ðm, nÞ-Matrix
Eine Matrix ist ein System von m n Zahlen, die in einem rechteckigen Schema von
m Zeilen und n Spalten angeordnet wurden. Matrizen finden zum Beispiel Verwendung
als Koeffizientenschema fr ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen xi .
0
1
a11 a12 a13 . . . a1 n
a11 x1 þ a12 x2 þ a13 x3 þ . . . þ a1 n xn ¼ b1 B a21 a22 a23 . . . a2 n C
a21 x1 þ a22 x2 þ a23 x3 þ . . . þ a2 n xn ¼ b2 C
Am, n ¼ B
@ ... ... ... ... ... A
...
...
...
...
... am 1 x1 þ am 2 x2 þ am 3 x3 þ . . . þ am n xn ¼ bm am 1 am 2 am 3 . . . an m
Das Paar ðm, nÞ gibt den Typ der Matrix an: m Zeilen und n Spalten.
Fr die Bezeichnung des allgemeinen Elements der Matrix whlt man oft:
ai k mit i ¼ 1, 2, . . . , m und k ¼ 1, 2, . . . , n.
Matrizen knnen auch verwendet werden, um Abbildungen wie beispielsweise Drehungen und Spiegelungen darzustellen. (% S. 76)
Vektoren
Eine Matrix A(m, n) kann als Zusammenschluss von m Zeilenvektoren a(i) oder aber von
n Spaltenvektoren a(k) angesehen werden.
Ein Spaltenvektor ist danach eine einspaltige Matrix vom Typ ðm, 1Þ ein Zeilenvektor ist
eine einzeilige Matrix vom Typ ð1, nÞ.
Quadratische
Matrix
In einer quadratischen Matrix ist die
Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der
Spalten: m ¼ n
Die Elemente a11 , a22 , a33 , . . . , an n bilden die
Hauptdiagonale;
die Elemente a1 n , a2 n1 , a3 n2 , . . . , an 1 die
Nebendiagonale.
Diagonalmatrix Diagonalmatrix
0
1
Einheitsmatrix
d11 0 . . . 0
B 0 d22 . . . 0 C
C
D¼B
@ ... ... ... ... A
0 0 . . . dn n
Dreiecksmatrix
0
a11
B a21
B
A(n, n) ¼ @
...
an 1
a12
a22
...
an 2
Einheitsmatrix
0
1 0 ...
B 0 1 ...
E¼B
@... ... ...
0 0 ...
a13
a23
...
an 3
...
...
...
...
1
a1 n
a2 n C
C
... A
an n
1
0
0C
C
...A
1
Eine Diagonalmatrix ist eine besondere
quadratische Matrix. Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind
gleich null.
Eine Einheitsmatrix ist eine besondere
Diagonalmatrix. Alle Elemente in der
Hauptdiagonalen sind gleich 1.
obere Dreiecksmatrix
0
1
a11 a12 . . . a1 n
B 0 a22 . . . a2 n C
B
C
@ ... ... ... ... A
0 0 . . . an n
untere
Dreiecksmatrix
0
1
a11 0 . . . 0
B a21 a22 . . . 0 C
B
C
@ ... ... ... ... A
an 1 an 2 . . . an n
Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen einer quadratischen Matrix
sind gleich null.
Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen einer quadratischen Matrix
sind gleich null.
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Lineare Algebra
Rechnen mit Matrizen
Gleichheit
von Matrizen
Zwei Matrizen A(m, n) und B(m, n) sind dann und nur dann gleich, wenn sie im Typ bereinstimmen und wenn alle entsprechenden Elemente gleich sind,
d. h. ai j ¼ bi j fr i ¼ 1, . . . , m und j ¼ 1, . . . , n.
Addition/
Subtraktion
Fr ðm, nÞ-Matrizen A und B vom gleichen Typ gilt:
1
0
a11 b11 a12 b12 . . . a1 n b1 n
B a21 b21 a22 b22 . . . a2 n b2 n C
C
A B ¼B
A
@
...
...
...
am 1 bm 1 am 2 bm 2 . . . am n bm n
0
1
. . . r a1 n
. . . r a2 n C
C
... ... A
. . . r am n
Rechenregeln:
AþB¼BþA
ðA þ BÞ þ C ¼ A þ ðB þ CÞ
Aþ0¼A
AA¼0
Multiplikation
einer Matrix
A(m, n) mit
einer reellen
Zahl r
r a11 r a12
B r a21 r a22
B
rA ¼ @
...
...
r am 1 r am 2
Multiplikation
von Matrizen
Die Multiplikation zweier Matrizen A und B ist mglich, wenn die Anzahl der Spalten
von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist, wenn also A(m, n) und B(n, q) gilt. Die Ergebnismatrix C hat die Zeilenzahl von A und die Spaltenzahl von B. Ihre Elemente ci k werden durch das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B bestimmt:
n
P
A(m, n) B(n, q) ¼ C(m, q) mit ci k ¼ ai j bj k und i ¼ 1, 2, . . . , m; k ¼ 1, 2, . . . , q
j¼1
" "
Rechenregeln:
ðr þ sÞ A ¼ r A þ s A
rðA þ BÞ ¼ r A þ r B
r ðs AÞ ¼ ðr sÞ A
1A¼A
0A¼0
verkettbar
m Zeilen, n Spalten
n Zeilen, q Spalten
m Zeilen, q Spalten
0
n
P
a1 j bj 1
n
P
1 0
1 B
j¼1
B j¼1
b11 b12 . . . b1 q
a11 a12 . . . a1 n
B
B
.
.
.
...
@ ... ... ... ... A @ ... ... ... ... A ¼ B
B
bn 1 bn 2 . . . bn q
am 1 am 2 . . . am n
BP
n
P
@ n
am j bj 1
am j bj 2
0
j¼1
Rechenregeln:
Berechnungsschema fr
Matrizenmultiplikation
(Falksches
Schema)
1
a1 j bj q C
j¼1
C
C
C
...
...
C
C
C
n
P
A
...
am j bj q
a1 j bj 2 . . .
j¼1
n
P
j¼1
ðA þ BÞ C ¼ A C þ B C
rðA BÞ ¼ ðr AÞ B
Achtung: A B 6¼ B A ðnicht kommutativÞ
Fr die Berechnung der Elemente der Ergebnismatrix C bei der Multiplikation der
Matrizen A und B hat sich folgendes Schema bewhrt:
AA
(m(m
, n), n)
Zeilen
mmZeilen
Spalten
n nSpalten
a11
...
ai 1
...
am 1
a12
...
ai 2
...
am 2
...
...
...
...
...
BB(n(n, q), q)
Zeilen
nnZeilen
Spalten
qqSpalten
a1 n
...
ai n
...
am n
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s070-076.3d***30.9.2002***8:10:57
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b11 b12 . . . b1 k
... ... ... ...
bn 1 bn 2 . . . bn k
. . . b1 q
... ...
. . . bn q
c11
...
ci 1
...
cm 1
...
...
...
...
...
c12
...
ci 2
...
cm 2
...
...
...
...
...
c1 k
...
n
P
ci k ¼
ai j bj k
j¼1
...
cm k
c1 q
...
ci q
...
cm q
A(m, n) B(n, q)
71
77
Informatik
Datendarstellung
Einheiten
Bit
Das Bit ist die Einheit fr die Datendarstellung im Computer.
Zustand: 0 oder 1 (in der Technik: 0 kein Strom ¼ Low [L]; 1 Strom ¼ High [H])
Byte
Ein Byte ist die Zusammenfassung von 8 Bit zur Darstellung eines Zeichens im Computer.
Aus den 8-Bitstellen ergeben sich 256 Kombinationsmglichkeiten der Zeichendarstellung.
weitere Einheiten:
1 KByte ¼ 210 Byte ¼ 1 024 Byte
(1 024 Computerzeichen)
1 MByte ¼ 220 Byte ¼ 1 048 576 Byte
(1 048 576 Computerzeichen)
1 GByte ¼ 230 Byte ¼ 1 073 741 824 Byte (1 073 741 824 Computerzeichen)
Baud
Ein Baud ist die Einheit der Signalrate, mit der Daten bertragen werden. Sie gibt die Anzahl der Pegelwechsel pro Zeiteinheit an.
1 Baud ¼ Modulationsrate/Sekunde; 1 Bd ¼ s1
bps
bps ist die Einheit fr die bertragungsgeschwindigkeit von Daten. Sie wird in Bit pro Zeiteinheit gemessen.
Einheit: Bit/s ( Bit pro Sekunde) oder Byte/s (Byte pro Sekunde)
Datentypen (Auswahl)
Datentyp
Beschreibung
Wertebereich (Visual-BASIC 6.0)
Boolean
(Logik)
speichert logische Werte
true or false
(wahr oder falsch)
Char
(Zeichen)
speichert einzelne Zeichen
(Ziffern, Buchstaben, . . .)
Zeichen des ASCII- oder Ansi-Codes
Currency
(Whrung)
speichert Festkommazahlen mit hoher
922 337 203 685 477, 5808 bis
Rundungsgenauigkeit (15 Vorkommastellen 922 337 203 685 477, 5807
und 4 Nachkommastellen)
Date
speichert eine Kombination von DatumsDatum: 01.01.100 bis 31.12.9999
(Datum, Zeit) und Zeitinformationen als Fließkommazahl Zeit: 00 : 00 : 00 bis 23 : 59 : 59
Double
(doppelt)
speichert eine Zahl mit Fließkomma und
doppelter Genauigkeit
fr negative Werte: 1,8 · 10308 bis 4,9 · 10–324
fr positive Werte: 4,9 · 10–324 bis 1,8 · 10308
Integer
(ganz)
speichert ganze Zahlen
ganze Zahlen von –32 768 bis 32 767
String
speichert eine endliche Aneinanderreihung
(Zeichenfolge) von Zeichen (Zeichenfolge)
y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s077-082.3d***15.10.2002***7:29:26
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
0 bis 2 Milliarden Zeichen
78
INFORMATIK
Zahlensysteme (Dezimalzahlen, Dualzahlen, Hexadezimalzahlen) % S. 10
Umrechnungstafel Dezimalzahlen, Hexadezimalzahlen, Dualzahlen % S. 11
Algorithmik
Algorithmusbegriff
Ein Algorithmus ist ein eindeutiges Verfahren zur Lsung von gleichen Problemen einer Klasse. Er wird
durch einen aus elementaren Anweisungen bestehenden Text beschrieben.
Eigenschaft
Erluterung
Allgemeingltigkeit Die Anweisungen besitzen Gltigkeit fr die Lsung einer ganzen Problemklasse,
nicht nur fr ein Einzelproblem.
Ausfhrbarkeit
Die Anweisungen mssen verstndlich formuliert und ausfhrbar sein.
Endlichkeit
Die Beschreibung der Anweisungsfolge muss in einem endlichen Text mglich sein.
Eindeutigkeit
An jeder Stelle muss der Ablauf der Anweisungen eindeutig sein.
Terminiertheit
Nach endlich vielen Schritten liefert die Anweisungsfolge eine Lsung des Problems.
Strukturelemente der Algorithmierung in verschiedenen Darstellungsformen
Name
Verbal formuliert
Grafisch
(Strukturprogramm)
Programmiersprache
(PASCAL)
Sequenz (Verbundanweisung)
Folge
Anweisung 1
Anweisung 2
...
Anweisung n
BEGIN
)
Anweisung 1;
Anweisung 2;
Verbund
...
Anweisung n;
END.
Anweisung 1
Anweisung 2
...
Anweisung n
Selektion (Alternativen)
Einseitige Auswahl
Zweiseitige Auswahl
WENN Bedingung
DANN Anweisung
WENN Bedingung
DANN Anweisung 1
SONST Anweisung 2
B
ja
nein
A
–
B
ja
nein
A1
A2
IF Bedingung
THEN Anweisung;
IF Bedingung
THEN Anweisung 1
ELSE Anweisung 2;
A ¼ Anweisung; B ¼ Bedingung; I ¼ Variable; aw ¼ Anfangswert; ew ¼ Endwert; s ¼ Schrittweise
y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s077-082.3d***15.10.2002***7:29:26
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
Algorithmik
Name
Verbal formuliert
Grafisch
(Strukturprogramm)
Programmiersprache
(PASCAL)
Repetition (Schleifen)
Wiederholschleife
(mit nachgestellter
Bedingung)
WIEDERHOLE
Anweisung 1
...
Anweisung n
BIS Bedingung
Solangeschleife
(mit vorangestellter
Bedingung)
SOLANGE Bedingung
TUE Anweisung
Zhlschleife
(gezhlte Wiederholungen in Abhngigkeit einer
Schrittweite)
FR I ¼ aw BIS ew
SCHRITT s
TUE Anweisung
Wiederhole
A
bis B
Solange B
tue
A
REPEAT
Anweisung 1;
...
Anweisung n;
UNTIL Bedingung;
WHILE Bedingung DO
Anweisung oder
Verbund;
FOR I: ¼ Anfangswert TO
Endwert STEP s DO
Anweisung oder Verbund;
Für I = aw bis ew
Schritt s
tue
A
Unteralgorithmus (Prozedur)
Vereinbarung
(UNTERALGO Name)
(DEKLARATIONEN)
BEGINN
Anweisungen
ENDE
PROCEDURE Bezeichner
Deklarationsteil;
BEGIN
Anweisungen
END.
(UA Name)
(Vereinbarungen)
Beginn
Anweisungen
Ende
Aufruf
RUFE
Prozedurbezeichner
Rufe UA Name
Programmiermethodik (-technik)
Strukturiertes Programmieren
Modulares Programmieren
Objektorientiertes Programmieren
Blockkonzept, mit dessen Hilfe eine
Hierarchie von Algorithmen (Prozeduren oder Funktionen) aufgebaut
wird. Jeder Teilalgorithmus enthlt
wiederum eigene Hilfsalgorithmen,
bei denen alle Kontrollstrukturen
(Sequenz, Alternativen, . . .) nur mit
einem Eingang und einem Ausgang
versehen werden. Auf dieser Basis
ergibt sich eine strukturierte Programmiertechnik, die keine unbersichtlichen Programmverzweigungen, durch zustzliche Sprnge,
enthlt.
Zerlegungskonzept, mit dessen Hilfe große (Programmier-)Projekte in sinnvolle
Teile (Module oder units)
zerlegt werden, die dann
unabhngig voneinander
programmiert und getestet
werden knnen.
Modellierungskonzept, mit dessen
Hilfe die reale Welt ber Objekte
beschrieben wird. Auf der programmtechnischen Ebene umfassen
Objekte einen Zustand (Daten)
und eine Menge von Operationen
(Methoden).
Der Zustand eines Objektes wird
durch eine Datenstruktur beschrieben, die gekapselt ist und durch die
Ausfhrung einer Methode verndert werden kann. Die Kapselung
bezeichnet die Zusammenfassung
von Daten und Unterprogrammen.
y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s077-082.3d***15.10.2002***7:29:26
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
79
82
INFORMATIK
Cascading Style Sheet (CSS)
Allgemeine Syntax: Selektor {Eigenschaft : Wert;}
Beispiel: h1 {color : red;}
Selektoren kennzeichnen die jeweilige Anweisung. Sie knnen als HTML-Selektor (z. B. h1), als Klassenselektor ( .Klassenname) oder als ID-Selektor (#IDName) angegeben werden.
Eigenschaften geben an was definiert werden soll. Werte werden den Eigenschaften zugewiesen.
Eigenschaften und Werte werden zusammen als Deklaration bezeichnet. Diese wird in "{...}" gesetzt und
durch ein " ; " abgeschlossen.
Einbindung von CSS-Anweisungen
Extern
Formate knnen in einer seperaten Textdatei
(formate.css) definiert werden, diese gelten
dann fr alle HTML-Dateien, die auf diese
CSS-Datei verweisen. nderungen in der
CSS-Datei wirken sich auf alle eingebundenen
HTML-Dateien aus.
<html>
<head><title>...</title>
<link rel="stylesheet" type="text/css"
href="formate.css">
</head>
<body>
</body>
</html>
Head
Formate werden im Abschnitt head definiert.
Diese Formate sind nur fr diese eine HTMLDatei gltig.
<html>
<head><title>...</title>
<style> h1 {font-size: 12 pt; color: blue;
font-family: arial;}
</style>
</head>
<body>
</body>
</html>
Inline
Format wird nur fr ein einzelnes HTML-tag
definiert. Es gilt damit fr das betreffende tag
an dieser Position.
<h1 style="text-indent: 12pt;"
CSS-Referenzen (Auswahl)
Eigenschaft
Wert (Beispiel)
Beschreibung
Schrift/Text font-family
font-style
font-size
text-align
Arial
italic
44pt
right
Legt die Schriftart fest.
Legt den Schriftstil fest.
Legt die Schriftgrße fest.
Legt die Ausrichtung des Textes fest.
Farben
color
background-color
red
blue
Legt die Vordergrundfarbe fest.
Legt die Hintergrundfarbe fest.
Abstand/
Rand
margin
margin-left
margin-top
12pt
10pt
20pt
Legt Abstand fr alle Seiten eines Elements fest.
Legt Abstand nach links fest.
Legt Abstand nach oben fest.
Rahmen
border
border-style
thin
outset
Legt Aussehen eines Rahmens fest.
Legt den Rahmenstyp fest.
Sound
cue
play-during
voice-family
url(audio.wav)
url(audio.wav)
child
Legt Sound vor und nach einem Element fest.
Legt Hintergrund-Sound fest.
Legt Sprachausgabe (female, male und child) fest.
y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s077-082.3d***15.10.2002***7:30:11
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
86
ASTRONOMIE
Formeln
Grundlegende Grßen
Fluchtgeschwindigkeit v eines
Sternsystems (Gesetz von Hubble)
v¼H r
H
r
Hubble-Konstante
Entfernung des Sternsystems
Zusammenhang zwischen scheinbarer
Helligkeit, absoluter Helligkeit und
Entfernung eines Sterns
m M ¼ 5 lg r 5
m
M
r
scheinbare Helligkeit
absolute Helligkeit
Entfernung des Sterns in pc
Leuchtkraft L
L¼
E
t
E
t
ausgestrahlte Energie
Zeit
Zusammenhang zwischen Parallaxe
und Entfernung eines Sterns
r¼
1
p
r
p
Entfernung des Sterns in pc
Parallaxe in Bogensekunden
Die Keplerschen Gesetze
Erstes Kepler’sches Gesetz
Zweites Kepler’sches Gesetz
Alle Planeten bewegen sich auf
Ellipsenbahnen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht.
DA
¼ konst:;
Dt
Drittes Kepler’sches Gesetz
T12 a31
¼
T22 a32
Numerische Exzentrizitt e
(fr Ellipse)
e¼
A
t
DA1 DA2
¼
Dt1
Dt2
vom Leitstrahl berstrichene Flche
erforderliche Zeit
∆t1
T
a
e
a
e
∆A1
S
∆A2
∆t2
Umlaufzeit
große Halbachse der
Planetenbahn
lineare Exzentrizitt
Das Gravitationsgesetz
Gravitationsgesetz,
Gravitationskraft F
F ¼g
m1 m2
r2
g
m1 , m2
r
Gravitationskonstante
Massen der Krper
Abstand der beiden
Massenmittelpunkte
Kosmische Geschwindigkeiten
1. kosmische Geschwindigkeit
(Kreisbahn an der Erdoberflche)
2. kosmische Geschwindigkeit
(Fluchtgeschwindigkeit aus dem
Gravitationsfeld der Erde)
3. kosmische Geschwindigkeit
(Hyperbel, Fluchtgeschwindigkeit
aus dem Gravitationsfeld der Sonne)
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mE
vK ¼ g
¼ 7, 9 km/s
rE
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mE
vP ¼ 2g
¼ 11, 2 km/s
rE
vH ¼
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s083-086.3d***19.9.2002***15:23:56
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v2P1 þ v2P2 ¼ 16, 7 km/s
g
mE
rE
vP1
vP2
Gravitationskonstante
Masse der Erde
Radius der Erde
Parabelgeschwindigkeit
fr die Erde 11,2 km/s
12,4 km/s
90
..................c
PHYSIK
Gleichgewichtsbedingung
fr einen Massenpunkt
n
P
~i ¼ 0
F
i¼1
fr einen drehbaren starren Krper
i¼1
!
Mi Drehmomente
~i Krfte
F
n !
n
P
P
~i ¼ 0
Mi ¼ 0 und
F
i¼1
Grundgesetze der Dynamik
Fr die Translation
~ ¼ m ~
F
a
Fr die Rotation
!
M ¼ J ~
a
F Kraft
m Masse
a Beschleunigung
M Drehmoment
J Trgheitsmoment
a Winkelbeschleunigung
Rotation eines starren Krpers
Drehmoment M
!
M ¼~
r~
F
Trgheitsmoment J
Drehimpuls L
Ð
J ¼ r2 dm
r Radius
m Masse
F Kraft
r Radius
~
~
L¼J w
J Trgheitsmoment
w Winkelgeschwindigkeit
~ gilt: M ¼ F r
Unter der Bedingung~
r? F
Krper
Trgheitsmoment
Krper
Massenpunkt
J ¼ m r2
Hohlzylinder
Dnner
Kreisring
J ¼ m r2
Kugel
Vollzylinder
1
J ¼ m r2
2
Langer
dnner Stab
Trgheitsmoment
1
J ¼ m ðr2a þ r2i Þ
2
2
J ¼ m r2
5
J¼
l
1
m l2
12
Bewegungsgesetze der Translation
Gleichfrmige geradlinige
Bewegung
Gleichmßig beschleunigte
geradlinige Bewegung
s ¼ v t þ s0 ; v ¼
Ds
; a¼0
Dt
a
s ¼ t2 þ v0 t þ s0
2
Dv
v ¼ a t þ v0 ; a ¼
¼ konst:
Dt
Bei der Bedingung s0 ¼ 0 und v0 ¼ 0 gilt:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
v
s ¼ t2 ; v ¼ a t; v ¼ 2 a s; a ¼
2
t
Fr den freien Fall gilt:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
g
s ¼ t2 ; v ¼ g t; v ¼ 2 g s
2
s Weg
v Geschwindigkeit
t Zeit
s0 Anfangsweg bei t ¼ 0
a Beschleunigung
v0 Anfangsgeschwindigkeit
bei t ¼ 0
s ~ t2
v
t
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s087-091.3d***1.10.2002***7:21:21
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
a = konst.
v~ t
s
a
t
t
Elektrizittslehre
Schaltzeichen
Symbol
Bedeutung
Symbol
Bedeutung
Symbol
Bedeutung
Leiter, Leitung, Stromweg
Relais
mit Schließkontakt
Fotoelement,
Fotozelle
Abzweig von
2 Leitern
Widerstand, allgemein
Diode, lichtempfindlich
Fotodiode
Doppelabzweig von
Leitern
Widerstand mit
Schleifkontakt,
Potenziometer
Erde, allgemein
Verbindung mit der
Erde
Widerstand mit
Schleifkontakt, einstellbar
Oszilloskop
Masse, Gehuse
Widerstand, vernderbar, allgemein
Glimmlampe
Fotowiderstand
Lautsprecher,
allgemein
Anschluss (z. B. Buchse)
Verbindung von
Leitern
Heizelement
Leuchtdiode,
allgemein
Glhlampe
Mikrofon, allgemein
Buchse, Pol einer
Steckdose
Kondensator,
allgemein
Hrer, allgemein
Stecker, Pol eines
Steckers
Kondensator, gepolt
Summer
Buchse und Stecker
Steckverbindung
Spule, Wicklung
Generator,
nicht umlaufend
Spule mit Eisenkern
Generator
elektrische Energiequelle, allgemein
Primrzelle, Akkumulator
Batterie von Primrelementen, Akkumulatorenbatterie
Sicherung, allgemein
Schließer, Schalter,
allgemein
Transformator
mit zwei Wicklungen
Transformator, vernderbare Kopplung
Transformator mit
Mittelanzapfung an
einer Wicklung
Antenne, allgemein
Elektromotor
Gleichstrommotor
Thermoelement
Messgert, anzeigend,
allgemein, ohne Kennzeichnung der Messgrße
Strommessgert,
anzeigend
ffner
Halbleiterdiode
Wechsler mit Unterbrechung
Zweiwegschließer mit
Mittelstellung „Aus“
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s113.3d***1.10.2002***7:57:34
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
npn-Transistor, bei
dem der Kollektor mit
dem Gehuse verbunden ist
Spannungsmessgert,
anzeigend
Leistungsmessgert,
anzeigend
Galvanometer
113
Optik
Wellenoptik
Ausbreitungsgeschwindigkeit
einer Lichtwelle
c¼ lf
l
f
Interferenz am Einzelspalt
– fr Maxima
2n þ 1
sn
l sin an ¼
en
2d
Wellenlnge
Frequenz
nλ
– fr Minima
Interferenz am Doppelspalt
– fr Maxima
– fr Minima
nl
sn
¼ sin a n ¼
d
en
d
αn
sn
en
nl
sn
¼ sin a n ¼
en
b
2n þ 1
sn
l sin a n ¼
en
2b
λ
b
α1
2λ
d
l
sn
α2
en
e2
e1
–1
0
+1
s1
b
+2
n
Spaltbreite
Wellenlnge
Abstand zwischen dem n-ten
jeweiligen Maximum/Minimum
und dem Maximum 0-ter
Ordnung
Abstand zwischen dem n-ten
Interferenzstreifen und dem
Doppelspalt bzw. dem Gitter
Abstand der Spalte
(Gitterkonstante)
s2
(n ¼ 1, 2, 3, . . .)
Interferenz am Gitter
fr Hauptmaxima
nl
sn
¼ sin a n
en
b
Interferenz
an dnnen Schichten
(reflektiertes Licht)
dA ¼
2m l
n 4
dV ¼
2mþ1 l
n
4
dA
dV
n
l
Schichtdicke bei Auslschung
Schichtdicke bei Verstrkung
Brechzahl der Schicht
Wellenlnge im Stoff
(m ¼ 0, 1, 2, . . .)
P
P1
L
d
Brewstersches Gesetz
(Lichtwellen)
Doppler-Effekt fr Licht
(bewegter Sender,
ruhender Empfnger)
n2
n1
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v
1
c
f 0 ¼ f sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v
1
c
tan a p ¼
y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s114-119.3d***16.10.2002***11:42:53
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
ap
n1, n2
Polarisationswinkel
Brechzahlen der Medien 1 und 2
f0
vom Empfnger gemessene
Frequenz
Frequenz des Senders
Relativgeschwindigkeit
zwischen Sender und Empfnger
Lichtgeschwindigkeit
f
v
c
115
123
Chemie
bersichten zur Chemie
Chemische Elemente
Die Werte in eckigen Klammern geben die Atommassen der lngstlebigen zurzeit bekannten Atomart des betreffenden
Elements an.
Die Massenzahlen der Elemente sind nach der Hufigkeit der natrlich vorkommenden Isotope geordnet.
Element
Symbol
Actinium
Aluminium
Americium
Antimon
Argon
Arsen
Astat
Ac
Al
Am
Sb
Ar
As
At
Barium
Ordnungszahl
Atommasse
in u
(gerundet)
Massenzahlen
natrlicher
Isotope
Oxidationszahlen
(hufig
auftretende)
Elektronegativittswert
89
13
95
51
18
33
85
227
27
[243]
122
40
75
[210]
227; 228
27
þ3
þ3
þ3
þ 3; þ 5; 3
0
þ 3; þ 5; 3
1
1,1
1,5
1,3
1,9
Ba
56
137
138; 137; 136; 135;
134; 130; 132
þ2
0,9
Berkelium
Beryllium
Bismut
Blei
Bor
Brom
Bk
Be
Bi
Pb
B
Br
97
4
83
82
5
35
[247]
9
209
207
11
80
þ3
þ2
þ 3; 3
þ 2; þ 4
þ3
þ 1; þ 5; 1
1,3
1,5
1,9
1,8
2,0
2,8
Cadmium
Cd
48
112,5
þ2
1,7
Caesium
Calcium
Californium
Cer
Chlor
Chrom
Cobalt
Curium
Cs
Ca
Cf
Ce
Cl
Cr
Co
Cm
55
20
98
58
17
24
27
96
113
40
[251]
140
35,5
52
59
[247]
þ1
þ2
þ3
þ3
þ 1; þ 3; þ 5; þ 7; 1
þ 2; þ 3; þ 6
þ 2; þ 3
þ3
0,7
1,0
1,3
1,1
3,0
1,6
1,8
1,3
Dysprosium
Dy
66
162,5
164; 162; 163; 161;
160; 158; 156
þ3
1,2
Einsteinium
Eisen
Erbium
Es
Fe
Er
99
26
68
[252]
56
167
þ 2; þ 3; þ 6
þ3
1,3
1,8
1,2
Europium
Eu
63
152
56; 54; 57; 58
166; 168; 167; 170;
164; 162
153; 151
þ3
1,2
Fermium
Fluor
Francium
Fm
F
Fr
100
9
87
[257]
19
[223]
19
223
1
þ1
1,3
4,0
0,7
Gadolinium
Gd
64
157
158; 160; 156; 157;
155; 154; 152
þ3
1,1
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s123-128.3d***26.9.2002***6:36:58
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
121; 123
40; 36; 38
75
215; 216; 218
9
209
208; 206; 207; 204
11; 10
79; 81
114; 112; 111; 110;
113; 116; 106; 108
133
40; 44; 42; 48; 43; 46
140; 142; 138; 136
35; 37
52; 53; 50; 54
59
2,0
2,2
..................c
138
CHEMIE
Surekonstanten KS und Basekonstanten KB bei 22 C
Surestrke
KS in
mol 11
pKS
Formel
der Sure
Formel der
korrespondierenden Base
pKB
11
10
9
7
3
HI
HClO4
HBr
HCl
H2 SO4
I
ClO
4
Br
Cl
HSO
4
25
24
23
21
17
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,74
H3 Oþ
H2 O
15,74
1,8 · 1016
2,1 · 101
6,6 · 101
5,6 · 102
1,5 · 102
1,2 · 102
7,5 · 103
6,0 · 103
7,2 · 104
4,5 · 104
1,8 · 104
2,6 · 105
1,8 · 105
1,4 · 105
3,0 · 107
1,2 · 107
9,1 · 108
6,2 · 108
5,6 · 1010
4,0 · 1010
2,5 · 1010
1,3 · 1010
4,0 · 1011
4,4 · 1013
1,0 · 1013
1,32
0,18
1,25
1,81
1,92
2,12
2,22
3,14
3,35
3,75
4,58
4,75
4,85
6,52
6,92
7,04
7,20
9,25
9,40
9,60
9,89
10,40
12,36
13,00
HNO3
[(NH2 )CO(NH3 )]þ
HOOC–COOH
H2 SO3
HSO
4
H3 PO4
[Fe(H2 O)6 ]3þ
HF
HNO2
HCOOH
C6 H5 NHþ
3
CH3 COOH
[Al(H2 O)6 ]3þ
H2 CO3
H2 S
HSO
3
H2 PO
4
NHþ
4
HCN
[Zn(H2 O)6 ]2þ
C6 H5 OH
HCO
3
HPO2
4
HS
NO
3
CO(NH2 )2
HOOC–COO
HSO
3
SO2
4
H2 PO
4
[Fe(OH)(H2 O)5 ]2þ
F
NO
2
HCOO
C6 H5 NH2
CH3 COO
[Al(OH)(H2 O)5 ]2þ
HCO
3
HS
SO2
3
HPO2
4
NH3
CN
[Zn(OH)(H2 O)5 ]þ
C6 H5 O
CO2
3
PO3
4
S2
15,32
13,82
12,75
12,19
12,08
11,88
11,78
10,86
10,65
10,25
9,42
9,25
9,15
7,48
7,08
6,96
6,80
4,75
4,60
4,40
4,11
3,60
1,64
1,00
4,8 · 1016
1,5 · 1014
1,77 · 1013
6,5 · 1013
8,3 · 1013
1,3 · 1012
1,7 · 1012
1,4 · 1011
2,2 · 1011
5,6 · 1011
3,8 · 1010
5,6 · 1010
7,1 · 1010
3,3 · 108
8,3 · 108
1,1 · 107
1,6 · 107
1,8 · 105
2,5 · 105
4,0 · 105
7,8 · 105
2,5 · 104
2,3 · 102
1,0 · 101
1,8 · 1016
15,74
H2 O
OH
1,74
1,0 · 1023
1,0 · 1024
23
24
NH3
OH
NH
2
O2
9
10
1,0 1011
1,0 1010
1,0 109
1,0 107
1,0 103
55,5
KB in
mol 11
Basestrke
1025
1024
1023
1021
1017
55,5
1,0 · 109
1,0 · 1010
Kryoskopische und ebullioskopische Konstanten kG und kS von Lsemitteln
Lsemittel
Schmelztemperatur kG
#S in °C
in K · kg mol1
Wasser
Benzol
Cyclohexan
Campher
Essigsure
Ethanol
0
5,5
6,5
179,5
16,6
114,2
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s138-141.3d***25.9.2002***7:13:45
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
1,86
5,12
20,2
40,4
3,9
7,3
Siedetemperatur
#V in °C
kS
in K · kg mol1
100
80,1
80,8
0,515
2,53
2,79
118,1
78,8
3,07
1,20
156
BIOLOGIE
Genetik und Evolution
Chromosomenstze von Lebewesen
Art
Tiere
Stechmcke
Drosophila
Stubenfliege
Hecht
Riesenknguru
Feuersalamander
Laubfrosch
Regenwurm
Kreuzotter
Hauskatze
Schwein
Hausspinne
Mensch
Schimpanse
Weinbergschnecke
Pferd
Reiher
Haushuhn
Hund
Kanarienvogel
Taube
Goldfisch
Karpfen
Neunauge
Chromosomenanzahl
eines diploiden
Chromosomensatzes
Art
Pflanzen
6
8
12
18
22
24
24
32
36
38
38
43
46
48
54
64
68
78
78
80
80
94
104
174
Chromosomenanzahl
eines diploiden
Chromosomensatzes
Champignon
Erbse
Gerste
Walderdbeere
Heidekraut
Frauenschuh
Mais
Fichte
Ginkgo
Kiefer
Stieleiche
Erle
Kokosnuss
Raps
Krbis
Pflaume
Kirsche
Birke
Birne
Adlerfarn
Behaarte Segge
Augentierchen
Schachtelhalm
Natternzunge
8
14
14
14
16
20
20
24
24
24
24
28
32
38
40
48
16, 24, 32, 64
84
34, 51, 68, 85
104
112
ca. 200
216
480
Phe Leu*
c Start
x Start (selten)
d Stopp
Genetischer Code
„Code Sonne“
Schemadarstellung
des genetischen Codes
Gly
Glu
Ser*
AGU C A
UC
GU
AG
C
A
C
G Thr
U
G
U
Ala G
U
A
A
C
C
A
C
G
U
A
C
G
U Cys
C
Val A
U
G
A
C
G
U
G Trp 3'
U
5'
3'
U
Arg* G
A
U
C
G
A
C
A Leu*
C
G
Ser* U
A
C
G
U
A
C
Lys C
A
A
C
G Pro
U
U
G
U
Asn GA
C
A
C
G
UG
His
A CUGACU
Thr
Asp
Gln
Met
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s156-161.3d***15.10.2002***6:47:51
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
Ileu
Arg*
* Redundanz erweitert
Genetik und Evolution
DNA- und RNA-Gehalt verschiedener Zellen des Menschen (verndert nach Flindt 1995)
Zelle
DNA in
Knochenmark
Gehirn
Niere
0,87
0,68
0,83
pg
Zelle
RNA in
pg
Zelle
0,69
2,63
1,10
Zelle
DNA in
Leber
Leukozyten
Spermien
1,0
0,73
0,31
pg
Zelle
RNA in
pg
Zelle
2,48
0,25
0,24
* pg: Picogramm; 1 pg ¼ 1012 g
Mutationsrate
NN
Berechnung der Mutationsrate Mr
Mr ¼
(nach Nachtsheim)
2 NI
NN Anzahl der Neumutanten
NI Gesamtanzahl der betrachteten Individuen
Populationsgenetik
Hardy-Weinberg-Gesetz
Fr die Ausgangspopulation gilt:
pþq¼1
p, q
Hufigkeit dominanter und
rezessiver Allele
Fr die Folgepopulation gilt:
p2 þ 2 p q þ q2 ¼ 1
d þhþr¼1
p ¼ d þ 0,5 h
q ¼ 0,5 h þ r
Genotyphufigkeit:
p
homozygot dominant
h
heterozygot
r
homozygot rezessiv
Bedingung: Das Gesetz gilt unter den Annahmen, dass
keine Mutationen auftreten,
unendlich große Population vorhanden ist,
die Individuen der Population sich beliebig paaren knnen (vollstndige
Panmixie),
keine Selektion stattfindet,
kein Genfluss auftritt.
Evolution
Individualfitness W
W¼
NI
Nmax
Fr den besten Genotyp gilt: W ¼ 1.
Mittlere
Populationsfitness W
W¼
Genetische Last L
(Genetische Brde)
L¼
Selektionskoeffizient S
f1 W1 þ f2 W2 þ . . . þ fn Wn
f1 þ f2 þ . . . þ fn
Wmax W
Wmax
S ¼1W
Y:/ftb01/version7/vwv/020787/umbruch/s156-161.3d***15.10.2002***6:47:51
Format: A3 842 x 1191 pts Original: 600.945 x 799.37 pts *setpagedevice*
NI
Nmax
Genotyphufigkeit des
betrachteten Genotyps
Nachkommenschaft des
besten Genotyps
W1 , W2 Individualfitness der
Genotypen 1 und 2
f1 , f2
Hufigkeit der Genotypen 1
und 2
Wmax
Fitness des besten Genotyps
In jeder Population ist die durchschnittliche Fitness W geringer als
die Fitness des besten Genotyps.
157
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BIOLOGIE
Entwicklung der Lebewesen im Verlauf der Erdgeschichte
Zeitalter
Epoche
(Mio. Jahre)
Hauptgruppe
Erdmittelalter
Kreide
(135 bis 65)
Bedecktsamer
(65 bis 2)
Herausbildung von Pflanzen
und Tieren hnlich den rezenten
Formen;
Ausbreitung der Sugetiere
Rezente Insektengattungen
und rezente
Sugerordnungen
Entstehung der Knochenfische;
Entwicklung der Sugetiere;
Entstehung der Bltenpflanzen
Erste Laubhlzer,
echte Vgel
Volle Entfaltung der
Nadelbume;
Bltezeit der Saurier
Urvogel Archaeopteryx,
rezente Gattung
von Ginkgo
Fast vlliges Aussterben der
Ammoniten;
Riesenformen von
Schachtelhalmen und Farnen
Saurier und erste kleine
Sugetiere,
Urschmetterlinge
Weiterentwicklung der Fische,
Amphibien und Reptilien
Nadelbume,
Ginkgogewchse, Kfer
Bltezeit der Amphibien;
Wlder aus Brlappgewchsen,
Schuppenbumen und Farnen
Erste Reptilien,
geflgelte Insekten,
Sßwassermuscheln
Besiedlung feuchter Lebensrume des Festlandes durch
Farne, Moose und Schachtelhalme
bergangsformen von
Fischen zu Lurchen,
erste Insekten
Algen, Pilze und Flechten
besiedeln das Land;
Bltezeit der Wirbellosen
Panzerfische (mit Kiefer),
Korallenriffe
Entfaltung der Artenanzahl der
Wirbellosen und Meeresalgen
Erste Fische (ohne Kiefer),
Quallen und Weichtiere
Erste vielzellige Tiere im
Urozean;
Bltezeit der Trilobiten
Algen, Trilobiten, Krebse,
Schnecken, Steinkorallen,
Stachelhuter
Entstehung des Lebens;
Entwicklung der Fotosynthese
Erste organische Molekle,
Urbakterien, algenartige
Strukturen
Jura
(195 bis 135)
Perm
Nacktsamer
Saurier
Trias
(225 bis 195)
Pflanzen und Tiere der Eiszeiten; Australopithecinen, Homo
zunehmender Einfluss der
habilis, Homo erectus,
Menschen auf Biotope der Erde Homo sapiens
Algen
Tertir
Erstmalig treten auf
Urbakterien
(2 bis heute)
Suger und Vgel
Erdneuzeit
Quartr
Entwicklung
der Organismen
(280 bis 225)
(395 bis 345)
Silur
(430 bis 395)
Ordovicium
erste Fische
Erdaltertum
Devon
Farne
(345 bis 280)
erste Lurche
Karbon
(500 bis 430)
Kambrium
Praekambrium
(4 000 bis 570)
Wirbellose
(570 bis 500)
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kologie
kologie
Wachstumsgesetze
Geburtenrate GR
Sterberate SR
GR ¼
DNG
Dt N
NG
N
SR ¼
DNT
Dt N
NT
t
K
Zuwachsrate r
r ¼ GR SR
Logistisches Wachstum
dN
K N
¼rN dt
K
Exponentielles Wachstum
dN
¼rN
dt
N
gltig fr N < K
Anzahl der Geburten
Gesamtzahl der betrachteten
Individuen
Anzahl der Todesflle
Zeit
Faktor, der die Lebensraumkapazitt angibt (maximale
Populationsgrße)
exponentielle Wachstumskurve
K
logistische
Wachstumskurve
t
Bestimmen der Wasserqualitt
Sauerstoffgehalt b (O2)
in mg/l
(nach Winkler)
bðO2 Þ ¼
a 0,08 1 000
V b
V
a
b
1 000
Sauerstoffsttigung S
Sauerstoffdefizit b (O2)Def
S¼
bðO2 Þ 100 %
bðO2 Þ S
Volumen der Wasserpobe in ml
Verbrauch an Natriumthiosulfatlsung in ml
(c ¼ 0,01 mol/l)
zugesetzte Reagenzienmenge
in ml
Umrechnungsfaktor fr einen
Liter
bðO2 Þ
gemessener Sauerstoffgehalt
der Frischprobe bei gemessener
Temperatur
bðO2 Þ S theoretischer Sauerstoffsttigungswert bei der
gemessenen Temperatur
bðO2 ÞDef ¼ bðO2 Þ bðO2 Þ S
n
P
Saprobienindex Sx
hi si gi
n
i¼1
Sx ¼ P
n
hi gi
i¼1
oder
Sx ¼
ðh1 s1 g1 Þ þ ðh2 s2 g2 Þ
!
ðh1 g1 Þ þ ðh2 g2 Þ
þ . . . þ ðhn sn gn Þ
þ . . . þ ðhn gn Þ
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h
s
g
Anzahl der untersuchten
Organismenarten
Ausgezhlte Hufigkeit der
Organismen einer Art
Saprobienindex fr die einzelne
Art, gibt deren Optimum innerhalb der Saprobienstufen an
Indikationsgewicht (15),
gibt Eignung einer Art als
Indikator fr bestimmte Gteklassen an
(Bindung an nur eine Gteklasse
g ¼ 5; Vorkommen in zwei oder
mehr Gteklassen g ¼ 4, 3, 2, 1)
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